Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq

(1)

Conselho Nacional de Desenvolvimento

Cient´ıfico e Tecnol´

ogico - CNPq

Programa de Bolsas de Produtividade em Pesquisa

Equa¸

c˜

oes Diferenciais Parciais El´ıpticas

e

M´

etodos de Convergˆ

encia

Jo˜

ao Marcos Bezerra do ´

O

O projeto vem sendo apoiado pelo CNPq desde de 1996.

(2)

Identifica¸c˜ao 3

Resumo 5

Introdu¸c˜ao 7

Projetos de Pesquisa 9

Forma¸c˜ao de Recursos Humanos 22

Outras Atividades de Gest˜ao Cient´ıfica e Acadˆemica 25

Relat´orio Parcial e Resumido 26

Considera¸c˜oes Finais 44

(3)

Identifica¸

c˜

ao

Dados do Pesquisador

Jo˜

ao Marcos Bezerra do ´

O

CPF: 133 135 844 20

Professor Associado II - Universidade Federal da Para´ıba

Matr´ıcula - SIAPE - 0335874

Professor permamente do Programa de P´

os-gradua¸c˜

ao

em Matem´

atica - Universidade Federal da Para´ıba

Professor permamente do Programa de P´

os-gradua¸c˜

ao

em Matem´

atica - Universidade Federal de Pernambuco

Professor participante do Programa de P´

os-gradua¸c˜

ao

em Matem´

atica do IMECC-UNICAMP

Doutor - UNICAMP - 95

Pos-Doc. New York University - NYU,

Courant Institute of Mathematical Sciences - CIMS,

New York, USA (1998/1999)

Pos-Doc. University of British Columbia - UBC,

Department of Mathematics

Vancouver - BC, Canada (2006/2007)

e-mail: jmbo@pq.cnpq.br

(4)

T´ıtulo:

Equa¸c˜

oes Diferenciais Parciais

El´ıpticas e M´

etodos de Convergˆ

encia

Grande ´

Area do Conhecimento:

Ciˆ

encias Exatas e da Terra

´

Area do Conhecimento:

Matem´

atica

Sub-´

areas do Conhecimento:

An´

alise N˜

ao-Linear,

Equa¸c˜

oes Diferenciais Parciais e

Equa¸c˜

oes Diferenciais Funcionais

Locais de execu¸c˜

ao

:

UFPB, UFPE & UNICAMP

(5)

Resumo

Neste projeto de pesquisa, estudamos a existência, não existência e multiplicidade de solu¸cões de algumas classes de Equa¸cões Diferenciais Parciais El´ıpticas, definidas em dom´ınios euclidianos, usando-se métodos anal´ıtico-funcionais tais como: métodos variacionais e métodos topológicos. Também são abordadas propriedades qualitativas de solu¸cões destas equa¸cões, como por exemplo: regularidade, propriedades de simetria e de energia m´ınima, comportamento assintótico, blow up, entre outras. Para isto, faz-se necessário o estudo de determinados espa¸cos de fun¸cões (Espa¸cos de Lebesgue, Sobolev, Orlicz e Besov), bem como suas propriedades e desenvolvimento de novos espa¸cos de fun¸cões.

Certas classes de equa¸cõs podem ser estudadas usando-se o método variacional, o que é feito por meio da pesquisa de pontos cr´ıticos de certos funcionais que são definidos em espa¸cos de dimensão infinita juntamente com o auxilio de teoria mini-max e teoria de Morse.

Muitas outras equa¸cões não apresentam uma estrutura variacional e, portanto, outras técnicas tem sido usadas, tais como, a Teoria do Grau de Brouwer e de Laray -Schauder, Teoremas de Pontos Fixos e a Teoria da Bifurca¸cão, Teoria expectral de operadores não lineares.

As propriedades qualitativas tem sido estudadas via princ´ıpios de máximos, o chamado método de Alexandrov-Serrin (moving plane method) e suas variantes. Também se usa desigualdades do tipo Harnack e a teoria de De Giorgi-Nash-Moser.

Grande parte dos problemas pesquisados são motivados por aplica¸cões em outras áreas cient´ıficas, principalmente na F´ısica, Astronomia, Climatologia, Biologia, Qu´ımica, Economia, entre outras.

Além disso, visando contribuir com a forma¸cão de recursos humanos, para a pesquisa em matemátema no Brasil, temos trabalhado na orienta¸cão de alunos desde da Gradua¸cão com projetos de Inicia¸cão Cient´ıfica, com apoio do CNPq, com alunos de mestrado e doutorado. Sempre que poss´ıvel envolvemos os alunos em nossos projetos de pesquisa.

Queremos ressaltar o nosso interesse em continuar apoiando e motivando nosso grupo de pesquisa com a realiza¸c˜ao de eventos que dinamizem o

(6)

e internacionais. Sobretudo desejamos contribuir com a forma¸c˜ao daqueles que almejam completa-la com destaque, coordenando o programa de doutorado, que certamente atrav´es do deferimento da CAPES poderemos implementar ainda no in´ıcio de 2010, atingindo esta grande meta.

(7)

Introdu¸

c˜

ao

Nosso projeto de pesquisa versa sobre Matemática na sub-área de Análise, mais precisamente, em Equa¸cões Diferenciais Não-lineares.

Apresentamos aqui, de forma suscinta, as ativiades que realizaremos nos próximos quatro anos, na pesquisa, na forma¸cão de recursos humanos e na promo¸cão de ativiades cient´ıficas.

No que diz respeito à produ¸cão cient´ıfica o tema central de todos os nossos projetos é o estudo e o desenvolvimento de novas técnicas ligadas aos métodos “Variacionais e Topológicos”e suas aplica¸cões nas equa¸cões diferenciais parciais não-lineares que modelam problemas de vários ramos da Ciência, tais como: Matemática Aplicada, Geometria Diferencial, F´ısica Matemática, Biologia, Qu´ımica, Economia, Engenharias dentre outros.

Mais especificamente, nosso interesse recai sobre problemas modelados por equa¸cões diferenciais el´ıpticas não-lineares, que são uma das principais ferramentas para compreender certos fenômenos f´ısicos, qu´ımicos ou biológicos estacionários, ou até mesmo, processos evolutivos que tendem a um estado estacionário.

Nos últimos anos, tem-se desenvolvido intensa pesquisa sobre problemas modelados por Equa¸cões Diferenciais Não Lineares, o que tem levado à procura de novos métodos para a resolu¸cão destas classes de equa¸cões e tem contribu´ıdo de forma substancial para o desenvolvimento da Matemática e, mais especificamente, da Análise Não-Linear.

Em nossa pesquisa, desenvolvemos e usamos novas ferramentas que estão diretamente ligadas a dois métodos: Variacional e Topológico. Estes métodos estão dentre as mais frut´ıferas ferramentas matemáticas para lidar com problemas envolvendo equa¸cões diferencias. Em particular, fazemos bastante uso da Teoria dos Pontos Cr´ıticos.

Com rela¸cão a forma¸cão de “recursos humanos”, a procura e encaminhamento de novos talentos tem sido um trabalho de grande sucesso no nosso grupo. À medida que estimulamos o engajamento de nossos pesquisadores `

a programas de pós-doutoramento, estamos também preocupados em vincular nossa pesquisa com o ensino através de todos os trabalhos de tese, disserta¸cões de mestrado e de “Inicia¸cão Cient´ıfica”de nossos orientandos, numa tentativa de reduzir o tempo médio de titula¸cão dos mestres e doutores para que o futuro

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importância que praticamos nestes últimos dez anos e tem nos rendido bons frutos, é a busca de talentos no Ensino Médio e entre alunos que se encontram no in´ıcio da gradua¸cão. O trabalho que fazemos com estes alunos é orienta-los em uma “Inicia¸cão Cient´ıfica”voluntária. A finalidade é despertar voca¸cão cient´ıfica e incentivar talentos potenciais.

Hoje já podemos contar com mestrandos e doutorandos oriundos desta a¸cão, que cumprem, com bastante destreza, as etapas finais de seus estágios, p´ os-gradua¸cão, em tempo reduzido. Os programas de doutorado da UNICAMP, UnB, UFC, UFRJ e UFPE tem recebido estes nossos estudantes e eles tem demonstrado talento e embasamento.

Neste ano coordenamos um projeto de cria¸cão de um programa de doutorado em associa¸cão ampla envolvendo as institui¸cões; UFPB, UFCG, UFPE, UFC, para ser implementado no in´ıcio de 2010. Nosso intuito com tal projeto é melhor assistir a este crescente número de estudantes e oferecer uma execelente oportunidade destes concluirem sua forma¸cão visando a pesquisa.

Com rela¸cão aos nossos intercâmbios cient´ıficos, com a cria¸cão do programa de doutorado, as nossas expectativas são as melhores poss´ıveis. Podemos desde já contar com pesquisadores de destaque que se interessam em se beneficiar com o “Programa do Professor Visitante da UFPB”.

Além disso, contaremos com o evento “Escola de Verão”onde promoveremos a sele¸cão dos primeiros doutorandos do referido programa de doutorado e planejamos, para dinamizar ainda mais o nosso ambiente cient´ıfico, coordenar vários eventos nos próximos dois anos, tais como Ciclo de Palestras, Seminários Avan¸cados e Workshops, dentre outros.

Na próxima se¸cão destalhamos as atividades de pesquisa e forma¸cão de recursos humanos a serem desenvolvidas.

(9)

Projetos de Pesquisa

Nesta se¸cão apresentamos um resumo dos principais projetos de pesquisa que estamos realizando com nossos colaboradores e que serão desenvolvidos nestes próximos quatro anos.

Projeto de pesquisa 1

Cocompacidade e Existˆ

encia de M´ınimos para inequa¸

c˜

oes

do tipo Hardy-Sobolev em dimens˜

ao dois

Projeto em andamento em conjunto com os professores: Adimurthi

Center of Applicable Mathematics Tata Institute of Fundamental Research Bangalore - India

Kyril Tintarev Uppsala University Uppsala, Sweden

Objetivos Gerais

Neste projeto estudamos uma classe de equa¸c˜oes el´ıpticas quaselineares em espa¸cos de Sobolev W1,p_{(Ω), Ω ⊂ R}N, com p = N . Pretendemos obter resultado de “Compacidade global”para o caso p = N similar ao c´elebre resultado de Struwe sobre o caso N > 2m.

Natureza do Projeto

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em Matemática, na área de Análise Matemática, em Equa¸cões Diferenciais Parciais.

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limitado e N = 2m. O objetivo central deste projeto de pesquisa é analisar propriedades de convergência fraca para seqüências limitadas em Hm_{(Ω), em}

rela¸cão a não linearidades com crescimento cr´ıtico de forma similar ao resultado de “Compacidade global”de Struwe sobre o caso N > 2m. Considerando por simplicidade m = 1, apresentamos a seguir a seguinte generaliza¸cão devida a Tintarev (veja mais detalhes em [77, Cap´ıtulo 5]): dada uma seqüência limitada (uk) em D1,2(RN), N > 2, existe uma subseqüência tal que, definindo

htu def = tN −22 u(t·), temos uk− X n∈N h_t(n) k [w(n)(· − y_k(n))] → 0 em L2N/(N −2), (1) em que w(n) ∈ D1,2

(RN), e seq¨uˆencias t(n)_k > 0, y_k(n)∈ RN_{, tais que os termos na}

expans˜ao tem suportes assintoticamente disjuntos. Al´em disso, w(n)= w-lim [h_1/t(n) k w(n)](· + y_k(n)) e X kw(n)_k2 D1,2 ≤ lim sup kukk2D1,2.

Dito de outra forma, enquanto que a imers˜ao do espa¸co de Sobolev D1,2_(RN) no espa¸co L2N/(N −2)_(RN_{) n˜}_{ao ´}_{e compacta, toda seq¨}_uˆ_{encia limitada em D}1,2_(RN₎

possui uma subseq¨uˆencia convergente em L2N/(N −2)_(RN_{), depois da subtra¸c˜}_{ao dos}

termos “fugitivos”, isto é, o defeito da compacidade é estruturado em termos de seqüências de transla¸cões e dilata¸cões agindo de forma arbitrária sobre os perf´ıs assintóticos.

Note que no caso da restri¸cão para fun¸cões radiais a decomposi¸cão em (1) não contém transla¸cões e todas as dilata¸cões ocorrem em torno da origem, isto é, y(n)_k = 0. Se Ω é limitado, não há termos com t(n)_k → 0 (cf. [77, Proposi¸cão 5.1, Lema 5.4]).

Quando N = 2m a taxa máxima de integrabilidade de fun¸cões de Sobolev é expressa pela inequa¸cão de Pohozaev-Trudinger-Moser [67, 78, 64] e sua generaliza¸cão devida a Adams [1]

Tomamos o espa¸co de Sobolev W₀m,p(Ω), 1 ≤ p < ∞, munido da norma

kukp def₌ Z Ω L(u), em que L(u) = |∆ k_u|p _{m = 2k} |∇∆k_u|p _{m = 2k + 1,} k ∈ N.

(11)

Ent˜ao sup u∈Hm 0 (Ω),kuk≤1 Z Ω e(4π)mm!u2 < ∞, (2)

onde (4π)m_{m! ´}_{e valor m´}_{aximo para o qual (2) vale. Para mais detalhes veja [2]}

e sua bibliografia. O funcional Φ(u) def= R

Ωe

(4π)m_m!u2

define um espa¸co Orlicz, o qual n˜ao ´e compactamente imerso em Hm

0 (Ω). Entretanto, diferentemente do caso

N > 2m, o funcinoal Φ é cont´ınuo mas não limitado sobre as bolas kuk ≤ r com r > 1, é sequencialmente cont´ınuo na bola kuk ≤ r para todo r < 1, e é cont´ınua em toda sequencia na bola kuk ≤ 1 que converge fracamente para um limite não nulo. A principal questão em rela¸cão a continuidade fraca para Φ é portanto seu comportamento sobre as sequencias kukk ≤ 1 que converge fracamente para zero.

Citamos [57] para os resultados fundamentais sobre “concentration compactness”. Resultados esperados

Publicar pelo menos dois artigos em peri´odicos internacionais Deste modo pretemos continuar dar continuidade ao intercˆambio com os professores Adimurthi e Kyril Tintarev.

(12)

Equa¸

c˜

oes El´ıpticas Semilineares com Potenciais

Fortemente Singulares

Projeto em andamento em conjunto com os professores: David Costa University of Nevada Nevada, EUA Kyril Tintarev Uppsala University Uppsala, Sweden

Objetivos Gerais O principal objetivo deste projeto é estudar uma classe de equa¸cões el´ıpticas semilineares definida em subdom´ınios não limitados do espa¸co euclidiano RN envolvendo potenciais singulares.

Natureza do Projeto

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em Matemática, na área de Análise Matemática, em Equa¸cões Diferenciais Parciais.

Delimita¸c˜ao do Tema da Pesquisa

Neste projeto estudamos uma classe de equa¸c˜oes el´ıpticas definidas em subdom´ınios n˜_{ao limitados Ω ⊂ R}N_{, onde a forma quadr´}_{atica associada}

é não negativa e o potencial é em geral singular, tipicamente uma fun¸cão homogênea de grau −2. Pretendemos provar resultados de existência baseado no comportamento assintótico do potencial com respeito a transla¸cões e dilata¸cões, enquanto a não linearidade é uma perturba¸cão de fun¸cões auto-similares, possivelmente oscilando, o termo f∞ tem crescimento cr´ıtico satisfazendo

f∞(λjs) = λ

N +2

N −2f_∞(s), j ∈ Z e s ∈ R.

Aqui nosso interesse recai sobre dois casos qualitativamente diferentes desta classe de problemas, um quando a forma quadrática possui um “ground state”e o outro quando a presen¸ca do potencial não muda o espa¸co de energia. Neste último caso permitimos não linearidade com crescimento cr´ıtico oscilatório. Um exemplo importante desta classe de forma quadrática é a conhecida forma associada ao potencial de Hardy −µ|x|−2 com µ = µ∗ no primeiro caso e µ < µ∗ no segundo

(13)

caso, onde µ∗ = (N −2)₄ 2 ´e a maior constante para a qual a forma de energia permanece n˜ao negativa.

Neste projeto também analisaremos propriedades de convergência em espa¸cos de Lebesgue para seqüências limitadas em certas classes de subespa¸cos do espa¸co de Sobolev H1_(RN_{), (veja mais detalhes em [77]). ´}_{E bem conhecido que, enquanto}

a imerssão de Sobolev de H1_(RN) em Lp_(RN) não é compacta, o subespa¸co H1

r(RN) das fun¸cões radialmente simétricas de H1(RN) é compactamente imerso

em Lp_(RN_{), 2 < p < 2}∗ _{(cf. [76], [39]). No entanto no caso p = 2 e 2}∗ _esta

compacidade n˜ao vale.

Com objetivo de apresentar mais detalhes deste projeto introduzimos alguns espa¸cos de fun¸c˜oes bem conhecidos. consideremos o espa¸co D1,2_(RN_{), N ≥ 3, o}

fecho de C₀∞(Ω) em rela¸c˜ao a norma do gradiente

kuk = Z RN |∇u|2 dx 1/2 .

Consideremos ainda o subespa¸co D_r1,2_(RN) das fun¸c˜oes radiais em D1,2_(RN), e L2_(RN_{, V (x)) o espa¸co das fun¸c˜}_{oes mensur´}_{aveis tais que}

Z RN V (x)u2 < ∞. Definimos o espa¸co E = D_r1,2_(RN) ∩ L2_(RN, V (x)) munido da norma kukE = Z RN |∇u|2 ₊ Z RN V (x)u2 1/2 . (3)

Pretendemos estudar classes de potenciais V (x) para os quais a imers˜ao E ,→ L2∗_(RN)

é compacta. Aplicaremos este tipo de resultado de compacidade para estudar uma classe de problemas semi-lineares com potenciais fortemente indefinido. Pesquisaremos também sobre novos métodos para resolver problemas de existência de solu¸cões para uma classe de problemas el´ıpticos semi-lineares definidos em todo RN_{, N ≥ 3 sob condi¸c˜}_{oes m´ınimas envolvendo a geometria}

do Passo da Montanha. Em particular, no caso autônomo não vamos impor condi¸cões do tipo Ambrosetti-Rabinowitz.

Resultados esperados

Publicar pelo menos dois artigos em peri´odicos internacionais Deste modo pretemos continuar dar continuidade ao intercˆambio com os professores David Costa e Kyril Tintarev,

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Sistemas el´ıpticos singulares envolvendo crescimento

exponencial

Projeto em conjunto com os professores: Djairo Guedes de Figueiredo

Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica UNICAMP

Bernhard Ruf

Departamento de Matem´atica

Universidade de Milão, Milão, Itália.

Objetivos Gerais

Provar existência de solu¸cões positivas para uma classe de sistemas el´ıpticos em subdom´ınios limitados do plano euclidiano com não linearidades singulares e com crescimento cr´ıtico do tipo Trudinger-Moser.

Natureza do Projeto

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em Matemática, na área de Análise Matemática, em Sistemas de Equa¸cões Diferenciais Parciais.

Neste projeto daremos continuidade a nossas pesquisas sobre sistema el´ıpticos com crescimento exponencial. Vamos considerar uma classe de sistemas semilineares de equa¸c˜oes el´ıpticas da forma:

           −∆u = g(x, u, v) em Ω −∆v = f (x, u, v) em Ω u > 0 , v > 0 em Ω u = v = 0 sobre ∂Ω (4)

onde Ω ´_{e um subconjunto limitado de R}2 e as fun¸c˜oes g(x, u, v) e f (x, u, v) s˜ao singulares e superlineares no infinito.

Usando uma versao singular da inequa¸cão de Trudinger-Moser pretedemos considerar não linearidades com o máximo crescimento poss´ıvel que permita que o funcional energia esteja bem definido em um espa¸co de fun¸cões adequados. Em particular consideramos não linearidades que se comportam no infinito como

(15)

exp(αu2) para algum α > 0. Pretendemos seguir, em parte, idéias semelhantes as do artigo [21]. Esta classe de sistemas é variacional e podemos usar teoria de pontos cr´ıticos para resolver o problema (4). Entretanto, uma vez que o funcional associado definido no espa¸co de fun¸cões H₀1(Ω) é fortemente indefinido e como além disso, há perda de compacidade, nossa idéia é usar um teorema de linking em espa¸cos de dimensão finita e portanto determinar uma classe adequada de sequência de pontos cr´ıticos. Temos uma dificuldade técnica extra; mostrar que os n´ıveis cr´ıticos das aproxima¸cões são uniformemente limitados por baixo e então da´ı concluir que o ponto cr´ıtico limite é não trivial. Com este tipo de argumento pretendemos obter a citada solu¸cão não trivial. Vamos considerar os dois casos: quando ambas f e g tem crescimento cr´ıtico ou quando uma delas tem crescimento subcr´ıticio.

Publicar dois artigos em periódicos internacionais e envolver um aluno de doutorado neste tema de pesquisa. Deste modo pretemos continuar a forte intera¸cão já existente entre o nosso grupo de pesquisa e o grupo da UNICAMP liderado por Djairo de Figueiredo e Bernhard Ruf da Itália.

(16)

Itera¸

c˜

ao entre a geometria da fronteira e existˆ

encia de

solu¸

c˜

ao positiva para uma classe de problemas com

condi¸

c˜

ao de fronteira n˜

ao-linear

Projeto em conjunto com os professores: Emerson Alves Mendon¸ca de Abreu-UFMG Departamento de Matem´atica

Universidade Federal de Minas Gerais Everaldo Souto de Medeiros

Departamento de Matem´atica Universidade Federal da Para´ıba

Objetivos Gerais

Nosso objetivo é estabelecer a existência de melhores constantes da imersão de Sobolev H1(Ω) ,→ Lp(∂Ω), ou seja, estabelecer constante ótima para a

desigualdade: k∇uk2 L2_(Ω )+ kuk 2 L2_(Ω ) 1/2 ≤ Cp()kukLp_(∂Ω ),

onde Ω = −1Ω e estudar o comportamento das fun¸c˜oes u que realizam

as melhores constantes Cp(). Desde que a existˆencia de melhor constante ´e

equivalente a existência de solu¸cão positiva não constante para o problema de Neumann não-linear:

−∆u = f (u) em Ω

∂u

∂η = g(u) sobre ∂Ω,

(5) nosso foco aqui, que iniciou no artigo [17] ser´a usar a ”ground state”do problema limite no semi-espa¸co Euclidiano

−∆w = f (w) em _RN₊

∂w

∂η = g(w) sobre R

n−1_, (6)

para estudar o comportamento de Cp().

Outra motiva¸c˜ao deste tipo de problema vem do estudo do problema parab´olico, introduzido por Steklov em [69]

     ut− div k(x, u)∇u = 0, x ∈ Ω, t > 0, k(x, u)∂u ∂η + αu = g(t, x, u), x ∈ ∂Ω, t > 0. (7)

(17)

onde alguns experimentos mostraram que o calor concentra em um ´unico ponto do material e este ponto est´a localizado em um ponto da fronteira do material.

Nos últimos anos, o estudo da melhor constante de imersões de Sobolev tem atra´ıdo a aten¸cão de muitos matemáticos, não somente porque estas desigualdades tem papel fundamental em muitos problemas que aparecem em vários problemas da geometria e f´ısica, mas também, estas desigualdades têm indicado alguns fenômenos de grande interesse matemático, por exemplo, como a topologia do dom´ınio interfere na existência de extremal. Natureza do Projeto Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em matemática, na área de análise, Equa¸cões El´ıpticas semilineares, fazendo uso da Teoria variacional e argumentos de Blow up.

O recente progresso no estudo de problemas com condi¸cão de fronteira de Neumann, tem atra´ıdo a aten¸cão por parte dos pesquisadores em contrapartida com o problema de Dirichlet Semilinear. Uma explica¸cão para isto, talvez seja o fato de que qualquer solu¸cão para o problema de Neumann é instável quando vista como uma solu¸cão da equa¸cão parabólica correspondente.

In [65], Ni-Takagi observou um fenômeno conhecido como ponto de condensa¸cão, isto é, a solu¸cão tende a zero quando → 0, exceto para um número finito de pontos. Assim, torna-se importante conhecer não somente a existência de solu¸cão para (5) mas também o comportamento assintótico da solu¸cão.

Após este trabalho, despertou-se um grande interesse no estudo de problemas el´ıpticos com condi¸cão de Neumann. Com rela¸cão a este tipo de problema, existe uma extensa literatura da qual destacamos, [11, 26, 82, 83, 81]. Em seus métodos, foi fundamental conhecer a existência e unicidade de uma ground state para o problema limite, ou seja, uma solu¸cão radial positiva w, tal que w e suas derivadas de primeira ordem têm decaimento exponencial. Diante disto, é fundamental no estudo do problema (5), estudarmos o comportamento das fun¸cões extremais na desigualdade Sp(Rn+)kuk p Lp_(Rn−1₎ ≤ k∇uk 2 L2_(Rn +)+ kuk 2 L2_(Rn−1₎. (8)

Uma grande dificuldade neste estudo, ´e o fato de que o termo do lado direito de (8) n˜ao define uma norma em H1_(Rn

+). Recentemente del Pino e Flores [26],

estudaram o problema (5) para o caso Ω ⊂ Rn_{, n ≥ 3, com n˜}_{ao linearidades}

cr´ıticas, ou seja, p = 2∗ − 1 = (n − 1)/(n − 2). E este trabalho nos motivou

a estudarmos o caso subcritico que tornar-se mais complicado pelo fato de n˜ao podermos mais usar as fun¸c˜oes que atingem a melhor constante de Sobolev, as

(18)

o comportamento assint´otico das solu¸c˜oes, o qual faremos usando argumento de blow up. Resultados Esperados Pretendemos com isto dar continuidade a

projetos já existente neste tipo de problema, produzindo pelo menos um artigo de pesquisa e consolidando a nossa itera¸cão entre os grupos de pesquisa em EDP dos dois departamentos de matemática das universidades envolvidas.

(19)

Projeto de pesquisa 5

Equa¸

c˜

oes El´ıpticas com Crescimento Cr´ıtico do Tipo

Trudinger-Moser envolvendo o N - laplaciano

Uberlandio Batista Severo Departamento de Matem´atica Universidade Federal da Para´ıba Objetivos Gerais

Neste projeto, pretendemos estudar existência, não existência e unicidade de solu¸cões radiais positivas para uma classe de problemas el´ıpticos quaselineares envolvendo crescimento cr´ıtico do tipo Trudinger-Moser. Para este propósito, usaremos métodos da Análise Não-Linear, tais como, teoremas do tipo minimax, Teoria do Grau de Leray-Schauder e “Shooting Method”. Esta classe de problemas apresenta alguns tipos de dificuldades, devido à perda de compacidade por se tratar de crescimento cr´ıtico, bem como pelo fato do operador em questão ser do tipo quaselinear.

Natureza do Projeto

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em matemática, na área de análise, Equa¸cões El´ıpticas, fazendo uso da Teoria variacional e “Shooting Method”. Delimita¸cão do Tema da Pesquisa

Neste trabalho, estudamos uma classe de problemas el´ıpticos quaselineares da forma

(P1)

−∆Nu = f (u) em RN,

u(x) → 0 quando |x| → ∞

no qual a n˜_{ao linearidade f : R}+ → R ´e uma fun¸c˜ao localmente lipschitziana e

com sinal indeterminado, isto ´e, f pode eventualmente assumir valores negativos e positivos. As n˜ao linearidades f aqui consideradas atigem crescimento cr´ıtico do tipo exponencial.

Utilizando o shooting method, provaremos existência, não existência e unicidade de solu¸cões radiais em uma bola B1(0) ⊂ RN. Além disso, estaremos

(20)

denominadas “ground states”, um termo preveniente do contexto f´ısico que deu origem ao problema acima e tamb´em serviu como motiva¸c˜ao para o estudo do mesmo.

Estudamos o problema (P1) para n˜ao linearidade gerais f com o objetivo

de provar solu¸c˜_{oes definidas em todo R}N_. _{O nosso principal resultado para}

“ground states”aqui estabelecido não é formulado em termos de condi¸cões de crescimento de f ; mas por meio de uma desigualdade que relaciona a fun¸cão dada pela expressão (No caso N = 2)

h(u) = g(u) − ug 0_(u) 2 − y0g0(u) 2 h eg(u)−g(y0)2 − 1 i−1 , onde g(u) = ln f (u), para f (u) > 0; e o limite inferior de f

inf {f (u); u > 0} = −M.

Com hipótese apropriadas sobre f , provamos um critério para existência de solu¸cões de “ground states”o qual está relacionado a propriedade de um determinado conjunto não ser vazio. Utilizando esse critério associado ao shooting method estabelecemos existência de solu¸cões para uma larga classe de não linearidades f .

Por meio do shooting method, nos dedicamos a estabelecer resultados de existência, inexistência e unicidade de solu¸cões radiais em uma bola B1(0)

do problema (P1) para n˜ao linearidades com crescimento cr´ıtico. Mais

especificamente, trabalhamos com o problema, −∆Nu = h(u)eα|u|

N (N −1)

em _{Ω ⊂ R}N

u = 0 sobre ∂Ω,

onde h ´e um termo de menor ordem com respeito a eα|u|

N (N −1)

. Procuramos determinar a linha de divisão para a solubilidade e respectivamente a não solubilidade do problema em termos do crescimento assintótico do termo de menor ordem h. Veremos que o crescimento que garante a tal solubilidade é o crescimento cr´ıtico de h. Mais precisamente, mostraremos que tomando Ω = B1(0) existirá uma constante K0 > 0 tal que se

h(r) = K

r , para r > r1, com K < K0

e h satisfaz algumas condi¸cões em torno do zero então o problema acima não tem solu¸cão radial. Observamos que por [41] qualquer solu¸cão positiva de (P1) sobre

B1(0) é necessariamente radial, isto implica que não existe solu¸cão positiva sobre

(21)

Publicar pelo menos dois artigos em peri´odicos internacionais Deste modo pretemos continuar dar continuidade ao intercˆambio com os professores Djairo Guedes de Figueiredo.

Observa¸cão: Além destes projetos de pesquisa acima descritos temos outros projetos que estão em fase de elabora¸cão envolvendo os colaboradores:

Jan Chabrowski

The University of Queensland Brisbane, Australia.

Daniele Cassani

Dip. di Matematica “F. Enriques”, Universit`a degli Studi, Milano, Italy Pedro Ubilla

Departamento de Matem´atica y Ciencias de la Computacion Universidad de Santiago de Chile, Chile

Sebastian Lorca

Departamento de Matemáticas Universidad de Tarapacá, Chile Justino Sánchez

Departamento de Matemáticas Universidad de la Serena, Chile Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki Departamento de Matemática Universidade Federal de Vi¸cosa Sérgio Henrique Monari Soares Departamento de Matemática

Universidade de S˜ao Paulo, S˜ao Carlos, SP. Pierluigi Benevieri

Dipartimento di Matematica Applicata Universit`a degli Studi di Firenze, Italy

Abbas Moameni Department of Mathematics University of British Columbia

(22)

Nesta se¸cão elencamos os alunos que realizam projetos sob nossa orienta¸cão nos n´ıveis de doutorado, Mestrado e Inicia¸cão Cient´ıfica.

Alunos de Programa de Doutorado - UFPE

Manassés Xavier de Sousa - In´ıcio 2006.2. Atualmente está em fase de elabora¸cão de tese.

T´ıtulo do projeto de tese: Problema El´ıpticos envolvendo Crescimento Cr´ıtico do tipo Trudinger-Moser.

Resumo do projeto de tese: estudamos duas classes de problemas el´ıpticos singulares em subdom´ınios euclidianos envolvendo o operador N-Laplaciano e não-linearidades com crescimento exponencial do tipo Trudinger-Moser. Nosso principal objetivo é obter resultados de existência, multiplicidade e de não existência de solu¸cões. Para tanto, estamos abordando temas como: Minimiza¸cão de Funcionais; Teoremas envolvendo Sub-Solu¸cão e Super-Solu¸cão; Propriedades de regularidade das solu¸cões e Princ´ıpios de compara¸cão, etc. (cf. [29]) Além disso, investigamos também fenômenos de concentra¸cão de solu¸cões para sistemas el´ıpticos envolvendo não linearidades com crescimento exponencial do tipo Trudinger-Moser.

Anselmo Ribeiro Lopes - In´ıcio julho de 2008 Em fase de prepara¸c˜ao para o exame de qualifica¸c˜ao

José Francisco Alves de Oliveira - In´ıcio mar¸co de 2009 Em fase de prepara¸cão para o exame de qualifica¸cão

(23)

Elisandra de Fátima Gloss de Morais - In´ıcio 2006.1. Atualmente está em fase de elabora¸cão de tese.

T´ıtulo do projeto de tese: Equa¸c˜oes de Schr¨odinger quasilineares

Resumo do projeto de tese: Estudamos problemas envolvendo equa¸cão de Schrödinger para o p−laplaciano, sistemas de tais equa¸cões com o operador laplaciano e equa¸cões quasilineares. Em tais problemas o potencial considerado é cont´ınuo, positivo e possui um ”po¸co”. As não linearidades são também fun¸cões cont´ınuas, subcr´ıticas e não necessariamente satisfazem algumas hipóteses comumente exigidas tais como condi¸cão Ambrosetti-Rabinowitz e monotonicidade. Usando métodos variacionais provamos a existência e concentra¸cão de solu¸cões positivas

Bruno Henrique Carvalho Ribeiro - In´ıcio 2006.1. Atualmente est´a em fase de elabora¸c˜ao de tese.

T´ıtulo do projeto de tese: Problemas do tipo Ambrosetti-Prodi para sistemas Resumo do projeto de tese: Estudamos alguns problemas el´ıpticos envolvendo equa¸cões e sistemas cujas não linearidades são do tipo Ambrosetti-Prodi, isto é, interagem assintoticamente com autovalores do operador laplaciano, mas que podem possuir crescimento cr´ıtico. No caso de dimensões maiores que dois, abordamos um sistema el´ıptico com não linearidades homogêneas de grau igual ao expoente cr´ıtico de Sobolev, generalizando resultados obtidos por M. Calanchi e B. Ruf, obtendo através de métodos variacionais o resultado clássico de Ambrosetti e Prodi: existência de duas solu¸cões para o sistema dependendo da escolha da parte não-homogênea do mesmo. Para o caso bidimensional, abordamos problemas com crescimento exponencial, subcr´ıtico e cr´ıtico, e, a partir de resultados obtidos por Trudinger e Moser, também discutimos existência e multiplicidade de solu¸cão.

(24)

em Matem´

atica da UFPB

• Rodrigo Genuino Clemente, per´ıodo: agosto de 2009 a julho de 2011. • Jalman Alves de Lima, per´ıodo: mar¸co de 2009 a julho de 2010. • Esteban Pereira da Silva, per´ıodo: julho de 2008 a fevereiro de 2010. • Ricardo Pinheiro da Costa, per´ıodo: julho de 2008 a fevereiro de 2010. • Ornan Filipe Oliveira, per´ıodo: de mar¸co de 2006 a mar¸co de 2008. • Jos´e Francisco de Oliveira, per´ıodo: de agosto de 2007 a abril de 2009.

Alunos do Programa de Bolsas de Inicia¸

c˜

ao

Cient´ıfica - CNPq

• Jos´e Carlos, per´ıodo: 2009-2010.

Projeto: An´alise de Fourier e Aplica¸c˜oes. • Eudes Mendes, per´ıodo: 2009-2010.

Projeto: Inicia¸cão ao estudo das Equa¸cões Diferenciais Ordinárias. • Rodrigo Genuino Clemente, per´ıodo: 2008-2009.

Projeto: Inicia¸cão ao estudo das Equa¸cões Diferenciais Ordinárias. • Diego Ferraz de Souza, per´ıodo: 2008-2011.

Projeto: Inicia¸c˜ao ao Estudo das Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais. • Jalman Alves de Lima, per´ıodo: 2008.

Projeto: An´alise Funcional e Aplica¸c˜oes. • Esteban Pereira da Silva, per´ıodo: 2006-2007.

Projeto: Inicia¸cão ao Estudo da Análise Funcional e Aplica¸cões. • Ricardo Pinheiro da Costa, per´ıodo: 2006-2007.

(25)

Outras Atividades de Gest˜

ao

Cient´ıfica e Acadˆ

emica

1. Coordena¸cão do INCT - Matemática - Centro em Desenvolvimento - UFPB. 2. Coordena¸cão do PROJETO INTEGRADO DE PESQUISA EM AN ÁLISE

- PIPA/ UFPB.

3. Coordena¸cão dos projetos de organiza¸cão e solicita¸cão de apoio cient´ıfico aos ´

orgãos CNPq e CAPES para realiza¸cão do I - ENCONTRO NORDESTINO DE MATEM ÁTICA em João Pessoa no in´ıcio de 2010.

4. Coordena¸cão do projeto de cria¸cão do programa de doutorado em associa¸cão ampla entre as universidades: UFPB, UFCG, UFPE, UFC.

5. L´ıder do Grupo de Pesquisa PROJETO INTEGRADO DE PESQUISA EM AN ´ALISE.

(26)

Programa de Bolsas de Produtividade em Pesquisa

Nome do Pesquisador: Jo˜

ao Marcos Bezerra do ´

O

Processo: 305782/2006-1

Institui¸c˜

oes: UFPB, UFPE & UNICAMP

T´ıtulo do projeto apoiado pelo CNPq: Existˆ

encia e Multiplicidade

para alguns Problemas El´ıpticos

´

Area: An´

alise

Sub´

area do projeto: Equa¸c˜

oes Diferenciais Parciais

Pesquisador CNPq: Categoria/N´ıvel 1D

Per´ıodo: 01/03/2007 a 28/02/2010

O projeto vem sendo apoiado pelo CNPq desde agosto de 1996

INTRUC¸ ˜AO

FORMAC¸ ˜AO DE RECURSOS HUMANOS

RELAT ´ORIO RESUMIDO

A seguir resumiremos o desenvolvimento de nossa pesquisa durante o per´ıodo deste projeto de pesquisa em formato semelhante ao que apresentamos no nosso plano de trabalho.

(27)

Projeto de pesquisa 1

Estimativas a priori para equa¸

c˜

oes el´ıpticas n˜

ao-lineares

envolvendo crescimento exponencial

Bernhard Ruf

Departamento de Matem´atica

Universidade de Milão, Milão, Itália.

Resultados Obtidos

Como produto da pesquisa sobre este tema publicamos dois artigos (cf. [23, 24]). Nesta ocasião tivemos a oportunidade de dar continuidade à forte intera¸cão já existente entre o nosso grupo de pesquisa e o grupo da UNICAMP liderado por Djairo de Figueiredo (UNICAMP) e Bernhard Ruf (Università degli Studi, Milano, Italy).

Objetivos Gerais

Obter estimativas a priori para solu¸c˜oes positivas para uma classe de sistemas el´ıpticos em subdom´ınios limitados do plano euclidiano com n˜ao linearidades com crescimento exponencial.

Natureza do Projeto

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em Matemática, na área de Análise Matemática, em Sistemas de Equa¸cões Diferenciais Parciais.

Neste projeto, consideramos uma classe de sistemas semilineares de equa¸c˜oes el´ıpticas da forma:            −∆u = g(x, u, v) em Ω −∆v = f (x, u, v) em Ω u > 0 , v > 0 em Ω u = v = 0 sobre ∂Ω (9)

(28)

são superlineares no infinito. Problemas deste tipo surgem em uma variedade de situa¸cões, tais como em Geometria Diferencial, Teoria de difusão não-linear gerada por fontes não-lineares, de igni¸cão térmica e combustão de misturas de gases quimicamente ativas, e de equilibrio gravitacional de estrelas politrópicas.

Estamos interessados aqui em obter estimativas a priori para o sistema (9). Este tipo de informa¸cão é fundamental para obtermos existência de solu¸cões bem como informa¸cões sobre a estrutura do conjunto de solu¸cões. Recentemente, vários autores têm trabalhado neste tipo de questão. Em [18], de Figueiredo, Lions e Nussbaum obtiveram estimativas a priori para um problema do tipo

−∆u = f (x, u) em Ω,

sob a hip´otese f (x, u)/uσ _{→ 0 quando u → ∞ para algum σ > 0. Cl´ement,}

de Figueiredo e Mitidieri, em [25], obtiveram estimativas a priori para solu¸cões positivas de uma classe de sistemas el´ıpticos via o método de Brezis-Turner combinado com interpola¸cão e inequa¸cões do tipo Hardy-Sobolev.

Para equa¸cões el´ıpticas não-lineares envolvendo crescimento cr´ıtico veja [12] e [13]. Enquanto que equa¸cões el´ıpticas n˜_{ao-lineares em subdom´ınios de R}2

envolvendo crescimento exponencial têm sido estudadas por vários autores utilizando métodos variacionais, inclusive pelos participantes deste projeto (cf. [19], [20], [21], [22], [16], [29]). Com o objetivo se obter resultados mais gerais, todas as nossas pesquisas neste tema convergiram para a necessidade de conseguir estimativas a priori para as solu¸cões desta classe de problemas. Para tanto, a idéia foi tentar os métodos usados em dimensões superiores, como por exemplo: “moving planes”, desigualdades de Hardy-Sobolev e “Blow-up”. A nossa pesquisa está mostrando que a utiliza¸cão de “moving planes”de Serrin-Aleksandrov dará um melhor resultado no sentido de considerarmos crescimentos maiores. Usamos também técnicas desenvolvidas no artigo [15], bem como aquelas desenvolvidas por Brezis-Merle em [14].

(29)

Projeto de pesquisa 2

Ondas solit´

arias para equa¸

c˜

oes de Schr¨

odinger quase

lineares envolvendo crescimento cr´ıtico

Projeto em conjunto com os professores: Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki

Departamento de Matemática Universidade Federal de Vi¸cosa Sérgio Henrique Monari Soares Departamento de Matemática

Universidade de S˜ao Paulo, S˜ao Carlos, SP.

Resultados Obtidos

Como produto da pesquisa sobre este tema publicamos um artigo (cf. [32]) e concluimos um segundo artigo que se encontra submetido (cf. [33]). Nesta ocasião tivemos a oportunidade de dar continuidade à forte intera¸cão já existente com o professor Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki (UFV) e come¸carmos uma intera¸cão com o professor Sérgio Monari Soares (ICMC/USP/SC). Na ocasião de desenvolvimento do projeto, nosso aluno de doutorado, Uberlândio Batista Severo, desenvolveu sua tese de doutorado sobre tema relacionado com este projeto (cf. [34], [70], [71]), [72]).

Objetivos Gerais

O presente projeto tem por objetivo a obten¸cão de resultados de existência de solu¸cões de energia m´ınima para uma classe de equa¸cões el´ıpticas quaselineares com n˜_{ao linearidades com crescimento cr´ıtico do tipo Trudinger-Moser em R}2, bem como do tipo Brezis-Nirenberg em RN _{com N ≥ 3.}

Natureza do Projeto

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em Matemática, na área de Análise Matemática, mais especificamente, em equa¸cões diferenciais parciais, fazendo uso de métodos variacionais e mais precisamente da Teoria dos Pontos Cr´ıticos. Delimita¸cão do Tema da Pesquisa

(30)

−∆u + V (x)u − (∆(u2

))u = f (u) em R2

Solu¸cões deste tipo estão relacionadas com a existência de ondas solitárias estáveis para equa¸cões de Schrödinger da forma

i∂tz = −∆z + V (x)z − f (|z|2)z − κ∆h(|z|2)h0(|z|2)z,

sendo V = V (x), x ∈ RN, uma fun¸cão potencial dada, κ é uma constante real e f e h são fun¸cões reais a valores reais. O caso semilinear corresponde a κ = 0 e tem sido intensivamente estudado nos últimos anos por vários autores [10], [40], [76].

Equa¸cões quaselineares como estas aparecem mais naturalmente em f´ısica matemática, mais especificamente, em modelos que descrevem fenômenos f´ısicos correspondentes a vários tipos de fun¸cões f e h ([49], [50], [55]). Na literatura matemática, há poucos resultados conhecidos sobre estas equa¸cões. A nossa principal referência é o trabalho [58], onde os autores estabelecem a existência de ondas solitárias para a equa¸cão de Schrödinger no caso em que N ≥ 3 e as fun¸cões h e f se comportam como potências. Como um modelo, eles consideraram h(s) = s e f (s) = s(p−1)/2 _{e k > 0. Neste projeto, consideramos n˜}_{ao linearidades}

com com crescimento cr´ıtico do tipo Trudinger-Moser em R2, bem como do tipo Brezis-Nirenberg em RN _{com N ≥ 3. Para lidar com esta classe de problemas}

surgiram algumas dificuldades. A primeira foi devida ao fato de haver três diferentes escalas na equa¸cão, causando problemas para utilizar métodos de minimiza¸cão com v´ınculos. Por outro lado não existe um espa¸co de fun¸cões natural no qual o funcional energia esteja bem definido. Foi necessário, pois, introduzir uma nova formula¸cão variacional proposta em [58] e então reformular o problema em um espa¸co de Orlicz. Uma outra dificuldade surgiu devido a presen¸ca agora da não linearidade do tipo exponencial (veja detalhes em [20], [28], [64], [78]). Usaremos também técnicas devidas a Lions [56], [57] e Rabinowitz [68].

(31)

Projeto de pesquisa 3

Solu¸

c˜

oes Positivas para uma Classe de Sistemas El´ıpticos

com Multiparˆ

ametros

Projeto em conjunto com os professores: Pedro Ubilla

Departamento de Matem´atica y Ciencias de la Computacion Universidad de Santiago de Chile, Chile

Sebastian Lorca

Departamento de Matemáticas Universidad de Tarapacá, Chile Justino Sánchez

Departamento de Matem´aticas Universidad de la Serena, Chile Resultados Obtidos

Como produto da pesquisa sobre este tema publicamos os artigos (cf. [35] e [36]). E nesta ocasião tivemos a oportunidade de dar continuidade à forte intera¸cão já existente com o grupo de pesquisa liderado pelo professor Pedro Ubilla - Chile.

Objetivos Gerais

O presente projeto tem por objetivo obter resultados de existência, n˜ ao-existência e multiplicidade de solu¸cões positivas para uma classe de sistemas el´ıpticos envolvendo equa¸cões ordinárias de segunda ordem com multiparâmetros. Natureza do Projeto

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em Matemática, na área de Análise Matemática, mais especificamente, em Equa¸cões Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem. Pretendemos usar métodos topológicos tais como teoria do grau de Leray-Schauder, Teorema de Ponto Fixo de Krasnoselkii, método de sub-super solu¸cões e Índice de Ponto Fixo.

(32)

envolvendo equa¸c˜oes diferencias ordin´arias de segunda ordem:    −u00 _{= g} 1(t, u, v, a, b) in (0, 1) , −v00 _{= g} 2(t, u, v, a, b) in (0, 1) , u(0) = v(0) = u(1) = v(1) = 0 . (Sab)

onde a e b são parametros e h,g são o fun¸cões cont´ınuas.

Introduzimos novas versões da no¸cão de superlinearidade para não-linearidade que podem, em um certo sentido, ser singulares.

O tema deste projeto de pesquisa tem sua motiva¸cão em certas classes de problemas el´ıpticos definidos em dom´ınios euclidianos com simetria radial, por exemplo, sistemas el´ıpticos em dom´ınios anulares e dom´ınios exteriores. Aplicamos também nossos resultados abstratos a problemas envolvendo equa¸cões diferencias ordinárias de quarta ordem, tais como as equa¸cões da viga elástica. Nossos resultados incluiem, em particular, as seguintes classes de problemas el´ıpticos:

I. Sistemas de equa¸c˜oes el´ıpticas de segunda ordem em dom´ınios euclidianos anulares com condi¸c˜ao de fronteira de Dirichlet:

       −∆u = k1(|x|, u, v), in r1 < |x| < r2, ∆v = k2(|x|, u, v), in r1 < |x| < r2, (u, v) = (0, 0), in |x| = r1, (u, v) = (a, b), in |x| = r2. (10)

II. Sistemas de equa¸c˜oes el´ıpticas de segunda ordem em dom´ınios euclidianos exteriores com condi¸c˜ao de fronteira de Dirichlet:

      

−∆u = f (|x|, u, v) , _{for |x| > 1 and x ∈ R}N, −∆v = g(|x|, u, v ) , _{for |x| > 1 and x ∈ R}N_,

(u, v) = (a, b) , for |x| = 1, (u, v) −→ (0, 0) as |x| → +∞ .

(11)

III. Equa¸cões de quarta ordem:    w(IV ) = f (t, w, w00), in l = (0, 1), w(0) = a in w(1) = b, w00(0) = 0 in w00(1) = 0. (12) Observamos que, aplicando mudan¸cas de variáveis adequadas, podemos transformar as equa¸cões dos problemas acima em sistemas de equa¸cões diferencias ordinárias de segunda ordem do tipo (Sab)) definido anteriormente. Problemas

de valores de fronteira modelados por estas classes de sistemas têm atra´ıdo o interesse de muitos pesquisadores. Alguns são advindos de diversas áreas da Matemática Aplicada e da F´ısica.

(33)

Questões como existência, não existência e multiplicidade de solu¸cões positivas para equa¸cões el´ıpticas de segunda ordem, definidas em dom´ınios euclidianos, têm sido bastante pesquisadas nas últimas décadas. Muitos destes problemas são abordados usando métodos variacionais. Neste contexto, devido ao método e, principalmente às imersões de Sobolev, é natural encontramos limita¸cões sobre o crescimento das não linearidades no infinito. Quando o dom´ınio de defini¸cão das equa¸cões são bolas ou, mais geralmente, dom´ınios estrelados, a famosa identidade de Pohozaev [66] mostra que, de fato, este tipo de restri¸cão não é devido apenas ao método. Prova-se que, neste caso, não existem solu¸cões positivas para n˜ ao-linearidades com crescimento acima do cr´ıtico. Quando o dom´ınio de defini¸cão da equa¸cão é um anel ou um dom´ınio exterior, não podemos aplicar mais a identidade de Pohozaev para se obter este tipo de resultado de não-existência. De fato, resultados de existência e multiplicidade podem ser obtidos como, por exemplo, usando teoremas de ponto fixo, método de sub-super solu¸cões e teoria de ´ındice de ponto fixo.

Neste contexto, o estudo de equa¸cões el´ıpticas semi-lineares em dom´ınios anulares tem obtido consideráveis avan¸cos, devido a expressiva aten¸cão que tem recebido por vários pesquisadores da área.

Um modelo simples desta classe de problemas, no caso escalar, é dado por −∆u = f (u) onde f (u) é uma fun¸cão cont´ınua não-decrescente e superlinear no zero e no infinito, isto é, f (t)/t → +∞ quando t → +∞ e f (t)/t → 0 quando t → 0. Esta classe de problemas foi estuda por Bandle, Coffman e Marcus em [5] e no caso particular em que f (t) = t(N +2/(N −2) _{foi estudada por Bandle e}

Peletier em [6]. Usando o chamado ”Shooting Method”, os resultados de [6] foram estendidos por Lee e Lin em [53] para não-linearidades f (t) que são convexas e são superlineares no zero e no infinito. Usando argumentos da teoria do grau e o método de sub-super solu¸cões, Hai em [48] estendeu e complementou alguns dos resultados contidos em [6] e [53] para não-linearidades localmente Lipschitzianas. Fazemos ainda referência ao artigo [30] para resultados sobre o problema escalar para equa¸cões definidas em dom´ınios anulares com condi¸cões de fronteira não homogêneas e sem restri¸cões do tipo convexidade ou localmente Lipschitzianas.

Há vários artigos, publicados recentemente, que tratam sobre questões de existência e multiplicidade de solu¸cões radiais e positivas para sistemas de equa¸cões el´ıpticas em dom´ınios euclidianos anulares com condi¸cões de fronteira de Dirichlet ou Newmann. Para condi¸cões homogêneas, veja [37], [38] e suas referências. Para condi¸cões de fronteira não homogêneas, veja [31].

Sobre problemas exteriores, indicamos as referˆencias [51], [52], [73], [74], [75] e para problemas de quarta ordem relacionados com o nosso projeto, indicamos as referˆencias [3], [4], [54], [59], [60], [61].

(34)

Sistemas n˜

ao lineares envolvendo operadores do tipo

curvatura m´

edia ou perturba¸

c˜

oes do p-Laplaciano

Projeto em conjunto com os professores: Pierluigi Benevieri

Dipartimento di Matematica Applicata Universit`a degli Studi di Firenze, Italy Everaldo Souto de Medeiros

Departamento de Matem´atica Universidade Federal da Para´ıba Resultados Obtidos

Neste projeto concluimos os artigos [7], [8] e [9]. E nesta ocasião tivemos a oportunidade de dar continuidade à forte intera¸cão já existente.

Objetivos Gerais

Estudamos existência de solu¸cões periódicas para sistemas de equa¸cões diferenciais ordinárias não lineares envolvendo operadores do tipo curvatura média ou perturba¸cões do operador p-Laplaciano. Para isto, usamos métodos topológicos, mais precisamente, Teoria do Grau de Laray-Schauder.

Natureza do Projeto

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em Matemática, na área de Análise, em sistemas de equa¸cões diferenciais ordinárias, fazendo uso de métodos topológicos.

Recentemente, surgiram muitos trabalhos de pesquisa com o objetivo de estudar existência de solu¸cões para vários problemas de valores de fronteira envolvendo equa¸cões diferencias parciais ou ordinárias de segunda ordem, no caso de perturba¸cões não-lineares do operador p−Laplaciano u 7→ ∆pu, definido por

∆pu := (|u0|p−2u0)0, se N = 1 e ∆pu := div(|∇u|p−2∇u) se N ≥ 2. Veja por

exemplo [28], [62], [63] e [79], [80].

Manásevich e Mawhin em [62], [63] provaram resultados de existência de solu¸cões periódicas para a seguinte classe de sistemas de equa¸cões ordinárias de segunda ordem com condi¸cões de fronteira periódica:

(35)

onde f : [0, T ] × RN× RN

→ RN _´_{e uma fun¸c˜}_{ao de Carath´}

eodory e φ : RN → RN

´e uma fun¸c˜ao que satisfaz certas propriedades de monotonicidade que asseguram, ser tamb´_{em, um homeomorfismo sobre o R}N _{e pertence a uma classe de}

homeomorfismos que incluem, em particular, a aplica¸c˜ao ψp definida por

ψp(u) = |u|p−2u se u 6= 0 e ψp(0) = 0,

onde u = (u1, . . . , uN) ∈ RN, |u| = (P u2i)1/2 e p ∈ (0, +∞). Como

conseqüência, seus resultados se aplicam a uma classe de operadores que incluem em particular, o p-Laplaciano. Notamos que, no caso particular em que p = 2, temos o problema clássico

u00= f (t, u, u0), u(0) = u(T ), u0(0) = u0(T ).

Condi¸cões de fronteira tipo do periódica têm uma dificuldade extra em rela¸cão as condi¸cões de fronteira de Dirichlet u(0) = u(T ). Notemos que o problema de Dirichlet homogêneo

ψp(u0))0 = h(t), u(0) = u(T ) = 0 (14)

possui solu¸cão única em L1 e, conseqüêntemente, o problema não-linear

ψp(u0))0 = f (t, u, u0), u(0) = u(T ) = 0

é equivalente a determinar um ponto fixo de um operador obtido da composi¸cão do operador solu¸cão com o operador de Nemytski associado a fun¸cão não linear f (t, u, u0). No caso de condi¸cão de fronteira periódica, o problema correspondente

ψp(u0))0 = h(t), u(0) = u(T ), u0(0) = u0(T ), (15)

em geral, não possui solu¸cão e quando possui não é única. Além disso, o problema (13) não tem em geral uma estrutura variacional e, portanto, é natural usar métodos topológicos para se obter solu¸cões de (13).

Estudamos o problema (13) no caso em que a aplica¸cão ϕ não é sobrejetiva, o que é motivado pelo modelo envolvendo o operador curvatura média.

Usamos t´ecnicas da Teoria do Grau com o objetivo de estender e complementar os resultados em [62], de modo a incluirmos problemas envolvendo operadores do tipo curvatura m´edia

Lu = u

0

p1 + |u0_|2

!0

perturba¸c˜oes do operador p-Laplaciano Lu = u00+ (|u0|p−2_u0

(36)

Lu = (|u0|q−2_{(1 + |u}0_|q₎p/q−1₎0

com p, q ∈ (1, +∞) e p 6= q.

Usamos a invariân¸cia por homotopia do grau, mais precisamente, a partir de uma decomposi¸cão do espa¸co L1 = L1_m_{+ F , onde F ' R}N e L1_m é o espa¸co das fun¸cões integráveis com média nula, estabelecemos uma homotopia que é uma perturba¸cão da identidade por um operador de posto finito.

Formalmente, podemos verificar que o problema (13) é equivalente ao seguinte problema u0(t) = ϕ−1 a + Z t 0 f (s, u(s), u0(s))ds (16) Uma vez que o nosso homeomorfismo ϕ não é sobrejetor, tivemos que determinar condi¸cões adquadas sobre a não-lineariridade f (t, u, u0) de modo que o operador dado pelo lado direito de (16) fosse bem definido.

(37)

Outros projetos realizados

Os projetos a seguir foram desenvolvidos também no per´ıodo de vigência da bolsa. Ressaltamos ainda que para cada projeto submetemos para publica¸cão um artigo em revista de circula¸cão internacional.

Projeto de pesquisa 5

Existˆ

encia e concentra¸

c˜

ao de ondas solit´

arias para uma

classe de equa¸

c˜

oes de Schr¨

odinger quaselineares no plano

envolvendo crescimento cr´ıtico

Projeto em conjunto com os professores: Abbas Moameni Department of Mathematics University of British Columbia

Vancouver, Canad´a Uberlandio Severo

Departamento de Matem´atica Universidade Federal da Para´ıba

Neste projeto estudamos a existência e propriedades qualitativas de solu¸cões positivas de energia m´ınima para a seguinte classe de equa¸cões de Schrödinger −ε2_{∆u + V (x)u − ε}2_{[∆ (u}2_{)] u = f (u) no plano euclidiano. Desenvolvemos um}

método variacional baseado em um método de penaliza¸cão e em uma versão da inequa¸cão de Trudinger-Moser, em um contexto não standard de espa¸cos de Orlicz, para construirmos uma fam´ılia de solu¸cões a um parâmetro de solu¸cões clássicas de energia m´ınima para a concentra-se, quando o parâmetro se aproxima de zero, em torno de um ponto de m´ınimo local do potencial.

O principal aspecto deste projeto é que o termo f (u) pode ter crescimento cr´ıtico do tipo exponencial e também a presen¸ca do termo de segunda ordem não homogeneo −ε2_{[∆ (u}2_{)] u o qual n˜}_{ao permite trabalhar no espa¸co de Sobolev}

clássico. Equa¸cões de Schrödinger deste tipo tem sido estudado como modelo de vários fenômenos f´ısicos. Este caso considerado aqui corresponde a equa¸cão motivada pela F´ısica do Plasma.

(38)

Existˆ

encia de solu¸

c˜

oes para uma classe de equa¸

c˜

oes de

Schr¨

odinger quasilineares singulares dependendo de um

parˆ

ametro

Projeto em conjunto com o professor:

Abbas Moameni Department of Mathematics University of British Columbia

Vancouver, Canad´a

Estabecemos existência de solu¸cões positivas de energia m´ınima para uma classe de equa¸cões Schrödinger quasilineares singulares da forma

i∂ψ

∂t = −∆ψ + ψ + $(|ψ|

2_{)ψ − λρ(|ψ|}2_{)ψ − κ∆ρ(|ψ|}2_)ρ0

(|ψ|2)ψ, x ∈ Ω, (17)

onde $(τ2_{)τ → +∞ quando τ → 0 e, λ > 0 ´}_{e um parˆ}_{ametro e Ω ´}_{e uma bola}

do RN. Este problema é estudado em coneçcão com o seguinte problema de autovalores quaselineares

−∆Ψ − κ∆ρ(|Ψ|2_)ρ0

(|Ψ|2)Ψ = λ1ρ(|Ψ|2)Ψ, x ∈ Ω, (18)

Estabelecemos a existência de solu¸cões para o problema (17) quando λ pertence a uma vizinhan¸ca do primeiro autovalor λ1 de (18). O principal aspécto deste

projeto ´e que a n˜ao linearidade $(|ψ|2_{)ψ ´}_{e n˜}_{ao limitada em torno da origem e}

também a presen¸ca do termo de segunda ordem não linear. Nossa análise mostra a importância do papel do parâmetro λ combinado com o termo não linear e não homogênio −∆ρ(|ψ|2_)ρ0_(|ψ|2_{)ψ. Nossa prova ´}_{e baseada em v´}_{arias t´}_ecnicas

(39)

Projeto de pesquisa 7

Existˆ

encia e concentra¸

c˜

ao de ondas solit´

arias para uma

classe de equa¸

c˜

oes de Schr¨

_{odinger quaselineares em R}

N

with N ≥ 3

Projeto em conjunto com os professores: Daniele Cassani

Dip. di Matematica “F. Enriques”, Universit`a degli Studi, Milano, Italy Abbas Moameni

Department of Mathematics University of British Columbia Vancouver, Canad´a

Neste projeto consideramos existência e propriedades qualitativas de solu¸cões positivas de energia m´ınima para a seguinte classe de equa¸cões de Schrödinger quaselineares em RN with N ≥ 3:

i∂ψ ∂t = −ε

2_{∆ψ + W (x)ψ − η(|ψ|}2_{)ψ − ε}2_κ∆ρ(|ψ|2_)ρ0

(|ψ|2)ψ (19)

onde ψ : R × RN → C, κ ´e uma constante positiva, W : RN

−→ R é um potencial dado e η, ρ : R+_{→ R são fun¸cões satisfazendo certas propriedades. Introduzimos}

em (19) o parâmetro ε > 0 com o objetivo de estudar o fenomeno de concentra¸cão destas solu¸cões quando ε → 0, o chamado limite semi-clássico.

Equa¸cões quasilineares da forma (19) surgem em vários ramos da F´ısica corresondendo a diferentes tipos de fun¸cões ρ. Aqui consideramos o caso em que ρ(s) = s e para uma classe de não linearidades η do tipo superlinear e subcr´ıtico. Procuramos por ondas solitárias de (19) explorando a invarian¸ca de Lorentz desta equa¸cão, tomando-se ψ(t, x) = e−iξt_{u(x), onde ξ ∈ R e u > 0 é} uma fun¸cão real. Deste modo obtém-se a equa¸cão el´ıptica correspondente com estrutura variacional:

−ε2_{∆u + V (x)u −}ε2

2 ∆ u

2_{u = f (u),} _{u > 0,}

x ∈ RN (20)

para um termo n˜_{ao linear f : R}+ _{−→ R satisfazendo certas propriedadas, onde} V (x) := W (x) − ξ e por simpliciade supomos κ = 1/2.

(40)

On a fourth order elliptic problem with a singular

nonlinearity

Projeto em conjunto com os professores: Daniele Cassani

Dip. di Matematica “F. Enriques”, Universit`a degli Studi, Milano, Italy N. Ghoussoub

Department of Mathematics University of British Columbia Vancouver, Canad´a

We study the following semilinear biharmonic equation: ∆2u = λ f (x)

(1 − u)2, x ∈ BR

where 0 ≤ f ≤ 1 and BR⊂ RN, N ≥ 1, is the ball centered in the origin of radius

R. We prove, under Dirichlet boundary conditions u = ∂u/∂η = 0 on ∂BR, the

existence of λ∗ = λ∗(R, f ) > 0 such that for λ ∈ (0, λ∗) there exists a minimal (classical) solution u_λ, which satisfies 0 < u_λ < 1. In the extremal case λ = λ∗, we prove the existence of a weak solution which has finite energy and which is the unique solution even in a very weak sense. For λ > λ∗ there are no solutions of any kind. Estimates on λ∗, stability properties of solutions and nonexistence results in the whole space are also established.

(41)

Orienta¸

c˜

oes Concluidas

• Tese de doutorado.

1. Uberlandio Batista Severo,

“Estudo de uma classe de equa¸c˜oes de Schrodinger quase-lineares”, IMECC – UNICAMP / 2007

2. Paulo de Souza Rabelo

Existência e multiplicidade de solu¸cões para sistemas de equa¸cões de Schr¨_{odinger semilineares em R}N_,

DMAT-CCEN-Universidade Federal de Pernambuco / 2008. • Disserta¸c˜ao de mestrado.

1. Ornan Filipe de Ara´ujo Oliveira

Conjuntos Invariantes de Fluxo Decrescente na teoria dos Pontos Cr´ıticos e Aplica¸cões às Equa¸cões Diferenciais Não Lineares

PGMAT-CCEN - Universidade Federal da Para´ıba / 2008. 2. Jos´e Francisco Alves de Oliveira

Solu¸c˜oes Radiais Positivas para Problemas El´ıpticos Envolvendo Crescimento Cr´ıtico

PGMAT-CCEN - Universidade Federal da Para´ıba / 2009. • Inicia¸c˜ao Cient´ıfica - CNPq.

1. Rodrigo Genuino Clemente, per´ıodo: 2008-2009.

Projeto: Inicia¸cão ao estudo das Equa¸cões Diferenciais Ordinárias. 2. Diego Ferraz de Souza, per´ıodo: 2008-2011.

Projeto: Inicia¸c˜ao ao Estudo das Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais. 3. Jalman Alves de Lima, per´ıodo: 2008.

Projeto: An´alise Funcional e Aplica¸c˜oes. 4. Esteban Pereira da Silva, per´ıodo: 2006-2007.

Projeto: Inicia¸cão ao Estudo da Análise Funcional e Aplica¸cões. 5. Ricardo Pinheiro da Costa, per´ıodo: 2006-2007.

Projeto: Medida e Integra¸c˜ao.

Participa¸

c˜

ao em Banca de Trabalho de Conclus˜

ao

• Banca de defesa de tese de doutorado. 1. Uberlandio Batista Severo,

“Estudo de uma classe de equa¸c˜oes de Schrodinger quase-lineares”, IMECC – UNICAMP / 2007

(42)

Schr¨_{odinger semilineares em R}N_,

DMAT-CCEN-Universidade Federal de Pernambuco / 2008. 3. Edcarlos Domingos da Silva,

Multiplicidade de Solu¸c˜oes para Sistemas Gradientes Semilineares Ressonantes

IMECC – UNICAMP / 2009

• Banca de defesa de disserta¸c˜ao de mestrado. 1. Ornan Filipe de Ara´ujo Oliveira

Conjuntos Invariantes de Fluxo Decrescente na teoria dos Pontos Cr´ıticos e Aplica¸cões às Equa¸cões Diferenciais Não Lineares

PGMAT-CCEN - Universidade Federal da Para´ıba / 2008. 2. Jos´e Francisco Alves de Oliveira

Solu¸c˜oes Radiais Positivas para Problemas El´ıpticos Envolvendo Crescimento Cr´ıtico

PGMAT-CCEN - Universidade Federal da Para´ıba / 2009. 3. Diogo de Santana Germano

Estudo de uma Classe de Equa¸c˜oes de Sch¨odinger com Potencial Constante

PGMAT-CCEN - Universidade Federal da Para´ıba / 2009. 4. Jairo Santos da Silva

Existência de solu¸cões não Negativas para uma Classe de Equa¸cões de Schödinger Semilineares

PGMAT-CCEN - Universidade Federal da Para´ıba / 2009.

Consultorias

Consultor adoc:

CNPq, FAPESQ - Funda¸cão de Apoio à Pesquisa do Estado da Para´ıba, Funda¸cão de Amparo à Pesquisa do Estado do Amazonas.

Revisor de trabalhos cient´ıficos das seguintes revistas: – Journal of Differential Equations;

– Journal of Mathematical Analysis and Applications; – Nonlinear Analysis. Theory, Methods and Applications. – Electronic Journal of Differential Equations;

(43)

Outras Atividades de Gest˜

ao Cient´ıfica e Acadˆ

emica

1. Coordena¸c˜ao do projeto Edital UNIVERSAL MCT/CNPq 02/2006 -envolvendo docentes das universidades: UFPB, UNICAMP e UnB.

2. Coordena¸cão do projeto IM-AGIMB - Centro em Desenvolvimento-UFPB. 3. Coordena¸cão do PROJETO INTEGRADO DE PESQUISA EM AN ÁLISE

- PIPA/ UFPB.

4. Coordena¸cão dos projetos de organiza¸cão e solicita¸cão de apoio cient´ıfico aos ´

orgãos CNPq e CAPES para realiza¸cão do II-ENAMA - II ENCONTRO NACIONAL DE AN ÁLISE MATEM ÁTICA E APLICAÇ ÕES em João Pessoa em 2008.

5. Coordena¸cão do projeto de cria¸cão do programa de doutorado em associa¸cão ampla entre as universidades: UFPB, UFCG, UFPE, UFC.

6. Coordena¸cão do projeto de solicita¸cão de apoio financeiro à CAPES para Professor Visitante Estrangeiro - PVE/CAPES envolvendo as institui¸cões UFPE e UFPB beneficiando o Professor Kyril Tintarev/ UPSALA UNIVERSITY.

7. L´ıder do Grupo de Pesquisa PROJETO INTEGRADO DE PESQUISA EM AN ´ALISE.

(44)

A bolsa de produtividade em Pesquisa do CNPq tem garantido recursos para compra de passagens e diárias para visitas a outras institui¸cões nacionais e estrangeiras, e também suporte financeiro de infra-estrutura, tais como, cópias xérox, tinta para impressora e aquisi¸cões de livros e equipamentos de informática. Usamos também estes recursos para viabilizar a visita de colaboradores de outras institui¸cões ao nosso Programa de Pós-gradua¸cão.

O apoio dado por vários órgãos de fomento e em especial do CNPq ao projetos de pesquisa e realiza¸cão de eventos tem sido fundamental para o crescimento de nosso grupo de pesquisa.

Ressaltamos ainda que o Programa de Pós-Gradua¸cão e o Departamento de Matemática da Universidade Federal da Para´ıba tem se beneficiado dos projetos que coordenamos e em especial do laboratório de Computa¸cão Cient´ıfica.

(45)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

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