Termos. Tempo. t 1 t 2 t 3 ( ) t n-1 t n ( ) n-1 n. 0 (origem) ( ) n-1 n

(1)

CAPÍTULO II

RENDAS

Cálculo

Cálculo Financeiro

Financeiro

Cálculo

Cálculo Financeiro

Financeiro

**

Francisco Antunes Francisco Antunes

Paulo Paulo MêdaMêda

Enquadramento



Regime de Juro Composto



Sabe

Sabe se que utilizando o factor de

se que utilizando o factor de



Sabe

Sabe--se que utilizando o factor de

se que utilizando o factor de

actualização (1+i)

--nn

ou o de capitalização

(1+i)

nn

é possível movimentar no tempo um

capital de cada vez.

(2)

Conceito de renda



Conjunto de capitais (termos) que

i

l

d

i

l

d

i

ocorrem em intervalos de tempo iguais

(equidistância temporal).



Não interessa que os diferentes capitais

(os termos) sejam de igual montante.

A

i di id d d

d é d fi id

l

A

i di id d d

d é d fi id

l

44



A periodicidade da renda é definida pelo

período de tempo entre dois termos

consecutivos.

Conceito de renda



Para definir uma renda é preciso saber:

–– o momento de referência;

o momento de referência;

–– o momento de vencimento do primeiro

o momento de vencimento do primeiro

termo;

(3)

Representação de uma renda

t₁ t₂ t₃ (…) t_n-1 t_n

Termos

0

(origem)

1 2 3 (…) n-1 n

Tempo

66

p

Valor actual de uma renda

t₁ t₂ t₃ (…) t_n-1 t_n

(4)

Valor acumulado de uma renda

t₁ t₂ t₃ (…) t_n-1 t_n

V

V_n_n= t= t₁₁.(1+i).(1+i)(n(n--1)1)_{+ t}_{+ t}

22.(1+i).(1+i)(n(n--2)2)+ t+ t33.(1+i).(1+i)(n--3)(n3)+ … + t+ … + t(n(n--1)1).(1+i).(1+i) + t+ tnn 0 1 2 3 (…) n-1 n

88

n

n 11(( )) 22 (( )) 33(( )) (n(n--1)1)(( )) nn

n

é o momento em que

ocorre o último termo

Tipos de rendas



Quanto à sua duração:

Á

–– TEMPORÁRIAS

TEMPORÁRIAS

 O número de termos é finito.

O número de termos é finito.

–– PERPÉTUAS

PERPÉTUAS

(5)

Tipos de rendas



Quanto à sua duração:

Á

–– TEMPORÁRIAS

TEMPORÁRIAS

–– PERPÉTUAS

PERPÉTUAS

€12 €33 €34 (…) €45 €49 0 1 2 3 (…) n-1 n €12 €33 €34 ( ) 10 10 €12 €33 €34 (…) 0 1 2 3 (…) +∞

Tipos de rendas



Quanto ao período da renda:

–– INTEIRAS

INTEIRAS

 O período da renda corresponde ao período

O período da renda corresponde ao período

da taxa (ex: ano/tx anual, mês/tx mensal,…).

(6)

Tipos de rendas



Quanto ao período da renda:

–– INTEIRAS

INTEIRAS

FRACCIONADAS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 (i mensal) 0 1 2 3 (…) 34 meses 12 12

–– FRACCIONADAS

FRACCIONADAS

€2.000 €2.500 (i anual) 0 1 2 3 4 meses

Tipos de rendas



Quanto ao valor dos termos:

CONSTANTES

–– CONSTANTES

CONSTANTES

(7)

Tipos de rendas



Quanto ao valor dos termos:

–– CONSTANTES

CONSTANTES

VARIÁVEIS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 0 1 2 3 (…) 34 14 14

–– VARIÁVEIS

VARIÁVEIS

€1.000 €750 €320 (…) €238 0 1 2 3 (…) 103

Tipos de rendas



Quanto ao momento de referência:

–– IMEDIATAS

IMEDIATAS

(8)

Tipos de rendas



Quanto ao momento de referência:

–– IMEDIATAS

IMEDIATAS

DIFERIDAS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 0 1 2 3 (…) 34 16 16

–– DIFERIDAS

DIFERIDAS

€1.000 (…) €1.000 0 1 2 3 (…) 34

Tipos de rendas



Quanto ao vencimento dos termos:

–– NORMAIS (OU POSTECIPADAS)

NORMAIS (OU POSTECIPADAS)

(9)

Tipos de rendas



Quanto ao vencimento dos termos:

–– NORMAIS (OU POSTECIPADAS)

NORMAIS (OU POSTECIPADAS)

–– ANTECIPADAS

ANTECIPADAS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 €1.000 0 1 2 3 (…) 34 35 18 18 €1.000 €1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 0 1 2 3 (…) 34 35

Quadro Resumo

(10)

Quadro Resumo

20 20

Não interessa!!!

(11)

Só nos interessam:



TEMPORÁRIAS

TEMPORÁRIAS ou

ou PERPÉTUAS

PERPÉTUAS

Á



CONSTANTES

CONSTANTES ou

ou VARIÁVEIS

VARIÁVEIS



INTEIRAS

–– basta converter a taxa das fraccionadas

basta converter a taxa das fraccionadas



IMEDIATAS

IMEDIATAS e

e DE TERMOS NORMAIS

DE TERMOS NORMAIS

b

l

/

l

é d

b

l

/

l

é d

22 22

–– basta actualizar/capitalizar através de

basta actualizar/capitalizar através de

(1+i)

(1+i)--

nn

/(1+i)

nn

RENDAS TEMPORÁRIAS



(12)

Valor actual: renda constante

V

V₀₀= t= t₁₁.(1+i).(1+i)--11_{+ t}_{+ t}

22.(1+i).(1+i)--22+ t+ t33.(1+i).(1+i)--33+ … + t+ … + t(n(n--1)1).(1+i).(1+i)--(n(n--1)1)+ t+ tnn.(1+i).(1+i)--nn

mas como t

1 1

= t

2 2

= t

3 3

= … = t

nn--1 1

= t

nn

vem que:

V

₀₀

=















i

︶

i

︵1

1 t .

n 24 24

n i

a

n i

A

Valor actual: renda constante

1) Considere uma taxa mensal de 2%

t₁ t₂ t₃ t₄ t₅

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

(13)

Valor actual: renda constante

1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

26 26

Qual é o valor actual da renda no momento 0? ou

Qual é o capital equivalente no momento 0?

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

(14)

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

28 28

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 … 69 70 meses €100 €150 €100 €150 €100 … €150 €100

(15)

Valor acumulado: r. constante

V

_n_n

= V

₀₀

.(1+i)

nn

vem que:

V

_n

=

n n

︶

i

︵1

i

︶

i

︵1

1 t .

















.

30 30

i





n i

s

Valor acumulado: r. constante

V

_n_n

= V

₀₀

.(1+i)

nn

vem que:

V

_n

=









︵1

_{ i}

i

︶



1 t .

n

(16)

Valor acumulado: r. constante

t₁ t₂ t₃ t₄ t₅

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

32 32

Qual é o valor acumulado da renda no momento 5? ou

Qual é o valor da renda no final do prazo?

Valor acumulado: r. constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

(17)

Valor acumulado: r. constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

34 34

Qual é o valor da renda no final do prazo?

Valor acumulado: r. constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

(18)

Valor acumulado: r. constante

0 1 2 3 4 … 69 70 meses €100 €150 €100 €150 €100 … €150 €100

36 36

Qual é o valor da renda no momento 70?

RENDAS TEMPORÁRIAS



TERMOS VARIÁVEIS

–– Sem regularidade matemática;

Sem regularidade matemática;

–– Com termos em progressão aritmética;

Com termos em progressão aritmética;

–– Com termos em progressão geométrica.

Com termos em progressão geométrica.

(19)

TERMOS SEM REGULARIDADE



Efectua

Efectua--se o cálculo (actualizar/capitalizar)

se o cálculo (actualizar/capitalizar)

d

áli !

d

áli !

termo a termo para a data de análise!

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €37 €11 €143 €20 (i mensal = 3%) 38 38

TERMOS EM P. ARITMÉTICA

r é a RAZÃORAZÃO da progressão aritmética

t t+r t+2r t+3r t+4r … t+(n-2)r t+(n-1)r

(20)

Valor actual com termos em PA

V

V₀₀= t.(1+i)= t.(1+i)--11_{+ (t+r).(1+i)}_{+ (t+r).(1+i)}--22_{+ (t+2r).(1+i)}_{+ (t+2r).(1+i)}--33_{+ … +}_{+ … +}

[t+(n

[t+(n--2).r].(1+i)2).r].(1+i)--(n(n--1)1)_{+ [t+(n}_{+ [t+(n--1).r].(1+i)}_1).r].(1+i)--nn

[t (n [t (n 2).r].(1 i)2).r].(1 i) [t (n [t (n 1).r].(1 i)1).r].(1 i)

V

₀₀

=

i

nr

i

r

t

.















_















i

︶

i

︵1

1

n 40 40

n i

a

 

a

A

_{n i}

Valor actual com termos em PA

t t+r t+2r t+3r t+4r

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €120 €140 €160 €180

(21)

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €120 €140 €160 €180

42 42

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €90 €80 €70 €60

(22)

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €85 €70 €55 €40

44 44

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 … 69 70 meses €10 €70 €12 €68 €14 … €150 €80

(23)

Valor acumulado em PA

V

_n_n

= V

₀₀

.(1+i)

nn

vem que:

V

_n

= =

_{ }

_a

n i

S

_{ }

_a



1



n

n i

A

 

i

46 46

TERMOS EM P. Geométrica

r é a RAZÃORAZÃO da progressão geométrica

t t.r1 _t.r2 _t.r3 _t.r4 _{… t.r}(n-2) _t.r(n-1)

(24)

Valor actual com termos em PG

V

V₀₀= t.(1+i)= t.(1+i)--11_{+ (t.r).(1+i)}_{+ (t.r).(1+i)}--22_{+ (t.r}_{+ (t.r}22_).(1+i)_).(1+i)--33_{+ … +}_{+ … +}

[t.r

[t.r(n(n--2)2)_].(1+i)_].(1+i)--(n(n--1)1)_{+ [t.r}_{+ [t.r}(n(n--1)1)_].(1+i)_].(1+i)--nn

[t.r [t.r ].(1 i)].(1 i) [t.r [t.r ].(1 i)].(1 i)

V

₀₀

=

 

_{ }

_























r

1 i

i

1 r

.

i)

(1

t

n

48 48

 

g

A

_{n i}

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €110 €121 €133,1 €146,41

(25)

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €110 €121 €133,1 €146,41

50 50

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €110 €121 €133,1 €146,41

(26)

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €110 €121 €133,1 €146,41

52 52

Valor acumulado em PG

V

_n_n

= V

₀₀

.(1+i)

nn

vem que:

V

= =

t.





_

r



_{ }

 

1 

i

_





n

 



1



n

A

 

i

_{ }

(27)

Caso particular da PG

r =(1+i)

0 1 2 3 4 5 6 7 €100 €110 €121 €133,1 €146,41

Considere uma taxa de 10% ao período (i = 0,1)

54 54 r = 1+ 0,1 = 1,1

=

= n.

n.tt..

(1+i)

--1

1  

g

A

_{n i}

RENDAS PERPÉTUAS



TERMOS CONSTANTES

0 1 2 3 4 5 … 100 meses €1.000 €1.000 €1.000 €1.000 €1.000 … €1.000

(28)

Valor actual: renda constante





1 ︵1

_

i

︶



V

₀₀

=













_

_

i

︶

i

︵1

1 t .

Como (1+i)

-∞

_{→ 0, vem que}

56 56

Como (1+i) → 0, vem que

Valor actual: renda constante





1 V

V

₀₀

=

_

 i

_



1 t .

a

(29)

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €100 €100 €100 €100 €100 …

58 58

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €100 €100 €100 €100 €100 …

(30)

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €100 €100 €100 €100 €100 €100 …

60 60

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €100 €100 €100 …

(31)

RENDAS PERPÉTUAS



TERMOS VARIÁVEIS

–– Com termos em progressão aritmética;

Com termos em progressão aritmética;

–– Com termos em progressão geométrica.

Com termos em progressão geométrica.

62 62

TERMOS EM P. ARITMÉTICA

r é a RAZÃORAZÃO da progressão aritmética

t t+r t+2r t+3r t+4r … t+(n-1)r …

(32)

Valor actual com termos em PA

V

₀₀

=

.

t

r

nr





nr











_









1 

︵1



i



︶

n

V

₀₀

i

nr

i

t

.















i

Como (1+i)

-∞

_{→ 0, vem que}

















nr

r

t

1 t

r

64 64

















_









i

nr

i

t

.

i

2 i

i



 

a

A



_i

Valor actual com termos em PA

t t+r t+2r t+3r t+4r …

0 1 2 3 4 5 ∞ meses €100 €120 €140 €160 €180 …

(33)

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 5 ∞ meses €100 €120 €140 €160 €180 …

66 66

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 ∞??? meses €100 €90 €80 €70 €60 …

(34)

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €120 €140 €160 …

68 68

TERMOS EM P. Geométrica

r é a RAZÃORAZÃO da progressão geométrica

t t.r1 _t.r2 _t.r3 _t.r4 _{… t.r}(n-1)

(35)

Valor actual com termos em PG

V

V =

=

 

_{ }









_

_

i

1 i

1 r

.

i)

(1

t

n n n

V

₀₀

=

₍₁

_

_i)

n

_



_r

_

_{ }

₁

_

_i

_



 



_





































r

1 i

i

1 .

i)

(1

t

i

1 r

r

.

i)

(1

t

n n n n

 

₁

_i

_r

t





70 70

[r ÷ (1+i)]

∞

_{→ 0, apenas se r < (1+i)}

 

_



_

 



_





i)

r

1 i

(1

i)

r

1 i

(1

 

1 

i

r

 

g

A



_i

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 ∞ meses €100 €110 €121 €133,1 €146,41 …

(36)

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 ∞ meses €100 €110 €121 €133,1 €146,41 …

72 72

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 ∞ meses €100 €110 €121 €133,1 €146,41 …

(37)

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €110 €121 €133,1 …

74 74