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Geometria Plana
1. (Uerj 2015) Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio R e perímetro 3R, conforme ilustra a imagem.
A área do setor equivale a: a) R 2 b) 2 R 4 c) 2 R 2 d) 2 3R 2
2. (Upe 2014) Um triângulo UPE é retângulo, as medidas de seus lados são expressas, em centímetros, por números naturais e formam uma progressão aritmética de razão 5. Quanto mede a área do triângulo UPE? a) 15 cm2 b) 25 cm2 c) 125 cm2 d) 150 cm2 e) 300 cm2
3. (Upf 2014) A figura a seguir representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os gráficos das funções reais f e g, com f(x)=x2 e
g(x)=x.
Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 160, o número real c é: a) 2 b) 1,5 c) 2 d) 1 e) 0,5 4. (Fgv 2014) A figura abaixo representa a face superior de um recipiente em forma de cubo de lado igual a L.
Esta face está parcialmente tampada por uma placa de metal (área em cinza) e parcialmente destampada (área em branco), sendo AE=AF=L / 2. João e Maria arremessam bolinhas de diâmetro desprezível sobre essa face. Considere que a probabilidade de a bolinha atingir qualquer região dessa face é
proporcional à área da região e que os arremessos são realizados de forma independente.
a) Dado que uma bolinha arremessada por João caia na região do quadrado ABCD, qual é a
probabilidade de que passe diretamente pela parte branca (destampada)?
b) Se João arremessar uma bolinha e Maria arremessar outra, dado que em ambos os lançamentos as bolinhas caiam na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca? c) Se João efetuar seis arremessos, e em todos eles a
bolinha cair na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que em exatamente 4 desses arremessos a bolinha passe diretamente pela parte branca?
5. (Uece 2014) No triângulo OYZ, os lados OY e OZ têm medidas iguais. Se W é um ponto do lado OZ tal que os segmentos YW, WO e YZ têm a mesma medida, então, a medida do ângulo YÔZ é a) 46°.
b) 42°. c) 36°. d) 30°.
6. (Ifsc 2014) Durante uma queda de luz, Carla e Sabrina resolveram brincar fazendo desenhos com as sombras das mãos. Para isso, pegaram duas
lanternas diferentes, apontando os feixes de luz para a parede BC. Márcio, que estava no andar superior, observou tudo. A figura a seguir mostra a visão que Márcio tinha da situação. Dados: o ângulo entre as duas paredes CD e BC é 90° e DC=BC, sendo D o ponto onde Carla está e A o ponto onde se encontra Sabrina. Também sabemos que BEC vale 75°.
www.soexatas.com Página 2 Com base nas informações, analise as proposições
abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S). 01) O ângulo BDC vale 45°.
02) O ângulo BAC vale 80°. 04) O ângulo BCE vale 60°. 08) O ângulo CED vale 105°. 16) O ângulo ABE vale 80°. 32) O ângulo ECD vale 60°.
7. (Espcex (Aman) 2014) As regras que normatizam as construções em um condomínio definem que a área construída não deve ser inferior a 40% da área do lote e nem superior a 60% desta. O proprietário de um lote retangular pretende construir um imóvel de formato trapezoidal, conforme indicado na figura.
Para respeitar as normas acima definidas, assinale o intervalo que contém todos os possíveis valores de x. a) [6, 10]
b) [8, 14] c) [10, 18] d) [16, 24] e) [12, 24]
8. (G1 - utfpr 2014) A medida de y na figura, em graus, é: a) 42°. b) 32°. c) 142°. d) 148°. e) 24°.
9. (Ufsc 2014) Duas cidades, marcadas no desenho abaixo como A e B, estão nas margens retilíneas e opostas de um rio, cuja largura é constante e igual a
2,5 km, e a distâncias de 2,5 km e de 5 km, respectivamente, de cada uma das suas margens. Deseja-se construir uma estrada de A até B que, por razões de economia de orçamento, deve cruzar o rio por uma ponte de comprimento mínimo, ou seja, perpendicular às margens do rio. As regiões em cada lado do rio e até as cidades são planas e disponíveis para a obra da estrada. Uma possível planta de tal estrada está esboçada na figura abaixo em linha pontilhada:
Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a AC e a distância HK '=18km.
Calcule a que distância, em quilômetros, deverá estar a cabeceira da ponte na margem do lado da cidade B (ou seja, o ponto D) do ponto K, de modo que o percurso total da cidade A até a cidade B tenha comprimento mínimo.
10. (Espm 2014) Um avião voava a uma altitude e velocidade constantes. Num certo instante, quando estava a 8 km de distância de um ponto P, no solo, ele podia ser visto sob um ângulo de elevação de 60° e, dois minutos mais tarde, esse ângulo passou a valer 30°, conforme mostra a figura abaixo.
A velocidade desse avião era de: a) 180 km/h
b) 240 km/h c) 120 km/h d) 150 km/h
www.soexatas.com Página 3 e) 200 km/h
11. (Mackenzie 2014) Na figura abaixo, a e b são retas paralelas.
A afirmação correta a respeito do número que expressa, em graus, a medida do ângulo α é a) um número primo maior que 23.
b) um número ímpar. c) um múltiplo de 4. d) um divisor de 60.
e) um múltiplo comum entre 5 e 7.
12. (Cefet MG 2014) A figura abaixo tem as seguintes características:
- o ângulo ˆE é reto;
- o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD; - os segmentos AE, BD e DE, medem,
respectivamente, 5, 4 e 3.
O segmento AC, em unidades de comprimento, mede a) 8.
b) 12. c) 13. d) 61. e) 5 10.
13. (G1 - cftrj 2014) Na figura abaixo, ABCE é um retângulo e CDE é um triângulo equilátero.
Sabendo que o perímetro do polígono ABCDE é 456 cm e CD mede 68 cm, qual é a medida do lado BC? a) 118 cm
b) 126 cm c) 130 cm d) 142 cm
14. (Uece 2014) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é
a) 9. b) 11. c) 13. d) 15.
15. (G1 - ifsp 2014) Considerando que as medidas de dois ângulos opostos de um losango são dadas, em graus, por 3x+60° e 135° −2x, a medida do menor ângulo desse losango é
a) 75°. b) 70°. c) 65°. d) 60°. e) 55°.
16. (G1 - cftrj 2014) Quais são, respectivamente, as medidas dos ângulos X e Y na figura abaixo, sabendo que E é o ponto médio do segmento AD e que BCDE é um losango?
17. (Upe 2014) A figura a seguir mostra uma das peças do jogo “Pentaminós”.
Cada peça é formada por cinco quadradinhos, e o lado de cada quadradinho mede 5cm.
Com 120 dessas peças, Jorge montou uma faixa, encaixando perfeitamente as peças como mostra a figura a seguir:
www.soexatas.com Página 4 Quanto mede o perímetro dessa faixa?
a) 1 200 cm b) 1 500 cm c) 3 000 cm d) 3 020 cm e) 6 000 cm
18. (G1 - cftmg 2014) Nessa figura, ABCD é um retângulo cujos lados medem b e 2b. O ponto R pertence aos segmentos AC e BD e, ARDS é um quadrilátero em que M é ponto médio do segmento RS.
O segmento MP, expresso em função de b, é a) b 5. 5 b) b 5. 3 c) 2b 5. 3 d) 3b 5. 5
19. (G1 - cftrj 2014) Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo, as retas r e s são paralelas, D e E são pontos de s, F e G são pontos de r, F é um ponto de
AD, ABCˆ =30° e ˆCDE=120 .° Quanto mede, em graus, o ângulo DFG? ˆ
a) 120° b) 130° c) 140° d) 150°
20. (Unesp 2014) Em um plano horizontal encontram-se repreencontram-sentadas uma circunferência e as cordas AC
e BD. Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de x.
21. (G1 - cftmg 2014) Considere a figura em que r // s // t . O valor de x é a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. 22. (G1 - ifce 2014)
O valor do lado de um quadrado inscrito em um triângulo retângulo, conforme o esboço mostrado na figura, é a) 10. b) 8. c) 6. d) 4. e) 2.
23. (Pucrs 2014) Considere a imagem abaixo, que representa o fundo de uma piscina em forma de triângulo com a parte mais profunda destacada.
www.soexatas.com Página 5 O valor em metros da medida “x” é
a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 4 e) 6
24. (G1 - cftmg 2014) Numa festa junina, além da tradicional brincadeira de roubar bandeira no alto do pau de sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O ganhador do desafio fincou,
paralelamente a esse mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele encontrou, respectivamente, 25 dm e 125 dm. Portanto, a altura do “pau de sebo”, em metros, é
a) 5,0. b) 5,5. c) 6,0. d) 6,5.
25. (Fgv 2014) a) Para medir a largura x de um rio sem necessidade de cruzá-lo, foram feitas várias medições como mostra a figura abaixo. Calcule a largura x do rio.
b) Demonstre que a distância do vértice B ao
baricentro M de um triângulo é o dobro da distância do ponto E ao baricentro M.
26. (G1 - cftmg 2014) A figura a seguir apresenta um quadrado DEFG e um triângulo ABC cujo lado BC mede 40 cm e a altura AH, 24 cm.
A medida do lado desse quadrado é um número a) par.
b) primo.
c) divisível por 4. d) múltiplo de 5.
27. (Upf 2014) O triângulo ABC mostrado a seguir foi dividido em três figuras: I, II e III.
Então, é correto afirmar que:
a) A área da figura II é maior do que a área da figura I. b) A área da figura II é menor do que a área da figura
I.
c) A área da figura I é o dobro da área da figura III. d) A área da figura I é igual à área da figura II. e) A área da figura III é 1/3 da área da figura I. 28. (Uem 2014) Considere um triângulo ABC retângulo em A, a circunferência λ que passa pelos
www.soexatas.com Página 6 pontos A, B e C e considere D o ponto de BC de modo
que AD é uma altura do triângulo ABC. Sendo o ponto O o centro de ,λ assinale o que for correto.
01) A mediana relativa ao lado BC mede metade do comprimento do lado BC.
02) O comprimento do lado BC é igual à soma dos comprimentos dos lados AB e AC.
04) Os triângulos ABC, DBA e DAC são semelhantes. 08) O segmento BC é um diâmetro da circunferência
. λ
16) Se o triângulo ABC é isósceles, sua área
corresponde a mais de um terço da área do círculo delimitado por λ.
29. (Uece 2014) Sejam XY um segmento de reta cujo comprimento é 4 m e Z um ponto da mediatriz do segmento XY cuja distância ao segmento XY é 6 m. Se P é um ponto equidistante de X, Y e Z, então a distância, em metros, de P ao segmento XY é igual a a) 8. 3 b) 7. 3 c) 9. 4 d) 7. 4
30. (G1 - ifsp 2014) Um restaurante foi representado em sua planta por um retângulo PQRS. Um arquiteto dividiu sua área em: cozinha (C), área de atendimento ao público (A) e estacionamento (E), como mostra a figura abaixo.
Sabendo que P, H e R são colineares, que PH mede 9 m e que SH mede 12 m, a área total do restaurante, em metros quadrados, é a) 150. b) 200. c) 250. d) 300. e) 350.
31. (G1 - ifce 2014) Na figura abaixo, o valor da área do quadrado de lado “a”, em função dos segmentos “b” e “c”, é a) b2 + c2 b) b2 - c2 c) b2c2 d) c2 - b2 e) b2/c2
32. (Ita 2014) Considere o triângulo ABC retângulo em A. Sejam AE e AD a altura e a mediana relativa à hipotenusa BC, respectivamente. Se a medida de BE é
(
2 1 cm−)
e a medida de AD é 1 cm, então AC mede, em cm, a) 4 2−5. b) 3− 2. c) 6 2 2.− d) 3(
2 1 .−)
e) 3 4 2−5.33. (Cefet MG 2014) Nesta figura, ABCD é um retângulo e DH é um arco de circunferência cujo centro é o ponto M.
O segmento EH, em unidades de comprimento, mede a) 1 5. 2 − + b) 2 5. 2 + c) 1. 3
www.soexatas.com Página 7 d) 1.
2 e) 5.
2
34. (Uema 2014) A figura abaixo representa uma quadra de futebol de salão com a bola localizada no ponto P, conforme descrito na figura de vértice ABCD. No ponto C, há um jogador que receberá a bola chutada a partir de onde ele está.
Determine a distância x do jogador (ponto C) à bola (ponto P) em unidade de comprimento.
35. (G1 - ifsp 2014) Ao ligar, por segmentos de retas, os pontos médios dos lados de um quadrado de lado 60 cm, obtém-se um quadrilátero, cujo perímetro é, em centímetros, a) 30 2. b) 60 2. c) 90 2. d) 120 2. e) 150 2.
36. (Uea 2014) Caminhando 100 metros pelo
contorno de uma praça circular, uma pessoa descreve um arco de 144°. Desse modo, é correto afirmar que a medida, em metros, do raio da circunferência da praça é a) 125π b) 175 π c) 125 π d) 250 π e) 250π
37. (Ucs 2014) As medidas dos lados de um terreno A, de 50 m ,2 em forma de retângulo, são dadas, em metros, por 3x 2− e x 1.+
Pretendendo-se comprar um terreno B com a mesma forma e a mesma relação entre as medidas dos lados,
porém com 250 m2 de área, em quanto deve ser aumentado, em metros, o valor do parâmetro x ? a) 3 b) 5 c) 8 d) 9 e) 14
38. (Ufsc 2014) No livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, a personagem Macabéa é atropelada por um veículo cuja logomarca é uma estrela inscrita em uma circunferência, como mostra a figura.
Se os pontos A, B e C dividem a circunferência em arcos de mesmo comprimento e a área do triângulo
ABC é igual a 27 3 cm ,2 determine a medida do raio desta circunferência em centímetros.
39. (Ufg 2014) Com o objetivo de prevenir assaltos, o dono de uma loja irá instalar uma câmera de
segurança. A figura a seguir representa uma planta baixa da loja, sendo que a câmera será instalada no ponto C e as áreas hachuradas representam os locais não cobertos por essa câmera.
De acordo com essas informações, a área a ser coberta pela câmera representa, aproximadamente, a) 90,90% da área total da loja.
b) 91,54% da área total da loja. c) 95,45% da área total da loja. d) 96,14% da área total da loja. e) 97,22% da área total da loja.
www.soexatas.com Página 8 40. (Espm 2014) Na figura abaixo, ABCD é um
paralelogramo de área 24 cm .2 M e N são pontos médios de BC e CD, respectivamente.
A área do polígono AMND é igual a: a) 20 cm2
b) 16 cm2 c) 12 cm2 d) 15 cm2 e) 18 cm2
41. (Ufrgs 2014) A figura abaixo é formada por oito semicircunferências, cada uma com centro nos pontos médios dos lados de um octógono regular de lado 2.
A área da região sombreada é a) 4π+ +8 8 2 .
b) 4π+ +8 4 2 . c) 4π+ +4 8 2 . d) 4π+ +4 4 2 . e) 4π+ +2 8 2 .
42. (Insper 2014) Um retângulo tem comprimento X e largura Y, sendo X e Y números positivos menores do que 100. Se o comprimento do retângulo aumentar
Y% e a largura aumentar X%, então a sua área aumentará a) X Y XY %. 100 + + b) XY X Y %. 100 + + c) X Y XY %. 100 + + d) (X+Y)%. e) (XY)%. 43. (G1 - cftmg 2014) Um paisagista deseja cercar um jardim quadrado de
25m2. Sabendo-se que o metro linear da grade custa R$23,25 e que foi pago um adicional de R$1,75 por metro linear de grade instalado, a despesa com a cerca, em reais, foi de
a) 420,25. b) 450,00. c) 500,00. d) 506,75.
44. (Upe 2014) A figura a seguir representa um hexágono regular de lado medindo 2 cm e um círculo cujo centro coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado do hexágono.
Considere: π≅3 e 3 ≅1,7
Nessas condições, quanto mede a área da superfície pintada? a) 2,0 cm2 b) 3,0 cm2 c) 7,2 cm2 d) 8,0 cm2 e) 10,2 cm2
45. (Pucrj 2014) Fabio tem um jardim ACDE com o lado AC medindo 15 m e o lado AE medindo 6 m, A distância entre A e B é 7 m. Fabio quer construir uma cerca do ponto A ao ponto D passando por B. Veja a figura abaixo.
a) Se a cerca usada entre os pontos A e B custa 100 reais o metro e a cerca entre os pontos B e D custa 200 reais o metro, qual o custo total da cerca? b) Calcule a área da região hachurada ABDE. c) Considere o triângulo BCD, apresentado na figura
www.soexatas.com Página 9 cateto BB’=2BC, calcule a área do triângulo
BB’D’.
46. (Uerj 2014) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e
AC, de modo que DAEˆ =45° e BACˆ =30°, conforme ilustrado a seguir:
Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros.
Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que 3 =1,7, a área, em cm ,2 do triângulo CAE equivale a:
a) 80 b) 100 c) 140 d) 180
47. (Fgv 2014) Um triângulo ABC é retângulo em A. Sabendo que BC= e 5 ABC$ =30 ,° pode-se afirmar que a área do triângulo ABC é:
a) 3,025 3 b) 3,125 3 c) 3,225 3 d) 3,325 3 e) 3,425 3
48. (Uema 2014) Analise a situação a seguir: Um arquiteto foi contratado para decorar a entrada de um templo religioso, no formato de um triângulo
equilátero, com uma porta de madeira, cujas dimensões medem 1,05m por 2,5m, inserida neste triângulo. Sabe-se ainda que a altura do triângulo mede 4,25m e que a área da porta não receberá
decoração. A área, em metros quadrados, a ser decorada é igual a
(use 3=1,7). a) 10,0. b) 9,5. c) 8,5. d) 8,0. e) 7,0.
49. (G1 - ifsp 2014) Uma praça retangular é contornada por uma calçada de 2 m de largura e possui uma parte interna retangular de dimensões 15 m por 20 m, conforme a figura.
Nessas condições, a área total da calçada é, em metros quadrados, igual a
a) 148. b) 152. c) 156. d) 160. e) 164.
50. (G1 - cftmg 2014) A figura 1 é uma representação plana da “Rosa dos Ventos”, composta pela
justaposição de quatro quadriláteros equivalentes mostrados na figura 2.
Com base nesses dados, a área da parte sombreada da figura 1, em cm2, é igual a
a) 12. b) 18. c) 22. d) 24.
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Resolução das Questões
Resposta da questão 1: [C]
A área do setor é dada por
2 R AB R R R . 2 2 2 ⋅ = ⋅ = Resposta da questão 2: [D]
Sejam l l, +5 e l+10 as medidas dos lados do
triângulo UPE. Logo, pelo Teorema de Pitágoras, vem
2 2 2 2 2 2 2 ( 10) ( 5) 20 100 10 25 10 75 0 15 cm. + = + + ⇔ + + = + + + ⇔ − − = ⇒ = l l l l l l l l l l l
Em consequência, o resultado pedido é
2 15 20 150 cm . 2 ⋅ = Resposta da questão 3: [C]
Temos f(c)=c2 e f(3c)=9c ,2 com c>0. Logo, sendo g a função identidade, vem c2 =g(c )2 e
2 2
9c =g(9c ).
Portanto, se a área do trapézio T vale 160, então
2 2 2 2 4 1 (9c c ) (9c c ) 160 40c 160 2 c 2. ⋅ + ⋅ − = ⇔ = ⇒ = Resposta da questão 4:
a) A probabilidade pedida é dada por
2 1 L L 1 2 2 2 . 4 L ⋅ ⋅ =
b) A probabilidade de que as duas bolinhas atinjam a parte tampada é igual a
2 1 9 1 . 4 16 − =
Portanto, a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca é
9 7
1 .
16 16
− =
c) Sendo o acerto de uma bolinha na parte branca considerado sucesso, tem-se que o resultado pedido é dado por 4 2 6 1 3 6! 1 9 4 4 4 4! 2! 256 16 9 15 4096 3,30%. ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ≅ Resposta da questão 5: [C]
No YWO : xΔ = ⋅ (ângulo externo) 2 q
No OYZ : q 2 xΔ + =180° ⇒ ⋅ =5 q 180° ⇒ =q 36°
Logo, YÔZ : 36° .
Resposta da questão 6: 01 + 04 + 08 = 13.
O triângulo DCB é isósceles, logo os ângulos que conseguimos calcular são:
ˆ ˆ CBD BDC 45 ˆ DEC 180 75 105 ˆ ECB 180 45 75 60 ECD 90 60 30 = = ° = ° − ° = ° = ° − ° − ° = ° = ° − ° = °
Portanto, as proposições [01], [04] e [08] são verdadeiras e [02], [16] e [32] são falsas. Resposta da questão 7: [E] Área do lote: 20.(12 + 18) = 600m2 Área construída: 10x 120 2 20 ). 12 x ( + = +
www.soexatas.com Página 11 24 x 12 240 x 10 120 360 120 x 10 240 600 100 60 120 x 10 600 100 40⋅ ≤ + ≤ ⋅ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ Portanto, x∈[12,24]. Resposta da questão 8: [B] 6x 4 2x 100 4x 96 x 24 + ° = + ° = ° = ° Logo, y=180 – 2 24°
(
⋅ ° +100° =)
32 .°Obs: O formato da figura apresentada não condiz com os cálculos obtidos acima.
Resposta da questão 9: Considere a figura.
O trajeto ACDB tem comprimento mínimo quando B, D e H são colineares. Com efeito, se D' é um ponto da reta DK
suur
e C ' é o pé da perpendicular baixada de D' sobre a reta HK ',
suuur
então, pela Desigualdade Triangular,
BD' D'H+ =BD' AC'+ >BD DH+ =BH. Portanto, como os triângulos BDK e DHC são semelhantes por AA, segue-se que
DK BK DK 5 2,5 CH CD 18 DK DK 12km. = ⇔ = − ⇔ = Resposta da questão 10: [B]
Seja P' o pé da perpendicular baixada de P sobre a reta AA '.
suuur
É fácil ver que P ' AP =60 .° Daí, como P ' AP é ângulo externo do triângulo AA 'P segue-se que
AA 'P=30 ,° o que implica em AA '=AP=8km. Portanto, a velocidade do avião no trecho AA ' era de
8 240km h. 2 60 = Resposta da questão 11: [D] Os ângulos (60° − +α 4 )α =(60° +3 )α e 2α+90° são alternos internos. Portanto,
60° +3α=2α+90° ⇔α=30 ,° que é um divisor de 60. Resposta da questão 12:
[E]
Desde que os triângulos ACE e BCD são semelhantes por AA, vem
CD BD CD 4 5 CE AE CD 3 CD 12. = ⇔ = + ⇔ =
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACE, encontramos
2 2 2 2 2 2 AC AE CE AC 5 15 AC 5 10. = + ⇔ = + ⇒ = Resposta da questão 13: [B] AB = ED = CD = 68 e AE = BC = x Logo, 2x + 68 + 68 + 68 = 252 2x = 252 x = 126, ou seja, BC = 126 cm. Resposta da questão 14: [A]
Admitindo que n seja o número de lados de um polígono e de o número de diagonais, temos:
www.soexatas.com Página 12 2 2 1 n (n 3) n d d 3 n 3n n 3 n 6n n 9 n 0 3 2 n 0 (não convém) ou n 9. ⋅ − = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ = = Logo, o valor de n é 9. Resposta da questão 15: [A] 3x 60 135 2x 5x 75 x 15 3 15 60 180 75 . α α + ° = ° − = ° = ° + ⋅ ° + = ° ⇒ = ° Resposta da questão 16: y = 180° – 112° = 68° Logo, $BED=68 .°
AE=EB, portanto, EBCˆ =x. No triângulo AEB : 2x = 68° Portanto, x = 34°.
Resposta da questão 17: [D]
Cada duas peças formam um retângulo de dimensões 10 cm 25 cm.× Portanto, o perímetro da faixa é dado
por 120 2 25 2 10 3020 cm.
2 ⋅ ⋅ + ⋅ =
Resposta da questão 18: [A]
Como M é ponto médio de SR,
AMS=90° e AR=AD, segue-se que ARDS é losango.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADC, encontramos AC=b 5.Logo, AR DS b 5.
2
= =
Portanto, como o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura, do triângulo MSD, vem b 5 b DS MP MS DM MP b 2 2 b 5 MP . 5 ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = Resposta da questão 19: [D] ˆ
ADC 30 (ângulos opostos do paralelogramo) ˆ
GFD 30° 120 150 (alternos internos)
= °
= + ° = °
Resposta da questão 20:
Utilizando a relação entre as cordas, temos:
2 2 2 2x (x 3) x (3x 1) 2x 6x 3x x x 7x 0 ⋅ + = ⋅ − + = − − + =
Resolvendo a equação temos: x = 0 (não convém) ou x=7 .
Resposta da questão 21: [B]
Aplicando o teorema de Tales na figura, temos:
2 2 2 x x 6 2x 7x x 8x 12 x x 12 0 x 4 x 2 2x 7 + = ⇔ + = + + ⇔ − − = ⇔ = + + ou x= − (não convém) 3 Portanto, x = 4. Resposta da questão 22: [D]
www.soexatas.com Página 13 Considere a figura.
É fácil ver que os triângulos BFE e DGC são semelhantes por AA. Portanto, se l é a medida do lado do quadrado, temos
2 8 16 4. 2= ⇔ = ⇒ = l l l l Resposta da questão 23: [C]
O triângulo ADE é isósceles, logo AD = 8m. O triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE, portanto: 2 x 8x 24 x 3m 8 =12⇒ = ⇔ = Resposta da questão 24: [A]
Sabendo que a altura é proporcional ao comprimento da sombra projetada, segue-se que a altura h do pau de sebo é dada por
h 1
h 5 m. 125= 25⇔ = Resposta da questão 25:
a) Supondo que CAB ≡BED$ =90 ,° é fácil ver que os triângulos ABC e EBD são semelhantes por AA. Desse modo, temos
AC AB x 24 2 2,5 ED BE x 19,2 m. = ⇔ = ⇔ =
b) Queremos mostrar que BM= ⋅2 ME.
De fato, sabendo que D e E são pontos médios de AB e AC, respectivamente, tem-se que DE é base média do triângulo ABC e, portanto,
1
DE BC
2
= ⋅ e DE BC. Em consequência, os triângulos DEM e BCM são semelhantes por AA. Daí, BM BC BM BC 1 ME DE ME BC 2 BM 2 ME. = ⇒ = ⋅ ⇔ = ⋅ Resposta da questão 26: [D]
Seja l a medida do lado do quadrado DEFG. Os triângulos ABC e AEF são semelhantes por AA. Portanto, 24 120 5 3 40 24 15cm, − = ⇔ − = ⇔ = l l l l l que é um múltiplo de 5. Resposta da questão 27: [D] y 2 z x x 2 y z ~ III I Δ ⇒ = ⇒ = Δ
Calculando a área de cada figura, temos:
2 y x A y x 2 A xy 2 2 x 2 z A III II I ⋅ = ⋅ = = ⋅ =
Portanto, a área da figura I é igual à área da figura II. Resposta da questão 28:
www.soexatas.com Página 14 [01] Verdadeira, pois AO = BC/2 (raio e diâmetro).
[02] Falsa, pois BC2 = AB2 + AC2.
[04] Verdadeira. Observe que os ângulos são, respectivamente, congruentes.
[08] Verdadeira. BÂC=90 ,° portanto, o arco (BPC)) =180 ,° logo BC é diâmetro.
[16] Falsa. Área máxima para o triângulo
2 2 R R ABC : R 2 ⋅ ⋅ = e 2 2 R R . 3 π⋅ < Resposta da questão 29: [A]
Considerando x a distância do ponto P até o segmento XY, temos:
PZ = PX = 6 – x
Aplicando, agora, o Teorema de Pitágoras no triângulo PMX: x2 + 22 = (6 – x)2 x2 + 4 = 36 – 12x + x2 12x = 32 x = 8/3 Resposta da questão 30: [D] 2 2 2 No PHS: PS 9 12 PS 15m. 9 12 PHS PSR SR 20m. 15 SR Δ Δ Δ = + ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
Portanto, a área do terreno será:
2
A=20 15⋅ =300m
Resposta da questão 31: [A]
A área A de um quadrado de lado a é dada por A = a2. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo DFH, temos a2 = b2 + c2. Portanto, A = a2 + b2.
Resposta da questão 32: [C]
No triângulo ABC, temos:
(
)
2 AD BD CD 1 AB =2 2 1 = = − = ewww.soexatas.com Página 15 2 2 2 AC 4 2 ( 2 1) AC 6 2 AC AB 2 2 = − ⋅ − = − = ⋅ + Resposta da questão 33: [A]
Desde que AB EM e E é o ponto médio de AD, segue-se que EM é base média do triângulo ABD. Assim, temos EM AB 1.
2 2
= =
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo DEM, vem 2 2 2 2 2 1 2 DM EM DE DM 1 2 5 DM . 2 = + ⇔ = + ⇒ =
Por conseguinte, dado que DH é um arco de circunferência com centro em M, encontramos
1 5 EH HM EM . 2 − + = − = Resposta da questão 34:
Vamos supor que a locução: “figura de vértice ABCD" signifique “figura de vértices A, B, C e D. ” Considere a figura.
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos APH, BPE, DPG e CPE, obtemos
2 2 2 2 2 2 m +r =25, n +r =4, n +s =16 e m2+s2 =x .2 Somando, vem 2 2 2 2 2 2 2 2(m s ) 2(n r ) 45 x 2x 8 45 x x 37 u.c. + + + = + ⇔ + = + ⇒ = Resposta da questão 35: [D] 2 2 2 x 30 30 x 1800 x 30 2 = + = =
Logo, o perímetro P será dado por: P 4 30 2 P 120 2 cm. = ⋅ = Resposta da questão 36: [C]
Admitindo R a medida do raio, temos:
4 100 125 144 rad R . 5 R π π ° = = ⇒ = Resposta da questão 37: [B]
Sendo 50 m a área do terreno retangular de 2 dimensões 3x 2− e x 1,+ segue que
2
(3x 2)(x 1) 50 3x x 52 0 x 4 m.
− + = ⇔ + − =
⇒ =
Se x=x0 é o valor de x tal que
0 0
(3x −2)(x +1)=250, temos 2
0 0 0
3x +x −252= ⇒0 x =9.
Portanto, o parâmetro x deve ser aumentado em 9− = metros. 4 5
Resposta da questão 38:
Como os arcos determinados por A, B e C têm mesmo comprimento, segue-se que o triângulo ABC é equilátero. Além disso, sabendo que a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r é dada por 3 3 r ,2
www.soexatas.com Página 16 2 3 3 r 27 3 r 6 cm. 4 ⋅ = ⇒ = Resposta da questão 39: [C] 2 ABD AB 1,5 0,682 1,5 ABD ~ DEC : AB 0,682 e A 0,51 m 2,5 5,5 Δ 2 Δ Δ = ⇒ = = ⋅ = 2 FGH FG 1 0,667 1 FGH ~ HIC : FG 0,667 e A 0,33 m 2 3 Δ 2 Δ Δ = ⇒ = = ⋅ = Área da loja: A= ⋅ −4 7 1,52−2 1 23,75 m⋅ = 2 Área não coberta pela câmera em porcentagem:
% 46 , 96 75 , 23 33 , 0 51 , 0 75 , 23 − − =
Observação: O resultado apresentado não confere com o gabarito oficial, pois o gabarito oficial
considerou que os ângulos BDA e FHG são congruentes.
Resposta da questão 40: [D]
Sendo ABCD um paralelogramo, é imediato que AD=BC e AB=CD.
Como a área de ABCD vale 24 cm , tem-se 2
1
(ABCD) 2 AD CD sen ADC AD CD sen ADC 24. 2
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅ =
Além disso, sabemos que ADC ≡ABC$ e
BCD=180° −ADC. Por conseguinte, o resultado pedido é dado por
$
2
(AMND) (ABCD) (ABM) (MCN)
1 1
24 AB BM sen ABC CM CN senBCD
2 2
1 AD 1 AD CD
24 CD sen ADC sen(180 ADC)
2 2 2 2 2
1 1
24 AD CD sen ADC AD CD sen ADC
4 8 24 6 3 15cm . = − − = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ° − = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − − = Resposta da questão 41: [A]
Cálculo da área do octógono regular:
2 2 2
x +x =2 ⇒ =x 2
Portanto, a área A do octógono regular será dada 1 por:
(
)
(
)
2 2 1 2 2 1 x A 2 2x 4 2 2 A 2 2 2 4 8 2 8 2 = + − ⋅ = + − ⋅ = +Cálculo da área A dos oito semicírculos: 2 2 2 1 A 8 4 2 π π ⋅ = ⋅ =
Logo, a área da figura será dada por:
1 2
A=A +A ⇒A=8 2+ +8 4π (Alternativa [A]).
Resposta da questão 42: [A]
A área do retângulo, após os acréscimos no comprimento e na largura, é dada por
www.soexatas.com Página 17 Y X X 1 Y 1 . 100 100 + ⋅ +
Logo, o resultado pedido é
Y X X 1 Y 1 X Y X Y XY 100 100 100% 1 1 100% X Y 100 100 10000 XY X Y %. 100 + ⋅ + − ⋅ ⋅ = + + + − ⋅ ⋅ = + + Resposta da questão 43: [C] Lado do quadrado: 5m Perímetro do quadrado: 5 + 5 + 5 + 5 = 20m Valor pedido: 20 (23,25 1,75)⋅ + =20 25⋅ =R$500,00 Resposta da questão 44: [C]
O resultado pedido é dado por 2 2 2 3 2 3 1 6 1,7 3 7,2cm . 2 π ⋅ ⋅ − ⋅ ≅ ⋅ − = Resposta da questão 45:
a) Vamos supor que ACDE seja um retângulo. Temos BC=AC AB− =15 7− =8 m. Daí, sendo
AE=CD=6 m, aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo BCD para encontrar BD=10 m. Por conseguinte, o custo total da cerca é igual a
7 100 10 200⋅ + ⋅ =R$ 2.700,00. b) Se ACDE é um retângulo, então
2 AB DE (ABDE) AE 2 7 15 6 2 66 m . + = ⋅ + = ⋅ = c) Como BB '= ⋅2 BC=16 m e B 'D'=CD=6 m, segue que o resultado pedido é
2 1 (BB'D) BB ' B 'D' 2 1 16 6 2 48 m . = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = Resposta da questão 46: [C]
Do triângulo ABC, obtemos
BC 1 senBAC BC 40 20cm 2 AC = ⇔ = ⋅ = e AB 3 cosBAC AB 40 34cm. 2 AC = ⇔ = ⋅ ≅
Além disso, como DAE =45 ,° segue que AD=DE BC= =20cm.
Portanto, a área do triângulo ACE é dada por
2
(ACE) (ADC) (ADE)
34 20 20 20 2 2 140cm . = − ⋅ ⋅ = − = Resposta da questão 47: [B] Tem-se que $ AB 5 3
cos ABC AB u.c.
2 BC
= ⇔ =
Portanto, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC é
$ 1
(ABC) AB BC sen ABC
2 1 5 3 1 5 2 2 2 3,125 3 u.a. = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = Resposta da questão 48: [D]
Sabendo que a área S de um triângulo equilátero de altura h é dada por
2
h 3
S ,
3 =
www.soexatas.com Página 18 2 2 (4,25) 1,7 1,05 2,5 10,24 2,63 3 7,61 m . ⋅ − ⋅ ≅ − ≅ Resposta da questão 49: [C] Dimensões da praça: 15 + 2 + 2 = 19m 20 + 2 + 2 = 24m
Portanto, sua área total será 19 24⋅ =456 m .2 Área da parte interna será 15 20⋅ =300 m .2
Logo, a área da calçada será 456 300− =156 m .2 Resposta da questão 50:
[D]
A área pedida é dada por
2 1 2 2 1 2 11 4 4 6 24 cm . 2 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ =
