ufpe – ´ area ii – c 2019 prof. fernando j. o. souza MA036 (geometria anal´ıtica 1) – 2019.1 – turma p6 A EQUA ¸ C ˜ AO GERAL DO 2
oGRAU EM 2 VARI ´ AVEIS
Parte 2 (de 2) - v. 1.1
Assuntos: Interpreta¸c˜ao dos conjuntos-solu¸c˜ao da equa¸c˜ao geral do 2
ograu em 2 vari´aveis como curvas cˆonicas; elimina¸c˜ao do termo cruzado por rota¸c˜ao.
Obs. Para o uso correto do m´etodo discutido neste texto, ´e importante a devida compreens˜ao das equa¸c˜oes numeradas ao longo deste texto.
A equa¸c˜ao geral do 2
ograu nas duas vari´aveis x e y ´e:
Ax
2+ Bxy + Cy
2+ Dx + Ey + F = 0 (1) Para efeito de facilitar a convers˜ao desta equa¸c˜ao para sua equivalente em novas coordenadas, observemos que ela pode ser reescrita de uma forma ma- tricial, a qual ´e mais complicada que (1) mas utilizar´a, diretamente, a matriz de mudan¸ca de coordenadas por rota¸c˜ao. Come¸caremos com matrizes de ordem 1 × 1, e as expandiremos como produtos de matrizes de ordem maior:
[0] = [Ax
2+Bxy+Cy
2+Dx+Ey+F ] = [Ax
2+Bxy+Cy
2]+[Dx+Ey]+[F ] ∴
[0] =
x y
A B/2 B/2 C
x y
+
D E
x y
+ [F ] (2) Acompanharemos a discuss˜ao do assunto usando o Item 1.v. da p´agina web que corresponde `a Parte 1 deste texto, a saber, 4x
2− 4xy + 7y
2− 24 = 0.
Logo:
[0] =
x y
2 − 2
− 2 7
x y
+
0 0
x y
+ [ − 24].
As partes quadr´atica e linear da equa¸c˜ao s˜ao codificadas pelas matrizes, Q = h
A B/2 B/2 C
i e L = [
D E] que, no Item 1.v, s˜ao iguais a
2 −2−2 7
e [
0 0]
respectivamente. Devido a Bxy = − 4xy (um “termo cruzado”, isto ´e, um
monˆomio em duas vari´aveis distintas), ´e necess´aria uma rota¸c˜ao, a qual ´e uma mudan¸ca de coordenadas e, como tal, codificada por uma matriz M cujas colunas s˜ao dadas pelas coordenadas antigas dos novos vetores unit´a- rios. Estas coordenadas s˜ao obtidas pela rota¸c˜ao dos vetores unit´arios da base { (1, 0); (0, 1) } original (base canˆonica do R
2). Como estudamos:
x y
= M
x
1y
1
=
cos (θ) − sen(θ) sen(θ) cos (θ)
x
1y
1
(3)
A fun¸c˜ao f (x, y) = Ax
2+ Bxy + Cy
2+ Dx + Ey + F = 4x
2− 4xy + 7y
2− 24 definida no plano
1pode ser expressa em termos das coordenadas (x
1, y
1) de cada ponto P do plano com rela¸c˜ao ao sistema de coordenadas rotacionado Ox
1y
1(ou seja, o ponto P ´e o mesmo e o valor da fun¸c˜ao nele tamb´em: quem muda s˜ao as express˜oes daquele ponto por coordenadas e daquela fun¸c˜ao em termos destas): f (x, y) = ˜ f (x
1, y
1) = ˜ Ax
21+ ˜ Bx
1y
1+ ˜ Cy
12+ ˜ Dx
1+ ˜ Ey
1+ ˜ F . Em particular, a curva cˆonica descrita por f(x, y) = 0 tamb´em ´e descrita por f ˜ (x
1, y
1) = 0. Assim, para reescrevermos a Equa¸c˜ao (1) nas novas vari´aveis, precisamos calcular os coeficientes de ˜ f :
Ax ˜
21+ ˜ Bx
1y
1+ ˜ Cy
12+ ˜ Dx
1+ ˜ Ey
1+ ˜ F = 0. (4) Podemos aplicar a Equa¸c˜ao (3) para expressarmos x e y em termos de x
1e y
1, obtendo f´ormulas para os novos coeficientes em termos dos antigos. Usando a equa¸c˜ao (3) e sua transposi¸c˜ao,
x y
=
x
1y
1M
t, obtemos a matriz Q ˜ a partir do formato descrito na Equa¸c˜ao (2):
x y Q
x y
=
x
1y
1M
tQM
x
1y
1
=
x
1y
1Q ˜
x
1y
1
∴
Q ˜ = M
tQM (5)
Da mesma forma,
L
x y
= LM
x
1y
1
= ˜ L
x
1y
1
∴
1f ´e fun¸c˜ao definida emR2 e, como tal, pode tamb´em ser vista como fun¸c˜ao dos pontos P do plano.
L ˜ = LM (6) A este ponto, ´e interessante sabermos que, em geral, a mudan¸ca de coorde- nadas inversa seria representada por M
−1mas, neste contexto, M
−1= M
tporque a matriz M representa uma mudan¸ca de base entre duas bases or- tonormais. M
−1representa a rota¸c˜ao inversa (isto ´e, aquela pelo ˆangulo trigonom´etrico − θ). Finalmente, como nosso objetivo ´e eliminar o “termo cruzado” Bxy, o que desejamos ´e:
B ˜ = 0 ∴ B ˜
2 = 0 ∴ Q ˜ =
A ˜ 0 0 C ˜
(7)
Mas ˜ B/2 ´e entrada de ˜ Q = M
tQM , donde obtemos que:
B ˜ = B
2 cos
2(θ) − sen
2(θ) + (C − A) cos (θ)sen(θ)
∴
usando o ˆangulo dobro de θ, B ˜ = B
2 cos (2θ) + C − A
2 sen(2θ) ∴
B ˜ = 0 ⇐⇒ B cos (2θ) = (A − C) sen(2θ) (8) Num dos caminhos por trigonometria, calculamos ˜ A e ˜ C a partir de um certo sistema de equa¸c˜oes envolvendo sen(2θ). Noutro caminho por trigono- metria, calculamos M e, a partir deste, ˜ Q. H´a tamb´em solu¸c˜oes por autova- lores (um assunto de ´ Algebra Linear)
2. Veremos mais detalhes abaixo.
Solu¸ c˜ oes. Solu¸ c˜ ao com rota¸ c˜ ao por trigonometria – um caminho:
Como no livro-texto [Boulos/Camargo, 3
aed.], escolheremos o ˆangulo trigo- nom´etrico θ ∈ 0,
π2∴ 2θ ∈ (0, π) ∴ sen(2θ) > 0 e, assim, podemos usar:
cot (2θ) = A − C
B (9)
No exemplo, cot (2θ) =
4−7−4=
34. Da identidade trigonom´etrica sen
2(2θ) = 1/ 1 + cot
2(2θ)
2Nestas solu¸c˜oes, ˜Ae ˜Cs˜ao os autovalores deQ(escolhidos numa ordem arbitr´aria mas, uma vez escolhidos, as dire¸c˜oes dex1 ey1 s˜ao definidas pelos respectivos autovetores).
segue-se que sen
2(2θ) = 1/ (1 + (3/4)
2) = 1/ (1 + (9/16)) =
1625. Mas sen(2θ) >
0 ∴ sen(2θ) = 4/5. Procedendo-se como em [Boulos/Camargo], chega-se ao sistema de equa¸c˜oes abaixo (detalhes na Se¸c. 23.C):
( A ˜ + ˜ C = A + C = 4 + 7 = 11 ∴ 2 ˜ A = 11 − 5 = 6 ∴ A ˜ = 3 A ˜ − C ˜ =
sen(2θ)B=
4/5−4= − 5 ∴ C ˜ = 11 − 3 = 8 ∴
3x
21+ 8y
21− 24 = 0 ∴ x
218 + y
213 = 1 (equa¸c˜ao reduzida)
Como n˜ao h´a termos lineares (monˆomios de grau 1), uma transla¸c˜ao n˜ao ser´a necess´aria
3. Sendo positivos os coeficientes dos termos quadr´aticos, conclui- se que se trata de uma elipse. S´o tendo sido efetuada uma rota¸c˜ao, seu centro
´e a origem do sistema de coordenadas original, O (0, 0).
Comprimento do eixo maior: 2a = 2 √
8 = 4 √ 2.
Comprimento do eixo menor: 2b = 2 √
3 ∴ c = √
a
2− b
2= √
8 − 3 = √ 5 ∴ Distˆancia focal 2c = 2 √
5; e excentricidade e =
ac= p 5/8.
Foram tamb´em pedidos os v´ertices e focos. Para eles, ´e necess´ario en- contrar θ ou, alternativamente, M de modo que se possa explicitar o novo sistema de coordenadas Ox
1y
1, no qual ´e bastante conveniente expressar as coordenadas daqueles pontos devido `as informa¸c˜oes j´a encontradas acima.
Mas cos (2θ) = cot (2θ) sen(2θ) =
34·
45=
35. Somando-se os respecti- vos membros das identidades trigonom´etricas cos (2θ) = cos
2(θ) − sen
2(θ) e cos
2(θ) + sen
2(θ) = 1, tem-se que cos
2(θ) =
12(1 + cos (2θ)) =
12·
85=
45. Como θ ∈ 0,
π2, tem-se que cos (θ) > 0 ∴ cos (θ) = 2/ √
5. Combinando-se este valor com
45= sen(2θ) = 2sen(θ) cos (θ), tem-se que sen(θ) = 1/ √
5.
Assim, chega-se `a base ortonormal F = f b
1, f b
2associada a Ox
1y
1, onde:
f b
1= (cos (θ), sen(θ))
E=
√15(2, 1)
Ee f b
2= ( − sen(θ), cos (θ))
E=
√15( − 1, 2)
E, e E ´e a base ortonormal original. Neste novo sistema de coordenadas, dado por (O, F ), os v´ertices da elipse tˆem coordenadas ( ± 2 √
2, 0) e (0, ± √ 3), en- quanto os focos tˆem coordenadas ( ± √
5, 0).
Obs. Se realmente se desejassem as coordenadas destes seis pontos com re- la¸c˜ao ao sistema de coordenadas Oxy original, poder-se-ia aplicar a mudan¸ca de coordenadas inversa (encapsulada em M
−1) ou, simplesmente, notar que
3Se houvesse algum termo linear, uma transla¸c˜ao poderia ser necess´aria ou n˜ao.
x
1e y
1s˜ao os coeficientes de f b
1e f b
2. Por exemplo: o foco F
1de coordenadas (x
1, y
1) = ( − √
5, 0) ´e F
1= O − √
5 f b
1+ 0 f b
2= O − √
5 f b
1e, portanto, suas coordenadas (x, y) no sistema original (O, E ) s˜ao:
F
1= (0, 0) − √
5
√15(2, 1)
E= ( − 2, − 1). E assim por diante.
Rota¸ c˜ ao por trigonometria – outro caminho: Em alguns livros, escolhe- se um ˆangulo n˜ao-nulo θ ∈ −
π4,
π4satisfazendo
4tan (2θ) =
4−7−4=
43. Num triˆangulo retˆangulo com ˆangulo 2θ, ao qual se op˜oe um cateto de compri- mento 4, e ao qual ´e adjacente um cateto de comprimento 3, tem-se que o comprimento da hipotenusa ´e √
4
2+ 3
2= √
16 + 9 = √
25 = 5, forne- cendo sen(2θ) = 4/5 e cos (2θ) = 3/5. Encontram-se cos (θ) = 2/ √
5 e sen(θ) = 1/ √
5 do mesmo modo que na solu¸c˜ao anterior, considerando-se que cos (θ) > 0 porque θ ∈ −
π4,
π4. Logo: M =
√15[
21 2−1] ∴ Q ˜ = M
tQM =
√15[
−2 11 2]
4 −2−2 7
1√5
[
21 2−1] =
15[
−68 163] [
21 2−1] =
15[
15 00 40] ∴ Q ˜ = [
3 00 8] ∴ A ˜ = 3 e ˜ C = 8. O restante ´e como na solu¸c˜ao anterior.
4Uma vez que os coeficientes dex2ey2s˜ao distintos, sen˜ao seria usadoθ= π4
1.w. 4x
2+ 4xy + 7y
2− 24 = 0.
Solu¸ c˜ ao – um caminho: Como n˜ao h´a monˆomios de grau 1, uma trans- la¸c˜ao n˜ao ser´a necess´aria. Devido ao termo cruzado 4xy, ´e necess´aria uma rota¸c˜ao. Como no livro-texto [Boulos/Camargo], utiliza-se um ˆangulo θ ∈
0,
π2satisfazendo cot (2θ) =
4−47= −
34. Da identidade trigonom´etrica sen
2(2θ) = 1/ (1 + cot
2(2θ)), segue-se que sen
2(2θ) = 1/ (1 + (3/4)
2) = 1/ (1 + (9/16)) =
1625. Devido `a escolha de θ em 0,
π2, tem-se que 2θ ∈ (0, π) e, portanto, sen(2θ) > 0. Logo, sen(2θ) = 4/5. Procedendo-se como em [Bou- los/Camargo], chega-se ao sistema de equa¸c˜oes abaixo (detalhes na Se¸c. 23.C):
( A ˜ + ˜ C = A + C = 4 + 7 = 11 ∴ 2 ˜ A = 11 + 5 = 16 ∴ A ˜ = 8 A ˜ − C ˜ =
sen(2θ)B=
4/54= 5 ∴ C ˜ = 11 − 8 = 3 ∴
8x
21+ 3y
21− 24 = 0 ∴ x
213 + y
218 = 1 (equa¸c˜ao reduzida)
Sendo positivos os coeficientes dos termos quadr´aticos, conclui-se que se trata de uma elipse. S´o tendo sido efetuada uma rota¸c˜ao, seu centro ´e a origem do sistema de coordenadas original, O (0, 0).
Comprimento do eixo maior: 2a = 2 √
8 = 4 √ 2.
Comprimento do eixo menor: 2b = 2 √
3 ∴ c = √
a
2− b
2= √
8 − 3 = √ 5 ∴ Distˆancia focal 2c = 2 √
5; e excentricidade e =
ca= p
5/8. Para a lo- caliza¸c˜ao dos v´ertices e e dos focos desta elipse, calcule-se a base ortonor- mal F associada ao novo sistema de coordenadas Ox
1y
1, isto ´e, (O, F ):
cos (2θ) = cot (2θ) sen(2θ) = −
34·
45= −
35. Somando-se os respectivos membros das identidades trigonom´etricas cos (2θ) = cos
2(θ) − sen
2(θ) e cos
2(θ) + sen
2(θ) = 1, tem-se que cos
2(θ) =
12(1 + cos (2θ)) =
12·
25=
15. Como θ ∈ 0,
π2, tem-se que cos (θ) > 0 ∴ cos (θ) = 1/ √
5. Combinando-se este valor com
45= sen(2θ) = 2sen(θ) cos (θ), tem-se que
5sen(θ) = 2/ √
5.
Assim, chega-se `a base ortonormal F = f b
1, f b
2associada a Ox
1y
1, onde:
f b
1= (cos (θ), sen(θ))
E=
√15(1, 2)
Ee f b
2= ( − sen(θ), cos (θ))
E=
√15( − 2, 1)
E, e E ´e a base ortonormal original. Neste novo sistema de coordenadas, dado por (O, F ), os v´ertices da elipse tˆem coordenadas (0, ± 2 √
2) e ( ± √
3, 0), en- quanto os focos tˆem coordenadas (0, ± √
5).
5Logo, o seno e o cosseno est˜ao trocados com rela¸c˜ao ao ´Item 1.v, donde este θ ´e o complemento do θda primeira solu¸c˜ao de 1.v.
Rota¸ c˜ ao por trigonometria – outro caminho: Escolha-se um ˆangulo n˜ao-nulo θ ∈ −
π4,
π4satisfazendo tan (2θ) =
4−47= −
43< 0. Tem-se tan ( − 2θ) =
43num triˆangulo retˆangulo com ˆangulo − 2θ ao qual se op˜oe um cateto de comprimento 4, e ao qual ´e adjacente um cateto de compri- mento 3, donde o comprimento da hipotenusa ´e 5 como no ´Item 1.v, for- necendo sen( − 2θ) = 4/5 e cos ( − 2θ) = 3/5. Logo
6, sen(2θ) = − 4/5 e cos (2θ) = 3/5. Somando-se os respectivos membros das identidades tri- gonom´etricas cos (2θ) = cos
2(θ) − sen
2(θ) e cos
2(θ) + sen
2(θ) = 1, tem-se que cos
2(θ) =
12(1 + cos (2θ)) =
12·
85=
45. Como θ ∈ −
π4,
π4, tem-se que cos (θ) > 0 ∴ cos (θ) = 2/ √
5. Combinando-se este valor com −
45= sen(2θ) = 2sen(θ) cos (θ), tem-se que sen(θ) = − 1/ √
5, ou seja, este θ ´e o ˆangulo oposto
`aquele da segunda solu¸c˜ao para o ´Item 1.v. Logo, obt´em-se uma base or- tonormal ordenada G = ( b g
1, b g
2) associada a Ox
1y
1que ´e distinta da base F =
f b
1, f b
2obtida na solu¸c˜ao anterior pois, na base ortonormal original E : b
g
1= (cos (θ), sen(θ))
E=
√15(2, − 1)
Ee b g
2= ( − sen(θ), cos (θ))
E=
√15(1, 2)
E. Em outras palavras
7, G =
− f b
2, f b
1, concordando com os ˆangulos obtidos
8. Da´ı: M =
√15[
−1 22 1] ∴
Q ˜ = M
tQM =
√15[
21 2−1] [
4 22 7]
√15[
−2 11 2] =
15[
68 16−3] [
−2 11 2] =
15[
15 00 40] ∴ Q ˜ = [
3 00 8] ∴ A ˜ = 3 e ˜ C = 8 ∴ 3x
21+8y
21− 24 = 0 ∴
x21
8
+
y312= 1 (equa¸c˜ao reduzida). Assim,
o centro, a, b, c e e s˜ao como na solu¸c˜ao anterior mas, neste novo sistema de coordenadas, dado por (O, G ), os v´ertices da elipse tˆem coordenadas ( ± 2 √
2, 0) e (0, ± √ 3), enquanto os focos tˆem coordenadas ( ± √
5, 0).
6Seno ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, enquanto cosseno ´e par.
7Logo, o ponto de coordenadas (x1, y1) nesta solu¸c˜ao corresponde ao ponto de coorde- nadas (y1,−x1) na solu¸c˜ao anterior !
8Na solu¸c˜ao anterior, o complemento do ˆangulo no ´Item 1.v; nesta solu¸c˜ao, o oposto daquele em 1.v.
1.x. 5x
2+ 12xy − 12 √
13x − 36 = 0.
Algumas respostas: Com o sistema de coordenadas Ox
1y
1obtido atrav´es da rota¸c˜ao pelo ˆangulo θ tal que cos (θ) =
√313e sen(θ) =
√213, expressa-se a equa¸c˜ao em termos de Ox
1y
1:
9x
21− 4y
2− 36x
1+ 24y
1− 36 = 0
Completando-se os quadrados, revela-se uma segunda mudan¸ca de coordena- das Cx
2y
2obtida por transla¸c˜ao a partir de Ox
1y
1:
9(x
1− 2)
2− 4(y
1− 3)
2− 36 ∴ 9x
22− 4y
22− 36 = 0
O vetor −→ OC de transla¸c˜ao ´e expresso na base ortonormal F associada a Ox
1y
1como −→
OC = (2, 3)
F. Da´ı:
x
224 − y
229 = 1 (hip´erbole) Centro
9: C. Comprimento do eixo transverso: 2 √
4 = 4. Coordenadas dos v´ertices em Cx
2y
2: ( ± 2, 0). Comprimento do eixo imagin´ario: 2 √
9 = 6.
Uma resolu¸ c˜ ao: Devido ao termo 12xy, uma rota¸c˜ao ´e necess´aria. Escolha- se o ˆangulo n˜ao-nulo θ ∈ −
π4,
π4satisfazendo tan (2θ) =
5−012. Num um tri- ˆangulo retˆangulo com ˆangulo 2θ, ao qual se op˜oe um cateto de comprimento 12, e ao qual ´e adjacente um cateto de comprimento 5, tem-se que o com- primento da hipotenusa ´e √
12
2+ 5
2= √
144 + 25 = √
169 = 13, fornecendo sen(2θ) =
1213e cos (2θ) =
135. Somando-se os respectivos membros das iden- tidades trigonom´etricas cos (2θ) = cos
2(θ) − sen
2(θ) e cos
2(θ) + sen
2(θ) = 1, tem-se que cos
2(θ) =
12(1 + cos (2θ)) =
12·
1813=
139. Como θ ∈ −
π4,
π4, tem-se que cos (θ) > 0 ∴ cos (θ) = 3/ √
13 . Combinando-se este valor com
12
13
= sen(2θ) = 2sen(θ) cos (θ), tem-se que sen(θ) = 2/ √
13 . Atrav´es da rota-
¸c˜ao R
θdo sistema de coordenadas Oxy pelo ˆangulo trigonom´etrico θ, obt´em- se o novo sistema de coordenadas cartesianas Ox
1y
1de origem O e eixos associados `a base ortonormal ordenada F =
f b
1, f b
2dada na base ortonor- mal original E = − → e
1, − → e
2por: f b
1= R
θ− → e
1= (cos (θ), sen(θ))
E=
√113(3, 2)
E9Claro,C tem coordenadas (0,0) emCx2y2.
e f b
2= R
θ− → e
2= ( − sen(θ), cos (θ))
E=
√113( − 2, 3)
E∴ M =
√113[
32 3−2] ∴ Q
′= M
tQM =
√113[
−3 22 3] [
5 66 0]
√113[
32 3−2] =
131[
27 188 −12] [
32 3−2] =
131[
1170 −052] ∴ Q
′= [
9 00−4] ∴ A
′= 9 e C
′= − 4. Agora, determinem-se os coeficientes D
′e E
′de x
1e y
1, respectivamente, nos novos termos lineares (cf. Coment´ario):
[
D′ E′] = [
D E] · M = [
−12√13 0
] ·
√113[
32 3−2] = [
−12 0] · [
32 3−2] = [
−36 24] ∴ D
′= − 36 e E
′= 24 ∴
109x
21− 4y
21− 36x
1+ 24y
1− 36 = 0 (equa¸c˜ao geral no sistema Ox
1y
1) Completando-se os quadrados: 0 = 9x
21− 4y
12− 36x
1+ 24y
1− 36 = 9(x
1− 2)
2− 36 − 4(y
1− 3)
2+ 36 − 36 ∴ 9(x
1− 2)
2− 4(y
1− 3)
2= 36 ∴
(x
1− 2)
22
2− (y
1− 3)
23
2= 1 (equa¸c˜ao reduzida), isto ´e, x
222
2− y
223
2= 1, onde T x
2y
2´e o sistema de coordenadas cartesianas obtido de Ox
1y
1pela transla-
¸c˜ao que leva a origem O no ponto T de coordenadas (2, 3) no sistema Ox
1y
1. Assim, x
2= x
1− 2 e y
2= y
1− 3. Da equa¸c˜ao reduzida, a curva cˆonica ´e uma hip´erbole de eixo real paralelo aos eixos Ox
1e T x
2. Seu centro ´e T . a=2 e b = 3 ∴ c = √
2
2+ 3
2= √
13. Logo: o comprimento do eixo real (maior, transverso) ´e 2a = 4; o comprimento do eixo imagin´ario (menor, conjugado)
´e 2b = 6 (neste exemplo, maior do que o do eixo dito maior); a distˆancia focal ´e 2c = 2 √
13; e a excentricidade ´e e = c/a = √
13/2. A localiza¸c˜ao dos pontos not´aveis ´e f´acil no sistema T x
2y
2e, se forem desejadas, as respectivas coordenadas no sistema original (Oxy ) podem ser obtidas pela combina¸c˜ao das express˜oes para as duas mudan¸cas de coordenadas obtidas:
x = x
1cos (θ) − y
1sen(θ) =
√113(3x
1− 2y
1) =
√113[3(2 + x
2) − 2(3 + y
2)]; e y = x
1sen(θ) + y
1cos (θ) =
√113(2x
1+ 3y
1) =
√113[2(2 + x
2) + 3(3 + y
2)] ∴ x =
√113(3x
2− 2y
2) e y =
√113(13 + 2x
2+ 3y
2). Os pontos not´aveis s˜ao: o centro T , de coordenadas (0, 0) em T x
2y
2e, pelas f´ormulas obtidas, (0, √
13) no sistema original Oxy; os v´ertices, ( ± 2, 0) em T x
2y
2; as extremidades do eixo imagin´ario, (0, ± 3) em T x
2y
2; e os focos, ( ± √
13, 0) em T x
2y
2.
10Claro, pode-se tamb´em optar pelas substitui¸c˜oes x=x1 cos (θ)−y1sen(θ) e y=x1sen(θ) +y1 cos (θ) na equa¸c˜ao 5x2+ 12xy−12√
13x−36 = 0, obtendo-se: 0 = 5 139x21+134y12−1213x1y1
+ 12 136x21−136y21+913−4x1y1
−12√
13 133x1−132y1
−36 = 9x21−4y12−36x1+ 24y1−36 ap´os c´alculos e simplifica¸c˜oes apropriados.