Departamento de Informática. Modelagem Analítica. Modelagem Analítica do Desempenho de Sistemas de Computação. Disciplina:

(1)

1

Departamento de Informática

Disciplina:

Copyright Copyright Copyright

Copyright  1999199919991999----2002004200200444 by by by by TeleMídia Lab.TeleMídia Lab.TeleMídia Lab.TeleMídia Lab.

Modelagem Analítica do

Desempenho de Sistemas

de Computação

Modelagem Analítica do

Desempenho de Sistemas

de Computação

Redes de Filas: Problema da CPU e Dois Discos Método de Solução: Convolução

Prof. Sérgio Colcher colcher@inf.puc-rio.br

Redes de Filas: Problema da CPU e Dois Discos Método de Solução: Convolução

Prof. Sérgio Colcher colcher@inf.puc-rio.br Modelagem Analítica Modelagem Analítica 2

Problema

Considere uma estação servidora de BD composta de Considere uma estação servidora de BD composta de

•• uma única CPU e uma única CPU e

•• dois discosdois discos –

– Um rápido e um lentoUm rápido e um lento

Usuários se “logam” remotamente no sistemaUsuários se “logam” remotamente no sistema

•• Efetuam transações e saemEfetuam transações e saem

Devido ao desempenho limitado do sistema, apenas dois Devido ao desempenho limitado do sistema, apenas dois usuários logados são permitidos no sistema em qualquer usuários logados são permitidos no sistema em qualquer instante

instante

A demanda, porém, é suficientemente grande para garantir A demanda, porém, é suficientemente grande para garantir que sempre há dois usuários logados no sistema a qualquer que sempre há dois usuários logados no sistema a qualquer instante

instante

•• Em outras palavras, assim que um usuário deixa o sistema, Em outras palavras, assim que um usuário deixa o sistema, outro imediatamente ocupa o seu lugar

outro imediatamente ocupa o seu lugar

Modelagem Analítica Modelagem Analítica

3

Problema (cont)

Cada transação alterna o uso da CPU com o uso

de um dos discos

••

O disco específico utilizado depende da transação e

do momento

–

– Diferentes transações podem utilizar diferentes Diferentes transações podem utilizar diferentes arquivos em momentos diferentes

arquivos em momentos diferentes

•• arquivos diferentes podem residir em discos diferentesarquivos diferentes podem residir em discos diferentes

4

Problema (cont)

Suponha que uma transação típica tenha as seguintes Suponha que uma transação típica tenha as seguintes cacaterísticas

cacaterísticas

i.

i. Requer um tempo de CPU médio de 10 sRequer um tempo de CPU médio de 10 s

ii.

ii. Tem probabilidades iguais para o acesso a cada um dos Tem probabilidades iguais para o acesso a cada um dos discos

discos

iii.

iii. Requer um tempo médio de 20 s para o acesso a um Requer um tempo médio de 20 s para o acesso a um arquivo caso esse esteja no disco rápido

arquivo caso esse esteja no disco rápido

iv.

iv. Requer um tempo médio de 30 s para o acesso a um Requer um tempo médio de 30 s para o acesso a um arquivo caso esse esteja no disco lento

arquivo caso esse esteja no disco lento

DesejaDeseja--se obter medidas de desempenho do sistemase obter medidas de desempenho do sistema

•• Tempo médio de resposta, número médio de usuários no Tempo médio de resposta, número médio de usuários no sistema etc.

(2)

Modelagem Analítica Modelagem Analítica 5

Rede de Filas

CPU Disco Rápido Disco Lento p 1-p C

µ

f

µ

s

µ

MPL=2 1 10 0,1 6 1 20 0, 05 3 1 30 0, 0333 2 1 0, 5 C C f f s s

s trans s trans min

p p µ µ µ µ µ µ = ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = = − = Modelagem Analítica Modelagem Analítica 6

Rede de Filas

Descrição de estado:Descrição de estado:

•• nn_c_c: número de transações sendo servidas pela CPU: número de transações sendo servidas pela CPU

•• nn_f_f: número de transações sendo servidas pelo Disco Rápido: número de transações sendo servidas pelo Disco Rápido

•• nn_s_s: número de transações sendo servidas pelo Disco Lento: número de transações sendo servidas pelo Disco Lento

µ

f

µ

s

µ

MPL=2 ( ,n n n_c _f, _s) Por definição: n_c+n_f +n_s =MPL Modelagem Analítica Modelagem Analítica 7

Cadeia de Markov

µ

f

µ

s

µ

MPL=2 2,0,0 1,1,0 0,2,0 0,1,1 _0,0,2 1,0,1 cp µ Estado: ( ,n n nc f, s) (1 ) c p µ − s µ f µ (1 ) c p µ − µc(1−p) f µ s µ cp µ cp µ f µ µs Modelagem Analítica Modelagem Analítica 8

Equações de Balanço de Fluxo Global

2,0,0 1,1,0 0,2,0 0,1,1 _0,0,2 1,0,1 cp µ µc(1−p) s µ f µ (1 ) c p µ − µc(1−p) f µ s µ cp µ cp µ f µ µs

(

)

(

)

(

)

110 101 200 200 020 011 110 200 011 002 101 110 020 110 101 011 101 002 200 110 101 020 011 002 (1 ) (1 ) (1 ) 1 f s c c f s f c c f s s c c f c c s f c s P P P pP P P P p P P P P pP P p P pP P p P P P P P P P P µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ + =   + + = +   − + + = +   =   − + = +   − =   ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₌ 

(3)

9

Equações de Balanço de Fluxo

2,0,0 1,1,0 0,2,0 0,1,1 _0,0,2 1,0,1 cp µ µc(1−p) s µ f µ (1 ) c p µ − µc(1−p) f µ s µ cp µ cp µ f µ µs

(

)

(

)

(

)

110 101 200 200 020 011 110 200 011 002 101 110 020 110 101 011 101 002 200 110 101 020 011 002 (1 ) (1 ) (1 ) 1 f s c c f s f c c f s s c c f c c s f c s P P P pP P P P p P P P P pP P p P pP P p P P P P P P P P µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ + =   + + = +   − + + = +   =   − + = +   − =   ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₌  110 011 101 011 (1 ) c s c f p P P pP P µ µ µ µ − = = Modelagem Analítica Modelagem Analítica 10

Equações de Balanceamento de Fluxo Local

2,0,0 1,1,0 0,2,0 0,1,1 _0,0,2 1,0,1 cp µ µc(1−p) s µ f µ (1 ) c p µ − µc(1−p) f µ s µ cp µ cp µ f µ µs 110 200 101 200 020 110 011 110 011 101 002 101 200 110 101 020 011 002 (1 ) (1 ) (1 ) 1 f c s c f c s c f c s c P pP P p P P pP P p P P pP P p P P P P P P P µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ =   = −   ₌  = −   ₊   ₌ ₋  + + + + + =  Modelagem Analítica Modelagem Analítica 11

Equações de Balanceamento de Fluxo Local

110 200 101 200 020 110 011 110 011 101 002 101 200 110 101 020 011 002 (1 ) (1 ) (1 ) 1 f c s c f c s c f c s c P pP P p P P pP P p P P pP P p P P P P P P P µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ =   = −   ₌  = −   ₊   ₌ ₋  + + + + + =  Definindo: (1 ) c f c s p p µ µ µ µ = − = U U f s 110 200 101 200 2 020 110 200 011 110 200 011 101 200 2 002 101 200 200 110 101 020 011 002 1 f s f f s s f f f s s s P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P =   =   ₌ ₌  = =   = =   ₌ ₌  + + + + + =  U U U U U U U U U U U U Modelagem Analítica Modelagem Analítica 12

Equações de Balanceamento de Fluxo Local

110 200 101 200 2 020 110 200 011 110 200 011 101 200 2 002 101 200 200 110 101 020 011 002 1 f s f f s s f f f s s s P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P =   =   ₌ ₌  = =   = =   ₌ ₌  + + + + + =  U U U U U U U U U U U U 200 110 101 020 011 002 2 2 200 200 200 200 200 200 200 2 2 1 1 1 1 f s f f s s f s f f s s P P P P P P P P P P P P P + + + + + = + + + + + = = + + + + + U U U U U U U U U U U U 2 0 0 200 2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 2 Definindo _c 1 c f s c f s c f s c f s c f s c f s c f s P = = + + + + + U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U

(4)

13

Equações de Balanceamento de Fluxo Local

2,0,0 1,1,0 0,2,0 0,1,1 _0,0,2 1,0,1 cp µ µc(1−p) s µ f µ (1 ) c p µ − µc(1−p) f µ s µ cp µ cp µ f µ µs 2 0 0 200 2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 2 c f s c f s c f s c f s c f s c f s c f s P = + + + + + U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U Modelagem Analítica Modelagem Analítica 14

Equações de Balanceamento de Fluxo Local

2 0 0 200 2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 2 c f s c f s c f s c f s c f s c f s c f s P = + + + + + U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U 2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 2 2 0 0 200

Definindo ( ) (2) como sendo o denominador, isso é (2) então: (2) c f s c f s c f s c f s c f s c f s c f s G MPL G G P G = = + + + + + = U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U Modelagem Analítica Modelagem Analítica 15

Equações de Balanceamento de Fluxo Local

2 0 0 200 (2) c f s P G =U U U 110 200 101 200 2 020 110 200 011 110 200 011 101 200 2 002 101 200 200 110 101 020 011 002 1 f s f f s s f f f s s s P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P =   =   ₌ ₌  = =   = =   ₌ ₌  + + + + + =  U U U U U U U U U U U U 1 1 0 110 1 0 1 101 0 2 0 020 0 1 1 011 0 0 2 002 (2) (2) (2) (2) (2) c f s c f s c f s c f s c f s P G P G P G P G P G = = = = = U U U U U U U U U U U U U U U Modelagem Analítica Modelagem Analítica 16

Interpretação

(1 ) 1 c f c s p p

µ

= − = = U U U f s c

O que significam

?

(5)

Cadeia de Markov

µ

f

µ

s

µ

_MPL=2 (1 ) 1 c f c s p p

µ

= − = = U U U f s c

Suponha que a CPU ficou 100% ocupada. Com essa hipótese, usuários deixam a CPU a uma taxa média igual a . A taxa de chegada ao disco rápido é de e a

taxa de serviço desse disco é . Logo, o val

c c

f

p

µ µ

µ or =

é a utilização do disco rápido considerando que a CPU tem utilização de 100% ( 1). c f f c p µ µ = U U Modelagem Analítica Modelagem Analítica 18

Equações de Balanceamento de Fluxo Local

2 0 0 200 (2) c f s P G =U U U 1 1 0 110 1 0 1 101 0 2 0 020 0 1 1 011 0 0 2 002 (2) (2) (2) (2) (2) c f s c f s c f s c f s c f s P G P G P G P G P G = = = = = U U U U U U U U U U U U U U U

G( ) é um fator de normalização. Seu número de fatores é igual ao número de estados na cadeia de markov, que é dependente do MPL e do número de dispositivos. Historicamente, expressa-se o G ( ) apenas como função de MPL, isto é, G(MPL).

De uma forma geral, em um sistema com K dispositivos e MPL, tem-se: 2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 2 (2) _c _f _s _c _f _s _c _f _s c f s c f s c f s G = + + + + + + U U U U U U U U U U U U U U U U U U 1 2 1 2 1 2 ... ( ) K K n n n K n n n P G MPL =U U U Modelagem Analítica Modelagem Analítica 19

G(MPL)

0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 2 1 2

(no. de usuários no disp i no estado s) 1

(0)

1 (1)

...

(

)

K K K K K i s S i

G

G MPL

∈ =

=

+

=

∑∏

U U

U

U U

U

U U

U

U U

U

1 2... 1 1 ( ) i K K n n n n i i P G MPL = =

_∏

U Product Form Modelagem Analítica Modelagem Analítica 20

Métricas de Desempenho: Utilização

Seja Seja ρρ_ii((MPLMPL) a utilização do dispositivo ) a utilização do dispositivo ii quando o nível de quando o nível de multiprogramação do sistema é

multiprogramação do sistema é MPL.MPL.

Na Cadeia de Markov, o disco rápido está ocupado em todos os Na Cadeia de Markov, o disco rápido está ocupado em todos os estados em que há pelo menos um usuário no segundo elemento da estados em que há pelo menos um usuário no segundo elemento da tupla

tupla

•• Isto é, nos estados Isto é, nos estados (1,1,0), (0,2,0) (1,1,0), (0,2,0) ee (0,1,1)(0,1,1)

110 020 011 1 1 0 0 2 0 0 1 1 1 1 0 0 2 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (2) 1 1 1 (2) (2) (2) 1 (2) 1 (2) f c f s c f s c f s c f s c f s c f s f c f s c f s c f s P P P G G G G G ρ = + + = + +   = _ + + _   = _ + + _ U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U ₍₂₎ (1) (2) f f G G ρ = U

(6)

21

Métricas de Desempenho: Utilização

GeneralizandoGeneralizando

•• Em outras palavras, a utilização de um dispositivo i é igual Em outras palavras, a utilização de um dispositivo i é igual a sua utilização relativa normalizada por um fator

a sua utilização relativa normalizada por um fator G(MPL

G(MPL––11))//G(MPL)G(MPL) –

– Este é um resultado geral para todas as redes de filas fechadas.Este é um resultado geral para todas as redes de filas fechadas.

(

1)

(

)

(

)

i i

G MPL

MPL

G MPL

ρ

= U

−

Métricas de Desempenho: Vazão

Seja

Seja X

X

_ii

((MPL

MPL) a vazão média do dispositivo

) a vazão média do dispositivo ii

considerando um determinado

considerando um determinado MPL

MPL para o

para o

sistema. Se o tempo de serviço médio do

dispositivo é 1/

dispositivo é 1/µ

µ

_i_i

, então, pela Lei de Little

••

A vazão do disco rápido, por exemplo, é

(

)

(

)

i i i

X MPL

MPL

ρ

µ

=

(1)

(2)

f f f f f

G

X

G

µ ρ

µ

=

U

Métricas de Desempenho: Vazão

A vazão do disco rápido, por exemplo, éA vazão do disco rápido, por exemplo, é

Note que:Note que:

•• Se Se UU

cc= = 11, o fluxo de saída da CPU (isto é, sua “, o fluxo de saída da CPU (isto é, sua “vazão relativavazão relativa”) é ”) é µµcc..

Logo, o disco rápido tem uma taxa de chegada de

Logo, o disco rápido tem uma taxa de chegada de µµc c p. Assim, a p. Assim, a ““vazão vazão relativa

relativa” do disco rápido é igual a ” do disco rápido é igual a µµ_c_cp.p. Mas, Mas,

(1) (2) (2) (2) f f f f f G X G µ ρ µ = = U c c f f f f

p

µ

=

U

A vazão do disco rápido é sua vazão relativa normalizada por um fator G(1)/G(2).

24

Métricas de Desempenho: Vazão

GeneralizandoGeneralizando

•• Em outras palavras, a vazão de um dispositivo i é igual a Em outras palavras, a vazão de um dispositivo i é igual a sua vazão relativa normalizada por um fator

sua vazão relativa normalizada por um fator G(MPL

G(MPL––11))//G(MPL)G(MPL) –

– Este é um resultado geral para todas as redes de filas fechadas.Este é um resultado geral para todas as redes de filas fechadas.

( 1) ( ) ( ) i i i G MPL X MPL G MPL

µ

− = U

(7)

25

Métricas de Desempenho: Tamanho Médio da Fila

Inspecionando os estados da Cadeia de Markov e Inspecionando os estados da Cadeia de Markov e analisando o tamanho da fila para o dispositivo de analisando o tamanho da fila para o dispositivo de

interesse é possível calcular o tamanho médio da fila para interesse é possível calcular o tamanho médio da fila para aquele dispositivo.

aquele dispositivo.

•• Por exemplo, o tamanho da fila no disco rápido é Por exemplo, o tamanho da fila no disco rápido é – – 0 no estado (2,0,0)0 no estado (2,0,0) – – 1 no estado (1,1,0)1 no estado (1,1,0) – – 0 no estado (1,0,1)0 no estado (1,0,1) – – 2 no estado (0,2,0)2 no estado (0,2,0) – – 1 no estado (0,1,1)1 no estado (0,1,1) – – 0 no estado (0,0,2)0 no estado (0,0,2) Modelagem Analítica Modelagem Analítica 26

Métricas de Desempenho: Tamanho Médio da Fila

Seja Seja nn_i_i((MPLMPL) o número de usuários médio no dispositivo ) o número de usuários médio no dispositivo ii (incluido a fila).(incluido a fila).

(

)

110 020 011 1 1 0 0 2 0 0 1 1 1 1 0 0 2 0 2 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 2 (2) 1 2 1 1 2 1 (2) (2) (2) 1 1 1 1 (2) (2) (2) (2) 1 (2) (2) (1) (0) (2) (2) (2) f c f s c f s c f s c f s c f s f c f s f c f s c f s c f s f f f f n P P P G G G G G G G G G G G n G G = + + = + + = + + + = + + + = + U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U Modelagem Analítica Modelagem Analítica 27

Métricas de Desempenho: Tamanho Médio da Fila

De uma forma geralDe uma forma geral

1 ( ) ( ) ( ) MPL m i i m G MPL m n MPL G MPL = − =

∑

U 2 (1) (0) (2) (2) (2) f f f G G n G G =U +U Modelagem Analítica Modelagem Analítica 28

Métricas de Desempenho: Tempo de Resposta

Tempo de resposta Tempo de resposta RR_ii((MPLMPL) de um dispositivo: tempo ) de um dispositivo: tempo médio que um usuário leva desde o momento em que médio que um usuário leva desde o momento em que entra na fila até ser completamente servido pelo entra na fila até ser completamente servido pelo dispositivo.

dispositivo.

•• Por exemplo, para o disco rápido, Por exemplo, para o disco rápido, –

– Usando a Lei de Little: Usando a Lei de Little:

2 0 1 (1) (0) (2) (2) (2) (1) (2) (2) (1) (0) (1) (1) (0) (2) (1) f f f f f f f f f f f f f G G n G G R G X G G G G G G R G µ µ µ + = = + = + = U U U U U U

(8)

29

Métricas de Desempenho: Tempo de Resposta

Para o disco rápido:

Generalizando:

0 1 (1) (0) (2) (1) f f f f G G R G µ + = U U 1 1 ( ) ( ) ( 1) MPL m i m i i G MPL m R MPL G MPL µ − = − = −

∑

U Modelagem Analítica Modelagem Analítica 30

Métricas de Desempenho

(no. de usuários no disp i no estado s) 1 ( ) K i s S i G MPL ∈ = =

∑∏

U ( 1) ( ) ( ) i i i G MPL X MPL G MPL

µ

− = U 1 ( ) ( ) ( ) MPL m i i m G MPL m n MPL G MPL = − =

∑

U 1 1 ( ) ( ) ( 1) MPL m i m i i G MPL m R MPL G MPL µ − = − = −

∑

U

(

1)

(

)

(

)

i i

G MPL

MPL

G MPL

ρ

= U

−

Método da Convolução Simples

Seja P a matriz de transições entre os dispositivos

••

No exemplo

0 1 1 0 0 1 0 0 cc cf cs fc ff fs sc sf ss p p p p p P p p p p p p    −      =_ _=_ _   _ _   Modelagem Analítica Modelagem Analítica 32

Seja o vetor de vazões relativas

••

Pode

Pode--se achar o vetor de vazões relativas resolvendo

se achar o vetor de vazões relativas resolvendo

o sistema

Método da Convolução Simples

0 1 1 0 0 1 0 0 (1 ) p p p p ⋅ = −       ₌           + =   =   ₋ ₌  P c f s c f s f s c c f c s x x x x x x x x x x x x x x x     c f s x = x x x

(9)

33

Método da Convolução Simples

⋅

P

=

x

Seja :

um operador linear.

Se existirem

,

0 e

tais que

( )

, então é um autovalor de

e é um autovetor de associado a .

T V

V

v

V v

T v

v

T

v

T

λ

→

∈

≠

∈

=

R

Logo, trata-se de achar o autovetor da matriz P

associado ao autovalor 1.

34

Método da Convolução Simples

⋅

P

=

x

Logo, trata-se de achar o autovetor da matriz P

associado ao autovalor 1.

A solução desse problema é única com uma

constante

constante k

k

••

Mais uma vez, estamos falando de “vazões

relativas”

••

Uma das soluções é

(1 ) p p µ µ µ = = − c c f c s c x x x = Modelagem Analítica Modelagem Analítica 35

Método da Convolução Simples

Mais uma vez isso explica a terminologia “vazões

relativas”

(1 ) p p µ µ µ = = − c c f c s c x x x =

Se a vazão média da CPU fosse , então a taxa média de chegada no disco rápido seria . Como o fluxo de saída deve ser igual ao de entrada então a vazão média (relativa) do disco rápido deve ser

c c c p p µ µ µ . Modelagem Analítica Modelagem Analítica 36

Método da Convolução Simples

Obtendo as vazões relativas é trivial obter as

utilizações relativas

••

No exemplo

⋅

P

=

x

i

µ

= U

i i

x

1 (1 ) c f c s p p µ µ µ µ = = − = U U U c f s

(10)

37

Método da Convolução Simples

Cálculo do G( )Cálculo do G( )

•• Aparentemente o cálculo do G( ) é complexo já que o Aparentemente o cálculo do G( ) é complexo já que o

número de estados do sistema cresce exponencialmente com número de estados do sistema cresce exponencialmente com o número de dispositivos e número de usuários no sistema. o número de dispositivos e número de usuários no sistema.

–

– A técnica da Convolução permite esse cálculo de forma um A técnica da Convolução permite esse cálculo de forma um pouco mais eficiente

pouco mais eficiente –

– Utilizaremos a notação mais completa que considera o fator de Utilizaremos a notação mais completa que considera o fator de normalização como função de

normalização como função de MPLMPLe e KK. . •• DefinindoDefinindo

∑∏

U

seja ( , ) tal que (g m k G MPL)=g MPL K( , )

38

Método da Convolução Simples

Cálculo do G( )

∑∏

U 2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 2

Seja ( , ) tal que ( ) ( , ) No caso do exemplo

(2) (2, 3)

Rearranjando os termos com base na separação de uma das utilizações (a do di c f s c f s c f s c f s c f s c f s g m k G MPL g MPL K G g = = =U U U +U U U +U U U +U U U +U U U +U U U

sco lento, por exemplo):

2 0 1 1 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (2) (2, 3) ( ) (2, 2) (1, 3) c f c f c f s c f s c f s c f s s G g g g = = + + + + + + = + U U U U U U U U U U U U U U U U U Modelagem Analítica Modelagem Analítica 39

Método da Convolução Simples

Cálculo do G( )Cálculo do G( )

•• De uma forma geralDe uma forma geral

1

( ) ( , ) ( , 1) ( 1, )

Sendo a base da recursão: (0, ) 1 ( ,1) k m G MPL g MPL k g MPL k g MPL k g k g m = = − + − = = U U Modelagem Analítica Modelagem Analítica 40 1 1 1 1 1 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ( 1, ) ( , 1) ( , ) n k m MPL g m n m g m n g m n MPL − − U U U U U U U U

Método da Convolução Simples

1

( , ) ( , 1) ( 1, )

Sendo a base da recursão: (0, ) 1 ( ,1) n m g m n g m n g m n g k g m = − + − = = U U

(11)

41

Método da Convolução Simples

1.

1. Encontrar as vazões relativas resolvendo o problema de Encontrar as vazões relativas resolvendo o problema de autovetores

autovetores

2.

2. Encontrar as Utilizações RelativasEncontrar as Utilizações Relativas

3.

3. Achar os G ( ) utilizando a tabelaAchar os G ( ) utilizando a tabela

4.

4. Achar as Métricas de DesempenhoAchar as Métricas de Desempenho

⋅

P

=

x

i

µ

= U

i i

x

Referências

1.

1. The Operational Analysis of Queueing Network ModelsThe Operational Analysis of Queueing Network Models

•• Peter J. Denning and Jeffrey P. Buzen, Computing Peter J. Denning and Jeffrey P. Buzen, Computing Surveys, Vol. 10, No 3, Sep. 1978

Surveys, Vol. 10, No 3, Sep. 1978 –

– Seções 6 e 7Seções 6 e 7

2.

2. Quantitative System Performance: Computer System Quantitative System Performance: Computer System Analysis Using Queueing Network Models

Analysis Using Queueing Network Models

•• Edward D. Lazowska, John Zahorjan, G. Scott Graham Edward D. Lazowska, John Zahorjan, G. Scott Graham and Keneth C. Sevcik

and Keneth C. Sevcik

•• PrenticePrentice--Hall, Inc, 1984Hall, Inc, 1984 –