PROVA DE MATEMÁTICA ACADEMIA DA FORÇA AÉREA (AFA) – 2019/2020 ENUNCIADOS

(1)

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA

ACADEMIA DA FORÇA AÉREA (AFA) – 2019/2020 ENUNCIADOS

1) Uma pesquisa foi realizada com um grupo de Cadetes da AFA. Esses Cadetes afirmaram que praticam, pelo menos uma, dentre as modalidades esportivas: voleibol, natação e atletismo.

Obteve-se, após a pesquisa, os seguintes resultados:

I) Dos 66 Cadetes que praticam voleibol, 25 não praticam outra modalidade esportiva;

II) Dos 68 Cadetes que praticam natação, 29 não praticam outra modalidade esportiva;

III) Dos 70 Cadetes que praticam atletismo, 26 não praticam outra modalidade esportiva e

IV) 6 Cadetes praticam as três modalidades esportivas.

Marque a alternativa FALSA.

A quantidade de Cadetes que

a) pratica pelo menos duas das modalidades esportivas citadas é 59.

b) foram pesquisados é superior a 150.

c) pratica voleibol ou natação é 113.

d) pratica exatamente duas das modalidades esportivas citadas é um número primo.

2) Considere no plano de Argand-Gauss a região S formada pelos afixos P x, y( ) dos números complexos z= +x yi, em que − =1 i.

( ) z i 1

S z 2

Re z 0

 − 

= 

 



Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa.

( ) A área de S é maior que 4,8 u.a.

( ) Se k é o elemento de S de menor argumento, então ki S ( ) Todo z pertencente a S possui seu conjugado em S Sobre as proposições, tem-se que

a) apenas uma é verdadeira. b) apenas duas são verdadeiras.

c) todas são verdadeiras. d) todas são falsas.

3) Considere os polinômios na variável x:

( ) ³ ( ³ ) ²

A x =x + 3m −4m x −2, sendo m ; e ( ) ²

B x =x −2x 1.+

Os gráficos de A x^{( )} e B x^{( )} possuem apenas um ponto comum sobre o eixo das abscissas.

É correto afirmar que

a) o produto e a soma das raízes imaginárias de A x^{( )} são números conjugados.

b) os afixos das raízes de A x^{( )} formam um triângulo equilátero.

c) as raízes de A x^{( )} possuem argumentos que NÃO formam uma Progressão Aritmética.

d) todas as raízes de A x^{( )} possuem o mesmo módulo.

(2)

4) Em umas das extremidades de um loteamento há um terreno triangular que será aproveitado para preservar a área verde tendo em seu interior uma região quadrada que será pavimentada e destinada a lazer.

Levando as medidas desse projeto, em metros, para o plano cartesiano, em uma escala de 1:100, tem-se:

• O é a origem do plano cartesiano;

• O, P e Q são os vértices do terreno triangular;

• dois vértices do triângulo são os pontos P(−2, 0) e Q 0, 6( ) e dois de seus lados estão contidos nos eixos cartesianos;

• O, M, R e N são os vértices da região quadrada;

• a área da região quadrada tem três vértices consecutivos M, O e N sobre os eixos cartesianos; e

• R está alinhado com P e Q Assim, pode-se afirmar que

a) a abscissa do ponto R é maior que − 1.

b) a região pavimentada supera 25000 m . ² c) a ordenada de R é maior que ⁷.

5

d) sobram, para área verde, exatamente, 37000 m . ²

5) O ponto da reta r : x+3y 10− =0 que está mais próximo da origem do sistema cartesiano é também exterior à circunferência : 2x²+2y²+4x 12y− + − =k 4 0, com

k .

É correto afirmar que dentre os possíveis valores de k a) existem 8 elementos.

b) três são números primos.

c) há um elemento que é um quadrado perfeito.

d) existem números negativos.

6) Numa aula de Biologia da turma Delta do Colégio LOG, os alunos observam o crescimento de uma cultura de bactérias.

Inicialmente tem-se uma amostra com 3 bactérias. Após várias observações, eles concluíram que o número de bactérias dobra a cada meia hora.

Os alunos associaram as observações realizadas a uma fórmula matemática, que representa o número f de bactérias da amostra, em função de n horas.

A partir da fórmula matemática obtida na análise desses alunos durante a aula de Biologia, o professor de matemática da turma Delta propôs que eles resolvessem a questão abaixo, com n .

Se g n( )=log₂f n ,( ) log 2=0, 30 e log 3=0, 48 , então ¹⁰⁰ ^{( )}

n 1

= g n

 é um número cuja soma dos algarismos é

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

(3)

7) Três amigas: Tereza, Ana e Kely entram juntas numa loja de chocolates.

A tabela abaixo indica a quantidade de caixas e o tipo de trufas que cada uma comprou na loja.

Trufas de morango

Trufas de nozes

Trufas de coco

Tereza 3 7 1

Ana 4 10 1

Kely 1 1 1

Com as compras, Tereza gastou 315 reais e Kely gastou 105 reais.

( ) O valor da caixa de trufas de coco é o dobro do valor da caixa de trufas de nozes.

( ) Ana gastou o quádruplo do que Kely gastou.

( ) As três juntas gastaram menos de 800 reais.

Sobre as proposições, tem-se que

a) todas são verdadeiras. b) apenas uma é falsa.

c) apenas duas são falsas. d) todas são falsas.

8) Um pisca-pisca usado em árvores de natal é formado por um fio com lâmpadas acopladas, que acendem e apagam sequencialmente.

Uma pessoa comprou um pisca-pisca, formado por vários blocos, com lâmpadas em formato de flores, com o seguinte padrão:

• Cada bloco é composto por 5 flores, cada uma com 5 lâmpadas circulares, de cores distintas (A, B, C, D, E), como na figura:

• Em cada flor, apenas 3 lâmpadas quaisquer acendem e apagam juntas, por vez, ficando as outras duas apagadas.

• Todas as 5 flores do bloco acendem e apagam juntas.

• Em duas flores consecutivas, nunca acendem e apagam as mesmas 3 cores da anterior.

Assim, considere que uma composição possível para um bloco acender e apagar corresponde à figura abaixo:

O número de maneiras, distintas entre si, de contar as possibilidades de composição para um bloco desse pisca-pisca é

a) 10⁵ b) 9⁴10 c) 9⁵ d) 9 10⁵

(4)

9) Cada questão de uma prova consta de quatro alternativas, das quais apenas uma é correta.

Considere que um candidato sabe 60% das questões da prova. Quando esse candidato sabe uma questão, ele a acerta, e quando não sabe, ele escolhe qualquer resposta, ao acaso.

Considere, ainda, que esse candidato acertou uma questão.

A probabilidade de que tenha sido por acaso é um número que pode ser escrito na forma de uma fração irredutível ^p.

q

A soma dos números p e q é igual a

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11

10) Considere:

• a matriz

x 1 1 1

A 0 1 0 ,

x 2 1 x 1

+ −

 

 

=  

 + + 

 

cujo determinante é det A=M;

• a matriz

1 0 0 0 0

0 0 0 0 1

B 0 0 0 1 0 ,

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

 

 

= −

 

 − 

 

cujo determinante é det B=N; e

• T= −3 x.

Seja a função real definida por f x( )=log M log N._T + _T Sobre o domínio de f, é correto afirmar que

a) é o conjunto dos números reais.

b) possui apenas elementos negativos.

c) não tem o número 2 como elemento.

d) possui três elementos que são números naturais.

11) Considere a função real g : →A tal que _{g x}( )_{= − −}_b _b⁻^x_; b e b 1; em que A é o conjunto imagem de g.

Com relação à função g, analise as alternativas e marque a verdadeira.

a)  x para os quais _{g x}( )_{ −}_b.

b) A função g admite inversa.

c) O conjunto solução da equação _{g x}( )_{= − −}_{b 1} é unitário.

d) A função h definida por _{h x}( )₌_{g x}( )_{+ +}_{b 1} é positiva  x .

(5)

12) Considere as funções reais f e g definidas, respectivamente, por ( ) x³ x² x 1

f x 1

x 1 + − −

= −

− e _{g x}( ) ^x³ ^x² ^{x 1} _1.

x 1 + − −

= −

− Sejam:

• D f^{( )} o conjunto domínio de f;

• ^{D g}( ) o conjunto domínio de g;

• Im f^{( )} o conjunto imagem de f; e

• ^{Im g}( ) o conjunto imagem de g.

Sobre as funções f e g, analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa.

(02) A função f admite valor mínimo igual a −1.

(04) f é decrescente ^{  − −}^x  ^{, 2}

(08) ^{D f}( )⁼^{D g}( )

(16) ^{Im g}( )^^{Im f}^{( )}

(32) f x( )=g x( )  +x 1, 

A soma das proposições verdadeiras é

a) 50 b) 48 c) 42 d) 30

13) Sejam as funções f, g e h tais que:

• f é uma função quadrática, cujas raízes são 0 e 4 e cujo gráfico tangencia o gráfico de g;

• g é tal que _{g x}( )₌_m com m0, em que m é raiz da equação

2x2 8x 3

1 128;

2

− + +

  =

  

• h é função afim, cuja taxa de variação é 1 e cujo gráfico intercepta o gráfico de f na maior das raízes de f.

Considere os gráficos dessas funções no mesmo plano cartesiano.

( ) A função real k definida por ( )  ( )  ^{( )}

 ( )

5 2

f x h x

k x

g x

=  é NÃO negativa se, e somente

se, x − , 0 .

( ) _{h x}( )__{f x}( )__{g x}( ) se, e somente se, x ⁴, 4 ^{ }2 . 5

 

 − − ( ) A equação h x^{( )}−f x^{( )}=0 possui duas raízes positivas.

a) todas são verdadeiras. b) apenas duas são verdadeiras.

c) apenas uma é verdadeira. d) nenhuma delas é verdadeira.

(6)

14) Um sistema de irrigação para plantas é composto por uma caixa d’água, em formato de cone circular reto, interligada a 30 esferas, idênticas. O conteúdo da caixa d’água chega até as esferas por encanamentos cuja capacidade de armazenamento é desprezível.

O desenho a seguir ilustra a ligação entre a caixa d’água e uma das 30 esferas, cujo raio interno mede

1

r 3 dm.

= −

Se a caixa d’água está cheia e as esferas, bem como os encanamentos, estão vazios, então, no momento em que todas as 30 esferas ficarem cheias, restará, no cone, apenas a metade de sua capacidade total.

Assim, a área lateral de um cone equilátero cujo raio da base é congruente ao da caixa d’água, em dm , é igual a ²

a) 80 b) 40 c) 20 d) 10

15) Em uma roda gigante, a altura h, em metros, em que uma pessoa se encontra, em relação ao solo, no instante t, em segundos, é dada pela função h : → , definida por

( ) ( )

h t = +A Bsen Ct , em que A, B e C são constantes reais.

A figura a seguir ilustra o gráfico dessa função, no intervalo 0,150 .

( ) A B C  = 

( ) No instante t=20 s, a pessoa estará a uma altura h tal que h17, 5;17,8 .

( ) A função real f definida por f t( ) 10 9 cos ³ t 2 60

 

 

= −  −  é idêntica à função h.

(7)

a) todas são verdadeiras. b) apenas duas são verdadeiras.

c) apenas uma é verdadeira. d) nenhuma delas é verdadeira.

16) No Curso Preparatório de Cadetes do Ar (CPCAR) existem 8 turmas de 25 alunos que ao final do 3º trimestre de certo ano apresentaram as médias em matemática, registradas no gráfico abaixo:

Neste ano, 60% dos alunos do CPCAR obtiveram média maior ou igual a 7.

( ) x% do total de alunos apresentaram média maior ou igual a 6.

( ) y% do total de alunos apresentaram média menor que 6.

( ) A nota mediana deste resultado é maior que 7,3.

a) todas são verdadeiras. b) todas são falsas.

c) apenas duas são falsas. d) apenas uma é falsa.

(8)

RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES

1) b (Conjuntos)

2) a (Números complexos)

3) c (Polinômios e números complexos) 4) c (Geometria analítica – reta)

5) b (Geometria analítica – circunferência e reta) 6) d (Logaritmos e progressões)

7) b (Sistemas lineares) 8) b (Análise combinatória) 9) a * (Probabilidade)

10) c (Determinantes e logaritmo) 11) c (Função exponencial) 12) a (Função)

13) d (Função do 1º grau e quadrática) 14) a (Geometria espacial – cone e esfera) 15) b (Função trigonométrica)

16) d (Estatística)

(*) O enunciado dessa questão foi adaptado para dar mais precisão.

(9)

PROVA DE MATEMÁTICA

ACADEMIA DA FORÇA AÉREA (AFA) – 2019/2020 ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES

1) Uma pesquisa foi realizada com um grupo de Cadetes da AFA. Esses Cadetes afirmaram que praticam, pelo menos uma, dentre as modalidades esportivas: voleibol, natação e atletismo.

Obteve-se, após a pesquisa, os seguintes resultados:

I) Dos 66 Cadetes que praticam voleibol, 25 não praticam outra modalidade esportiva;

II) Dos 68 Cadetes que praticam natação, 29 não praticam outra modalidade esportiva;

III) Dos 70 Cadetes que praticam atletismo, 26 não praticam outra modalidade esportiva e

IV) 6 Cadetes praticam as três modalidades esportivas.

Marque a alternativa FALSA.

A quantidade de Cadetes que

a) pratica pelo menos duas das modalidades esportivas citadas é 59.

b) foram pesquisados é superior a 150.

c) pratica voleibol ou natação é 113.

d) pratica exatamente duas das modalidades esportivas citadas é um número primo.

RESOLUÇÃO: b

Vamos fazer um diagrama de Venn, no qual os cadetes que praticam voleibol, natação e atletismo estão indicados nos conjuntos V, N e A, respectivamente. Note também que, como os cadetes praticam pelo menos uma dessas atividades, não há cadetes fora desses três conjuntos.

No diagrama anterior, foram colocadas algumas informações do enunciado e associadas variáveis às regiões cuja quantidade de elementos é desconhecida inicialmente.

É dado que 66 cadetes praticam voleibol, então 25+ + + =x y 6 66 + =x y 35.

É dado que 68 cadetes praticam natação, então 29 x z 6 68+ + + =  + =x z 33.

É dado que 70 cadetes praticam atletismo, então 26+ + + =y z 6 70 + =y z 38.

Somando as três equações do sistema

x y 35 x z 33 , y z 38

 + =

 + =

 + =



obtemos

(10)

( )

2 x+ + =y z 106 + + =x y z 53.

Assim, temos:

( ) ( )

x= x+ + − + =y z y z 53 38 15− =

( ) ⁽ ⁾

y= x+ + −y z x+ =z 53 33− =20

( ) ( )

z= x+ + −y z x+y =53 35 18− = Vamos agora analisar as alternativas.

a) VERDADEIRA

A quantidade de cadetes que pratica pelo menos duas modalidades esportivas é x+ + + =y z 6 53 6+ =59.

b) FALSA

A quantidade de cadetes que foram pesquisados é 70 25 29 x 124 15 139.+ + + = + = c) VERDADEIRA

A quantidade de cadetes que pratica voleibol ou natação é 66 29 z+ + =95 18 113.+ = d) VERDADEIRA

A quantidade de cadetes que pratica exatamente duas das modalidades esportivas citadas é x+ + =y z 53, que é primo.

2) Considere no plano de Argand-Gauss a região S formada pelos afixos P x, y( ) dos números complexos z= +x yi, em que − =1 i.

( ) z i 1

S z 2

Re z 0

 − 

= 

 



( ) A área de S é maior que 4,8 u.a.

( ) Se k é o elemento de S de menor argumento, então ki S ( ) Todo z pertencente a S possui seu conjugado em S Sobre as proposições, tem-se que

a) apenas uma é verdadeira. b) apenas duas são verdadeiras.

c) todas são verdadeiras. d) todas são falsas.

RESOLUÇÃO: a

(11)

A desigualdade z− i 1 representa o exterior e a fronteira de uma circunferência de centro em i e raio 1.

A desigualdade z 2 representa o interior e a fronteira de uma circunferência de centro na origem e raio 2.

A desigualdade Re z^{( )}0 representa a região à esquerda do eixo imaginário.

A região sombreada na figura é a interseção das três regiões descritas acima.

Vamos analisar as proposições.

( F ) A área de S é maior que 4,8 u.a.

A área de S é ¹( ₂² ₁²) ³ _{4, 71} _4,8

2 2

 −  =   unidades de área.

( V ) Se k é o elemento de S de menor argumento, então ki S

O elemento de S de menor argumento é k=2i, então ki=⁽2i i = − ⁾ 2 S ( F ) Todo z pertencente a S possui seu conjugado em S

Contraexemplo: O elemento − i S e seu conjugado i S. 3) Considere os polinômios na variável x:

( ) ³ ( ³ ) ²

A x =x + 3m −4m x −2, sendo m ; e ( ) ²

B x =x −2x 1.+

Os gráficos de A x^{( )} e B x^{( )} possuem apenas um ponto comum sobre o eixo das abscissas.

É correto afirmar que

a) o produto e a soma das raízes imaginárias de A x^{( )} são números conjugados.

b) os afixos das raízes de A x^{( )} formam um triângulo equilátero.

c) as raízes de A x^{( )} possuem argumentos que NÃO formam uma Progressão Aritmética.

d) todas as raízes de A x^{( )} possuem o mesmo módulo.

RESOLUÇÃO: c

O polinômio B x( )=x²−2x 1+ =(x 1− )² possui uma única raiz real dupla x 1.=

Os gráficos de A x^{( )} e B x^{( )} possuem apenas um ponto comum sobre o eixo das abscissas, então eles possuem uma única raiz comum, o que implica que x=1 é raiz de

A x .( )

( ) ³ ( ³ ) ² ³

A 1 1 3m 4m 1 2 0 3m 4m 1

 = + −  − =  − =

( ) ³ ² ( ³ ) ( ² ) ( )( ² ) ( )( )

A x x x 2 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1

 = + − = − + − = − + + + + −

( ) ( )( ² )

A x x 1 x 2x 2

 = − + +

As raízes de A x^{( )} são 1 e ² ²ⁱ 1 i.

2

−  = − 

Vamos analisar as alternativas.

a) INCORRETA

As raízes imaginárias de A x ( ) são − 1 i, cujo produto é (− +1 i)(− − = −1 i) ( )1²− =i² 2 e a soma é (− + + − − = −1 i) ( 1 i) 2. Esses valores não são números conjugados

b) INCORRETA

(12)

Os afixos das raízes de A x formam um triângulo isósceles não equilátero. Os lados ( ) do triângulo têm medidas 2, 5 e 5.

c) CORRETA

As raízes de A x na forma trigonométrica são 1 1cis0,( ) = 3 1 i 2cis

4

− + =  e 1 i 2cis5 .

4

− − =  Os argumento 0, 3 4

 e 5 4

 não estão em PA.

d) INCORRETA

A raiz real 1 possui módulo1 e as duas raízes imaginárias − 1 i possuem módulo 2.

4) Em umas das extremidades de um loteamento há um terreno triangular que será aproveitado para preservar a área verde tendo em seu interior uma região quadrada que será pavimentada e destinada a lazer.

Levando as medidas desse projeto, em metros, para o plano cartesiano, em uma escala de 1:100, tem-se:

• O é a origem do plano cartesiano;

• O, P e Q são os vértices do terreno triangular;

• dois vértices do triângulo são os pontos P(−2, 0) e Q 0, 6( ) e dois de seus lados estão contidos nos eixos cartesianos;

• O, M, R e N são os vértices da região quadrada;

• a área da região quadrada tem três vértices consecutivos M, O e N sobre os eixos cartesianos; e

• R está alinhado com P e Q Assim, pode-se afirmar que

a) a abscissa do ponto R é maior que − 1.

b) a região pavimentada supera 25000 m .² c) a ordenada de R é maior que 7

5.

d) sobram, para área verde, exatamente, 37000 m .² RESOLUÇÃO: c

(13)

A reta que passa pelos pontos P(−2, 0) e Q 0, 6( ) tem equação segmentária x y 2+ =6 1.

−

Seja k0 a medida dos lados do quadrado MONR, então as coordenadas do ponto R são (−k, k .)

Como R está sobre a reta PQ, então k k k k 4k 3

1 1 1 k .

2 6 2 6 6 2

− + =  + =  =  =

− Vamos analisar as alternativas.

a) FALSA

A abscissa do ponto R é 3

k 1.

− = −  −2 b) FALSA

A área da região pavimentada é

2

2 2 3 2 2

k 100 100 22500 m , 2

 =     = que é inferior a 25000 m .2 Note que multiplicamos a área por 100² por causa da escala.

c) VERDADEIRA

A ordenada de R é 3 7

k 1, 4.

2 5

=  = d) FALSA

Sobram para área verde a área do triângulo OPQ menos a área do quadrado MONR, ou

seja, 2 6 ² ²

100 22500 60000 22500 37500 m . 2

  − = − =

(14)

5) O ponto da reta r : x+3y 10− =0 que está mais próximo da origem do sistema cartesiano é também exterior à circunferência : 2x²+2y²+4x 12y− + − =k 4 0, com

k .

É correto afirmar que dentre os possíveis valores de k a) existem 8 elementos.

b) três são números primos.

c) há um elemento que é um quadrado perfeito.

d) existem números negativos.

RESOLUÇÃO: b

A reta 1 10

r : x 3y 10 0 y x

3 3

+ − =  = − + tem coeficiente angular m_r ¹.

= −3 A reta s, suporte OP, é perpendicular a r e tem coeficiente angular

( )

s

r

1 1

m 3.

m 1 3

= − = − =

− Como a reta s passa pela origem, sua equação é s : y=3x.

O ponto P é a interseção de r e s. Assim, temos:

x 10

3x 9x x 10 x 1

3 3

= − +  = − +  = y=  =3 1 3

Assim, o ponto P tem coordenadas ( )1, 3 .

Vamos escrever a equação da circunferência  na forma reduzida:

( ) ( )

2 2 2 2

2 2

: 2x 2y 4x 12y k 4 0 2 x 2x 1 2 y 6y 9 4 k 2 18 x 1 y 3 24 k

2

 + + − + − =  + + + − + = − + +

 + + − = −

A fim de que essa equação represente uma circunferência, devemos ter 24 k 0 k 24.

2

−   

Logo, a circunferência tem C(−1,3) e raio 24 k

R .

2

= −

Para que o ponto P 1, 3( ) seja exterior à circunferência , a distância CP=2 deve ser superior ao raio da circunferência. Assim, temos:

(15)

24 k 24 k

2 4 24 k 8 k 16

2 2

− −

    −   

Portanto, 16 k 24, ou seja, k17,18,19, 20, 21, 22, 23 e três elementos desse conjunto são números primos.

6) Numa aula de Biologia da turma Delta do Colégio LOG, os alunos observam o crescimento de uma cultura de bactérias.

Inicialmente tem-se uma amostra com 3 bactérias. Após várias observações, eles concluíram que o número de bactérias dobra a cada meia hora.

Os alunos associaram as observações realizadas a uma fórmula matemática, que representa o número f de bactérias da amostra, em função de n horas.

A partir da fórmula matemática obtida na análise desses alunos durante a aula de Biologia, o professor de matemática da turma Delta propôs que eles resolvessem a questão abaixo, com n .

Se g n( )=log₂f n ,( ) log 2=0, 30 e log 3=0, 48 , então ¹⁰⁰ ^{( )}

n 1

= g n

 é um número cuja soma dos algarismos é

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

RESOLUÇÃO: d

Se inicialmente há 3 bactérias e o número de bactérias dobra a cada meia hora (i.e., quadruplica a cada hora), então a função f que representa o número de bactérias em n horas é _{f n}( )_{= }_{3 4 .}ⁿ

( ) ₂ ( ) ₂ ⁿ ₂ ₂ ₂

g n =log f n =log 3 4 =log 3 n log 4+  =log 3 2n+

( ) ( ) ( )

( )

100 100 100 100

2 2

n 1 n 1 n 1 n 1

2 2

g n log 3 2n log 3 2 n

1 100 100

100 log 3 2 100 log 3 10100 2

= = = + = = +  = =

   

+ 

=  +  =  +

Mas log 3₂ ^{log 3} ^{0, 48} 1, 6 , log 2 0,30

= = = então

100 ( )

n 1 2

g n 100 log 3 10100 100 1, 6 10100 10260.

= =  + =  + =



A soma dos algarismos de 10260 é 9.

(16)

7) Três amigas: Tereza, Ana e Kely entram juntas numa loja de chocolates.

A tabela abaixo indica a quantidade de caixas e o tipo de trufas que cada uma comprou na loja.

Trufas de morango

Trufas de nozes

Trufas de coco

Tereza 3 7 1

Ana 4 10 1

Kely 1 1 1

Com as compras, Tereza gastou 315 reais e Kely gastou 105 reais.

( ) O valor da caixa de trufas de coco é o dobro do valor da caixa de trufas de nozes.

( ) Ana gastou o quádruplo do que Kely gastou.

( ) As três juntas gastaram menos de 800 reais.

a) todas são verdadeiras. b) apenas uma é falsa.

c) apenas duas são falsas. d) todas são falsas.

RESOLUÇÃO: b

Sejam x, y e z os preços unitários das trufas de morango, nozes e coco, respectivamente, e A o valor gasto por Ana. A partir dos dados do enunciado podemos escrever as seguintes igualdades.

3x 7y z 315 x y z 105

+ + =

 + + =



Vamos analisar as alternativas.

( V ) O valor da caixa de trufas de coco é o dobro do valor da caixa de trufas de nozes.

Subtraindo da primeira igualdade o triplo da segunda, temos:

(^{3x 7y z}⁺ + −  + + =) ^{3 x}( ^{y z}) ^{315 3 105}−  ^{4y 2z}− =  =⁰ ^z ^2y Assim, o valor da trufa de coco é o dobro da trufa de nozes.

( V ) Ana gastou o quádruplo do que Kely gastou.

O valor gasto por Ana é ( ) ( )

315 105 0

A=4x 10y+ + =z 3x+7y+ +z x+ + +y z 2y− =z 420.

Assim, Ana gastou o quádruplo do que Kely gastou.

( F ) As três juntas gastaram menos de 800 reais.

As três juntas gastaram 315 105+ +420=840, que é mais do que 800 reais.

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8) Um pisca-pisca usado em árvores de natal é formado por um fio com lâmpadas acopladas, que acendem e apagam sequencialmente.

Uma pessoa comprou um pisca-pisca, formado por vários blocos, com lâmpadas em formato de flores, com o seguinte padrão:

• Cada bloco é composto por 5 flores, cada uma com 5 lâmpadas circulares, de cores distintas (A, B, C, D, E), como na figura:

• Em cada flor, apenas 3 lâmpadas quaisquer acendem e apagam juntas, por vez, ficando as outras duas apagadas.

• Todas as 5 flores do bloco acendem e apagam juntas.

• Em duas flores consecutivas, nunca acendem e apagam as mesmas 3 cores da anterior.

Assim, considere que uma composição possível para um bloco acender e apagar corresponde à figura abaixo:

O número de maneiras, distintas entre si, de contar as possibilidades de composição para um bloco desse pisca-pisca é

a) 10⁵ b) 9⁴10 c) 9⁵ d) 9 10⁵ RESOLUÇÃO: b

Devemos escolher 3 lâmpadas que ficarão acesas na primeira flor. O número de possibilidades de realizar essa escolha é C³₅ ^{5 4} 10.

2!

=  =

O número de maneiras de escolher as 3 lâmpadas que ficarão acesas na segunda flor é 10 1− =9, pois a configuração da primeira lâmpada não pode ser repetida.

O número de maneiras de escolher as 3 lâmpadas que ficarão acesas na terceira flor é 10 1− =9, pois a configuração da segunda lâmpada não pode ser repetida.

O número de maneiras de escolher as 3 lâmpadas que ficarão acesas na quarta flor é 10 1− =9, pois a configuração da terceira lâmpada não pode ser repetida.

O número de maneiras de escolher as 3 lâmpadas que ficarão acesas na quinta flor é 10 1− =9, pois a configuração da quarta lâmpada não pode ser repetida.

Assim, pelo princípio multiplicativo, o número de possibilidades de compor um bloco é 10 9 . 4

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9) Cada questão de uma prova consta de quatro alternativas, das quais apenas uma é correta.

Considere que um candidato sabe 60% das questões da prova. Quando esse candidato sabe uma questão, ele a acerta, e quando não sabe, ele escolhe qualquer resposta, ao acaso.

Considere, ainda, que esse candidato acertou uma questão.

A probabilidade de que tenha sido por acaso é um número que pode ser escrito na forma de uma fração irredutível ^p.

q

A soma dos números p e q é igual a

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11

RESOLUÇÃO: a

Vamos fazer uma árvore de probabilidades com as informações do enunciado.

Se o aluno acertou uma questão, a probabilidade de ter sido por acaso é dada por

40% 25% 1000 1 p

40% 25% 60% 100% 1000 6000 7 q.

 = = =

 +  + Logo, p=1, q=7 e p+ =q 8.

10) Considere:

• a matriz

x 1 1 1

A 0 1 0 ,

x 2 1 x 1

+ −

 

 

=  

 + + 

 

cujo determinante é det A=M;

• a matriz

1 0 0 0 0

0 0 0 0 1

B 0 0 0 1 0 ,

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

 

 

= −

 

 − 

 

cujo determinante é det B=N; e

• T= −3 x.

Seja a função real definida por f x( )=log M log N._T + _T Sobre o domínio de f, é correto afirmar que

a) é o conjunto dos números reais.

b) possui apenas elementos negativos.

c) não tem o número 2 como elemento.

d) possui três elementos que são números naturais.

(19)

RESOLUÇÃO: c

( )² ( ) ²

x 1 1 1

M det A 0 1 0 x 1 x 2 x 3x 3

x 2 1 x 1

+ −

= = = + + + = + +

+ +

No determinante de B, trocando-se as posições da 2ª e da 5ª colunas e da 3ª e da 4ª colunas, o determinante não se altera (troca de sinal duas vezes) e obtemos uma matriz diagonal.

( ) ( )

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

N det B 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

= = − = − =   −   − =

− −

Assim, a função f será dada por

( ) _T _T ₍_{3 x}₎( ² ) ₍_{3 x}₎

f x =log M log N+ =log ₋ x +3x 3+ +log ₋ 1.

O domínio de f é obtido fazendo os logaritmandos positivos e as bases positivas e diferentes de 1. Assim, temos:

x2+3x 3+ 0, o que ocorre para todo x real, pois o discriminante 32 4 1 3 3 0.

 = −   = −  3 x−   0 x 3 3 x 1−   x 2

Portanto, o domínio de f é ^D_f ⁼^x^{ −} ^{2 | x}^^{3 ,} que não tem 2 como elemento.

11) Considere a função real g : →A tal que _{g x}( )_{= − −}_b _b⁻^x_; b e b 1; em que A é o conjunto imagem de g.

Com relação à função g, analise as alternativas e marque a verdadeira.

a)  x para os quais _{g x}( )_{ −}_b.

b) A função g admite inversa.

c) O conjunto solução da equação _{g x}( )_{= − −}_{b 1} é unitário.

d) A função h definida por _{h x}( )₌_{g x}( )_{+ +}_{b 1} é positiva  x . RESOLUÇÃO: c

b 1 x 0 x x

x 0 x 0 0 b b 1 0 b 1 b b b b 1

 − − −

  −     =   −  −  −  − −  − − b 1 g x( ) b

 − −   − Vamos analisar as opções.

a) FALSA

g x( ) −b,  x b) FALSA

A função g não admite inversa, pois não é bijetora. Em particular, ela não é injetora

como podemos ver pelo fato de ( ) ¹ 1 ( )

g 1 b b b g 1 .

b

− = − − − − = − − =