UFPE — MA989 — 2011.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA LISTA DE EXERC´ICIOS 01 – v. 1.0

UFPE — MA989 — 2011.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA LISTA DE EXERC´ ICIOS 01 – v. 1.0

Assuntos: aritm´etica dos n´ umeros naturais (Parte 1) e, portanto, axiomas de Peano, defini¸c˜ao por recurs˜ao primitiva, demonstra¸c˜oes diretas e por in- du¸c˜ao finita, (contra-)exemplos; alguns aspectos alg´ebricos b´asicos.

Nota¸ c˜ ao: (N, 0, S) ´e um sistema de n´ umero naturais (sistema de Peano);

1 := S(0).

Quest˜ ao 1. J´a vimos que a adi¸c˜ao + em N tem elemento neutro 0 e ´e associativa. Demonstrar as seguintes propriedades aritm´eticas em N :

1.a. ∀n ∈ N, n + 1 = S(n) = 1 + n;

1.b. A adi¸c˜ao em N ´e comutativa;

1.c. ∀n ∈ N, n0 = 0;

1.d. 1 ´e elemento neutro

para a multiplica¸c˜ao em N ;

1.e. A multiplica¸c˜ao em N ´e distributiva `a direita sobre a adi¸c˜ao, ou seja:

∀m, n, p ∈ N , (m + n)p = mp + np;

1.f. A multiplica¸c˜ao em N ´e associativa;

1.g. A multiplica¸c˜ao em N ´e distributiva `a esquerda sobre a adi¸c˜ao, ou seja:

∀m, n, p ∈ N , p(m + n) = pm + pn.

Obs. Dos itens 1.e e 1.g, a multiplica¸c˜ao em N ´e distributiva sobre a adi¸c˜ao;

1.h. A multiplica¸c˜ao em N ´e comutativa;

1.i. ∀b, m, n ∈ N, b

= b

b

; 1.j. ∀ b, m, n ∈ N, b

= ( b

)

;

1.k. 1 ´e elemento neutro `a direita para a exponencia¸c˜ao em N ; 1.l. A exponencia¸c˜ao em N n˜ao admite elemento neutro `a esquerda;

1.m. A exponencia¸c˜ao em N n˜ao ´e comutativa;

1.n. A exponencia¸c˜ao em N n˜ao ´e associativa.

Quest˜ ao 2. Sejam C um conjunto, l, r, e

, e

∈ C elementos de C , e ∗ uma opera¸c˜ao bin´aria em C, isto ´e, ∗ : C × C −→ C. Demonstrar que:

2.a. Se l ´e um elemento neutro `a esquerda para ∗, e r ´e um elemento neutro

`a direita para ∗, ent˜ao l = r (e, assim, eles s˜ao um elemento neutro para ∗);

2.b. Se e

e e

s˜ao elementos neutros para ∗, ent˜ao e

= e

(ou seja, se existe um elemento neutro para ∗, ent˜ao ele ´e ´ unico).

1

Ou seja, 1 ´ e elemento neutro ` a esquerda e elemento neutro ` a direita.

1

Quest˜ ao 3. Seja S = b {a, b} um conjunto com dois elementos distintos. Em cada item abaixo, dar um exemplo de opera¸c˜ao bin´aria ∗ em S satisfazendo as condi¸c˜oes pedidas no item. Apresentar a opera¸c˜ao bin´aria por meio de uma tabela de multiplica¸c˜ao (“tabuada”), interpretando as condi¸c˜oes em ter- mos de propriedades das tabelas.

Ex.:

a b a a b b a b

equivale a: a ∗ a = a = b ∗ a e a ∗ b = b = b ∗ b .

3.a. Ambos a e b s˜ao elementos neutros `a esquerda para ∗;

3.b. Ambos a e b s˜ao elementos neutros `a direita para ∗;

Pergunta: As duas opera¸c˜oes acima poderiam ser comutativas ? Justificar;

3.c. ∗ ´e associativa e comutativa e a ´e elemento neutro para ∗;

3.d. ∗ ´e associativa e comutativa mas n˜ao admite elemento neutro `a esquerda nem `a direita;

3.e. ∗ ´e associativa mas n˜ao ´e comutativa;

3.f. ∗ ´e comutativa mas n˜ao ´e associativa;

3.g. ∗ n˜ao ´e comutativa nem associativa e n˜ao admite elemento neutro `a esquerda nem `a direita.

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