COMUTAÇÃO CONTROLADA DE SOLITÕES EM ACOPLADPRES DE FIBRA ÓPTICA

COMUTAÇÃO CONTROLADA DE SOLITÕES

EM ACOPLADPRES DE FIBRA ÓPTICA

Elizângela Furtado Fernandes

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof.Doutor Fernando Duarte Nunes Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa Vogal: Prof. Doutora Isabel Maria Silva Pinto Gaspar Ventim Neves

i

AGRADECIMENTOS

Durante a minha formação académica foram muitos os que contribuíram para o meu sucesso. Na impossibilidade de referir a todos, vou referir apenas aquelas cujas contribuições foram mais substanciais.

Em primeiro lugar agradeço a Deus pela força e coragem, por ter posto pessoas certas no meu caminho que me souberam ajudar e guiar nos momentos difíceis.

A minha família por todo amor e carinho, por me terem ajudado a concluir mas uma etapa, pelos incentivos que me foram transmitidos. Principalmente por terem acreditado em mim em especial ao meu pai que certamente estará orgulhoso da filha.

Ao Professor Doutor António Topa agradeço, para além da sua permanente disponibilidade e muito boa disposição demonstrada longo de todas as reuniões que tivemos, o modo como me apoiou durante todo o processo de realização desta dissertação.

Por fim, um agradecimento muito especial aos meus amigos dentro e fora do IST em especial a “mutxulada”,Jessica Joyce, Adelcio Rosa, Kathia Amarante,Dórise Lima e Indira Gandi por todo apoio, pela ajuda, pela companhia e pelos bons momentos passados.

A Todos os que contribuíram para que esta dissertação fosse possível, MUITO OBRIGADA!

iii

RESUMO

A presente dissertação tem como base o estudo da comutação em redes ópticas. Para tal encontra-se estruturada em três partes:

i. A primeira parte consiste no estudo da comutação em regime linear. Começa-se por apresentar a Equação que governa a propagação de impulso em regime linear onde é apresentada o método numérico através do qual é possível aferir da influência da DVG na propagação do impulso. É apresentada ainda a Equação de acoplamento em regime linear. A última parte da comutação em regime linear centra-se no estudo de um agregado de N de fibras ópticas, em particular de duas e três fibras onde foram identificados os coeficientes de transmissão de um acoplador half-beat e full-beat. Por fim, foi analisado o comportamento dos coeficientes de transmissão quando se está na presença de uma comutação assíncrona.

ii. A segunda parte consiste no estudo de comutação em regime não linear, onde é utilizada à Equação não-linear de Schrödinger (NLS) para analisar a propagação do sinal em regime não-linear. Foi utilizado ainda o método Split Step Fourier Method para simular o comportamento dos solitões ao longo da fibra. Por fim, é apresentada a Equação de acoplamento em regime não linear e analisada a influência da dispersão intermodal na comutação de solitões, bem como o efeito da modulação de fase cruzada (XPM). iii. A terceira e a última parte, consiste no estudo de comutação controlada de solitões onde

é estudada dois tipos de comutação: Auto-comutação e comutação controlada localmente.

v

ABSTRACT

This dissertation is based on the study of switching in optical networks. To this is structured into three parts:

i. The first part is the study of switching in the linear regime. It begins by presenting the equation that governs the propagation of pulse in the linear regime and the numeric method by which to is possible assess the influence of the DVG impulse propagation. The equation of linear coupling scheme is presented. The last part of this topic is focused on the study of an array of N optical fibers, in particular two-and three fibers where the transmission coefficients of a half -beat and full- beat coupler have been identified. Finally, we analyzed the behavior of the transmission coefficients when in the presence of an asynchronous switching.

ii. The second part is the study of switching in nonlinear regime, where the nonlinear Schrödinger equation (NLS) is used to analyze the signal propagation in nonlinear regime. The Split Step Fourier Method is use to simulate the behavior of solitons along the. Finally, the coupling equation for the in non- linear regime is presented and analyzed the influence of the modal dispersion in the soliton switching, as well as the effect of cross phase modulation (XPM), are analyzed.

iii. The third and last part of this thesis is the study of controlled switching of solitons studying two types of switching: self-routing switching and phase-controlled switching.

vii

ÍNDICE

AGRADECIMENTOS ... i RESUMO ... iii ABSTRACT ... v ÍNDICE ... vii LISTA DE FIGURAS ... ix LISTA DE SÍMBOLOS ... xi LISTA DE ACRÓNIMOS ... xv 1 Introdução ... 1 1.1 Enquadramento ... 1 1.2 Estado da arte ... 4 1.3 Objectivos ... 5 1.4 Estrutura da Dissertação ... 5 1.5 Principais contribuições ... 6

2 Comutação em Regime Linear ... 7

2.1 Equação de Propagação de Impulso ... 7

2.1.1 Simulação numérica ... 11

2.2 Acoplamento em Regime Linear ... 15

2.3 Agregados de Fibras ópticas ... 18

2.3.1 Agregado Linear de N Fibras Ópticas Idênticas ... 18

2.3.2 Acoplamento entre Duas Fibras ... 19

2.3.3 Agregado Linear de Três Fibras Ópticas Idênticas ... 26

2.3.4 Acoplamento Assíncrono ... 29

viii

3.1 Efeito Não-linear de Kerr numa Fibra Óptica ... 33

3.2 Equação de Propagação de Impulsos em Regime Não-linear ... 38

3.3 Solução Analítica da Equação NLS ... 41

3.4 Características do Solitão Fundamental ... 46

3.5 Equação de acoplamento óptico em regime não-linear... 49

3.6 Dispersão Intermodal na Comutação de Solitões em diferentes comprimentos de onda52 3.6.1 Acoplador no domínio da frequência ... 52

3.6.2 Algoritmo numérico ... 54

3.6.3 Comutação de solitões com diferentes comprimentos de onda ... 54

3.7 Modulação Cruzada de Fase ... 60

3.7.1 Equação de acoplamento não-linear de Schrödinger ... 62

3.7.2 Efeitos do alargamento espectral e temporal ... 63

4 Comutação Controlada de Solitões ... 68

4.1 Auto-Comutação ... 68

4.1.1 Simulação Numérica ... 69

Curvas de transmissão ... 69

Efeito da modulação cruzada de fase ... 72

4.2 Comutação Controlada Localmente ... 73

4.2.1 Simulação numérica ... 74

4.2.1.1 Optimização das curvas de transmissão ... 74

4.2.1.2 Efeito da modulação cruzada de fase ... 80

5 Conclusão ... 84

5.1 Principais conclusões ... 84

5.2 Perspectiva de trabalho futuro ... 85

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 1-Módulo da amplitude a entrada e a saída da fibra ... 14

Figura 2- a) Espectro do impulso gaussiano ao longo da fibra. b) Propagação do impulso gaussiano numa fibra óptica em regime linear. ... 15

Figura 3- Propagação de impulsos na fibra óptica 1(a) e na fibra 2 (b) vista 3D... 17

Figura 4- Propagação de impulsos na fibra óptica 1(a) e na fibra 2 (b) vista superior ... 18

Figura 5-Acoplamento entre duas fibras ópticas idênticas. ... 20

Figura 6-Coeficientes de transmissão, para a frequência da portadora ω =ω0 ... 24

Figura 7- Coeficientes de transmissão para um acoplador half-beat para s=6 ... 25

Figura 8-Coeficientes de transmissão para um acoplador half-beat s=9 ... 25

Figura 9-Agregado Linear de três fibras ópticas idênticas. ... 26

Figura 10-Coeficientes de transmissão para um agregado linear de três fibras ópticas idênticas ... 29

Figura 11- Coeficientes de transmissão para um acoplador assíncrono com diferentes valores para a condição de igualamento de fase ∆=0.8, ... 31

Figura 12- Coeficientes de transmissão para um acoplador assíncrono com diferentes valores para a condição de igualamento de fase

∆=

1

... 32

Figura 13- Desvio de frequência num impulso gaussiano causado pela AMF. ... 37

Figura 14-Desvio de frequência num impulso gaussiano provocado pela DVG, na zona de dispersão anómala. ... 38

Figura 15-a) Evolução do solitão fundamental ao longo da fibra óptica, 2b) Evolução do solitão de terceira ordem ao longo da fibra óptica. ... 46

Figura 16-Evolução de ( )t λ e t_x( )λ para fibra de dois núcleos idênticos ... 53

Figura 17-Coeficiente de transmissão T em função da potência de pico normalizada p para diferentes comprimentos de onda ... 55

Figura 18-Coeficente de transmissão em função da potência normalizada do pico de entrada para

T

e λ=1.58 mµ obtida através do modelo comum e do novo modelo que considera a dispersão intermodal. ... 56

Figura 19-Coeficiente de transmissão T em função de comprimento de onda

λ

,para p=3e p=9 com dispersão intermodal. ... 57

Figura 20-Sinal a saída do acoplador sem IMD: a)Sinal a saída paralela do acoplador; b) sinal a saída cruzada do acoplador. ... 58

Figura 21-Sinal à saída de um acoplador em regime linear com IMD; a) sinal à saída paralela do acoplador; b) sinal à saída cruzada do acoplador. ... 58

Figura 22-Sinal à saída de um acoplador em regime não-linear sem IMD; a) sinal à saída paralela do acoplador; b) sinal à saída cruzada do acoplador ... 59

Figura 23- Sinal à saída de um acoplador em regime não-linear com IMD; a) sinal à saída paralela do acoplador; b) sinal à saída cruzada do acoplador. ... 59

Figura 24- Separação de dois impulsos que propagam na fibra devido ao efeito da XPM ... 65

x

Figura 26-Alargamento e assimetria espectral causada pelo XPM no espectro de dois impulsos (L=L_W) ... 66

Figura 27- Alargamento e assimetria espectral causada pelo XPM no espectro de dois impulsos (L=3L_W) ... 66

Figura 28- Diagrama exemplificativo do auto comutação ... 68

Figura 29-Curvas de transmissão na ausência de modulação cruzada de fase para os acopladores half-beat e full-beat .... 70

Figura 30-Evolução das energias parcias para o impulso do canal u em função de ∆/ 2: a) energia parcial negativa;b) energia parcial positiva ... 71

Figura 31- Evolução das energias parcias para o impulso do canal v em função de ∆/ 2: a) energia parcial negativa;b) energia parcial positiva. ... 71

Figura 32-Modulo dos dois Impulso a entrada do canalu ... 72

Figura 33- Perfis das modulantes u e v ao longo do comprimento de acoplamento num acoplador half-beat: a) canal u; b) canal v. ... 72

Figura 34- Efeito da XPM no coeficiente de transmissão. ... 73

Figura 35-Diagrama exemplificativo da comutação controlada localmente ... 74

Figura 36- curvas de de níveis T(φ,p) para p=6.6 e φ=0. ... 75

Figura 37-Curva de transmissão para p=6.6epara diferentes valores de r. ... 76

Figura 38-Curvas de niveis com r=15 para diferentes valores de

p

... 77

Figura 39-Curva de transmissão para r=15e

σ

=0com diferentes valores de p. ... 77

Figura 40- Evolução das energias parcias para o impulso do canal u em função de ∆/ 2: a) energia parcial negativa;b) energia parcial positiva ... 78

Figura 41- Evolução das energias parcias para o impulso do canal v em função de ∆/ 2: a) energia parcial negativa;b) energia parcial positiva. ... 78

Figura 42-Modulo dos dois Impulso a entrada do canal u (azul) e módulo do impulso de controlo (vermelho) ... 79

Figura 43- Perfis das modulantes u e v ao longo do comprimento de acoplamento num acoplador half-beat: a) canalu; b) canal v. ... 80

Figura 44-Curvas de transmissão para p_opt =7.5 er_opt =15. ... 81

xi

LISTA DE SÍMBOLOS

a

Raio do núcleo da fibra óptica

u

Constante de propagação transversal no núcleo

w

Constante de atenuação na bainha

v

Frequência normalizada

1

n

Índice de refracção do núcleo

2

n

Índice de refracção na bainha

λ

Comprimento de onda

0

k

Constante de propagação no vácuo

0

β

Constante longitudinal no ponto

ω

0 2

β

Coeficiente da dispersão da velocidade de grupo g

v

Velocidade de grupo

(

, ,0,

)

E x y

t

Campo eléctrico

( )

,

F x y

Funções modais elementares do modo

( )

,

B z t

Distribuição longitudinal do campo eléctrico

( )

,

A z t

Impulso que se propaga na fibra

( )

β ω

Constante longitudinal do modo fundamental

Ω

Desvio de frequência

( )

℘ Ω

Termos de ordem superior da serie de Taylor

α

Constante de atenuação

0

xii D

L

Comprimento de dispersão NL

L

Comprimento não-linear g

τ

Atraso de grupo

τ

Variável de tempo normalizada

ζ Variável espacial normalizada

κ Coeficiente de dispersão de ordem superior

ξ Frequência normalizada

0

ε

Constante dieclétrica relativa NL

ε

Constante dieclétrica não-linear

*

E Campo fictício

γ

Parâmetro de não linearidade

I

Intensidade óptica eff

A

Área efectiva

P

Potência óptica NL

φ

Fase não-linear eff

L

Comprimento efectivo

( )

t

δω

Desvio de frequência

Γ

Coeficiente de atenuação

σ

Coeficiente da modulação cruzada de fase

∆

Condição de igualdade de fase

( )

,

U

ζ τ

Envolvente complexa normalizada do campo eléctrico

ρ

Separação entre eixos das fibras ópticas

xiii

( )

C

ω

Coeficiente de acoplamento C

L

Comprimento de acoplamento

s

Relação entre separação entre eixos e raio das fibras

0

λ

Comprimento de onda central

0

C

Coeficiente de acoplamento para a frequência da portadora

δ

Coeficiente de acoplamento de primeira ordem

µ

Coeficiente de acoplamento de segunda ordem

Τ

Coeficiente de transmissão normalizado

Q Energia total

p

Potência normalizada do pico de entrada

m

K

Função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem m

m

J

Função de Bessel de primeira espécie de ordem m

H

L

Comprimento half-beat

B

L

Comprimento full-beat

N Ordem do solitão

t

Coeficiente de auto transmissão

x

t

Coeficiente de transmissão cruzada

( )

1

ν τ

∆

Chirp W

L

Walk-off length NL

P

Polarização não-linear (3) xxxx

χ

Susceptibilidade magnética de terceira ordem de escalão quatro

xiv

xv

LISTA DE ACRÓNIMOS

AMF Auto modulação de Fase

DVG Dispersão de Velocidade de Grupo DSF Dispersion-shifted fibers

EDFA Erbium Doped Fiber Amplifier FFT Fast Fourier Transform IFFT Inverse Fourier Transform IMD Intermodal Dispersion

IST Inverse Scattering Transform

LASER Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation MEMS Micro-electromechanical systems

NLSE Nonlinear Schrödinger Equations NZ-DSF Dispersion-shifted fibers

RLND Regime linear não-dispersivo SPM Self-phase modulation SSFM Split Step Fourier Method

TAT Transatlantic Telecommunication Cable TPC Trans-Pacific Cable

XPM Cross-Phase Modulation

WDM Wavelength division multiplexing 3R Rescaling, Reshaping, Retiming

1

1

Introdução

1.1

Enquadramento

As telecomunicações são uma ciência exacta cujo desenvolvimento dependeu fortemente das descobertas científicas e dos avanços na matemática que tiverem lugar na Europa durante o século XIX. Foram as descobertas na área do electromagnetismo, que criaram as condições para o aparecimento do primeiro sistema de telecomunicações baseado na electricidade: o telégrafo [1]. As redes de telecomunicações vêm, ao longo de um século e meio, transformando o quotidiano das pessoas no mundo inteiro. Construindo novas formas de comunicação propondo diferentes tipos de contacto e acesso às informações. As relações entre factos, história, conhecimento, pessoas e nações se modificam e se integram em uma nova possibilidade de troca. Surge um novo mundo onde, através das telecomunicações, as distâncias e o tempo diminuem, o conhecimento se amplia e a comunicação se integra ao quotidiano das pessoas sob as mais diversas formas.

Em 1956, entrou em funcionamento o primeiro cabo transatlântico de telecomunicações que ligava a Escócia ao Canadá (TAT-1) [2],transmitia 36 telefonemas ao mesmo tempo. Através de estações retransmissoras, foram conectadas pela primeira vez as redes telefónicas do Reino Unido e da Europa continental com as do Canadá e dos Estados Unidos. Neste mesmo ano termo fibra óptica foi definido como um meio físico de transmissão em que a informação é transportada sob a forma de impulsos de luz.

Em 1957 Gordon Gould deu um contributo importante para evolução da tecnologia óptica ao introduzir o Laser (Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation), descrevendo este dispositivo como uma fonte intensa de luz que produz radiação electromagnética monocromática e de fases bem definidas. A primeira demostração do funcionamento do Laser deu-se no ano de 1960. Revolucionando a indústria de telecomunicação, contudo as fibras ópticas exibiam, durante os anos 60 perdas superiores a 1000 dB/km – tornando-as impraticáveis em telecomunicações. Em de 1966, Charles Kao e George Hockham propuseram a redução das perdas das fibras ópticas através da redução/eliminação das impurezas das matérias de fabrico. Diversas equipas de

2

investigação analisaram o problema e foi possível reduzir as perdas para menos de 20 dB/km e numa fase seguinte para menos de 1 dB/km [2].

Estes resultados levaram Robert Maurer, Donald Keck e Peter Schultz ao serviço da Corning Glass Works, produzirem em 1970, as primeiras fibras ópticas monomodal com uma atenuação de 16 dB/km no comprimento de onda de 633nm, tornando assim, possível a sua utilização em sistemas de comunicação.

Nas últimas décadas, os sucessivos desenvolvimentos fizeram surgir várias gerações de sistemas de comunicação por fibras ópticas. A primeira geração surgiu na data 1980, tratava-se de fibras multimodais operadas na primeira janela (comprimentos de onda 800 nm),onde as perdas ainda são elevadas (2 dB/km), com taxa de transferência de 45 MB/s e espaçamento entre repetidores de cerca de 10 km.

No ano de 1987 surge a segunda geração de fibras operadas na segunda janela (comprimentos de onda 1300 nm),onde a dispersão é praticamente nula e as perdas são menores (0.5dB/km).

Em 1988, foi instalado o primeiro cabo transatlântico com capacidade para mais de 4000 chamadas telefónicas designado por TAT-8 (Transatlatic Telecommunication Cable) [2]. Um ano mais tarde, foi instalado o TPC-3 (Trans-Pacific Cable), sistema com características semelhantes ao TAT-8. Desde 1979 que era conhecido o facto de as fibras atingirem o mínimo de atenuação na terceira janela (cerca de 0.2 dB/km em 1550nm). Contudo, existia um problema: A dispersão nesta janela era considerável (cerca 16 ps/km.nm). Para contornar este problema desenvolveram-se fibras de dispersão modificadas designadas por DSF (dispersion-shifted fibers). Nestas fibras a dispersão é nulo no comprimento de onda perto de 1550nm.

A terceira geração surge em 1990, com os cabos submarinos TAT-9, TPC-4 (Trans Pacific Cable) e TAT-10/11 a operarem em cumprimentos de onda entre 1500 e 1600 nm (terceira janela), com taxas de transferência até 10GB/s. Principal limitação da terceira geração era o uso de repetidores 3R (Rescaling, Reshaping, Retiming), repetidores espaçados entre 60 a 70 km.

A terceira geração fica ainda marcada pelo aparecimento dos amplificadores ópticos, permitindo amplificar directamente o sinal sem recurso adicional a electrónica. Destes amplificadores destacam-se as fibras amplificadoras dopadas, com érbio designadas EDFA’s (Erbium Doped

Fiber Amplifiers). Estes amplificadores apresentam um ganho elevado na banda de 1530-1565nm

3

A utilização dos EDFA’s permitiu aumentar consideravelmente a distância entre os regeneradores 60 a 100 km (ou ate mesmo eliminar completamente o seu uso).

Com o objectivo de aproveitar completamente a bandas dos EDFAs, surge assim a quarta geração sistemas de comunicação por fibras ópticas cuja principal característica é trabalhar num domínio completamente óptico, nela ser aplicada a multiplexagem no comprimento de onda (WDM -

Wavelength Division Multiplexing). Possibilitando assim, o aumento da capacidade e o ritmo da

transmissão. O princípio de funcionamento dos EDFAs permite a amplificação independente do ritmo e do número de canais o que torna os sistemas ópticos mais flexíveis.

Em 1996 entraram em funcionamento os primeiros-cabos submarinos desta geração, TPC-5 e TAT-12/13, utilizavam EDFAs e operavam a 1550 nm atingindo taxas de transferência 5.30 GB/s. Em 2000, o TPC-6 atingia taxa de transferência de 100 GB/s. A utilização de técnicas de WDM permite aos sistemas de comunicação óptica de hoje em dia a atingir taxas de transferência superiores a 1 TB/s [3].

O uso das fibras DSF e a elevada potência total emitida (especialmente em sistemas com muitos canais WDM) trouxe um novo problema para as comunicações ópticas, o feito não linear designado por FWM (four-wave mixing). De modo a contornar o problema desenvolverau-se fibras em que o comprimento de onda correspondente a dispersão nula se encontra fora da banda C designadas por NZ-DSF (dispersion-shifted fibers).

Qualquer rede de comunicação depende fortemente de dispositivos capaz de comutar apropriadamente o tráfego para o seu destino. Neste sentido, a electrónica oferece um número variado de dispositivos tanto para o tráfego a nível electrónico como também para o tráfego em fibras óptica, onde a conversão óptica-electrica é uma necessidade constante, o que limita o tráfego, fazendo com que a comutação completamente óptica seja a solução desejada. Neste sentido, vários tipos de dispositivos tem sido usado como suporte para o estudo de acoplamento de energia entre canais. Dos quais, destacam redes Bragg, as fibras birrefringentes, acopladores de núcleo duplo entre outros. Tem sido ainda experimentado novas matérias para acopladores tais como, polímeros e semicondutores [4].

O estudo destes dispositivos começou com feixes de ondas electromagnéticas, onde se destaca o estudo do comportamento não linear de um acoplador direcional por Jensen [5]. Devido à necessidade de comutar impulsos para poder transmitir informação e ainda ao mau desempenho destes comparadas com feixes levou a introdução de comutação de solitões, permitindo assim a interligação destes dispositivos com sistemas de transmissão de longa distância baseados em

4

solitões numa perspetiva global de redes de comunicação. A primeira comutação de solitões foi realizada num interferómetro de Segnac demostrando experimentalmente a viabilidade de utilização de solitões em dispositivos de comutação [4].

1.2

Estado da arte

O estudo da quinta geração de sistemas de comunicação óptica encontra-se ainda em desenvolvimento. Se por um lado o problema das perdas foram resolvidos com a introdução fibras amplificadoras, ainda há que contornar problema da dispersão na propagação de impulsos. Para solucionar este problema várias técnicas têm sido desenvolvidas nomeadamente compensação de dispersão que reside no uso de dispositivo localizada junto do terminal capazes de eliminar a dispersão acumulada em toda a ligação, gestão da dispersão como uma forma de projectar sistemas convencionais e por fim, sistemas com solitões (sistemas RZ não-lineares), como uma forma revolucionária de conceber sistemas de comunicação óptica. As três soluções apresentadas têm características comuns, como a utilização de EDFAs para amplificação óptica, a necessidade de inclusão da técnica WDM para aumentar o débito binário e o uso da técnica de gestão de dispersão nos sistemas WDM (sistemas convencionais ou sistemas com solitões). A grande revolução nos sistemas de telecomunicação traduz-se no aparecimento da rede Internet, ao rápido desenvolvimento, uso de computadores pessoais e desregulação das telecomunicações. A necessidade do aumento da capacidade de tráfego de informação resulta da generalização de novas tecnologias. Tendo em conta as grandes vantagens e capacidades das fibras ópticas, é possível aferir que a utilização destes dispositivos como meio de transmissão (redes FTTx) será a maneira mais apropriada de responder a estes requisitos.

A comutação óptica é o processo de direccionar o tráfego da entrada para a saída de um determinado nó no domínio óptico sem qualquer conversão O/E/O. Têm-se diferentes soluções: Comutação de circuitos, Comutação de pacotes óptica (Actualmente não é realizável devido à inexistência de buffers ópticos, comutadores ópticos ultra-rápidos (ns) e processadores ópticos) e ainda Comutação de rajadas óptica ou OBS ( optical burst switching) [6].

Actualmente solução baseada em MEMS (micro-electromechanical systems) é mais usada para implementar comutação óptica. Os comutadores MEMS consistem em espelhos miniatura movíveis com dimensões da ordem das centenas de micrómetros [6].

5

1.3

Objectivos

A presente dissertação tem como principal objectivo o estudo da comutação em redes ópticas. A partir das equações para a propagação de impulsos em regime linear e em regime não-linear, pretende analisadar a comutação em regime linear e não linear. Outro objectivo é o estudo de agregados de fibras ópticas com acoplamento assíncrono.

Como o método para a análise numérica na obtenção dos resultados sobre a propagação de solitões ao longo da fibra é usado o Split Step Fourier Method (SSFM).

Pretende-se igualmente o estudo dos efeitos da dispersão intermodal e da modulação cruzada de fase no desempenho dos acopladores de fibra óptica.

Será abordada e analisada ainda a comutação controlada de solitões através do estudo da auto-comutação e auto-comutação controlada localmente.

1.4

Estrutura da Dissertação

De acordo com o objectivo apresentada acima, para estudo de comutação em regime linear começa-se por apresentar e estudar a Equação que governa a propagação de impulso no regime linear. Neste regime a propagação de impulso é governada sobretudo pela DVG. Para simular o comportamento do impulso ao longo da fibra, ira ser apresentado ainda um método de resolução numérica, através do qual é possível aferir a influência da DVG na propagação. Em seguida será apresentada a Equação de acoplamento em regime linear. Serão analisados ainda os agregados lineares de N fibras, bem como o caso particular de acoplamento entre duas fibras, onde serão identificados os coeficientes de transmissão de um acoplador half-beat e full-beat. Por fim, é analisada o comportamento dos coeficientes de transmissão quando se está na presença de uma comutação assíncrona. Completando o estudo em regime linear começa se o estudo em regime não linear, recorrendo à Equação não-linear de Schrödinger (NLS) para analisar a propagação do sinal em regime não-linear. Será também estudado o equilíbrio entre a DVG e a AMF. Para simular o comportamento dos solitões ao longo da fibra, é usado um método de análise numérica conhecido por Split Step Fourier Method (SSFM). Será analisado o comportamento do solitão de ordem três e do solitão fundamental, sendo também apresentadas as principais características do solitão fundamental. Ainda em regime não linear é apresentado a Equação de acoplamento e por fim será analisado a influência da dispersão intermodal na comutação de solitões, bem como o efeito da modulação cruzada de fase (XPM).

6

Por último, serão abordados dois tipos de comutação controlada de solitões: auto-comutação e a comutação controlada localmente. Na auto-comutação, através das curvas de transmissão, serão determinados os níveis de energia de entrada que permitem a manutenção do impulso no canal inicial e ainda que provocam a transferência para o canal oposto. Serão analisados ainda os efeitos da XPM na auto-comutação. Quanto à comutação controlada localmente, será apresentado um método de optimização, que permite optimizar vários parâmetros como: o ponto de funcionamento em termos da potência do acoplador, a relação entre as energias dos impulsos e as fases ideais para as duas comutações possíveis (parallel-state e cross-state). Também serão analisados os efeitos da XPM

1.5

Principais contribuições

Principais contribuições ao nível de comutação em redes ópticas apresentadas nesta dissertação são seguintes:

o Estudo da propagação de impulsos em acopladores de fibra óptica. Dedução dos coeficientes de acoplamento e o seu estudo.

o Análise da influência da dispersão intermodal na comutação de solitão.

o Análise da Modulação cruzada de fase na forma e no espectro do solitão.

o Estudo de comutação controlada de solitão: Auto-comutação e Comutação controlada Localmente.

7

2

Comutação em Regime Linear

2.1

Equação de Propagação de Impulso

Devido à dispersão da velocidade de grupo (DVG), os impulsos que se propagam numa fibra óptica sofrem em regime linear um alargamento temporal que provoca interferência intersimbólica [3].

SejaA(0, )t , um impulso a entrada z =0 da fibra óptica, assumindo que impulso modula uma portadora de frequência angular

ω

₀. Supondo ainda que o campo eléctrico está polarizado linearmente, segundo eixo xtem-se

(

x,y, ,t0

)

ˆ

(

x,y, ,t0

)

E

=x E

(2.1) com

(

, ,0,

)

0

( ) ( )

,

0,

E x y

t

=

E F x y B

t

(2.2)

( ) ( ) (

0,

0, exp

0

)

.

B

t

=

A

t

−

i t

ω

(2.3)

Como o regime é monomodal,

F x y

( )

,

representa a variação transversal do modo fundamental 01

.

LP

Utilizando a coordenada transversal

r

2

= +

x

2

y

2

,

obtém-se

( )

_{( )}

( )

0 0 0 0 , , r J u r a a r J u r K w r a w K a    ≤       =    _≥    _{ }  (2.4)

8

onde a é o raio do núcleo da fibra óptica, as constantes normalizadas u e w são constante de propagação transversal no núcleo e constante de atenuação na bainha, respectivamente

2 2 2 u + w =ν (2.5) 2 2 2 0 1 2 k a n n ν = − (2.6)

Sendo que

n

1 representa o índice de refracção do núcleo e

n

2o índice de refracção da bainha e

0

/

k

=

ω

c

é a constante de propagação no vazio.

Para calcular o campo eléctrico num ponto z >0,é necessário calcular transformada de Fourier no ponto z =0. Tem-se A z

( )

,

ω

A z t

( ) ( )

, exp i t dt

ω

∞ −∞ =

_∫

% _(2.7)

( )

,

( ) ( )

, exp B z

ω

B z t i t dt

ω

∞ −∞ =

_∫

% _(2.8)

sendo as transformadas de Fourier inversa correspondentes

( )

1

( ) (

)

, , exp 2 A z t A z

ω

i t d

ω

ω

π

∞ −∞ =

_∫

% − _(2.9)

( )

1

( ) (

)

, , exp . 2 B z t B z

ω

i t d

ω

ω

π

∞ −∞ =

_∫

% − _(2.10)

Infere das equações (2.2) e (2.3) que

E x y

%

(

, ,0,

ω

)

=

E F x y B

₀

( ) ( )

,

%

0,

ω

(2.11)

( ) (

0, 0, 0

)

.

B%

ω

=A%

ω ω

− (2.12)

Sendo

β β ω

=

( )

a constante de propagação longitudinal do modo fundamental, tem-se

E x y z

%

(

, , ,

ω

)

=

E F x y B z

₀

( ) ( )

,

%

,

ω

(2.13)

( ) ( )

,

0,

exp

(

( )

)

B z

%

ω

=

B

%

ω

i

β ω

z

(2.14)

9 Deste modo, num pontoz >0, o campo eléctrico será

(

x y z t

, , ,

)

=

xE x y z t

ˆ

(

, , ,

)

E

(2.16)

com

(

, , ,

)

0

( ) ( )

,

, .

E x y z t

=

E F x y B z t

(2.17)

De notar que a Equação (2.16) só é válida porque se admite que a fibra óptica mantém a polarização. Tendo em conta que apenas nos interessa a transmissão da intensidade do campo eléctrico e não a sua fase, esta suposição é uma forma de simplificar a notação, sem contudo implicar a necessidade real de só se utilizarem fibras que mantenham a polarização [3].

De acordo com a Equação (2.15) tem-se

( )

, 1

(

0, ₀

)

{

( )

}

. 2 B z t A

ω ω

exp i

β ω

z

ω

t d

ω

π

∞ −∞ =

_∫

% − _ − _{ (2.18)}

Introduzindo o desvio de frequência Ω em relação à portadora, tal que

0

ω ω

Ω= −

(2.19) vem

( )

(

0

) (

)

{

(

0

)

}

1 , 0, Ω Ω Ω Ω. 2 B z t exp i

ω

t A exp i

β ω

z t d

π

∞ −∞ = −

_∫

% _ + − _{ (2.20)}

Aplicando à equação (2.20) desenvolvimento de Taylor para simplificar o cálculo, tém-se

β ω

(

₀

+

Ω

)

=

β

₀

+℘

( )

Ω

(2.21)

( )

1

Ω

Ω

!

m m m

m

β

∞ =

℘

=

_∑

(2.22)

em que

β β ω

₀

=

( )

₀ . Assim escreve-se

( )

,

( )

,

(

0 0

)

B z t = A z t exp i_ β z−ω t _ (2.23)

( )

1

( )

{

( )

}

, 0, Ω Ω Ω Ω. 2 A z t A exp i z t d

π

∞ −∞ =

_∫

% _℘ − _{ (2.24)}

10

É importante afirmar que por

Ω <<

ω

₀

A z t

( )

,

oscila com uma frequência muito menor do que

( )

,

B z t

, logo

A z t

( )

,

é uma função que varia lentamente com o tempo comparada com à função

( )

,

B z t

.

Os coeficientes

β

_m

(

m

=

1,2

)

, são dados por 0 m m m ω ω β β ω ₌ ∂ = ∂ (2.25) sendo

( )

1 0 1 g

β

ν ω

= (2.26)

( )

0 2 2 0 1 g g _{ω ω} ν β ν ω ω ₌ ∂ = − ∂ (2.27) 1 . g ν β ω − ∂   =  ∂   (2.28)

Onde

β

₂representa o coeficiente da DVG e

v

_g a velocidade de grupo. As equações (2.17) e (2.23) permitem escrever

E x y z t

(

, , ,

)

=E F x y A z t exp i₀

( ) ( )

, , _

(

β₀z−ω₀t

)

_ . (2.29) Para calcular

A z t

( )

,

a partir de

A

( )

0,

t

,define-se

( )

1

(

) (

)

, 0, , ; 2 m A z t A Q z t d

π

∞ −∞ =

_∫

Ω % Ω Ω Ω _(2.30) em que

(

, ;Ω

)

{

( )

Ω

Ω

}

Q z t

=

exp i



_

℘

z

−

t



_

(2.31)

resulta da equação (2.24) que

( )

1

A

, .

!

m m m

A

i

z t

z

m

β

∞ =

∂ =

∂

∑

(2.32)

11

( )

1

A

,

( , )

!

2

m m m

A

i

z t

A z t

z

m

β

α

∞ =

∂ =

−

∂

∑

(2.33) onde

( )

2

, .

m m

A

i

A z t

z

−

∂ =−

∂

(2.34)

Deste modo, obtém-se a equação linear que permite calcular

A z t

( )

,

a partir de

A

( )

0,

t

1 1 0. ! 2 m m m m m A i A A z m t

α

β

− ∞ = ∂ ₊ ∂ _{+ =} ∂

∑

∂ (2.35)

Como os impulsos, no geral são de banda estreita é aceitável ignorar os coeficientes β de ordem superior a três,

( )

2 3 1 2 3

.

1

1

2

6

β

β

β

℘ Ω = Ω+

Ω +

Ω

(2.36)

Neste caso a equação (2.35) reduz-se a

2 3 1 2 2 3 3

1

1

0.

2

6

2

A

A

A

A

i

A

z

t

t

t

α

β

β

β

∂

₊

∂

₊

∂

₋

∂

₊

₌

∂

∂

∂

∂

(2.37)

2.1.1

Simulação numérica

Para a simulação numérica da propagação de impulso numa fibra óptica em regime linear há que recorrer a FFT (fast Fourier transform) e a IFFT (inverse fast Fourier transform).

Desprezando os efeitos dispersivos, tem-se

β

m

=

0

para m≥2. A equação de propagação de impulso reduz-se A ₁ A z β z ∂ _{= −} ∂ ∂ ∂ (2.38)

no domínio das FFT esta Equação escreve-se na forma

1

( , )

Ã

i

à z

z

ωβ

ω

∂ =

∂

(2.39) cuja solução é

12

à z

( , )

ω

=

Ã

(0, )exp(

ω

i

ωβ

₁

z

)

(2.40) tendo ( , ) 1 (0, )[ ( ₁ ] 2 Ã z t Ã

ω

i

ω

t

β

z dt

π

∞ −∞ =

_∫

− − (2.41) ou seja

A z t

( , )

=

A t

(0,

−

β

₁

z

).

(2.42) Da equação (2.42) é possível concluir que na ausência dos efeitos dispersivos o impulso propaga ao longo da fibra sem distorção com uma velocidade de grupo

1

1

g

v

β

=

(2.43)

O desprezo das coeficientes

β

2 e

β

3 não é aceitável para maioria das situações, mas para a analise em questão despreza-se influência da dispersão de ordem superior. Permitindo analisar isoladamente o efeito da DVG sobre propagação do impulso.

Define-se o atraso do grupo

τ β

_g

=

₁

z

(2.44) substituindo,

β

1 por 1 g v tem: _g 1 g z v

τ

= (2.45)

assim é possível reescrever a Equação (2.42) como

A z t

( , )

=

A

(0,

t

−

τ

_g

)

(2.46) define-se ainda o comprimento da dispersão como

2 0 2 D L τ β = (2.47)

onde

τ

0 é um tempo característico da duração do impulso A(0, )t , e

β

2é o coeficiente da DVG. Para uma ligação de comprimento L os efeitos dispersivos são desprezíveis quando

L

_D

>

L

. Definem-se as variáveis normalizadas (adimensionais) para o espaço e o tempo:

13 D

z

L

ζ

=

(2.48) 1 0

.

t

β

z

τ

τ

−

=

(2.49) Ao passar de variáveis reais ( , )z t para variáveis as variáveis normalizadas ( , )ζ τ tem-se

1 0

1

D

z

L

β

ζ τ τ

∂

₌

∂

₋

∂

∂

∂

∂

(2.50) 0

1

t

τ τ

∂

₌

∂

∂

∂

(2.51)

assim a equação de propagação dos impulsos é dada pela equação diferencial

2 3 2 2 3 1 sgn( ) 0 2 A A A i

β

κ

ζ

τ

τ

∂ ₊ ∂ ₋ ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ (2.52) onde

β

₂

=

β

₂

sgn( )

β

₂ (2.53) 3 2 0 6

β

κ

β τ

= (2.54)

κ é o coeficiente de dispersão de ordem superior. Para a resolução numérica da equação (2.52) o para de Fourier Ã( , )

ζ ξ

A( , ) exp(

ζ τ

i

ξτ τ

)d ∞ −∞ =

_∫

(2.55) Ã( , )

ζ τ

A( , ) exp(

ζ ξ

i

ξτ ξ

)d ∞ −∞ =

_∫

(2.57) onde ξ é frequência normalizada ou seja adimensional tal que

ξ

=Ω = −

τ ω ω τ

0

(

0

)

0 (2.58) no domínio da frequência a equação (2.52) fica da seguinte forma

14 [ sgn(1 ₂) 2 3] ( , ) 2 Ã i

β ξ κξ

Ã

ζ ξ

ζ

∂ = + ∂ (2.59) tendo como a solução

2 3 2 1 ( , ) (0, ) exp{ [ sgn( ) ] }. 2 Ã ζ ξ = Ã ξ i β ξ +κξ ζ (2.60) Deste modo a resolução da Equação resume-se a 3 passos:

1) Calcula-se

Ã

(0, )

ξ

=

FFT A

[ (0, )]

τ

; 2) Calcula-se

Ã

( , )

ζ ξ

usando a Equação; 3) Calcula-se A( , )ζ τ =

IFFT Ã

[ ( , )]

ζ ξ

[1]

Nas ilustrações seguintes a presenta o efeito da DVG sobre um impulso com uma forma inicial

A

₀

( )

τ

=

A

(0, ) sec ( )

τ

=

h

τ

(2.61)

Figura 1-Módulo da amplitude a entrada e a saída da fibra

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

entrada - Azul saída - Vermelho

Tempo A m p li tu d e

15

Figura 2- a) Espectro do impulso gaussiano ao longo da fibra. b) Propagação do impulso gaussiano numa fibra óptica em regime linear.

Na Figura 2-a) é possível verificar o alargamento e a diminuição da amplitude do impulso ao longo da fibra, o alargamento do impulso deve-se ao facto de diferentes componentes espetrais viajarem a velocidades diferentes ao longo a fibra.

Na Figura 2-b) é possível verificar que as componentes espectrais ao longo da fibra mantem as suas características uma vez que se está a trabalhar em regime linear.

2.2

Acoplamento em Regime Linear

Considera-se duas fibras idênticas numa bainha comum interagindo entre si, originando-se assim um fenómeno conhecido por dispersão intermodal provocada pela existência de dois super modos. A dispersão vai provocar a passagem de energia electromagnética de uma fibra para a outra e, desta forma, o campo numa fibra vai influenciar o campo na outra, e consequentemente a propagação do sinal numa das fibras também depende do sinal existente a propagar-se na outra. Para este caso o impulso é inserido em uma das fibras

( )

( )

2 1 0, exp e 2 0, 0. 2 A τ = _−τ _ A τ =   (2.62)

16

( )

2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 sgn 2 A A A A i i A δ β µ κ ζ τ τ τ   ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ₌   ∂ ∂  ∂ ∂  (2.63)

( )

2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 sgn . 2 A A A A i i A δ β µ κ ζ τ τ τ   ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ₌   ∂ ∂  ∂ ∂  (2.64)

Manipulando algebricamente as equações (2.63) e (2.64) equações obtém-se, para o domínio frequência

(

)

(

)

( )

( )

1 1 2 2 , 0, , 0, A A A A

ζ ξ

ξ

ζ ξ

ξ

    =             S % % % % (2.65) com

( )

(

)

(

2

)

(

_{( )}

)

_{( )}

(

)

2 , , cos , sin , 1 exp sgn 2 sin , cos , i i i

ζ ξ

ζ ξ

θ ζ ξ

θ ζ ξ

β ξ ζ

θ ζ ξ

θ ζ ξ

=            = _{ }⋅        _{    }_ S MR M (2.66) em que

( ) ( )

1

2

,

.

2

b

θ ζ ξ

=

ξ ζ

=





κ ξδ

+ +

ξ µ ζ









(2.67)

Se não existir impulso à entrada da segunda fibra

A

₂

( )

0,

ξ

=

0

, obtém-se

( )

( )

1

,

11 1

0,

A

ζ ξ

=

S A

ξ

(2.68)

( )

( )

2

,

21 1

0,

A

ζ ξ

=

S A

ξ

(2.69) onde

(

2

)

( )

11 2

1

exp

sgn

cos

,

2

S

=



_

i

β ξ ζ



_

⋅



_

θ ζ ξ



_





(2.70)

(

2

)

( )

21 2

1

exp

sgn

sin

,

.

2

S

=



_

i

β ξ ζ



_

⋅

i



_

θ ζ ξ



_





(2.71)

17

( )

( )

_{( )}

2 1 2 2 1 , 1 , cos 2 0, A A

ζ ξ

τ ζ ξ

κ ξδ

ξ µ ζ

ξ

   = =  + +       % % (2.72)

( )

( )

_{( )}

2 2 2 2 1 , 1 , sin . 0, 2 x A A

ζ ξ

τ ζ ξ

κ ξδ

ξ µ ζ

ξ

   = = _ + + _    % % (2.73)

Para obter os impulsos que propagam ao longo das duas fibras ópticas, utiliza-se o seguinte processo

i. Calcula-se A%₁

( )

0,ξ =FFT A

[

₁

( )

0,τ

]

; ii. Calcula-se A%1

( )

ζ ξ

, e A%2

( )

ζ ξ

, ;

iii. Calcula-se A₁

( )

ζ τ, =IFFT A

_



%₁

( )

ζ ξ,



_

e A₂

( )

ζ τ, =IFFT A



_

%₂

( )

ζ ξ,



_

.

Considerando ainda a zona anómala de dispersão (

sgn

( )

β

₂

= −

1

) e

κ

=

1

,

δ

= −0.0156,

4

2.4322 10

,

µ

₌

_×

−

obtém-se os seguintes gráficos de propagação de impulso ao longo das duas fibras.

18

Figura 4- Propagação de impulsos na fibra óptica 1(a) e na fibra 2 (b) vista superior

Observando as Figura 3 e Figura 4 conclui-se que existe um acoplamento periódico ao longo da fibra, que quando a amplitude do sinal numa fibra é máxima, na outra atinge zero.

Conclui-se ainda que está na presença de uma comutação perfeita onde a intensidade do impulso para cada acoplamento, permanece constante em cada transferência de energia.

2.3

Agregados de Fibras ópticas

2.3.1

Agregado Linear de N Fibras Ópticas Idênticas

Considera-se N núcleos idêntico de raio a operadas em regime linear imersos numa bainha comum. Os eixos dos N núcleos são paralelos e encontram-se todos alinhados segundo um dos eixos transversais existindo entre eles um espaçamento uniforme ρ ≥2a [3].

O campo longitudinal total é dado por

(

)

( ) ( )

1

, , ,

,

, .

N z n n n

E x y z t

F x y B z t

=

=

∑

(2.74)

Sendo que o campo eléctrico longitudinal em cada núcleo é dado por

E

_zn

(

x y z t

, , ,

)

=

F x y B z t

_n

( ) ( )

,

_n

,

com 1≤ ≤n N (2.75) onde

F x y

n

( )

,

é uma função modal elementar do n-ésimo núcleo do modo

LP

01

.

Considerando, apenas, o acoplamento entre núcleos adjacentes, tem-se

19

( )

z

,

i

( ) ( )

z

,

z

ω

ω

ω

∂

₌

_⋅

∂

B

K

B

(2.76) em que

( )

( )

( )

( )

1 2 , , , , N B z B z z B z

ω

ω

ω

ω

      =_{ }       B % % M % (2.77)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0 0 0 . 0 ( ) 0 0 C C C C C C β ω β ω ω β ω ω ω β ω ω ω β ω ω         =_{ }       K L L M M M M M L L (2.78)

A resolução da equação (2.76) Consiste em diagonalizar a matriz K(ω) de acoplamento que é uma matriz quadrada de ordem N .O primeiro passo é em determinar os valores próprios e os vectores próprios da matriz de acoplamento.

K u⋅ = λu. (2.79) Os valores e vectores próprios que satisfazem a equação (2.79) são dados por

2 cos

1

n

n

C

N

π

λ β

= +





₊









(2.80) ( ) 2 sin 1 1 n k nk u N N

π

  = ₊  ₊    (2.81)

2.3.2

Acoplamento entre Duas Fibras

A diafonia (crosstalk) provocada pelo acoplamento entre fibras ópticas pode ser um problema grave em sistemas de comunicação óptica. Considera-se dois núcleos idênticos e paralelos de raio aimersos numa bainha comum operando em regime linear. A separação entre eixos é

2a

20

Figura 5-Acoplamento entre duas fibras ópticas idênticas. O campo elétrico em cada uma das “fibras” (com n=1,2) é dado por

E

_zn

(

x y z t

, , ,

)

=

F x y B z t

_n

( ) ( )

,

_n

, .

(2.82) Considerando a teoria escalar do acoplamento entre fibras onde se admite que o campo

longitudinal é dado por

E x y z t

z

(

, , ,

)

=

B z t F x y

1

( ) ( )

,

1

,

+

B z t F x y

2

( ) ( )

,

2

,

.

(2.83) Quando distância entre as duas fibras é infinita (

ρ

= ∞

) não existe interação eletromagnética entre elas pelo que

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 0 1 0 2 2 , 0 , . 0 , , B z B z i z B z B z

ω

β ω

ω

β ω

ω

ω

     ∂ _{ =  }   ∂ _ _  _ _ % % % % (2.84)

Caso contrário (ρ≥a) introduz-se

0

.

β β

= +∆

β

(2.85)

Em que ∆β é a perturbação devida à interação eletromagnética entre os dois núcleos. Desde modo tem-se

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 1 2 2 , , , , B z C B z i z B z C B z

ω

β ω

ω

ω

ω β ω

ω

ω

     ∂ _{ =  }   ∂ _ _ _ __ _ % % % % (2.86)

21

(

z,

)

i

( ) (

z,

)

z ω ω ω ∂ _{= ⋅} ∂ B K B (2.87) com

( )

1

( )

_{( )}

2 , , , B z z B z

ω

ω

ω

  =      B % % (2.88)

( )

( )

_{( )}

C

( )

_{( )}

. C

β ω

ω

ω

ω β ω

  =      K (2.89)

A resolução da equação (2.87) consiste em diagonalizar a matriz K para tal é introduzido a matriz M tal que

B

( )

z,

ω

= ⋅M Φ

( )

z,

ω

. (2.90) Substituindo a equação (2.90) no (2.87) vem,

(

z,

)

i 1

( )

(

z,

)

. z ω ω ω − ∂ ₌  _⋅ _⋅     ∂ Φ M K Φ (2.91)

A matriz M será uma matriz diagonalizadora da matriz de acoplamento K se se tratar de uma matriz modal, isto é, se as suas colunas forem vectores próprios de K .

A matriz Mé determinada através do calculo de vectores próprios e valores próprios de K . Os valores próprios são dado por

λ β

₊

= +

C

Λ

λ β

₋

= +

C

(2.92) e os respectivos vetores próprios são dadas por

1 1 1 2 u₊=  _{ }  

Λ

1 1 1 2 u₋=  _{ } −   (2.93) pelo que

[

]

1 1 1 . 1 1 2 + −   = = _{ } −   M u u (2.94)

22 1

.

−

=

M

M

(2.95) Nestas condições a equação (2.91) reduz-se a

( )

z

,

i

( ) ( )

z

,

z

ω

ω

ω

∂

₌

_⋅

∂

Φ

Λ

Φ

(2.96) sendo

( )

( )

( )

,

,

,

z

z

z

φ

ω

ω

φ

+₋

ω





=









Φ

%

%

(2.97)

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

0

.

0

C

C

β ω

ω

ω

ω

β ω

ω

+





= ⋅

⋅ =





−





Λ

M K

M

(2.98)

Como_Λ é matriz diagonal as soluções da equação (2.96), são agora fáceis de encontrar.

Φ

( )

z,

ω

=E

( ) ( )

z,

ω

⋅Φ 0,

ω

(2.99) onde

( )

( )

( )

( )

exp 0 , exp . 0 exp iC z z i z iC z ω ω β ω ω  _ _  = _  _  −    _{ }   E (2.100)

É de salientar que o vector B está relacionado com os modos elementares associados a cada guia de raio

a

,

e o vector

_Φ

está relacionado com os modos característicos da estrutura considerada como um todo, ou seja, com os supermodos do acoplador [3]. Conclui-se que da interação dos modos de cada fibra resultam dois modos supermodos do acoplador:

o Supermodo simétrico ou par associado ao

φ

%

₊;

o Supermodo anti-simétrico ou impar associado ao

φ

%

₋. Define-se a função de transferência do acoplador T tal que

B

( )

z,

ω

=T( , )z

ω

⋅B

( )

0,

ω

(2.101)

23

( )

z,

ω

= ⋅

( )

z,

ω

⋅ T M E M (2.102) pelo que

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 1 2 2 cos sin , 0, exp . , sin cos 0, C z i C z B z B i z B z i C z C z B ω ω ω _{β ω} ω ω ω ω ω        _{   }   =       _{ }                 % % % % (2.103)

Considera-se um acoplador de comprimento

L

_C em que

B

%

₂

( )

0,

ω

=

0

, define-se os seguintes coeficientes de transmissão

(

)

(

₍

₎

)

( )

2 2 1 1 , , co s 0, C C C B L t L C L B ω ω ω ω = % = _ _ % (2.104)

(

)

(

₍

₎

)

( )

2 2 2 1 , , sin . 0, C x C C B L t L C L B ω ω ω ω = % = _ _ % (2.105)

Sendo

ω

0 a frequência da portadora do sinal define-se o comprimento

L

C

=

L

H (half-beat

length),como a menor distância para qual os módulos das envolventes dos impulsos comutam de

núcleo relativamente à situação à entrada. Dada por

( )

(

0

)

(

0

)

0 , 0, , 1. 2 H H x H L t L t L C

π

_ω

_ω

ω

= ⇒ _{= = (2.106)}

Da analogamente, define-se

L

_C

=

L

_B (full-beat length), como a menor distância para o qual os módulos dos envolventes dos impulsos nos dois núcleos são iguais aos da entrada, tem-se

( )

(

0

)

(

0

)

0 , 1, , 0. B B x B L t L t L C

π

_ω

_ω

ω

= ⇒ _{= = (2.107)}

24

Figura 6-Coeficientes de transmissão, para a frequência da portadora ω =ω0 Definindo s = ρ a com s≥2 o coeficiente de acoplamento é dado por

( )

( )

2 0 3 2 1 2 u K sw C a v K w ∆ = (2.108) sendo que

u

=

v

1

−

b

,

w v b

=

,

(

2 2

)

2 1 2 2 1 n n n ∆ = − (2.109) 1 0 2

v=n k a ∆ é a frequência normalizada;

K

0 e

K

1 são funções de Bessel modificadas. 2 0.9960 1.1428 b v   = − 

  é constante de propagação normalizada pode ser determinada partir da

Equação de Rudolph-Neumann. Para um acoplador

L

_C

=

L

_H (half-beat length), com os seguintes parâmetros

λ

₀

=

1.55 m

µ

,a = 4.5µm ,

n

₁

=

1.5

e ∆ =0.3%. Variando o valor des, obtém-se os seguintes resultados.

25

Figura 7- Coeficientes de transmissão para um acoplador half-beat para s=6

Figura 8-Coeficientes de transmissão para um acoplador half-beat s=9

As Figura 7 e Figura 8 a variação do coeficiente de transmissão para um acoplador half-beat. Analisando os mesmos é possível verificar que a partir do parâmetro sé possível controlar a transferência de energia entre os núcleos. Quanto maior o valor do parâmetro s menor é a largura de banda do acoplador.

26

2.3.3

Agregado Linear de Três Fibras Ópticas Idênticas

O processo é de todo identico ao consideradas em duas fibras.

Figura 9-Agregado Linear de três fibras ópticas idênticas. Os valores próprios e os vectores próprios são dadas por

1 2 3 2 2 C C β β β β β _β  ₊       ₌         ₋   _{ } (2.110) 1 2 3 1 1 1 2 2 1 1 1 1 , 0 , 1 . 2 2 2 1 1 1 2 2 u u u       _{ }     _{ }   =   = _{ } = −    _{ −}                 (2.111)

Sendo que a matriz diagonizadora da matriz de acoplamento é dada por

[

1 2 3

]

1 1 1 2 2 1 1 0 1 2 1 1 1 2 2 u u u       = =  −     ₋      M (2.112) definindo

B

( )

z

,

ω

= ⋅Φ

M

( )

z

,

ω

(2.113) a equação (2.76) pode ser reescrita da seguinte forma