RESUMO ABSTRACT. XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e Desenvolvimento

MEDIDAS DE EFICIÊNCIA DEA PARA INFERÊNCIA EM ANÁLISE DE VARIÂNCIA: APLICAÇÃO A EXPERIMENTOS COM CULTURAS CONSORCIADAS E EVIDÊNCIAS DA TEORIA DA CASUALIZAÇÃO

Geraldo da Silva e Souza Eliane Gonçalves Gomes

Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (Embrapa)

Parque Estação Biológica, Edifício Sede, W3 Norte final, Asa Norte, 70770-901, Brasília, DF geraldo.souza@embrapa.br

eliane.gomes@embrapa.br Lúcio José Vivaldi

Universidade de Brasília - Departamento de Estatística

Campus Universitário Darcy Ribeiro, Gleba A, ICC Mód. 15, subsolo, 70910-900, Brasília, DF vivaldi@unb.br

RESUMO

Propõe-se o uso de uma medida de eficiência unidimensional como resposta na análise estatística de ensaios experimentais com respostas multidimensionais. As observações de eficiência são obtidas via programação linear e têm por base a análise de envoltória de dados. A técnica generaliza os métodos clássicos de Análise de Variância, empresta propriedades econômicas ótimas à análise estatística de um ensaio experimental e facilita a interpretação de ensaios complexos através da redução da dimensão do vetor resposta. A abordagem proposta é aplicada a dois ensaios de consorciação de culturas e validada via Teoria da Casualização.

PALAVRAS-CHAVE. Análise de envoltória de dados. Ensaios experimentais de consorciação. Teoria da casualização.

ABSTRACT

We propose the use of a one-dimensional efficiency measure as the response in the statistical analysis of experimental designs with multidimensional nonnegative responses. The efficiency observations are obtained via linear programming and are based on data envelopment analysis. The technique generalizes the classical methods of analysis of variance, endows the statistical analysis of an experiment with optimal economical properties and eases the interpretation of complex trials through the reduction of the response’s dimension. The approach is applied to the analysis of two intercropping experiments and validated via Randomization Theory.

KEYWORDS. Data envelopment analysis. Intercropping experimental designs.

Randomization theory.

1. Introdução

Tipicamente em um ensaio experimental mede-se uma variável resposta uni ou multidimensional e esta é analisada via modelos do tipo Análise de Variância e de Covariância no contexto do plano experimental usado para a observação da resposta. Esta abordagem é padrão no contexto da disciplina de planejamento e análise estatística de ensaios experimentais.

Existem vários métodos estatísticos disponíveis para a análise de ensaios experimentais com respostas multidimensionais. Contudo, uma resposta multidimensional dificulta a interpretação dos resultados do ensaio e torna complexa a análise. Neste contexto, nota-se um esforço, em aplicações, na tentativa de definir medidas univariadas de resposta e de técnicas de análise que viabilizem uma abordagem com interpretação mais fácil. Os ensaios com medidas repetidas no tempo, por exemplo, são comumente analisados como split-plots. Por outro lado, o ambiente de ensaios com culturas agrícolas consorciadas (plantio conjunto) é rico no uso de medidas econômicas e de outros escores que têm por objetivo a redução da dimensão da resposta.

O LER (Land Equivalent Ratio) é uma ferramenta deste tipo; é definido como a soma dos quocientes das produções obtidas sob consórcio pelas produções esperadas, solteiras, respectivas.

Neste artigo propõe-se uma abordagem diferente da usualmente encontrada na literatura para avaliar tratamentos em uma situação experimental com resposta multidimensional, como um split-plot no tempo ou um consórcio, quando o objetivo do ensaio é o de otimizar o desempenho da resposta, relativamente a um conjunto de tratamentos. A proposta é utilizar os modelos de Análise de Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis – DEA) (Cooper et al., 2004) para gerar medidas unidimensionais que, posteriormente, podem ser analisadas com as técnicas padrão de Análise de Variância e Covariância (Gomes e Souza, 2005). A vantagem do DEA é poder agregar em uma medida única as múltiplas respostas do experimento, com ou sem a imposição de julgamentos a priori sobre a importância de cada variável componente do vetor de respostas. No contexto de ensaios com resposta unidimensional não-negativa, a análise é equivalente à prática usual. No caso geral (respostas multidimensionais não negativas), além de simplificar a análise, empresta propriedades econômicas ótimas às conclusões resultantes de um ensaio experimental.

Como exemplos de uso da técnica consideraram-se instâncias definidas por experimentos de consorciação de culturas, nos quais procura-se pela combinação mais eficiente de produção.

Os resultados da análise de variância, a partir das medidas de eficiência unidimensionais de DEA, foram validados através do estudo das distribuições das estatísticas relevantes induzidas pela casualização.

2. Análise de Envoltória de Dados

DEA tem como objetivo calcular a eficiência de unidades produtivas, conhecidas na literatura como unidades de tomada de decisão ou DMUs (Decision Making Units). Em sua formulação, DEA usa Problemas de Programação Linear (PPLs) que otimizam cada observação individual de modo a estimar uma fronteira eficiente, linear por partes, composta das unidades que apresentam as melhores práticas dentro da amostra em avaliação (unidades Pareto-Koopmans eficientes). Essas unidades servem como referência ou benchmark para as unidades ineficientes.

A eficiência relativa de uma DMU é definida como a razão da soma ponderada das componentes do vetor de produção pela soma ponderada das componentes do vetor de insumo usado no processo de produção. Os pesos usados nas ponderações das componentes de insumos e produtos (preços sombra) são distintos e são obtidos de um programa de programação fracionária que atribui a cada DMU os pesos que maximizam a sua eficiência. A vantagem da técnica DEA frente a outros modelos de produção é a possibilidade que fornece de considerar insumos múltiplos e produtos múltiplos no cálculo de uma medida de eficiência única, com ou sem a incorporação de julgamentos subjetivos por parte dos decisores.

Há dois modelos DEA clássicos. O modelo CCR (Charnes et al., 1978), que assume retornos constantes à escala e o modelo BCC (Banker et al., 1984), que assume retornos variáveis à escala. Tradicionalmente são possíveis duas orientações para esses modelos na busca da fronteira de eficiência: orientação a insumos, quando deseja-se minimizar os recursos

disponíveis, sem alteração do nível de produção; orientação a produtos, quando o objetivo é aumentar as quantidades produzidas, sem alterar o nível de uso dos insumos.

Na modelagem DEA devem ser definidas as unidades a avaliar, as variáveis (insumos e produtos) e o modelo a ser usado. Neste artigo, as unidades em avaliação são as parcelas do ensaio submetidas à estrutura do planejamento experimental. Os produtos são os valores ou quantidades das variáveis resposta medidas em cada parcela. Para avaliar o desempenho de cada parcela, considera-se que cada uma utiliza-se de um único insumo com nível unitário seguindo abordagem semelhante à usada por Gomes e Souza (2005) e Soares de Mello et al. (2005). Esse modelo é equivalente a um modelo multicritério aditivo, com a particularidade de que as próprias alternativas atribuem pesos a cada critério, ignorando qualquer opinião de um eventual decisor.

Ou seja, o DEA é usado como ferramenta multicritério, e não como uma medida de eficiência clássica.

Neste artigo é usado o modelo DEA CCR orientado a outputs para os dois casos de estudo, já que não há evidências de diferenças de escala significativas e as variáveis disponíveis são, tipicamente, valores ou quantidades produzidas. Além disso, conforme provado em Lovell e Pastor (1999), um modelo DEA CCR de input único e constante, com orientações a outputs, é equivalente ao modelo DEA BCC correspondente.

Apresenta-se em (1) o modelo DEA CCR geral dos multiplicadores com orientação a produtos. Considera-se que cada DMU k, k = 1...n, é uma unidade de produção que utiliza m insumos (não todos nulos) xik, i =1...m, para produzir s produtos (não todos nulos) yjk, j =1...s. A eficiência h_o da DMU o, com vetor de produção

(

)

i j u

n k x

y u

y u

x h

i j

m

i ik i s

j jk j s

j jo j

m

i io i o

, , 0 ,

...

1 , 0 1

Min

1 1

1

1

∀

≥

=

≤

−

=

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

υ

υ υ

(1)

3. Aplicações

3.1 Consórcio de Milho e Feijão

A Tabela 1 apresenta os dados de produção e eficiência obtidos para um ensaio de consórcio de feijão e milho levado a efeito na Embrapa (Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária) e estudado em Gonçalves (1982). Quatro variedades de feijão (A, B, C e D) são combinadas com duas de milho (X e Y). A resposta de cada variedade é o peso dos grãos por m². A análise de variância do ensaio, com alguns contrastes de interesse, é apresentada na Tabela 2.

Nota-se que o cultivo consorciado não difere significativamente do solteiro com ganhos significativos decorrentes do uso do feijão no consórcio. Não se notam diferenças significantes no uso das diferentes variedades de feijão e milho no consórcio. Um outro aspecto interessante do consórcio é que este fornece menor risco de cultivo no sentido de que a variabilidade observada nos diversos tratamentos é menor no caso consorciado do que no solteiro. Isto evidencia-se dos desenhos esquemáticos apresentados na Figura 1, na qual os Tratamentos de 1 a 8 referem-se a consórcios e de 9 a 14 a culturas solteiras. Esta ordenação de tratamentos corresponde à ordem dos cultivos considerada na Tabela 1.

Com respostas entre 0 e 1, faz-se mister ressaltar que a versão não-paramétrica da Análise de Variância conduz aos mesmos resultados.

Tabela 1: Respostas (Feijão, Milho, Eficiência) para vários sistemas de cultivo.

Cultivo Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4

Consórcio: A, X 34,5 463,8 0,706 48,5 340,6 0,658 38,2 411,7 0,653 52,0 598,0 0,924 Consórcio: A, Y 32,0 418,4 0,637 47,5 396,9 0,704 32,2 367,6 0,569 45,2 310,1 0,607 Consórcio: B, X 18,4 575,1 0,869 34,0 530,4 0,806 34,2 341,6 0,559 22,3 523,9 0,793 Consórcio: B, Y 40,2 479,1 0,731 55,2 655,6 1,000 57,4 401,7 0,778 35,2 519,4 0,790 Consórcio: C, X 43,1 417,9 0,692 42,0 546,8 0,833 30,7 317,4 0,512 46,5 599,3 0,913 Consórcio: C, Y 45,0 480,4 0,765 48,0 525,9 0,828 30,0 425,9 0,649 59,2 527,1 0,908 Consórcio: D, X 34,0 550,4 0,836 - 571,1 - 54,7 522,9 0,872 60,4 335,4 0,737 Consórcio: D, Y 38,6 450,4 0,692 41,8 353,6 0,623 37,5 386,7 0,625 52,4 42,6 0,774 Solteiro: A 126,3 0 0,885 79,4 0 0,556 56,5 0 0,396 - 0 - Solteiro: B 44,3 0 0,310 52,9 0 0,371 66,4 0 0,465 48,0 0 0,336 Solteiro: C 142,7 0 1,000 101,8 0 0,713 88,2 0 0,618 82,2 0 0,576 Solteiro: D 105,8 0 0,741 141,2 0 0,989 98,4 0 0,690 118,7 0 0,832 Solteiro: X 0 476,9 0,717 0 473,4 0,712 0 451,2 0,678 0 475,6 0,715 Solteiro: Y 0 597,3 0,898 0 617,6 0,928 0 531,8 0,799 0 665,3 1,000 Tabela 2: Análise de variância do ensaio de consórcio milho com feijão com medidas de eficiência como resposta.

Fonte G.L. Soma de Quadrados Quadrado Médio F p-valor

Bloco 3 1,149 0,050 3,79 0,018

Cultivo 13 0,832 0,064 4,89 <0,001

Consórcio vs Solteiro 1 0,041 0,041 3,13 0,085 Feijão (cons.) vs Feijão (solt.) 1 0,128 0,128 9,78 0,003 Milho (cons.) vs Milho (solt.) 1 0,022 0,022 1,68 0,203

Milho (consórcio) 1 0,009 0,009 0,68 0,415 Feijão (consórcio) 3 0,051 0,017 1,30 0,290

Erro 37 0,484 0,013 - -

Total 53 1,466 - - -

Figura 1: Desenho esquemático de eficiências de cultivos: Consórcio milho e feijão.

3.2 Consórcio de Milho e Amendoim

A Tabela 3 apresenta os dados de um ensaio de consórcio de milho e amendoim com os tratamentos arranjados fatorialmente em parcelas subdivididas. Os dados em toneladas/acre foram obtidos na subestação de Morwa em Samuru, na Nigéria, e constam de Carvalho (1988).

O tratamento A aplicado nas parcelas, em quatro blocos, consiste das 5 densidades de plantio (milho:amendoim) 1:3, 1:2, 2:3, 4:9 e 1:6. A cada parcela foram superpostos dois níveis de nitrogênio. Designaram-se por 1, 2, 3, 4 e 5 as densidades de plantio e por 1 e 2 os níveis de nitrogênio.

Tabela 3: Respostas (Milho, Amendoim e Eficiência) em um ensaio fatorial com parcelas subdivididas (os índices de T correspondem a níveis dos fatores A - densidade de plantio - e B - nitrogênio).

Tratamentos Blocos Milho Amendoim Eficiência

T11 1 23,8 24,1 0,651

T21 1 36,2 21,6 0,677

T31 1 37,8 17,4 0,610

T41 1 53,4 19,0 0,786

T51 1 21,0 26,2 0,677

T12 1 31,2 27,4 0,766

T22 1 49,2 22,0 0,786

T32 1 54,8 18,9 0,799

T42 1 69,0 19,5 0,950

T52 1 25,2 31,8 0,820

T11 2 35,2 24,2 0,725

T21 2 43,2 18,8 0,683

T31 2 45,0 15,1 0,650

T41 2 53,6 18,2 0,777

T51 2 22,8 33,7 0,849

Tabela 3: Continuação.

Tratamentos Blocos Milho Amendoim Eficiência

T12 2 36,6 27,9 0,811

T22 2 52,0 13,5 0,716

T32 2 65,6 15,8 0,904

T42 2 55,4 20,0 0,819

T52 2 24,6 30,2 0,783

T11 3 29,6 31,1 0,833

T21 3 28,4 26,2 0,723

T31 3 41,0 20,5 0,685

T41 3 65,0 14,9 0,895

T51 3 24,4 31,3 0,804

T12 3 35,8 31,7 0,884

T22 3 50,6 23,7 0,823

T32 3 65,0 22,5 0,948

T42 3 70,8 14,9 0,975

T52 3 30,2 36,9 0,957

T11 4 21,4 27,5 0,706

T21 4 40,2 27,4 0,823

T31 4 52,2 20,7 0,797

T41 4 39,8 32,0 0,916

T51 4 23,2 36,3 0,914

T12 4 29,4 28,8 0,784

T22 4 55,0 26,5 0,904

T32 4 72,6 20,8 1,000

T42 4 60,0 29,9 1,000

T52 4 27,8 39,7 1,000

A Figura 2 é bastante ilustrativa. Vê-se claramente que o nível 2 de nitrogênio provoca um aumento da resposta independentemente da densidade de plantio. É aparente também o domínio da densidade de plantio 4. Estas observações indicam igualmente a presença da interação AxB.

Estes resultados confirmam-se com a análise de variância não-paramétrica apresentada na Tabela 4. Vê-se que a interação AxB é significante e, deste modo, tem-se interesse no estudo das diferenças entre pares de médias.

Tabela 4: Análise de variância nos postos (ranks) de eficiência para o consórcio de milho e amendoim.

Fonte G.L. Soma de Quadrados Quadrado Médio F p-valor

Bloco 3 1499,20 499,73 8,20 0,003

A 4 990,25 247,56 4,06 0,026

Erro A 12 731,55 60,96 - -

B 1 1276,90 1276,90 43,07 < 0,001

A*B 4 385,35 96,34 3,25 0,042

Erro B 15 444,75 29,65 - -

Total 39 5328,00 - - -

Figura 2: Desenho esquemático de eficiências de cultivo: Consórcio de Milho e Amendoim.

A Tabela 5 dá o valor dos postos (ranks) médios dos tratamentos. Seguindo Milliken, Johnson (1984), a diferença significante mínima, no nível de 5%, para comparações de duas médias quaisquer, no mesmo nível, ou em níveis distintos de B, é dada por

4 65 , 29 96 , t 60

lsd= ^* + . Nesta expressão

65 , 29 96 , 60

65 , 29 t

96 , 60 t t

15 975 , 0 12

975 , 0

*

+

× +

= × , sendo t_α^r o quantil de ordem α da distribuição de Student com r graus de liberdade. Resulta que lsd=10,30.

Tabela 5: Postos médios da eficiência para os tratamentos do consórcio de milho e amendoim (desvio padrão constante estimado por 3,37).

Tratamento Média T11 12,00 T21 11,50 T31 07,00 T41 23,00 T51 20,75 T12 19,00 T22 20,00 T32 30,50 T42 33,25 T52 28,00

Neste contexto vê-se que a impressão visual da Figura 2 confirma-se com as respostas do nível 2 de B sendo dominantes. A combinação 42 apresenta-se como superior, embora não se possa declarar como significante, no nível de 5%, a diferença entre esta e as combinações 32 e 52. Resultados análogos são obtidos com as medidas de eficiência não transformadas embora os p-valores sejam menos conservadores (menores).

4. Validaçâo

O uso de medidas de eficiência DEA como resposta em modelos de regressão tem sido questionada na literatura recente; veja-se Simar e Wilson (2006). O problema do uso dessas medidas em regressão é que o processo é realizado em dois estágios, e no primeiro estágio uma correlação é induzida nas medidas de eficiência. Neste contexto, perdem-se as propriedades distribucionais dos estimadores de mínimos quadrados.

Faz-se mister ressaltar, contudo, que as observações de Simar e Wilson (2006) não podem ser, e não são, gerais. Por exemplo, em problemas de análise de variância com uma única variável resposta, a medida de eficiência DEA proposta neste artigo é obtida no primeiro estágio do processo dividindo-se cada resposta individual pela resposta máxima entre todas as parcelas (unidades experimentais). É sabido que as estatísticas F das tabelas de análise da variância, bem como os testes t, são invariantes por transformações de escala da resposta e, portanto, a abordagem é válida e conduz aos mesmos resultados que se obtêm com as variáveis não transformadas. Com respostas múltiplas, a solução DEA proposta aqui é bem mais complexa, e a correlação induzida entre as parcelas difícil de caracterizar. Neste caso, pode-se questionar a validade dos resultados obtidos nas seções anteriores.

Tipicamente, as observações associadas a modelos de planejamento experimental são geradas com base na Teoria da Casualização (Hinkelman e Kempthorne, 1994). Uma forma de aferir a validade da análise de variância derivada sob as hipóteses de erros normais, independentes e homoscedásticos é através do estudo das distribuições das estatísticas relevantes, induzidas pela casualização, sob a hipótese nula em estudo. O padrão a ser usado para avaliação dessas distribuições é o que se obtém sob o modelo normal.

Para um ensaio em blocos ao acaso com r blocos e v tratamentos são possíveis

( )

O ensaio com parcelas subdivididas (split-plot) definido por r blocos, a tratamentos (fator A) nas parcelas e b tratamentos (fator B) nas sub-parcelas, tem

( )

4.1 Consórcio de Milho e Feijão

Mediante o uso de uma macro do SAS (v9.1.3) envolvendo os procedimentos PLAN e GLM, foram obtidos os resultados apresentados na Tabela 6 para a estatística F associada ao teste de igualdade de tratamentos.

Tabela 6: Resultados da estatística F associada ao teste de igualdade de tratamentos para o caso do consórcio de milho e feijão.

Quantil (%) F (Modelo Normal) F (Casualização)

90 1,709 1,715 95 1,994 2,030 99 2,655 2,756 Os valores das distribuições empíricas e teóricas são bem próximos. As análises via casualização e sob a hipótese de normalidade são coincidentes. Os p-valores correspondentes não indicam discrepâncias de nota.

4.2 Consórcio de Milho e Amendoim

Para o ensaio em parcelas subdivididas foi igualmente programada uma macro SAS (v9.1.3), explorando os procedimentos PLAN e GLM. Os resultados obtidos são os mostrados na Tabela 7.

Tabela 7: Resultados do teste de casualização para o consórcio de milho e amendoim.

Efeito Quantil (%) F (Modelo Normal) F (Casualização)

90 2,480 2,640 95 3,259 3,426 A

99 5,437 5,203 90 3,073 3,149 95 4,547 4,730 B

99 8,728 9,263 90 2,361 2,454 95 3,056 3,206 A*B

99 4,895 5,116 Embora as aproximações do split-plot sejam piores que as obtidas para o ensaio em blocos ao acaso, as discrepâncias não são suficientemente fortes para invalidar a análise via os métodos usuais. Os p-valores obtidos com a análise dos dados não transformados são respectivamente 0,0112, <0,0001 e 0,0081, para os efeitos A, B e A*B, respectivamente. Os p- valores empíricos correspondentes sob casualização são, respectivamente, 0,007, <0,0001 e 0,011, e não conduzem a conclusões distintas. A análise com os postos é mais conservativa pois apresenta p-valores maiores.

5. Conclusões

Neste artigo propôs-se o uso da técnica de análise DEA orientada para produto, sob retorno constante à escala e com insumo único e constante (unitário) para cada parcela, na análise de ensaios experimentais para os quais pode-se considerar a resposta de cada parcela como uma medida de produção uni ou multidimensional. A técnica consiste em aplicar-se a análise de variância clássica diretamente nas medidas de eficiência DEA de cada parcela ou, de forma não- paramétrica, nos postos (ranks) dessas medidas.

O método de análise é coincidente com a Análise de Variância clássica para respostas univariadas, pois a análise é invariante por transformações de escala. O uso do DEA tem bastante apelo na análise de consórcios onde, em geral, procura-se pela combinação mais eficiente de produção de duas culturas. Neste contexto analisaram-se dois ensaios em blocos ao acaso. No primeiro considerou-se um consórcio de milho e feijão e no segundo um consórcio de milho e amendoim em parcelas subdivididas. Em ambos os casos, a análise levada a efeito é bem mais simples e com respostas mais objetivas do que a que se utiliza de índices como o LER (Land Equivalent Ratio) ou é feita via análise conjunta sob a hipótese de normalidade bidimensional para a resposta. Os resultados da análise foram validados via teoria da casualização.

Referências

Banker, R.D., Charnes, A. e Cooper, W.W. (1984), Some models for estimating technical scale inefficiencies in data envelopment analysis, Management Science, 30(9), 1078-1092.

Carvalho, J.R.P. Bivariate analysis in intercropping with two levels of error variation. 245f.

Thesis (Doctor of Philosophy) – Department of Applied Statistics, University of Reading, Reading, 1988.

Charnes, A., Cooper, W.W. e Rhodes, E. (1978), Measuring the efficiency of decision-making units, European Journal of Operational Research, 2, 429-444.

Cooper, W.W, Seiford, L.M., Zhu, J. Handbook on data envelopment analysis, Kluwer Academic Publishers, Boston, 2004.

Gomes, E.G. e Souza, G.S. (2005), Avaliação de ensaios experimentais com o uso da análise de envoltória de dados: uma aplicação a consórcios, Anais da 50ª Reunião Anual da Região Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria (RBRAS) e 11º Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação Agronômica (SEAGRO), Londrina.

Gonçalves, S.R. Consorciação de culturas – técnicas de análises e uso do LER. Dissertação (Mestrado em Estatística) - Departamento de Estatística, Universidade de Brasília, Brasília, 1982.

Hinkelman, K. e Kempthorne, O. Design and Analysis of Experiments, Vol. 1., Wiley, New York, 1994.

Lovell, C.A.K. e Pastor, J.T. (1999), Radial DEA models without inputs or without outputs, European Journal of Operational Research, 118, 46-51.

Milliken, G.A. e Johnson, D.E. Analysis of Messy Data, Van Nostrand, New York, 1984.

Simar, L. e Wilson, P.W. (2006), Estimation and inference in two-stage, semiparametric models of production processes, Journal of Econometrics, 131. (forthcoming)

Soares de Mello, J.C.C.B., Gomes, E.G., Gomes, L.F.A.M., Biondi Neto, L. e Angulo Meza, L. (2005), Avaliação do tamanho de aeroportos portugueses com relações multicritério de superação, Pesquisa Operacional, 25(3), 313-330.