PGMEC
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ESCOLA DE ENGENHARIA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Tese de Doutorado
MODELAGEM DOS FENÔMENOS DE
LIBERAÇÃO E ABSORÇÃO DE GÁS EM
ESCOAMENTOS DE LÍQUIDO-GÁS NUM
CONTEXTO TERMODINAMICAMENTE
CONSISTENTE
AGNALDO BORGES DA SILVA
MODELAGEM
DOS
FENÔMENOS
DE
LIBERAÇÃO
E
ABSORÇÃO
DE
GÁS
EM
ESCOAMENTOS
DE
LÍQUIDO–
GÁS
NUM
CONTEXTO
TERMODINAMICAMENTE
CONSISTENTE
Tes e de Doutora do ap resent ada a o Pro gra ma
de Pós-graduação em En ge nh ari a Me c ânica
da U FF c omo pa rt e dos re qui sitos pa ra a
obt en çã o d o títu lo d e D out or e m Ciência s em
Engenha ri a Mecâ ni c a
Ori ent a do r: Fe lipe B asto s d e Freit as R ach id ( PG MEC/ U FF )
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
MODELAGEM
DOS
FENÔMENOS
DE
LIBERAÇÃO
E
ABSORÇÃO
DE
GÁS
EM
ESCOAMENTOS
DE
LÍQUIDO-GÁS
NUM
CONTEXTO
TERMODINAMICAMENTE
CONSISTENTE
AGNALDO
BORGES
DA
SILVA
Tese de Doutorado aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:
Prof. Felipe Bastos de Freitas Rachid (D.Sc.)
UFF - Universidade Federal Fluminense
(Orientador)
Prof
aMaria Laura Martins Costa(D.Sc.)
UFF - Universidade Federal Fluminense
Prof. Heraldo Silva da Costa Mattos (D.Sc.)
UFF - Universidade Federal Fluminense
Prof. Rogério Martins Saldanha da Gama (D.Sc.)
UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Prof. Luiz Nelio Henderson Guedes Oliveira (D.Sc.)
DEDICATÓRIA
Aos Meus queridos pais, Severina e João “ in memoriun” Ao Meu filho Hugo.
Agradecimentos
Inicialmente, ao Poder Superior “Deus”.
Ao amigo, professor e competente orientador Felipe Bastos de Freitas Rachid,
pelo constante estímulo, ensinamentos e orientação dedicada e incansável.
Agradeço, em especial, à coordenação do PGMEC da UFF pela confiança, apoio
e oportunidade para conclusão deste trabalho, bem como, a todo o corpo docente da
Universidade Federal Fluminense - PGMEC, seus dirigentes, professores e funcionários,
por propiciarem as condições e o ambiente para a minha formação.
Aos meus pais Severina e João “ in memoriun” pelo apoio e carinho.
Ao meu filho Hugo Picole pela motivação e estímulo.
Aos amigos incentivadores, Rogério, Alex, Simone, Tatiane, Sergio Souto, e
Eng. Raul pela valiosa colaboração e constante apoio.
Aos colegas alunos pelo constante estímulo.
A minha completa família pela paciência e incentivo.
RESUMO
Este presente trabalho apresenta um modelo termodinamicamente consistente para
descrever o fenômeno de liberação e absorção de gás em escoamentos do tipo líquido-gás
homogêneos sujeitos à transformações isotérmicas. A mistura de líquido-gás é considerada
como um pseudofluido, cujo comportamento constitutivo é obtido a partir de dois
potenciais termodinâmicos – a energia livre de Helmholtz e um pseudo-potencial de
dissipação. Devido à inclusão da concentração de gás dissolvido no líquido na lista de
variáveis de estado e da massa específica dos constituintes do líquido e do gás, deriva-se
uma expressão simples e adequada para a taxa de transferência de massa de gás. Além de
satisfazer, incondicionalmente, a Segunda Lei da Termodinâmica, a expressão proposta é
capaz de descrever adequadamente os dados experimentais disponíveis na literatura com
grande precisão, para uma faixa relativamente grande de valores de pressão de saturação.
Simulações numéricas realizadas para misturas de ar-água, sujeitas a um ciclo simples de
expansão e a ciclos combinados com cargas cíclicas de expansão-contração, ilustram a
influência da liberação de gás na resposta mecânica da mistura, a qual exibe dispersão,
atenuação como também histerese.
Palavras-chave: Escoamentos de líquido-gás, liberação de gás, absorção de gás, gás livre, teoria das
ABSTRACT
This work presents a consistent thermodynamic model to describe the gas release and gas
absorption phenomenon in homogeneous liquid-gas flows undergoing isothermal
transformations. The liquid-gas mixture is regarded as a pseudo-fluid whose constitutive
behavior is obtained from two thermodynamic potentials – the Helmholtz free energy and a
pseudo-potential of dissipation. Thanks to the inclusion of the concentration of dissolved
gas in the liquid in the list of state variables, along with the gas volume fraction and the
mass densities of the liquid and gas constituents, a suitable and simple expression for the
rate of mass transfer of gas release is derived. Besides of unconditionally satisfying the
Second Law of the Thermodynamics, the proposed expression is capable to properly
describe experimental data available in the literature with great accuracy for a relatively
wide range of saturation pressures. Numerical simulations carried out for an air-water
mixture, subjected to a single expansion and cyclic expansion-contraction loadings,
illustrate the influence of the gas release on the mechanical response of the fluid, which
exhibits dispersion and attenuation and also hysteresis.
Keywords: Liquid-gas flows, gas release, gas absorption, free gas, thermodynamics internal variables
LISTA DE SÍMBOLOS
A área da seção transversal do duto a velocidade de propagação da onda
l
a velocidade de propagação de onda isotérmica no líquido
g
a velocidade de propagação de onda isotérmica no gás ˆ
a velocidade sônica da mistura
l
Bρ força termodinâmica associada à massa específica do líquido
g
Bρ força termodinâmica associada à massa específica do gás c
B força termodinâmica associada à concentração de gás dissolvido no líquido BΓ força termodinâmica associada à taxa de transferência de gás entre a fase líquida e
gasosa c
B& força termodinâmica irreversível Bα& força termodinâmica irreversível
Bα força termodinâmica associada à fração de vazio
C concentração (em massa) do gás dissolvido no líquido por unidade de volume de líquido
D diâmetro interno do duto
Cl calor específico do líquido à pressão constante
Cv calor específico do gás à volume constante
D taxa temporal de dissipação de energia f fator de fricção de Darcy-Weisbach
G aceleração da gravidade considerada constante
l
g energia específica de Gibbs do líquido
g
g energia específica de Gibbs do gás
H elemento do conjunto subdiferencial ou derivada generalizada
I matriz identidade K índice
N constante da equação
p pressão termodinâmica da mistura
s
p pressão de saturação do gás dissolvido
m
p pressão da mistura
0 p p
razão entre a pressão e a pressão de estagnação
g
p pressão do gás na mistura
l
p pressão do líquido na mistura Re número de Reynolds s coordenada espacial t tempo T Temperatura da mistura 0 T T
razão entre a temperatura e temperatura de estagnação
v Z
Velocidade
Letras Gregas
α fração volumétrica de gás na mistura (fração de vazio)
β
constante material positiva rβ coeficiente associado ao fenômeno de liberação de gás
a
β coeficiente associado ao fenômeno de absorção de gás
θ temperatura l auto valor
m viscosidade absoluta da mistura
ρ massa específica do fluido
ˆ
ρ massa específica da mistura homogênea
l
ρ massa específica do líquido
g
ρ massa específica do gás
Γ termo fonte, que representa a taxa de massa de gás liberado por unidade de volume
Y energia livre de Helmholtz por unidade de volume da mistura
′
Ψ função diferenciável
c
Ψ energia livre por unidade de massa do gás dissolvido na fase líquida
g
Ψ
energia livre por unidade de massa de gás
l
χ variável dependente relacionada ao tempo e espaço
⊗ produto tensorial ε rugosidade do tubo
τ força reativa ( viscosa) por unidade de área da seção reta do duto e por unidade de comprimento.
e
LISTA DE FIGURAS
Figura 4.1: As normas L das funções f , g e f2 −g e o erro relativo da norma L 2 entre f e g como uma função da pressão de saturação p 32 s
Figura 4.2: As funções f (experimental) e g (proposta) dadas pelas equações (4.2) e (4.6) como uma função da pressão p para diferentes valores da pressão de saturação
42.48;52.48;125
s
p = kPa 34
Figura 5.1: A velocidade de frente de ondas a como uma função da fração volumétrica de gás α para diferentes valores de pressão: p=2.34;10;1.000;10.000kPapara uma mistura de ar-água na temperatura ambiente 36
Figura 5.2: Função de entrada prescrita ∇.v =∇·.v
( )
t como uma função do tempo 38Figura 5.3(a): Históricos da fração volumétrica de gás α para a Eq. experimental (Eq. (4.1)) referente às expressões para a liberação de gás para diferentes pressões de saturação
42.48;52.48;125
s
p = kPa e para a não liberação de gás 40
Figura 5.3(b): Históricos da pressão normalizada p / p para a equação experimental (Eq. 0
(4.1)) e para a equação proposta (Eq. (4.5)) referente às expressões para a liberação de gás
para diferentes pressões de saturação ps =42.48;52.48;125kPa e para a não liberação de gás 41
Figura 5.4(a): Históricos da massa específica normalizada ρ ρˆ / 0 para a equação
experimental (Eq. (4.1)) referente às expressões para a liberação de gás para diferentes pressões de saturação ps =42.48;52.48;125kPa e para a não liberação de gás 42
Figura 5.4(b): Históricos da velocidade da frente de onda normalizada a a para a equação / 0 proposta (Eq. (4.5)) referente às expressões para a liberação de gás para diferentes pressões de saturação ps =42.48;52.48;125kPa e para a não liberação de gás 43
Figura 5.5: Históricos da taxa de liberação de gás para a equação experimental (Eq. (4.1)) e a equação proposta (Eq. (4.5)) referente às expressões para a liberação de gás para diferentes pressões de saturação ps =42.48;52.48;125kPa 44
Figura 5.6: Históricos da fração volumétrica de gás α em função do tempo t computada com a expressão de liberação de gás (Eq.(4.5)) para pressão de saturação de ps =125.0kPa e para diferentes velocidades: U =0.8;1, 6; 3.2m s/ 46
Figura 5.7(a): Pressão normalizada p p em função do tempo t para pressão de / 0
saturação ps =125.0kPa e diferentes velocidades U =0.8;1, 6; 3.2m s/ 47
Figura 5.7 (b): Pressão normalizada p p em função da fração volumétrica de gás / 0 α computada com a expressão proposta (Eq. (4.5)) para pressão de saturação ps =125.0kPa e diferentes velocidades U =0.8;1.6; 3.2m s/ 48
Figura 5.8(a): Históricos da massa específica normalizada ρ ρˆ / 0 como uma função
do tempo t computada pela expressão proposta de liberação de gás (Eq. (4.5)) e pressão de saturação ps =125.0kPa para diferentes velocidades U =0.8;1.6; 3.2m s/ 49
Figura 5.8 (b): Históricos da massa específica normalizada ρ ρˆ / 0 computada pela expressão proposta para liberação de gás (Eq. (4.5)) e pressão de saturação ps =125.0kPa para diferentes velocidades U =0.8;1.6; 3.2m s/ 50
Figura 5.9(a) : Velocidade da frente de onda normalizada a a em função do tempo t / 0
computada com a expressão proposta de liberação de gás na (Eq. (4.5)) e para pressão de saturação ps =125.0kPa e diferentes velocidades U =0.8;1.6; 3.2m s/ 51
Figura 5.9(b) : Velocidade da frente de onda normalizada a a em função da fração / 0 volumétrica de gás α computada com a expressão proposta de liberação de gás na (Eq. (4.5)) e para pressão de saturação ps =125.0kPa e diferentes velocidades
0.8;1.6; 3.2 /
U = m s 52
Figura 5.10 (a): Massa de gás liberada por unidade de volume em função do tempo t computada com a expressão de liberação de gás proposta na Eq. (4.5) para pressão de saturação ps =125.0kPa e para diferentes velocidades U =0.8;1.6; 3.2m s/ 54
Figura 5.10 (b): Massa de gás liberada por unidade de volume em função fração volumétrica de gás α computada com a expressão de liberação de gás proposta na Eq. (4.5) para pressão de saturação ps =125.0kPa e para diferentes velocidades
0.8;1.6; 3.2 /
U = m s 54
Figura 5.11 (a) : Taxa de dissipação de energia por unidade de volume
(
3)
/
BΓΓ W m em função do tempo t computada com a expressão de liberação de gás proposta na Eq. (4.5)
para pressão de saturação ps =125.0kPa e para diferentes velocidades 0.8;1.6; 3.2 /
U = m s 56
Figura 5.11 (b): Taxa de dissipação de energia por unidade de volume BΓΓ
(
W m/ 3)
em função fração volumétrica de gás α computada com a expressão de liberação de gás proposta na (Eq. (4.5)) para pressão de saturação ps =125.0kPa e para diferentes velocidades U =0.8;1.6; 3.2m s/ 58LISTA DE TABELAS
SUMÁRIO
1. Introdução 1
1.1 Motivação e objetivo 1
1.2 Organização do trabalho 7
2. Equações de balanço e hipóteses fundamentais 9
3. Teoria constitutiva 16
3.1. Leis de estado e energia livre de Helmholtz 16
3.2. Pseudopotencial de dissipação e leis complementares 19
3.3. Equações constitutivas 22
4. Ajuste dos coeficientes constitutivos com os dados experimentais 27
5. Simulação numérica 35
5.1. Expansão simples 39
5.2. Ciclo de expansão – contração 45
6. Conclusões e sugestões 59
Capítulo 1
Introdução
1.1 Motivação e objetivo
Líquidos são conhecidos por serem capazes de absorver certa quantidade de gás em
contato com sua superfície. Através de um processo difusivo, o gás se dissolve no líquido
permanecendo lá, a menos que sua temperatura seja elevada acima do ponto de ebulição ou
sua pressão diminuída para um valor abaixo da pressão de saturação do gás dissolvido.
Este último processo normalmente é conhecido como liberação de gás ou, alternativamente,
como cavitação gasosa. O gás sai da solução em forma de pequenas bolhas, que são
carregadas pela corrente do fluido como gás livre ou migram em direção à superfície livre
ou se dirigem para as partes superior do sistema onde o líquido é confinado formando
pequenas cavidades discretas. Escoamentos externos, bem como internos, podem estar
sujeitos à cavitação gasosa sob regimes permanentes ou transientes. Regiões de fronteira de
superfícies sólidas em contato com líquidos, vórtices, turbulência e ondas de expansão
transientes são alguns dos exemplos típicos de fontes responsáveis por provocar o
fenômeno de liberação de gás.
Quando fenômenos de propagação de ondas estão envolvidos, a presença de gás
livre em suspensão no líquido, mesmo que seja em pequenas quantidades, é responsável
pela redução da velocidade da frente de onda no meio e por também, atenuar os picos de
distintas, vários pesquisadores (Wood, 1930; Marchal, 1962; Semenov & Kosterin, 1964;
Drumheller et al. , 1982; Henry et al., 1971; Capriz & Cohen, 1983; Temkin, 1992; Wylie
& Streeter, 1993; Drew & Passman, 1999) mostraram que a velocidade da frente de onda
torna-se altamente dependente da pressão do fluido de forma não-linear. Dependendo da
quantidade de gás livre e dos níveis de pressão, a velocidade de onda pode alcançar valores
comparáveis à velocidade do fluido, dando margem a ocorrência de ondas de choques.
Adicionalmente, sempre que a pressão do fluido cai abaixo da pressão de saturação do gás,
gás dissolvido se desprende aumentando a quantidade de gás livre na mistura e
introduzindo efeitos adicionais relevantes de dispersão e atenuação (Wiggert & Sundquist,
1979; Baasiri & Tullis, 1983; Chaudry et al., 1990; Wylie & Streeter, 1993).
Com o foco nas aplicações práticas de engenharia, os problemas mais relevantes nos
quais a cavitação gasosa desempenha um papel importante são aqueles associados com
escoamentos transientes de fluidos em sistemas de tubulações. Exemplos típicos incluem
sistemas de distribuição de água, redes de esgotos, sistemas de tubulação de reatores
nucleares e tubulações de alimentação de aeronaves (Swaffield , 1972; Wylie & Streeter ,
1993; Bergant et al. , 2006). A relevância destas aplicações parece ser responsável por
concentrar a grande maioria dos trabalhos científicos relacionados à cavitação gasosa e ao
gás livre neste contexto específico (Swaffield, 1972; Kranenburg, 1974; Wiggert &
Sundquist, 1979; Baasiri & Tullis, 1983; Wylie, 1984; Chaudry et al., 1990; Hadj-Taieb &
Lili, 1998; Kessal & Bennacer, 2005; Cannizzaro &Pezzinga, 2005).
Uma vez que a cavitação gasosa, em geral, precede e influencia a cavitação
vaporosa (fenômeno no qual o líquido é transformado em vapor sempre que a pressão cai
fenômenos de formas simultâneas (Kranenburg, 1974; Wiggert & Sundquist, 1979; Baasiri
& Tullis, 1983; Wylie, 1984), apesar de terem escalas de tempo bastante distintas.
Enquanto que a liberação de gás acontece na escala da ordem de segundos, a cavitação
vaporosa é um processo mais rápido ocorrendo em alguns microssegundos. Da mesma
forma que o gás livre e cavitação gasosa, existem outros fenômenos responsáveis pela
atenuação de ondas em escoamentos de fluidos em regime transientes. (Bergan et al., 2008
a,b).
Em contraste com os problemas relacionados à influência do gás livre na
propagação de ondas em misturas de líquido-gás para o qual existe uma quantidade
significante de trabalhos experimentais e teóricos (Wood, 1930; Marchal, 1962; Semenov
& Kosterin, 1964; Swaffield , 1972; Drumheller et al., 1982; Capriz & Cohen, 1983;
Chaudry et al., 1990; Wylie & Streeter, 1993; Freitas Rachid, 2006), apenas alguns destes
são dedicados ao fenômeno da cavitação gasosa. Com relação aos trabalhos experimentais
relacionados com a medição de gás liberado, Schweitzer & Szebehely (1950), Wiggert
&Sundquist (1979), Baasiri & Tullis (1983) e Zielke et al. (1990) são os mais relevantes.
Enquanto que nos três primeiros trabalhos o gás liberado é monitorado fundamentalmente
durante a cavitação vaporosa, nos últimos, os autores se preocuparam apenas com o
processo de liberação de gás evitando pressões abaixo da pressão de vapor do líquido usado
em seus experimentos. Os trabalhos teóricos lidando com a liberação de gás dentro do
contexto da análise de transientes fluidos em sistemas de tubulações são restritos a poucos
números de estudos como (Kranenburg, 1974; Wiggert & Sundquist, 1979; Wylie &
Para acomodar os efeitos do gás livre na propagação de ondas, todos estes trabalhos
consideram como premissa básica a existência de pequenas quantidades de gás livre
distribuídas ao longo do escoamento, admitindo que estes escoamentos são homogêneas e
isotérmicos. Uma vez que o líquido e o gás livre compartilham da mesma velocidade e
temperatura, apenas as equações de balanço de massa e conservação de quantidade de
momento são necessárias para a mistura como um todo, junto com uma equação de balanço
de massa para o gás livre na fase gasosa. Complementadas com as equações constitutivas
para o líquido e para o gás livre (o qual é assumido ser um fluido barotrópico sob a mesma
pressão), estas equações formam um conjunto de três equações diferenciais parciais
hiperbólicas não lineares para os campos de pressão, velocidade e fração volumétrica de
gás.
A cavitação gasosa é normalmente levada em consideração como um termo fonte
não negativo na equação de balanço de massa para o gás livre. Isso é equivalente a assumir
um processo de única direção de liberação de gás, uma vez que o processo reverso (i. e., o
fenômeno de absorção de gás), acontece em escala de tempo maior que à associada à
liberação de gás (Baasiri & Tullis, 1983; Wylie & Streeter, 1993). Esta hipótese implica
que o gás liberado fica como gás livre, ou em cavidades, e não volta a se dissolver com um
subsequente aumento de pressão. Uma vez que somente uma pequena quantidade de gás
dissolvido, efetivamente se desprende durante a vida da maioria dos sistemas transientes
assume-se normalmente que a massa de gás dissolvida permaneça constante e igual ao
valor inicial durante um evento de transiente.
Uma das primeiras tentativas de se derivar uma expressão para a taxa de gás
governada pela difusão convectiva do gás dissolvido no fluido em forma de bolhas, o autor
fez uso das equações da dinâmica para uma bolha esférica, considerando na hipótese um
grande número de Peclet para expressar a taxa de liberação de gás em termos de três
parâmetros: a diferença de concentração do gás dissolvido distante da bolha (concentração
da saturação do gás dissolvido) e da superfície da bolha, a velocidade relativa entre a bolha
e o fluido e, finalmente, o raio da bolha.
Sete anos mais tarde, extendendo implicitamente a lei de Henry para estados de não
equilíbrio, Kranenburg (1974) reescreveu a expressão de liberação de gás proposta
anteriormente por Van Wijngaarden (1967). O autor substituiu a diferença da concentração
de gás dissolvido pela diferença entre a pressão de saturação e a pressão instantânea do
fluido. Como consequência, surgiu na expressão proposta a constante de proporcionalidade
da lei de Henry. Fazendo uso dos valores disponíveis para o número de bolhas por unidade
de volume do fluido e da velocidade relativa entre a bolha e o fluido, Kranenburg (1974)
fez simulações numéricas envolvendo transientes de pressão na presença de cavitação
vaporosa e gasosa para investigar a influência do primeiro sobre o último.
Reconhecendo as incertezas envolvidas no modelo de Kranenburg (1974), e também
a necessidade de formulações com melhor fundamento físico e mais precisas, Wiggert &
Sundquist (1979) simplificaram a expressão proposta por Kranenburg (1974) admitindo
que a taxa de gás liberado depende, exclusivamente, da diferença de pressão anteriormente
mencionada, visto como uma medida do grau de supersaturação. Para completar sua
proposta de um modelo mais simples para a evolução da taxa de liberação de gás, Wiggert
& Sundquist (1979) introduziram um coeficiente de proporcionalidade, o qual foi ajustado
Usando a expressão simplificada proposta por Wiggert & Sundquist (1979), outros
trabalhos teóricos surgiram com a introdução de novos variantes no modelo do contexto
teórico descrito nos parágrafos anteriores. Aplicando estratégias distintas, Wylie & Streeter
(1993) and Kessal & Bennacer (2005) reduziram o número de equações de governo de três
para duas equações, mantendo como variáveis dependentes a pressão e a velocidade,
enquanto retendo o fenômeno de liberação de gás. Ao invés de concentrar no
desenvolvimento de novas expressões para a taxa de liberação de gás, quase todos os
trabalhos teóricos conduzidos estão envolvidos com a proposição de técnicas numéricas de
simulação para obter soluções aproximadas para problemas de valor inicial e de
contorno.(Kranenburg, 1974; Wiggert & Sundquist, 1979; Wylie & Streeter, 1993; Kessal
& Bennacer, 2005).
Para investigar pela primeira vez a dissipação não viscosa em escoamentos
transientes, Cannizzaro &Pezzinga (2005) propuseram um modelo bidimensional levando
em consideração a troca térmica entre o gás livre e o líquido circundante, bem como, o
fenômeno de liberação e absorção de gás. Foram consideradas as trocas de massas e trocas
térmicas na equação de balanço de energia para o gás livre e uma expressão para a taxa de
transferência de massa com base na extensão da lei de Henry para estados de não
equilíbrio, respectivamente. Após o ajuste dos coeficientes do modelo os autores realizaram
simulações numéricas as quais foram comparadas com os dados experimentais. Eles
concluíram que os dois mecanismos dissipativos nem sempre eram capazes de esclarecer
como um todo a dissipação observada.
Com o intuito de avançar no conhecimento teórico no campo da cavitação gasosa,
também, o fenômeno da absorção de gás, é proposto neste trabalho. Ele é derivado no
contexto da teoria de variáveis internas tendo como hipóteses básicas misturas homogêneas
de líquido-gás, sob transformações isotérmicas, conforme assumidas nos modelos
existentes. Além da massa específica do líquido e do gás livre, a fração volumétrica do gás
e a concentração de gás dissolvido na mistura líquida são tratadas como variáveis de estado.
Em adição às equações de balanço de massa e momento para a mistura como um todo e a
equação de balanço de massa para o gás livre, uma outra equação de balanço de massa para
o gás dissolvido foi considerada também.
Para conferir uma base termodinâmica consistente ao modelo, as equações
constitutivas são derivadas à luz da termodinâmica dos processos irreversíveis. Além da
energia livre de Helmholtz, é assumida a existência de um pseudopotencial de dissipação
do qual são obtidas as relações constitutivas para os mecanismos dissipativos. A restrição
associada à fração de volume de gás é tratada como uma propriedade material, tornando-se
uma parte efetiva das leis constitutivas. O efeito macroscópico dissipativo do fenômeno de
liberação e absorção de gás está caracterizado de tal forma que satisfaz incondicionalmente
a SLT. Fazendo uso de uma forma mais simples da energia livre de Helmholtz com relação
a concentração de gás dissolvido, uma nova expressão para a taxa de liberação de gás , bem
como de absorção de gás é proposta, sem considerar a extensão da lei de Henry a estados
de não equilíbrio.
1.2 Organização do trabalho
No capítulo 2 as equações gerais de balanço para um meio contínuo são apresentadas em
enumeradas e aplicadas de forma a obter as equações de balanço específicas para uma
mistura homogênea de líquido e gás como um todo. O capítulo 3 é dedicado à apresentação
da teoria constitutiva onde, inicialmente, as formas gerais de energia livre de Helmholtz e
do pseudopotencial de dissipação são postulados. Explorando consistentemente a
desigualdade da entropia usando a extensão do procedimento de Coleman-Noll (Coleman
& Noll, 1963; Eringen & Ingram, 1965; Green & Naghdi, 1965) são derivadas as leis de
estados. As hipóteses usuais associadas com o fenômeno de liberação e absorção de gás em
conjunto com evidências experimentais são adequadamente levadas em consideração,
conduzindo naturalmente a uma das mais simples formas do pseudopotencial de dissipação
para um pseudofluido Newtoniano. Um conjunto de equações constitutivas é em seguida
derivado no qual os processos dissipativos são somente devidos ao atrito viscoso e à
liberação e absorção de gás. Com a ajuda de uma técnica de otimização, os dados
experimentais de Zielke et al (1990) são usados no capítulo 4 para determinar os
coeficientes constitutivos da taxa de liberação de gás proposta derivada na Seção 3.3 deste
trabalho. Finalmente, deixando de lado os efeitos viscosos e o fenômeno de absorção,
simulações numéricas são realizadas e apresentadas no capítulo 5 para validar o modelo
proposto e destacar alguns efeitos importantes de liberação de gás no comportamento
mecânico do fluido.
Finalmente, são apresentadas no sexto capítulo as principais conclusões e algumas
Capítul
o 2
Equações de Balanço e Hipóteses Fundamentais
Considere 3
t
B ⊂¡ conjunto aberto o qual representa a configuração atual de um fluido contínuo no espaço vetorial euclidiano 3
¡ e seja Ι ⊂¡ um subconjunto aberto dos números reais , o qual representa um intervalo de observação. Para um dado referencial,
seja 3
t
B
∈ ⊂
x ¡ e t∈ΙΙΙΙ o vetor posição no instante de tempo respectivamente. A massa específica e os campos de velocidade na descrição Euleriana são representados por
( )
x tρ , e v x,
( )
t , respectivamente. Se Ω ⊂Bt representa uma região regular e suave do espaço representando um volume de controle e ∂Ω sua superfície cujo vetor normal unitário exterior é representado por n , então a forma integral da equação de balanço demassa é dada por:
v. n t
d
dv da = 0 B
dt
∫
Ωρ +∫
∂Ωρ ∀Ω ⊂ e t∈ΙΙΙΙ (2.1) Agora, considere T x,( )
t o tensor de tensão de Cauchy (simétrico) e g o vetor a aceleração da gravidade local. Assim, para qualquer referencial inercial a forma integral daequação de balanço de quantidade de movimento é dada por:
( )
v v v n T n g t d dv da = da + dv B dt∫
Ωρ +∫
∂Ωρ∫
∂Ω∫
Ωρ ∀Ω ⊂ .... e t∈ΙΙΙΙ (2.2)Representando a energia interna por unidade de volume por e
( )
x,t , o vetor fluxo de calor como q( )
x,t e a geração e a absorção de energia por unidade de volume como( )
r x,t , a forma integral da equação de balanço de energia pode ser expressa como:
( )
(
)
1 1 2 2 d e dv e da + . da = dt Ω ρ ∂Ω ρ ∂Ω + ∫
+ v.v∫
+ v.v v n ....∫
Tv - q n(
ρg . v + dvr)
Ω∫
∀Ω ⊂Bt e t∈ΙΙΙΙ (2.3) Finalmente, denotando-se a entropia por unidade de volume como s( )
x,t e a temperatura absoluta por θ( )
x,t , então a forma integral da SLT pode ser postulada como:( )
t d r sdv s da + da + dv B dt∫
Ω +∫
∂Ω ≥∫
∂Ω− θ∫
∂Ωθ ∀Ω ⊂ q.n v.n e t∈ΙΙΙΙ . (2.4) Considerando que T = - pI + S , no qual p( )
x, representa a pressão do t fluido, S x, t( )
é o tensor de tensão extra (simétrico) devido ao movimento é o tensor identidade de segunda ordem e que nas expressões anteriores são todos regulares, asseguintes formas locais das Eqs. (2.1-2.4) podem ser diretamente escritas como segue:
( )
0 . v t ρ ρ ∂ +∇ = ∂ (2.5)( )
v .(
v v + Ip)
.S + g t ρ ρ ρ ρ ∂ + ∇ ⊗ = ∇ ∂ , (2.6)(
)
1 1 2 2 e + e r t ρ ρ ρ ρ ∂ ∇ ∇ + ∂ + v.v + . + v.v + p v = . Sv - q g.v + , (2.7)( )
q . Sv . s r + t θ θ ∂ ∇ ≥ −∇ + ∂ , (2.8)para todo
( )
x,t ∈ ×Bt I.Quando as seguintes identidades,
( )
. χv χ .v + v. χ ∇ = ∇ ∇ para χ∈{
ρ, ,s e}
(2.9)(
)
(
( )
)
. ρv v ρv .v + ρ v v. ρ v ∇ ⊗ = ∇ ∇ + ∇ para todo χ∈{
ρ, ,s e}
(2.10) ∇( )
Sv =S.D + v. .S∇ , (2.11) ∇.(
ρv.v v)
= ∇. ( v(
ρ ⊗v) v =T)
ρv.( )
∇v v + v. .∇(
ρv⊗v)
, (2.12) . q .q q. 2θ θ ∇θ θ∇ ∇ = − , (2.13) são consideradas, as Eqs. (2.5-2.8) podem ser reescritas alternativamente como:ρ ρ&+ ∇ =.v 0, (2.14) ρv&= −∇ + ∇p .S + gρ , (2.15) r, .v .v S.D - .q + e e&+ ∇ = − ∇ +p ∇ (2.16) θ s
(
s .v)
q. θ .q +r θ ∇ + ∇ ≥ − − ∇ & , (2.17)para todo
( )
x,t ∈ ×Bt I, no qual D representa a parcela simétrica do gradiente de velocidade ∇v e χ& representa a derivada material da propriedade χ.Finalmente introduzindo a energia livre de Helmhotz por unidade de volume
: e s
ψ = −θ e substituindo a Eq. (2.16) na Eq. (2.17) a Segunda Lei da Termodinânica pode ser reescrita como a desigualdade de Claussius-Duhen como:
(
)
q. 0 : .v - S.D d p θs θ θ ∇ = − + ψ ∇ Ψ −& &+ − ≥ (2.18)A Equação. (2.18) define a taxa de energia dissipada por unidade de volume do
fluido d e faz distinção entre os processos possíveis
(
d≥0)
e impossíveis(
d<0)
. Processos que não violam a SLT são chamados de reversíveis quando(
d=0)
e irreversíveis quando(
d>0)
.As equações de balanço anteriores são válidas para um meio contínuo, mas também
para uma mistura homogênea como um todo. No caso do presente estudo, a mistura é
formada por um fluido de dois componentes, cujos constituintes são um liquido e um gás.
O gás existe livremente disperso como pequenas bolhas em suspensão bem como
dissolvido no líquido.
Tendo em mente que o gás liberado e absorvido estão restritos a pequenos
subdomínios localizados no domínio do escoamento (como nos pontos mais elevados das
tubulações, por exemplo), o gás livre está altamente disperso na fase líquida e tem a massa
específica muito menor que a do líquido, a hipótese de escoamentos homogêneos constitui
uma boa aproximação. Escoamentos homogêneos formam uma subclasse do escoamento
bifásico no qual não existe velocidade relativa significativa entre os constituintes das fases,
o que é equivalente a considerar que o liquido e o gás livre têm aproximadamente a mesma
velocidade (Graham, 1969; Ishii, 1975). Adicionalmente, quando ambos constituintes são
assumidos ter a mesma temperatura θ e a mistura é suposta sofrer uma transformação
isotérmica, sendo
(
θ&=0)
e(
∇ =θ 0)
conforme justificado por Hsieh & Plesset (1961), o problema pode ser termomecanicamente descrito pelas equações de balanço de quantidadede movimento, energia e a SLT para a mistura como um todo, ao invés de fazer para cada
mistura (Rajagopal & Tao, 1995; Drew & Passman, 1999). Como consequência, a mistura
de gás-líquido pode ser considerada como um pseudofluido compartilhando as propriedades
médias termomecânicas das duas fases. A nível macroscópico, estes constituintes são
assumidos coexistirem em cada ponto material e tempo.
Para levar em consideração adequadamente a liberação e absorção de gás, a
concentração de gás dissolvido no liquido c e a fração de volume de gás são
consideradas como variáveis internas. A concentração de gás dissolvido no liquido é
definida como sendo a quantidade de massa de gás dissolvida por unidade de volume de
líquido. A fração volumétrica de gás é definida como sendo a razão entre o volume de gás
livre em suspensão e o volume total da mistura. Uma vez que, por hipótese o gás livre
sempre está presente no fluido a fração volumétrica de gás está sujeita a seguinte restrição
( )
0 1,α∈ . Conforme veremos mais tarde, esta restrição é considerada no presente modelo como um comportamento constitutivo e é adequadamente considerada nas equações
constitutivas. Uma vez que, conforme implicitamente assumido anteriormente, não há
vapor junto com o gás livre em suspensão, a massa específica do fluido pode ser definida
como:
: (1 )( l c) g
ρ = −α ρ + +αρ , (2.19) na qual ρl e ρg representam a massa específica do liquido e do gás, respectivamente,
sendo ambos assumidos como sendo fluidos compressíveis.
Com base nas hipóteses fundamentais anteriormente listadas, apenas as formas
clássicas das equações de balanço, dadas pelas Eqs. (2.14), (2.15) e (2.18) bastam para
a troca de massa de gás entre as fases líquido e gasosa em conjunto com a Eq. (2.19), estas
equações de balanço podem ser reescritas da seguinte forma:
(1−α ρ ρ α)&l− l &+ −(1 α ρ) l∇.v =0 , (2.20) (1−α)c c&− α&+ −(1 α)c∇.v +Γ=0 , (2.21) αρ&g+ρ α αρg &+ g∇.v -Γ=0, (2.22) (1−α)
(
(
ρl+ −c)
αρg)
+ = −∇ + ∇v& p .S + gρ , (2.23) d:= −(
p+ ψ ∇)
.v -ψ +& S D. ≥0, (2.24)para todo (x, ) t ∈ ×Bt I, no qual Γ representa a taxa de transferência de massa por unidade de volume do fluido.
Quando Γ > 0, o gás dissolvido no liquido desprende-se do fluido na forma de gás
livre em suspensão. Por outro lado, quando Γ < 0 , o gás livre se dissolve no líquido.
Finalmente quando Γ = 0, então não há troca de massa entre as fases gasosa e líquida e,
consequentemente, a massa de gás dissolvido no liquido e a massa de gás livre são
conservadas independentemente uma da outra. Para completar a descrição do problema,
deve-se acrescentar às equações de balanço relações constitutivas para a mistura. Elas
englobam expressões para , Sp e para Γ, as quais devem satisfazer integralmente a SLT dada pela Eq. (2.24), independentemente das ações externas e das condições de contorno e
Capítulo 3
Teoria Constitutiva
As relações constitutivas que descrevem o comportamento mecânico macroscópico
do pseudofluido são derivadas no contexto da termodinâmica dos processos irreversíveis.
Nesta teoria, uma vez o estado local do material tenha sido caracterizado por meio de uma
escolha apropriada de um conjunto de variáveis de estado, dois potenciais termodinâmicos -
a energia livre de Helmhotz e o pseudo potencial de dissipação - são suficientes para
derivar um conjunto completo de equações constitutivas. Para este problema em particular,
são escolhidos como variáveis de estado a massa específica local do líquido ρl e do gás g
ρ , a concentração de gás dissolvido como líquido c , a fração volumétrica de gás α e a temperatura absoluta θ. Conforme será visto mais adiante, a restrição associada com α é tratada nesse trabalho como uma propriedade física nas equações constitutivas. Esta
abordagem já foi usada por Fremond & Nicolas (1990) na modelagem de problemas de
absorção e adsorção em meios porosos saturados e mais recentemente por Freitas Rachid
(2003) e Freitas Rachid (2006) na modelagem de cavitação em escoamentos de fluidos
compressíveis e dos efeitos da tensão superficial em escoamentos de misturas homogêneas
3.1 Leis de estado e energia livre de Helmholtz
Seguindo-se a hipótese clássica da Termodinâmica dos Processos Irreversíveis, a
energia livre de Helmholtz por unidade de volume do fluido ψ é suposta ser uma função das variáveis de estado ρ ρl, g, , e c α θ . Uma vez que a mistura é tratada como um pseudofluido formado por dois constituintes, seu comportamento é suposto ser uma
combinação média das propriedades termomecânicas do líquido e gás, considerando α
como um fator de peso. Assim, a seguinte forma para Ψ é escolhida: (ρ ρl, g, , , ) :cα θ ′(ρ ρl, g, , , )cα θ I( )α Ψ = Ψ = ψ + (3.1) (ρ ρl, g, , , ) : (1cα θ α ρ) l l(ρ θl, ) (1 α)c c( )θ αρg g(ρ θg, ) ′ Ψ = − Ψ + − Ψ + Ψ , (3.2) 0, se (0,1) ( ) : , caso contrário. I α = α∈ +∞ (3.3)
Na expressão acima, Ψ′ é uma função suave a qual descreve as propriedades termomecânicas do pseudofluido, enquanto que o termo ( )I α representa a função indicatriz do conjunto convexo (0,1) (Moreau et al., 1988). O termo ( )I α é a parcela não suave da energia livre e é incluída para levar em consideração a restrição α∈(0,1) considerada como uma hipótese constitutiva. Em outras palavras, isto evita que assuma valores fora
do seu intervalo admissível, uma vez que seria necessário uma quantidade infinita de
energia para fazer isso.
Os termos Ψle Ψg representam as energias livres por unidade de massa do líquido e gás, respectivamente. Como sugerido por sua dependência funcional, estas energias livres
fossem considerados constituintes isolados. Finalmente, o termo Ψc denota a energia livre por unidade de massa de gás dissolvido, o qual é incorporado na energia livre da mistura
para levar em conta a liberação e absorção de gás. Por uma questão de simplicidade é
assumida como hipótese constitutiva que Ψc depende apenas da temperatura. As leis de estado para o pseudofluido, relacionando as componentes reversíveis das forças
termodinâmicas com as variáveis de estado, são obtidas do potencial de energia livre e são
definidas como seguem:
: (1 ) (1 ) l l l l l l p Bρ α α g ρ ρ ′ ∂Ψ = = − Ψ + = − ∂ , (3.4) : g g g g g g p Bρ α αg ρ ρ ′ ∂Ψ = = Ψ + = ∂ , (3.5) : (1 ) c c B c α ′ ∂Ψ = = − Ψ ∂ , (3.6) : , com ( ) Bα h h αI α α ′ ∂Ψ = + ∈∂ ∂ , (3.7) nas quais: g g l l c c ρ ρ α ′ ∂Ψ = Ψ − Ψ − Ψ ∂ , (3.8) 2 2 : l e : g. l l g g l g p ρ p ρ ρ ρ ∂Ψ ∂Ψ = = ∂ ∂ (3.9)
Nas equações acima, p e l p representam as pressões do líquido e do gás, g
(também chamada derivada generalizada) com relação a α da função convexa ( )I α . A subdiferencial da função indicatriz ( )I α em α é dada pelo conjunto (Ekeland & Teman, 1976; Moreau et al. , 1988); * * * ( ) : { ( ) ( ) ( ); (0,1)} I h I I h α α α α α α α ∂ = ∈ − ≥ − ∀ ∈ , (3.10) Um cálculo direto mostra que ∂αI(0< < =α 1) {0} e ∂αI( )α = ∅ se α∉(0,1). É importante notar que a restrição α∈(0,1) é de fato levada em consideração através da lei constitutiva dada pela Eq. (3.7), uma vez que esta relação implica que a subdiferencial
( ) I
α α
∂ não seja um conjunto vazio.
Uma vez escolhida a forma de Ψ′ na Eq. (2.26), é possível computar sua derivada material ψψψψ& a qual aparece na Eq. (2.24). Tendo em mente que as derivadas do tempo devem ser derivadas à esquerda de forma a atender o princípio do determinismo, resulta
que: 0 ( ( )) ( ( )) lim l g t l g I t I t t c c t α α ρ ρ α ρ ρ α ∆ → ′ ′ ′ ′ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ − − ∆ ψ = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∆
& & & & & , (3.11)
Ao se computar ψ& deve-se ter cuidado uma vez que Ψ não é uma função suave. Pelo uso da definição de subdiferencial pode-se mostrar que:
0 ( ( )) ( ( )) lim 0, ( ( )) t I t I t t h h I t t α α α α α ∆ → − − ∆ ≤ = ∀ ∈∂ ∆ & . (3.12)
Quando é usada a expressão acima na Eq. (3.11) com as leis de estado mostradas nas Eqs.
(3.4-3.7), a Eq. (2.24) pode ser reescrita da seguinte forma:
(
)
: .v + S . D - l l c g g 0
De forma a obter um conjunto completo de equações constitutivas, basta especificar
um pseudopotencial de dissipação do qual as leis complementares são derivadas de tal
forma que a versão local da SLT dada pela Eq. (2.24) ou (3.13), seja sempre satisfeita
independentemente das condições iniciais e de contorno.
3.2 Pseudopotencial de dissipação e leis complementares
Para introduzir o comportamento irreversível do pseudofluido e também assegurar
que a SLT seja sempre satisfeita, admite-se a existência de um pseudo potencial de
dissipação Φ o qual é uma função objetiva, diferenciável e convexa de D,c, ,& &α eBΓ. Além disso, admite-se que o pseudopotencial Φ
(
D,c, ,& &α BΓ; , ,α θc)
tem as seguintes propriedades:(
D, c, ,α BΓ; , ,α θc)
0Φ & & ≥ e Φ
(
0,0, 0 0; , ,, α θc)
=0 (3.14) qualquer que sejam os valores de D, c&, ,α& BΓ; , ,α θc .As informações adicionais associadas com o comportamento dissipativo do
pseudofluido são obtidas de Φ através das seguintes leis complementares:
: , : , : , : D c S B B c B α α Γ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ = = = Γ = ∂ ∂ ∂ ∂ & & & & (3.15) Além disso, se a taxa de dissipação de energia d é suposta ser da forma,
: S . D + c ( ) .v
d = B c + B&& α&α&+ BΓΓ −I α ∇ , (3.16) então, obtém-se da propriedade de convexidade de Φ, para qualquer evolução real (Berger, 1977), que:
(
)
(
)
: S . D + c D, , , ; , , 0,0, 0 0; , , .
d = B c + B&& α&α&+ BΓΓ ≥ Φ c&α& BΓ α θc − Φ , α θc (3.17) Em vista da Eq. (3.14), é fácil verificar que d≥0 para qualquer evolução real do pseudofluido e, desta forma, a SLT dada pela Eq. (2.24) é sempre satisfeita. Do ponto de
vista mecânico, a Eq. (3.16) estabelece que a taxa de energia dissipada é de fato a soma de
quatro parcelas. A primeira parcela no lado direito da Eq. (3.16) é clássica e é devido aos
efeitos viscosos. As próximas três parcelas refletem a mudança de energia interna da
mistura. O quinto e o último termo não expressa nenhuma dissipação uma vez que
( ) 0
I α = para α∈(0,1). Este termo foi incorporado na dissipação para dar coerência ao modelo. Isto significa que para forçar α sair do intervalo (0,1) seria necessário ou uma
quantidade infinita de energia ou então a SLT seria violada.
As hipóteses constitutivas assumidas até o momento são suficientes para
parcialmente caracterizar o comportamento mecânico do pseudofluido. Uma vez que as
equações de balanço de massa dadas pelas Eqs. (2.20) e (2.21), em conjunto com a Eq.
(2.22), definem subespaços do espaço linear definido por v, ρ ρ& & & e l, g,c α, então a fim de que a Eq. (3.13) seja igual a Eq. (3.16) para qualquer evolução real , deve-se ter:
( )
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
( ) . . . (1 ) (1 ) . (1 ) (1 ) . v S D S.D + v + v v g l c l g c l l l g g g p B B B c B B B c B I c c c ρ ρ α α ρ ρ α α α η α ρ ρ α α ρ ξ α αρ ρ α α αρ Γ − + Ψ ∇ + − − − − = + + Γ − ∇ − − + − ∇ + − + + − + − + ∇ & && & & & & &
& &
& & &
(3.18)
nas quais, η e ξ são multiplicadores de Lagrange. Uma vez que a Eq. (3.18) vale para qualquer evolução independente de v, ρ& & & e l, ρ ,cg α& tem-se que:
(
)
(1 ) l g (1 ) g ( ) p η α ρ ξ αρ α c αρ BΓ I α 0 − − Ψ − − − + − − + = , (1 ) 0 l Bρ η α − − − = , g Bρ ξα αBΓ 0 − − − = , ) g g l Bα Bα ξρ ρ BΓ ηρ ξc 0 − − &− − + + = , (1 ) c c B B ξ α 0 − − &− − = (3.19)Uma vez que α∈(0,1) por hipótese, η e ξ podem ser eliminadas das equações anteriores, rendendo as seguintes relações entre as forças termodinâmicas:
(1 ) l g c, p= −α p +αp +cB& (3.20) , (1 ) c g l cB Bα p p α = − − − & & (3.21) . (1 ) c c g B B g α Γ = Ψ − + − & (3.22)
A importância do uso da extensão do procedimento de Coleman-Noll (Coleman &
Noll, 1963; Eringen & Ingram, 1965; Green & Naghdi, 1965) torna-se claro uma vez que
este permite estabelecer relações intrínsicas não triviais entre as forças termodinâmicas
dadas pelas Eqs. (3.20-3.22).
Com exceção dos termos em que figuram a força termodinâmica c
B&, no lado direito
das Eqs. (3.20-3.22), estas relações estabelecem que a pressão da mistura é a média
ponderada (pela fração volumétrica de gás) entre as pressões no líquido e gás livre , a força
diferença entre as pressões no líquido e no gás, e finalmente, que as forças termodinâmicas
associadas à taxa de transferência de massa de gás entre as fases líquida e gasosa é igual a
diferença de energia livre desse constituinte nas respectivas fases.
3.3 Equações constitutivas
As restrições impostas ao potencial de energia livre e ao pseudopotencial de
dissipação apresentado nas seções anteriores asseguram que a SLT será sempre satisfeita.
Embora tais condições sejam fundamentais para se obter coerência termodinâmica, elas não
são suficientes para garantir total fidelidade na reprodução do fenômeno de cavitação
gasosa. O sucesso desta etapa se baseia no conhecimento do problema físico, geralmente,
adquirido com base em descobertas experimentais.
Levando-se em consideração os resultados experimentais disponíveis na literatura,
formas específicas são prescritas para ambos potenciais termodinâmicos de forma a se obter
as equações constitutivas desejadas. Uma vez que as funções Ψl(ρ θl, ), Ψg(ρ θg, ), Ψc( )θ
e Φ
(
D, c&, ,α&BΓ; , ,α θc)
sejam especificadas as Eqs. (28-31), (39) e (44 a 46) formam um conjunto completo de equações constitutivas.As formas de Ψl e Ψg são as responsáveis por descrever o comportamento
mecânico reversível do líquido e do gás livre como constituintes isolados e independentes.
Assumindo que o líquido e o gás livre são substâncias compressíveis simples, estas
energias livres podem ser postuladas como:
2 ( , ) : log log o l l l l l l l l C a ρ ρ θ θ θ ρ ρ Ψ = Ψ = − + + , (3.23)
2
( , ) : log log
g g ρ θg Cgθ θ ag ρg
Ψ = Ψ = − + (3.24) Nas expressões acima, C e l Cg, são assumidos ser constantes. Eles representam os
calores específicos à volume constante do líquido e do gás livre, respectivamente. Os
parâmetros materiais, 2 , o l al ρ e 2 g
a , são dependentes da temperatura, sendo os dois últimos o
quadrado da velocidade de propagação da onda isotérmica no meio líquido e no gás,
respectivamente.
Sem perda de generalidade, admitindo-se que ambos os constituintes se comportam
com fluidos Newtonianos, uma escolha simples e adequada para Φ é da forma:
(
)
(
( )
)
2 2 2 , , ; , , : 2 2 2 D, D D.D + r nr a na r a c B c tr B B n n β β λ α Γ α θ µ Γ Γ Φ && = + + − (3.25)no qual βk =βk
( )
c,θ e nk =nk( )
θ , com k∈{ }
a r, , são constantes materiais positivas,com nk >1 / 2, associado com o fenômeno de liberação
(
k=r)
e absorção de gás(
k=a)
e λ λ α=( )
, µ µ α=( )
são propriedades médias entre respectivamente, λl e λg e entre µleg
µ tendo α como um fator de peso. Estes parâmetros materiais são tais que µ≥0 e 2 / 3 0
λ+ µ≥ . O termo χ representa o valor máximo entre zero e χ, i. e.,
{ }
: max 0,
χ = χ . Uma vez que a Eq. (3.25) satisfaz o conjunto de condições impostas na Seção 3.2 e na Eq. (3.14), a Segunda Lei da Termodinâmica dada pela Eq. (2.24) é
incondicionalmente satisfeita.
Os dois primeiros termos na Eq. (3.25) são clássicos e expressam o comportamento
do fluido Newtoniano, no qual, neste caso, é suposto ser uma mistura das propriedades do
da estrutura interna do fluido associada com a liberação e absorção do gás. Uma vez que,
por hipótese, Φ dado pela Eq. (3.25) não depende de c& e α& tem-se pela Eq. (39) que
c
B&=0 e Bα&=0. Esta hipótese tem como consequência a inexistência de leis de evolução para c& e α&, resultando em modelos mais simples. Com o resultado, baseado nas Eqs. (3.15) e (3.20-3.22), a escolha específica expressa pelas Eqs. (3.23-3.25) formam as
seguintes equações constitutivas:
l g p= p = p , (3.26)
( )
S=λtr D I +2µD, (3.27) 2nr 1 2na 1 r cg
g ag
g cβ
−β
−Γ =
Ψ −
−
−Ψ
(3.28) na qual: 2 ( o) l l l l p =a ρ ρ− e pg =a2gρg. (3.29)As Eqs. (3.29) expressam a pressão no gás livre e líquido respectivamente, as quais,
em virtude da Eq. (3.26), são iguais e caracterizam a pressão no fluido. Devido a natureza
da relação funcional empregada na Eq. (3.28) é fácil verificar que Γ pode ser tal que 0
Γ ≥ ou Γ ≤0. Em outras palavras, o fenômeno de liberação de gás é considerado, bem como o processo reverso de absorção de gás. A transferência de massa pode ocorrer do gás
dissolvido no líquido para o gás livre em suspensão no fluido e vice-versa. Embora a escala
de tempo do fenômeno de absorção de gás seja muito maior do que o de liberação, ambos
os processos podem ser representados pela teoria proposta dentro do mesmo contexto, ao
os modelos existentes, (Kranenburg , 1974; Wiggert & Sundquist , 1979; Kessal &
Bennacer , 2005). Levando-se em consideração que o tempo característico do processo de
absorção de gás é muito mais longo, este fenômeno pode, para fins de aplicações práticas,
ser ignorado.
Conforme pode-se ver na Eq. (3.28), a liberação de gás é ativada sempre que a
energia livre do gás dissolvido no líquido for maior do que a energia livre de Gibbs do gás
livre, isto é, Ψ >c gg. Por outro lado, se gg > Ψc o fenômeno reverso de absorção de gás é ativado. Não havendo nem a liberação nem a absorção de gás Γ =0, e a pressão no fluido é igual a pressão de saturação do gás dissolvido, ou seja, p= ps. Quando este resultado é
considerado na Eq. (3.28), junto com as Eqs. (2.29), (3.26) e (3.29), uma forma possível
para a energia livre do gás dissolvido surge naturalmente:
2 2 2 lo g log s c g g g g p C a a a θ θ Ψ = − + + (3.30) A forma específica da Eq. (3.30) é uma consequência de duas hipóteses básicas: o
gás livre se comporta como um gás perfeito e Ψc depende, exclusivamente, da temperatura. Como resultado, a pressão de saturação, também, deverá depender apenas da
temperatura, isto é, ps = ps
( )
θ .Finalmente, a substituição da Eq. (3.30) na Eq. (3.28), permite reescrever a taxa de
transferência de gás dissolvido no líquido, para a fase gasosa e vice-versa em termos da
pressão de saturaçãopse da pressão do fluido p como segue:
( )
2 2 1 2 1( )
2 2 1 2 1 log log a r r a n n n n s r g a g s p p a a p p β β − − − − Γ = − , (3.31)no qual, ag =ag
( )
θ , βk =βk( )
c,θ e nk =nk( )
θ , com k∈{ }
a r, . A Eq. (3.31) indica que ogás se desprenderá do líquido sempre que a pressão da mistura cair abaixo da pressão de
saturação (p< ps). Por outro lado, o gás se dissolverá no líquido sempre que a pressão da mistura for maior que a pressão de saturação
(
p> ps)
, ambas as situações estão de acordo com os resultados experimentais.A pressão de saturação, a qual é um parâmetro constitutivo no modelo proposto
neste trabalho, está relacionada com a concentração de saturação do gás no líquido, através
da lei de Henry (Sander, 1999). Esta lei estabelece que a quantidade de gás dissolvido no
líquido é diretamente proporcional a pressão parcial do gás na fase gasosa em contato com
o líquido em equilíbrio termomecânico. Em termos matemáticos esta lei pode ser expressa
da seguinte forma:
, , , , e
v = 0 0 =
s H s
p =k c ⇔ c&=0α&=0θ&= ∇ =0 θ Γ 0 (3.32) no qual, kH =kH
( )
θ é o coeficiente de proporcionalidade da Lei de Henry, o qual depende da temperatura, para um par líquido-gás em consideração (Sander, 1999).Resumindo, para descrever consistentemente o fenômeno de liberação e absorção de
gás em escoamentos homogêneos e isotérmicos de misturas de líquido-gás para fluidos
Newtonianos, as equações constitutivas dadas pelas Eqs. (3.26), (3.27), (3.29), (3.31) e
(3.32) devem ser acrescentadas às equações de balanço dadas pelas Eqs. (2.20-2.23). Uma
vez que a relação constitutiva para um fluido Newtoniano é bem conhecida, a partir de
Capítulo 4
Ajuste dos coeficientes constitutivos com os dados
experimentais
As restrições e escolhas feitas até agora asseguram consistência do ponto de vista
termodinâmico, qualificando o modelo proposto às aplicações. Entretanto, elas não são
suficientes para garantir o sucesso na reprodução de resultados experimentais. Neste
capítulo apelar-se-á para dados experimentais disponíveis na literatura para verificar se a
escolha dos potenciais termodinâmicos são capazes de satisfazer o último requisito.
Para verificar a capacidade das expressões propostas para modelar a taxa de
liberação de gás, dada pela Eq. (3.31), na reprodução adequada do fenômeno físico,
recorrer-se-á ao uso dos dados experimentais de Zielke et al. (1990). Uma vez que a escala
de tempo do processo de liberação de gás é muito menor do que o de absorção, o primeiro é
considerado o processo de maior relevância em problemas de transientes hidráulicos. Os
autores realizaram estudos experimentais nos quais a liberação de gás em um tubo
conduzindo água foi induzida por uma rápida queda de pressão no sistema. A quantidade de
gás liberado foi determinada pela medição da concentração do teor de gás livre antes e
depois da queda de pressão em intervalos de tempos distintos.
Para obter uma boa precisão sobre a ampla faixa de valores de gás liberado, Zielke
