Corpo negro
• corpo que não reflecte nenhuma da luz que nele incida (absorve toda a luz)
• a radiação emitida pelo corpo negro SÓ depende da sua temperatura O corpo negro é uma idealização.
Há corpos que se comportam quase como corpos negros.
Espectro emitido pelo corpo negro ≅≅≅≅
Espectro emitido pelo corpo negro ≅≅≅≅
espectro da radiação que sai de um pequeno oríficio de uma cavidade metálica em
equilíbrio térmico com a vizinhança
Radiação que entra na cavidade é reflectida pelas paredes, acabando por ser absorvida tendo uma probabilidade pequena de sair. Assim, a radiação que sai do orifício é uma amostra da radiação existente no interior da cavidade.
T
Distribuição espectral da emissão do corpo negro
A radiação que sai do orifício é uma amostra da radiação no interior da cavidade estudar o espectro de emissão do corpo negro ≡ estudar a distribuição espectral da radiação existente no interior da cavidade.
Distribuição para uma cavidade cúbica (só para facilitar os cálculos)
2. O número de ondas com comprimento de onda entre λ e λ +dλ
( ) λ
λ λ π
λ d V d
N 8
4=
Prova-se ! Só geometria e cálculo diferencial!1. Radiação dentro da cavidade: ondas electromagnéticas estacionárias em
equilíbrio com os osciladores electromagnéticos associados à matéria da parede
= kT
ε
3. Cada onda estacionária contribui com
(da termodinamica e física estatística!) 4. A relação entre radiância e densidade (volumétrica) de energia:
( ) λ
λ c u
R ( ) = 4
(do electromagnetismo clássico!)Densidade de energia = Densidade de energia =
(número de ondas estacionárias por unidade de volume) x (energia média de cada onda)
kT u 8
4)
( λ
λ = π
Considerando a expressão do ponto 4:
4 ) 8
(
4c
kT
R λ
λ = π
Fórmula de Rayleigh_JeansA radiação do corpo negro: resultados A radiação do corpo negro: resultados experimentais e a física clássica (lei de experimentais e a física clássica (lei de
(Rayleigh
(Rayleigh--Jeans) Jeans)
4
( , ) λ 2 π
= λ c
R T k T
( , ) , 0
R λ T → ∞ λ → Catástrofe do “ultra
Catástrofe do “ultra--violeta” violeta”
Física Moderna Física Moderna
( , ) , 0
R λ T → ∞ λ →
Espectro de emissão do corpo negro:
hipótese de Planck
Classicamente:
para uma dada frequência ν, a energia das ondas estacionárias (e dos osciladores)
• só dependia da amplitude
• variava de modo contínuo
• variava de modo contínuo
Ideia de Planck para evitar a “catástrofe do ultravioleta:
reduzir a contribuição das frequências elevadas
Hipótese de Planck
1. A energia dos osciladores ( ε) ε) ε) ε) ∝ frequência
2.
Para cada frequência ν , os osciladores só podiam ter energia igual a um múltiplo de h νννν , i.e.,
i.e., a energia de um oscilador de frequência ν não podia variar continuamente mas sim “por saltos” iguais a
ν ε = h
∆
,...
2 , 1 ,
= 0
= nh ν n ε
(o conceito de QUANTA!)
−
= C KT
P ( ε
n) exp ε
nCálculo da potência radiada pelo corpo negro modelo semi-clássico de Planck
(
n)
nP ε ε
∑
∞Probabilidade de um oscilador estar num dado nível de energia εn é igual a
Energia média de um oscilador = soma da energia de cada nível, pesada pela probabilidade do oscilador se encontrar nesse nível:
1 exp −
=
kT h h
ν ν ε
0
0
( ) ( )
n n
n
n n
P P
ε ε ε
ε
=∞
=
= ∑
∑
(em vez de )
ε = kT
Fazendo εn = nhν, n = 0,1,2 e alguns cálculos, obtém-se
( ) λ d λ λ π V d λ
N 8
4=
Número de ondas estacionárias na cavidade com comprimento de onda entre λ e λ+dλ:
Hipótese de Planck:
cálculo da potência radiada pelo corpo negro
Do electromagnetismo, continuava-se a ter a relação:
( )
4
( ) 8 ( )
exp 1
N hc u
V hc
KT
λ π λ
λ ε
λ λ
= =
−
( ) ( )
4
R λ = c u λ
Do electromagnetismo, continuava-se a ter a relação:
4
( , ) 2
exp 1
c hc R T
hc kT
π λ
λ λ
λ
=
−
Fórmula de Planck para a distribuição espectral da radiação do corpo negro
USANDO ESTE RESULTADO, PROVAR QUE:
•
não existe divergência quando λ 0
• a fórmula de Planck contém a lei de Stefan (e calcular o valor da constante de Stefan-Boltzmann
• a fórmula de Planck contém a lei de Wien
• fórmula de Planck tende para a fórmula de Rayleigh-Jeans no limite
dos grandes comprimentos de onda
O Big-Bang e a radiação do corpo negro:
a radiação cósmica de fundo
“Cosmic Microwave Background” (CMB)
J.C. Mather et al.,
Resultados experimentais obtidos pela experiência instalada no satélite COBE (Cosmic Background Explorer)
J.C. Mather et al., Astrophys. J. 420 (1994) 439-444
A radiação cósmica de fundo continua a ser MUITO estudada
Por exemplo: experiências para medir a anisotropia da CMB com elevada precisão :
Cosmic
Background Explorer (COBE)
Wilkinson Microwave
Anisotropy Probe (WMAP)
http://www.nasa.gov/centers/goddard/missions/
A radiação cósmica de fundo continua a ser MUITO estudada
Lançado em 14 de Maio de 2009
http://www.esa.int/SPECIALS/Planck/index.html