Posição Distância percorrida Deslocamento

(1)

Prof. Renato F. Jardim – 2022-2

Pausa...para Evoluir Matematicamente

Foi possível avançar nas definições de Grandezas importantes para a descrição do Movimento:

• Posição

• Distância percorrida

• Deslocamento

Foi possível também “espiar” o comportamento da velocidade !

Para avançar nas definições de Velocidade, é necessário avançar também na Natureza dessas Grandezas !

Para isso, a definição de Grandezas Escalares e Vetoriais é fundamental, assim como o auxílio Matemático da Análise Vetorial (já conhecemos a Análise de Escalares) !

Grandezas Escalares

Tempo Distância Comprimento Área

Volume Massa

Velocidade Escalar (Speed) Temperatura

Energia Potencia Trabalho Pressão ...

Avaliando Grandezas...

Grandezas Vetoriais

Deslocamento

Velocidade (Velocity) Velocidade Angular Aceleração

Força Momento

Campo Elétrico Campo Magnético Polarização

...

Qual a diferença fundamental

da natureza

dessas Grandezas ?

(2)

V = 125 cm³

0 0 Norte

Leste Fundamentos de Mecânica – 4300151

2

Para responder a pergunta feita acima é necessário levar em consideração que:

• A matemática e a ciência foram inventadas por humanos para descrever e compreender o mundo ao nosso redor

• Vivemos em um (pelo menos) mundo quadridimensional (4D) e governado: pela passagem do tempo e três dimensões espaciais (para cima e para baixo, esquerda e direita e para frente e para trás)

• Observa-se que existem algumas grandezas e processos em nosso mundo que dependem da direção em que ocorrem, e existem algumas grandezas que não dependem da direção

• Exemplo: o volume V de um cubo (o espaço tridimensional que ele ocupa): V não depende da direção (veja Figura ao lado)

• Se o cubo de V = 125 cm³ é movido para cima e para baixo, para a esquerda e para a direita, ainda tem-se um cubo de V = 125 cm³

• Por outro lado, a localização de um objeto depende da

direção. Ao deslocar-se o cubo de bloco de V = 125 cm³ para 5 metros ao norte, a localização resultante será muito

diferente do que se mover 5 metros ao leste.

Pausa...para Evoluir Matematicamente

...

V = 125 cm³ V = 125 cm³

V = 125 cm³

Os matemáticos e cientistas denominam uma grandeza que depende da direção de

uma grandeza vetorial

^.

Uma grandeza que não depende da direção é chamada de grandeza escalar.

Volume Volume

+

Localização

(3)

Escalares & Vetores

Você precisa ir para a sua casa !

Sua casa está localizada a 2,5 km de você em linha reta. É possível apontar onde exatamente ela está?

Para chegar lá, você também precisa saber em que direção deve se deslocar até ela, certo ?

⏺ Todas as grandezas físicas encontradas nesta disciplina serão escalares ou vetoriais

⏺ Uma grandeza vetorial tem magnitude (valor + unidade) e direção. Exemplo: 200 m/s na direção sul!

⏺ Um escalar é completamente especificado por apenas uma magnitude (valor + unidade) Exemplo:

300 K, 30 s, 732 J

Exemplo

Vetor Deslocamento 𝒓 ou r

(4)

Fundamentos de Mecânica – 4300151 Prof. Renato F. Jardim – 2022-2

4

Pausa...para Evoluir Matematicamente

•As Grandezas Vetoriais têm duas

características: uma Magnitude e uma Direção – Ao comparar duas Grandezas Vetoriais do mesmo tipo: necessário

comparar a Magnitude e a Direção

• Para escalares, só é necessário comparar a Magnitude.

• Em qualquer operação matemática em uma grandeza vetorial (adicionar, subtrair, multiplicar ...), deve-se considerar a

Magnitude e a Direção. Isso torna o

tratamento de Grandezas Vetoriais um pouco mais trabalhoso que escalares.

Notação e Representação Geométrica de um Vetor

A Notação Vetorial foi idealizada pelo físico Josiah Willard Gibbs (1839 – 1903)

Utilizando a Notação Vetorial, as leis físicas podem geralmente ser expressas de forma compacta e simples.

Exemplo: A Segunda Lei de Newton (espaço tridimensional) Notação Antiga:

F_x = ma_x F_y = ma_y F_z = ma_z Notação Vetorial:

ou ainda em NEGRITO para as Grandezas Vetoriais

𝑭 = 𝑚𝒂 𝐹 = 𝑚 ԦԦ 𝑎

Coordenadas Cartesianas

(5)

5

Representação Geométrica de um Vetor

● Uma Grandeza tendo uma

magnitude e uma direção é chamada de vetor

● A representação geométrica de um vetor é uma seta com a cauda da seta colocada no ponto onde a medição é feita

Magnitude do vetor

Direção do vetor

Nome do vetor

O vetor representa a velocidade do objeto

●

Revisão do Triângulo Retângulo

●

Este é um dos pontos mais comuns que as pessoas estão um pouco enferrujadas ...

Cateto Adjacente

.

Ângulo Reto = 90 °

sen (𝜃) = (cateto oposto/hipotenusa) cos (𝜃) = (cateto adjacente/hipotenusa) tan (𝜃) = (cateto oposto/cateto adjacente) Para as funções sen x e cos x o domínio é todo o conjunto dos números reais R, e o contradomínio da função é [-1,1];

Para a função tan x, o domínio é {x ∈ R| x

≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}, e o contradomínio da função é todo o conjunto R.

Período das funções sen(x) e cos(x) é 2

radianos = 360 

Período da função tan(x) é  radianos = 180 

(6)

6

● Pedestres e motoristas em uma cidade como São Paulo raramente conseguem se deslocar em linha reta para chegar a seus destinos.

Em vez disso, eles devem seguir estradas e calçadas, fazendo

caminhos bidimensionais em zigue- zague.

● Suponha que um pedestre caminhe 9 quarteirões a leste, depois vire à esquerda e caminhe 5 quarteirões ao norte. Assuma que um quarteirão (quadra) é um quadrado de 100 m por 100 m.

● A pergunta é: qual o deslocamento experimentado pelo pedestre e o valor do ângulo 𝜃 desse

deslocamento?

Propriedades de Vetores

Destino

Saída

9 quarteirões a leste

Norte

Sul

Leste Oeste

(7)

Propriedades de Vetores

• Para responder a questão formulada é necessário um pouco de Geometria Plana e Trigonometria !

• O teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos catetos de um triângulo retângulo, rotulados na figura ao lado de a e b, com a hipotenusa, rotulada de c.

• A relação é dada por: 𝑎

²

+ 𝑏

²

= 𝑐

²

• sen 𝜃 =

^𝒃

𝒄

; cos 𝜃 =

^𝒂

𝒄

• O ângulo  é dado por: tan 𝜃 = (sen 𝜃/cos 𝜃) = 𝑏/𝑎

• 𝜃 = tan

^-1

(𝑏/𝑎) ou 𝜃 = arctan (𝑏/𝑎)

Cos 𝜃 = 𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝑨𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑯𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 = ^𝒂

𝒄

Sen 𝜃 = 𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝑶𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑯𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 = ^𝒃

𝒄

(8)

8

Deslocamento

Destino

Saída

9 quarteirões a leste

c b

a



c = ((900)² + (500)²)^1/2 c = (8110⁴ + 2510⁴)^1/2 c = (106 10⁴)^1/2

c = (106)^1/2 10² c = 10,29  10² c = 1030 m

tg  = 500 ÷ 900 tg  = 0,555

 = arctan (0,555)

 = 29,1°

O deslocamento é de 10,3 blocos (ou 1030 m)

em um ângulo de 29,1º ao norte do leste.

Norte

Sul

Leste

Oeste 

Deslocamento

(9)

Para descrever vetores, serão usadas as Notações:

• A fonte em negrito: o vetor A é A

• Ou uma seta acima do vetor:

• Setas apontam/indicam a direção do vetor

• Para descrever a magnitude de um vetor, será usado o sinal de valor absoluto (módulo): ou apenas A;

• A magnitude é sempre positiva; a magnitude de um vetor é igual ao comprimento do vetor.

A  A 

Notação para Vetores

(10)

10

• 𝑨 é 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐨 𝐚 𝑩

• 𝑨 é 𝐚𝐧𝐭𝐢𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐨 𝐚 𝑩

• 𝑨 é 𝐚𝐧𝐭𝐢𝐩𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐨 𝐚 − 𝑨

• 𝑨 é 𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥 𝐚 𝑩

• 𝑨 é 𝐨𝐫𝐭𝐨𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐚 𝐚 𝑩

Relações entre Dois Vetores 𝑨 𝒆 𝑩

(11)

Fundamentos de Mecânica – 4300151

Propriedades de Vetores

Igualdade de dois vetores

Dois vetores são iguais se eles têm a mesma magnitude e a mesma direção

Movimento de vetores em um diagrama Qualquer vetor pode ser movido paralelamente a si mesmo sem ser afetado Vetores Negativos

Dois vetores são negativos se eles têm a mesma magnitude, mas estão separados por 180 °

(direções opostas)

 

; 0

    

A B A A ^B

A  

A 



(12)

12

• Ao adicionar vetores, suas direções devem ser levadas em consideração

• As unidades devem ser as mesmas

• Métodos Geométricos

• Use desenhos em escala

• Métodos Algébricos

• Mais conveniente (abaixo)

Adição de Vetores

deslocamento resultante é a soma vetorial

(13)

A 

B  B

A   ADIÇÃO + 

• Desenhe o primeiro vetor com o comprimento apropriado e na direção especificada, em relação a um sistema de coordenadas

• Desenhe o próximo vetor com o comprimento apropriado e na direção especificada, em relação a um sistema de coordenadas cuja origem é o final do vetor e paralelo ao sistema de coordenadas usado para : “da ponta até a cauda”.

• A resultante (ou vetor resultante) é

desenhada da origem até o final do último vetor

Adição de Vetores - Método Geométrico

A 

B 

A 

B 

B A  



A 

B 

(14)

B A 



B A  

 C B

A   



Quando for o caso de adição de muitos vetores, continue

repetindo o processo descrito no “slide acima” até que todos estejam incluídos

A resultante ainda é desenhada da origem do primeiro vetor até o final do último vetor

Adição de Vetores - Método Geométrico

“da ponta até a cauda”

(15)

A 

B 

B A  



A B

B

A    







Adição de Vetores de Forma Geométrica

• Desenhe o primeiro vetor

com o comprimento apropriado e na direção especificada, em relação a um sistema de coordenadas

• Desenhe o próximo vetor com o comprimento apropriado e na direção especificada, em relação ao

mesmo sistema de coordenadas

• Desenhe um paralelogramo

• A resultante é desenhada como uma diagonal da origem

A 

B 

A B

B

A    







(16)

A Adição de Vetores é Comutativa 𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨

A Adição de Vetores é também Associativa

(𝑨 + 𝑩 ) + 𝑪 = 𝑨 + (𝑩 + 𝑪)

(17)

A adição de Vetores – Casos Reais

Lei dos Cossenos

A lei dos cossenos é descrita por uma

relação matemática que associa os três

lados de um triângulo com o cosseno

de um determinado ângulo.

(18)

A 

B 

B A  

 B 



• A subtração vetorial não deixa de ser um caso especial de adição de vetores

• Adicione o negativo do vetor a ser subtraído

• Continue com o procedimento padrão de adição de vetor

Subtração Vetorial

(19)

Vetores: Podem ser descritos por sua magnitude e direção. Por exemplo: seu deslocamento é de 1,5 m em um ângulo  de 25,0 °.

Pode ser descrito por suas componentes? Por

exemplo: seu deslocamento é de 1,36 m na direção x positiva e 0,634 m na direção y positiva.

Descrevendo Vetores de Forma Algébrica

Vetores: Descritos pelo número, unidades e direção!

r = r, a magnitude do vetor, e  são chamadas de coordenadas polares

(no plano)

Sistema Cartesiano de

Representação

(20)



 cos a cos(90 ) 90

sin a

a







Componentes de um Vetor

Forma Algébrica

• Uma componente é uma parte, uma

“parcela” do Vetor

• É útil usar as componentes

retangulares (cartesianas). Estas são as projeções do vetor ao longo dos eixos x e y

No plano

(duas dimensões)

(21)

x y

 

A A A

Fundamentos de Mecânica – 4300151

Componentes de um Vetor

Forma Algébrica

A componente x de um vetor é a sua projeção ao longo do eixo x

A componente y de um vetor é a sua projeção ao longo do eixo y

Sendo assim, cos A

^x

  A A

_x

 A cos 

sin A

^y

  A A

_y

 A sin 

y

x

A

A   







Ângulo Reto



(22)

θ

Θ = 0, A_x=A > 0, A_y= 0

Θ = 45°, A_x=A cos 45° > 0, A_y=A sin 45° > 0 Θ = 90°, A_x= 0, A_y=A > 0

Θ = 135°, A_x=A cos 135°< 0, A_y=A sin 135° > 0 Θ = 180°, A_x= A < 0, A_y= 0

Θ = 225°, A_x=A cos 225° < 0, A_y=A sin 225° < 0 Θ = 270°, A_x= 0, A_y= A < 0

Θ = 315°, A_x=A cos 315°> 0, A_y=A sin 315°< 0 A_x > 0

A_y > 0 A_x < 0

A_y > 0

A_x < 0 A_y < 0

A_x > 0 A_y < 0

Componentes de um Vetor Forma Algébrica

• As equações anteriores são válidas apenas se θ for medido em relação ao eixo x

• As componentes podem ser positivas ou negativas e terão as mesmas unidades do vetor original

Supor um vetor arbitrário no plano

cartesiano

y

x

A

A   





y

x

(23)

2 2

tan

1 ^y

x y

x

A A A and A



^

^ A ^

    

 

   

  

 

 



 

 



 







 







x y x

y

y x

A A A

A

A A

A

A A

1 2

2

tan or

tan

) sin(

) cos(







Ângulo Reto

Um pouco mais acerca de Componentes de um Vetor Forma Algébrica

As componentes A

_x

e A

_y

são os “catetos” do

triângulo retângulo, cuja hipotenusa é A

(24)

24

Vetores Unitários

• As componentes de um vetor são vetores

• Vetores unitários – Módulo é = a Unidade

• Vetores de unidade usados para especificar a direção

• Os vetores unitários têm uma magnitude de 1 Então

y

x

A

A   





x

i ˆ  ˆ

_j _ _y

k ˆ  z

j A i

A

A  

_x

ˆ 

_y

ˆ

 Ângulo Reto

Magnitude + Sinal Vetor Unitário

(na Direção)

(25)

Fundamentos de Mecânica – 4300151 Prof. Renato F. Jardim – 2022-2

Multiplicação de Vetores por um Escalar

Em geral, quando um vetor 𝑨 é multiplicado por um escalar α positivo, o resultado é um novo vetor 𝑩 que é paralelo a 𝑨

𝑩 =  ^ 𝑨

A magnitude ou módulo 𝑩 deste novo vetor é

obtida pela multiplicação da magnitude 𝑨  do vetor original, conforme expresso pela equação escalar:

B =    A

Em uma equação escalar, ambos os lados da equação são números. Essa é uma equação escalar porque as magnitudes dos vetores são quantidades escalares (e números positivos).

Se o escalar α for negativo ( < 0) na equação vetorial, então a magnitude 𝑪 do novo vetor ainda é dada pela Figura abaixo, mas a direção desse novo vetor 𝑪 é antiparalela à direção de 𝑨. Esses princípios são

ilustrados na Figura abaixo por dois exemplos em que o comprimento ou magnitude do vetor 𝑨 é 1,5 unidades.

Quando α = 2, o novo vetor 𝑩 = 2 𝑨 e tem comprimento B = 2 A = 3,0 unidades (duas vezes maior que o vetor original) e é paralelo ao vetor original. Quando α = − 2, o novo vetor 𝑪 = − 2 𝑨 tem comprimento C = − 2 A = 3,0 unidades (duas vezes maior que o vetor original) e é antiparalelo ao vetor original.

(26)

Adição Algébrica de Vetores

j B

A i

B A

C       (

_x



_x

) ˆ  (

_y



_y

) ˆ j

B A

i B A

j B i

B j

A i

A B

A

y y

x x

y x

) ˆ ˆ (

) (

ˆ ) ( ˆ









 



j B i

B

B A     A

_x_x

i ˆ ˆ   A

_y_y

ˆ ˆ j

x x

x

A B

C   ^C

_y

 ^A

_y

 ^B

_y

• Considere dois Vetores

• Sendo assim

• Se

• Então

Visualizando Graficamente

Notação Algébrica

Um vetor que tenha componentes C

_x

= 4 e C

_y

= -2

Pode ser escrito algebricamente como

(4, -2)

(27)

 Um vetor A é descrito algebricamente como (-3, 5), enquanto um outro vetor B é (4, -2). Encontre o valor da magnitude e da direção da soma C dos vetores A e B.

j i

B A

C       (  3  4 ) ˆ  ( 5  2 ) ˆ  1 ˆ  3 ˆ j

i

B   4 ˆ  2 ˆ j

i

A    3 ˆ  5 ˆ

 1

C

x

C

_y

 3

16 . 3 )

3 1

( )

(

²



² ¹^/²



²



² ¹^/²



 C

_x

C

_y

C

56



, 71 3

tan

¹



¹



^ ^

x y

C

 C

Exemplo: Operação com Vetores

𝑪

(28)

28

• Coordenadas polares do vetor ou A (A, )

• Coordenadas cartesianas (A_x, A_y)

• Relações entre elas:

• Vetores unitários:

• Adição de vetores:

• Multiplicação de escalar a por um vetor:

• Multiplicação de dois vetores? É possível e será apresentada se surgir a necessidade.

Resumo - Vetores

   

 

2 2

1

cos( ) sin( )

tan or tan

x y

y y

x x

A A A A

A A A

A A



  ^

 

 



  

  

    

  



A

ˆ ˆ ˆ

x y z

A i A j A k

  

A

j B A

i B A

B A

C    ( _x  _x)ˆ( _y  _y)ˆ

x x

x A B

C   C_y  A_y  B_y

ˆ ˆ

x y

aA  aA i aA j