MAT0121 - C´alculo Diferencial e Integral II IAG - 2016 - Lista 5

MAT0121 - C´alculo Diferencial e Integral II IAG - 2016 - Lista 5

1. Ache e esboce o dom´ınio das fun¸c˜oes:

(a) f(x, y) = 1

px² +y² −1 (b) f(x, y) = arctg y

x (c)f(x, y) = √ x−y (d)f(x, y) = ln(xy²−x³) (e) f(x, y) = x

y^x (f)f(x, y) = tg(x−y) (g) f(x, y) = ln(16−4x² −y²)

2. Esboce uma fam´ılia de curvas de n´ıvel de:

(a) f(x, y) = x+y

x−y (b) f(x, y) = x−p 1−y² (c) f(x, y) = x²

x²−y² (d) f(x, y) = 2xy² x² +y⁴ 3. Considere F(x, y) = 10x²−2y

x²+y² . Determine o dom´ınio de F e esboce as curvas de n´ıvel nos n´ıveis c= 0, c= 1 e c= 10.

4. Esboce os gr´aficos de:

(a) f(x, y) = 1−x−y (b) f(x, y) = x

x²+ 1 (c) f(x, y) =p

x²+ 9y² (d) f(x, y) = 4x²+y² (e) f(x, y) = y²−x² (f) f(x, y) =y²+ 1 (g) f(x, y) = y²+x (h) f(x, y) = e√

x²+y² (i)f(x, y) = 1 4x²+ 9y² (j)f(x, y) =x²+y²+ 2y+ 3 (k) f(x, y) = ln(9x²+y²) (l) f(x, y) = 2−p⁴

x²+ 4y² (m) f(x, y) = p

x²+y² −9

5. Em cada caso, esboce a superf´ıcie formada pelo conjunto dos pontos (x, y, z)∈ R³ tais que:

(a) x+ 2y+ 3z = 1 (b) x²+ 2y²+ 3z² = 1 (c) x²+y²−z² = 0 (d) x²+y²−z² =−1 (e) x²+y²−z² = 1 (f) x²−y² = 1 (g) x²−y²+z² = 1

Alguma dessas superf´ıcies ´e gr´afico de uma fun¸c˜aof :D⊂R² →R? 6. Desenhe a imagem de cada uma das seguintes curvas:

(a) γ(t) = (1, t,1) (b) γ(t) = (cost,sent,2)

(c) γ(t) = (e^−tcost,e^−tsent,e^−t), t≥0 (d) γ(t) = (t,cost,sent), t≥0 (e) γ(t) = (sent,sent,√

2 cost),0≤t≤2π (f) γ(t) = (1 + sent,1 + sent,cost) 7. Seja f(x, y) = 2x²+ 4y²

x²+y²+ 1.

(a) Esboce as curvas de n´ıvel de f nos n´ıveis c= 1, c= 2 ec= 3.

(b) Encontre uma fun¸c˜ao γ deriv´avel, definida em um intervalo, cuja imagem seja a curva de n´ıvel de f no n´ıvel c= 1.

(c) Determine o vetor tangente `a curvaγ, que vocˆe encontrou no item anterior, no ponto (−1,0).

(d) Seja Γ : [0,2π]→R³ dada por Γ(t) = (sent,cost, z(t)). Sabendo que a imagem da curva est´a contida no gr´afico de f, encontre o vetor tangente `a trajet´oria de Γ em Γ(^π₃).

8. Sejam γ(t) = (2−cost,sec²t+ 3), t∈[0,^π₂[ ef(x, y) = ((x−2)²(y−3))³² + 1.

Esboce a imagem de γ e mostre que a imagem de γ est´a contida em uma curva de n´ıvel def indicando qual ´e o n´ıvel.

9. Mostre que para todos os valores da constante c, a curva x²−y² =c est´a contida em uma curva de n´ıvel da fun¸c˜aof(x, y) = e^x2e^−y2+x⁴−2x²y²+y⁴.

Respostas

1.

(a) D_f ={(x, y)∈R² | x²+y² >1} (b) D_f ={(x, y)∈R² | x6= 0}

(c) D_f ={(x, y)∈R² | y≤x} (d) D_f ={(x, y)∈R² | x(y−x)(y+x)>0} (e) D_f ={(x, y)∈R² | y >0} (f) D_f ={(x, y)∈R² |y 6=x+ ^1+2k₂ π, k∈Z}

(g) D_f ={(x, y)∈R² | 4x²+y² <16} 5. Apenas a superf´ıcie do item (a).

7. (b) γ : [0,2π]→R², γ(t) = (cost,√¹

3sent) (c) (0,−^√13)

(d) (^√₂³,¹₂,^√₂³) 8. No n´ıvel 2.