ARTEFACTOS DE CALIBRAÇÃO DE
MÁQUINAS DE MEDIÇÃO TRIDIMENSIONAL
Dissertação apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra, para obtenção
do Grau de Doutor em Engenharia Geográfica
Departamento de Matemática Universidade de Coimbra
As máquinas de medição por coordenadas, cuja utilização se tem generali-zado nos mais diversos domínios, com especial relevância na indústria, revolu-cionaram a metrologia, tornando-se parte integrante dos sistemas de qualidade. Os seus campos de aplicação são vastos e vão desde a nanometrologia até à metrologia macroscópica.
A máquina de medição por coordenadas, também designada por máquina de medição tridimensional e que abreviadamente designaremos por CMM -acrónimo de Coordinate Measuring Machine, é constituída por um conjunto de sensores, que um mecanismo articulado actua, controlando a atitude - posição e orientação - do ponto de contacto destes com uma superfície, por forma a determinar coordenadas num espaço útil de medição.
A construção de uma CMM, de realização difícil, conduz frequentemente a deficiências determinantes no processo de medição, tais como, por exemplo, a existência de folgas e as deformações elástica e térmica. Estas condicionantes são determinantes nos erros de medição - caracterizados por duas componentes: determinista e aleatória - com que vêm as leituras efectuadas pela CMM. De facto, a incerteza da medição depende de uma grande diversidade de factores, entre os quais destacamos: a forma geométrica da CMM, isto é, a cadeia cinemática que vai da escala de medição ao sensor; as condições ambientais, sendo de realçar a temperatura e, em menor escala, a humidade relativa, e da sua estabilidade e homogeneidade; a forma a medir e, finalmente, a estratégia de medição.
A utilização da CMM num processo de medição tem três operações funda-mentais: deslocamento do dispositivo porta-sensores; medição do ponto virtual de contacto do sensor, independentemente do tipo de sensor, e determinação automática das coordenadas do ponto virtual da superfície em medição. As-sim, é ainda de considerar como factores indutores de incerteza a cinemática, a dinâmica e o tipo do sensor, bem como a sua forma geométrica e, eventual-mente, a forma do arranjo de sensores. Os factores anteriores estão associados às duas primeiras operações. É, contudo, ainda de realçar a influência do processamento automático das medições.
A calibração da CMM tem um papel fundamental na correcção dos er-ros. Esta deve ser, preferencialmente, realizada em tempo real durante a medição, de forma automática e utilizando meios computacionais que per-mitam a correcção das deficiências cinemáticas e dinâmicas do mecanismo articulado. Atendendo a que hoje apenas se exige à CMM repetibilidade, isto é, uma incerteza reduzida na determinação da atitude do sensor, a calibração
O processo de calibração, que consiste na elaboração de uma tabela na qual se estabelecem as relações entre grandeza medida, valor convencional-mente verdadeiro e incerteza de calibração, é influenciado por vários factores, entre os quais destacamos: a experiência e a perícia do metrologista que a realiza; o procedimento de calibração adoptado e, portanto, a norma ou regu-lamento seguido (regra geral, recomenda-se que se siga o procedimento EAL G17 [39]); a qualidade, isto é, os erros de exactidão e de incerteza, dos artefac-tos e dos padrões de referência e as condições ambientais durante a calibração. Atendendo à influência dos factores mencionados no processo de calibração, notamos que este processo tem, em si mesmo, uma incerteza asssociada. Fi-nalmente, a rastreabilidade dos padrões utilizados na calibração deverá, ne-cessariamente, ser assegurada, devendo esta ser explicitamente mencionada no certificado de calibração.
O processo de calibração de uma CMM está intrinsecamente ligado ao tipo de artefacto utilizado. Grande parte dos processos actualmente seguidos, bem como dos artefactos que utilizam, estão referenciados em várias normas internacionais e nacionais de vários países. Salientamos, sem pretendermos ser exaustivos, as seguintes normas: CMMA ([31] e [32]), ISO 10360 ([60]), BS 6808 ([13], [14] e [15]), ANSI/ASME B89.1.12M ([2] e [3]), VDI/VDE 2617 ([133], [134], [136], [135] e [137]) e JIS B 7440 ([65]).
O tipo de artefacto utilizado induz, naturalmente, a uma caracterização da calibração. Assim, podemos considerar, fundamentalmente, métodos basea-dos na calibração basea-dos sensores de medição, isto é, na calibração das escalas de medição, e na verificação da geometria da estrutura cinemática da CMM (são, regra geral, métodos equivalentes aos utilizados na aceitação ou verificação pe-riódica de máquinas-ferramenta e, embora fossem inicialmente recomendados, estão praticamente em desuso) e métodos baseados na medição de artefactos utilizados como padrões de referência. Entre estes, referimos, pela sua im-portância, as esferas de calibração ([24]); os blocos-padrão e empilhamento de blocos-padrão ([20], [129] e [134]); a barra de esferas ([16], [17], [25], [66], [73], [78], [101], [103], [105], [118] e [146]); a barra de furos; a placa de esferas ([23], [77], [117], [129] e [130]); a placa de furos ([73], [81], [114] e [129]); os blocos de furos ([114] e [117]); os blocos de esferas ([25], [51], [52] e [139]) e outras estruturas espaciais ([12] e [68]).
A presente dissertação tem como objectivo apresentar contributos na cria-ção e desenvolvimento de artefactos de calibracria-ção, bem como a elaboracria-ção de novos processos de calibração neles baseados. Os artefactos introduzidos
conjunto de seis hastes que ligam entre si dois corpos rígidos. Habitualmente, o controlo do hexapodo é realizado por um mecanismo dito de cinemática inversa — conhecida a trajectória pretendida para o corpo móvel, determina-se a variação de comprimento de cada uma das seis ligações do corpo móvel ao corpo fixo.
Embora o hexapodo seja amplamente utilizado em diversos contextos da engenharia ([58], [53], [144], [121] e [126]), não é, segundo o nosso conheci-mento, considerado no contexto da calibração de CMMs. Modificando a es-trutura do hexapodo, apresentamos neste trabalho dois novos artefactos. O primeiro permite efectuar a calibração local da CMM e é objecto de estudo no segundo capítulo enquanto que o segundo artefacto, que é objecto de estudo nos terceiro e quarto capítulos, permite realizar a sua calibração global.
Os artefactos anteriores são, efectivamente, modificações de uma simplifi-cação do hexapodo geral, na qual as ligações entre os corpos móvel e fixo são realizadas apenas com três articulações em cada um dos corpos, em vez das habituais seis articulações separadas por corpo. De facto, o primeiro corres-ponde a substituir os dois corpos por dois conjuntos solidários de três esferas ligadas entre si. Por outro lado, o segundo artefacto é obtido reduzindo o corpo móvel a uma esfera única.
O primeiro, designado por A Máquina de Medição por Coordenadas e a sua Calibração, tem por objectivo apresentar a máquina de medição e descre-ver alguns métodos e normas aplicáveis à sua calibração. Pretende-se, assim, efectuar um enquadramento do objectivo principal desta dissertação. Para tal, é descrita, inicialmente, a máquina de medição por coordenadas, referindo as suas fontes de perturbação e consequentes erros. De seguida, são referi-das, de modo sucinto, algumas normas mais relevantes aplicáveis ao ensaio de CMMs e são descritos alguns artefactos e métodos de ensaio de máquinas que a eles recorrem. Finalmente, são efectuadas algumas considerações sobre a ca-libração de CMMs. Atendendo a que literatura onde são abordadas questões relativas à calibração de CMMs é dispersa, fragmentada e não homogénea, no primeiro capítulo pretendemos uniformizar e sistematizar os conceitos e resultados fundamentais para os capítulos seguintes.
No segundo capítulo deste trabalho, intitulado Artefacto de Calibração Local, é introduzido um novo tipo de artefacto baseado na estrutura de um hexapodo e que, posteriormente, é utilizado na calibração local de máquinas de medição por coordenadas.
Iniciamos este capítulo descrevendo o princípio de funcionamento do hexa-podo geral e diversos modos de efectuar a sua modelação, sendo ainda objecto de análise os problemas ditos cinemáticos directo e inverso. Em seguida, como modificações do hexapodo geral, são apresentados os dois tipos de artefactos centrais deste trabalho: um de calibração local e que é objecto de estudo neste capítulo e o outro, de calibração global da CMM, que será objecto de estudo dos capítulos 3 e 4.
No contexto do artefacto para a calibração local, estabelecemos um sistema não linear que permite descrever o processo de correcção dos erros locais. Uma particularização deste sistema é, então, introduzida, com o objectivo de modelar uma simplificação do artefacto geral. O estudo da sensibilidade do modelo geral relativamente a perturbações dos dados é, também, considerado, introduzindo, para o efeito, a sua linearização. Tecemos, ainda, para este último modelo, algumas considerações relativamente à estabilidade, ilustrando o comportamento de alguns parâmetros característicos deste estudo.
Finalizamos este capítulo ilustrando o processo de calibração recorrendo, para o efeito, a um protótipo do artefacto. Os resultados apresentados neste capítulo encontram-se parcialmente publicados em [6].
intitulamos Artefacto de Calibração Global. Após a descrição deste artefacto, que podemos afirmar permitir efectuar uma calibração directa da CMM, é construído um modelo matemático que descreve a sua utilização, sendo dada especial relevância à sua autocalibração. O processo de simulação do modelo matemático envolve a resolução de problemas de minimização convenientes. Atendendo a este facto, apresentamos, de modo sumário, os métodos numéri-cos que desempenham, neste processo, um papel de relevo. Neste capítulo, são, ainda, apresentados alguns resultados numéricos exemplificativos da utilização do artefacto em estudo.
Num processo de calibração deste tipo desempenha um papel central a grelha de erros, que deverá ter associado um método de interpolação con-veniente. Atendendo a este facto e com o objectivo de estimar os erros da CMM em todo o seu volume, construímos uma grelha de erros e estudamos um processo de interpolação adequado.
É de realçar que em [6] e [7] foram publicados alguns dos resultados apre-sentados neste capítulo.
Segundo a nossa opinião, a validação completa de um processo de cali-bração envolve a verificação de que, de facto, após a sua calicali-bração, os erros da CMM são significativamente reduzidos. O último capítulo, intitulado Simu-lação da Medição de um Bloco-Padrão, tem como objectivo ilustrar a eficácia dos artefactos de calibração introduzidos nesta dissertação, recorrendo, para o efeito, ao bloco-padrão. Atendendo a este facto, apresentamos resultados de medição, por simulação, considerando uma CMM antes e após a sua cali-bração pelo artefacto estudado no terceiro capítulo. A finalizar, notamos que, adaptando convenientemente a metodologia utilizada, resultados do mesmo tipo poderão ser obtidos considerando o artefacto estudado no segundo capí-tulo.
Desta dissertação constam ainda dois apêndices. O primeiro, intitulado Sensores de Deslocamento por Interferometria Laser, tem por fim, sem ser de forma alguma exaustivo, apresentar e sistematizar alguns conceitos refe-rentes à medição de acréscimos de distâncias por interferometria laser. No segundo apêndice, que intitulamos Rotinas Desenvolvidas, são descritos, de modo sumário, os principais programas criados no âmbito do presente trabalho e que são anexados em suporte digital.
artefacto estudado no terceiro capítulo foi relevante a Optimization Toolbox2 do programa anterior.
No âmbito do nosso trabalho, várias questões permanecem ainda em aberto. No estudo da propagação da incerteza do artefacto de calibração global da CMM, que foi objecto de estudo no terceiro capítulo, para a incerteza da CMM, considerámos as fórmulas de propagação propostas no ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM) ([61]). No entanto, parece-nos razoável questionarmo-nos sobre outros tipos de enquadramento matemático que permita estudar a propagação referida. Mencionamos, a tí-tulo ilustrativo, as abordagens consideradas em [48] e em [50].
A génese dos artefactos introduzidos foi motivada pela necessidade de pro-por artefactos alternativos aos existentes para a calibração de CMMs. No entanto, seria de todo vantajoso desenvolver sistemas do tipo dos estudados que possam, por si só, desempenhar o papel de uma CMM. De facto, o arte-facto de calibração global pode ser encarado, em última análise, como uma máquina de medição de coordenadas, necessitando, contudo, de ser calibrado. Assim, continua em aberto, de acordo com o nosso conhecimento, a criação e a modelação de artefactos do tipo do anterior, no qual a calibração poderia ser contornada recorrendo, para o efeito, por exemplo a mais um ponto fixo à semelhança do proposto por Takatsuji et al. ([124]).
É ainda de realçar merecer alguma reflexão a construção e análise de processos alternativos ao processo de interpolação utilizado no terceiro capí-tulo.
Finalmente, a obtenção de resultados de validação do artefacto estudado no segundo capítulo, análogos aos obtidos no quarto capítulo é, por nós, con-siderada uma questão a abordar.
1Versão 7.0.0.19920 (R14). 2
Optimization Toolbox versão 3.0 do software Matlab versão 7.0.0.19920 (R14).
O Prof. Doutor Artur Soares Alves, pela sua orientação, apoio e incentivo, bem como pelas críticas oportunas, conselhos e sugestões construtivas.
O Prof. Doutor José Augusto Mendes Ferreira, pelo seu acompanhamento, apoio e frutíferas discussões desde Setembro de 2004.
Em termos institucionais, agradeço ao Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra, o apoio con-cedido.
Agradeço a todos os elementos, docentes e não docentes, do Departamento de Matemática por me criarem um bom ambiente de trabalho.
*
Em Junho de 1998, o Doutor Silvestre Dias Antunes, Professor do Instituto Superior Técnico da Universidade Técnica de Lisboa, esteve presente, como arguente principal, nas minhas Provas de Aptidão Pedagógica e Capacidade Científica, realizadas na Universidade de Coimbra, com a dissertação Esti-mação dos Erros de uma Máquina Estacionária de Medição de Coordenadas. No seguimento deste contacto, fui, por ele, convidado a prosseguir os estudos em Metrologia por Coordenadas, com vista à realização de uma dissertação de doutoramento. O tema central então proposto foi o desenvolvimento de novos artefactos de calibração de CMMs. Até Setembro de 2004 o trabalho foi intenso e muito frutífero, tendo, até essa data, sido criados e parcialmente estudados os artefactos que são apresentados nesta dissertação. É de realçar que foi determinante no desenrolar deste processo as qualidades profissionais e humanas do Professor Silvestre Antunes, para as quais tenho dificuldades em encontrar adjectivação.
Lamentavelmente, como consequência de um tumor cerebral que, em De-zembro de 2004, lhe foi diagnosticado, foi com enorme pesar que, em Agosto de 2005, o vi partir.
Para a minha Mãe Irene, não há palavras que possam exprimir todo o meu agradecimento. À Teresa, agradeço o encorajamento amigo.
À Rita, agradeço a sua alegria de viver contagiante.
À Augusta, última da lista, mas primeira no coração, agradeço os mo-mentos que passámos juntos e prometo compensar pelo os que adiei com esta dissertação.
Finalmente, ao meu Pai, que embora já não esteja presente, agradeço tudo que não consigo expressar.
1 A Máquina de Medição por Coordenadas e a sua Calibração 1
1.1 Introdução . . . 1
1.2 A máquina de medição por coordenadas . . . 4
1.2.1 Tipos de máquinas de medição por coordenadas . . . . 5
1.2.2 CMM com mesa fixa e pórtico móvel . . . 7
1.2.3 Sistema de contacto de uma CMM . . . 8
1.2.4 A medição de coordenadas . . . 9
1.2.5 Fontes de erro . . . 9
1.2.6 Os vinte e um parâmetros de erro . . . 14
1.2.7 Modelo cinemático de uma CMM . . . 16
1.2.8 Conceitos gerais sobre calibração de CMMs . . . 18
1.3 Síntese dos métodos de avaliação de CMMs . . . 20
1.3.1 Normas para a verificação de CMMs . . . 24
1.3.2 Métodos de ensaio baseados em artefactos mecânicos . . 35
1.3.3 Técnicas ópticas . . . 42
1.3.4 Métodos de ensaio opto-mecânicos . . . 45
1.3.5 A avaliação do sensor . . . 45
1.3.6 Ensaio do software da CMM . . . 46
1.4 Algumas considerações . . . 47
2 Artefacto de Calibração Local 51 2.1 O hexapodo e sua modelação . . . 52
2.1.1 O problema cinemático directo e a sua modelação . . . 53
2.1.2 Modelação do problema cinemático inverso . . . 60
2.2 O artefacto de calibração local . . . 62
2.3 Da modelação do hexapodo à modelação do artefacto . . . 66
2.3.1 Caso geral . . . 66
2.3.2 Esferas do artefacto com o mesmo raio . . . 75 xi
2.4 A linearização do modelo . . . 79
2.5 Estabilidade do sistema hastes-erros . . . 95
2.6 Particularização: esferas com o mesmo raio . . . 99
2.7 Alguns resultados: artefacto não calibrado . . . 101
3 Artefacto de Calibração Global 107 3.1 Introdução . . . 107
3.2 Novo artefacto de calibração global . . . 109
3.3 Modelação do artefacto . . . 114 3.3.1 Algumas considerações . . . 114 3.3.2 Fase de previsão . . . 116 3.3.3 Fase de actualização . . . 126 3.3.4 Incerteza na calibração da CMM . . . 132 3.4 A calibração do artefacto . . . 133 3.4.1 O algoritmo . . . 133
3.4.2 Alguns resultados numéricos . . . 139
3.5 Validação do artefacto . . . 144
3.6 Grelha de erros . . . 151
4 Simulação da Medição de um Bloco-Padrão 157 4.1 Blocos-padrão . . . 157
4.2 Alguns resultados obtidos por simulação . . . 161 A Sensores de Deslocamento por Interferometria Laser 185
B Rotinas Desenvolvidas 191
1.1 O enquadramento dos diversos campos da Metrologia. . . 1
1.2 Sequência cinemática de uma CMM. . . 5
1.3 21 erros paramétricos de uma CMM ([131]). . . 16
1.4 Fluxograma do método de calibração da CMM. . . 20
2.1 Modelo de hexapodo e sistemas de coordenadas da base e da plataforma móvel ([63]). . . 54
2.2 Representação do modelo mais geral de hexapodo ([64]). . . 61
2.3 Máquina do tipo hexapodo. . . 62
2.4 Do hexapodo ao artefacto para calibração local de CMMs. . . . 63
2.5 Artefacto desenvolvido para calibração local de CMMs. . . 64
2.6 Artefacto para calibração local desmontado para efectuar a medição da sua base. . . 65
2.7 Semelhança do artefacto desenvolvido para calibração local com a estrutura básica do hexapodo. . . 66
2.8 O hexapodo definido no artefacto de calibração e os referenciais associados às duas plataformas. . . 67
2.9 Referenciais locais associados aos dois conjuntos de esferas que constituem o artefacto de calibração local. . . 78
2.10 Nomenclatura adoptada na configuração do artefacto para medição de erros locais (os pontos A, B, C, a, b e c representam os cen-tros das esferas). . . 81
2.11 Vista superior do encaixe entre os dois conjuntos de esferas que constituem o artefacto de calibração local. . . 83
2.12 Triângulo [AbC] definido sobre o artefacto. . . 91
2.13 Triângulo horizontal [ACP ]. . . 92
2.14 Plano vertical que contém O, P , b e M . . . 93
2.15 Casos extremos para valores de Ri e Rs em que o artefacto degenera noutro tipo de estrutura. . . 94
2.18 Comportamento de°°D−1°° kDk. . . 98
2.19 Comportamento de det (D). . . 99
2.20 Comportamento de°°D−1°°. . . 100
2.21 Comportamento de°°D−1°° kDk. . . 100
2.22 Referencial associado ao artefacto não calibrado (Ref 1). . . 102
2.23 Direcções de referência associadas às esferas do conjunto supe-rior do artefacto não calibrado (Ref 2). . . 104
3.1 Do hexapodo ao artefacto para calibração global de CMMs. . . 109
3.2 O artefacto de calibração como modificação da estrutura do hexapodo. . . 110
3.3 Artefacto para a medição global de erros. . . 111
3.4 Exemplo de uma rótula esférica magnética ([122]). . . 112
3.5 Pormenor da possível ligação entre a esfera e a haste telescópica. 112 3.6 Exemplo de ligação esférica magnética ([123]). . . 113
3.7 Utilização do artefacto de calibração global da CMM. . . 115
3.8 Braço telescópico que liga cada esfera fixa à esfera móvel. . . . 117
3.9 Posição inicial da esfera móvel no plano das esferas fixas. . . . 118
3.10 Trilateração a duas dimensões. . . 119
3.11 Simulação da autocalibração num modelo a escala reduzida. . . 121
3.12 Possíveis soluções evidentes para a autocalibração do sistema. . 123
3.13 Variação na distância do efeito do desvio de forma plana da mesa, considerando 10 termos em (3.27) e ±5 μm no desvio de forma da mesa. . . 125
3.14 Sistema de coordenadas OXY Z associado ao artefacto de cali-bração global de CMMs. . . 126
3.15 Estrutura dos braços telescópicos. . . 127
3.16 Trilateração a três dimensões. . . 129
3.17 Exemplo da posição das esferas fixas e a trajectória da esfera móvel durante a autocalibração. . . 141
3.18 Autocalibração com ruído nos comprimentos das ligações de amplitude igual a 0, 5 μm. . . 142
3.19 Autocalibração com ruído nos comprimentos das ligações de amplitude igual a 0, 0 μm. . . 143
3.20 Simulação da trilateração num modelo a escala reduzida. . . 144
3.21 Incerteza nas coordenadas da esfera móvel em várias regiões do espaço de medição. . . 146
3.23 Representação dos erros introduzidos nas coordenadas. . . 149 3.24 Representação gráfica da grelha de erros obtida no processo de
simulação de calibração da CMM. . . 152 3.25 Representação gráfica da uma parte da grelha de erros,
uti-lizando um factor de escala superior. . . 153 4.1 Comprimento do bloco-padrão e sua orientação por uma face
de topo. . . 159 4.2 O erro do co-seno como a diferença entre o comprimento medido
e o comprimento certificado do bloco-padrão. . . 160 4.3 Fluxograma da simulação da medição de um bloco-padrão. . . 162 4.4 Pontos P0, P1 e P2 para orientação do bloco e pontos P gerados
para a medição do seu comprimento (caso referente à bissectriz do primeiro octante com CMM calibrada). . . 163 4.5 Pontos Q gerados na face de topo oposta (caso referente à
bis-sectriz do primeiro octante com CMM calibrada). . . 164 4.6 Distâncias medidas, antes da calibração da CMM, para o
com-primento certificado de 500 mm. . . 165 4.7 Distâncias medidas, antes da calibração da CMM, para o
com-primento certificado de 800 mm. . . 166 4.8 Distâncias medidas, após a calibração da CMM, para o
compri-mento certificado de 500 mm. . . 166 4.9 Distâncias medidas, após a calibração da CMM, para o
compri-mento certificado de 800 mm. . . 167 4.10 ∆L para bloco orientado segundo OX, antes da calibração da
CMM. . . 167 4.11 ∆L para bloco orientado segundo OX, após a calibração da
CMM. . . 168 4.12 ∆L para bloco orientado segundo bissectriz dos quadrantes
ím-pares, antes da calibração da CMM. . . 168 4.13 ∆L para bloco orientado segundo bissectriz dos quadrantes
ím-pares, após a calibração da CMM. . . 169 4.14 ∆L para bloco orientado segundo bissectriz do primeiro octante,
antes da calibração da CMM. . . 169 4.15 ∆L para bloco orientado segundo bissectriz do primeiro octante,
após a calibração da CMM. . . 170 A.1 Interferómetro de Michelson. . . 186
2.1 Coordenadas medidas sobre o artefacto. . . 101
2.2 Coordenadas medidas sobre o artefacto. . . 102
2.3 Valores medidos (no referencial do conjunto de esferas inferior). 103 2.4 Versores da base de Ref 2 na base de Ref 1. . . 104
2.5 Erros locais. . . 105
3.1 Algoritmo da simulação da calibração. . . 134
3.2 Algoritmo de programação quadrática sequencial. . . 137
3.3 Iteração do método Quasi-Newton com actualização e pesquisa em linha. . . 139
3.4 Parâmetros utilizados nas simulações. . . 140
3.5 Resultados da autocalibração com amplitude do ruído do com-primento das ligações igual a 0,0005 mm. . . 140
3.6 Resultados da trilateração e sua incerteza. . . 145
3.7 Parâmetros, em mm, para a primeira simulação. . . 148
3.8 Perturbações introduzidas e correspondentes valores lidos uti-lizando o artefacto de calibração para a primeira simulação. . . 150
3.9 Parâmetros utilizados na segunda simulação. . . 150
3.10 Perturbações introduzidas e correspondentes valores lidos uti-lizando o artefacto de calibração para a segunda simulação. . . 150
3.11 Secção da grelha de erros correspondentes a pontos mais próxi-mos da origem. . . 154
3.12 Alguns resultados de interpolação sobre a grelha de erros. . . . 156
A Máquina de Medição por
Coordenadas e a sua
Calibração
1.1
Introdução
A Metrologia, campo mais vasto onde se insere o objecto de estudo deste trabalho, é a arte e a ciência da medição, sendo esta definida como o processo que associa valores numéricos a características de objectos físicos. Em especial, centramo-nos em medições do tipo geométrico e, em especial, na metrologia por coordenadas e de superfícies. Na figura 1.1 apresentamos um diagrama esquemático do enquadramento deste trabalho.
Figura 1.1: O enquadramento dos diversos campos da Metrologia. 1
No que diz respeito ao conceito de medição, ela é sinónimo de comparação relativamente a uma determinada referência ou padrão e tem três componentes indispensáveis: o aparelho de medição, o método de medição e os resultados da medição. São estes últimos que nos permitem definir o correcto e o incor-recto, o próximo e o afastado, o aceitável e o inaceitável. Na realidade, sem a medição não existem medidas correctivas que possamos adoptar, pois nesse caso não sabemos se existem desvios em relação ao nosso padrão. Somente se existir comparação é possível ter alguma influência sobre os produtos e sobre os processos técnicos que criamos. No entanto, nenhuma medição é absoluta-mente precisa e, associada a qualquer medição, existe uma incerteza finita em torno do valor medido ou do atributo medido. Para fixar ideias, afirmamos que a exactidão, ou rigor, de um instrumento mede a proximidade entre o resultado fornecido pela operação de medição e a grandeza que se mede, ou seja, a exactidão pode ser quantificada por um majorante do erro absoluto da medição (que é módulo da diferença entre o valor exacto de uma grandeza medida e o resultado aproximado obtido na execução prática dessa medição), embora seja mais consentâneo com a realidade defini-la por intermédio do intervalo de enquadramento ([1]).
Uma das ferramentas fundamentais em Metrologia é a máquina de medição por coordenadas. Esta é um dispositivo capaz de medir as dimensões de varia-dos tipos de produtos. A utilização de CMMs tem-se generalizado, nos últimos anos e em grande parte devido à evolução da informática, nos mais diver-sos ramos da ciência, desde a mecânica até à medicina, quer no domínio da nanometrologia quer da metrologia macroscópica. As suas aplicações mais im-portantes verificam-se na indústria metalomecânica, automóvel, aeronáutica, náutica, óptica, de moldes, de componentes electrónicas, etc., sendo relevante o seu papel na medição de peças que não poderiam ser medidas, ou seriam difi-cilmente medidas, por qualquer outro processo de medição mais convencional. Além disso, é também de referir a medição das características geométricas de produtos, desde a sua fase de desenvolvimento, incluindo a medição de pro-tótipos, até à fase de ensaios estatísticos de amostras de produtos e aceitação de componentes (quer inserida no processo de fabrico, quer fora da linha de produção) e, ainda, a calibração de padrões de comprimento.
A Metrologia Dimensional sofreu um incremento determinante com a divul-gação e utilização das CMMs. Deste modo, estas máquinas tornaram-se parte integrante dos sistemas de qualidade industriais, originando menores custos de inspecção e aumentando a produtividade ([28]). De facto, a sua utilização provocou uma redução significativa dos custos e do tempo dispendido (em mé-dia, cerca de 60%, segundo [132]) na inspecção de peças, melhorou a exactidão
de medição, permitindo, assim, aumentar a produtividade. Desta forma, as CMMs tornaram-se parte integrante dos sistemas de controlo da qualidade industrial e, provavelmente, o maior benifício prático da sua utilização é a imensa variedade de medições que pode ser realizada por seu intermédio e, como consequência, a sua flexibilidade.
Hoje em dia, as máquinas de medição por coordenadas, pela sua capacidade de permitirem realizar a comparação entre as medidas efectuadas nas peças e as medidas de projecto, são uma ferramenta indispensável da metrologia geométrica, que é a base para a realização do controlo da qualidade da pro-dução industrial. No entanto, a qualidade dos produtos depende da incerteza de medição das ferramentas com as quais se efectuam as tarefas de medição, sendo isso válido também quando se utilizam as máquinas de medição por coordenadas. A incerteza de medição de uma CMM resulta do conjunto dos erros de cada componente individual da máquina, que fazem com que, na de-terminação das coordenadas de um ponto do espaço, o ponto medido esteja rodeado de uma zona de incerteza tridimensional, dentro da qual se encontra a verdadeira posição do ponto (na sua representação geométrica são geralmente utilizados elipsóides de erro). Esta zona de incerteza é consequência, quer das componentes sistemáticas dos erros, quer das suas componentes aleatórias.
Desde que surgiram (há cerca de 40 anos), tanto os fabricantes como os seus utilizadores, demonstraram o desejo de avaliar, de forma compreensível, o seu desempenho. Como é sabido, com vista à garantia da qualidade, as CMMs devem ser verificadas após a sua instalação e depois, periodicamente, durante o seu funcionamento. O desenvolvimento de técnicas de elevada exac-tidão e eficientes para ensaio de máquinas apenas mais tarde se revelou uma prioridade, tornando-se necessários, para verificar o seu desempenho, ensaios normalizados e métodos bem estabelecidos (ditos de boa prática).
A concepção de máquinas como sistemas de medição por coordenadas ideais apresenta não apenas custos elevados, mas também é de realização difí-cil. Actualmente, considera-se que uma CMM deve ser idealizada e construída com os menores custos possíveis, devendo o software compensar as deficiências da cinemática e da dinâmica desta.
Refira-se que, no contexto deste trabalho, os termos calibração e certifi-cação não são sinónimos, mas descrevem duas operações completamente dis-tintas. Enquanto que a calibração consiste na determinação e correcção dos erros, a certificação diz respeito a atestar formalmente o desvio em relação a um padrão conhecido. De facto, a segunda operação é consideravelmente mais simples que a primeira. Muitas vezes, coloca-se a questão de saber com que regularidade é necessário calibrar uma máquina de medição por coordenadas.
Para responder acertadamenta à pergunta, torna-se necessário, em primeiro lugar, responder às questões: qual é o nível de exactidão que se pretende atingir? que tipo de peças vão ser medidas por meio da CMM? quais são as características da máquina de medição?
No presente capítulo, na secção 2, descreveremos sumariamente a máquina de medição por coordenadas, referindo as suas fontes de perturbação e conse-quentes erros. De seguida, na secção 3, são referidas, resumidamente, algumas normas mais relevantes aplicáveis ao ensaio de CMMs e são descritos alguns artefactos e métodos de ensaio de máquinas que a eles recorrem. Finalmente, na secção 4, são efectuadas algumas considerações acerca da calibração de CMMs.
1.2
A máquina de medição por coordenadas
Pretende-se, nesta secção, efectuar uma breve descrição da função, cons-tituintes e modo de funcionamento de uma máquina de medição por coorde-nadas. Será, também, feita uma breve referência aos erros sistemáticos associa-dos aos movimentos das suas partes móveis (erros geométricos ou paramétri-cos), bem como a um modelo matemático que modele o seu comportamento cinemático.
Relembre-se que uma CMM é um sistema mecânico e electrónico cujo ob-jectivo último é a obtenção de coordenadas num referencial (normalmente cartesiano) de pontos sobre superfícies sólidas. Estas coordenadas serão, pos-teriormente, sujeitas a operações de cálculo, com vista à avaliação de formas geométricas dos objectos. No entanto, devido à existência de diversas fontes de erro associadas ao sistema, os resultados por ela fornecidos não são exactos. Obviamente, para que estas máquinas sejam úteis, os seus utilizadores deverão ter noção da exactidão das medidas por elas efectuadas.
Existem diferentes tipos de máquinas de medição por coordenadas que se caracterizam habitualmente a partir dos movimentos das suas peças. Embo-ra o estudo que aqui apresentamos seja válido paEmbo-ra outros tipos de CMMs, faremos uma descrição um pouco mais detalhada dos principais constituintes e do modo de funcionamento de uma máquina de medição por coordenadas dita de pórtico móvel e de mesa fixa, nomeadamente no que respeita ao pro-cedimento de calibração do sensor , ao modo como a máquina adquire as suas coordenadas e à consideração das suas fontes de erro e consequentes erros, sendo dada especial relevância aos erros geométricos (desvios de posiciona-mento, de translação, de rotação e de ortogonalidade), descritos por um total de 21 parâmetros. Pela consideração do movimento geral de três sólidos,
ma-terializados pelas peças móveis da máquina de medição por coordenadas, é possível estabelecer um modelo matemático que, descrevendo com fidelidade o seu comportamento, permite obter as coordenadas corrigidas a partir das coordenadas lidas pela máquina e dos diversos erros geométricos, modelo esse que será também apresentado, ainda que de forma resumida.
1.2.1
Tipos de máquinas de medição por coordenadas
Com o objectivo comum de adquirir coordenadas cartesianas de pontos sobre superfícies sólidas, existem variados tipos de máquinas, que diferem en-tre si, essencialmente, pelo tamanho, pelo tipo de construção, pela exactidão alcançada e pelo seu nível de automatização, apresentando todas elas, no en-tanto, características comuns.
Genericamente, uma máquina de medição por coordenadas é constituída, essencialmente, por quatro corpos rígidos três peças móveis e uma base fixa -que se encontram ligados uns aos outros numa sequência -que vai desde a peça a medir até ao sensor (conforme a sequência cinemática apresentada na figura 1.2).
Peça a medir
corpo 1 corpo 2 corpo 3 corpo 4
Sensor eixo 1 ei xo 2 eixo 3
Figura 1.2: Sequência cinemática de uma CMM.
Os eixos da máquina são designados por OX, OY e OZ, e encontram-se nela por uma ordem que é escolhida arbitrariamente pelo construtor. Para efeitos de modelação do funcionamento da máquina de medição por coorde-nadas, por convenção, assume-se que os eixos são considerados pela ordem OX − OY − OZ e que OX, OY e OZ correspondem aos eixos dos movimentos dos corpos 2, 3 e 4, respectivamente, da figura 1.2.
A cadeia cinemática básica, que permite descrever qualquer tipo de CMM, é sempre semelhante, uma vez que ela tem por base movimentos de translação e movimentos de rotação.
no sistema de coordenadas do referencial de base, o qual pode ser cartesiano (ocorrendo as máquinas de tipo pórtico fixo e mesa móvel, mesa fixa e pórtico móvel, entre muitas outras configurações), esférico (associado a máquinas tipo robot, tipo cobra, etc.) ou cilíndrico.
Por outro lado, a cadeia cinemática assenta numa base caracterizada por considerar que cada corpo livre da máquina de medição por coordenadas tem 6 graus de liberdade: 3 rotações e 3 translações. Para obter um movimento correcto de uma parte móvel da máquina, o número de graus de liberdade deverá ser um (de rotação ou de translação), sem que o sistema se torne hiperestático, conseguindo-se tal pela imposição de restrições à liberdade dos corpos.
Nos tempos actuais, existe uma imensa variedade de máquinas de medição por coordenadas, podendo, em consequência, estabelecer-se diferentes catego-rizações para o universo das CMMs, de acordo com variados critérios, tais como o tipo de construção, o volume de medição ou o grau de exactidão. Convém, no entanto referir, que qualquer um dos tipos de construção de máquinas não prevalece sobre todos os outros, mas antes todos eles apresentam vantagens e desvantagens e a escolha do tipo de máquina deve ter em conta, sobretudo, a aplicação que se lhe pretende dar.
Se o critério de classificação for o tipo de estrutura, variando no nível de exactidão de medida e no campo de aplicação, existem actualmente no mercado variados tipos de CMMs, entre as quais destacamos, devido a ser este o tipo de estrutura que ocorre com maior frequência, a máquina de mesa fixa e pórtico móvel. Para além desta, e especialmente devido à necessidade de outras estruturas mais bem adaptadas a certas tarefas específicas, encontramos outros tipos de máquinas. Assim, entre os tipos de estruturas de máquinas mais comuns, podemos resumidamente referir as seguintes ([13] e [14]): CMM de mesa fixa e pórtico móvel; CMM de pórtico fixo e mesa móvel; CMM de coluna e pórtico fixos e mesa duplamente móvel; CMM de coluna móvel numa direcção e mesa fixa; CMM de coluna móvel em duas direcções e mesa fixa; CMM de consola móvel e mesa fixa; CMM de braço horizontal fixo e mesa móvel; CMM de braço horizontal fixo e mesa fixa; CMM de braço horizontal móvel e mesa fixa; CMM de tipo cantiliver de mesa fixa; CMM de cantiliver móvel e mesa móvel; CMM do tipo gantry; CMM de semi-pórtico; CMM tipo cobra; CMM de braço articulado tipo robot; CMM de braço articulado tipo robot com sensor laser ; etc..
1.2.2
CMM com mesa fixa e pórtico móvel
Nesta secção, iremos, sem perda de generalidade, descrever a máquina de mesa fixa e pórtico móvel, que constitui o tipo de CMM mais comum. Esta categoria de máquinas encontra-se com maior frequência devido à sua racionalidade do ponto de vista mecânico e económico. De facto, trata-se de uma máquina cujas principais características são a grande robustez, a elevada capacidade de carga da mesa de medição e um amplo volume útil de trabalho. Assim, nesta máquina, a peça a medir encontra-se sobre a mesa fixa. Li-gado à mesa encontra-se o pórtico, que deslocar-se-á ao longo do eixo OX do referencial absoluto associado à máquina de medição por coordenadas. Por sua vez, ligado ao pórtico encontra-se o carro, que se deslocará ao longo do eixo OY . Por fim, em ligação ao carro, encontra-se o braço, que se movimenta ao longo do eixo OZ do mesmo referencial.
Genericamente, as máquinas de medição por coordenadas de pórtico móvel e mesa fixa têm uma base de suporte (em aço) sobre a qual assenta uma mesa, geralmente em granito. Nesta existem alguns orifícios, com roscas de aço, que servem para fixar a ela as peças a medir pela máquina.
Além disso, em ambos os lados da base de suporte, fixadas à estrutura, encontram-se as guias do eixo OX (carris horizontais), através das quais o pórtico da máquina se encontra ligado à base e que o obrigam a ter movimen-tos de translação segundo aquela direcção (embora, como veremos na secção 2.5, as diversas fontes de erro perturbem esse movimento). A eliminação do atrito no movimento do pórtico (bem como das outras partes móveis) obtém-se habitualmente pela utilização de almofadas de ar comprimido, o que implica a existência de um compressor independente que forneça ar comprimido à máquina. As diversas posições que o pórtico assume são referenciadas pela sua distância a um ponto fixo e traduzem-se pela coordenada x.
Sobre o pórtico da CMM encontram-se as guias do eixo OY , que irão suportar e orientar o movimento do carro da máquina. Este, por sua vez, irá deslocar-se sobre o pórtico, segundo aquela direcção. A translação do carro, que, por princípio, se pretende que seja efectuada perpendicularmente à translação do pórtico, materializa o movimento de um plano coordenado vertical, paralelo a OXZ.
Por fim, ligada ao carro encontra-se fixada a guia do eixo OZ, dentro da qual se desloca, na vertical, segundo o referido eixo, o braço da máquina. A guia do eixo OZ é um tubo, cuja forma é, na maior parte das vezes, quadran-gular, hexagonal ou cilíndrica, que deverá ser simultaneamente perpendicular às linhas de movimento do pórtico e do carro (o que, na realidade, não acontece exactamente).
Refira-se que muitos modelos de CMM permitem fixar a peça a uma mesa rotativa, incorporada na mesa da máquina ou assente sobre esta.
1.2.3
Sistema de contacto de uma CMM
Estruturalmente, na extremidade inferior do braço da máquina de medição por coordenadas localiza-se o sistema de contacto (muitas vezes designado, na literatura portuguesa, por sistema de palpação), composto pela cabeça, haste e esfera de contacto. Designamos por sensor (também é comum designá-lo por palpador ) o conjunto formado pela haste e pela esfera.
A função do sistema de contacto é transmitir ao processador da máquina a ocorrência de um toque, para que sejam registadas as coordenadas no preciso instante em que ocorre e desencadeada a travagem das partes móveis (pórtico, carro e braço).
O problema crucial na concepção de um sistema de contacto é, pois, cal-cular a posição exacta do centro da esfera do sensor no instante em que toca na peça a medir. No sentido de resolver a questão anterior, encontraram-se várias soluções, entre as quais referimos o sensor dinâmico, o sensor estático, o sensor por som e os sensores sem contacto (vd. a referência [1] para uma descrição mais detalhada).
Em relação às esferas do sensor por contacto, estas são habitualmente feitas de rubi, que é uma substância com grande homogeneidade e com elevada resistência ao desgaste.
É na cabeça que se concentra a parte electrónica do sistema de contacto. A conexão entre o sensor e a cabeça é, na grande maioria das vezes, feita por um sistema de rosca ou baioneta, possibilitando assim a utilização de diferentes sensores.
Na base da cabeça, no seu centro, encontra-se o ponto de referência, em relação ao qual é referenciada a posição do sensor. Este ponto, de extrema importância especialmente quando são utilizados diferentes sensores, não está necessariamente materializado na máquina. A determinação da posição do centro da esfera de contacto em relação ao ponto de referência é feita através de um procedimento denominado por calibração do sensor .
Assim, antes de ser utilizado, o sensor é sujeito à operação de calibração, que pretende essencialmente cumprir dois objectivos: determinar a flexão da haste que ocorre sob a acção das forças de contacto com a peça a medir e determinar a posição do centro da esfera de contacto em relação ao ponto de referência do braço. O procedimento de calibração é, habitualmente, realizado conforme descrito na parte 2 da norma internacional ISO 10360 Performance Assessment of Coordinate Measuring Machines ([60]).
1.2.4
A medição de coordenadas
Sem perda de generalidade, iremos descrever o que se passa, no que diz res-peito ao modo como se efectua a medição de coordenadas, com uma máquina de medição de mesa fixa e de pórtico móvel. Para que a CMM meça as coor-denadas de um dado ponto P , situado no volume útil de medição da máquina, o operador (ou o computador que comanda a máquina) terá que deslocar su-cessivamente as três partes móveis até que o sensor entre em contacto com a peça onde se marcou P .
Junto aos eixos guia das três partes móveis da máquina, paralelamente a estes, encontram-se réguas de cristal (escalas) onde serão lidas pela máquina, de forma automática, as coordenadas: a translação do pórtico origina a ab-cissa, o deslocamento do carro origina a ordenada e, finalmente, a cota é obtida pela translação do braço.
Em resumo, podemos afirmar que as componentes mais importantes de um sistema de medição de coordenadas são a estrutura mecânica, com os três eixos de movimento e com os respectivos sistemas de medição de deslocamentos; o sistema de contacto, capaz de efectuar o contacto do sensor com as peças, segundo diversas direcções espaciais; o sistema de comando dos movimentos das partes móveis (pórtico, carro e braço) e, finalmente, o computador e o software para o cálculo e representação de resultados.
O movimento do pórtico (respectivamente do carro, do braço) seria de translação segundo a direcção OX (respectivamente OY , OZ), se não existis-sem diversos erros que afectam o funcionamento da máquina de medição por coordenadas que levam a que, na prática, aqueles movimentos sejam muito mais complexos. Assim, iremos, a seguir, fazer uma breve descrição das fontes de erro que afectam os resultados fornecidos pela CMM.
1.2.5
Fontes de erro
Qualquer máquina de medição por coordenadas apresenta características próprias e tem um comportamento diferente que depende do ambiente onde ela se encontra, da composição das partes que constituem a sua estrutura e da sua idade. O ambiente onde ela opera é, de facto, muito importante e, especialmente, a temperatura deve ser mantida o mais estável possível. Hoje em dia, a maioria das máquinas de medição por coordenadas são construídas a partir de variados materiais, que se expandem ou contraem de forma diferente como consequência das variações de temperatura. Havendo lugar a variações de temperatura espaciais e temporais, originar-se-ão erros de medição que, doutra forma, não deveriam ocorrer. O ar comprimido fornecido à máquina,
necessário ao seu funcionamento, é também um factor importante a ter em conta (especialmente quando se dão diminuições na pressão do ar o que pode provocar maiores fricções nos movimentos das partes móveis, bem como causar tensões nas partes móveis e danificar os motores que auxiliam os movimentos das mesmas). É necessário também ter em atenção as poeiras que eventual-mente existam nos locais de funcionamento da CMM. Em relação aos materiais que constituem a máquina de medição, é de notar que uma CMM que é cons-truída com melhores materiais proporciona resultados mais precisos do que uma construída com materiais com piores características. Descreveremos, de seguida e com maior detalhe, todas estas fontes de perturbação nos resultados das medições fornecidas pelas máquinas de medição por coordenadas.
Nas operações práticas executadas com a máquina de medição por coor-denadas os resultados por ela fornecidos não são, como já referimos, comple-tamente destituídos de erros, os quais são consequência de diversos factores, podendo estes ser classificados em dois tipos fundamentais: os factores do tipo exógeno e os factores do tipo endógeno, a seguir descritos.
Os factores exógenos são consequência das condições ambientais onde a máquina de medição por coordenadas opera e podem subdividir-se em:
• Temperatura: entre os factores exógenos salientamos a temperatura, que é o factor mais difícil de controlar e é capaz de provocar dilatações que originam mudança de forma do objecto a medir e de certas partes da CMM, alterando a sua configuração, com especial relevância para as guias e para as escalas. É importante referir a existência de gradientes de temperatura espaciais e temporais. Por forma a minorar a influência desta fonte de erro, a temperatura ambiente e a temperatura da peça a medir deverão permanecer dentro de determinados limites especificados, utilizando-se, para tal, sistemas de condicionamento de ar. A parte I da norma VDI-VDE 2617 faz referência a fórmulas de correcção para CMMs com sensores de temperatura ([133]).
• Humidade: a humidade ambiental provoca mudança de volume da mesa da CMM e das peças que eventualmente absorvam a humidade, sendo ainda capaz de, a longo prazo, provocar corrosão das componentes da máquina.
• Pó: a existência de pó no objecto a medir, ou na esfera do sensor, in-fluencia também o resultado das medições.
• Vibração: nas fontes de erro há que ter em conta também as vibrações a que a CMM possa estar sujeita, especialmente quando ela opera em
ambiente industrial.
• Variações da corrente eléctrica.
• Variação da pressão de ar: nas máquinas com lubrificação por al-mofadas de ar.
• Operador: mesmo o próprio operador pode introduzir diversos erros na medição, devido a variadas causas, tais como a negligência, o contacto exagerado das suas mãos com a peça (movendo-a inadvertidamente ou causando-lhe indesejáveis gradientes de temperatura), a escolha menos acertada de sensores e de direcção de contacto com a peça, a selecção menos correcta de elementos para construção do referencial da peça, a escolha menos adequada de pontos de medição para definir um elemento geométrico da peça, etc..
• Peça: a peça em si pode ser ainda um factor de erro. Como exemplo disso, pode referir-se a dificuldade em definir os objectivos da medição e os elementos geométricos de referência. Refiram-se ainda as caracterís-ticas físicas da própria peça, tais como a sua rugosidade, a sua textura ou a possibilidade de esta sofrer deformação (caso das peças plásticas, por exemplo).
• etc..
Os factores endógenos, com origem na própria máquina, subdividem-se em: • Sistema de coordenadas: o factor endógeno mais importante é, indu-bitavelmente, o desvio do referencial real da máquina de medição por coordenadas em relação ao referencial matemático ideal . Estes desvios são causados pelas distorções das formas e orientação das guias e partes móveis a elas ligadas. Com efeito, devido a variados factores, quer endógenos, quer exógenos, o referencial da máquina sofre imperfeições. Essas imperfeições traduzem-se, entre outras coisas, em deficiências na forma e orientação das guias e em folgas nos eixos guia. Como con-sequência, as partes móveis da máquina, quando se deslocam ao longo desses eixos, têm um movimento que não é de translação rectilínea, exe-cutando pequenos movimentos espúrios. Na realidade, em vez de se dar apenas a translação desejada segundo o eixo correspondente, ocorrem também pequenos desvios segundo direcções transversais a essa direcção e mesmo movimentos indesejados segundo a direcção do movimento prin-cipal. Além disso, a parte móvel em causa (pórtico, carro ou braço) sofre
ainda pequenas rotações. Por outro lado, as escalas de cada um dos três eixos e o sistema de medição a elas associado sofrem também deficiên-cias, que irão produzir desvios segundo a direcção do deslocamento da parte móvel, provocando um erro adicional na coordenada correspon-dente à direcção do deslocamento, além de que, na realidade, esses eixos não são perfeitamente ortogonais dois a dois. O efeito conjunto de tudo o referido é tornar não rectilíneos os movimentos da esfera de contacto e não ortogonais os eixos médios dos deslocamentos.
• Sistema de medição: o sistema de medição, com especial relevância para as escalas, apresentam deficiências (incorrecta subdivisão das es-calas, por exemplo) que produzem desvios, essencialmente nas direcções dos eixos de movimento.
• Sensor: o sistema de sensores (e os próprios sensores) é outra fonte de erro, sendo a sua contribuição dependente da sua configuração mecânica e electrónica.
• Deformações: as deformações estáticas e dinâmicas da estrutura e de todas as partes mecânicas da CMM são outro factor a ter em conta, sobretudo ao longo da vida útil da máquina.
• Erro do Co-seno: o denominado por erro do co-seno consiste num tipo de inexactidão cumulativo que é devida a um alinhamento defeituoso entre duas componentes, sendo esse erro proporcional ao co-seno do ân-gulo de desalinhamento. No caso dos eixos das partes móveis da CMM, ocorre frequentemente a situação de a escala do eixo em causa não es-tar perfeitamente alinhado com a direcção assumida para o movimento desse eixo, ocorrendo um ângulo, cuja medida de amplitude é reduzida, entre essas duas direcções. O resultado da existência desse ângulo asso-ciado ao eixo coordenado é o efeito do erro do co-seno que se traduz em valores incorrectos das coordenadas lidas nas escalas. O erro do co-seno é eliminado quando o eixo do movimento e o eixo da escala de medição são paralelos.
• Erro de Abbe : o erro de Abbe tem origem no transporte da grandeza a medir até à escala de medição, sendo um tipo de erro linear resultante da amplificação de um pequeno erro de rotação da parte da máquina à qual se encontra associada a escala onde se registam as coordenadas através de uma haste de comprimento significativo.
• Algoritmos: as máquinas de medição por coordenadas têm, regra geral, um processador ou um computador dedicado para tratar as leituras efec-tuadas nas escalas, introduzindo-lhe correcções, assim como para pro-ceder a ajustamentos e determinar formas ideais adaptadas às medições efectuadas e, ainda, calcular, com base nos elementos geométricos obti-dos, ângulos, distâncias, projecções, intersecções, etc.. Os algoritmos que proporcionam estes resultados podem conduzir a resultados imprevistos quando considerados em situações patológicas.
Como consequência da existência de todas as referidas fontes de erro, os erros inerentes à utilização de uma máquina de medição por coordenadas são classificados em, pelo menos, três categorias:
• Erros sistemáticos: estes erros são devidos essencialmente a defeitos na construção do instrumento de medida e apresentam sempre o mesmo valor para cada medição específica, isto é, são previsíveis.
• Erros aleatórios: estes erros são causados por alterações (não per-ceptíveis) do instrumento de medição, ou do objecto medido, ou das condições ambientais do local onde a máquina opera, ou ainda por ou-tras causas. Assim, estes erros não podem ser estimados separadamente e nunca poderão ser medidos através da calibração.
• Erros de arredondamento: estes erros são consequência do facto de o processamento dos resultados da medição ser necessariamente efec-tuado com precisão finita. No entanto, na maioria dos casos, os erros de arredondamento não são tomados em conta nas aplicações práticas, uma vez que o erro introduzido nos resultados fornecidos pela máquina é irrelevante quando comparado com os erros mecânicos da CMM. Devido às referidas características dos três tipos de erros indicados, iremos apenas estudar os erros sistemáticos referentes ao movimento das partes móveis da CMM. Assim, como consequência de todas as fontes de erros, para cada parte móvel da máquina de medição por coordenadas (pórtico, carro e braço), estão presentes os seguintes erros paramétricos:
• desvio segundo a direcção do eixo do movimento, também designado por erro de posição ou de posicionamento;
• desvios segundo direcções transversais à direcção do movimento princi-pal, que são decompostos segundo as direcções dos outros dois eixos de movimento, designados por erros de translação ou desvios de alinhamen-to;
• movimento geral de rotação, que é decomposto segundo três rotações elementares, em torno dos três eixos coordenados, denominadas por erros de rotação;
e, em adição aos erros inerentes a cada uma das três partes móveis da máquina, há que considerar ainda que os eixos de deslocamento dessas três peças não são ortogonais entre si: são os erros de afinidade, erros de esquadria, desvios de ortogonalidade ou erros de falta de ortogonalidade entre os eixos. É de referir a conveniência em utilizar referenciais ortogonais, uma vez que a definição das transformações geométricas e as expressões que descrevem as figuras geométri-cas se simplificam significativamente quando se utilizam referenciais deste tipo. No seu conjunto, estes erros são conhecidos por erros cinemáticos ou geométri-cos.
1.2.6
Os vinte e um parâmetros de erro
Vamos, de seguida, tecer algumas considerações sobre os desvios que ocor-rem na máquina e que influenciam as coordenadas dos pontos fornecidas por esta. Os desvios sistemáticos são geralmente descritos por 21 parâmetros de erro, parâmetros esses divididos em quatro grupos, segundo descrevam desvios de posição, desvios de translação, desvios de rotação e desvios de ortogonali-dade. Estes erros traduzem-se em três deslocamentos paralelos aos três eixos do referencial da máquina e por três ângulos de rotação em torno desses mes-mos eixos. Os três desvios de perpendicularidade entre os eixos de desloca-mento deverão, por fim, ser adicionados aos 18 erros referidos. Analisaremos, em seguida e separadamente, cada um dos quatro tipos de erros.
Desvios de posicionamento
Devido à não linearidade das escalas, as três partes móveis da máquina de medição por coordenadas apresentam, como já referimos, desvios de posição. Isto significa que a coordenada lida pela máquina, referente à direcção segundo a qual aquela peça móvel se movimenta, não corresponde à coordenada exacta. Teremos assim três erros de posição, um para cada parte móvel da máquina e correspondente eixo de movimento, designados genericamente por αpα, onde α representa o eixo do movimento.
Desvios de alinhamento
No movimento de cada parte móvel da CMM dão-se translações espúrias segundo direcções transversais à direcção principal do movimento. Estas são
decompostas segundo as direcções dos outros dois eixos que não correspondem à direcção principal. São estes os desvios designados por erros de translação e denotados genericamente por αtβ, onde α representa o eixo principal do movimento e β o eixo segundo o qual se dá o desvio de alinhamento.
Erros de rotação
Os movimentos de rotação ou balanços indesejados do pórtico, carro e braço da máquina de medição por coordenadas podem ser descritos como composições de rotações elementares em torno dos três eixos coordenados (mais pormenores em [138]). Esses balanços, três por cada parte móvel, são os nove erros de rotação, representados genericamente por αrβ, onde α representa o eixo principal do movimento (x para o pórtico, y para o carro e z para o braço) e β representa o eixo em torno do qual se dá a rotação elementar. Os nove balanços, que são designados por rolamento, cabeceio e deriva, correspondem a ângulos cuja medida de amplitude é muito reduzida.
Desvios de ortogonalidade
As guias das partes móveis da máquina de medição por coordenadas não são ortogonais, pelo que o referencial absoluto associado à máquina é também não ortogonal. Os erros de afinidade ou de falta de ortogonalidade entre os eixos coordenados, designados por xwy, xwz e ywz, são definidos da seguinte forma:
90o+ xwy = hOX, OY i , (1.1)
90o+ xwz = hOX, OZi (1.2)
e
90o+ ywz = hOY, OZi , (1.3)
onde, por exemplo, a quantidade hOX, OY i representa a medida da amplitude do ângulo, em graus, entre as guias dos eixos OX e OY do referencial da máquina.
Conhecendo os desvios de ortogonalidade, poderá ser realizada a ortogona-lização do referencial da CMM, uma vez que, por uma questão de simplicidade em descrever os elementos geométricos que definem uma peça, é mais conve-niente efectuar medições tendo por base um referencial ortogonal (vd. [1]).
Finalmente, apresentamos na figura 1.3, os 21 parâmetros de erro: três erros de afinidade entre eixos e seis erros por parte móvel da máquina.
90+xwz 90+xwy 90+ywz xpx xty xtz xry xrz xrx X yrz yrx yry ytx ypy ytz Y zrx zry zrz Z ztx zty zpz
Figura 1.3: 21 erros paramétricos de uma CMM ([131]).
1.2.7
Modelo cinemático de uma CMM
As coordenadas (x, y, z) de qualquer ponto P situado no volume útil de medição da máquina podem ser obtidas a partir dos valores de xd, yde zd
(va-lores das translações dominantes das peças móveis, necessárias para alcançar a posição ocupada por P ), das coordenadas (x0, y0, z0) da posição do sensor em
relação ao ponto de referência do braço e dos dezoito erros paramétricos cor-respondentes às rotações, translações e desvios de posicionamento das partes móveis da CMM. Utilizamos, para isso, o modelo
⎡ ⎣ x y z ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ xd+ xpx xty xtz ⎤ ⎦ + Rp ⎡ ⎣ ytx yd+ ypy ytz ⎤ ⎦ (1.4) +RpRc ⎡ ⎣ ztx zty zd+ zpz ⎤ ⎦ + RpRcRb ⎡ ⎣ x0 y0 z0 ⎤ ⎦ ,
com Rp, Rce Rb as matrizes de rotação correspondentes, respectivamente, aos
movimentos do pórtico, carro e braço, dadas, respectivamente, por:
Rp =
⎡ ⎣
cos xry cos xrz − cos xrx sin xrz + sin xrx sin xry cos xrz cos xry sin xrz cos xrx cos xrz + sin xrx sin xry sin xrz
− sin xry sin xrx cos xry
(1.5) sin xrx sin xrz + cos xrx sin xry cos xrz
− sin xrx cos xrz + cos xrx sin xry sin xrz cos xrx cos xry
⎤ ⎦ ,
Rc =
⎡
⎣ cos yry cos yrzcos yry sin yrz − cos yrx sin yrz + sin yrx sin yry cos yrzcos yrx cos yrz + sin yrx sin yry sin yrz
− sin yry sin yrx cos yry
(1.6) sin yrx sin yrz + cos yrx sin yry cos yrz
− sin yrx cos yrz + cos yrx sin yry sin yrz cos yrx cos yry
⎤ ⎦ e Rb = ⎡ ⎣
cos zry cos zrz − cos zrx sin zrz + sin zrx sin zry cos zrz cos zry sin zrz cos zrx cos zrz + sin zrx sin zry sin zrz
− sin zry sin zrx cos zry
(1.7) sin zrx sin zrz + cos zrx sin zry cos zrz
− sin zrx cos zrz + cos zrx sin zry sin zrz cos zrx cos zry
⎤ ⎦ , e atendendo a que ⎡ ⎣ xm ym zm ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ x0 y0 z0 ⎤ ⎦ + ⎡ ⎣ xd yd zd ⎤ ⎦ , (1.8)
onde xm, ym, zm são as coordenadas fornecidas pela máquina para o ponto P
e notando que todas as coordenadas estão referidas a um referencial ortogonal. O modelo linearizado ⎡ ⎣ xy z ⎤ ⎦ = M1 ⎡ ⎣ xydd zd ⎤ ⎦ + M2 ⎡ ⎣ xy00 z0 ⎤ ⎦ + ⎡
⎣ xpx + ytx + ztxxty + ypy + zty xtz + ytz + zpz ⎤ ⎦ , (1.9) onde M1= I + ⎡ ⎣ 0 −xrz xry + yry 0 0 −xrx − yrx 0 xrx 0 ⎤ ⎦ , (1.10)
M2= I + ⎡ ⎣ 0 −xrz−yrz−zrz xry+yry+zry xrz+yrz+zrz 0 −xrx−yrx−zrx −xry−yry−zry xrx+yrx+zrx 0 ⎤ ⎦ , (1.11) em que I denota a matriz identidade de ordem 3, bem como o modelo (1.4), foram estabelecidos em [138]. Neste trabalho, foi ainda mostrado que (1.9) des-creve de modo eficiente o comportamento cinemático da máquina em análise. Refira-se, também, que na avaliação dos erros cinemáticos vamos consi-derar os três erros de ortogonalidade, xwy, xwz e ywz, como implicitamente incluídos nas seis translações espúrias: xty, xtz, ytx, ytz, ztx e zty.
1.2.8
Conceitos gerais sobre calibração de CMMs
Antes de mais e para fixar ideias, vamos introduzir alguns conceitos impor-tantes no que diz respeito à calibração de CMMs. Entende-se por calibração o conjunto das operações que estabelecem, em condições especificadas, a relação entre os valores indicados por um instrumento e ou técnica de medição e os va-lores convencionalmente exactos (estes são os vava-lores obtidos por meio de uma medição de rigor claramente mais elevado que o referente à medição em causa) de um padrão (designa-se por padrão o instrumento de medição ou o sistema de medição destinado a definir ou materializar, conservar ou reproduzir uma unidade ou um ou vários valores conhecidos de uma grandeza para os trans-mitir por comparação a outros instrumentos de medição) ou de um material de referência, relativamente à medição de uma determinada grandeza ([5]). Alternativamente, podemos defini-la como o conjunto dos procedimentos ex-perimentais que permitem a determinação de erros referentes às indicações do instrumento de medida para uma determinada grandeza. A norma DIN 1319 ([36], [37] e [38]) define calibração como a operação que determina os desvios entre o valor lido num instrumento e o valor convencionalmente exacto. Por-tanto, para calibrar um determinado instrumento, é sempre necessário dispor de um outro instrumento que seja mais exacto, isto é, que forneça intervalos de enquadramento mais apertados. Conhecidos os desvios para alguns valores tabelados, é possível, a partir deles, determinar, por interpolação, os desvios para valores intermédios e depois é fácil calcular, por simples adição ou sub-tracção, os valores corrigidos. A calibração não elimina completamente o erro sistemático. Introduz-se, por isso, o conceito de remanescente do erro sis-temático, o qual terá que ser estimado e sobreposto ao erro aleatório. No valor global da incerteza, temos a considerar então a parte aleatória e uma parte que estima o erro sistemático desconhecido, incluindo o remanescente do erro sistemático após a calibração.
A qualidade de um instrumento de medição avalia-se pela dispersão dos resultados das medições, em torno da média. Esta dispersão é normalmente quantificada pelo desvio padrão σ. Uma maneira semelhante de encarar a questão consiste em examinar de que modo diferentes resultados de medições estão próximos uns dos outros, sob as mesmas condições. Diremos que existe uma condição de repetibilidade quando o mesmo observador procede à medição da mesma grandeza por um método especificado e sob as mesmas condições laboratoriais, dentro de um curto intervalo de tempo.
Outro conceito importante é o conceito de reproducibilidade. Neste caso, o método de medição é o mesmo, assim como o objecto a medir. Podem, no en-tanto, variar as condições da medição: instrumentos ou laboratórios diferentes e ocasiões diferentes.
Nalguns instrumentos de medição a aproximação à posição de medida pode fazer-se por vários sentidos diferentes. Em consequência disso, é frequente encontrarem-se resultados diferentes. Esta propriedade é designada por his-terese e é resultante de variados factores, entre os quais podem referir-se a elasticidade da estrutura e a existência de folgas.
Uma forma de encarar a calibração da CMM (sendo esta a abordagem des-crita no capítulo 2) é vê-la como o método que permite determinar, de forma conjunta, pela utilização de padrões, os erros cinemáticos (ou melhor, funções que descrevam com boa aproximação os diversos erros cinemáticos) de uma máquina de medição por coordenadas e, em seguida, baseados nesses resulta-dos, efectuar a correcção, por meio de software, sempre que possível em tempo real, das coordenadas fornecidas pela máquina (na figura 1.4 é ilustrado o flu-xograma do processo de calibração). Muito sucintamente, podemos descrever o processo de calibração da seguinte forma. Em primeiro lugar é necessário conhecer a estrutura da máquina e saber, por exemplo, quais as peças móveis, quais as fixas, identificar os eixos coordenados correspondentes aos movimentos de cada uma das peças, saber de que forma são adquiridas as coordenadas, etc.. Baseado nesta estrutura, é então construído o modelo matemático que descreva o comportamento cinemático da máquina de medição por coordenadas (como, por exemplo, os modelos descritos por (1.4) ou (1.9), da referência [138]). Em seguida, após a escolha do padrão a utilizar e após a elaboração da estratégia de medição, são medidas as coordenadas de pontos sobre esse padrão. Conju-gando o modelo cinemático com os dados adquiridos na medição, são determi-nados os coeficientes das funções que descrevem os diversos erros paramétricos. Para tal, utiliza-se uma técnica de ajustamento que, geralmente, é baseada no critério dos mínimos quadrados. Pela análise dos parâmetros das funções de erro, é possível corrigir, por software, as coordenadas fornecidas pela máquina
em qualquer processo de medição.
estrutura da CMM
modelo cinemático
ajustamento do modelo por determinação dos coeficientes
das funções de erro análise dos parâmetros de erro
correcção, por software, dos erros presentes nas coordenadas
medição de coordenadas sobre um padrão
diagnóstico das fontes de erro da CMM
correcção dos erros cinemáticos por ajustamento mecânico da CMM
Figura 1.4: Fluxograma do método de calibração da CMM.
Por outro lado, caso seja pretendido, é possível detectar e diagnosticar fontes de erro inerentes à própria estrutura da máquina de medição por coor-denadas, fazendo a análise das funções de erro, com o fim de poder efectuar, mais tarde, a correcção mecânica da máquina.
Em alternativa, por meio da calibração da CMM, podem ser determinados, no lugar dos erros paramétricos, os efeitos desses erros nas coordenadas dos pontos medidos, uma vez que são estas últimas o produto final da medição. Baseado nesses resultados, podem corrigir-se as coordenadas fornecidas pela CMM, utilizando interpolação apoiada numa grelha de erros. Note-se que é esta a abordagem exposta no capítulo 3.
1.3
Síntese dos métodos de avaliação de CMMs
Nesta secção, são apresentadas as diversas normas mais relevantes de en-saio de CMMs e é exposta a utilização de artefactos, de diversos tipos, na calibração de máquinas, efectuando-se, de forma sumária, a comparação dos
