Índice de Maslov de uma curva na Grassmanniana Lagrangiana
Renato Ghini Bettiol1 e Paolo Piccione (orientador)2
1Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de
São Paulo (IME USP), Brasil - Bolsista de Iniciação Científica da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (Fapesp), Processo 2008/01034-8 - Projeto “Tópicos de Geometria Diferencial e Riemanniana” rbettiol@ime.usp.br; renatobettiol@gmail.com
2Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de
São Paulo (IME USP), Brasil - Professor Titular piccione@ime.usp.br; piccione.p@gmail.com
1.
Introdução
O índice de Maslov é um invariante homotópico in-troduzido em 1992 por Robbin e Salamon em [6] para curvas na Grassmanniana Lagrangiana Λ de um espaço vetorial simplético, com diversas aplica-ções em Geometria Simplética, Equaaplica-ções Diferenci-ais e Física-Matemática. Dentre as muitas definições que constam na literatura, é possível estabelecer uma generalização considerando o grupóide fundamental de Λ, preservando importantes propriedades como a invariância homotópica e a aditividade, conforme o recente trabalho de Piccione e Tausk em [5]. Para isso, utiliza-se a técnica de assinaturas parciais, que encontra uma aplicação direta para o cálculo deste índice, a partir de um resultado que depende do Teo-rema da Seleção de Kato para estabelecer a evolução do índice numa curvaR-analítica de formas bilinea-res simétricas.
2.
A Grassmanniana Lagrangiana
Esta seção tem por objetivo fixar a notação e re-lembrar brevemente definições e alguns resultados bem conhecidos sobre a Grassmanniana Lagrangi-ana. Grande parte das demonstrações dos resultados mencionados pode ser encontrada em [1, 5, 7].
Recorda-se que um espaço vetorial simplético é um par (V, ω), onde V é um R-espaço vetorial de dimensão finita e ω : V × V →R é uma forma bili-near anti-simétrica não-degenerada, dita uma estru-tura simplética em V . Um subespaço S do espaço simplético (V, ω) é dito lagrangiano se Sω = S, i.e. coincide com seu ortogonal simplético, Sω = {v ∈ V : ω(v, w) = 0, ∀w ∈ S}. Em outras palavras, su-bespaços lagrangianos são aqueles nos quais a forma simplética é identicamente nula.
Ademais, a Grassmanniana Gk(V ) de um R-espaço vetorial V de dimensão n é uma variedade de dimensão k(n − k), formada por todos os subespaços
de V com dimensão k. As cartas desta variedade podem ser descritas como segue.
Se W1 ⊂ V é um subespaço de codimensão k, denota-se G0
k(V, W1) ou G0k(W1), o subconjunto de Gk(V ) dado pelos subespaços transversais a W1, mais precisamente
G0k(V, W1) .
= {W ∈ Gk(V ) : V = W ⊕ W1} Dada uma decomposição V = W0 ⊕ W1, com dim W0 = k, um subespaço W de V é gráfico de um operador linear T se, e somente se, é transversal a W1, i.e. W ∈ G0k(V, W1), e nesse caso o operador T é unicamente determinado por W , obtendo-se uma bijeção φW0,W1 : G
0
k(V, W1) → Lin(W0, W1), que associa a cada subespaço W ∈ G0
k(V, W1) o opera-dor linear T , com Graph(T ) = W . Explicitamente, sendo π0e π1as projeções de V nos subespaços W0e W1, respectivamente, tem-se φW0,W1(W ) = (π1|W) ◦
(π0|W)−1. Essa aplicação φW0,W1 é uma carta da
variedade diferenciável Gk(V ), afinal identificam-se os espaços vetoriais Lin(W0, W1) ' Rk(n−k). Definição 2.0.1 (Grassmanniana Lagrangiana). O conjunto de todos os subespaços lagrangianos de um espaço simplético (V, ω) de dimensão 2n é dito a Grassmanniana Lagrangiana do espaço simplético V , denotada
Λ(V, ω) = Λ= {L ∈ G. n(V ) : L lagrangiano} Para caracterizar Λ(V, ω) como subvariedade mer-gulhada de Gn(V ) através de cartas de subvariedade, considere o seguinte
Lema 2.0.1. Seja (L0, L1) uma decomposição la-grangiana de V . Então o subespaço L ∈ G0
n(L1) é lagrangiano se, e somente se, a forma bilinear abaixo é simétrica:
ρL0,L1◦ φL0,L1(L) ∈ Lin(L0; L
∗
0) ' Bilin(L0) Demonstração. Como dim L = n, L é lagrangiano se, e somente se, L ⊂ Lω. Seja T = φL0,L1 ∈
Lin(L0; L1) e L = Graph(T ). Então tem-se ω(v + T (v), w + T (w)) = ω(T (v), w) − ω(T (w), v). Assim, como ρL0,L1 ◦ φL0,L1(L) = ω(T ·, ·)|L0×L0, segue o
resultado.
Dado um subespaço lagrangiano L1 ⊂ V , consi-dere Λ0(L1) o conjunto dos subespaços lagrangianos de V transversais a L1, i.e.
Λ0(L1) = Λ ∩ G0n(L1)
Então, do lema acima, tem-se que associada a cada decomposição lagrangiana (L0, L1) está asso-ciada uma bijeção ϕL0,L1 : Λ0(L1) → Bilinsym(L0),
dada por ϕL0,L1(L) = ρL0,L1◦ φL0,L1(L).
Teorema 2.0.1. A Grassmanniana Lagrangiana Λ é uma subvariedade mergulhada na Grassmanniana Gk(V ), de dimensão dim Λ = 12n(n + 1), cujo atlas é formado pelas aplicações ϕL0,L1 acima definidas,
para toda decomposição lagrangiana (L0, L1) de V . Uma identificação interessante de Λ utilizando quociente de um subgrupo do grupo simplético Sp(V, ω) dos isomorfismos que preservam a estru-tura simplética por um subgrupo de isotropia da ação transitiva em Λ fornece um isomorfismo Λ ' U(n)/ O(n), donde, em particular, segue que Λ é co-nexa e compacta.
Definem-se, para todo k ∈N os subconjuntos
Λk(L0) .
= {L ∈ Λ : dim(L ∩ L0) = k} ⊂ Λ Note que tal definição coincide, para k = 0, com a descrição de Λ0(L0) mencionada anteriormente. Verifica-se que Λk(L0), ditos extratos, são subvarie-dades conexas de codimensão 12k(k + 1) imersas em Λ. Ademais, definem-se Λ≥k(L0)=. n [ i=k Λi(L0) e Λ≤k(L0)=. k [ i=0 Λi(L0)
Definição 2.0.2 (Ciclo de Maslov). Diz-se que o conjunto Σ(L0) = Λ. ≥1(L0) é o ciclo de Maslov de vértice L0para a Grassmanniana Lagrangiana Λ.
Apesar de Λi(L0) ser subvariedade de Λ para todo 0 ≤ i ≤ n, Σ(L0) não é uma subvariedade de Λ.
3.
Evolução do índice de formas
bilineares simétricas
O objetivo desta seção é apresentar resultados sobre a evolução do índice de uma família a um parâme-tro de formas bilineares simétricas. Será utilizada a técnica de assinaturas parciais, preparando o con-teúdo a respeito do cálculo do índice de Maslov, com a mesma técnica.
3.1
Resultados preliminares
Considere V um R-espaço vetorial de dimensão fi-nita. Como usual, definem-se o índice n−(B), o co-índice n+(B) e a degenerescência n0(B) de uma forma bilinear simétrica B ∈ Bilinsym(V ) por, res-pectivamente, o número de −1’s, 1’s e 0’s na forma diagonal canônica de B dada pelo Teorema da Inér-cia de Sylvester. Define-se também a assinatura de B como a diferença entre co-índice e índice, i.e. σ(B) = n+(B) − n−(B). Além disso, vale sem-pre n+(B) + n−(B) + n0(B) = dim V , e quando n0(B) = 0, a forma B é dita não-degenerada. Proposição 3.1.1. Para todo k ≥ 0 fixado, o sub-conjunto das formas simétricas bilineares, tais que n+(B) ≥ k é aberto em Bilinsym(V ).
Demonstração. Dada B ∈ Bilinsym(V ) com n+(B) ≥ k, basta encontrar uma bola aberta de centro em B contida inteiramente neste conjunto. De fato, pela hipótese, existe um subespaço k-dimensional W ⊂ V , com B positivo-definida em W . Como a esfera unitária do subespaço W é com-pacta, tem-se infv∈W,||v||=1B(v, v) = c > 0, logo, se A ∈ Bilinsym(V ) e ||A − B|| < |c|2, então A é positivo-definida em W , portanto n+(A) ≥ k. As-sim, toma-se para raio da referida bola centrada em B |c|2; e da arbitrariedade na escolha de B, segue o resultado.
Corolário 3.1.1. Observando que n+(B) = n−(−B), o conjunto das formas bilineares simétricas com n−(B) ≥ k é aberto em Bilinsym(V ).
Corolário 3.1.2. Dados k ≥ 0, r ≥ 0, o conjunto de formas bilineares simétricas B ∈ Bilinsym(V ), tais que n+(B) = k e n0(B) = r é aberto no conjunto {B ∈ Bilinsym(V ) : n0(B) ≥ r}.
Sendo dim V = n, basta observar que os con-juntos {B ∈ Bilinsym(V ) : n+(B) ≥ k} e {B ∈ Bilinsym(V ) : n−(B) ≥ n − r − k} são abertos, pela Proposição 3.1.1, e a interseção destes com {B ∈ Bilinsym(V ) : n0(B) ≥ r} é precisamente {B ∈ Bilinsym(V ) : n+(B) = k, n0(B) = r}. Note, por fim, que para r = 0 tem-se que o conjunto de for-mas bilineares simétricas não-degeneradas é aberto em Bilinsym(V ).
Teorema 3.1.1. Se B(t) ∈ Bilinsym(V ) é uma fa-mília contínua a um parâmetro de formas bilinea-res simétricas, para t ∈ I ⊂ R, I intervalo tal que n0(B(t)) independe de t, então n+(B(t)) e n−(B(t)) também independem de t, i.e., são constantes na curva t 7→ B(t).
Demonstração. Do Corolário 3.1.2, dado k ≥ 0, {t ∈ I : n+(B(t)) = k} é aberto em I. Como o intervalo I é conexo, segue que para algum k ≥ 0, esse conjunto é todo I, portanto n+(B(t)) é constante em I, e o mesmo vale para n−(B(t)).
Como corolário deste resultado, é fácil ver que se B(t) são sempre não-degeneradas, então os índices são trivialmente constantes, portanto a situação de interesse, em se tratando da evolução do índice, é aquela em que ∃t0 ∈ I, n0(B(t0)) = 0. Nesta situa-ção, se a curva t 7→ B(t) é de classe C1, tem-se o clássico resultado que segue, cuja demonstração será omitida, mas pode ser encontrada em [5, 7].
Teorema 3.1.2. Se t 7→ B(t) ∈ Bilinsym(V ) é uma curva de classe C1 definida numa vizinhança de t
0, sendo n0(B(t0)) = 0 e n0(B0(t0)|N ×N) 6= 0, onde N = ker B(t0), então para > 0 suficientemente pequeno, tem-se
n+(B(t0+ )) − n+(B(t0− )) = σ(B0(t0)|N ×N)
3.2
Assinaturas parciais e a evolução
do índice
Novamente, o interesse é estudar o comportamento de n−(B(t)) e n+(B(t)) para uma curva t 7→ B(t), com hipóteses mais gerais que aquelas consideradas no Teorema 3.1.2. Considere V um R-espaço veto-rial de dimensão n e B : I ⊂ R → Bilinsym(V ) uma família a um parâmetro diferenciável de formas bilineares simétricas de V .
Definição 3.2.1 (Função raiz). Uma função raiz para B em t0 ∈ I é uma aplicação diferenciável u : I → V , com u(t0) ∈ ker B(t0). A ordem ord(B, u, t0) da função u em t0é a ordem do zero da aplicação I 3 t 7→ B(t)(u(t)) ∈ V∗ em t = t
0, i.e. o menor inteiro positivo k tal que a k-ésima derivada da aplicação é não nula em t0.
Tem-se que o conjunto de aplicações diferenciáveis u : I → V que são funções raiz de B em t0de ordem maior ou igual a k forma um subespaço do espaço de aplicações diferenciáveis de I em V , dito o k-ésimo espaço de degenerescência de B em t0. Mais precisamente, tal espaço é dado por
Wk(B, t0) .
= {u(t0) : u raiz em t0, ord(B, u, t0) ≥ k} Quando é evidente do contexto a forma bilinear e o ponto t0, denota-se simplesmente ord(u) e Wk a ordem da função raiz u e o k-ésimo espaço de degene-rescência, respectivamente. Tem-se claramente que
Wk formam uma cadeia de subespaços satisfazendo Wk ⊃ Wk+1, ∀k ∈ N, com W0= V e W1= ker B(t0). Lema 3.2.1. Sejam k ∈ N, u, v : I → V funções raiz para B em t0, com ord(u), ord(v) ≥ k. Então
dk dtkB(t)(u(t), v(t0)) t=t 0 = d k dtkB(t)(u(t0), v(t)) t=t 0
Corolário 3.2.1. Se u1, u2: I → V são funções raiz para B em t0, com ord(u1), ord(u2) ≥ k, então
dk dtkB(t)(u1(t), v0)) t=t 0 = d k dtkB(t)(u2(t), v0) t=t 0
Definição 3.2.2 (Forma de degenerescência). Dado k ∈ N, a k-ésima forma de degenerescência de B em t0 é a aplicação Bk(t0) : Wk× Wk→ R dada por
Bk(t0)(u0, v0) . = d k dtkB(t)(u(t), v(t0)) t=t 0
para todo u0, v0∈ Wk, onde u : I → V é uma função raiz de B com ord(u) ≥ k e u(t0) = t0.
Do Lema e Corolário acima, segue que Bk(t0) está bem-definida, é bilinear e simétrica. As assinaturas das formas de degenerescência Bk(t0) são ditas as assinaturas parciais da curva B em t0. Novamente, omite-se o ponto t0 em Bk(t0) quando evidente do contexto. Um resultado surpreendente é que atra-vés dos coeficientes k!1B(k)(t
0) da série de Taylor de B em t0 é possível de terminar algebricamente os espaços de degenerescência Wk e as formas de de-generescência Bk utilizando a teoria de cadeias de Jordan generalizadas, introduzida em [5].
Teorema 3.2.1. Para cada t ∈ I, seja T (t) : V → V o operador linear simétrico tal que hT (t)·, ·i = B(t). Considere t0 ∈ I fixo e suponha que existam um intervalo J ⊂ I, vizinhança de t0 em I, e aplica-ções diferenciáveis eα : J → V, 1 ≤ α ≤ n, tais que (eα(t))nα=1 é uma base ortonormal de V com-posta por autovetores de T (t), para todo t ∈ J . Para 1 ≤ α ≤ n e t ∈ J , denote Λα(t) o autovalor de T (t) correspondente ao autovetor eα(t), de modo que Λα : J → R é uma aplicação diferenciável. Então valem as seguintes afirmações:
(i) Para cada k ∈N, o conjunto {eα(t0) : Λα tem um zero em t0 de ordem maior ou igual a k} é uma base do espaço de degenerescência Wk; (ii) Para cada k ∈ N, a matriz que representa Bk
com relação à base dada no item (i) é diagonal e Bk(eα(t0), eα(t0)) = Λ
(k)
α (t0) para cada eα(t0) nesta base;
(iii) Se cada Λαnão constante tem um zero de ordem finita em t = t0, então se t0é um ponto interior de I, e > 0 é suficientemente pequeno, tem-se
n+(B(t0+ )) − n+(B(t0)) = X k≥1 n+(Bk) n+(B(t0)) − n+(B(t0− )) = −X k≥1 n−(B2k−1) + n+(B2k)
em particular, somando as igualdades acima, segue
n+(B(t0+ )) − n+(B(t0− )) = X k≥1
σ(B2k−1)
Demonstração. Mostremos inicialmente que o con-junto dado em (i) está contido em Wk. De fato, se Λαtem um zero em t0 de ordem maior ou igual a k, eαé função raiz de B|Jcom ord(eα) ≥ k. Mais preci-samente, T (t)(eα(t)) = Λα(t)eα(t), para todo t ∈ J , e segue que Λα e a aplicação t 7→ Λα(t)eα(t) têm a mesma ordem para o zero em t0 considerando a aplicação linear injetiva dada pela multiplicação por eα(t). Mostremos que o espaço Wk é gerado por tal conjunto, donde seguirá (i). De fato, seja u : I → V função raiz de B em t0, com ord(u) ≥ k e mostremos que u(t0) está no espaço gerado por esse conjunto. Com efeito, u(t) =Pn
α=1aα(t)eα(t), para todo t ∈ J , de modo que T (t)(u(t)) =Pn
α=1aα(t)Λα(t)eα(t). A ordem do zero de t 7→ T (t)(u(t)) em t0 é igual à ordem do zero de t 7→ (aα(t)Λα(t))nα=1ßnRn em t0. Como ord(u) ≥ k, a aplicação t 7→ aα(t)Λα(t) ∈ R tem um zero em t0 de ordem maior ou igual a k, para todo 1 ≤ α ≤ n. Se α é tal que a ordem do zero de Λα em t0 é menor que k, então aα(t0) = 0. Por-tanto u(t0) está no subespaço gerado pelo conjunto supracitado, donde segue (i).
Para mostrar (ii), sejam 1 ≤ α, β ≤ n tais que Λαe Λβ tenham zeros de ordem maior ou igual a k em t0, então eα é uma função raiz de B|J tal que ord(eα) ≥ k, portanto Bk(eα(t0), eβ(t0)) = dk dtkB(t)(eα(t), eβ(t)) t=t 0 = d k dtkhT (t)(eα(t)), eβ(t0)i t=t 0 = d k dtkΛα(t)heα(t), eβ(t0)i t=t 0 = Λ(k)α (t0)heα(t0), eβ(t0)i
sendo que a última igualdade depende do fato que Λαtem um zero de ordem pelo menos k em t0, o que demonstra (ii).
Finalmente, para verificar a primeira equação de (iii), note que n+(B(t)) corresponde ao número de índices α tais que Λα(t) > 0. Ademais, se Λα(t0) 6= 0, então para t suficientemente próximo de t0, Λαem t0e em t têm o mesmo sinal. Caso contrário, quando Λα apresenta um zero em t0 de ordem k, para valo-res de t > t0 próximos a t0, Λα(t) possui o mesmo sinal de Λ(k)α (t0), e, para valores de t < t0 próximos a t0, Λα(t) possui o mesmo sinal de (−1)kΛ
(k) α (t0). Por fim, n+(Bk) corresponde ao número de índices α tais que Λα tem um zero de ordem pelo menos k em t0 e Λ
(k)
α (t0) > 0. Uma análise cuidadosa das identificações supracitadas resulta na contagem es-tabelecida na primeira equação em (iii), e resultados análogos valem para a segunda equação. Como men-cionado no enunciado, a diferença as duas primeiras equações resulta na terceira, concluindo assim a de-monstração.
Note que as hipóteses do Teorema 3.2.1 acima são difíceis de verificar, contudo se a curva t 7→ B(t) for R-analítica, então segue do Teorema de Seleção de Kato que estão verificadas as hipóteses, afinal tem-se a existência de uma família a um parâmetro R-analítica de bases ortonormais de autovetores para a família a um parâmetroR-analítica de operadores simétricos, portanto valem (i),(ii) e (iii). Mais pre-cisamente, tem-se o seguinte enunciado para o Teo-rema de Seleção de Kato, cuja demonstração pode ser encontrada no Apêndice A de [5].
Teorema 3.2.2 (Kato). Seja V um R-espaço veto-rial de dimensão n munido de um produto interno, e T : I → Lin(V ) uma aplicação R-analítica de-finida no intervalo aberto I ⊂ R. Se o opera-dor T (t) é simétrico para todo t ∈ I, então para cada t0 ∈ I existem aplicações R-analíticas eα : ]t0− , t0+ [→ V e Λα :]t0− , t0+ [→ R, para 1 ≤ α ≤ n, definidas numa vizinhança aberta de t0∈ I, tais que (eα(t))nα=1 é uma base ortonormal de V e T (t)eα(t) = Λα(t)eα(t), ∀1 ≤ α ≤ n, t ∈]t0−, t0+[. Corolário 3.2.2. Como mencionado, se B : I → Bilinsym(V ) é R-analítica, então as afirmações (i), (ii) e (iii) do Teorema 3.2.1 valem.
É imediato deste corolário que para todo k ≥ 0, o núcleo da aplicação bilinear simétrica Bk : Wk× Wk → R coincide com o espaço de degenerescência Wk+1, pelas afirmações (i) e (ii) do referido teorema, ou seja
Definição 3.2.3 (Degenerescência base). A degene-rescência base de uma curva B de aplicações biline-ares simétricas é dada por nb
0(B) .
= mint∈In0(B(t)). Os instantes t ∈ I com n0(B(t)) > nb0(B) são ditos excepcionais.
Lema 3.2.2. Se B é R-analítica, então ∀t0 ∈ I, nbo(B) = mink≥0dim Wk(B, t0).
Demonstração. Sejam J, Λα e eα como no enunci-ado do Teorema 3.2.1. Então nb0(B) é o número de índices α tais que Λα é identicamente nula e, por (i) do Teorema 3.2.1, tal número coincide com mink≥0dim Wk(B, t0). A conclusão segue da igual-dade nbo(B) = nb0(B|J).
Proposição 3.2.1. Se B : I → Bilinsym(V ) é uma curvaR-analítica, então os instantes excepcionais de B são isolados, e t0 ∈ I não é excepcional se, e somente se, Bk(t0) = 0, ∀k ≥ 1.
Demonstração. Seja novamente Λα como no Teo-rema 3.2.1, considerando uma restrição de B de modo que Λα esteja globalmente definido. Então nb0(B) corresponde ao número de índices α tais que Λαé identicamente nula, portanto um instante t0 é excepcional se, e somente se, existe um Λαnão nulo, com Λα(t0) = 0. Como Λα são R-analíticos, se-gue que os instantes excepcionais são isolados. Apli-cando a afirmação (ii) do Teorema 3.2.1, tem-se a conclusão final da tese.
Segue o principal resultado desta seção, exigindo R-analiticidade da curva B para aplicar o Corolário 3.2.2 e garantir que sejam válidas as afirmações (i), (ii) e, em especial, (iii) do Teorema 3.2.1.
Teorema 3.2.3 (Evolução do índice com assinatu-ras parciais). Seja B(t) uma curva R-analítica de formas bilineares simétricas. Então para todo a < b no intervalo I ⊂R, tem-se 1 2σ(B(b)) − 1 2σ(B(a)) = = 1 2 X k≥1 σ(Bk(a)) + X t∈]a,b[ X k≥1 σ(B2k−1(t)) + +1 2 X k≥1 σ(B2k−1(b)) − σ(B2k(b))
Lema 3.2.3. Se B é R-analítica, então ∀t0∈ I n0(B(t0)) = nb0(B) +
X
k≥1
n+(Bk) + n−(Bk)
Demonstração. A soma n+(Bk) + n−(Bk) cor-responde à codimensão de ker Bk em Wk, i.e. dim Wk − dim Wk+1, por (3.2.1). Portanto tem-se P
k≥1n+(Bk) + n−(Bk)
= dim W1 − mink≥1dim Wk. Como ker B(t0) = W1, segue o re-sultado aplicando o Lema 3.2.2.
Demonstração do Teorema 3.2.3. Diretamente da definição de índice, co-índice e assinatura, tem-se
σ(B(t)) = n+(B(t)) − n−(B(t)) = = 2n+(B(t)) − dim V + n0(B(t)) logo dividindo por 2, aplicando em b e a e tomando a diferença, tem-se que
1 2σ(B(b)) − 1 2σ(B(a)) = n+(B(b)) − n+(B(a)) | {z } (I) +1 2σ(B(b)) − σ(B(a)) | {z } (II)
Para calcular a primeira diferença (I) em (3.2.2), pode-se, pelo Lema 3.2.2, aplicar a afirmação (iii) do Teorema 3.2.1, da qual segue que
n+(B(b)) − n+(B(a)) = =X k≥1 n+(Bk(a)) + X t∈]a,b[ X k≥1 σ(B2k−1(t)) −X k≥1 (n−(B2k−1(b)) + n+(B2k(b)))
Quanto a (II), do Lema 3.2.3, tem-se
σ(B(b)) − σ(B(a)) = =X k≥1 (n+(Bk(b)) + n−(Bk(b))) −X k≥1 n+(Bk(a)) + n−(Bk(a))
Assim, basta substituir (I) e (II) em (3.2.2).
4.
O Índice de Maslov
Na literatura, existem diversas definições para tal ín-dice, em geral como um semi-inteiro ou inteiro, adi-tivo ou não por concatenação, dependendo ou não da escolha de um lagrangiano L0. Tais definições clássicas geralmente são apresentadas em termos de um isomorfismo entreZ e o grupo de homologia re-lativa H1(Λ, Λ0(L0)), associando a cada curva com
pontos extremais em Λ0(L0) a imagem de sua classe de homologia. Uma generalização destas definições foi apresentada em 2004 por Giambó, Piccione e Por-taluri em [2], posteriormente refinada em 2008 por Piccione e Tausk em [5], considerando um homo-morfismo entre o grupóide fundamental de Λ e 12Z. Nesta seção, são apresentados os principais resulta-dos da teoria desenvolvida em [2, 5] para o cálculo do índice de Maslov para curvasR-analíticas utilizando o Teorema 3.2.3 sobre assinaturas parciais, também presente em [5].
4.1
Definição do índice de Maslov via
grupóide fundamental
Considere (V, ω) um espaço simplético de dimensão 2n, um subespaço lagrangiano L0 ⊂ V fixo, e Λ a Grassmanniana Lagrangiana de (V, ω).
Lema 4.1.1. Dados subespaços lagrangianos L1, L01∈ Λ0(L0), a aplicação
Λ0(L1) ∩ Λ0(L01) −→ Z
L 7→ n+(ϕL0,L1(L)) − n+(ϕL0,L01(L))
é constante em cada componente conexa por cami-nhos de Λ0(L1) ∩ Λ0(L01).
Corolário 4.1.1. Dados subespaços lagrangianos L1, L01∈ Λ0(L0), a aplicação Λ0(L1) ∩ Λ0(L01) −→ 1 2Z L 7→ 1 2σ(ϕL0,L1(L)) − 1 2σ(ϕL0,L01(L))
é constante em cada componente conexa por cami-nhos de Λ0(L1) ∩ Λ0(L01).
O corolário acima é facilmente verificável, uma vez que σ(ϕL0,L1(L)) = σ(ϕL0,L01(L)) = dim L0∩ L1, e tem-se 1 2σ(ϕL0,L1(L)) − 1 2σ(ϕL0,L01(L)) = = n+(ϕL0,L1(L)) − n+(ϕL0,L01(L)) +1 2σ(ϕL0,L1(L)) − 1 2σ(ϕL0,L01(L))
Recorda-se que, como usual, Ω(X) denota o con-junto de todas as curvas contínuas γ : I → X, i.e. Ω(X) = C0(I, X), e uma aplicação ψ : Ω(X) → G
é dita um homomorfismo de grupóide se é invari-ante por homotopia1 e ψ(γ · µ) = ψ(γ)ψ(µ) quando γ, µ ∈ Ω(X) satisfazem γ(1) = µ(0), onde γ · µ de-nota a concatenação das curvas.
Teorema 4.1.1. Sejam G um grupo e X =
S
α∈AUα uma cobertura aberta do espaço topológico X. Suponha que para cada α ∈ A existe um homo-morfismo de grupóide ψα : Ω(Uα) → G e para cada α, β ∈ A, γ ∈ Ω(Uα∩ Uβ) tem-se ψα(γ) = ψβ(γ). Então existe um único homomorfismo de grupóide ψ : Ω(X) → G tal que ψ(γ) = ψα(γ), ∀α ∈ A, ∀γ ∈ Ω(Uα).
Demonstração. Considere Ω(Uα) como subconjun-tos de Ω(X). Da hipótese, para cada α, β ∈ A, ψα e ψβ assumem o mesmo valor em Ω(Uα) ∩ Ω(Uβ) = Ω(Uα∩ Uβ). Portanto fazendo ΩA =. Sα∈AΩ(Uα), tem-se uma única aplicação ψ : ΩA→ G que assume o mesmo valor que ψαem Ω(Uα) para cada α ∈ A.
Dada uma partição P = {0 = t0< t1< · · · < tk= 1} do intervalo I = [0, 1], define-se, eventualmente reparametrizando as curvas em I,
ΩA,P .
= {γ ∈ Ω(X) : γ|[tr,tr+1] ∈ ΩA, 0 ≤ r ≤ k − 1}
Define-se ψP : ΩA,P −→ G por ψP(γ) . = ψ(γ|[t0,t1]) · · · ψ(γ|[tk−1,tk]), para toda γ ∈ ΩA,P.
Afirmo que se P e Q são partições arbitrárias de I, então ψP = ψQ em ΩA,P ∩ ΩA,Q. Esse resultado verifica-se facilmente se Q refina P , i.e. Q ⊃ P , e basta observar que duas partições arbitrárias P, Q de I apresentam um refinamento comum, P ∪ Q. Ademais, como Ω(X) =S{ΩA,P, P partição de I}, todas as aplicações ψP se estendem a uma aplica-ção ψ : Ω(X) → G. Verifica-se facilmente que esta aplicação é um homomorfismo de grupóide, e, por construção, satisfaz a tese do teorema.
Teorema 4.1.2. Seja (V, ω) um espaço simplético, Λ sua Grassmanniana Lagrangiana e L0 ∈ Λ um lagrangiano fixo. Então existe um único homomor-fismo de grupóide µL0 : Ω(Λ) → 1 2Z tal que µL0(γ) = 1 2σ(ϕL0,L1(γ(1))) − 1 2σ(ϕL0,L1(γ(0))) ∀γ ∈ Ω(Λ0(L1)), ∀L1∈ Λ0(L0) Demonstração. A tese segue diretamente do Corolá-rio 4.1.1 e do Teorema 4.1.1, fazendo G = 12Z, A = Λ0(L0), UL1 = Λ0(L1) e ψL1(L) =
1
2σ(ϕL0,L1(L)),
∀L1∈ A, L0∈ UL1.
1i.e., ψ(γ) = ψ(µ) quando γ, µ ∈ Ω(X) são homotópicas
Assim, pode-se enunciar a definição seguinte, que, de acordo com os resultados acima, é consistente. Definição 4.1.1 (Índice de Maslov). Dada uma curva contínua γ : I → Λ e um lagrangiano L0∈ Λ, o semi-inteiro µL0(γ) ∈
1
2Z é dito índice de Maslov para a curva γ em relação ao lagrangiano L0.
4.2
Cálculo do índice de Maslov por
assinaturas parciais
Considere novamente (V, ω) um espaço vetorial sim-plético de dimensão 2n, um subespaço lagrangiano L0 ⊂ V e uma curva γ : I → Λ na Grassmanniana Lagrangiana Λ de (V, ω), sendo I ⊂R um intervalo. Definição 4.2.1. Uma L0-função raiz para γ no ins-tante t0∈ I é uma aplicação diferenciável v : I → V tal que v(t) ∈ γ(t), ∀t ∈ I e v(t0) ∈ L0. A ordem ord(v, L0, t0) da L0-função raiz v em t0 é o menor k ∈ N tal que v(k)(t0) /∈ L0. Se v(k)(t0) ∈ L0, ∀k ∈ N, define-se ord(v, L0, t0) = ∞.
Dado k ∈ N, o conjunto das L0-funções raiz v : I → V com ord(v, L0, t0) ≥ k é um subespaço do espaço de funções diferenciáveis de I em V , portanto
Wk(γ, L0, t0) .
= {v(t0) : v L0-raiz de γ, ord(v) ≥ k} é um subespaço de L0∩γ(t0). O espaço Wk(γ, L0, t0) é dito k-ésimo espaço de degenerescência de γ com respeito a L0 em t0. Novamente, quando γ, L0 e t0 forem evidentes do contexto, denota-se tal es-paço apenas Wk. De modo análogo, tem-se Wk ⊃ Wk+1, ∀k ∈ N, com W1= L0∩ γ(t0).
Lema 4.2.1. Sejam k ∈ N e v, w :
I → V L0-funções raiz para γ, com
ord(v, L0, t0), ord(w, L0, t0) ≥ k. Então ω(v(k)(t0), w(t0)) = ω(w(k)(t0), v(t0)).
Demonstração. Como v(t), w(t) ∈ γ(t), tem-se ω(v(t), w(t)) = 0, ∀t ∈ I. Diferenciando k vezes em t = t0, tem-se P k i=0 k iω(v (k−i)(t 0), w(i)(t0)) = 0. Se 0 < i < k, então v(k−i)(t0), w(i)(t0) ∈ L0, portanto o i-ésimo termo da soma é nulo, assim ω(v(k)(t
0), w(t0))+ω(v(t0), w(k)(t0)) = 0, concluindo a demonstração.
Corolário 4.2.1. Dados k ∈ N, v1, v2 :
I −→ V L0-funções raiz para γ, com
ord(v1, L0, t0), ord(v2, L0, t0) ≥ k, v1(t0) = v2(t0) e wo∈ Wk, tem-se ω(v (k) 1 (t0), w0) = ω(v (k) 2 (t0), w0). Para verificar o corolário acima, basta escolher uma L0-função raiz w para γ com ord(w, L0, t0) ≥ k e aplicar o Lema 4.2.1, donde seguirá
ω(v(k)1 (t0), w0) = ω(w(k)(t0), v1(t0)) = = ω(w(k)(t0), v2(t0)) = ω(v
(k)
2 (t0), w0) Definição 4.2.2. Dado k ∈N, define-se a k-ésima forma de degenerescência de γ com relação a L0 em t0 por
γk(L0, t0) : Wk× Wk → R (v0, w0) 7→ ω(v(k)(t0), w0)
para todo v0, w0 ∈ Wk, onde v : I → V é uma L0 -função raiz arbitrária para γ, com ord(v, L0, t0) ≥ k e v(t0) = v0.
Observe que segue diretamente do Corolário 4.2.1 que a aplicação γk(L0, t0) está bem definida. Evi-dentemente tal aplicação é bilinear e segue do Lema 4.2.1 que, ademais, é simétrica. Novamente, quando L0, t0forem evidentes do contexto, denota-se apenas γk a k-ésima forma de degenerescência com relação a L0em t0.
Teorema 4.2.1. Seja t0∈ I fixo e L1 um subespaço lagrangiano de V , complementar a L0 e suponha, sem perda de generalidade2, que γ(I) está contido no domínio da carta ϕL0,L1 : Λ0(L1) → Bilinsym(L0).
Fazendo B = ϕL0,L1 ◦ γ : I → Bilinsym(L0), para
cada k ∈ N, o k-ésimo espaço de degenerescência Wk(γ, L0, t0) coincide com o k-ésimo espaço de de-generescência Wk(B, t0) e a k-ésima forma de dege-nerescência γk(L0, t0) coincide com a k-ésima forma de degenerescência Bk(t0).
Demonstração. Seja T = φL0,L1 ◦ γ : I →
Lin(L0, L1) tal que γ(t) ⊂ V = L0⊕ L1 é o grá-fico da aplicação linear T (t) : L0 → L1 e B(t) = ρL0,L1 ◦ T (t), ∀t ∈ I. Toda aplicação diferenciável
v : I → V satisfazendo v(t) ∈ γ(t), ∀t ∈ I é da forma v(t) = u(t) |{z} ∈L0 + T (t)(u(t)) | {z } ∈L1 (4.2.1)
onde u : I → L0 é uma aplicação diferenciável. Como B(t)(u(t)) = ρL0,L1T (t)(u(t)) e ρL0,L1 é
um isomorfismo, segue que a ordem do zero em t0 das aplicações t 7→ B(t)(u(t)) e t 7→ T (t)(u(t)) é a mesma. Note que v é uma L0-função raiz para γ em t0 se, e somente se u é uma função raiz para B
2Note que se L
1 é um lagrangiano complementar a L0 e
γ(t0) em V , então a condição γ(I) ⊂ Λ0(L1) é satisfeita para
vizinhanças suficientemente pequenas de t0∈ I, e a restrição
a tal vizinhança não altera as formas de degenerescência nem os espaços de degenerescência em t0.
em t0, i.e., por (4.2.1), v(t0) ∈ L0 se, e somente se, T (t0)(u(t0)) = 0.
Assumindo que v é uma L0-função raiz para γ em t0, para cada k ∈N, derivando k vezes (4.2.1), obtém-se v(k)(t0) = u(k)(t0) | {z } ∈L0 + d k dtkT (t)(u(t)) t=t 0 | {z } ∈L1 (4.2.2)
portanto o menor natural k, com v(k)(t0) ∈/ L0 coincide com o menor natural k, com
dk dtkT (t)(u(t)) t=t 0 6= 0, ou seja, ord(v, L0, t0) = ord(u, t0). Como T (t0)(u(t0)) = 0, tem-se que v(t0) = u(t0), logo Wk(γ, L0, t0) = Wk(B, t0), ∀k ∈ N. Se v : I → L0é uma L0-função raiz para γ em t0 com ord(v, L0, t0) ≥ k, fazendo v0 = v(t0) e fixando w0 ∈ Wk(γ, L0, t0) = Wk(B, t0), tem-se a seguinte igualdade, que conclui a demonstração.
γk(v0, w0) = ω(v(k)(t0), w0) = ω u(k)(t0) + dk dtkT (t)(u(t)) t=t 0 , w0 = ω d k dtkT (t)(u(t)) t=t 0 , w0 = ρL0,L1 dk dtkT (t)(u(t)) t=t 0 · w0 = d k dtkT (t)(u(t)) t=t 0 · w0 = Bk(u(t0), w0) = Bk(v0, w0)
Definição 4.2.3 (Degenerescência base). A dege-nerescência base de uma curva γ de lagrangianos com respeito ao lagrangiano L0é dada por nbL0(γ) =
mint∈Idim(γ(t) ∩ L0). Os instantes t ∈ I, nos quais dim(γ(t) ∩ L0) > nbL0(γ) são ditos excepcionais com
relação a L0.
Evidentemente nbL
0(γ) > 0 se, e somente se,
γ(I) ⊂ Λ≥1(L0). Se γ é R-analítica, segue facil-mente do Teorema 4.2.1, Lema 3.2.2 e Proposição 3.2.1 que os instantes excepcionais de γ são iso-lados e t0 ∈ I não é excepcional se, e somente se, γk(L0, t0) = 0, ∀k ∈ N e para cada t0 ∈ I, nb
L0(γ) = mink≥1dim(Wk(γ, L0, t0)). Assim,
pode-se enunciar o resultado final, que permite o cálculo do índice de Maslov via assinaturas parciais, usando a unificação das teorias dada pelo Teorema 4.2.1 e o cálculo da variação do índice via assinaturas parciais estabelecido no Teorema 3.2.3.
Teorema 4.2.2. Se γ : I → Λ é R-analítica, então para todo a < b no intervalo I, tem-se
µL0(γ|[a,b]) = 1 2 X k≥1 σ(γk(L0, a)) + X t∈]a,b[ X k≥1 σ(γ2k−1(L0, t)) +1 2 X k≥1 σ(γ2k−1(L0, b)) − σ(γ2k(L0, b))
Demonstração. Denotando R(a, b) o lado direito da igualdade na tese do teorema, é fácil verificar que R(a, c) + R(c, b) = R(a, b), ∀c ∈]a, b[. Como µL0 é
aditivo por concatenação3, o caso geral reduz-se sem perda de generalidade ao caso no qual γ([a, b]) está contido no domínio de uma carta ϕL0,L1. Nesse caso,
tal igualdade é imediata dos Teoremas 4.2.1 e 3.2.3.
Referências
[1] L. Biliotti, Hamiltonian actions and homogeneous Lagran-gian, symplectic, isotropic and coisotropic submanifolds, Università degli Studi di Parma, Parma, Itália, 2008. [2] R. Giambó, P. Piccione, and A. Portaluri, On the
Mas-lov index of lagrangian paths that are not transversal to the Maslov cycle. Semi-Riemannian index theorems in the degenerate case., arXiv math.DG/0306187v3 (2004). [3] , Computation of the Maslov index and the spectral
flow via partial signatures, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 338 (2004), no. 5.
[4] F. Mercuri, P. Piccione, and D. V. Tausk, Stability of the focal and geometric index in Semi-Riemannian Geome-try via the Maslov index, arXiv math.DG/9905096v3 (2000).
[5] P. Piccione and D. V. Tausk, A Student’s Guide to Sym-plectic Spaces, Grassmannians and Maslov Index, Univer-sidade de São Paulo - IME USP, São Paulo, Brasil, 2008 (to appear).
[6] J. Robbin and D. Salamon, The Maslov index for paths, Topology 32 (1993), no. 4.
[7] D. V. Tausk, O Teorema do Índice de Morse para Métri-cas Indefinidas e para Sistemas Hamiltonianos (Tese de Doutoramento), IME USP, São Paulo, Brasil, 2000.
