Princípio de Incerteza
Aula 9
Incerteza
• Na física clássica as leis básicas são determinísticas e a análise estatística é apenas artifício prático para tratar sistemas complicados.
• Conhecidas as forças atuantes num sistema, conseguimos encontrar a posição e o momento precisos da partícula.
• Tudo que precisamos é da posição e do momento num certo instante t
= 0 e assim o movimento futuro fica determinado de forma exata.
Podemos determinar precisamente a posição e o momento de um partícula microscópica, por exemplo, o elétron?
Heisenber e Bohr questionaram essa hipótese.
Relações de Incerteza Clássicas
Se a extensão no espaço é pequena, a faixa de números de onda necessários para completa descrição da onda é grande.
Isto implica que o produto delas deve ser limitado e não pode ter qualquer valor.
Suponha
Da mesma forma, se a duração do pulso é pequena, o pacote deve ocupar um grande intervalo de frequências,
Isto não significa o valor, apenas a ordem de grandeza. O valor exato depende da forma como os intervalos são definidos e da forma do pacote.
Relações de Incerteza Clássicas
→
O Princípio da Incerteza
Para ondas de matéria, a posição mais provável do elétron é o valor de x no qual é máxima. Como é diferente para vários valores de x, existe
uma indeterminação na posição do elétron.
Se medirmos as posições de vários elétrons sob as mesmas condições, não encontraremos sempre os mesmos resultados. A função de distribuição dos resultados das medidas será .
Se o pacote for estreito, a incerteza será pequena, no entanto, pacotes estreitos possuem muitos números de onda, ou seja, muitos valores de momento.
Assim, para ondas de matéria , e as relações de incerteza em ordem de grandeza são
e
O produto das incertezas sobre o valor de uma coordenada e sobre o momento associado a ela não pode ser inferior, em ordem de grandeza a ,
E a energia de um sistema que tenha vida média , não pode ser determinada com incerteza inferior a , tal que
O Princípio da Incerteza
O Princípio da Incerteza
Vamos considerar a função de onda resultante da combinação de ondas de frequências e comprimentos de ondas diferentes
Pela transformada de Fourier, chegamos ao seguinte resultado e
O Princípio da Incerteza de Heisenberg
Uma experiência não pode determinar simultaneamente o valor exato de uma componente do momento de uma partícula e também o valor exato da coordenada correspondente.
A precisão da medida está inerentemente limitada pelo processo de medida em si.
Se conhecermos p exatamente, nada saberemos sobre x.
O princípio da incerteza de Heisenberg tem duas parte:
1. Relacionada à medida simultânea da posição e momento.
A restrição não é em relação à precisão de o ou x, e sim ao produto numa medida simultânea de ambos.
O Princípio da Incerteza de Heisenberg
2. Relacionada com a medida da energia E e do tempo t necessário à medida
Medidas física envolvem necessariamente uma interação entre o observador e o observável. Matéria e radiação são os entes disponíveis para as medidas e combinando as relações de de Broglie, chegamos na incerteza de Heisenberg.
O Princípio da Incerteza de Heisenberg é uma consequência necessária da dualidade onda-partícula. É a base para a afirmação de Heisenberg e Bohr de que a probabilidade é fundamental para a física quântica.
Vamos considerar um experimento (imaginário!) no qual tentamos observar o elétron.
Microscópio de Heisenberg/Bohr
• O fato de observarmos o elétron o perturba: no instante que iluminamos o elétron, ele recua, devido ao efeito Compton, de uma forma que não pode ser completamente determinada.
• Mas se não iluminarmos, não o veremos (detectaremos).
O princípio da incerteza diz respeito ao processo de medida em si, e expressa o fato de que sempre existe uma interação não determinável entre o observador e o que é observado. Não podemos fazer nada para evitar a interação ou para corrigir seus efeitos.
Vamos considerar que poderemos ver o elétron usando uma fonte muito fraca, se apenas 1 fóton espalhado por ele atingir a lente do microscópio.
Microscópio de Heisenberg/Bohr
Este fóton pode ser espalhado em qualquer direção dentro da região angular subentendida pela lente. Por isto a interação não pode ser previamente calculada.
P/ diminuir a incerteza podemos aumentar o comprimento de onda da luz.
Se tomarmos a largura do máximo central da figura de difração, como sendo a incerteza em x,
P/ diminuir podemos usar luz com comprimento de onda mais curto (ex: raios gama).
Não podemos simultaneamente tornar e tão pequenos quanto queiramos.
O procedimento que diminui um, aumenta o outro.
A interação perturba a partícula de forma que não pode ser exatamente prevista ou controlada. As coordenadas e momento não podem ser completamente conhecidos após a medica.
Microscópio de Heisenberg/Bohr
Condorda ~ com o limite mínimo.
Microscópio de Heisenberg/Bohr
Se a física clássica fosse válida: poderíamos reduzir a iluminação usando comprimentos de onda pequenos e dar um momento ao elétron razoavelmente pequeno, para obter uma resolução perfeita.
Não haveria limite mínimo simultâneo para a resolução e o momento transferido e não existiria incerteza.
A constante de Planck é uma medida da menor perturbação não controlável que distingue a física quântica da física clássica.
É o fato de h ser pequeno que tira o princípio da incerteza do alcance de nossas experiências cotidianas.
Microscópio de Heisenberg/Bohr
Vamos considerar agora uma partícula livre, um elétron movendo-se ao longo do eixo x com energia
A incerteza em E é
A incerteza na posição é
Assim,
O princípio da incerteza nos permite compreender a dualidade onda-partícula.
Se tentarmos determinar experimentalmente se a radiação é onda ou partícula, veremos que um caráter suprime o outro.
O princípio da incerteza nos impede de observar ao mesmo tempo os dois comportamentos.
Devido a incerteza na posição e momento, podemos apenas prever o comportamento provável das partículas, o que torna claro que a mecânica quântica deve ser necessariamente expressa em termos de probabilidades.
Consequências
Interpretação de Copenhagem
• Interpretação atual da mecânica quântica, feita por Bohr.
• Einstein foi o principal crítico, inventando desafios imaginários.
• Einstein se convenceu da consistência, mas não se convencia de que ela representava a realidade. “Deus não joga dados com o universo”.
• Heisenberg discutiu que não era apenas uma formulação estatística. “Na formulação da lei causal, se soubermos o presente exatamente, podemos prever o futuro, o que está errado não é a conclusão, mas sim a premissa.
Nós não podemos, por uma questão de princípio, conhecer o presente em todos os seus detalhes.”
