A S F Ó R M U L A S D E E U L E R E M P R O J E Ç Ã O E S T E R E O G R Á F I C A Ε S E U S I G N I F I C A D O F Í S I C O N O L E V A N T A M E N T O D E I N D I C A T R I Z E S Ó T I C A S *
INTRODUÇÃO
As fórmulas de Euler, clássicas no capítulo de transformação de coordenadas, po-dem ser ligadas ao fenômeno ótico de extinção e aplicadas, então, no levantamento da indicatriz ótica de minerais, dados em secção delgada. Tal é, precisamente, a base do método analítico desenvolvido por CHOMARD (1934). A intenção principal deste tra-balho é apresentar a dedução das fórmulas de Euler, a partir da representação estereo-gráfica de triângulos esféricos.
MUDANÇA DE EIXOS EM PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA
Sejam OXYZ e Oxyz dois sistemas coordenados coiniciais. O problema de transfor-mação de coordenadas consiste em exprimir as coordenadas ( X \ Υ', Ζ') de um ponto no sistema OXYZ em função das coordenadas (χ', y', ζ') do mesmo p o n t o no sistema Oxyz. Sejam (a, b , c), (a', b ' , c') e (a", b " , c") os co-senos dos ângulos de Ox, Oy e Oz com OX, OY e OZ, respectivamente. Se os dois sistemas são retangulares, demonstra-se que (NIEWENGLOWSKI, 1914):
I B R A H I M O C T A V I O A B R A H Ã O * * A R A R Υ M A R C O N I * *
R E S U M O
As fórmulas de Euler são deduzidas a partir de triângulos esféricos obtidos da representação estereográfica das rotações φ, 0, Ψ. Um exem plo de aplicação a uma secção arbitrária de gipsita é incluído.
equações de transformação a que se ligam as expressões:
* Entregue para publicação em 1 9 / 1 2 / 1 9 7 5 .
Representemos os dois sistemas em projeção estereográfica (fig. 1). Seja OJ per-pendicular a zZ, o traço da intersecçâo do plano XY sobre xy. Os ângulos de Euler são definidos da seguinte maneira (CHOMARD, 1934):
1 — Ψ, rotação ao redor de OZ, que leva OX à coincidência com O J ; 2 - 0, rotação ao redor de OJ, que leva OZ à coincidência com Oz; 3 - φ, rotação ao redor de Oz, que leva OX à coincidência com Ox.
As três rotações φ, θ, Ψ, são independentes e constituem os parâmetros de liberdade de um sistema com relação a outro. O sistema Oxyz pode ser levado à coincidência com OXYZ mediante rotações inversas, isto é, -φ, - 0 , - Ψ . Convencionalmente, o sentido positivo de Ψ é tomado de OX para OJ, o de φ de OJ para Ox e o de θ de OZ para Oz.
A platina universal permite executar, no microscópio, as rotações de Euler. CHO-MARE) (1934) adota as notações seguintes:
— Oxyz é um sistema retangular qualquer em um mineral, em secção delgada; — OX e OY são as direções de vibração do polarizador e do analisador;
— OZ é o eixo do microscópio;
— S, plano XOY, de pólo Z, é a platina do microscópio.
OXYZ é, pois, um sistema fixo no microscópio e o sistema Oxyz do mineral movi-menta-se segundo (φ, 0, Ψ) para ser levado à coincidência com OXYZ.
É precisamente este o contexto do método analítico: atribuído significado físico aos eixos é possível estabelecer uma relação imediata entre as rotações de Euler e o fe-nômeno de extinção, o que acaba por conduzir ao levantamento analítico da indicatriz ótica do mineral.
DEDUÇÃO DAS FÓRMULAS DE EULER
As expressões que estabelecem relação entre φ, θ e Ψ e as nove constantes de trans formação de coordenadas (fórmulas de Euler) podem ser obtidas por meio da trigono-metria esférica. Com efeito, apliquemos aos triângulos esféricos da fig. 1 a expressão fundamental da lei dos co-senos dos lados (WENTWORTH e SMITH, 1915):
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
Obtém-se, então: 1 — No triângulo xXJ:
a = cos (xX) = cos φ . cos Ψ + sen φ . sen Ψ . (-cos θ) ou a - cos φ . cos Ψ" — sen φ . sen Ψ . cos θ
2 — No triângulo x Y J :
b = cos (xY) = cos φ . cos ( 9 0 ° + Ψ) + sen φ . sen (90° + Ψ ) . (-cos Θ) ou b = -cos φ . sen Ψ — sen φ . cos Ψ . cos θ
ou tomando a parte aguda de x Y :
3 — No triângulo x Z J :
c = cos (xZ) = cos φ . cos 90° + sen φ . sen 90° . cos (xJZ) ou, como cos (xJZ) = cos (90° — Θ) = sen 0,
c = sen φ . sen 0 4 — No triângulo y X J :
a' = cos (yX) = cos Ψ . cos (90° + φ) + sen Ψ . sen ( 9 0 ° + φ) . (-cos 0) ou a' = -cos Ψ . sen φ — sen Ψ . cos φ . cos 0
5 — No triângulo y Y J :
b ' = cos (yY) = cos (90° + φ) . cos (90° + Ψ) + sen (90° + φ) . sen (90° + Ψ ) . . (-cos θ)
ou, tomando a parte aguda de y X :
b ' = -sen φ . sen Ψ + cos φ . cos Ψ . cos θ 6 - No triângulo y Z J :
c' = cos (yZ) = cos 90° . cos (90° + + sen 90° . sen (90° + φ) . cos (90° - θ) ou c' = cos φ . sen θ
7 — No triângulo zXJ:
a" = cos (zX) = cos Ψ . cos 90° + sen Ψ . sen 90° . cos (90° - 0) ou a" = sen Ψ . sen θ
8 - No triângulo zYJ :
b " = cos(zY) = cos (90° + Ψ ) . cos 90° + sen (90° + Ψ ) . sen 90° . cos (90° - Θ) ou b " = -cos Ψ . sen Θ
9 — No triângulo zZJ, ou diretamente: c " = cos θ
EXEMPLO
Cada conjunto (φ, θ, Ψ) efetuado no microscópio é uma operação de extinção. Na prática, isso significa levar uma secção à extinção e efetuar, nos eixos VE e EW da plati-na as rotações φ e 0, arbitrárias. A extinção será desfeita e a rotação efetuada ao redor de OZ para restitui-la é o ângulo de extinção Ψ. Em cada operação de extinção há, pois apenas a medição de Ψ.
Tomemos uma secção arbitrária de gipsita, 2V = 58° (+) (fig. 2). Por meio da cons-trução de Biot-Fresnel, levemos a secção a qualquer de suas posições de extinção. Tem--se, então, φ-θ = Ψ = 0. Efetuemos θ - 3 0 ° , φ - 6 0 ° , localizemos as novas posições dos planos bissetores e determinemos Ψ (fig. 2). Obtém-se:
Figura 2 - Operação de eximçáo φ - 60°, θ = 30°, Ψ = 43° em seção de gipsita (2V = 58°). Αι A2 = localização dos eixos óticos em posição iniciai de extinção.
ΑΊΑ'2 = localização dos eixos óticos após rotação φ= 60°.
A'íA'2 = locanzaçãados eixos óticos após rotação φ= 6Όυ θ = 30°. Ox = traço do plano bissetor de A j A 2 .
Esses òão os valores necessários à aplicação do método analítico. Apenas trés ope-rações de extinção resolvem o problema de determinar a posição dos índices de refração principais e o valor do ângulo 2V. É nesse contexto que o método vem sendo aplicado com êxito por ABRAHÃO ( 1 9 6 8 , 1971, 1974 a,b) e ABRAHÃO e.MARCONI (1974,
1975a, b , c ) .
S U M M A R Y
T h e E u r l e r ' s f o r m u l a s are derived from spherical triangles w h i c h were o b t a i n e d from t h e s t e r e o g r a p h i c r e p r e s e n t a t i o n o f t h e φ, Θ a n d Ψ r o t a t i o n s . A e x a m p l e o f its a p p l i c a t i o n is given for an a r b i t r a r y t h i n section o f g y p s u m .
L I T E R A T U R A C I T A D A
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