PEF-5805 Permeabilidade e Adensamento PPGEC-EPUSP. Profa. Dra. Maria Eugenia Gimenez Boscov

PEF-5805 Permeabilidade e Adensamento

PPGEC-EPUSP

Profa. Dra. Maria Eugenia Gimenez Boscov

Fluxo unidimensional de água no solo

Q = k i A ^ou v = k i

(Lei de Darcy, 1856) Q ... vazão

k ... coeficiente de permeabilidade i ... gradiente hidráulico

A ... área total da seção transversal de solo v ... velocidade

Hipótese: fluxo laminar

Coeficiente de permeabilidade

k = K g /m

k ... coeficiente de permeabilidade (condutividade hidráulica) K ... permeabilidade intrínseca do solo

g ... peso específico do fluido

m ... viscosidade dinâmica do fluido

w

2

mp

2 mgh mv

E = + + 

E: energia m: massa

g: aceleração da gravidade

h: distância vertical em relação a um referencial de nível v: velocidade do fluxo

p: pressão



: massa específica da água

Percolação

A água sempre se movimenta devido a diferenças de energia, sempre de pontos de maior energia para pontos de menor energia.

A energia da água em movimento pode ser expressa por:

Equação de Bernoulli (fluido ideal escoando em um tubo com

energia constante)

w

2

u

g 2 z v

H = + + g

Percolação

Em Geotecnia prefere-se expressar o estado de energia da água em movimento por meio da carga hidráulica, que é a energia dividida pelo produto da massa com a aceleração da gravidade (mg), em metros.

H: carga hidráulica total

z: distância vertical em relação a um referencial de nível g

: peso específico da água (=

g)

u: pressão neutra (=p-p

) p: pressão absoluta

p

: pressão atmosférica

Fluxo permanente e equação da continuidade

x

y z

v _z,e

dy dx

dz

s

v

v _{y,e v}

v _x,e

v

At J = M ^w

Fluxo de massa

JAt M _w =

J: fluxo de massa de água M: massa de água

A: área da seção transversal

t: tempo

At J = M ^w

Fluxo de massa

JAt M _w =

J: fluxo de massa de água M: massa de água

A: área da seção transversal t: tempo

t v L A

Q At

q = V ^w = = =

w w

w

w vρ qρ

At V ρ

J = = =

fluxo de volume

Relação entre fluxo de massa e fluxo volumétrico

L: comprimento de percolação na direção do fluxo

v: velocidade de Darcy

x

y z

dx dy

dz

Equação da continuidade

Equação da conservação da massa

x

y z

dx dy

dz

JAt

M _w =

x

y z

dx dy

dz

JAt

M _w = JA = M _w

𝑡

x

y z

J

J

J

J

J

J

dx dy

dz

x

y z

J

dxdy J

dxdz

J

dydz

J

dydz

J

dxdz J

dxdy

dx dy

dz

dt dxdy dM

J dxdz J

dydz J

dxdy J

dxdz J

dydz

J _{x , e} + _{y , e} + _{z , e} − _{x , s} − _{y , s} − _{z , s} = ^{w , arm}

dy

J _y,e J y,s

y

J y,e

J _y,s dJ ^y

J

0 dy

dy

J _y,e J y,s

y

J y,e

J _y,s dJ ^y

J

𝑑𝐽 _𝑦 = 𝐽 _𝑦

𝑦 𝑑𝑦

0 dy

y dy J J

J _{y s y e} ^y

 + 

= _,

,

dy

J _y,e J _y,s

y

J y,e

J _y,s

dJ ^y

𝐽

𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝐽

𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝐽

𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝐽

𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝐽

𝑑𝑥𝑑𝑧 − 𝐽

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜕𝑀

𝜕𝑡

𝐽

𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝐽

𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝐽

𝑑𝑥𝑑𝑦 − (𝐽

+ 𝐽

𝑥 𝑑𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑧 − (𝐽

+ 𝐽

𝑦 𝑑𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑧

−(𝐽

+ 𝐽

𝑧 𝑑𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜕𝑀

𝜕𝑡

− 𝜕𝐽

𝜕𝑥 + 𝜕𝐽

𝜕𝑦 + 𝜕𝐽

𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜕𝑀

𝜕𝑡

− 𝜕𝐽

𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝜕𝐽

𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝜕𝐽

𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜕𝑀

𝜕𝑡

Variação linear do

fluxo em função da

distância

− 𝜕𝐽

𝜕𝑥 + 𝜕𝐽

𝜕𝑦 + 𝜕𝐽

𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜕𝑀

𝜕𝑡

J = vρ _w = qρ _w

𝐽 _𝑥 = 𝑣 _𝑥 ρ _w = 𝑞 _𝑥 ρ _w

𝐽 _𝑦 = 𝑣 _𝑦 ρ _w = 𝑞 _𝑦 ρ _w

𝐽 _𝑧 = 𝑣 _𝑧 ρ _w = 𝑞 _𝑥 ρ _w

− 𝜕(𝑞

𝜌

)

𝜕𝑥 + 𝜕(𝑞

𝜌

)

𝜕𝑦 + 𝜕(𝑞

𝜌

)

𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑑𝑀

𝑑𝑡

𝜌

= 𝑀

𝑉

𝑀

= 𝑉

𝜌

− 𝜕(𝑞

𝜌

)

𝜕𝑥 + 𝜕(𝑞

𝜌

)

𝜕𝑦 + 𝜕(𝑞

𝜌

)

𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑑(𝑉

𝜌

)

𝑑𝑡

− 𝜕(𝑞

𝜌

)

𝜕𝑥 + 𝜕(𝑞

𝜌

)

𝜕𝑦 + 𝜕(𝑞

𝜌

)

𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜕(𝑉

𝜌

)

𝜕𝑡

− 𝜕q

𝜕x + 𝜕q

𝜕y + 𝜕q

𝜕z dxdydz = ∂Vw,arm

∂t

ρ

não varia no espaço e no tempo

𝑠 = 𝑉

𝑉

𝑛 = 𝑉

𝑉

𝑠 = 𝑉

𝑛𝑉

𝑉

= 𝑠𝑛 𝑉

𝑛 = 𝑒 1 + 𝑒

𝑉

= 𝑠

1+𝑒

𝑉

− 𝜕(𝑞

𝜌

)

𝜕𝑥 + 𝜕(𝑞

𝜌

)

𝜕𝑦 + 𝜕(𝑞

𝜌

)

𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜕(𝑉

𝜌

)

𝜕𝑡

− 𝜕q

𝜕x + 𝜕q

𝜕y + 𝜕q

𝜕z dxdydz = ∂Vw,arm

∂t

𝑉 _{𝑤,𝑎𝑟𝑚} = 𝑆 𝑒

1 + 𝑒 𝑉 _𝑡

− ^𝜕𝑞

𝜕𝑥 + ^𝜕𝑞

𝜕𝑦 + ^𝜕𝑞

𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ^{𝜕 𝑠}

𝑒 1+𝑒

𝑉

𝜕𝑡 = 0

𝜕𝑞 _𝑥

𝜕𝑥 + 𝜕𝑞 _𝑦

𝜕𝑦 + 𝜕𝑞 _𝑧

𝜕𝑧 = 0

Volume não é alterado pelo fluxo de água

Fluxo saturado

𝜕𝑞 _𝑥

𝜕𝑥 + 𝜕𝑞 _𝑦

𝜕𝑦 + 𝜕𝑞 _𝑧

𝜕𝑧 = 0

−

𝜕 −𝑘

𝜕ℎ

𝜕𝑥

𝜕𝑥 +

𝜕 −𝑘

𝜕ℎ

𝜕𝑥

𝜕𝑦 +

𝜕 −𝑘

𝜕ℎ

𝜕𝑥

𝜕𝑧 = 0

𝑘

𝜕 − 𝜕ℎ

𝜕𝑥

𝜕𝑥 + 𝑘

𝜕 − 𝜕ℎ

𝜕𝑥

𝜕𝑦 + 𝑘

𝜕 − 𝜕ℎ

𝜕𝑥

𝜕𝑧 = 0

𝑘 _𝑥 𝜕

ℎ

𝜕𝑥

+ 𝑘 _𝑦 𝜕

ℎ

𝜕𝑦

+ 𝑘 _𝑧 𝜕

ℎ

𝜕𝑧

= 0

Lei de Darcy

Solo

homogêneo:

k não varia

com a posição

𝜕

ℎ

𝜕𝑥

+ 𝜕

ℎ

𝜕𝑦

+ 𝜕

ℎ

𝜕𝑧

= 0

z 0 h x

h

2 2 2

2

=

 + 





𝑘 _𝑥 𝜕

ℎ

𝜕𝑥

+ 𝑘 _𝑦 𝜕

ℎ

𝜕𝑦

+ 𝑘 _𝑧 𝜕

ℎ

𝜕𝑧

= 0 𝑘 _𝑥 = 𝑘 _𝑦 = 𝑘 _𝑧 = 𝑘

k ^𝜕

^ℎ

𝜕𝑥

+ ^𝜕

^ℎ

𝜕𝑦

+ ^𝜕

^ℎ

𝜕𝑧

= 0

Solo isotrópico

Fluxo bidimensional

EQUAÇÃO DE LAPLACE

0 dxdydz

z q y

q x

q

  =

 





 + 

 + 



− 

𝜕

ℎ

𝜕𝑥

+ 𝜕

ℎ

𝜕𝑦

+ 𝜕

ℎ

𝜕𝑧

= 0

z 0 h x

h

2 2 2

2

=

 + 





= 0



 









 









 

 







− 



 +

 

 







− 



 +

 

 







− 



− dxdydz

z x k h

y x k h

x x

k h

y x x

Água

 Viscosidade cinemática:

Sua unidade no S.I. é stoke (1stoke = 1cm ² /s).

Viscosidade da água a 20 ^o C:  = 1,01.10 ^-6 m ² /s

 Viscosidade dinâmica: poise (1 poise = 0,1N.s/m ² ).

Água fria: m = 1,03.10 ^-4 kgf.s/m ²

Temperatura - q (°C)

Densidade absoluta - r (kg/m

)*

Viscosidade dinâmica - m (10

N.s/m

)

Viscosidade cinemática - n (10

m

/s)

Densidade relativa - d

0 (gelo) 917,0 - - 0,9170

0(água) 999,8 1,781 1,785 0,9998

4 1000,0 1,558 1,558 1,0000

5 1000,0 1,518 1,519 1,0000

10 999,7 1,307 1,308 0,9997

15 999,1 1,139 1,140 0,9991

20 998,2 1,002 1,003 0,9982

25 997,0 0,890 0,893 0,9970

30 995,7 0,798 0,801 0,9967

40 992,2 0,653 0,658 0,9922

50 988,0 0,547 0,553 0,9880

60 983,2 0,466 0,474 0,9832

70 977,8 0,404 0,413 0,9788

80 971,8 0,354 0,364 0,9728

90 965,3 0,315 0,326 0,9653

100 958,4 0,282 0,294 0,9584

Densidade e viscosidade da água sob condições normais de pressão

(*) Para converter para kgf.s

/m

divide-se o valor tabelado por 9,80665

Densidade da água em função da temperatura

máxima a 4

C = 0,999973 g/cm

Fluxo através do solo

Hipótese:

fluxo não modifica o solo

J _i velocidade de fluxo

L _ii coeficiente de condutividade X _i agente motriz

i ii

i L X

J =

Mitchell, J. K. (1991). "Conduction phenomena: from theory to geotechnical

practice". Géotechnique. 41 (3): 299–340. doi:10.1680/geot.1991.41.3.299

(acesso gratuito)

Lei de Darcy fluido

Lei de Fourier calor

Lei de Ohm eletricidade

Lei de Fick substâncias químicas

Os coeficientes das equações acima são quantidades diretamente mensuráveis.

z D c

J _d



− 

=

z K T

J _T



− 

=

z k H

v 

− 

=

z V R

i 1



− 

=

Fluxos acoplados

Fluxos simultâneos de tipos diferentes com um único agente motriz.

L _ij coeficiente de acoplamento

Exemplo: gradiente hidráulico em água contaminada causa fluxo advectivo.

j ij

i L X

J =

GRADIENTE

FLUXO Carga

hidráulica

Temperatura Eletricidade Concen- tração química

Fluido Lei de Darcy Termo-osmose Eletro-osmose Osmose

química Calor Transferência

de calor isotérmica

Lei de Fourier Efeito Peltier Efeito Dufour Corrente Corrente Termo-eletricidade:

efeito de Seebeck

Lei de Ohm Potenciais de

membrana e difusão

Íon Advecção Difusão térmica de

eletrólito: efeito Soret

Eletro-forese Lei de Fick