GABARITO - P2 - 2017.2 (1.a) Se escrevemos as equa¸c˜oes da primeira superficie como x

GABARITO - P2 - 2017.2

(1.a) Se escrevemos as equa¸c˜oes da primeira superficie como x²+y²+z² = 1, z≥ −1

2

reconhecemos a por¸c˜ao da esfera unitaria acima do plano z = −¹₂. A interse¸cao de uma esfera com um plano pela origem (x+z = 0)

´

e uma circunferencia dentro de esse plano. Logo a curva C ´e uma arco de essa circunferencia. Os pontos que liga C sao a solu¸cao do sistema:







x²+y²+z² = 1 z=−¹₂

x=−z

=⇒ 1

4 +y²+1

4 = 1 =⇒(1 2,±

√2 2 ,−1

2)

Figura 1

(1.b) Uma parametriza¸c˜ao de C pode ser obtida usando por componentes multiplos das fun¸c˜oes seno e coseno. Como C est´a contida no plano z+x= 0, a parametriza¸c˜ao ter´a a forma geral:

α(t) = (x(t), y(t),−x(t)).

ComoC ´e um arco de uma circunferencia contida na esfera unitaria e natural considerar x(t), y(t) m´ultiplos das fun¸c˜oes seno e coseno

1

2 GABARITO - P2 - 2017.2

para aplicar a identidade fundamental das fun¸c˜oes trigonom´etricas.

Se

α(t) = (acos(t),sen(t),−acos(t)),

est˜ao obtemos uma curva parametrizada com imagem na esfera uni- taria exactamente quandoa=

√2 2 .

Por ultimo, como temos que ligar os pontos (¹₂,±

√2

2 ,−¹₂), o do- minio da parametriza¸c˜ao vai ser o intervalo [^π₄,^7π₄ ].

α(t) =

√ 2

2 cos(t),sen(t),−

√ 2 2 cos(t)

!

, t∈_π

4,^7π₄ .

(1.c) As equa¸coes da reta tangente a uma curva espacial s˜ao as equa¸c˜oes de dos planos emR³.

Para a parametriza¸c˜ao do item anterior, temos (−

√ 2 2 ,0,

√ 2

2 ,) =α(π).

O vetor tangente ´e α⁰(t) =

−

√ 2

2 sen(t),cos(t),

√ 2 2 sen(t)

. A parametriza¸c˜ao natural da reta tangente ´e:

β(t) =α(π) +tα⁰(π) = (−

√2 2 ,−t,

√2 2 ) O sistema de equa¸c˜oes param´etricas ´e:





 x=−

√ 2 2

z=−¹₂ z=

√ 2 2

Logo duas equa¸c˜oes implicitas da reta s˜ao:

x=−

√2

2 , z=

√2 2 .

(1.c) Se usamos a parametriza¸cao do item (b), como |α⁰(t)|= 1, temos:

Z

C

(2yx²+y³)ds= Z ^7π₄

π 4

sen(t)dt=−cos(t)|

7π π4 4

= 0.

(2.a). Verificamos queF passa no test de conservatividade para todo ponto x∈U:

∂P(x, y)

∂y = 2x+4xy(1 +x²y²)−2xy²(2x²y)

(1 +x²y²)² = 2x+ 4xy (1 +x²y²)².

∂Q(x, y)

∂x = 2x+4xy(1 +x²y²)−2x²y(2xy²)

(1 +x²y²)² = 2x+ 4xy (1 +x²y²)². Como o campo passe no teste ´e o dominio e do tipo I e II, o campo

´

e conservativo.

GABARITO - P2 - 2017.2 3

(2.b) Para calcular os potenciais resolvemos o sistema (_∂f(x,y)

∂x = 2xy+_x¹ +_1+x^2xy2²y²

∂f(x,y)

∂y =x²+ _1+x^2x22^yy²

Integrando a segunda em rela¸c˜ao a y obtemos:

f(x, y) =yx²+ ln(1 +x²y²) +c(x), da qual segue

∂f(x, y)

∂x = 2xy+ 2xy²

1 +x²y² +c⁰(x).

Comparando com a primeira equa¸c˜ao deduzimos:

c⁰(x) = 1 x

Logoc(x) = ln(x) + constante, e por tanto:

f(x, y) =yx²+ ln(1 +x²y²) + ln(x) + constante (2.c). Observamos primeramente que

G(x, y) =F(x, y) +H(x, y), com H(x, y) = (xy, xsen(πxy)).

e ent˜ao Z

C

G ds= Z

C

F ds+ Z

C

H ds.

Pelo teorema fundamental das integrais de linha e pelo item an- terior

Z

C

F ds=yx²+ ln(1 +x²y²) + ln(x)|^(1,1)_(1,−1) = 2.

Agora parametrizamos o segmento: α(t) = (1, t), t ∈ [−1, ,1], e obtemos:

Z

C

Hds= Z 1

−1

(t·0 + sen(πt)·1)dt=−1

πcos(πt)|¹₋₁ = 0.

Por tanto:

Z

C

G ds= 2.

(3) Seja C⁰ o arco da curva y = x³ + 8 indo de (−2,0) at´e (0,8). A concatena¸c˜ao dos caminhos orientadosC e C⁰ e um caminho simples orientado negativamente, que ´e a frontera de uma regi˜ao simples que chamaremos deD.

Como o campoF´e de classeC¹ emD, podemos aplicar o teorema de Green:

Z

−C∗C⁰

F dr= Z

D

∂Q(x, y)

∂x −∂P(x, y)

∂y

dxdy,

onde a integral de linha ´e sobre −C ∗ C⁰ que ´e a fronteira de D orientada positivamente. Por tanto

− Z

C

F dr−

Z

C⁰

F dr= Z Z

D

(−3x²cos(x³−y+8)+3x²cos(x³−y+8)−3)dxdy=−3Area(D).

4 GABARITO - P2 - 2017.2

Logo

Z

C

F dr=− Z

C⁰

F dr+ 3Area(D).

Para calcular a segunda integral de linha parametrizamos C⁰: α(t) = (t, t³+ 8), t∈[−2,0].

Observamos que a parametriza¸cao acima ´e compativel com a ori- enta¸cao de C⁰ e ´e regular:

α⁰(t) = (1,3t²)6= (0,0).

Por tanto

− Z

C⁰

F dr=− Z 0

−2

3t²sen(t³−(t³+ 8) + 8) + 3(t³+ 8)

·1 + 3t²sen(t³−(t³+ 8) + 8)

·3t² dt=

=− Z ₀

−2

(3t³+ 24)dt=− 3t⁴

4 + 24t

|⁰₋₂= 12−48 =−36.

Para calcular a integral dupla dividimos D em dos dominios de tipo I separados pelo eixo y. Fazemos o calculo da area de um de eles (o outro tem igual area):

{(x, y)|0≤x≤2, (x−2)³+ 8≤x≤8}

Area = Z 2

0

Z 8 (x−2)³+8

dy

! dx=

Z Z 2 0

−(x−2)³dx=−(x−2)⁴ 4 |²₀ = 4 Logo

Area(D) = 8 e por tanto:

Z

C

F dr=−36 + 24 =−12.