APOSTILA PARA CONCURSO
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUANTITATIVO
Sumário
Capa
Folha de Rosto Cadastro
Copyright Dedicatórias Os Autores Apresentação Prefácio
Capítulo 1. Teoria dos Conjuntos 1.1. Simbologia
1.2. Introdução aos conjuntos numéricos 1.3. Conceito de conjunto
1.4. Quadro-resumo de símbolos matemáticos 1.5. Conceito de subconjunto
1.6. Conjunto vazio e conjunto universo 1.7. Conjunto de conjuntos
1.8. Conjunto das partes de um conjunto (cardinalidade) 1.9. Partições de um conjunto
1.10. Diagramas de Euler-Venn
1.11. Operações com conjuntos por análise geométrica
1.12. Operações com conjuntos por análise algébrica e geométrica 1.13. Diferença simétrica entre dois conjuntos
1.14. Representação de dois conjuntos no diagrama de Euler-Venn 1.15. Número de elementos de “X ∪ Y” ou n(X ∪ Y)
1.16. Representação de três conjuntos no diagrama de Euler-Venn
1.17. Número de elementos de “X ∪ Y ∪ Z” ou n(X ∪ Y ∪ Z)
1.18. Algumas representações indicadas no diagrama de Euler-Venn pela parte hachurada
1.19. Alguns teoremas relativos a conjuntos 1.20. Intervalos
1.21. Exercícios resolvidos
1.22. Exercícios resolvidos de concursos anteriores Capítulo 2. Análise Combinatória
2.1. Técnicas de Contagem 2.2. Agrupamentos simples 2.3. Agrupamentos especiais 2.4. Exercícios resolvidos
2.5. Exercícios resolvidos de concursos anteriores Capítulo 3. Probabilidades
3.1. Nomenclatura e notações
3.2. Probabilidade de ocorrer um evento 3.3. Propriedades das probabilidades
3.4. Probabilidade de ocorrer o evento A ou B (Princípio da Inclusão-Exclusão) 3.5. Probabilidade de ocorrer o evento A e B (Teorema do Produto)
3.6. Probabilidade condicional
3.7. Probabilidade de ocorrer um evento “pelo menos uma vez”
3.8. Probabilidade interpretada como quociente de duas áreas 3.9. Probabilidade binomial
3.10. Teorema (ou Regra) de Bayes 3.11. Exercícios resolvidos
3.12. Exercícios resolvidos de concursos anteriores Capítulo 4. Sequências Numéricas
4.1. Noção de sequência 4.2. Representação
4.3. Leis de formação 4.4. Exercícios resolvidos
4.5. Exercícios resolvidos de concursos anteriores Capítulo 5. Progressões Aritméticas
5.1. Definição 5.2. Classificação
5.3. Termo geral da PA
5.4. Termo generalizado de uma PA 5.5. Propriedade característica da PA 5.6. Representações especiais
5.7. Termos equidistantes dos extremos 5.8. Inserção ou interpolação aritmética 5.9. Soma dos n primeiros termos de uma PA 5.10. Progressão aritmética de ordem superior 5.11. Exercícios resolvidos
5.12. Exercícios resolvidos de concursos anteriores Capítulo 6. Progressões geométricas
6.1. Definição 6.2. Classificação
6.3. Termo geral da PG
6.4. Termo generalizado de uma PG 6.5. Propriedade característica da PG 6.6. Representações especiais
6.7. Inserção ou interpolação geométrica
6.8. Soma dos “n” primeiros termos de uma PG
6.9. Limite da soma
6.10. Produto dos “n” primeiros termos de uma PG 6.11. Exercícios Resolvidos
6.12. Exercícios resolvidos de concursos anteriores
Apresentação
Nesta obra de Raciocínio Lógico Quantitativo, que versa sobre os temas mais solicitados e cobrados neste ramo da Matemática, incluímos conceitos introdutórios e relevantes para o estudo das principais questões de provas realizadas nos diversos concursos públicos no país.
Embora os problemas e as questões solucionadas estejam todos raciocinados e explicados de maneira mais acessível, nesses tais raciocínios e explicações, os estudantes encontrarão os elementos estritamente necessários à compreensão das soluções das questões e/ou itens formulados pelas diversas bancas examinadoras das muitas instituições organizadoras de concursos públicos. Não seria aconselhável nem prático fazer ou utilizar raciocínios extensos e prolixos, que não só cansariam como encareceriam essa obra pelo aumento exagerado do seu volume de páginas, ou, ainda, provocariam a diminuição do número de problemas publicados e solucionados “passo a passo”, o que iria de encontro à finalidade a que nos propusemos.
Aceitaremos e acataremos com prazer todas as críticas construtivas dos senhores professores e estudiosos que nos queiram alertar ou aludir sobre incorreções, por acaso notadas nesta obra, a fim de que possamos corrigi-las em obras e/ou edições futuras.
Mais uma vez, camos gratíssimos à Direção da Editora Campus-Elsevier pela nobre e dalga acolhida que nos deu para mais este nosso esforço, em particular, nas pessoas de Sylvio Motta, Raquel Zanol e Márcia Henriques, e esperamos, sincera e honestamente, termos concorrido com algo realmente útil, construindo mais uma ferramenta para facilitar o aprendizado de Matemática Elementar e Raciocínio Lógico Quantitativo aos dedicados e perseverantes estudantes e concurseiros brasileiros.
Torcemos veementemente pelo seu sucesso na aprovação e pelo ingresso na carreira pública!!!
Os autores
Prefácio
Prezado leitor,
Este volume apresenta os assuntos mais exigidos e de complexidade variada na parte que tange aos temas como Teoria dos Conjuntos, Análise Combinatória, Probabilidades Fundamentais e o estudo das diversas Sequências Numéricas, também contendo, em particular, Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas.
Tais conteúdos são constantemente alvo de muitas dúvidas dos estudantes e concurseiros, pois necessitam de um conhecimento mais especí co e detalhado para o perfeito entendimento.
Acumulamos, através da nossa experiência em salas de aula, várias dúvidas sobre esses assuntos e procuramos, neste livro, organizá-las, catalogá-las e resolvê-las da maneira mais simples possível, para que o tema não se torne um verdadeiro tormento no estudo a que se destina.
Esperamos com isso oferecer mais uma contribuição para que o leitor possa alcançar o seu grande sonho: ingressar em um concurso público!
Estude várias vezes os diversos capítulos apresentados, lendo e relendo com muita atenção os enunciados propostos, pois, em quase todos, existem verdadeiros “pegas” para que os seus objetivos de aprovação não sejam alcançados!
Não desista nunca e nem esmoreça perante as di culdades que encontrará na árdua tarefa de vir a ser aprovado em um concurso público.
Os autores
Capítulo 1
Teoria dos Conjuntos
1.1. Simbologia
Alguns símbolos serão necessários e fundamentais para o entendimento de algumas expressões que envolverão elementos e conjuntos. Tais símbolos poderão estar relacionados somente a elementos, outros a conjunto e, também, símbolos que relacionam elementos a conjunto e vice-versa.
A seguir, apresentaremos os principais símbolos:
1.2. Introdução aos conjuntos numéricos
Quando os conjuntos forem listados por números (elementos desses conjuntos), estes representarão especí cos conjuntos numéricos, tais como: o conjunto dos números naturais ( ); o conjunto dos números inteiros ( ); o conjunto dos números racionais ( ); o conjunto dos números irracionais ( ou ’) e, por último, o conjunto dos números reais ( ).
1.2.1. Conjunto dos números naturais ( )
Qualquer número que resulte de uma (contagem simples de unidades é chamado número natural. O conjunto dos números naturais é indicado pelo símbolo e, por , o conjunto
dos números naturais não nulos.
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … } = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
1.2.2. Conjunto dos números inteiros ( )
A subtração nem sempre é possível no conjunto dos números naturais “ ”. Por exemplo, não existe número natural que represente a diferença “2 − 7”, para tanto, foi criado o conjunto dos números inteiros. Nesse conjunto, a diferença “2 − 7” é representada por (−5). Onde se conclui: −5 ∉ (lê-se: −5 não pertence ao conjunto dos números naturais). Indica-se pelo símbolo “ ” o conjunto dos números inteiros; “ *”, o conjunto dos números inteiros não nulos;
“ ”, o conjunto dos números inteiros não negativos; “ ”, o conjunto dos números inteiros positivos; “ ”, o conjunto dos números inteiros não positivos e, nalmente, “ ”, o conjunto dos números inteiros negativos.
= { …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
* = { …, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, …}
= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
− = { …, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0}
− = { …, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1}
Observação: “ = ”.
Podemos generalizar que todo número natural é um número inteiro. Logo, ⊂ (lê-se: “ está contido em ”ou, ainda, “ é subconjunto de ”).
Observações:
1) A soma de dois números inteiros não negativos é um número inteiro não negativo.
Exemplo: 3 + 7 = 10
2) A soma de dois números inteiros não positivos é um número inteiro não positivo.
Exemplo: (−3) + (−6) = (−9)
3) A soma de um número inteiro não negativo com um número inteiro não positivo pode resultar em um inteiro não negativo ou em um não positivo ou, ainda, em zero.
não negativo + não positivo = inteiro não negativo: 4 + (−1) = 3;
não negativo + não positivo = inteiro não positivo: 8 + (−13) = −5;
não negativo + não positivo = zero: 7 + (−7) = 0.
1.2.3. Conjunto dos números racionais ( )
A divisão entre dois números, um deles pertencente ao conjunto “ ” e o outro pertencente ao conjunto “ *” (lembrando que na divisão o divisor não poderá ser zero), nem sempre será um elemento de . Por exemplo: (−5) ÷ 2, não resultará em outro número inteiro que possa representar o quociente dessa divisão.
O conjunto dos números racionais foi criado para resolver esse impasse, isto é, a divisão de um número pertencente ao conjunto “ ”, por um número pertencente ao conjunto “ *”, e nesse novo conjunto: (−5) ÷ 2 é simplesmente indicado por: ou −2,5 ou, ou, ainda, .
Indica-se por “ ”, o conjunto dos números racionais e, “ *”, o conjunto dos números racionais não nulos.
Considerando o denominador igual a “1”, podemos obter uma razão, por exemplo, do tipo , logo, podemos concluir que: ⊂ ⊂ .
1.2.4. Conjunto dos números irracionais ( ou ’)
Assim como existem números decimais que podem ser escritos como frações − com numerador e denominador inteiros -, que são chamados números racionais, há os que não admitem tal representação. São os números decimais não exatos que possuem representação infinita, porém não periódica – não se repetem. Vejamos, por exemplo, o número:
0,257353128…, que não é uma dízima periódica, pois os in nitos algarismos após a
“vírgula” não se repetem periodicamente e, portanto, não podem ser escritos sob forma de fração.
Vejamos alguns exemplos:
