lineares
Vamos pensar na seguinte situação-problema:
Um terreno de 8000 m² deve ser dividido em dois lotes. O lote maior deverá ter 1000 m² a mais que o lote menor. Vamos calcular a área que cada lote deverá ter.
Sendo x e y, respectivamente, as áreas destinadas ao lote maior e ao lote menor do terreno, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
8000 1000 x y
x y
Lá no começo do curso vimos alguns modos de resolver sistemas de equações de duas incógnitas.
Resolvendo, temos x4500e y3500, que é a única solução do sistema, e que podemos indicar por (4500, 3500).
A partir de agora, seremos capazes de resolver sistemas lineares com várias equações e várias incógnitas.
De modo geral, denominamos equação linear toda equação que pode ser escrita na forma:
1 1 2 2 3 3 ... n n
a x a x a x a x b
Onde x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;
a1, a2, a3, ..., an são números reais chamados coeficientes das incógnitas;
b é o termo independente.
Geralmente as incógnitas aparecerão como x, y, z ...
3x2y7é uma equação linear em x e y;
2x3y2z10é uma equação linear em x, y e z;
5 4 0
x y z t é uma equação linear em x, y, z e t;
Note que as incógnitas estão todas numa relação de soma e são todas incógnitas de 1º grau. Portanto, pela definição, não são equações lineares:
10
xy , x² y 5, x²xyyzz² 9, ...
Vamos analisar uma equação linear: 3x2y18.
Podemos dizer que o par ordenado (4, 3) é uma solução da equação, pois:
3 4 2 3 18
O par ordenado (6, 0) é uma solução da equação, pois:
3 6 2 0 18
O par ordenado (5, 1) não é solução da equação, pois:
3 5 2 1 18 .
Vamos ver outra equação linear: 3x y 2z8.
Podemos dizer que o terno ordenado (2, 4, 1) é uma solução da equação, pois:
3 2 4 2 1 8
O terno ordenado (0, 6,1) é uma solução da equação, pois:
3 0 6 2 ( 1) 8
O terno ordenado (5,2, 3) não é solução da equação, pois:
3 5 ( 2) 2 3 8.
Você já deve ter percebido que certos conjuntos ordenados atendem a equação dada, e outros não.
Generalizando, se tivermos a equação:
1 1 2 2 3 3 ... n n
a x a x a x a x b,
dizemos que a ênupla* ordenada de números reais
1,
2,
3,...,
n
é solução da equação se:1 1 2 2 3 3 ... n n
a a a a b.
*Ênupla é o conjunto ordenado de n termos. Se tivéssemos 2 termos, seria par, 3 termos, terno, e por aí vai.
1 Introdução
2 o que são equações lineares?
Capítulo 6 – Sistemas Lineares Álgebra II
Chamamos de sistema linear m n o conjunto S de m equações em n incógnitas que pode ser representada assim:
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
...
...
...
...
n n n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
S
a x a x a x a x b
Vamos a alguns exemplos:
3 2 6 3 10
x y
x y
é um sistema linear
2 2
nas incógnitas x ey
.
2 0
2 1
8 x y z
x y z x y z
é um sistema linear 3 3 nas incógnitas x,
y
e z.Já vimos a solução de uma equação linear. Qual seria a solução de um sistema linear?
Dizemos que
1,
2,
3,...,
n
é solução de um sistema linear quando ela é solução de todas as equações do sistema.Exemplos:
(2,3) não é solução do sistema
2 3 13
3 5 10
x x x y
, pois:
2 2 3 3 13 3 2 5 3 10
.
(1,3,2) é solução do sistema
2 3 1
4 3
6
x y z
x y z x y z
, pois
1 2 3 3 ( 2) 1 4 1 3 ( 2) 3
1 3 ( 2) 6
.
Em geral, um sistema qualquer pode ser classificado da seguinte forma:
Sistema possível e determinado (SPD), ou seja, possui somente uma solução.
Sistema possível e indeterminado (SPD), ou seja, possui infinitas soluções.
Sistema impossível (SI), ou seja, não possui nenhuma solução possível.
Mais adiante veremos como classificar um sistema qualquer nessas condições.
Podemos associar a um sistema linear duas matrizes cujos elementos são os coeficientes das equações que formam o sistema. Vamos tomar um exemplo:
Ao sistema 5 4 1
3 7 2
x y
x y
podemos associar as
matrizes 5 4
3 7
A
, chamada matriz
incompleta, e a matriz 5 4 1 3 7 2
B
, ou até
mesmo 5 4 1
3 7 2
B
é chamada de matriz completa.
Note que B é obtido de A acrescentando-se a coluna relativa aos coeficientes independentes das equações do sistema.
EXERCÍCIOS DE TREINO
1. Identifique se as equações são lineares ou não:
a)5x2y6 b)x4y z 0 c)x² y 10 d)3xy10 e)x²y²169 f)3x14x2x3 0
sistema
possível (tem solução)
determinado (a solução é
única) indeterminado
(tem infinitas soluções) impossível
3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES lineares
4 classificação de um sistema linear
5 MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR
2. Calcule o valor de k para que o par ordenado (3, k) seja uma solução da equação linear 3x2y = 5.
3. Verifique se:
a) (3, 1) é uma solução do sistema 2 5 11
3 6 3
x y
x y
b)
4,1,3
é uma solução do sistema2 6
3 2 13
x y z
x y z
Até agora você deve ter visto no Ensino Fundamental (ou viu e reviu no Capítulo 1) como resolver sistemas de equações do 1º grau de com incógnitas, que nada mais são do que sistemas lineares
2 2
. A regra de Cramer é muito prática na resolução de sistemas lineares 33. Vamos a ela:Tomemos um sistema 33 qualquer:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d
Como você deve se lembrar, podemos expressar um sistema linear por meio de uma multiplicação de matrizes, e que havia duas matrizes em especial:
matriz das incógnitas e matriz dos termos independentes:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
e
1 2 3
d d d
Para a regra de Cramer, seguimos os seguintes passos:
Calculamos o determinante D da matriz dos coeficientes.
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
D a b c
a b c
Substituímos a coluna dos coeficientes de x pela matriz dos termos independentes e calculamos o determinante, chamado
D
x.1 2
1 2
3 3
3
1 2 x
b c
D b c
d
d
b
dc
Fazemos o mesmo para a coluna de y e para a coluna de z e chamamos
D
y eD
z.1 1
2 1 2
3 3 3
2 y
a c
D a c
a
d d dc
1 1
2 2 2
3
3 3
1 z
a b
D a b
da b
dd
A única solução do sistema (que só é possível se D0) é dada então por:
D
xx D
y Dy D
D
zz D
Para ver se entendemos, vamos a um exemplo:
Resolva o sistema
4 7 2
2 3 6 2
5 8
x y z
x y z
x y z
A matriz do sistema é
1 4 7 2 3 6
5 1 1
e a matriz dos
termos independentes é 2 2 8
.
Para resolver este problema, vamos calcular o determinante D da matriz associada ao sistema linear dado:
1 4 7
2 3 6 3 120 14 105 6 8 28
5 1 1
6 regra de cramerCapítulo 6 – Sistemas Lineares Álgebra II Vamos calcular
D
x substituindo a colunacorrespondente aos coeficientes de x pela matriz dos termos independentes.
4 7
3 6 6 192 14 168 12 8 28 1
2
8
1
2
D
x
Fazemos o mesmo com
D
y eD
z.1 7
2 6 2 60 112 70 48 4 56
5 1
2 2 8
D
y
1 4
2 3 24 40 4
2
2
30 2 64 28
8
5 1
D
z
Calculamos então as soluções do problema:
28 1 28 D
xx D
56 2 28 Dy
y D
28 1 28 D
zz D
A solução do sistema é então S(1, 2, 1) .
Dois sistemas lineares são equivalentes quando eles possuem o mesmo conjunto solução.
Mais fácil do que demonstrar, é dar exemplos:
Vamos tomar o sistema 10 2 x y
x y
.
Resolvendo o sistema, temos que S = {(6, 4)}.
Pegamos outro sistema 3 2 26
2 5 8
x y
x y
.
Se você resolver esse sistema, também verá que o conjunto solução é S = {(6, 4)}.
Dizemos então que esses sistemas são equivalentes. O conceito de sistemas equivalentes é muito importante na resolução de sistemas através do escalonamento, que veremos agora.
EXERCÍCIOS DE TREINO
4. Resolva os sistemas através da regra de Cramer:
a)
2 4 0
2 3 0
14 0
x y z
x y z
x z
b)
2 3 1
3 3 8
2 0
x y z x y z
y z
c)
2 9
2 3
3 2 4
x y z
x y z x y z
d)
2 1 2
2 2
x y z x y z x y z
Consideremos um sistema linear S no qual, em cada equação, existe pelo menos um coeficiente não nulo.
Dizemos que S está na forma escalonada (ou, simplesmente é escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes do 1º coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação. Observemos:
3 2 Nenhum coeficiente nulo 2 3 1 Um coeficiente nulo
5 Dois coeficientes nulos x y z
y z z
4 5 3 Nenhum coeficiente nulo 3 2 1 Um coeficiente nulo x y z
y z
7 sistemas equivalentes
8 Sistemas escalonados
4 1 Nenhum coeficiente nulo 2 0 Dois coeficientes nulos 2 3 Três coeficientes nulos x y z t w
z t w w
Note que quando passamos de uma linha para outra o número de coeficientes não nulos vai decrescendo. Esse é o sistema escalonado.
Vamos aprender a resolver um sistema escalonado.
Para isso, vamos separar em dois casos:
1º CASO: SISTEMA COM NÚMERO DE EQUAÇÕES IGUAL AO NÚMERO DE INCÓGNITAS
Consideremos o seguinte sistema:
2 5
2 3
3 6
x y z y z z
Começamos a partir da 3ª equação:3 z 6
z2Com o valor que descobrimos, substituímos z por 2 na 2ª equação:
( 2)
2 3 2 3 4 3 1
y z y y y
Com os valores que descobrimos para y e z, substituímos na 1ª equação:
(
2 5 2 ( ) 2) 5 4 5
1
1
x y z x x
x
Temos então o conjunto solução
S 1,1, 2 .
Quando temos o número de equações igual ao número de incógnitas temos um sistema possível e determinado.
2º CASO: SISTEMA COM NÚMERO DE EQUAÇÕES MENOR QUE O NÚMERO DE INCÓGNITAS
Vamos considerar o sistema: 100
2 0
x y z y z
Observe que esse sistema não possibilita que saibamos precisamente um único conjunto solução, ou seja, infinitos conjuntos solução atendem o sistema. Para tanto, o que podemos fazer é escrever o conjunto solução com base na solução de uma das incógnitas. Essa incógnita é chamada de incógnita livre, e é a incógnita que não está no início de nenhuma das equações. No sistema em questão, é a incógnita z. Se chamarmos o valor da incógnita z de
, podemos resolver o sistema como se fosse um sistema do 1º caso visto acima:2 0
2 0
2
100
2 100
3 100 100 3 z
y z y
y x y z x x x
Logo, o sistema é possível e indeterminado e possui a solução
S 100 3 , 2 , .
Quando temos o número de equações menor do que o número de incógnitas temos um sistema possível e indeterminado.
Há casos em que o sistema é escalonado, mas uma de suas equações traz uma situação que é impossível de ser atendida. Por exemplo:
4 3 10
2 4 0
0 5
x y z
y z z
A terceira equação traz uma equação que é impossível de ser atendida, afinal, qualquer número multiplicado por 0 resulta 0. Nesse caso, o sistema é impossível.
Capítulo 6 – Sistemas Lineares Álgebra II
Vimos que é muito simples resolver um sistema escalonado. Mas como podemos transformar um sistema qualquer num sistema escalonado? O processo envolve três regras bem simples para que o sistema escalonado seja equivalente, ou seja, que possua o mesmo conjunto solução do sistema original.
As operações serão indicadas pelas equações onde estamos trabalhando, por exemplo: E1 significa equação 1, E2, equação 2, e daí por diante. Estas são as regras:
1. Trocar a posição das linhas. Exemplo:
3 2 6 4 1
4 1 3 2 6
x y x y
x y x y
2. Multiplicar os dois membros de uma equação por uma constante k, desde que k0.
3x y z 5 ( 2) 6x2y2z10
3. Substituir uma equação do sistema pela soma de duas equações do sistema, que podem ter sido ou não multiplicadas por uma constante k.
2 4 7 ( 3)
3 5 9 25
x y z
x y z
A E2 se tornará a soma da E2 com a E1 multiplicada por 3, ou se.
Logo, temos:
3 5 9 25
3 2 4 7 3 5 9 25
x y z
x y z x y z
3 5 9 25
3 6 12 21
3 4
x y z
x y z
y z
Então, 2 4 7 2 4 7
3 5 9 25 3 4
x y z x y z
x y z y z
Observe que uma incógnita sumiu na 2ª equação.
Vamos ver alguns exemplos:
Resolva o sistema
2 7
2 7 21
3 5 2 8
x y z x y z
x y z
.
Vamos primeiro anular os coeficientes de x na 2ª e 3ª equações.
2 7 2
2 7 21
3 5 2 8
x y z x y z
x y z
3
2 7
3 7
5 13 x y z
y z y z
No processo de escalonamento, convém deixar o 1º coeficiente da equação igual a 1. Então, trocamos
2 3
E E
.2 7
5 13
3 7
x y z y z y z
Agora, anulamos o coeficiente de y na 3ª equação:
2 7
5 13 3
3 7 + x y z
y z y z
2 7
5 13
16 32
x y z y z z
Agora temos um sistema escalonado. Podemos facilmente resolvê-lo.
16 32 2
5 13 5 2 13 3
2 7 2 3 2 7 1
z z
y z y y
x y z x x
Logo,S 1,3, 2 .
9 escalonamento
Resolva o sistema
3 2
2 0
2 2 2
x y z x y z
x y z
Para começar, vamos trocar de posição a 1ª e a 2ª equação:
2 0
3 2
2 2 2
x y z x y z x y z
Vamos anular os coeficientes de x na 2ª e 3ª equações.
2 0 3
3 2
2 2 2
x y z x y z x y z
2
2 0
5 4 2
5 4 2
x y z y z y z
Observe que a 2ª e a 3ª equações após o processo de escalonamento se tornaram iguais, então, na prática só há uma equação, logo, temos duas equações e três incógnitas, que é do tipo possível e indeterminado.
2 0
5 4 2
x y z y z
Tomando z como a incógnita livre, temos:
5 4 2
5 4 2
2 4 5
2 0
2 2 4 0
5 4 3
5 z
y z y y
x y z x
x
Logo, 4 3 2 4
, ,
5 5
S
.
Resolva o sistema 2 4 10 6
3 6 15 11
x y z
x y z
Vamos multiplicar a 1ª equação por
1 2
.2 4 10 6 2 5 3
3 6 15 11 3 6 15 11
x y z x y z
x y z x y z
Agora, vamos anular o coeficiente de x na 2ª equação:
2 5 3 3
3 6 15 11
x y z
x y z
2 5 3
0 0 0 2
x y z
x y z
Note que a última equação é impossível de ser atendida, logo, o sistema é impossível e
S
.Resolva o seguinte sistema
3
2 5
5 2 14 x y
x y
x y
Note que esse sistema ter mais equações dos que incógnitas. Para que ele seja possível e determinado, ao escalonarmos o sistema ele deverá resultar em duas equações que possuam a mesma resposta. Se não possuírem, o sistema é impossível.
3 2 5
2 5
5 2 14
x y x y
x y
3
3 1
7 1
x y y y
Observe que a 2ª e a 3ª equação resultam em valores distintos para y. Logo, o sistema é impossível e
S
.Capítulo 6 – Sistemas Lineares Álgebra II EXERCÍCIOS DE TREINO
5. Resolva os sistemas através do escalonamento:
a)
2 4 0
2 3 0
14 0
x y z
x y z
x z
b)
2 3 1
3 3 8
2 0
x y z x y z y z
c)
2 9
2 3
3 2 4
x y z
x y z x y z
d)
2 1 2
2 2
x y z x y z x y z
Compare com os resultados do exercício 4.
6. Escalone os seguintes sistemas:
a)
3
2 2 6
3 3 8
x y
x y
x y
b) 2
2 3 2 5
x y z
x y z
Discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros significa dizer para quais valores do(s) parâmetro(s) o sistema é possível (determinado ou indeterminado) ou impossível.
Quando o número de equações do sistema é igual ao seu número de incógnitas, há um método geral de discussão. Basta calcular o determinante da matriz incompleta do sistema
Se D0, o sistema é possível e determinado.
Se D0, o sistema é possível e indeterminado, ou impossível
Isto implica dizer que para saber se um sistema é possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI) não é necessário que se resolva o sistema.
Vejamos alguns exemplos:
Discuta, em função de m, o sistema 3
2 2
x y x my
.
Primeiro calculamos o determinante da matriz incompleta do sistema:
1 1 2 2
D m
m
Para
D 0 m 2 0 m 2
, temos SPD.Para
D 0 m 2 0 m 2
, temos SPI ou SI Nesse último caso, para decidir entre as duas possibilidades, substituímos m por 2 no sistema:3
2 2 2
x y
x y
Multiplicando a 2ª equação por
1
2
, temos:3 1 x y x y
equações incompatíveis Trata-se de um sistema impossível. Então temos:
2 2
m SPD
m SI
Discuta, em função de m, o sistema
1
2 3 6
5 13 x y z x y z mx y z
.
Começamos pelo cálculo do determinante:
1 1 1
2 1 3 2 10
1 5
D m
m
10 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Para
D 0 2 m 10 0 m 5
, temos SPD.Para
D 0 2 m 10 0 m 5
, temos SPI ou SILevando
m 5
ao sistema, e o escalonando, temos:
1 2 5
2 3 6
5 5 13
x y z x y z x y z
1
3 5 4
6 10 8 x y z
y z
y z
Como a 2ª e a 3ª equação são proporcionais, podemos reescrever o sistema com somente uma das equações em questão, resultando num sistema possível e indeterminado. Então temos:
5 5
m SPD
m SPI
Discuta, em função de a e b, o sistema 2 1
3 2
ax y x y b
.
Temos 2
2 6
3 2
D a a
Para
D 0 2 a 6 0 a 3
, temos SPD.Para
D 0 2 a 6 0 a 3
, temos SPI ou SI.Para
a 3
, temos: 3 2 13 2
x y
x y b
.
Quando
b 1
, as duas equações são iguais e o sistema torna-se possível e indeterminado.Quando
b 1
, as duas são incompatíveis e o sistema torna-se impossível.Logo,
3
3 e 1 3 e 1
a SPD
a b SPI
a b SI
.
Dizemos que um sistema é homogêneo quando o termo independente de todas as equações são iguais a zero. Por exemplo:
4 3 5 0
3 7 0
0
x y z
x y z x y z
0
3 2 0
x y
x y
De um modo geral, a solução (0, 0, 0, ...) atende o sistema homogêneo, ou seja, o sistema homogêneo sempre é possível. Esta solução é chamada de solução nula, trivial ou imprópria. Se o sistema admitir mais de uma solução, podemos dizer que ele é possível e indeterminado ou também se diz que possui soluções próprias ou não triviais.
Vamos a um exemplo:
Para que valores reais de m o sistema
3 0
2 0 0 mx y z
my z
mx z
admite soluções próprias?
Como o sistema homogêneo é sempre possível, podemos afirmar que, sendo o número de equações igual ao número de incógnitas, vale a regra:
0 0
D SPD
D SPI
Assim, devemos ter
D 0
, isto é,1 3
0 2 0
0 1 m
m m
2 ² 2 m m 0 m 0 ou m 1
. EXERCÍCIOS DE TREINO7. Discuta em função de m os seguintes sistemas:
a) 3
2 6
x y x my
b)
2 7
4 2 13
3 x my z x y z x y mz
11 sistemas homogêneos
Capítulo 6 – Sistemas Lineares Álgebra II
c)
2 3 4 1
3 4 3
5 7 8
x y z
x y z b
x y az
8. Para quais valores de k o sistema linear
2 0
0 kx y kx ky
admite somente a solução trivial?
9. Verifique se o sistema linear homogêneo
0
2 2 4 0
3 0
x y z
x y z
x y z
é SPI ou SPD.
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. (Fuvest – SP) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a:
a) 100 b) 105 c) 115 d) 130 e) 135
2. (Unesp – SP) Em uma sala, havia certo número de jovens. Quando Paulo chegou, o número de rapazes presentes na sala ficou o triplo do número de garotas. Se, ao invés de Paulo, tivesse entrado na sala Alice, o número de garotas ficaria a metade do número de rapazes.
O número de jovens que estavam inicialmente na sala (antes de Paulo chegar) era:
a) 11 b) 9 c) 8 d) 6 e) 5
3. (Mackenzie – SP) O diretor de uma empresa, o Dr. Antonio, convocou todos os seus funcionários para uma reunião. Com a chegada do Dr. Antonio à sala de reuniões, o número de homens presentes na sala ficou quatro vezes maior que o número de mulheres também presentes na sala. Se o Dr. Antonio não fosse à reunião e enviasse sua secretária, o número de mulheres ficaria a terça parte do número de homens. A quantidade de pessoas, presentes na sala, aguardando o Dr. Antonio é:
a) 20 b) 19 c) 18 d) 15 e) 14
4. (UPF – RS) A empresa Brinque Muito realizou uma grande doação de brinquedos para um orfanato. Essa doação compreendeu 535 brinquedos, entre bolas e bonecas, 370 brinquedos entre bonecas e carrinhos, e o total da doação entre bolas e carrinhos foi de 455 brinquedos. É possível afirmar que, para realizar a doação, a empresa produziu:
a) 320 bolas b) 145 carrinhos c) 235 bonecas d) 780 brinquedos e) 1350 brinquedos
5. (Unicamp – SP) Encontre o valor de a para que o sistema
2 3
2 3
7 4 3 13
x y z a
x y z
x y z
seja possível.
Explicite a solução geral e duas possíveis soluções do sistema.
6. (Unicamp – SP) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo do amendoim custa R$ 5,00, o quilo de castanha do caju, R$ 20,00 e o quilo da castanha-do-pará, R$
16,00. Cada lata deve conter meio quilo dessa mistura e o custo total dos ingredientes dessa lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a
quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.
a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.
b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.
7. Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em volta de seu castelo, conforme a figura abaixo, e uma ponte para atravessá-lo. Em um certo dia, ele deu uma volta completa no muro externo, atravessou a ponte, e deu uma volta inteira no muro interno, totalizando 5320 passos. No dia seguinte, deu duas voltas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta no muro interno, perfazendo 8120 passos. Pode-se concluir que a largura L do fosso é, em passos:
a) 36 b) 40 c) 44 d) 48 e) 50
8. (UFPA-PA) No mercado Ver-o-Peso, três vendedores combinaram de vender três espécies de peixe, cada uma delas por um preço padrão, e fazer uma competição para ver quem vendia mais, no período de uma hora. Sabe-se:
O vendedor A vendeu 7 kg do peixe x, 5 kg do peixe y, 4 kg do peixe z, e arrecadou R$
65,00
O vendedor B vendeu 8 kg do peixe x, 7 kg do peixe y, 6 kg do peixe z, e arrecadou R$
88,00
O vendedor A vendeu 5 kg do peixe x, 4 kg do peixe y, 3 kg do peixe z, e arrecadou R$
49,00
Determine os preços do quilo de cada peixe.
9. (Fuvest – SP) O sistema linear
2 0
1 3 x my z x y z x y z
não admite solução se m for igual a:a) 0 b) 1 c) 1 d) 2 e) 2
10. (UFRGS – RS) A soma dos valores de k que tornam o sistema
0
3 4 0
3 0 x y z kx y z x ky z
indeterminado é:a) 7 b) 2 c) 2 d) 7 e) 10
11. (UFPI – PI) Os valores de a para que o sistema
0
0 0 x y z x ay z ax y z
admita soluções diferentes da trivial são:
a) 0 e 1 b) 1 e 1 c) 1 d) 1 e 0
12. (Fatec – SP) Do sistema
3
2 12
3 2 9
x y z x y z
x y z
, concluímos que o produto xyz é igual a:
a) 18 b) 24 c) 30 d) 36 e) 40 13. (PUC – MG) O valor de a que torna o sistema
1 2 x ay
x y a
impossível é:
a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2
14. (UnB) O sistema
2 0
2 3 0
3 0
x y z
x y z
x z
: a) Tem uma única solução
b) Não tem soluções reais c) Tem três soluções distintas d) Tem infinitas soluções reais
