Equa¸ c˜ oes de Maxwell

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NH2802–Fundamentos da Eletrodinˆ amica

Prof. Jos´e Kenichi Mizukoshi

Aula 13 (vers˜ao 14/01/2014)

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell

Equa¸c˜oes de Maxwell

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell na mat´ eria

■ No caso de materiais que estão sujeitos às polariza¸cões elétrica e magnética, haverá um acúmulo de cargas de polariza¸cão e correntes de magnetiza¸cão, as quais não temos um controle direto. Por este motivo, é mais conveniente

reformular as equa¸c˜oes de Maxwell em termos de grandezas que est˜ao relacionados diretamente com as cargas e correntes livres.

■ Em eletrostática, a polariza¸cão P produz uma densidade de carga de polariza¸cão, tal que

ρ_p = −∇ · P

■ Similarmente, a polariza¸cão magnética é responsável pela corrente de magnetiza¸cão,

J_m = ∇ × M

■ Para o caso não-estático, qualquer mudan¸ca na polariza¸cão elétrica resulta na mudan¸ca de ρ_p, a qual produz uma corrente J_p, que deve ser somada à

corrente total.

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell na mat´ eria

Para efeito de discussão, considere um peda¸co de material polarizado, mostrado na figura ao lado. A polariza¸cão introduz as densidades superficiais de carga de polariza¸cão, +σp e −σp nas extremidades do material, pois

σ_p = P · nˆ

−σ_p

+σ_p

Um pequeno aumento em P ocasiona o aumento em σp, produzindo uma corrente

dI = ∂σ_p

∂t da_⊥ = ∂P

∂t da_⊥ Portanto, a densidade de corrente de polariza¸c˜ao ´e

J_p = ∂P

∂t

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell na mat´ eria

■ Note que essa corrente ´e consistente com a equa¸c˜ao da continuidade:

∇ · J_p = ∇ · ∂P

∂t = ∂

∂t∇ · P = −∂ρ_p

∂t

■ A mudan¸ca na magnetiza¸cão M não gera quaisquer acúmulo de cargas ou uma nova corrente. Neste caso, a corrente de magnetiza¸cão sofrerá uma mudan¸ca de acordo com a rela¸cão J_m = ∇ × M.

■ De acordo com que vimos acima, a densidade total de cargas pode ser dividida em duas partes:

ρ = ρ_l + ρ_p ⇒ ρ = ρ_l − ∇ · P onde ρ_l ´e a densidade de carga livre.

■ Similarmente, a densidade de corrente fica:

J = J_l + J_m + J_p ⇒ J = J_l + ∇ × M + ∂P

∂t

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell na mat´ eria

■ Com isto, a lei de Gauss fica

∇ · E = 1 ǫ0

ρ = 1 ǫ0

(ρ_l − ∇ · P) ⇒ ∇ · (ǫ⁰E + P) = 1 ǫ0

ρ_l

Por conveniˆencia, introduzimos o vetor deslocamento el´etrico, D ≡ ǫ0E + P

■ Enquanto isso, a lei de Amp`ere (com a contribui¸c˜ao de Maxwell) fica

∇ × B = µ0J + µ0ǫ0

∂E

∂t = µ0

J_l + ∇ × M + ∂P

∂t

+ µ0ǫ0

∂E

∂t

⇒ ∇ ×

1 µ0

B − M

= J_l + ∂

∂t(ǫ⁰E + P) Segue que

∇ × H = J_l + ∂D

∂t

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell na mat´ eria

onde H ≡ 1 µ0

B − M.

■ Em termos das cargas e correntes livres, as equa¸c˜oes de Maxwell ficam (i) ∇ · D = ρ_l, (iii) ∇ × E = −∂B

∂t

(ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × H = J_l + ∂D

∂t

■ As equa¸cões acima contém os pares E e D, além de B e H. Para deixá-las todas em fun¸cão de E e B, temos de encontras as rela¸cões constitutivas.

■ Para os meios lineares, temos as seguintes rela¸c˜oes, P = ǫ⁰χeE e M = χmH

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell na mat´ eria

Segue que

D = ǫ⁰(1 + χe)E ≡ ǫE H = 1

µ⁰B − χ_mH ⇒ H = 1

µ⁰(1 + χm)B ≡ 1 µB

■ Devido ao fato que D é chamado deslocamento elétrico, o segundo termo na equa¸cão (iv) possui o nome de corrente de deslocamento:

J_d = ∂D

∂t

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Condi¸ c˜ oes de contorno

■ Em geral, os campos E, B,D e H ser˜ao descont´ınuos no contorno entre dois meios diferentes ou em superf´ıcies que possuem uma densidade de carga σ ou densidade de corrente K.

■ A forma das descontinuidades podem ser deduzidas `a partir das equa¸c˜oes de Maxweel na forma integral:

(i)

I

S

D · da = Q_l,inc

(ii)

I

S

B · da = 0











sobre qualquer superf´ıcie fechada S.

(iii)

I

P

E · dl = − d dt

Z

S

B · da

(iv)

I

P

H · dl = I_l,inc + d dt

Z

S

D · da











para qualquer superf´ıcie S

delimitada pelo loop fechado P.

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Condi¸ c˜ oes de contorno

■ Aplicando a Eq. (i) para uma superf´ıcie gaus- siana em formato de uma pequena caixa, de uma espessura infinitesimal, na interface entre dois materiais (veja figura ao lado), obtemos

D₁ · a − D₂ · a = σ_la

σ_l

De acordo com a nossa escolha, o sentido positivo do vetor a aponta do meio 2 para o meio 1. Não haverá contribui¸cão do fluxo através da área lateral da caixa, no limite em que a sua espessura for a zero.

■ Temos portanto que

D₁^⊥ − D₂^⊥ = σ_l

■ Utilizando argumentos similares aos acima, a Eq. (ii) leva a B₁^⊥ − B₂^⊥ = 0

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Condi¸ c˜ oes de contorno

■ Para a Eq. (iii), se escolhermos uma espira amperiana muito fina na regi˜ao da interface entre dois meios (veja figura ao lado), obtemos

E₁ · l − E₂ · l = − d dt

Z

S

B · da Kl

onde as contribui¸c˜oes das superf´ıcies laterais na integral de E d˜ao zero

quando a espessura vai a zero. Nesse limite, o fluxo magn´etico tamb´em vai a zero. Logo,

E^k

1 − E^k

2 = 0

ou seja, os componentes de E paralelos à interface são cont´ınuos através do contorno.

■ De forma similar,

H₁ · l − H₂ · l = I_l,inc

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Condi¸ c˜ oes de contorno

I_l,inc ´e a corrente livre passando atrav´es da espira amperiana.

■ No limite em que a espira amperiana é fina, não haverá contribui¸cão da densidade volumérica de corrente livre, mas a densidade superficial irá

contribuir. Se nˆ for um vetor unit´ario perpendicular `a interface, apontando do meio 2 para o meio 1, temos que

I_l,inc = K_l · (ˆn × l) = (K_l × nˆ) · l

onde nˆ × l é um vetor normal à espira amperiana. A segunda igualdade é devida à identidade vetorial A · (B × C) = (A × B) · C.

Portanto,

H^k

1 − H^k

2 = K_l × nˆ

ou seja, os componentes paralelos do campo H possuem uma descontinuidade proporcional `a densidade de corrente superficial.

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Condi¸ c˜ oes de contorno

■ No caso de meios lineares, as condi¸c˜oes de contorno podem ser expressas em termos dos campos E e B:

(i) ǫ¹E₁^⊥ − ǫ²E₂^⊥ = σ_f, (iii) E^k

1 − E^k

2 = 0 (ii) B₁^⊥ − B₂^⊥ = 0, (iv) 1

µ¹B^k

1 − 1

µ²B^k

2 = K_l × nˆ

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Condi¸ c˜ oes de contorno – exemplo

Ex. 1 Na magnetost´atica, se J_f = 0, o rotacional do campo H vai a zero e portanto podemos expressar H como um gradiente de um potencial escalar W:

H = −∇W Como

∇ · H = 1 µ0

∇ · B − ∇ · M = −∇ · M temos que

∇²W = (∇ · M)

Logo, W obedece `a equa¸c˜ao de Poisson com ∇ · M sendo a fonte.

Levando-se em conta este resultado, encontre o campo magn´etico dentro de uma esfera de raio R uniformemente magnetizada (M = M ˆz; veja Aula 6, p. 20),

através do método da separa¸cão de variáveis.

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Condi¸ c˜ oes de contorno – exemplo

Solu¸c˜ao

■ Dentro da esfera (r < R), temos que ∇ · M = 0. Fora, evidentemente M = 0. Portanto,

∇²W = 0 (r 6= R)

A equa¸c˜ao de Laplace em coordenadas esf´ericas (com simetria azimutal) leva

`as seguintes solu¸c˜oes:

W2(r, θ) =

∞

X

l=0

A_lr^lP_l(cosθ) (r < R)

W1(r, θ) =

∞

X

l=0

B_l

r^l⁺¹ P_l(cosθ) (r > R)

onde A_l’s e B_l’s são constantes e P_l(x)’s são os polinômios de Legendre.

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Condi¸ c˜ oes de contorno – exemplo

■ Condi¸c˜oes de contorno.

◆ Continuidade do potencial W em r = R. Pelo teorema do gradiente, Z ^b

a

(∇W) · dl = W(b) − W(a) ⇒ −

Z ^b

a

H · dl = W(b) − W(a)

Para dois ponto a e b muito pr´oximos um do outro, a integral em H se anula (K_l = 0). Logo,

W1(R, θ) = W2(R, θ) Portanto,

∞

X

l=0

A_lR^l − B_l R^l⁺¹

P_l(cosθ) = 0 ⇒ B_l = A_lR²^l⁺¹ (^✻)

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Condi¸ c˜ oes de contorno – exemplo

◆ Temos que B₁^⊥ − B₂^⊥ = 0 [Eq. (ii) na p´ag. 13]. Como B = µ0(H + M), temos que na interface (r = R)

µ0(H₁^⊥ + M₁^⊥) − µ0(H₂^⊥ + M₂^⊥) = 0 ⇒ H₁^⊥ − H₂^⊥ = M^⊥ onde M¹ = 0 e M² = M. Como H = −∇W, H^⊥ ´e a componente radial de H. Portanto,

−∂W1

∂r + ∂W2

∂r = M^⊥ (r = R) Segue que

∞

X

l=0

(l + 1)B_l

R^l⁺² + lA_lR^l−¹

P_l(cosθ) = M cosθ (^{✻ ✻})

onde usamos que M^⊥ = Mr = (M · ˆr).

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Condi¸ c˜ oes de contorno – exemplo

■ Substituindo a Eq. (^✻) na Eq. (^{✻ ✻}),

∞

X

0

(2l + 1)A_lR^l−¹P_l(cosθ) = M cos θ

Lembrando que P0(x) = 1, P1(x) = x, . . . , temos que A⁰

R + 3A¹ cosθ + . . . = M cos θ ou seja, A_l = 0 para l 6= 1 e A¹ = M/3.

■ Temos portanto que

W²(r, θ) = 1

3M r cosθ = 1

3M z Logo,

H₂ = −∇W2 ⇒ H₂ = −1

3M ˆz

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Condi¸ c˜ oes de contorno – exemplo

■ No interior da esfera,

B₂ = µ0(H₂ + M) = 2

3µ0M ˆz ⇒ B₂ = 2

3µ0M que ´e o resultado obtido achando-se as densidades de correntes de magnetiza¸c˜ao J_m e K_m.

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Referˆ encias

■ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Third Edition, Prentice Hall, 1999.