CÁLCULO DE ESPESSURA DE BLINDAGEM PELA COMBINAÇÃO DOS MÉTODOS LTS N E DECOMPOSIÇÃO

CÁLCULO DE ESPESSURA DE BLINDAGEM PELA COMBINAÇÃO DOS MÉTODOS LTSN E DECOMPOSIÇÃO

Volnei BORGES ^*, Marco Túllio de VILHENA^* e Roselice P. CHIES^**

* Departamento de Engenharia Nuclear da UFRGS Av. Osvaldo Aranha, 99 - 4º andar 90046-900, Porto Alegre, RS, Brasil

** Universidade de Caxias do Sul Caxias do Sul, RS, Brasil

RESUMO

Neste trabalho é apresentada uma combinação dos métodos LTSN e Decomposição para cálculos de espessuras de blindagens. Para a determinação da espessura, é calculado o fluxo angular resolvendo um problema de transporte em geometria plana, espalhamento anisotrópico de ordem unitária para um grupo de energia, na aproximação SN. Nas equações de ordenadas discretas é aplicada a transformada de Laplace, resultando um sistema de equações lineares que é resolvido em termos do fluxo angular transformado. Invertendo-se este último, obtém-se o fluxo angular através do método de inversão por expansão de Heaviside. Para obter o fluxo escalar, integra-se numericamente o fluxo angular na variável angular pelo esquema de quadratura de Gauss. Por outro lado, o fluxo escalar está relacionado com a taxa de dose absorvida através do coeficiente de absorção de massa e da energia. A espessura de blindagem é então obtida pela aplicação do método da Decomposição nas equações transcedentais resultantes. Simulações numéricas são apresentadas.

I. INTRODUÇÃO

Quando se projeta uma instalação nuclear ou radioativa e o equipamento a ela associado, tem-se que ter sempre presente a necessidade de atenuar as radiações, mediante o uso de blindagens. O objetivo básico do projeto de blindagens consiste na redução da intensidade do campo de radiações, de forma a garantir proteção adequada ao pessoal e equipamento contra os efeitos danosos da radiação ionizante.

As características apropriadas das blindagens depende do tipo e finalidade da instalação. De um modo geral, o projeto de blindagens compreende três fases: a primeira consiste na definição detalhada da fonte de radiação; a segunda, na determinação do campo de radiação na blindagem e a terceira abrange o cálculo do fluxo de radiação emergente da blindagem e que atinge os locais de interesse.

Considerável esforço foi empreendido no desenvolvimento de métodos analíticos e técnicas para tratar problemas de blindagens e na obtenção de dados experimentais relativos aos procedimentos de projetos. Nos métodos analíticos, o cálculo do fluxo de radiação emergente da blindagem é obtido pela solução da equação íntegro-diferencial de transporte de nêutrons e fótons. Esta,

porém, é muito complexa e, devido a este fato, só é possível encontrar soluções analíticas para problemas unidimensionais.

No presente trabalho, é proposto um novo método determinístico, denominado DLTSN,, para calcular a espessura de blindagens de uma placa plana, homogênea, que consiste na combinação dos métodos LTSN (1,2,3,4,5)

e Decomposição ⁽⁶⁾ . O método LTSN resolve, de forma analítica, a aproximação SN da equação de transporte unidimensional. Essa formulação é obtida pela aplicação da transformada de Laplace nas equações de ordenadas discretas com o domínio estendido adequadamente.

Resulta, deste procedimento, um sistema de equações lineares que deve ser resolvido em termos do fluxo angular transformado. Invertendo-se este último, obtém-se o fluxo angular através do método de inversão por expansão de Heaviside. Uma vez determinado o fluxo na blindagem pelo método LTSN , a espessura é obtida pelo método da Decomposição.

II. FORMULAÇÃO

A taxa de dose absorvida é proporcional ao fluxo escalar de nêutrons ou fótons, e este, por sua vez, é obtido por integração do fluxo angular. Portanto, resulta que a determinação da taxa de dose absorvida depende do

conhecimento do fluxo angular. Este, por outro lado, pode ser obtido resolvendo o seguinte problema de transporte, em ordenadas discretas:

µ

_{m m}

σ

_{t m}

σ

_{s o k k}

k

d

N

dx Ψ ( ) x + Ψ ( ) x = 

_,

w Ψ ( ) x

  

  +

∑

=

1

2

₁

+

∑

=

3

2

¹ 1

µ σ

m s k

µ

k k k

N

w x

,

Ψ ( )

, (1)

onde m=1 : N, 0 ≤ x ≤

a

, sendo

a

a espessura da blindagem e sujeito às seguintes condições de contorno:

Ψ

_m

( ) 0 = f

_m

, µ

_m

> 0

(1a) e

Ψ

_m

( ) a = 0 , µ

_m

< 0

, (1b) onde

µ

_m são as raízes dos polinômios de Legendre.

A solução do problema (1), pela formulação LTSN , para o fluxo angular em x=

a

, é expressa em forma matricial como:

Ψ

m mk k

k N

a s a

( ) = exp( )

∑

=

^β

1

, (2)

onde

β

mk é uma matriz de ordem NxN, definida na referência ⁽²⁾.

O fluxo escalar médio é obtido por integração numérica do fluxo angular na variável

µ

, pelo esquema de quadratura de Gauss, resultando:

Φ ( ) a Ψ ( , ) a d

_m

Ψ

_m

( ) a

m

= =

N

− +

∫ ∑

=

1 2

1 2

1 1

1

µ µ ω

. (3)

Assim, a taxa de dose absorvida, para um grupo em energia, no ponto

a

, é dada por:

D a

_a

E a

.

( ) = µ Φ ( )

, (4)

onde

µ

_a,

E

, e

Φ

são, respectivamente, o coeficiente de absorção de massa, a energia do feixe incidente e o fluxo escalar médio de nêutrons ou fótons.

A espessura da placa e a taxa de dose absorvida, podem ser relacionadas substituindo (3) em (4), usando o resultado da equação (2) e rearranjando os termos, resultam

as seguintes equações transcedentais, para a decomposição que coloca em evidência o termo

2

1

D w

.

:

a) para

2 1

1

D w

.

〉

e

s

₁

〉 0

:

exp( )

exp( ) exp( )

. .

s a D

.

w E

D

w D

w

s a w s a

a

m m m

N

m m

N

mk k

k N 1

1 11 1

11

1 2

1

1 2

2 1 2 1

2

= − 



+ 



=

= =

∑

∑ ∑

µ β β β

β

(5)

b) para

2 1

1

D w

.

<

^e

s

₂

< 0

:

exp( )

exp( ) exp( )

exp( )

.

s a D

.

w E D

w

s a w s a

w s a

m m m

N

m m m

N

m m

N

mk k

k N 2

1 12

12

2 2

2 1 1

1

1 3

2 1 1

2

= 

  − 

 

+ +



  

 

=

=

= =

∑

∑

∑ ∑

µ β β β

β β

(6)

Observa-se que outros tipos de decomposição poderiam ser feitas, mas a convergência numérica para a espessura de blindagem é significativamente mais rápida quando usada a decomposição que coloca em evidência o termo

2

1

D w

.

.

Para a aplicação do método da Decomposição as equações (5) e (6) são reescritas na seguinte forma:

a = a

_a

+ f a ( )

. (7)

No caso da equação (5), escrita na forma da equação (7), resulta:

a s

D

o

= 1 2 w

1 1

ln( )

.

(8) e

f a s E D

w

s a w s a

a

m m m

N

m mk k

k N

m N

( ) ln

exp ) exp( )

=  −

.

 





 

+ 

  

 

=

=

=

∑

∑

∑

1 1 1

2

1 11

11

1 2

1

2 1

µ β β β

β

(9)

e no caso da equação (6), resulta:

a s

D

o

= 1 2 w

2 1

ln( )

.

(10) e

(

f a s E D

w

s a w s a

s a

a

m m m

N

m m

m N

mk k

k N

( ) ln

exp( ) exp( )

exp( )

= 

.

  − 

 

+ +

+ 

  

 

=

=

=

∑

∑

∑

1 1 1

2

2 12

12

2 2

2 1 1

1

3

µ β β β

β β

(11)

Expandindo

f a ( )

, descrito pelas equações (9) e (11) em termos dos polinômios

A

_N e

B

_N resultam as seguintes formulações para o cálculo da espessura de blindagem:

1) em termos de

A

_N :

a = a

₀

+ A

₁

+ A

₂

+ + A

₃

...

(12) onde

A

₁

= f a (

₀

)

, (13)

A a df a

2 1

da

0 0

= ( )

(14) e

A a df a da

a d f a

3 2

da

0 0

1

2 2

0 0

2

2

= ( ) +

!

( )

; (15)

2) em termos de

B

_N:

a = a

0

+ + B

1

B

2

+ + B

3

...

(16) onde

B

₁

= f a (

₀

)

, (17)

B a df a da

a d f a da a d f a

da

2 1

0 0

1

2 2

0 0 2

1

3 3

0 0 3

2

3

= + +

+ ( )

!

( )

!

( ) ...

(18)

e

B a df a da

a d f a da a a d f a

da a a a a d f a da

3 2

0 0

2

2 2

0 0 2

1 2 2

0 0

1 2

2 2

2 1

3 0 0

3

2 1 2

= + +

+ + + +

( )

!

( ) ...

( )

( ) ( )

...

(19)

Denota-se o primeiro método de solução, em termos dos polinômios

A

_N, como DLTSN e o segundo, em termos dos polinômios

B

_N, por DtLTSN.

III. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Simulações numéricas foram realizadas para a determinação da espessura de blindagem da placa. Para tal, considerou-se o problema descrito pelas equações (1) e (4), para uma placa homogênea, com os seguintes parâmetros:

σ

_t= 1,0 cm^-1,

σ

s ,0 = 0,99 cm^-1,

σ

s ,1 = 0,80 cm^-1,

µ

_a = 1 cm²/g, E = 1 MeV e sujeito às condições de contorno:

Ψ

m

( ) 0 = 1

fóton/cm²s para

µ

m

〉0

e

Ψ

m

( ) a = 0

para

µ

_m

〈0

. Os resultados numéricos para N=2 e cinco termos da solução em série, encontram-se na Tab. 1, para diferentes taxas de dose absorvida.

TABELA 1. Espessura de blindagem para uma placa plana obtida pelos métodos DLTS2 e DtLTS2.

Taxa de Dose (nGy/s)

Espessura Exata (cm)

DLTS2 (cm) DtLTS2 (cm) 9,94064 10^-4 50,00 50,2743 50,1488 2,06688 10^-5 100,00 100,2776 100,1534 4,29840 10^-7 150,00 150,2773 150,1532 8,92720 10^-9 200,00 200,4153 200,2970

A Tab. 2 apresenta os resultados numéricos obtidos para N=4 e dois termos da solução em série, para diferentes taxas de dose absorvida.

Um estudo comparativo dos resultados numéricos obtidos pelos métodos DLTS2 e DtLTS2 foi realizado, variando o número de termos da solução em série de um a cinco, para dose absorvida igual a 2,06688 10^-14 Gy/s que corresponde a espessura de 100 cm. Esse estudo comparativo encontra-se na Tab. 3.

TABELA 2. Espessura de blindagem para uma placa plana obtida pelos métodos DLTS4 e DtLTS4.

Taxa de Dose (nGy/s)

Espessura Exata (cm)

DLTS4 (cm) DtLTS4 (cm) 9,35984 10^-4 50,00 50,0705 50,0705 1,97648 10^-5 100,00 100,0708 100,0708 4,17424 10^-7 150,00 150,0708 150,0708 8,81568 10^-9 200,00 200,0708 200,0708

TABELA 3. Espessura de blindagem obtida pelos métodos DLTS2 e DtLTS2 em função do número de termos na série das equações (5) e (6), para espessura exata de 100 cm.

No. de termos DLTSN DtLTSN

1 106,6511 106,6511 2 102,2832 102,2832 3 101,0296 100,8710 4 100,5185 100,3520 5 100,2776 100,1534

Conforme citado anteriormente, a decomposição proposta

2

1

D w



  

 

que resulta nas equações (5) e (6) não é única, dessa forma, foram estudadas outras quatro possíveis decomposições. Os resultados desse estudo, para espessura de 100 cm, encontra-se na Tab. 4.

TABELA 4. Espessura de blindagem para placa plana obtida pelos métodos DLTS4 e DtLTS4 para diferentes decomposições

a

₀ e espessura exata de 100 cm.

a

₀ ^{DLTS4 (cm) DtLTS4 (cm)}

1

s

2

ln( ) D

. 100,3450 100,3450

1

2 1

s D ln( w )

. 100,2738 100,2738

1 2

s

2

ln( D )

. 100,2118 100,2118

1 2

2 1

s

D ln( w )

. 100,0708 100,0708

IV. CONCLUSÕES

Os resultados apresentados na Tab. 1, para baixa ordem de aproximação (N=2) e cinco termos na solução em

série, mostram que o método DtLTS2 apresenta melhores resultados que o método DLTS2, quando comparados com o valor da espessura exata. Observa-se que o erro máximo percentual é de 0,30%, no caso do método DtLTS2 e 0,55%

para o método DLTS2. Ao aumentar a ordem de aproximação para N=4 e diminuir para dois termos na solução em série, ambos os métodos apresentam resultados coincidentes, conforme verifica-se na Tab. 2. Observa-se também que o erro máximo percentual diminui para 0,14%

e ocorre para a espessura exata de 50 cm que corresponde a taxa de dose absorvida de 9,35984.10^-4 nGy/s.

Os resultados apresentados na Tab. 3 indicam que o método DtLTS2 produz resultados com menor número de termos para uma dada precisão no cálculo da espessura de blindagem. Para um e dois termos na solução em série, ambos os métodos apresentam resultados coincidentes;

acima de três termos o método DtLTS2 apresenta melhores resultados, no sentido de mais se aproximar do valor exato.

Analisando-se os resultados apresentados na Tab. 4, verifica-se que a convergência numérica para a espessura de blindagem é significativamente mais rápida quando usada a decomposição que coloca em evidência o termo

2

1

D w



  

 

. Este fato foi verificado para todas as espessuras analisadas, e não somente para aquela apresentada na Tab.

4.

Desse trabalho conclui-se que a combinação dos métodos LTSN e decomposição fornecem soluções analíticas para o cálculo da espessura de blindagens. Os valores numéricos apresentados mostram que o método é eficiente, obtendo-se bons resultados quando comparados com os valores exatos. Esses resultados indicam que o método proposto poderá vir a ser uma ferramenta útil em projetos de blindagens.

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS

[1] Vilhena, M. T. and Barichello, L. B., A New Analytical Approach to Solve the Neutron Transport Equation, Kerntechnik, vol. 56, n.5, p.334-336, 1991.

[2] Barichello, L. B. and Vilhena, M. T., A General Approach to One-group, One-dimensional Transport Equation, Kerntechnik, vol. 58, p.182-184, 1993.

[3] Zabadal, J., Vilhena, M. T. and Barichello, L. B., Solution of the Discrete Ordinates Equation at Two Dimension by the LTSN Method, Proceedings of the 9th Brazilian Meeting on Reactor Physics and Termal Hydraulics, Caxambú, Brazil, p.90-92, 1993.

[4] Zabadal, J., Vilhena, M. T. and Barichello, L. B., Solution of the Three-Dimensional One-Group Discrete Ordinates Problem by the LTSN Method, Annals of Nuclear Energy, vol. 22, n.2, p.131-134, 1995.

[5] Segatto, C. F. and Vilhena, M. T., Extension of the LTSN Formulation Without Azimutal Symmetry, Annals of Nuclear Energy, vol. 21, n.11, p.701-710, 1994.

[6] Adomian, G., A Review of the Decomposition Method in Applied Mathematics, Journal of Mathematical Analysis an Applications, 135, p. 501-544, 1988.

ABSTRACT

In this work is reported a combination of the LTSN

and Decomposition methods to calculate the shielding thickness. To reach the goal, the angular flux is evaluated solving a transport problem in planar geometry, considering

the SN approximation, anisotropic scattering and one-group of energy. The Laplace transform is applied in the set of SN

equations, the transformed angular flux is then obtained solving a transcendental equation and the angular flux is restored by the Heaviside expansion technique. The scalar flux is attained integrating the angular flux by Gaussian quadrature scheme. On the other hand, the scalar flux is linearly related to the dosis rate through the mass and energy absorption coefficient. The shielding thickness is obtained solving a transcendental equation resulting from the application of the LTSN approach by the Decomposition methods. Numerical simulations are reported