INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Ex.:
• André escolhe a seqüência CC
• Bernardo escolhe a seqüência KC
A aposta é justa?
Além de sua aplicação na metodologia Estatística, a teoria da probabilidade vem adquirindo importância como instrumento analítico em uma sociedade que é forçada a medir incertezas
Ex.:
• Antes de ativar uma usina nuclear, devemos analisar a probabilidade de um acidente.
FUNDAMENTOS
Definição 1: Experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições não produzem o mesmo resultado são denominados experimentos aleatórios.
Exemplos:
• Quanto se retira um lote de peças num processo de produção, observa-se que o número de peças defeituosas varia de lote para lote;
Definição 2: Os experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições conduzem ao mesmo resultado são denominados determinísticos.
Exemplos:
• Se uma pedra cai de uma certa altura, pode-se determinar sua posição e velocidade para qualquer instante de tempo posterior à queda;
Definição 3: O conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral, sendo representado por um conjunto E, e um subconjunto de E será chamado de evento, que quando constituído de um único elemento será chamado de evento simples.
Exemplos:
• O espaço amostral do lançamento de um dado é E = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
EXEMPLO
Experimento: Lance uma moeda até que ocorra uma cara e, então conte o n° de vezes que a moeda foi lançada. O espaço amostral deste experimento é O infinito refere-se ao caso em que nunca ocorre cara e, assim a moeda é lançada um n° infinito de vezes. Este exemplo é um exemplo de espaço amostral infinito enumerável.
} ,..., 3 , 2 , 1
{
Definição clássica de probabilidade
Considere um espaço amostral E com N eventos simples, que são igualmente possíveis. Seja A um evento de E composto de m eventos simples. A probabilidade de A, denotada por P(A), é definida por:
n
m
A
P
P
(
)
n° de casos favoráveisA probabilidade assim definida, é uma função na classe dos eventos ou, o que é equivalente, na classe dos subconjuntos do espaço amostral e satisfaz as propriedades:
i) , para todo A E;
ii) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então, P(A B) = P(A) + P(B);
iii) P(E) = 1.
AXIOMAS OU PROPRIEDADES
1
)
(
ALGUMAS CONSEQUÊNCIAS - TEOREMAS
0
)
(
P
Seja A um conjunto qualquer; então A e são disjuntos e
A
A
)
(
)
(
A
P
A
P
)
(
)
(
)
(
A
P
A
P
P
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
A
P
A
P
A
P
P
A
P
)
(
A
P
A
P
C
1
O espaço amostral S pode ser decomposto nos eventos mutuamente exclusivos A e AC; ou seja, .S A AC
)
(
1
P
S
)
(
1
P
A
A
C)
(
)
(
1
P
A
P
A
C)
(
)
(
A
B
P
A
P
A
B
P
\
A pode ser decomposto nos eventos mutuamente exclusivos
A
\
B
e
A
B
; ou seja,)
(
)
\
(
A
B
A
B
A
)
(
)
\
(
)
(
A
P
A
B
P
A
B
P
)
\
(
)
(
)
(
A
P
A
B
P
A
B
A
B
P
A
P
B
P
A
B
P
Note que pode ser decomposto nos eventos mutuamente exclusivos ; ou seja,
B
A
B
e
B
A
\
B
B
A
B
A
(
\
)
)
(
)
\
(
)
(
A
B
P
A
B
P
B
P
)
(
)
(
)
(
)
(
A
B
P
A
P
A
B
P
B
P
)
(
)
(
)
(
)
ESPAÇOS DE PROBABILIDADES FINITOS
Seja E um espaço amostral finito, digamos E = {a1, a2, ... , an}.
• A soma dos Pi é 1. Ou seja, P1 + P2 + ... + Pn = 1.
Ex.: Lance três moedas e observe o número de caras; então o espaço amostral é E = {0, 1, 2, 3} ({ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk}). Obtemos um espaço de probabilidade pela seguinte associação: 8 1 ) 3 ( 8 3 ) 2 ( , 8 3 ) 1 ( , 8 1 ) 0
( P P e P
Seja A o evento em que pelo menos um cara aparece e B aquele em que todas as caras ou coroas aparecem:
A = {1, 2, 3} e B = {0, 3} Logo
8
7
8
1
8
3
8
3
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
(
A
P
P
P
P
4
1
8
2
8
1
8
1
)
3
(
)
0
(
)
(
B
P
P
ESPAÇOS FINITOS EQUIPROVÁVEIS
Experimento em que os vários resultados do espaço amostral estão associados a probabilidades iguais.
Selecione aleatoriamente uma carta de um baralho comum de 52 cartas.
Sejam A = {a carta é uma espada} e B = {a carta é uma figura}
Calcule:
)
(
)
(
),
(
A
P
B
e
P
A
B
ESPAÇOS AMOSTRAL INFINITO
Os pontos a e b são selecionados aleatoriamente na reta real R de modo que como é indicado abaixo. Encontre a probabilidade p de que a distância d, entre a e b, seja maior que 3.
3 0
0
2 b e a
-2 b 0 a 3 d
x y
x - y = 3
-2
3 0
E
A
3
1
6
2
)
(
E
de
área
A
de
área
A
P
EXERCÍCIO PARA PESQUISA
Qual a ocorrência parece ter maior chance de ocorrer para um brasileiro escolhido ao acaso, ser atingido por um raio ou ganhar na sena?
