Representação Tipo Weierstrass para Superfícies Imersas em Espaços de Heisenberg.

Universidade Federal da Para´ıba Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

Curso de Mestrado em Matem´atica

Representa¸c˜

ao Tipo Weierstrass para Superf´ıcies

Imersas em Espa¸cos de Heisenberg.

Por

Valdecir Alves dos Santos J´unior

sob orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Pedro A. Hinojosa

Disserta¸c˜ao apresentada ao Corpo Do-cente do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica-CCEN-UFPB, como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre da Ciˆencia em Matem´atica.

S237r Santos Júnior, Valdecir Alves dos.

Representação tipo Weierstrass para superfícies imersas em espaços de Heisenberg / Valdecir Alves dos Santos Júnior.-- João Pessoa, 2011.

81f.

Orientador: Pedro A. Hinojosa

Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN

1.Matemática. 2.Representação de Weierstrass. 3.Imersão mínima. 4.Grupo de Heisenberg. 5.Operador Dirac. 6.Aplicação De Gauss.

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA´ıBA

Data: julho - 2011 Autor: Valdecir Alves dos Santos J´unior

T`ıtulo:

Representa¸c˜

ao Tipo Weierstrass

para Superf´ıcies Imersas em

Espa¸cos de Heisenberg.

Depto.: Matem´atica

Grau: M.Sc. Convoca¸c˜ao: julho Ano: 2011

Permiss˜ao est´a juntamente concedida pela Universidade Federal da Para´ıba `

a circular e ser copiado para prop´ositos n˜ao comerciais, em sua descri¸c˜ao, o t´ıtulo acima sob a requisi¸c˜ao de indiv´ıduos ou institui¸c˜oes.

Assinatura do Autor

O AUTOR RESERVA OUTROS DIREITOS DE PUBLICAC¸ ˜AO, E NEM A TESE NEM EXTENSIVAS EXTRAC¸ ˜OES DELA PODEM SER IMPRESSAS OU REPRODUZIDAS SEM A PERMISS ˜AO ESCRITA DO AUTOR.

Em mem´oria de meu pai.

“ N˜ao seja aquilo que as pessoas querem que

vocˆe seja, mas mostre-as o quanto vocˆe ´e

Agradecimentos

Agrade¸co a Deus por estar comigo sempre. Principalmente pela vida que me

permitiu viver. Pelas dificuldades que, acima de tudo, me tornaram o que sou hoje. A Nossa Senhora, Maria, nossa m˜ae, por sempre me guiar por caminhos certos

e por ser, para todos n´os, exemplo de amor, abandono e entrega a Deus.

A meu pai, Valdecir, que nos seus poucos anos de vida me ensinaram a ser forte diante da vida.

A minha m˜ae, Maria Rosimeire, exemplo de for¸ca e garra. A minha irm˜a

Manuela, que ´e hoje um dos pilares da nossa fam´ılia.

A meu irm˜ao Kairo Bruno, pela ajuda no per´ıodo da gradua¸c˜ao, sem vocˆe n˜ao

chegaria at´e aqui.

Agrade¸co, aos amigos do mestrado, em especial, Elano, Elielson e Disson, que me receberam em seu apartamento nos primeiros dois meses na minha chegada em

Jo˜ao Pessoa, pelas horas de estudo, pelos momentos de laser etc.

Aos meus grandes amigos Claudemir e Ailton, pelo companheirismo, amizade nos momentos dif´ıceis e alegres. Que Deus sempre esteja com eles.

Aos meus antigos professores da Universidade Federal do Maranh˜ao, em especial

aos Professores Marcos, Maxwell, Nivaldo Muniz, meu orientador Jefferson Leite e Cleber. Que mais que educadores, amigos e conselheiros.

Ao professor Fagner Araruna pela ajuda desde a entrada no mestrado at´e na

indica¸c˜ao para professor da Universidade Estadual da Para´ıba. Grande professor e

Aos meus mais que irm˜aos, Amigos do Altar, a todos sem distin¸c˜ao. Pela nova

vida, pelo companheirismo e principalmente pela oportunidade de conhecer Deus atrav´es

das pessoas.

A Katiuscia, a pessoal que me mostrou o amor de nossa m˜ae Maria, m˜ae de

Jesus, m˜ae de todos n´os. Uma das poucas pessoas que realmente acredita em mim

acima de tudo. Obrigado pelo carinho.

A Fernanda Moreira, minha namorada, por estar comigo nos momentos

ale-gres, duvidosos e principalmente nos dif´ıceis, como s˜ao muitos... Pelo apoio, for¸ca,

admira¸c˜ao e principalmente pelo carinho que me transmite por suas a¸c˜oes. Te amo meu bebˆe.

Ao meu orientador Pedro Hinojosa, pela aceita¸c˜ao da orienta¸c˜ao, pela

com-preens˜ao e pelo apoio no decorrer deste trabalho. Obrigado por tudo. Que nossa amizade n˜ao se limite somente a esses poucos anos.

A minha querida amiga Gabriela, exemplo de determina¸c˜ao e humildade. Que

Deus permita que vocˆe seja sempre esta pessoa alegre, feliz e companheira. Obrigado

pela ajuda em toda a disserta¸c˜ao, sem vocˆe n˜ao conseguiria.

Aos professores Jorge Hinojosa e Jorge Herbet, por ter aceitado participar da

banca e principalmente por terem aprovado a mesma.

´Indice

Agradecimentos v

Resumo viii

Abstract ix

Introdu¸c˜ao x

1 Preliminares 1

1.1 Teoria Local das Superf´ıcies . . . 1 1.2 Grupos de Lie . . . 7 1.3 Grupo de Heisenberg . . . 9

2 A Representa¸c˜ao Espinorial. 18

3 A Aplica¸c˜ao de Gauss. 44

4 Exemplos. 64

Resumo

Neste trabalho obtemos uma representa¸c˜oes tipo Weierstrass para superf´ıcies im-ersas no espa¸co de Heisenberg, dotado com uma m´etrica invariante `a esquerda. Con-sideraremos os casos Riemanniano e Lorentziano. Definimos duas fun¸c˜oes complexas (spinors), satisfazendo uma equa¸c˜ao linear tipo Dirac que usamos para obter uma representa¸c˜ao para superf´ıcies imersas com curvatura m´edia prescrita. A mesma pos-sibilita escrever uma representa¸c˜ao de imers˜oes m´ınimas em termos de uma aplica¸c˜ao de Gauss harmˆonica.

Palavras-Chave:

Abstract

In this work we obtain Weierstrass-type representations for immersed surfaces in Heisenberg space, endowed with a left-invariant metric. We will consider the Rieman-nian and Lorentzian case. We will define two complex functions (spinors) satisfying a linear Dirac-type equation, obtaining thus a representation for immersed surfaces with prescribed mean curvature. The same will enable us write a representation of minimal immersion in terms of a harmonic Gauss map.

Key words:

Introdu¸c˜

ao

A cl´assica f´ormula da Representa¸c˜ao de Weierstrass para superf´ıcies m´ınimas em

R3 _{com sua generaliza¸c˜ao para} Rn _{foi provada ser uma ferramenta extremamente}

´

util para o estudo de superf´ıcies m´ınimas nesses espa¸cos (veja, [1], [7]). Anos atr´as, pensando em descrever uma generaliza¸c˜ao de superf´ıcies n˜ao m´ınimas, em 1979, Ken-motsu mostrou uma formula de representa¸c˜ao para superf´ıcies imersas de curvatura m´edia prescrita por meio da aplica¸c˜ao de Gauss (veja, [9]).

Uma d´ecada mais tarde a representa¸c˜ao era reformulada em termos de duas fun¸c˜oes complexas, as quais comp˜oem um campo de spinors, que satisfazem uma equa¸c˜ao linear tipo Dirac no plano complexo (veja [10], [17]). Esta abordagem foi retomada recentemente por Taimanov e D. Berdinsky em contexto de outros ambi-entes, como grupos de Lie tridimensionais por exemplo. O m´etodo est´a em [2], [18] e [19], que permite obter uma representa¸c˜ao spinorial de curvatura m´edia prescrita em termos das equa¸c˜oes de Dirac.

Usando estrat´egicas diferentes, autores como B. Daniel, I. Fern´andez, P. Mira (veja [3] e [5]), entre outros, definiram no¸c˜oes naturais da aplica¸c˜ao de Gauss no contexto de espa¸cos homogˆeneos tridimensionais com grupo isom´etrico de dimens˜ao quatro. Em especial B. Daniel em [3], obt´em uma representa¸c˜ao tipo Weierstrass em termos de uma aplica¸c˜ao de Gauss harmˆonica satisfazendo certas condi¸c˜oes.

prescrita e tamb´em uma representa¸c˜ao para superf´ıcies m´ınimas em termos de uma aplica¸c˜ao de Gauss harmˆonica. Utilizaremos este texto como base para nossa dis-serta¸c˜ao.

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Nas primeiras se¸c˜oes deste cap´ıtulo apresentamos alguns conceitos b´asicos da teo-ria local das superf´ıcies, aplica¸c˜oes harmˆonicas entre superf´ıcies de Riemann e Grupos de Lie. A fim de dar ao leitor as ferramentas b´asicas para compreens˜ao do texto, en-volvendo defini¸c˜oes e resultados que ser˜ao utilizados no decorrer do trabalho.

1.1

Teoria Local das Superf´ıcies

Denotamos por Mǫ uma variedade de dimens˜ao 3 dotada de uma m´etrica

rieman-niana, quando ǫ = 1, ou de uma m´etrica pseudo-riemanniana de ´ındice 1, quando ǫ = ₋1. Seja X : Σ _−→ Mǫ uma imers˜ao isom´etrica de uma superf´ıcie de Riemann

conexa Σ em Mǫ. Denotamos por I e II a primeira e segunda formas fundamentais

da imers˜ao X. Assim,

I =_hdX, dX_i, em que _h., ._idenota a m´etrica em Mǫ e

II =_−hdN, dX_i,

em que N ´e um campo normal ao longo de X que, satisfaz

Denotamos por _∇ e ¯_∇, respectivamente, as conex˜oes de Levi-Civita em Σ e em Mǫ.

Consideramos, um parˆametro conforme z = u +iv em Σ. Indicamos os campos coordenados referentes ao sistema de coordenadas (u, v) alternativamente por Xu,

Xv. Os coeficientes da primeira forma fundamental na base {Xu, Xv} s˜ao

E =_hXu, Xui, F =hXu, Xvi e G=hXv, Xvi.

Denotamos as derivadas covariantes por ¯_∇XuXu = Xuu, ¯∇XuN = Nu, e assim por diante, obt´em-se, para os coeficientes da segunda forma, as express˜oes

e=_−hNu, Xui, f =−hNu, Xvi e g =−hNv, Xvi.

O operador de WeingartenA:TΣ_−→TΣ ´e definido, atuando em um campoY sobre o fibrado tangente a Σ, TΣ, por

AY =_−∇¯YN.

Seja (aij) a matriz deste operador na base {Xu, Xv}, isto ´e,

AXu = a11Xu+a21Xv =−∇¯XuN =−Nu (1.1) AXv = a12Xu+a22Xv =−∇¯XvN =−Nv. (1.2) Define-se a curvatura m´edia H da imers˜aoX : Σ_−→Mǫ por

H= ǫ

2tr(A) = ǫ

2(a11+a22). ´

E imediato verificar que a11 a12

a21 a22 !

= E F

F G

!−1

e f

f g

!

(1.3)

donde segue que

AXu =−Nu =

eG₋f F EG₋F2Xu+

f E₋eF EG₋F2Xv,

AXv =−Nv =

f G₋gF EG₋F2Xu+

No sistema de coordenadas conformes (u, v) temos,

E =G:=e2w, F = 0 (1.4)

em que w=w(z,z) ´e uma fun¸c˜ao positiva localmente definida em Σ.¯ Denotamos os campos correspondentes aos parˆametros (z,z) por¯

∂

∂z =∂z = 1 2(

∂ ∂u −i

∂ ∂v),

∂

∂z¯ =∂z¯= 1 2(

∂ ∂u +i

∂ ∂v). Assim temos

Xz =

1

2(Xu−iXv), Xz¯= 1

2(Xu +iXv), e logo,

Xu =Xz+Xz¯, Xv =i(Xz−Xz¯).

Como X ´e conforme e_|Xu∧Xv|2 =|Xu|2|Xv|2− hXu, Xvi temos que,

|Xu∧Xv|=e2w.

Agora observe que

Xz∧X¯z = [

1

2(Xu−iXv)]∧[ 1

2(Xu+iXv)] = i

4Xu∧Xv− i

4Xv∧Xu = i

2Xu∧Xv, portanto

Xu∧Xv =−2iXz∧X¯z,

logo temos o campo normal unit´ario

N =₋2ie−2w_X

z∧X¯z. (1.5)

Note tamb´em que

hXz, Xzi=hXz¯, Xz¯i= 0 e hXz, Xz¯i=

1 2e

Estendemos as conex˜oes riemannianas em Σ eMǫa vetores complexos por linearidade

complexa, de modo que

Xzz = ¯∇XzXz = 1

4(Xuu−Xvv−2iXuv), Xzz¯= ¯∇XzXz¯= ¯∇1

2(Xu−iXv) 1

2(Xu +iXv) = 1

4(Xuu+Xvv) e

X¯zz¯= ¯∇Xz¯Xz¯= ¯∇1

2(Xu+iXv) 1

2(Xu+iXv) = 1

4(Xuu−Xvv+ 2iXvv).

Visto que as coodenadas (u, v) s˜ao conformes, obtemos de (1.3) e (1.4) a simetria a12 =a21. Assim, denotando-seNz = ¯∇XzN =

1

2(Nu−iNv), segue que −Nz = −

1

2(Nu−iNv) = 1

2{a11Xu+a21Xv−i(a12Xu+a22Xv)} = 1

2{(a11−ia12)Xu+ (a21−ia22)Xv} = 1

2{(a11−ia12)(Xz+Xz¯) + (a21−ia22)i(Xz−X¯z)} = 1

2{(a11−ia12+ia21)Xz+ (a11+a21−ia12−ia21)Xz¯} = 1

2{(a11+a22)Xz+ (a11−a22−2ia21)Xz¯} Desta forma

−Nz = ǫHXz +q0X¯z

−Nz¯ = ¯q0Xz+ǫHX¯z

em que

q0 =

1

Os coeficientes complexos da segunda forma s˜ao, q

2 := hXzz, Ni = _−hXz, Nzi

= _hXz, ǫHXz+q0X¯zi

= q0hXz, Xz¯i

= 1

2q0e

2w_,

hXzz¯, Ni = −hXz, Nz¯i

= _hXz,q¯0Xz +ǫHXz¯i

= ǫH_hXz, X¯zi

= ǫ 2He

2w_,

¯ q

2 = hXz¯¯z, Ni = _−hXz¯, Nz¯i

= 1 2q¯0e

2w_,

temos ainda,

hXz, Xzzi=hXz, Xzz¯i=hX¯z, Xz¯¯zi=hXz¯, Xzz¯i= 0,

hX¯z, Xzzi=∂zhXz¯, Xzi=

1 2∂z(e

2w_{) = e}2w_w

z

e

hXz, Xz¯z¯i=∂z¯hXz, X¯zi=

1 2∂z¯(e

2w

) =e2wwz¯.

Desta forma,

Xzz = 2wzXz+

ǫ 2qN, Xzz¯=Xzz¯ =

ǫ 2He

2w_N,

Xz¯z¯= 2wz¯X¯z+

Assim as equa¸c˜oes de Gauss-Codazzi s˜ao: ¯

∇XzXz = 2wzXz+ǫ q

2N , (1.7)

¯

∇XzXz¯ − ∇¯Xz¯Xz = 0, (1.8) ¯

∇XzXz¯ + ∇¯Xz¯Xz =ǫHe

2w_{N , (1.9)}

em que a curvatura m´edia H e a fun¸c˜ao de Hopf q s˜ao os coeficientes da segunda forma fundamental complexa de Σ com respeito ao campo normal unit´ario N = −2e−2w_X

z∧X¯z.

Agora, seja f : Σ _−→ N uma aplica¸c˜ao diferenci´avel C2 _{entre superf´ıcies de}

Riemann. Fixamos parˆametros conformes z = u+iv e w = x1 +ix2 em Σ e N,

respectivamente, de modo que f ´e localmente representada por

z =u+iv _−→f w=x1(u, v) +ix2(u, v)

Denotamos os coeficientes da m´etrica em N, nas coordenadas (x1, x2), por

gijN(x1, x2) =λ2(x1, x2)δij

ent˜ao os s´ımbolos de Christoffel da conex˜ao riemanniana correspondente, com respeito ao referencial _{∂x1, ∂x2}, s˜ao dados por

Γ1₁₁= Γ2₁₂= Γ2₂₁=₋Γ1₂₂= λx1

λ , Γ

2

22 = Γ112 = Γ121 =−Γ211 =

λx2 λ .

Sabemos quef ´e harmˆonica se, e somente se, sua express˜ao local satisfaz ∂2_x

i

∂z∂z¯+

X

j,k

Γijk

∂xj

∂z ∂xk

∂z¯ = 0, i= 1,2 Estas equa¸c˜oes correspondem a

∂2x1

∂z∂z¯ + Γ

1 11 ∂x1 ∂z ∂x1

∂z¯ − ∂x2

∂z ∂x2

∂z¯

+ Γ2₂₂

∂x1

∂z ∂x2

∂z¯ + ∂x2

∂z ∂x1

∂z¯

= 0 ∂2x2

∂z∂z¯ + Γ

2 22 ∂x1 ∂z ∂x1

∂z¯ − ∂x2

∂z ∂x2

∂z¯

+ Γ1₁₁

∂x1

∂z ∂x2

∂z¯ + ∂x2

∂z ∂x1

∂z¯

Ao somarmos a primeira equa¸c˜ao acima com a segunda multiplicada por i, obtemos

fzz¯+ (Γ111−iΓ222)

∂x1

∂z ∂x1

∂z¯ − ∂x2

∂z ∂x2

∂z¯

+i

∂x1

∂z ∂x2

∂z¯ + ∂x2

∂z ∂x1

∂z¯

= 0,

que pode ser expressa como

fzz¯+ (Γ1₁₁−iΓ2₂₂)

∂x1

∂z +i ∂x2

∂z

∂x1

∂z¯ +i ∂x2

∂z¯

= 0

ou, ainda, por

fzz¯+ (Γ1₁₁−iΓ2₂₂)fzfz¯= 0,

em que

Γ1₁₁₋iΓ2₂₂ = (Γ1₁₁₋iΓ2₂₂)f(z)

= 1

λ(f(z)){λx1(f(z))−iλx2(f(z))}

= 2

λ(f(z))λw(f(z)) Desta forma, f ´e harmˆonica se, e somente se,

fzz¯+

2

λ(f(z))λw(f(z))fzfz¯= 0 (1.10)

1.2

Grupos de Lie

Defini¸c˜ao 1.1. Um grupo de Lie G ´e uma variedade diferenci´avel C∞ _{com uma} estrutura de grupo e tal que a aplica¸c˜ao

µ : G_×G _−→ G (x, y) _7−→ xy−1 ´e diferenci´avel C∞_.

Segue-se imediatamente da defini¸c˜ao que, para cada g _∈G, as aplica¸c˜oes Lg :G −→ G

h _7−→ gh

Rg :G −→ G

s˜ao difeomorfismos de G. Lg e Rg s˜ao chamadas transla¸c˜oes `a esquerda e `a direita

respectivamente.

Defini¸c˜ao 1.2. Um campo X _∈ X(G), diz-se invariante `a esquerda se, somente se dLg(Xh) =Xgh.

Analogamente, X ´e invariante `a direita se, somente se dRg(Xh) = Xhg.

Se X ´e um campo invariante `a esquerda (respectivamente `a direita), ent˜ao para conhecer o campo basta conhecer o valor de Xe, ou seja, o valor do campo na

identi-dade e, pois

Xg =dLg(Xe) ∀g ∈G.

Defini¸c˜ao 1.3. Uma ´Algebra de Lie sobre um corpo F _{´e um espa¸co vetorial, sobre} F

munido com uma opera¸c˜ao[, ]chamada colchete de Lie, que ´e bilinear, anti-sim´etrica e satisfaz a igualdade de Jacobi, isto ´e: Um espa¸co vetorial L com [ , ] :L_×L_−→L

R_{-bilinear tal que, ∀x, y, z ∈L}

a) [x, y] =₋[y, x];

b) [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0.

A restri¸c˜ao do colchete de Lie de campos a campos invariantes `a esquerda define uma ´algebra de Lie. Isto significa que, dados campos invariantes `a esquerda V, W, o colchete [V, W] ´e tamb´em invariante `a esquerda. A ´algebra de Lie ´e igualmente definida como a ´algebra no espa¸co tangente, ou seja,

[Ve, We]≡[V, W](e).

Exemplos cl´assicos de grupos de Lie s˜ao encontrados no espa¸co vetorial Mn(R)

das matrizes n_×n reais, como subgrupos do grupo GLn(R) das matrizes invert´ıves.

A ´agebra de Lie de GLn(R) ´e isomorfa a Mn(R) com o colchete usual de matrizes

Define-se a exponencial de matrizes segundo a f´ormula

expM =I+M +1 2M

2_+...+ 1

k!M

k_{+... .}

Neste caso, temos exp : Mn(R) −→ GLn(R) . Uma f´ormula a ser utilizada mais

adiante, relacionando o colchete de Lie na ´algebra e o produto no grupo, ´e a seguinte

exp(tM)exp(tN) = exp(t(M +N) + t

2

2[M, N] +O(t

3_)),

onde os termos de terceira ordem dependem de aplica¸c˜oes repetidas do colchete de Lie.

1.3

Grupo de Heisenberg

O grupo de Heisenberg ´e uma variedade Riemanniana tridimensional. Do ponto de vista alg´ebrico ´e 2-nilpotente (ou quase-abeliano), a situa¸c˜ao mais perto de ser abeliano, ou seja, isomorfo a R3_{, e de um ponto de vista geom´etrico o grupo das}

isometrias tem dimens˜ao 4, o que ´e a dimens˜ao m´axima poss´ıvel para o grupo de isometrias de uma variedade Riemanniana tridimensional de curvatura seccional n˜ao constante. Aqui apresentaremos uma forma de construir o grupo de Heisenberg pela exponencial de um conjunto de matrizes triangulares superiores em M3(R), o motivo

dessa escolha ´e o fato de que, com esse processo, j´a obtemos sua ´algebra de Lie. Daremos as ferramentas b´asicas, nesse grupo, para podermos desenvolver estudos posteriores.

Considere as matrizes triˆangulares superiores em M3(R), da forma

h3 =

   

  

M =



  

0 √2τ x z 0 0 √2τ y

0 0 0



  

; (x, y, z)_∈R3

   

  

ondeτ ´e um parˆametro real positivo. Emh3 considere o colchete [ , ] :h3×h3 −→h3

i) h3 ´e um espa¸co vetorial;

ii) [ , ] :h3×h3 −→h3 ´e R-bilinear;

iii) [M, N] =₋[N, M], anti-sim´etrica;

iv) [[M, N], T] + [[N, T], M] + [[T, M], N] = 0.

Observamos que, se M =



  

0 √2τ x z 0 0 √2τ y

0 0 0



  

ent˜ao, M2 =



  

0 0 2τ xy

0 0 0

0 0 0



  

,

M3 =M2M = 0 (matriz nula) e_∀M, N, T _∈h3, [[M, N], T] = 0.

Assim obtemos,

A=expM = I+M+ 1 2M 2 =    

1 0 0 0 1 0 0 0 1

    +    

0 √2τ x z 0 0 √2τ y

0 0 0

    +1 2    

0 0 2τ xy

0 0 0

0 0 0

    =    

1 √2τ x z+τ xy

0 1 √2τ y

0 0 1



 

∈

GL3(R).

Portanto, exponenciando a ´algebra de Lie

h3 =

       M =    

0 √2τ x z 0 0 √2τ y

0 0 0



  

; (x, y, z)_∈R3

      

H_{3(τ) =}        A=    

1 √2τ x z+τ xy

0 1 √2τ y

0 0 1



  

; (x, y, z)_∈R3

       ,

denominado Grupo de Heisenberg.

Agora tomando a matriz A=expM emH_{3(τ), ondeM ∈h3 ´e representada pelas}

coordenadas (x, y, z)_∈R3_{, denominadas coordenadas exponenciais de}

A=



  

1 √2τ x z+τ xy

0 1 √2τ y

0 0 1



  

.

O uso destas coordenadas permite explicitar a estrutura de grupo em H_{3(τ). O}

produto emH_{3´e obtido por restri¸c˜ao do produto usual de matrizes emM3(}R_{). Assim,}

dadas as matrizes A eB representadas em cordenadas exponenciais por

A_7−→(x, y, z) e B _7−→(x′, y′, z′),

o produto de matrizes (A, B)_7−→AB ´e representado nestas mesmas coordenadas por

(x, y, z)_∗(x′, y′, z′) = (x+x′, y+y′, z+z′+τ(xy′₋x′y).

Na ´algebra de Lie h3, destacamos os vetores tangentes

e1 =∂x =



  

0 √2τ 0

0 0 0

0 0 0



  

, e2 =∂y =



  

0 0 0

0 0 √2τ

0 0 0



  

e e3 =∂z =



  

0 0 1 0 0 0 0 0 0



  

Observe que

[e1, e2] = 

  

0 √2τ 0

0 0 0

0 0 0

       

0 0 0

0 0 √2τ

0 0 0

    −    

0 0 0

0 0 √2τ

0 0 0

       

0 √2τ 0

0 0 0

0 0 0

    =    

0 0 2τ 0 0 0 0 0 0

   −    

0 0 0 0 0 0 0 0 0

    = 2τ    

0 0 1 0 0 0 0 0 0



  

= 2τ e3.

Sendo nulas as demais rela¸c˜oes. Da mesma forma, obtemos que [h3,h3] = R.e3 ≡ h

e [[h3,h3],h3] = [h,h3] = 0. Assim, a ´algebra de Lie ´e 2-nilpotente, com centro dado

por h.

Em seguida, determinamos os campos invariantes `a esquerda associados aos ve-tores e1, e2, e3. O subgrupo a um parˆametro gerado por e1 ´e a curva passando pela

identidade com velocidade e1, dada por

exp(te1) = I +te1+

t2 2e1

2 =    

1 0 0 0 1 0 0 0 1

    +    

0 √2τ t 0

0 0 0

0 0 0

    +    

0 0 0 0 0 0 0 0 0

    =    

1 √2τ t 0

0 1 0

0 0 1



  

.

passando pelo ponto A_∈H_{3(τ) com coordenadas (x, y, z) ´e dada por}

LA(exp(te1)) = A(exp(te1))

= (x, y, z)_∗(t,0,0) = (x+t, y, z ₋tτ y).

Derivando emt = 0, temos o campoE1 em A= (x, y, z)

E1

(x,y,z) =

d dt

t=0(x+t, y, z−tτ y)

= (1,0,₋τ y)

= (1,0,0)₋τ y(0,0,1) = ∂x−τ y∂z.

Da mesma forma, dado o vetor tangente e2 em h3, definimos a curva

exp(te2) = 

  

1 0 0

0 1 √2τ t

0 0 1



  

ou, em coordenadas exponenciais, t _7−→ (0, t,0). Da´ı a curva integral do campo E2

passando por A= (x, y, z) ´e

LA(exp(te2)) = (x, y+t, z +τ xt).

Derivando emt = 0, temos o campoE2 em A= (x, y, z)

E2

(x,y,z) =∂y +τ x∂z.

Analogamente obtemos

E3

(x,y,z) =∂z.

Assim os campos invariantes `a esquerda gerados por e1 = ∂x, e2 = ∂y e e3 = ∂z na

E1 = ∂x−τ y∂z,

E2 = ∂y+τ x∂z, (1.11)

E3 = ∂z.

Calculando os colchetes de Lie, temos

[E1, E2](x,y,z) = dL(x,y,z)[E1, E2]e

= dL(x,y,z)[e1, e2]

= dL(x,y,z)2τ e3

= 2τ E3,

sendo nulas as demais rela¸c˜oes. Ou seja,

[E1, E2] = 2τ E3 e [E1, E3] = [E2, E3] = 0. (1.12)

Definimos uma m´etrica em H_{3(τ), invariante `a esquerda, que denotamos por h., .i,}

de modo que os vetores e1, e2 ee3 sejam ortogonais e verifiquem

he1, e1i=he2, e2i= 1, he3, e3i=±1 := ǫ. (1.13)

Agora, escrevemos

   

  

∂x = E1+τ yE3

∂y = E2−τ xE3

∂z = E3

Assim, obtemos as componentes da m´etrica em termos de coordenadas exponenciais,

h∂x, ∂xi = hE1+τ yE3, E1+τ yE3i

= _hE1, E1i+τ yhE1, E3i+τ yhE3, E1i+τ2y2hE3, E3i

h∂y, ∂yi = hE2−τ xE3, E2−τ xE3i

= _hE2, E2i −τ xhE2, E3i −τ xhE3, E2i+τ2x2hE3, E3i

= 1 +ǫτ2x2

h∂z, ∂zi = hE3, E3i

= ǫ

h∂x, ∂yi = hE1+τ yE3, E2−τ xE3i

= _hE1, E2i −τ xhE1, E3i+τ yhE3, E2i −τ2xyhE3, E3i

= ₋ǫτ2xy

h∂x, ∂zi = hE1+τ yE3, E3i

= _hE1, E3i+τ yhE3, E3i

= ǫτ y

h∂y, ∂zi = hE2 −τ xE3, E3i

= _hE2, E3i −τ xhE3, E3i

= ₋ǫτ x.

Logo, a m´etrica invariante `a esquerda que fixamos em H_{3(τ) ´e dada por}

ds2 =dx2+dy2+ǫ(τ ydx₋τ xdy+dz)2. (1.14) De agora em diante, o grupo de Heisenberg H_{3(τ) dotado com esta m´etrica ser´a}

denotado por H_{3(ǫ, τ).}

Lembrando que, se X, Y e Z s˜ao campos invariantes `a esquerda ent˜ao _hX, Y_i = constante. Consequentemente a f´ormula da conex˜ao se reduz a

2_h∇XY, Zi=h[X, Y], Zi − h[Y, Z], Xi+h[Z, X], Yi. (1.15)

Lema 1.4. Os campos invariantes `a esquerda_{E1, E2, E3} satisfazem

¯

∇E1E1 = 0 ∇¯E2E1 =−τ E3 ∇¯E3E1 =ǫτ E2 ¯

∇E1E2 =τ E3 ∇¯E2E2 = 0 ∇¯E3E2 =ǫτ E1 ¯

∇E1E3 =−ǫτ E2 ∇¯E2E3 =ǫτ E1 ∇¯E3E3 = 0, e os s´ımbolos de Christoffel, Γk

ij, da conex˜ao em H3(ǫ, τ) definidos por

¯

∇EiEj = Γ

k ijEk

s˜ao dados por

Γ3₁₂=τ =₋Γ3₂₁, Γ2₁₃=₋ǫτ = Γ2₃₁, Γ1₂₃=ǫτ = Γ1₃₂.

Sendo nulos os demais.

Demonstra¸c˜ao. Substituindo os camposE1, E2eE3na equa¸c˜ao (1.15) e de (1.12),(1.13),

obtemos,

2_h∇¯E1E1, E3i=h[E1, E1], E3i − h[E1, E3], E1i+h[E3, E1], E1i= 0,

o que implica ¯_∇E1E1 = 0,

2_h∇¯E2E1, E3i=h[E2, E1], E3i − h[E1, E3], E2i+h[E3, E2], E1i=h−2τ E3, E3i,

da´ı ¯_∇E2E1 =−τ E3,

2_h∇¯E3E1, E2i = h[E3, E1], E2i − h[E1, E2], E3i+h[E2, E3], E1i = _−h2τ E3, E3i

= ₋2ǫτ,

assim ¯_∇E3E1 =−ǫτ E2.An´alogamente encontramos ¯

∇E1E2 = τ E3, ∇¯E2E2 = 0, ∇¯E3E2 =ǫτ E1, ∇¯E1E3 =−ǫτ E2, ¯

Agora tomando

¯

∇EiEj = Γ

k ijEk,

temos que ¯_∇E1E2 = Γ

1

12E1+ Γ212E2+ Γ312E3, assim h∇¯E1E2, E3i = hΓ

1

12E1 + Γ212E2+ Γ312E3, E3i hτ E3, E3i = Γ312hE3, E3i

τ ǫ = Γ3₁₂ǫ,

logo Γ3

12 =τ. Analogamente, fazendoh∇¯E2E1, E3i,h∇¯E1E3, E2i,h∇¯E3E1, E2i,h∇¯E2E3, E1i, h∇¯E3E2, E1i, encontramos respectivamente que Γ

3

21 = −τ, Γ213 = −ǫτ, Γ231 = −ǫτ,

Γ1

23 = ǫτ e Γ132 = ǫτ. Como ¯∇E1E1 = 0, ∇¯E2E2 = 0 e ¯∇E3E3 = 0, segue que Γk

11= 0, Γk22 = 0 e Γk33 = 0 com k = 1,2,3,hE1, E2i= 0, hE1, E3i= 0 e hE2, E3i= 0

segue que Γ1

12= Γ212= Γ113= Γ313= Γ121= Γ221 = Γ223 = Γ323 = Γ131 = Γ231 = Γ232 = Γ332 = 0.

E o resultado segue.

Por fim o tensor de curvatura emH_{3(ǫ, τ) ´e determinado no referencial{E1, E2, E3}}

por

¯

R(E1, E2)E3 = ∇¯E2∇¯E1E3−∇¯E1∇¯E2E3+ ¯∇[E1,E2]E3 = _∇¯E2(−ǫτ E2)−∇¯E1(ǫτ E1) + ¯∇2τ E3E3 = ₋ǫτ_∇¯E2E2−ǫτ∇¯E1E1+ 2τ∇¯E3E3 = 0.

Analogamente, ¯

R(E2, E3)E1 = 0, R(E¯ 3, E1)E2 = 0, R(E¯ 1, E2)E2 = 3ǫτ2E1,

¯

Cap´ıtulo 2

A Representa¸c˜

ao Espinorial.

Durante os ´ultimos anos, a ferramenta spinorial vem sendo usada no estudo da geometria e na topologia de subvariedades. A abordagem spinorial permite resolver naturalmente alguns problemas geom´etricos de subvariedades (para aprofundamento veja, [13], [14] e[15]). Tamb´em v´arios resultados as variedades homogˆeneas tridimen-sionais com grupo de isometrias de dimens˜ao quatro foram obtidos, particularmente relativos `a curvatura m´ınima e curvatura m´edia constante (veja, [8] e [20]). Assim, neste cap´ıtulo iremos obter uma representa¸c˜ao generalizada tipo Weierstrass em ter-mos de spinos, satisfazendo uma equa¸c˜ao de Dirac, para superf´ıcies com curvatura m´edia prescrita no espa¸co de Heisenberg.

Seja X : Σ _−→ H_{3(ǫ, τ) uma imers˜ao isom´etrica de uma superf´ıcie de Riemann}

simplesmente conexa Σ emH_{3(ǫ, τ). Dado um parˆametro conformez =u+iv em Σ,}

a express˜ao local para a m´etrica induzida em Σ ´e dσ2 =e2w_|dz_|2. De fato, comoX ´e conforme temos que

|Xu|=|Xv|=ew e hXu, Xvi= 0.

Ou seja _hXu, Xui=|Xu|2 =e2w, hXv, Xvi=|Xv|2 =e2w e hXv, Xvi= 0, assim

em que w(z,z) ´e uma fun¸c˜ao positiva localmente definida em Σ. Ent˜ao temos da¯ sec¸c˜ao (1.1) que,

hXz, Xzi=hXz¯, X¯zi= 0 e hXz, X¯zi=

1 2e

2w_.

(2.1)

E que as equa¸c˜oes de Gauss-Codazzi para X s˜ao: ¯

∇XzXz = 2wzXz+ǫ q

2N , (2.2)

¯

∇XzXz¯ − ∇¯Xz¯Xz = 0, (2.3) ¯

∇XzXz¯ + ∇¯Xz¯Xz =ǫHe

2w_{N , (2.4)}

onde a curvatura m´ediaH e a fun¸c˜ao de Hopfq s˜ao os coeficientes da segunda forma fundamental complexa de Σ com respeito ao campo normal unit´ario

N =₋2e−2w_X

z∧X¯z.

Aqui o produto exterior ´e determinado no referencial _{E1, E2, E3} por

E1∧E2 =ǫE3, E2∧E3 =E1, E3 ∧E1 =E2.

Usando os campos invariantes `a esquerda, escrevemos

Xz =

3 X

j=1

ZjEj

X, Xz¯=

3 X

j=1

¯ ZjEj

X, (2.5)

em que Zj(z,z), com¯ j = 1,2,3, s˜ao fu¸c˜oes de valores complexos. De (1.13) e (2.1)

temos

0 =_hXz, Xzi = hZ1E1+Z2E2 +Z3E3, Z1E1+Z2E2+Z3E3i

= (Z1)2+ (Z2)2+ǫ(Z3)2,

0 =_hX¯z, Xz¯i = hZ¯1E1+ ¯Z2E2 + ¯Z3E3,Z¯1E1+ ¯Z2E2+ ¯Z3E3i

1 2e

2w

=_hXz, Xz¯i = hZ1E1 +Z2E2+Z3E3,Z¯1E1+ ¯Z2E2+ ¯Z3E3i

= Z1Z¯1+Z2Z¯2+ǫZ3Z¯3 = _|Z1_|2 +_|Z2_|2+ǫ_|Z3_|2,

e

Xz ∧X¯z = (Z1E1+Z2E2+Z3E3)∧( ¯Z1E1+ ¯Z2E2+ ¯Z3E3)

= Z1Z¯2E1∧E2+Z1Z¯3E1∧E3+Z2Z¯1E2∧E1+Z2Z¯3E2∧E3

+Z3Z¯1E3∧E1+Z3Z¯2E3∧E2

= Z1Z¯2ǫE3−Z1Z¯3E2−Z2Z¯1ǫE3+Z2Z¯3E1+Z3Z¯1ǫE2−Z3Z¯2ǫE1

= (Z2Z¯3₋Z3Z¯2)E1+ (Z3Z¯1−Z1Z¯3)E2 +ǫ(Z1Z¯2−Z2Z¯1)E3.

Portanto temos

(Z1)2 + (Z2)2+ǫ(Z3)2 = 0, (2.6) |Z1_|2+_|Z2_|2+ǫ_|Z3_|2 = 1

2e

2w_{, (2.7)}

e

N = 2ie−2w_((Z3_Z¯2

−Z2Z¯3)E1+ (Z1Z¯3−Z¯1Z3)E2+ǫ( ¯Z1Z2−Z1Z¯2)E3). (2.8)

Usando o Lema(1.4), provamos que as equa¸c˜oes de Gauss-Codazzi(2.2), (2.3) e (2.4) s˜ao respectivamente equivalentes a

∂zZ1+ 2ǫτ Z2Z3 = 2wzZ1+iǫqe−2w( ¯Z2Z3−Z2Z¯3) (2.9)

∂zZ2−2ǫτ Z1Z3 = 2wzZ2+iǫqe−2w(Z2Z¯3−Z¯1Z3) (2.10)

∂zZ3 = 2wzZ3+iǫqe−2w( ¯Z1Z2−Z1Z¯2), (2.11)

−∂z¯Z1+∂zZ¯1 = 0 (2.12)

−∂z¯Z2+∂zZ¯2 = 0 (2.13)

e

∂z¯Z1+∂zZ¯1+ 2ǫτ(Z3Z¯2+ ¯Z3Z2) = 2iH( ¯Z2Z3 −Z2Z¯3) (2.15)

∂z¯Z2+∂zZ¯2−2ǫτ(Z3Z¯1+ ¯Z3Z1) = 2iH(Z1Z¯3 −Z¯1Z2) (2.16)

∂¯zZ3+∂zZ¯3 = 2iH( ¯Z1Z2 −Z1Z¯2). (2.17)

De fato, fazendo ¯

∇XzXz = ∇¯Xz(Z

1_E

1+Z2E2+Z3E3)

= Z1_∇¯XzE1+Xz(Z1)E1+Z

2_∇¯

XzE2+Xz(Z2)E2+Z

3_∇¯

XzE3+Xz(Z3)E3, tome Xz(Zj) = ∂zZj. Assim

Z1_∇¯XzE1+Xz(Z

1_)E

1 = Z1∇¯Z1_E

1+Z2E2+Z3E3E1 +∂z(Z

1_)E

1

= (Z1₎2_∇¯

E1E1+Z

1_Z2_∇¯

E2E1+Z

1_Z3_∇¯

E3E1+∂z(Z

1_)E

1

= ∂zZ1E1−ǫτ Z1Z3E2−τ Z1Z2E3,

Z2_∇¯XzE2+Xz(Z

2_)E

2 = Z2∇¯Z1_E

1+Z2E2+Z3E3E2 +∂z(Z

2_)E

2

= Z1Z2_∇¯E1E2+ (Z

2₎2_¯

∇E2E2+Z

2_Z3_¯

∇E3E2+∂z(Z

2_)E

2

= ǫτ Z2Z3E1 +∂zZ2E2+τ Z1Z2E3

e

Z3_∇¯XzE3+Xz(Z

3_)E

3 = Z3∇¯Z1_E

1+Z2E2+Z3E3E3 +∂z(Z

3_)E

3

= Z1Z3_∇¯E1E3+Z

2_Z3_¯

∇E2E3+ (Z

3₎2_¯

∇E3E3+∂z(Z

3_)E

3

= ǫτ Z2Z3E1 −ǫτ Z1Z3E3+∂zZ3E3.

Desta forma ¯

∇XzXz = (∂zZ

1_{+ 2ǫτ Z}2_Z3_)E

1 + (∂zZ2−2ǫτ Z1Z3)E2+ (∂zZ3)E3. (2.18)

De

2wzXz = 2wz(Z1E1+Z2E2+Z3E3)

e ǫ

2qN = ǫ 2q2ie

−2w

[(Z3Z¯2₋Z2Z¯3)E1+ (Z1Z¯3−Z¯1Z3)E2+ǫ( ¯Z1Z2−Z1Z¯2)E3],

temos

2wzXz +

ǫ

2qN = [2wzZ

1_+iǫqe−2w_(Z3_Z¯2

−Z2Z¯3)]E1

+[2wzZ2+iǫqe−2w(Z1Z¯3−Z¯1Z3)]E2 (2.19)

+[2wzZ3+iqe−2w( ¯Z1Z2−Z1Z¯2)]E3.

Logo de (2.2), (2.18) e (2.19), obtemos (2.9),(2.10) e (2.11). Agora fazendo ¯

∇XzXz¯ = ∇¯Xz( ¯Z

1_E

1+ ¯Z2E2+ ¯Z3E3)

= Z¯1_∇¯XzE1+Xz(¯z

1_)E

1+ ¯Z2∇¯XzE2+Xz( ¯Z

2_)E

2+ ¯Z3∇¯XzE3+Xz( ¯Z

3_)E

3,

e calculando ¯

Z1_∇¯XzE1+Xz( ¯Z

1_)E

1 = Z¯1∇¯Z1_E

1+Z2E2+Z3E3E1+∂z( ¯Z

1_)E

1

= Z¯1Z1_∇¯E1E1+ ¯Z

1_Z2_¯

∇E2E1+ ¯Z

1_Z3_¯

∇E3E1+∂z( ¯Z

1_)E

1

= ∂zZ¯1E1−ǫτZ¯1Z3E2−τZ¯1Z2E3,

¯

Z2_∇¯XzE2+Xz( ¯Z

2_)E

2 = Z¯2∇¯Z1_E

1+Z2E2+Z3E3E2+∂z( ¯Z

2_)E

2

= Z1Z¯2_∇¯E1E2+ ¯Z

2_Z2_¯

∇E2E2+ ¯Z

2_Z3_¯

∇E3E2+∂z( ¯Z

2_)E

2

= ǫτZ¯2Z3E1+∂zZ¯2E2+τ Z1Z¯2E3

e ¯

Z3_∇¯XzE3+Xz( ¯Z

3_)E

3 = Z¯3∇¯Z1_E

1+Z2E2+Z3E3E3+∂z( ¯Z

3_)E

3

= Z1Z¯3_∇¯E1E3+Z

2_Z¯3_¯

∇E2E3+Z

3_Z¯3_¯

∇E3E3+∂z( ¯Z

3_)E

3

= ǫτ Z2Z¯3E1−ǫτ Z1Z¯3E2+∂zZ¯3E3,

obtemos

¯

∇XzXz¯ = [∂zz¯

1 _{+ǫτ( ¯Z}2_Z3_+Z2_Z¯3_)]E

1

+[∂zz¯2−ǫτ( ¯Z1Z3+Z1Z¯3)]E2 (2.20)

Agora fazendo ¯

∇Xz¯Xz = ∇¯Xz¯(Z

1_E

1+Z2E2+Z3E3)

= Z1_∇¯X¯zE1+Xz¯(Z1)E1+Z

2_¯

∇X¯zE2+Xz¯(Z2)E2+Z

3_¯

∇X¯zE3+Xz¯(Z3)E3,

e calculando

Z1_∇¯X¯zE1+Xz¯(Z

1_)E

1 = Z1∇¯Z¯1_E

1+ ¯Z2E2+ ¯Z3E3E1+∂¯z(Z

1_)E

1

= Z1Z¯1_∇¯E1E1+Z

1_Z¯2_¯

∇E2E1+Z

1_Z¯3_¯

∇E3E1+∂¯z(Z

1_)E

1

= ∂z¯Z1E1−ǫτ Z1Z¯3E2−τ Z1Z¯2E3,

Z2_∇¯X¯zE2+Xz¯(Z

2_)E

2 = Z2∇¯_Z¯1_E

1+ ¯Z2E2+ ¯Z3E3E2+∂¯z(Z

2_)E

2

= Z¯1Z2_∇¯E1E2+ ¯Z

2_Z2_¯

∇E2E2+Z

2_Z¯3_¯

∇E3E2+∂¯z(Z

2_)E

2

= ǫτ Z2Z¯3E1+∂Z¯Z2E2+τZ¯1Z2E3

e

Z3_∇¯X¯zE3+Xz¯(Z

3_)E

3 = Z3∇¯Z¯1_E

1+ ¯Z2E2+ ¯Z3E3E3+∂¯z(Z

3_)E

3

= Z¯1Z3_∇¯E1E3+ ¯Z

2_Z3_¯

∇E2E3+Z

3_Z¯3_¯

∇E3E3+∂¯z(Z

3_)E

3

= ǫτZ¯2Z3E1−ǫτZ¯1Z3E2+∂Z¯Z3E3,

obtemos

¯

∇X¯zXz = [∂z¯Z

1_{+ǫτ( ¯Z}2_Z3_+Z2_Z¯3_)]E

1

+[∂z¯Z2−ǫτ( ¯Z1Z3+Z1Z¯3)]E2 (2.21)

+[∂z¯Z3+τ( ¯Z1Z2+Z1Z¯2)]E3.

De (2.3), (2.20) e (2.21), temos

∂zZ¯1 = ∂z¯Z1

∂zZ¯2 = ∂z¯Z2

Portanto, conseguimos (2.12), (2.13) e (2.14). E finalmente de (2.4), (2.20), (2.21) e que

He2wN = He2w2ie−2w_[(Z3_Z¯2 _−Z2_Z¯3_)E

1+ (Z1Z¯3−Z¯1Z3)E2+ǫ( ¯Z1Z2−Z1Z¯2)E3)]

= 2iH[(Z3Z¯2₋Z2Z¯3)E1+ (Z1Z¯3−Z¯1Z3)E2+ǫ( ¯Z1Z2−Z1Z¯2)E3)],

obtemos (2.15), (2.16) e (2.17).

Agora vamos definir fun¸c˜oes ψ1 eψ2, tais que

Z1 = 1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)

Z2 = i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12) (2.22)

Z3 = ψ1ψ¯2,

isto ´e,

Z1+iZ2 = 1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)−

1 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)

= ₋ǫψ12

¯

Z1+iZ¯2 = 1 2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

) +i[₋i 2(ψ2

2

+ǫψ¯1 2

)] = 1

2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

) + 1 2(ψ2

2

+ǫψ¯1 2

) = ψ22,

portanto

Z1+iZ2 =₋ǫψ12 e Z¯1+iZ¯2 =ψ22.

Como

N = 2ie−2w_((Z3_Z¯2

−Z2Z¯3)E1+ (Z1Z¯3−Z¯1Z3)E2+ǫ( ¯Z1Z2−Z1Z¯2)E3),

calculando

¯

Z2Z3 = ₋i 2(ψ2

2

+ǫψ¯1 2

)ψ1ψ¯2

= ₋i

2(ψ1ψ2|ψ2|

2_+ǫψ¯

e

Z2Z¯3 = i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12) ¯ψ1ψ2

= i

2( ¯ψ1ψ¯2|ψ2|

2 _+ǫψ

2ψ1|ψ1|2),

obtemos ¯

Z2Z3₋Z2Z¯3 _{= −}i

2(ψ1ψ2|ψ2|

2_+ǫψ¯

1ψ¯2|ψ1|2)−

i

2( ¯ψ1ψ¯2|ψ2|

2_+ǫψ

2ψ1|ψ1|2)

= ₋i

2ψ1ψ2(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)−

i

2ψ¯1ψ¯2(ǫ|ψ1|

2₊

|ψ2|2)

= ₋i

2(ψ1ψ2+ ¯ψ1ψ¯2)(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2).

Calculando

Z1Z¯3 = 1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12) ¯ψ1ψ2

= 1

2( ¯ψ1ψ¯2|ψ2|

2

−ǫψ1ψ2|ψ1|2)

e

¯

Z1Z3 = 1 2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

)ψ1ψ¯2

= 1

2(ψ1ψ2|ψ2|

2

−ǫψ¯1ψ¯2|ψ1|2),

obtemos

Z1Z¯3₋Z¯1Z3 = 1

2( ¯ψ1ψ¯2|ψ2|

2

−ǫψ1ψ2|ψ1|2)−

1

2(ψ1ψ2|ψ2|

2

−ǫψ¯1ψ¯2|ψ1|2)

= 1

2ψ¯1ψ¯2(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)−

1

2ψ1ψ2(ǫ|ψ1|

2₊

|ψ2|2)

= 1

2( ¯ψ1ψ¯2 −ψ1ψ2)(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2).

Calculando

¯

Z1Z2 = 1 2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

)i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)

= i 4(|ψ2|

4_+ǫψ

12ψ22−ǫψ¯1

2 _¯

ψ2 2

e

Z1Z¯2 = 1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)(−

i 2 )(ψ2

2_+ǫψ¯

1 2

) = −i

4 (|ψ2|

4_+ǫψ¯

1

2 _¯

ψ2 2

−ǫψ12ψ22 −ǫ2|ψ1|4),

obtemos ¯

Z1Z2₋Z1Z¯2 = i 4(|ψ2|

4_+ǫψ

12ψ22−ǫψ¯1

2 _¯

ψ2 2

−ǫ2_|ψ1|4)

+i 4(|ψ2|

4_+ǫψ¯

12ψ¯22−ǫψ12ψ22 −ǫ2|ψ1|4)

= i 2(|ψ2|

4

−ǫ2_|ψ1|4)

= i 2(|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2)(|ψ2|2 +ǫ|ψ1|2).

Assim temos que

N = 2ie−2w[₋i

2(ψ1ψ2+ ¯ψ1ψ¯2)(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)E1

+1

2( ¯ψ1ψ¯2−ψ1ψ2)(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)E2

+i 2(|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2)(|ψ2|2+ǫ|ψ1|2)E3].

Agora calculando

|Z1_|2 = Z1Z¯1 = 1

2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)

1 2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

) = 1

4(|ψ2|

4 −ǫψ¯1

2 _¯

ψ2 2

−ǫψ12ψ22 +ǫ2|ψ1|4), |Z2_|2 = Z2Z¯2

= i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)(−

i 2 )(ψ2

2

+ǫψ12)

= 1 4(|ψ2|

4_+ǫψ¯

1

2 _¯

ψ2 2

+ǫ2_|ψ1|4)

e

|Z3_|2 = Z3Z¯3 = ψ1ψ¯2ψ¯1ψ2

Substituindo as equa¸c˜oes acima em _|Z1_|2+_|Z2_|2+ǫ_|Z3_|2 = 1 2e

2w_{, obtemos}

1 2e

2w

= 1 2(|ψ2|

4_+ǫ2

|ψ1|4) +ǫ|ψ1|2|ψ2|2

= 1 2(|ψ2|

4_{+ 2ǫ}

|ψ1|2|ψ2|2+ǫ2|ψ1|4)

= 1 2(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)2,

assim

e2w = (_|ψ2|2+ǫ|ψ1|2)2.

Desta forma

N =e−w((ψ1ψ2 + ¯ψ1ψ¯2)E1+i( ¯ψ1ψ¯2−ψ1ψ2)E2−(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)E3). (2.23)

Que ´e o campo normal unit´ario em termos das fun¸c˜oes ψ1 e ψ2. Quando ǫ = −1,

podemos supor sem perda de generalidade _|ψ2|>|ψ1|, assim

ew =_|ψ2|2+ǫ|ψ1|2.

Agora queremos determinar fun¸c˜oes U eV tais que

∂z¯ψ1 =V ψ2 e ∂zψ2 =−U ψ1. (2.24)

Passamos, portanto, `a dedu¸c˜ao destas fun¸c˜oes. De (2.12) e (2.13) temos

0 = ₋∂z¯Z1 +∂zZ¯1

= ₋∂z¯

h1

2( ¯ψ2

2

−ǫψ12) i

+∂z

h1

2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

)i = ₋1

2∂z¯ψ¯2

2

+ ǫ 2∂z¯ψ1

2₊ 1

2∂zψ2

2 − ǫ

2∂zψ¯1

2

(2.25)

e

0 = ₋∂z¯Z2+∂zZ¯2

= ₋∂z¯

hi

2( ¯ψ2

2

+ǫψ12) i

+∂z

h

(−i 2 )(ψ2

2

+ǫψ¯1 2

)i = ₋i

2∂z¯ψ¯2

2

− iǫ₂∂z¯ψ12−

i 2∂zψ2

2

− iǫ₂∂zψ¯1 2

Somando (2.25) e (2.26) multiplicado por i, obtemos

0 = ₋1 2∂z¯ψ¯2

2

+ ǫ 2∂z¯ψ1

2

+ 1 2∂zψ2

2

− ₂ǫ∂zψ¯1 2

+1 2∂z¯ψ¯2

2

+ ǫ 2∂z¯ψ1

2

+1 2∂zψ2

2

+ ǫ 2∂zψ¯1

2

= ǫ∂z¯ψ¯1 2

+∂zψ22,

portanto

∂¯z(ǫψ12) +∂z(ψ22) = 0.

Usando a condi¸c˜ao (2.24), temos

∂z¯(ǫψ12) = 2ǫψ1∂z¯ψ1

= 2ǫψ1V ψ2

e

∂z(ψ22) = 2ψ2∂zψ2

= 2ψ2(−U ψ1),

ou seja,

2ψ1ψ2(ǫV −U) = 0.

Logo

ǫV ₋U = 0. (2.27)

Agora calculando

∂z¯Z1+∂zZ¯1 =

1 2∂z¯ψ¯2

2 − 1

2∂¯z(ǫψ1

2_{) +} 1

2∂zψ2

2 − 1

2∂z(ǫψ¯1

2

),

2ǫτ(Z3Z¯2+ ¯Z3Z2) = 2ǫτh₋ i

2(ψ1ψ2|ψ2|

2_+ǫψ¯

1ψ¯2|ψ1|2) +

i

2( ¯ψ1ψ¯2|ψ2|

2_+ǫψ

1ψ2|ψ1|2) i

= 2ǫτh₋ i

2ψ1ψ2(|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2) +

i

2ψ¯1ψ¯2(|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2) i

= 2ǫτh₋ i 2(|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2)(ψ1ψ2−ψ¯1ψ¯2) i

e

2iH( ¯Z2Z3₋Z2Z¯3) = 2iH(−i

2 )(ψ1ψ2+ ¯ψ1ψ¯2)(|ψ2|

2_+ǫ|ψ

1|2)

= H(_|ψ2|2+ǫ|ψ1|2)(ψ1ψ2+ ¯ψ1ψ¯2),

obtemos para (2.15) −1₂∂¯z(ǫψ12)+

1 2∂zψ2

2

−iǫτ(_|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)(ψ1ψ2−ψ¯1ψ¯2) =H(|ψ2|2+ǫ|ψ1|2)(ψ1ψ2+ ¯ψ1ψ¯2).

(2.28) Calculando

i(∂z¯Z2+∂zZ¯2) = i

hi

2∂¯zψ¯2

2

+ i

2∂¯z(ǫψ1

2

)₋ i 2∂zψ2

2

− ₂i∂z(ǫψ¯1 2

)i = ₋1

2∂z¯ψ¯2

2

− 1₂∂z¯(ǫψ12) +

1 2∂zψ2

2

+1 2∂z(ǫψ¯1

2

),

−2iǫτ(Z3Z¯1+ ¯Z3Z1) = ₋2iǫτh1

2(ψ1ψ2|ψ2|

2

−ǫψ¯1ψ¯2|ψ1|2) +

1

2( ¯ψ1ψ¯2|ψ2|

2

−ǫψ1ψ2|ψ1|2) i

= ₋2iǫτh1

2ψ1ψ2(|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2) +

1

2ψ¯1ψ¯2(|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2) i

= ₋2iǫτh1 2(|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2)(ψ1ψ2+ ¯ψ1ψ¯2) i

= ₋iǫτ(_|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)(ψ1ψ2+ ¯ψ1ψ¯2)

e

−2H(Z1Z¯3₋Z¯1Z2) = ₋H1

2( ¯ψ1ψ¯2−ψ1ψ2)(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)

= ₋H(_|ψ2|2+ǫ|ψ1|2)( ¯ψ1ψ¯2−ψ1ψ2),

obtemos para (2.16) multiplicado por i −1

2∂¯z(ǫψ1

2₎₊1

2∂zψ2

2

−iǫτh1 2(|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2)(ψ1ψ2+ ¯ψ1ψ¯2) i

=₋H(_|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)( ¯ψ1ψ¯2−ψ1ψ2).

(2.29) Somando (2.28) e (2.29), obtemos

∂z¯(−ǫψ12) +∂zψ22 −iǫτ(|ψ2|2 −ǫ|ψ1|2)(ψ1ψ2+ ¯ψ1ψ¯2 +ψ1ψ2−ψ¯1ψ¯2)

que ´e igual a

∂z¯(−ǫψ12) +∂zψ22−2iǫτ ψ1ψ2(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2) = 2Hψ1ψ2(|ψ2|2+ǫ|ψ1|2).

Resolvendo as derivadas, obtemos

−2ǫψ1∂z¯(ψ1) + 2ψ2∂zψ2−2iǫτ ψ1ψ2(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2) = 2Hψ1ψ2(|ψ2|2+ǫ|ψ1|2).

Substituindo a condi¸c˜ao (2.24) na equa¸c˜ao acima, temos

−2ǫψ1V ψ2−2ψ2U ψ1−2iǫτ ψ1ψ2(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2) = 2Hψ1ψ2(|ψ2|2+ǫ|ψ1|2),

eliminando o fator ₋2ψ1ψ2, obtemos

ǫV +U =₋H(_|ψ2|2+ǫ|ψ1|2)−iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2).

Logo com a equa¸c˜ao acima e a equa¸c˜ao (2.27), temos o sistema

(

ǫV + U = ₋H(_|ψ2|2+ǫ|ψ1|2)−iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)

ǫV ₋ U = 0

Resolvendo o sistema para U e V, obtemos U = ₋1

2(H(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2) +iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)),

V = ₋ǫ

2(H(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2) +iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)).

Estes c´alculos permitem enuciar o seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 2.1. Seja X : Σ_−→H_{3(ǫ, τ) uma ismers˜ao isom´etrica. Ent˜ao o campo}

de spinors ψ = (ψ1, ψ2), definido pelas equa¸c˜oes (2.5) e (2.22), satisfaz a equa¸c˜ao de

Dirac Dψ = 0, em que

D = 0 ∂z

−∂z¯ 0 !

+ U 0

0 V

!

, (2.30)

com pontenciais

U =₋1

2(H(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2) +iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)) (2.31)

e

V =₋ǫ

2(H(|ψ2|

2_+ǫ

A seguir, expomos uma representa¸c˜ao local do tipo Weierstrass para superf´ıcies no espa¸co H_{3(ǫ, τ). Inicialmente, observamos que qualquer superf´ıcie em} H_{3(ǫ, τ) pode}

ser representada localmente por integrais. Assim, utilizamos a seguinte vers˜ao do Teorema Fundamental do C´alculo.

Teorema 2.2. Seja Σ uma superf´ıcie de Riemann. Se c : [a, b] _−→ Σ ´e uma curva diferenci´avel por partes e f _∈C∞_{(Σ), ent˜ao}

Z

c

df =f(c(b))₋f(c(a)).

Seja X : Σ _−→ H_{3(ǫ, τ) uma imers˜ao. Denotamos como antes, por z = u+iv}

um parˆametro conforme em um dom´ınio Ω_⊂ Σ, onde a imers˜ao ´e representada, em termos das coordenadas (x1, x2, x3) de H3(ǫ, τ), por

X(z) = (x1(z), x2(z), x3(z))

ou

X(u, v) = (x1(u, v), x2(u, v), x3(u, v)).

Logo em Ω, temos

Xz =φ1∂x1 +φ2∂x2 +φ3∂x3, em que φk =

∂xk

∂z , k = 1,2,3. Observamos que φkdz =

∂xk

∂z dz

= 1 2

∂x_k

∂u −i ∂xk

∂v

(du+idv) = 1

2

h∂x_k

∂udu+ ∂xk

∂v dv+i

∂x_k

∂u dv− ∂xk

∂v du

i

.

Portanto

Re(φkdz) =

1 2

∂x_k

∂udu+ ∂xk

∂v dv

= 1 2dxk.

Assim uma vez que dxk ´e exata, dado um caminho fechado c:I −→Ω⊂Σ, temos

Re

Z

c

φkdz =

Z

c

Re(φkdz) =

1 2

Z

c

Este fato diz que a forma local φkdz n˜ao tem per´ıodos reais, e ´e equivalente ao fato

de que a integral de linha n˜ao depende do caminho escolhido. Portanto, a aplica¸c˜ao z _7−→Re

Z

γz φkdz,

onde γz ´e um caminho em Ω de z0 a z, est´a bem definida. Denotamos esta fun¸c˜ao

simplesmente por:

z _7−→Re

Z z

z0 φkdz.

Pela vers˜ao anterior do teorema fundamental do c´alculo, Teorema2.2, ´e v´alido que Re

Z z

z0

φkdz =

1 2

Z z

z0

dxk =

1

2(xk(z)−xk(z0)). Portanto,

xk(z) = xk(z0) + 2Re

Z z

z0 φkdz.

Como

Xz =

3 X

j=1

ZjEj

X,

ent˜ao,

Xz = Z1(∂x1 −τ x2∂x3) +Z

2_(∂

x2+τ x1∂x3) +Z

3_∂

x3 = Z1∂x1 +Z

2_∂

x2 + (−Z

1_{τ x}

2 +Z2τ x1+Z3)∂x3.

Desta forma conclu´ımos que

φ1 =Z1 =

1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12),

φ2 =Z2 =

i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12),

e

φ3 = −Z1τ x2+Z2τ x1+Z3

= ₋1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)τ x2+

i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)τ x1+ψ1ψ2

= τ 2[i( ¯ψ2

2

+ǫψ12)x1−( ¯ψ2 2

Portanto, temos

x1(z) = x1(z0) + 2Re

Z z

z0 1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)dz,

x2(z) = x2(z0) + 2Re

Z z

z0 i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)dz,

x3(z) = x3(z0) + 2Re

Z z

z0

τ

2(i( ¯ψ2

2

+ǫψ12)x1−( ¯ψ2 2

−ǫψ12)x2) +ψ1ψ2

dz.

O teorema a seguir diz que a representa¸c˜ao integral acima pode ser obtida a partir das fun¸c˜oesψ1 eψ2, desde que verifiquem a equa¸c˜ao de Dirac em H3(ǫ, τ). Para obter

tal representa¸c˜ao, utilizamos os seguintes lemas

Lema 2.3. Seja φ : Ω _⊂ Σ _−→ C _{uma fun¸c˜ao de classe C}2 _{definida sobre um}

dom´ınio simplesmente conexo de uma superf´ıcie de Riemann Σ, onde est´a definido o parˆametro conforme z = u+iv, tal que ∂φ

∂z¯ ∈ R, ou seja, Im∂z¯φ = 0. Ent˜ao, a forma φdz n˜ao tem per´ıodos reais e

2∂z(

Z z

z0

Re(φdz)) = φ.

Demonstra¸c˜ao. Escreva φ =φ1+iφ2. Ent˜ao

∂φ ∂z¯ =

1 2(

∂ ∂u +i

∂

∂v)(φ1+iφ2) = 1

2( ∂φ1

∂u − ∂φ2

∂v ) + i 2(

∂φ2

∂u + ∂φ1

∂v ). Logo a condi¸c˜ao ∂φ

∂z¯ ∈R implica que ∂φ2

∂u + ∂φ1

∂v = 0.

Portanto, como o dom´ınio deφ ´e simplesmente conexo, a forma

Re(φdz) = φ1du−φ2dv

´e exata. Assim, existe uma fun¸c˜ao ψ : Ω_−→R _{tal que}

φ1du−φ2dv=dψ=

∂ψ ∂udu+

donde concluimos que a forma φdz n˜ao tem per´ıodos reais e a fun¸c˜ao z _∈ Ω _−→ 2

Z z

z0

Re(φdz)dz ´e bem definida. Al´em disso,

∂z

2

Z z

z0

Re(φdz) = ∂ ∂z(2

Z z

z0 dψ)

= 1 2

∂

∂u −i ∂ ∂v

2(ψ(z)₋ψ(z0))

= ∂ψ ∂u −i

∂ψ ∂v = φ1+iφ2

= φ.

Lema 2.4. Sejam ψ1, ψ2 : Ω −→ C, fun¸c˜oes de valores complexos satisfazendo a

equa¸c˜ao de Dirac em H_{3(ǫ, τ),isto ´e}

∂z¯ψ1 = −

ǫ

2(H(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2) +iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2))ψ2,

∂zψ2 =

1

2(H(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2) +iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2))ψ1.

Ent˜ao

1 2∂z¯( ¯ψ2

2

−ǫψ12) = H(|ψ2|2+ǫ|ψ1|2)Re(ψ1ψ2) +ǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)Im(ψ1ψ2), (2.33)

i 2∂z¯( ¯ψ2

2

+ǫψ12) = H(|ψ2|2+ǫ|ψ1|2)Im(ψ1ψ2) +ǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)Re(ψ1ψ2), (2.34)

∂z¯(ψ1ψ¯2) =−

1

2(ǫH+iτ)(|ψ2|

4

− |ψ1|4). (2.35)

Demonstra¸c˜ao:

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente observe que ∂zψ = ∂z¯ψ, onde¯ ψ : Ω−→ C. De fato,

∂zψ = 1₂(∂ψ_∂u −i∂ψ_∂v) ent˜ao

∂zψ =

1 2(

∂ψ ∂u −i

∂ψ ∂v) =

1 2(

∂ψ¯ ∂u +i

∂ψ¯

Assim para a primeira equa¸c˜ao temos, 1

2∂z¯( ¯ψ2

2

−ǫψ12) =

1 2(∂z¯ψ¯2

2

−ǫψ12)

= 1

2(2 ¯ψ2∂¯zψ¯2

2

−2ǫψ1∂zψ2)

= ψ¯2(−U¯ψ¯1)−ǫψ1V ψ2

= ₋ψ¯1ψ¯2U¯ −ǫψ1ψ2V

= ψ¯1ψ¯2

2 [H(|ψ2|

2 _+ǫ

|ψ1|2)−iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)]

+ǫ

2_ψ

1ψ2

2 [H(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2) +iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)]

= H

2(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)( ¯ψ1ψ¯2+ψ1ψ2)

+iǫτ 2 (|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2)(ψ1ψ2−ψ¯1ψ¯2)

= H

2(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)2Re(ψ1ψ2) +

iǫτ 2 (|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2)2iIm(ψ1ψ2),

portanto 1 2∂z¯( ¯ψ2

2

−ǫψ12) =H(|ψ2|2+ǫ|ψ1|2)Re(ψ1ψ2) +ǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)Im(ψ1ψ2).

Para a segunda temos, i

2∂z¯( ¯ψ2

2

+ǫψ12) =

i 2(∂z¯ψ¯2

2

+ǫψ12)

= i

2(2 ¯ψ2∂z¯ψ¯2

2

+ 2ǫψ1∂zψ2)

= ₋iψ¯1ψ¯2U iǫψ¯ 1ψ2V

= iψ¯1ψ¯2

2 [H(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)−iǫτ(|ψ2|2 −ǫ|ψ1|2)] −iǫ

2_ψ

1ψ2

2 [H(|ψ2|

2 _+ǫ

|ψ1|2) +iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)]

= H

2(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)(iψ¯1ψ¯2+iψ1ψ2)

+ǫτ 2 (|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2)( ¯ψ1ψ¯2+ψ1ψ2)

= H

2(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)2Im(ψ1ψ2) +

ǫτ 2 (|ψ2|

2

Assim i 2∂¯z( ¯ψ2

2

+ǫψ12) =H(|ψ2|2+ǫ|ψ1|2)Im(ψ1ψ2) +ǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)Re(ψ1ψ2).

E finalmente para a terceira equa¸c˜ao temos, ∂¯z(ψ1ψ¯2) = (∂z¯ψ1) ¯ψ2+ψ1∂¯zψ¯2

= V ψ2ψ¯2−ψ1ψ¯1U¯

= V_|ψ2|2− |ψ1|2U¯

= ₋ǫ|ψ1|

2

2 [H(|ψ2|

2 _+ǫ

|ψ1|2) +iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)]

+|ψ1|

2

2 [H(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)−iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)]

= H

2 (|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)(|ψ1|2 −ǫ|ψ2|2)−

iǫτ 2 (|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2)(|ψ1|2+ǫ|ψ2|2)

= ₋ǫH 2 (|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2) −iǫ

2_τ

2 (|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2)

= ₋1

2(ǫH+iτ)(|ψ2|

4

− |ψ1|4),

logo

∂z¯(ψ1ψ¯2) =−

1

2(ǫH+iτ)(|ψ2|

4

− |ψ1|4).

Enunciamos, agora, o teorema de representa¸c˜ao de superf´ıcies em H_{3(ǫ, τ).}

Teorema 2.5. SejaH uma fun¸c˜ao dada em uma superf´ıcie de Riemann simplesmente conexaΣ. Sejamψ1 eψ2 fun¸c˜oes de valores complexos em Σ, satisfazendo a condi¸c˜ao |ψ2|2 +ǫ|ψ1|2 >0 e a equa¸c˜ao de Dirac, isto ´e

∂z¯ψ1 = −

ǫ

2(H(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2) +iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2))ψ2, (2.36)

∂zψ2 =

1

2(H(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2) +iǫτ(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2))ψ1. (2.37)

Ent˜ao, a aplica¸c˜ao

com componentes

x1(z) = x1(z0) + 2Re

Z z

z0 1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)dz,

x2(z) = x2(z0) + 2Re

Z z

z0 i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)dz,

x3(z) = x3(z0) + 2Re

Z z

z0

τ

2(i( ¯ψ2

2

+ǫψ12)x1−( ¯ψ2 2

−ǫψ12)x2) +ψ1ψ2

dz,

´e uma imers˜ao conforme com curvatura m´edia H. Al´em disso, a m´etrica induzida

em Σ´e dada por

(_|ψ2|2+ǫ|ψ1|2)2|dz|2.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, observamos que, por (2.33) e (2.34), temos

Im∂z¯

1

2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)

= 0 e Im∂z¯

i

2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)

= 0. Al´em disso, temos que

τh₂i( ¯ψ2 2

+ǫψ12)∂z¯x1− 1₂( ¯ψ2 2

−ǫψ12)∂z¯x2 i

= τhi 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)∂z¯x1−

1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)∂z¯x2 i

= τhi 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)

1 2(ψ2

2

−ǫψ¯12)−

1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)

− ₂i(ψ22+ǫψ¯12) i

= τhi 4( ¯ψ2

2

+ǫψ12)(ψ22−ǫψ¯12) +

i 4( ¯ψ2

2

−ǫψ12)(ψ22+ǫψ¯12) i

= iτ 4(|ψ2|

4 _−ǫψ¯

1

2 _¯

ψ2 2

+ǫψ12ψ22−ǫ2|ψ1|4|ψ2|4+ǫψ¯1

2 _¯

ψ2 2

−ǫψ12ψ22−ǫ2|ψ1|4)

= iτ 2(|ψ2|

4

− |ψ1|4).

Assim, por isto e por (2.35) temos,

Im∂z¯ n

τhi 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)x1−

1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)x2 i

+ψ1ψ¯2 o

= 0.

satisfazem ∂x1

∂z = 1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)

∂x2

∂z = i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)

∂x3

∂z = τ

hi

2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)∂z¯x1−

1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)∂¯zx2 i

+ψ1ψ¯2.

Assim segue que

Xz = (∂zx1, ∂zx2, ∂zx3)

= ∂zx1∂x1 +∂zx2∂x2 +∂zx3∂x3

= 1

2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)∂x1 + i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)∂x2 + iτ

2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)x1∂x3 −τ

2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)x2∂x3 +ψ1ψ¯2∂x3

= 1

2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)(∂x1 −τ x2∂x3) + i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)(∂x2 −τ x1∂x3 +ψ1ψ¯2∂x3

= 1

2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)E1+

i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)E2+ψ1ψ¯2E3.

Da´ı temos que

hXz, Xzi = h

1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)E1+

i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)E2+ψ1ψ¯2E3,

1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)E1+

i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)E2+ψ1ψ¯2E3i

= 1

4( ¯ψ2

2

−ǫψ12)2hE1, E1i+

i2 4( ¯ψ2

2

+ǫψ12)2hE2, E2i+ψ12ψ¯2 2

hE3, E3i

= 1

4( ¯ψ2

2

−ǫψ12)2−

1 4( ¯ψ2

2

+ǫψ12)2+ǫψ12ψ¯2 2

= 1

4( ¯ψ2

4

−2ǫψ¯2 2

ψ12+ǫ2ψ14)−

1 4( ¯ψ2

4

+ 2ǫψ¯2 2

ψ12+ǫ2ψ14) +ǫψ12ψ¯2 2

= ₋ǫψ12ψ¯2 2

+ǫψ12ψ¯2 2

hX¯z, Xz¯i = h

1 2(ψ2

2

−ǫψ¯12)E1−

i 2(ψ2

2_+ǫψ¯

12)E2+ ¯ψ1ψ2E3,

1 2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

)E1−

i 2(ψ2

2_+ǫψ¯

1 2

)E2+ ¯ψ1ψ2E3i

= 1

4(ψ2

2

−ǫψ¯12)2hE1, E1i −

1 4(ψ2

2_+ǫψ¯

12)2hE2, E2i+ ¯ψ12ψ22hE3, E3i

= 1

4(ψ2

4

−2ǫψ22ψ¯12+ǫ2ψ¯14)−

1 4(ψ2

4_{+ 2ǫψ}

22ψ¯12+ǫ2ψ¯14) +ǫψ¯12ψ22

= ₋ǫψ22ψ¯1 2

+ǫψ22ψ¯1 2

= 0,

e

hXz, Xz¯i = h

1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)E1+

i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)E2+ψ1ψ¯2E3,

1 2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

)E1−

i 2(ψ2

2_+ǫψ¯

1 2

)E2+ ¯ψ1ψ2E3i

= 1

4( ¯ψ2

2

−ǫψ12)(ψ22 −ǫψ¯1 2

)_hE1, E1i+

1 4( ¯ψ2

2

+ǫψ12)(ψ22+ǫψ¯1 2

)_hE2, E2i

+_|ψ1|2|ψ2|2hE3, E3i

= 1

4(|ψ2|

4

−ψ¯12ψ¯22−ǫψ12ψ22+ǫ2|ψ1|4)

+1 4(|ψ2|

4_{+ ¯ψ}

12ψ¯22+ǫψ12ψ22+ǫ2|ψ1|4) +ǫ|ψ1|2|ψ2|2

= 1

2|ψ2|

4_+ǫ

|ψ1|2|ψ2|2+ǫ2|ψ1|4

= 1

2(|ψ2|

2 _+ǫ

|ψ1|2)2.

Portanto

hXz, Xzi=hXz¯, X¯zi= 0 e hXz, Xz¯i=

1 2(|ψ2|

2_+ǫ

|ψ1|2)2.

normal unit´ario ao longo deX pode ser dado por

N = 1

ew((ψ1ψ2+ ¯ψ1ψ¯2)E1+i( ¯ψ1ψ¯2−ψ1ψ2)E2+ (|ψ1|

2

−ǫ_|ψ2|2)E3)

= 1

ew(2Re(ψ1ψ2)E1+i(−2Im(ψ1ψ2))iE2+ (|ψ1|

2

−ǫ_|ψ2|2)E3)

= 1

|ψ2|2+ǫ|ψ1|2

(2Re(ψ1ψ2)E1+ 2Im(ψ1ψ2)E2+ (|ψ1|2−ǫ|ψ2|2)E3),

isto ´e,

N = 1

|ψ2|2+ǫ|ψ1|2

(2Re(ψ1ψ2)E1+ 2Im(ψ1ψ2)E2+ (|ψ1|2−ǫ|ψ2|2)E3).

Resta mostrar que X possui curvatura m´edia H. A fim de fazer isto, calculamos ¯

∇Xz¯Xz = ∇¯X¯z[ 1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)E1+

i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)E2+ψ1ψ¯2E3]

= 1 2( ¯ψ2

2

−ǫψ12) ¯∇Xz¯E1+ 1 2Xz¯( ¯ψ2

2

−ǫψ12)E1

+i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12) ¯∇Xz¯E2+ i 2Xz¯( ¯ψ2

2

+ǫψ12)E2

+ψ1ψ¯2∇¯Xz¯E3+Xz¯(ψ1ψ¯2)E3. Agora usando o Lema1.4 para calcular

¯

∇Xz¯E1 = ∇¯1 2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

)E1−₂i(ψ2 2

+ǫψ¯1 2

)E2+ ¯ψ1ψ2E3E1

= 1

2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

) ¯_∇E1E1− i 2(ψ2

2_+ǫψ¯

1 2

) ¯_∇E2E1 + ¯ψ1ψ2∇¯E3E1 = iτ

2(ψ2

2_+ǫψ¯

12)E3−ǫτψ¯1ψ2E2,

¯

∇Xz¯E2 = ∇¯1 2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

)E1−₂i(ψ22+ǫψ¯1 2

)E2+ ¯ψ1ψ2E3E2

= 1

2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

) ¯_∇E1E2− i 2(ψ2

2

+ǫψ¯1 2

) ¯_∇E2E2 + ¯ψ1ψ2∇¯E3E2 = τ

2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

)E3+ǫτψ¯1ψ2E1

e

¯

∇Xz¯E3 = ∇¯1 2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

)E1−₂i(ψ22+ǫψ¯1 2

)E2+ ¯ψ1ψ2E3E3

= 1

2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

) ¯_∇E1E3− i 2(ψ2

2

+ǫψ¯1 2

) ¯_∇E2E3 + ¯ψ1ψ2∇¯E3E3 = ₋ǫτ

2 (ψ2

2 −ǫψ¯1

2

)E2−

iǫτ 2 (ψ2

2_+ǫψ¯

1 2

Da´ı temos que 1

2( ¯ψ2

2

−ǫψ12) ¯∇X¯zE1 + i 2( ¯ψ2

2

+ǫψ12) ¯∇Xz¯E2+ψ1ψ¯2∇¯Xz¯E3 = = iτ

4( ¯ψ2

2

−ǫψ12)(ψ22+ǫψ¯1 2

)E3−

ǫτ

2ψ¯1ψ2( ¯ψ2

2

−ǫψ12)E2

+iτ 4( ¯ψ2

2

+ǫψ12)(ψ22−ǫψ¯12)E3+

iǫτ

2 ψ¯1ψ2( ¯ψ2

2

+ǫψ12)E1 −ǫτ

2 ψ1ψ¯2(ψ2

2 −ǫψ¯1

2

)E2−

iǫτ

2 ψ1ψ¯2(ψ2

2_+ǫψ¯

1 2

)E1

= iτ 4(|ψ2|

4_+ǫψ¯

1

2 _¯

ψ2 2

−ǫψ12ψ22−ǫ2|ψ1|4)E3 −ǫτ₂ (_|ψ2|2ψ¯1ψ¯2−ǫ|ψ1|2ψ1ψ2)E2

iτ 4(|ψ2|

4 −ǫψ¯1

2 _¯

ψ2 2

+ǫψ12ψ22−ǫ2|ψ1|4)E3

+iǫτ 2 (|ψ2|

2_ψ¯

1ψ¯2+ǫ|ψ1|2ψ1ψ2)E1 −ǫτ₂ (_|ψ2|2ψ1ψ2−ǫ|ψ1|2ψ¯1ψ¯2)E2−

iǫτ 2 (|ψ2|

2_ψ

1ψ2+ǫ|ψ1|2ψ¯1ψ¯2)E1

= iτ 2(|ψ2|

4

−ǫ2_|ψ1|4)E3 −ǫτ

2 (|ψ2|

2_ψ¯

1ψ¯2−ǫ|ψ1|2ψ1ψ2+|ψ2|2ψ1ψ2−ǫ|ψ1|2ψ¯1ψ¯2)E2

+iτ ǫ 2 (|ψ2|

2_ψ¯

1ψ¯2+ǫ|ψ1|2ψ1ψ2− |ψ2|2ψ1ψ2−ǫ|ψ1|2ψ¯1ψ¯2)E1

= iǫτ

2 ( ¯ψ1ψ¯2(|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2) +ψ1ψ2(ǫ|ψ1|2 − |ψ2|2))E1 −ǫτ₂ ( ¯ψ1ψ¯2(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2) +ψ1ψ2(|ψ2|2−ǫ|ψ1|2))E2

+iτ 2(|ψ2|

4

−ǫ2_|ψ1|4)E3

= iǫτ 2 (|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2)( ¯ψ1ψ¯2−ψ1ψ2)E1 −ǫτ

2 (|ψ2|

2

−ǫ_|ψ1|2)( ¯ψ1ψ¯2+ψ1ψ2)E2

+iτ 2(|ψ2|

4