MAT0164 - N ´umeros Inteiros: Uma Introdu¸c˜ao `a Matem´atica Lista 5 - 2020

MAT0164 - N ´umeros Inteiros: Uma Introdu¸c˜ao `a Matem´atica Lista 5 - 2020

1. A que n ´umero entre 0 e 6 ´e congruente m ´odulo 7 o produto 9×18×2322×13×19?

2. A que n ´umero entre 0 e 3 ´e congruente m ´odulo 4 a soma 1+2+2²+2³+...+2¹⁹? 3. Determine o resto da divis˜ao por 7 do n ´umero

(a) 10¹⁰¹+₁₀¹⁰²+₁₀¹⁰³+_...+₁₀¹⁰¹⁰⁰ (b) 1⁷+2⁷+...+100⁷

(c) 1⁶+2⁶+...+100⁶ (d) 2222⁵⁵⁵⁵+5555²²²²

4. Para os n ´umerosmabaixo, a que n ´umero entre 0 em ´e congruente m ´oduloma soma 1!+2!+3!+...+10!?

(a) 3 (b) 11 (c) 4 (d) 23

5. Sejam a,p ∈ _Ncom p primo. Mostre que se a² ≡ 1(mod p) ent˜ao a ≡ 1(mod p) ou a ≡ −₁(_mod p). ´E o mesmo resultado verdadeiro se pn˜ao for um n ´umero primo?

6. Determine o algarismo das unidades do n ´umero 9⁹⁹.

7. Ache os algarismos da dezena e da unidade do n ´umero 7⁹⁹⁹⁹⁹⁹.

8. Mostre que a soma dos quadrados de quatro n ´umeros naturais consecutivos n˜ao pode ser um quadrado.

9. Mostre que o n ´umero de MersenneM83 =₂⁸³−1 n˜ao ´e primo apesar de 83 ser primo.

(Mostre que 2⁸³ ≡1(mod 167).)

10. Mostre que o n ´umero de FermatF5 = 2²⁵ +1 n˜ao ´e primo. (Note que 641 =5⁴+2⁴e que 641=5×2⁷+1. Mostre que 641|F5).)

11. Mostre que se a,b,c e m s˜ao inteiros tais que c > 0 , m > 0 e a ≡ b(mod m), ent˜ao ac ≡bc(mod mc).

12. Mostre quen⁷ ≡n(_{mod 42})para todo inteiron.

13. Sejam m,n ∈ _N com mdc(m,n) = 1. e seja a ∈ Z. Mostre que a ≡ 0(mod mn) se, e somente se a ≡ ₀(mod m) e a ≡ ₀(mod n). Mostre atrav´es de um exemplo que a hip ´otese demdc(m,n) =1 ´e essencial.

14. Quais s˜ao todos os inteiros positivos m com a propriedade : “Para todo inteiro a, se a²≡₀(_modm)_ent˜aoa ≡₀(_mod m)_{. ”}

15. Mostre que sen ´e um inteiro tal que n ≡ 3(mod 4) ent˜aon n˜ao ´e uma soma de qua- drados de dois inteiros.

16. Mostre por induc¸˜ao no inteiro positivonque 4ⁿ ≡₁+3n(_{mod 9})_. 17. SejaN um inteiro positivo que se escreve na base 10 como

N =rn10ⁿ+r_n−110ⁿ⁻¹+...+r₁0+r₀. Mostre que (Regras de Divisibilidade):

(a) 2|Nse, e somente se, 2|r0.

(b) 3|Nse, e somente se, 3|(rn +r_n−1+...+r₁+r₀). (c) 5|Nse, e somente se, 5|r₀.

(d) 9|Nse, e somente se, 9|(rn +r_n−1+_...+r₁+r₀)_.

(e) 11|Nse, e somente se, 11[(−1)ⁿrn+ (−1)ⁿ⁻¹rn−1+...−r1+r0].

(f) Mostre que N ´e divis´ıvel por 7 se, e somente se, N1 = (anAn−1....a2a1)₁₀+5r0 ´e divis´ıvel por 7.

Sugest˜ao:Note que ^N₁₀^−r0 ≡5(N−r₀)(mod 7).

18. (a) Demonstre que todo quadrado perfeito ´e congruente a 0 ou±1 mod 5.

(b) Como aplicac¸˜ao, indicar em quais algarismos pode terminar um quadrado per- feito.

(c) Demonstre que se trˆes inteiros positivos a,b,c verificam a condic¸˜aoa² = b²+c², ent˜ao, entre eles h´a um m ´ultiplo de 5 e um m ´ultiplo de 2.

19. (a) Mostre que nenhum quadrado perfeito se escreve com todos os seus algarismos iguais.

(b) Determinar um quadrado perfeitoN = (aabb)_10. 20. SejaFn =2²ⁿ+1 on-´esimo N ´umero De Fermat. Mostre que

(a) Sen ≥2 ent˜ao o algarismo da unidade ´e 7.

(b) Sen ≥1 ent˜ao Fn ≡5(mod 12).

(c) Mostre que nenhum n ´umero de Fermat pode ser um quadrado ou um cubo.

21. Mostre que 47 divide um e apenas um dos n ´umeros 2²³−_{1 ou 2}²³+1.

22. Ache o resto da divis˜ao de 12^p−1por pquando p ´e primo.

23. Mostre que para todon ∈_Zo n ´umero 3

5n⁵+²

3n³+¹¹ 15n

´e inteiro.

24. Sejamm,n ∈ _Nde mesma paridade ea ∈Z. Mostre que 3|(aⁿ −a^m).

25. Seja pum n ´umero primo positivo tal quep 6=_{2 e} p 6=5. Mostre que pdivide infinitos n ´umeros com todos os algarismos iguais, isto ´e, p|(aa...a)₁₀ondea∈ {1, 2, 3, ..., 9}. Sugest˜ao: Prove que 10^n(p−1) ≡1(mod p)para todo inteiron >0.

26. Sejaaum inteiro. Provar que:

(a) a²¹ ≡a(mod 15)ea⁷ ≡a(mod 42) (b) Se mdc(a, 35) =1 ent˜aoa¹² ≡1(mod 35)

(c) Se mdc(a, 42) =1 ent˜ao(3×7×8)|(a⁶−1) 27. Seja p>2 um primo. Mostrar que

1^p+2^p+...+ (p−1)^p≡0(mod p). 28. Mostrar que 2⁸≡1(mod 17).

29. Sejam pum primo eaum inteiro tal que p- a. Provar que (a) Sep >2, a^p−12 ≡1(mod p)oua^p−12 ≡ −1(mod p).

(b) O menor inteiro positivoetal quea^e ≡1(mod p) ´e divisor de(p−1). (c) See ´e o inteiro acima e x ´e um inteiro tal quea^x ≡1(mod p)ent˜aoe|x.

30. Determine o resto da divis˜ao deaporbnos casos:

(a) a=5⁶⁰ eb =26 (b) a=3¹⁰⁰eb=10

31. Sejam p,qprimos distintos e ´ımpares tais que(p−1)|(q−1). Mostre que se mdc(a,pq) =1 ent˜aoa^q−1 ≡1(mod(pq)).

32. Sejaaum inteiro. Provar que

(a) a³⁷ ≡a(mod 1729) (b) a⁷⁹ ≡a(mod 158) 33. Mostre que 2730|(n¹³−n), para todon∈ _Z.

34. Sejam a,m ∈ _Z com m > 0. Mostre que se mdc(a,m) = 1 se, e somente se, existe r ∈ _{Z tal que ar} ≡ ₁(mod m). Al´em disso, mostre que se at ≡ ₁(mod m) ent˜ao t ≡ r(mod m).

35. Determine todos os valores dextais que:

(a) 5x ≡₃(_{mod 24}) (b) 23x ≡₇(mod 19)

(c) 3x ≡₁(_{mod 10}) (d) 7x ≡₅(mod 18)

36. Sejam p,qprimos tais que q= p+2 e p>3. Mostre que p+q≡0(mod 12). 37. Mostre que sen>1 ´e tal que(n−1)!+1≡0(modn)ent˜aon ´e primo.

38. Sejampeqn ´umeros primos positivos comp6=q. Mostre quep^q−1+q^p−1 ≡1(mod pq.) 39. Mostre que 13|(₂⁷⁰+₃⁷⁰)_.