RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Aula Demonstrativa

Apresentação . ... 2

1. Matrizes . ... 4

2. Classificação das Matrizes ... 5

3. Igualdade de Matrizes ... 7

4. Adição de Matrizes ... 7

5. Matriz Oposta . ... 8

12 . matriz por real número de 6. ...P roduto 13 . Matrizes de 7. ...P roduto 8. Matriz Transposta ... 22

9. Determinantes . ... 24

27 . determinantes dos 10. ...P ropriedades 11. Teorema de Binet ... 39

12. Matriz Inversa . ... 41

13. Sistemas Lineares ... 44

14. Classificação dos sistemas lineares ... 45

15. Sistema Linear Homogêneo ... 48

16. Teorema de Cramer ... 48

Questões ESAF 2012/2013 ... 62

17. Relação das questões comentadas nesta aula . ... 67

Apresentação

Olá, pessoal!

Tudo bem?

Meu nome é Guilherme Neves e sou professor de Matemática, Matemát-ica Financeira, Raciocínio Lógico e EstatístMatemát-ica.

Esta é a aula demonstrativa do curso de Raciocínio Lógico Quantitativo visando o concurso do AFRFB/2013. Todo o nosso curso será baseado no edital de 2012 e nas provas passadas da ESAF.

O assunto é, de fato, gigantesco e a ESAF procura usar todo o conteúdo programático. Na verdade, a matéria de Raciocínio Lógico Quantitativo é uma mistura de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira e Estatística (descritiva e inferencial).

Neste curso, veremos toda a teoria necessária e resolveremos muitos, muitos exercícios para atingirmos dois objetivos:

i) P

reparar os candidatos que dizem “odiar” Matemática e matérias afins (fiquem tranquilos, partimos do pressuposto que vocês nunca viram a matéria).

ii) Desenvolver habilidades e procurar dissecar tudo que a ESAF já cobrou nos últimos anos. Assim, aperfeiçoaremos os candidatos que já tem uma certa base em Matemática.

Como já comentei, o concurso para AFRFB exige, atualmente, uma verdadeira montanha de conhecimentos matemáticos. P or exemplo, no último concurso para AFRFB, tivemos questões difíceis de Estatística Inferencial, funções inversas (matemática), etc.

Eis o conteúdo programático do concurso para AFRFB/2012:

1. Estruturas Lógicas. 2. Lógica de Argumentação. 3. Diagramas Lógicos. 4. Trigonometria. 5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 6. Álgebra. 7. Combinações, Arranjos e P ermutação. 8. P robabilidade, Variáveis Aleatórias, P rincipais Distribuições de P robabilidade, Estatística Descritiva, Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de Regressão. 9. Geometria Básica. 10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização. 11. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações,

fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos.

O problema é que muita coisa está implícita neste edital. Por exemplo, quando a ESAF escreve “Álgebra” no item 6, abre margem para muitos assuntos de Matemática. O mesmo ocorre com assuntos de Estatística. Veja que na prova do AFRFB/2012 caiu uma questão sobre função inversa e este assunto não está explícito no conteúdo!! Assim, seguiremos o seguinte cronograma para cobrir todo o conteúdo explícito/implícito no edital:

Aula 0 Aula demonstrativa. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Aula 1 Lógica proposicional. Lógica de Argumentação.

Aula 2 Equivalências lógicas, negação de proposições compostas e de proposições quantificadas. Diagramas Lógicos.

Aula 3 Verdades e Mentiras. Problemas de Associação. Problemas gerais de Raciocínio Lógico

Aula 4 Introdução à Teoria dos Conjuntos. Operações e relações entre conjuntos. Conjuntos Numéricos (Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e Complexos). Operações: Adição, Subtração, Multiplicação, Divisão, Potenciação e Radiciação. Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum. Sistemas de Medidas.

Aula 5 Razão e proporção, divisão proporcional, regra de três simples e composta. Porcentagem. Progressão Aritmética e Progressão Geométrica.

Aula 6 Problemas do 1º grau. Equação do segundo grau. Funções. Função Afim, Função Quadrática, Função Exponencial e Função Logarítmica. Módulo de um número real (propriedades e equações modulares).

Aula 7 Análise Combinatória. Probabilidade Aula 8

Trigonometria, Geometria Plana e Geometria Espacial. Aula 9

Regimes de Capitalização. Juros Simples e Descontos Simples. Juros Compostos e taxas de Juros. Descontos Compostos. Equivalência de Capitais. Aula 10 Rendas Uniformes (Anuidades) e Sistemas de Amortização.

Aula 11

Estatística Descritiva. Distribuição de frequências. Medidas de Tendência Central, Quantis e Medidas de Dispersão.

Aula 12

Variáveis aleatórias discretas e contínuas: Função densidade de probabilidade, função de distribuição, parâmetros de variáveis aleatórias (esperança, mediana, moda, medidas de variabilidade).

Aula 13

Distribuições teóricas discretas e contínuas de probabilidade.

Aula 14 Teoria da amostragem: Amostras. Distribuições amostrais. Estimação. Intervalo de confiança. Correlação e Regressão Linear

Nesta nossa primeira aula, que é demonstrativa, estudaremos um assunto muito chato e mecânico: matrizes, determinantes e sistemas lineares. Apesar de ser um assunto chato (diria até que é entediante), tudo que vamos estudar nesta aula é importantíssimo para as provas da ESAF. Vocês verão a quantidade enorme de questões da ESAF destes assuntos. Inclusive já resolveremos aqui nesta aula uma questão que caiu na prova do DNIT em 2013.

Pois bem, vamos deixar de delongas e comecemos o nosso curso. Que Deus te acompanhe nesta longa jornada e que dê tudo certo na sua vida.

1. Matrizes

A ideia de matriz do tipo × é a de uma tabela retangular formada por números reais distribuídos em linhas e colunas.

Adotamos a convenção que linha é horizontal, coluna é vertical e fila se refere à linha ou coluna (horizontal ou vertical).

Vejamos alguns exemplos: 1 −4 7 √3 0 2 é 3 × 2 (3 ℎ 2 ) 1 0 −2 é 1 × 3 (1 ℎ 3 ) !1 0_{0 1"} é 2 × 2 (2 ℎ 2 ) 3 é 1 × 1 (1 ℎ 1 ) # 1 2 0 −5 % é 4 × 1 (4 ℎ 1 )

Em uma matriz qualquer, cada elemento é indicado por _&'. Este elemento _&' é o cruzamento da linha i com a coluna j. Por exemplo, o elemento ₍₎ é elemento que fica no cruzamento da segunda linha com a terceira coluna.

Convencionamos que as linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. Além disso, podemos utilizar colchetes, parêntesis ou barras duplas para representar matrizes. Por exemplo:

** *( (* (( )* )( = , ** (* *((( )* )( - = . ** (* *((( )* )( .

Uma matriz M do tipo m x n (m linhas e n colunas) pode ser indicada por / = ( &')0×1

2. Classificação das Matrizes

Existem diversas classificações das matrizes. Veremos as principais e mais conhecidas. Deixaremos de lado definições de matrizes nilpotente, ortogonais, anti-simétricas, periódicas, etc.

- Matriz Retangular é aquela cujo número de linhas é diferente do número de colunas.

1 −4 7 √3 0 2

- Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Quando uma matriz quadrada é formada por 2 linhas e 2 colunas dizemos que ela é uma matriz quadrada de ordem 2.

!5 3_{0 2"} é 3 2 2ª

Os elementos 5 e 2 forma a diagonal principal e os elementos 3 e 0 formam a diagonal secundária.

,1 3 57 4 −2

6 2 1 - é 3 3 3ª

Os números 1, 4 e 1 formam a diagonal principal e os números 5,4 e 6 formam a diagonal secundária.

- Matriz Linha é a matriz que possui apenas uma linha.

1 0 −2

# 1 2 0 −5 %

- Matriz diagonal é a matriz quadrada cujos elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a 0.

1 0 000 000 5

0 √5

- Matriz identidade é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1. Denotamos por 6₂ a matriz identidade de ordem n.

Percebam as condições para que uma matriz seja denominada de identidade: deve ser uma matriz quadrada, todos os elementos fora da diagonal principal devem ser iguais a 0 e todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1.

7₎ = 1 0 000000 1 0 1 7( = 81 0_{0 19} 7: = # 1 0 000 000 000 1 0 000 1 00 1 %

- Matriz Nula é aquela que tem todos os elementos iguais a 0.

8000 000 0009

Exemplo 1. Construa a matriz ; = ( _&')_)×) definida por _&' = ( + 2=

Resolução

Tem-se uma matriz quadrada de terceira ordem. A matriz tem a seguinte representação:

; = , ** (* *( (( *)() )* )( ))

** = 1( + 2 ∙ 1 = 3, *( = 1( + 2 ∙ 2 = 5, *) = 1( + 2 ∙ 3 = 7 (* = 2( + 2 ∙ 1 = 6, (( = 2( + 2 ∙ 2 = 8, () = 2( + 2 ∙ 3 = 10 )* = 3( + 2 ∙ 1 = 11, )( = 3( + 2 ∙ 2 = 13, *) = 3( + 2 ∙ 3 = 15 Portanto, ; = ,3 5 76 8 0 11 13 1115 -3. Igualdade de Matrizes

Duas matrizes ; = ( _&')_0×1 e A = (B_&')_0×1 são iguais quando todos os _&' forem iguais aos B_&' para todo i e para todo j. Ou seja, para que duas matrizes sejam iguais, elas devem ser do mesmo tipo (ter o mesmo número linhas e o mesmo número de colunas) e todos os elementos correspondentes (com mesmo índice) devem ser iguais.

Exemplo: C1 √4 −(−3) 0 4( _√25 D = 81 2 30 16 59 81 0_{0 19 ≠ ,}1 0 000000 1 0 1 -81 −2_{3 4 9 ≠ 8}1 2_{3 49} 4. Adição de Matrizes

Para começo de conversa, só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, para que seja possível somar matrizes, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Esta é a condição de existência da soma de duas ou mais matrizes.

Então vamos considerar duas matrizes A e B do mesmo tipo: m x n. Sejam ; = ( &')0×1 e A = (B&')0×1, chama-se soma ; + A a matriz C do tipo m x n tal

que _&' = _&' + B_&'.

i) Só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, as matrizes obrigatoriamente devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.

ii) O resultado (a soma) será uma matriz do mesmo tipo das matrizes originais.

iii) Para determinar os elementos da matriz soma, devemos somar os elementos correspondentes das matrizes originais.

Exemplos: 8 1 0 2_{−3 5 39 + 8}2 4 7_{4 6 99 = 8−3 + 4 5 6 3 99 = 8}1 + 2 0 +++ 4 2 +++ 7 3 4 9_{1 11 129} 3 −2 −4 1 5 6 + −3 2 4 −−−1 −5 6 = 000 000 0 0

Observe que, assim como os números reais, a adição entre matrizes também é associativa e comutativa. Isto quer dizer que, se A,B e C são matrizes do mesmo tipo, então:

(; + A) + G = ; + (A + G) ; + A = A + ; 5. Matriz Oposta

Observe novamente o exemplo que foi feito acima: 3 −2 −4 1 5 6 + −3 2 4 −−−1 −5 6 = 000 000 0 0 A matriz −4 13 −2

5 6 é a matriz oposta da matriz

−3 2 4 −−−1

−5 6 e reciprocamente, a matriz −3 24 −−−1

−5 6 é a matriz oposta da matriz

3 −2 −4 1

5 6 porque a soma das duas matrizes é uma matriz nula, ou seja, com todos os elementos iguais a 0.

Dada uma matriz A, sua matriz oposta é indicada por – ;.

Se é dada a matriz A, para determinar a sua oposta deve-se multiplicar todos os elementos por −1, ou seja, trocar os sinais de todos os elementos.

Desta forma, a matriz oposta da matriz ; = !−5 0

1 2" é a matriz −; = ! 5 0−1 −2". 1. (AFC 2002/ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna

em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a

matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a:

a) 17 b) 29 c) 34 d) 46 e) 58 Resolução

Vamos construir as matrizes A e B.

; = ** (* *( (( *)() )* )( )) = 1 ( ( ₁( ( ₁( ( 2( ( ₂( ( ₂( ( 3( _{+++ 111}( ₃( _{++ 222+} ( ₃( _{+++ 333}( = 2 5 1110 5 8 3 10 13 18 A = BBB** (* BBB*( (( BBB*)() B)* B)( B)) = #(((1 +++ 111))) ( _{(((1 +++ 222)))}( _{(((1 +++ 333)))}( 2 ( ₂ ( ₂ ( (3 + 1)( _{(3 + 2)}( _{(3 + 3)}(% = 4 9 16 9 16 25 16 25 36 I = ; + A = 2 5 11105 8 3 10 13 18 + 4 9 16 9 16 25 16 25 36 = 6 1444 26 14 2 38 26 38 54 A soma dos elementos da primeira linha é igual a 6 + 14 + 26 = 46.

Obviamente não precisaríamos construir as matrizes completamente, apenas o fizemos para fins didáticos.

Letra D

2. (SERPRO 2001/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que

esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz

resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B.

Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a razão entre os

elementos s31 e s13 é igual a:

a) 1/5 b) 2/5

c) 3/5 d) 4/5 e) 1

Resolução

Questão praticamente idêntica! As matrizes utilizadas são idênticas!

Se você nos permite, vamos dar um Ctrl+C / Ctrl+V...

Vamos construir as matrizes A e B.

; = ** (* *( (( *)() )* )( )) = 1 ( _{+++ 111}( ₁( _{++ 222+} ( ₁( _{+++ 333}( 2( ( ₂( ( ₂( ( 3( _{+ 1}( ₃( _{+ 2}( ₃( _{+ 3}( = 2 5 1110 5 8 3 10 13 18 A = BBB** (* BBB*( (( BBB*)() B)* B)( B)) = #(((1 +++ 111))) ( _{(((1 +++ 222)))}( _{(((1 +++ 333)))}( 2 ( ₂ ( ₂ ( (3 + 1)( _{(3 + 2)}( _{(3 + 3)}(% = 4 9 16 9 16 25 16 25 36 I = ; + A = 2 5 11105 8 3 10 13 18 + 4 9 16 9 16 25 16 25 36 = 6 1444 JK 14 2 38 JK 38 54

Queremos calcular a razão entre os elementos s31 (terceira linha e primeira

coluna) e s13 (primeira linha e terceira coluna).

Colocamos estes números em vermelho.

)* *) =

26 26 = 1

Letra E

3. (AFC-CGU 2003/2004 – ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por _&', onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz L = M_&', de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes ; = N _&'O e A = NB_&'O. Sabendo que _&' = ( e que B_&' = ( − =)(, então o produto dos elementos M_)* M_*) é igual a:

a) 16 b) 18 c) 26

d) 65 e) 169

Resolução

Não vamos mais construir a matriz completamente. Estamos interessados nos elementos M_)* M_*).

M)* = )* + B)* = 3( + (3 − 1)( = 9 + 4 = 13

M*) = *) + B*) = 1( + (1 − 3)( = 1 + 4 = 5

O produto dos elementos M_)* M_*) é igual a 13 ∙ 5 = 65.

Letra D

4. (MPOG 2003/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por _&', onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz L = M_&', de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes ; = N _&'O e A = NB_&'O. Sabendo que

&' = ( − =( e que B&' = ( + =)(, então a soma dos elementos M)* M*) é igual a:

a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 108 Resolução

A resolução é praticamente idêntica à da questão anterior. M)* = )* + B)* = 3( − 1( + (3 + 1)( = 9 − 1 + 16 = 24

M_*) = _*) + B_*) = 1( _{− 3}( _{+ (1 + 3)}( _{= 1 − 9 + 16 = 8}

A soma dos elementos M_)* M_*) é igual a 24 + 8 = 32.

Letra C

5. (AFC – SFC 2000/ESAF) A matriz I = _&', de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes ; = N _&'O e A = NB_&'O. Sabendo-se que _&' = ( + =( _{e que B&' = 2 =, então a soma dos elementos )* *) é igual a:}

a) 12 b) 14

c) 16 d) 24 e) 32

Resolução

Outra questão idêntica!!

)* = )* + B)* = 3( + 1( + 2 ∙ 3 ∙ 1 = 9 + 1 + 6 = 16

*) = *) + B*) = 1( + 3( + 2 ∙ 1 ∙ 3 = 1 + 9 + 6 = 16

A soma dos elementos _{)* *)} é igual a 16 + 16 = 32.

Letra E

6. Produto de número real por matriz

Para multiplicar uma matriz ; por um número real P basta multiplicar todos os elementos de A por P. Exemplos: 3 ∙ 1 −2 45 3 8 0 2 6 = 3 −6 12 15 9 24 0 6 18 −2 ∙ !−5 4 1_{0 −3 2" = !}10 −8 −_{0 6 4"}−−2

7. Produto de Matrizes

Para começo de conversa, nem sempre é possível multiplicar duas matrizes. Para que exista o produto de uma matriz A por uma matriz B é necessário e suficiente que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B. Desta maneira, se a primeira matriz do produto é do tipo m x n, então a segunda matriz deve ser do tipo n x p.

Pois bem, considere então uma matriz ;_0×1 e uma matriz A_1×Q. Ao efetuar o produto da matriz A pela matriz B, o resultado será uma matriz do tipo m x p. Ou seja, o produto é uma matriz que tem o número de linhas de A e o número de colunas de B.

Resumindo, para verificar se é possível multiplicar duas matrizes, coloque o tipo da primeira matriz à esquerda e o tipo da segunda matriz à direita. O produto existirá se os “números do meio” coincidirem e o resultado será uma matriz do tipo m x p, onde m e p são os números das extremidades.

Por exemplo, será que é possível multiplicar uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x 1?

1º − 2º 2 × 4 4 × 1 Os números do meio coincidiram?

Sim!

Então o produto existe! E o resultado é uma matriz de que tipo? Basta olhar os números das extremidades: será uma matriz do tipo 2 x 1.

Vejamos outro exemplo: será que é possível multiplicar uma matriz 4 x 1 por uma matriz 2 x 4?

1º − 2º 4 × 1 2 × 4 Os números do meio coincidiram?

Não!!

Portanto, o produto entre essas duas matrizes não existe.

Observe que existe o produto de uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x 1, mas não existe o produto de uma matriz do tipo 4 x 1 por uma matriz do tipo 2 x 4.

Bom, já sabemos verificar se podemos ou não multiplicar duas matrizes e já sabemos identificar o tipo da matriz produto.

Falta ainda o principal: aprender a multiplicar.

Existe um processo muito fácil para multiplicar matrizes. É o seguinte:

Desenhe uma cruz bem grande... Assim:

É óbvio que você só vai desenhar esta cruz depois de verificar se é possível multiplicar as matrizes, pois se não for possível, nem perca o seu tempo.

Bom, e o que fazer com esta cruz? No “terceiro quadrante” (lembra dos quadrantes do plano cartesiano?) você escreverá a primeira matriz e o no primeiro quadrante você escreverá a segunda matriz.

- Beleza até agora?

1ª matriz

- Beleza não, professor! Chega de delongas e coloca umas matrizes aí para ficar claro.

- Ok!

Exemplo 2. Dadas as matrizes ; = 81 3 −_{4 2 1 09}−−2 5 e A = R

1 2 3

0 5 6

3

4 −31 −42 S, determine, se existir, as matrizes ; ∙ A e A ∙ ;.

Resolução

A matriz A possui 2 linhas e 4 colunas, portanto é do tipo 2 x 4.

A matriz B possui 4 linhas e 3 colunas, portanto é do tipo 4 x 3.

Será que existe o produto ; ∙ A?

1º − 2º 2 × 4 4 × 3

Os números do meio coincidem! É possível multiplicar. O resultado será uma matriz do tipo 2 × 3.

Será que existe o produto A ∙ ;?

1º − 2º 4 × 3 2 × 4

Os números do meio não coincidem, portanto não existe a matriz A ∙ ;. Bom, vamos agora calcular a matriz ; ∙ A que já sabemos ser do tipo 2 x 3.

Vamos desenhar a cruz e colocar a matriz A no terceiro quadrante e a matriz B no primeiro quadrante.

O resultado do produto das matrizes ficará localizado no quarto quadrante.

Sabemos que o resultado é uma matriz do tipo 2 x 3, ou seja, terá 2 linhas e três colunas. 1ª matriz 2ª matriz 1 3 −−−2 5 4 2 1 0 1 2 3 0 5 6 3 4 −31 −42 RESULTADO 1 3 2 5 4 2 −−−1 0 1 2 3 0 5 6 3 4 −31 −42

Bom, e agora, como descobrimos cada uma destes números?

Vejamos por exemplo o elemento que está na primeira linha e segunda coluna (a bolinha vermelha abaixo).

Observe que esta bolinha vermelha é fruto do “cruzamento” entre a primeira linha da matriz da esquerda com a segunda coluna da matriz de cima.

Então faremos o seguinte. Multiplicaremos os elementos correspondentes destas duas filas e somaremos os resultados. Assim:

i) O primeiro elemento fila da esquerda é 1 e o primeiro elemento da fila de cima é 2. Multiplicamos 1 × 2 = 2.

ii) O segundo elemento da fila da esquerda é 3 e o segundo elemento da fila de cima é 5. Multiplicamos 3 × 5 = 15.

iii) O terceiro elemento da fila da esquerda é −2 e o terceiro elemento da fila de cima é −3. Multiplicamos −2 × (−3) = +6

iv) O quarto elemento da fila da esquerda é 5 e o quarto elemento da fila de cima é 1. Multiplicamos 5 × 1 = 5.

v) Devemos somar estes resultados obtidos: 2 + 15 + 6 + 5 = 28. Pronto! O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é 28!!

Será sempre assim... Multiplicando linha por coluna... 1 3 −−−2 5 4 2 1 0 1 2 3 0 5 6 3 4 −31 −42

Vamos descobrir agora o elemento que está na primeira linha e na primeira coluna.

Devemos multiplicar os elementos correspondentes e somar os resultados. Vamos fazer um pouquinho mais rápido. Será assim: 1º x 1º + 2º x 2º + 3º x 3º + 4º x 4º.

1 × 1 + 3 × 0 + (−2) × 3 + 5 × 4 = 1 + 0 − 6 + 20 = 15

Pronto! O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é igual a 15.

Vamos calcular o elemento da primeira linha e terceira coluna. Vamos então multiplicar a fila da esquerda pela fila de cima. Lembre-se: multiplicamos os elementos correspondentes (primeiro com primeiro, segundo com segundo, ...) e somamos os resultados. 1 3 −−−2 5 4 2 1 0 1 2 3 0 5 6 3 4 −31 −42 28 28 1 3 −−−2 5 4 2 1 0 1 2 3 0 5 6 3 4 −31 −42 15

1 × 3 + 3 × 6 + (−2) × (−4) + 5 × 2 = 3 + 18 + 8 + 10 = 39

Vamos agora determinar o elemento que está na segunda linha e na primeira coluna.

Efetue o mesmo processo. Multiplicamos os elementos correspondentes das duas filas e somamos os resultados.

4 × 1 + 2 × 0 + (−1) × 3 + 0 × 4 = 4 + 0 − 3 + 0 = 1

Vamos calcular o número que está na segunda linha e na segunda coluna (bolinha vermelha). Multiplicando a fila da esquerda pela fila de cima, elemento a elemento.

4 × 2 + 2 × 5 + (−1) × (−3) + 0 × 1 = 8 + 10 + 3 + 0 = 21

Vamos calcular o número que está na segunda linha e terceira coluna (bolinha azul). Multiplicamos a fila da esquerda pela fila de cima, elemento a elemento.

39 28 1 3 2 5 4 2 −−−1 0 1 2 3 0 5 6 3 4 −31 −42 15 39 28 1 3 2 5 4 2 −−−1 0 1 2 3 0 5 6 3 4 −31 −42 15 1

4 × 3 + 2 × 6 + (−1) × (−4) + 0 × 2 = 12 + 12 + 4 + 0 = 28 Terminamos!

Desta forma, o produto da matriz ; = 81 3 −−−2 5

4 2 1 09 pela A = R 1 2 3 0 5 6 3 4 −31 −42 Sé a matriz G = 815 2228 39 1 1 289. Ufa! Trabalhoso, não?

Este mecanismo é bom porque faz com que as pessoas não confundam quais as linhas e quais as colunas que devem ser multiplicadas.

6. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Se A= (aij)3x3 é a matriz definida por aij = i + j

e B=(bij)3x3 é a matriz definida por bij= 2i –j, então o elemento localizado

na terceira linha e segunda coluna da matriz A.B é (A) 28. (B) 34. (C) 31. (D) 22. (E) 44. Resolução

O problema pede apenas um elemento do produto AB. Vamos determinar os elementos das matrizes A e B. Lembrando que i é a linha e j é a coluna do elemento. ; = ** (* *( (( *)() )* )( )) = 1 +2++ 111 1 +2++ 222 1 +2++ 333 3 + 1 3 + 2 3 + 3 = 2 3 4 3 4 5 4 5 6 39 28 1 3 −−−2 5 4 2 1 0 1 2 3 0 5 6 3 4 −31 −42 15 1 21 28

A = BBB** (* BBB*( (( BBB*)() B)* B)( B)) = 222 ∙∙∙ 1 −2−− 111 222 ∙∙∙ 1 −2−− 222 222 ∙∙∙ 1 −2−− 333 2 ∙ 3 − 1 2 ∙ 3 − 2 2 ∙ 3 − 3 = 1 0 −1 3 2 1 5 4 3

Estamos multiplicando uma matriz do tipo 3 x 3 por outra matriz do tipo 3 x 3. O produto existe (porque os números do meio coincidem) e o resultado será uma matriz do tipo 3 x 3 (números das extremidades).

Queremos calcular o elemento localizado na terceira linha e na segunda coluna.

Vamos multiplicar a fila da esquerda pela fila de cima. 4 × 0 + 5 × 2 + 6 × 4 = 0 + 10 + 24 = 34

Letra B

Vale a pena notar que a multiplicação de matrizes não é uma operação comutativa, ou seja, para duas matrizes quaisquer A e B é falso dizer que necessariamente U ∙ V = V ∙ U.

Note também que, se estivermos trabalhando com números reais, é sempre verdade que se W ∙ X = Y, Z2[ã] W = Y ]^ X = Y. Isto não é verdade quando estivermos trabalhando com matrizes. Ou seja, é possível encontrar matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula.

Experimente multiplicar, por exemplo, a matriz 8_ YYY

Y 9 pela matriz 8YYY Y_9 e verifique que o resultado é a matriz 8YYY YYY9.

2 3 4 3 4 5 4 5 6 1 0 −1 3 2 1 5 4 3

8. Matriz Transposta

Considere uma matriz qualquer ; = ( _&')_0×1. Chama-se transposta da matriz A a matriz ;` do tipo n x m que se obtém trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, as colunas da transposta são ordenadamente iguais às linhas de da matriz original. Exemplos: ; = 8_ J a<sub>b c d</sub>9 ⇒ ;` _{= ,}_ _J b_c a d -; = ,f Z gb c d h i j- ⇒ ; ` _{= ,}b _c f _Z h_i d g j -Propriedades i) (U[)[ = U

Ou seja, a transposta da matriz transposta de A é a própria matriz A.

; = ,b c df Z g h i j- ⇒ ; ` _{= ,}b _c f _Z h_i d g j- ⇒ (U [₎[ _{= ,}b c d_{f Z g} h i j

-ii) Se A e B são matrizes do mesmo tipo, ou seja, c om o mesmo número de linhas e o mesmo número de c olunas, en-tão

(U + V)[ _{= U}[ _{+ V}[ .

Isto quer dizer que tanto faz:

Somar duas matrizes e depois calcular a transposta do resultado.

Calcular as transpostas das matrizes e depois somar o resultado.

iii) Se k é um número real qualquer e U é uma matriz, então

(k ∙ U)[ _{= k ∙ U}[

Isto quer dizer que tanto faz:

Multiplicar uma matriz por um número real e depois calcular a transposta do resultado.

Calcular a transposta da matriz e, em seguida, multiplicar por um número real.

iv) Se A e B são matrizes que podem ser multiplicadas, então V[ e

U[ _{também podem ser multiplicadas e (UV)}[ _{= V}[_U[

Isto quer dizer que tanto faz:

Multiplicar a matriz A pela matriz B e, em seguida, calcular a transposta. Calcular a transposta de B, calcular a transposta de A e multiplicar

(nesta ordem).

7. (MPU 2004/ESAF) Sejam as matrizes ; = 1 42 6

3 3 e A = !111 3 4 52 3 4" e seja M&' o elemento genérico de uma matriz X tal que L = (;A)`, isto é, a matriz X é

a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre M)* e M*( é igual a: a) 2 b) ½ c) 3 d) 1/3 e) 1 Resolução

Vamos multiplicar as matrizes. Devemos multiplicar uma matriz do tipo 3 x 2 (3 linhas e 2 colunas) por uma matriz do tipo 2 x 4. O produto existe, porque os números do meio coincidem e o resultado é uma matriz do tipo 3 x 4 (números das extremidades).

Observe que não precisamos calcular todos os elementos do produto.

O nosso objetivo é calcular a matriz transposta deste resultado. A matriz transposta será: B l = m ℎP 1 4 2 6 3 3 111 3 4 5 2 3 4

n B l =

m ℎ Po

Queremos calcular a razão entre M_)* e M_*(. Ou seja, a razão entre o elemento que está situado na terceira linha e primeira coluna (elemento c) e o elemento que está situado na primeira linha e segunda coluna (elemento e).

Portanto, queremos calcular c/e.

Vamos voltar ao produto das matrizes.

= 1 ∙ 4 + 4 ∙ 3 = 16 = 2 ∙ 1 + 6 ∙ 1 = 8 Portanto, =168 = 2 Letra A 9. Determinantes

O nosso intuito é fazer com que o candidato se sinta seguro para fechar as provas de Raciocínio Lógico. Portanto, definiremos determinantes visando às provas de concursos. Na realidade, os assuntos da presente aula (matrizes, determinantes e sistemas lineares) são tópicos da “alfabetização” para uma cadeira universitária denominada álgebra linear. Livros universitários de Álgebra Linear, como o de Bernard Kolman, definem determinantes genericamente sem fazer referências à ordem da matriz utilizando conceitos de permutações pares e ímpares, etc.

B l = m ℎP 1 4 2 6 3 3 111 3 4 5 2 3 4

Não seguiremos esta linha. Definiremos determinantes de matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. Verificaremos diversas propriedades e teoremas de forma que em eventuais casos que precisemos calcular determinantes de ordem maior que 3, o possamos fazer sem maiores esforços.

Pois bem, para começar, devemos frisar que apenas matrizes quadradas admitem o cálculo de determinantes.

O determinante da matriz A é denotado por det ;.

i) Se a matriz quadrada é de ordem 1, então o determinante da matriz é o único elemento da matriz.

Exemplo: Considere a matriz ; = 2 . O determinante da matriz A é o número 2.

det ; = 2

ii) Se a matriz quadrada é de ordem 2, então o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

; = ! B _{" ⇒ det ; = s s = − B} B

Observe que indicamos o determinante de uma matriz A com barras verticais ao lado dos elementos da matriz.

Exemplo: Calcule o determinante da matriz ; = !2 −3 5 4 ".

Resolução

s2 −3_{5 4 s = 2 ∙ 4 − (−3) ∙ 5 = 8 + 15 = 23}

iii) Se a matriz é de ordem 3, o determinante é calculado com o auxílio da regra de Sarrus.

; = ** (* *( (( *)() )* )( ))

Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as flechas e somamos os 3 resultados.

Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e trocamos os sinais dos produto e somamos os resultados.

Em seguida somamos os dois resultados obtidos.

Vejamos um exemplo:

Exemplo 3. Calcule o determinante da matriz ; = −2 1 05 2 3 1 4 −1 .

Resolução

det ; = t−2 1 05 2 3 1 4 −1t Devemos repetir as duas primeiras colunas.

det ; = t−2 1 05 2 3 1 4 −1t

−2 1 5 2 1 4

Multiplicamos os elementos no sentido da diagonal principal.

−2 ∙ 2 ∙ (−1) + 1 ∙ 3 ∙ 1 + 0 ∙ 5 ∙ 4 = 7 det ; = t−2 1 05 2 3 1 4 −1t −2 1 5 2 1 4

Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e trocamos os sinais dos produtos e somamos os resultados.

−(1) ∙ (5) ∙ (−1) − (−2) ∙ (3) ∙ (4) − (0) ∙ (2) ∙ (1) = 5 + 24 − 0 = 29 Devemos somar os dois resultados obtidos.

det ; = 7 + 29 = 36

10. Propriedades dos determinantes

Vejamos algumas propriedades dos determinantes:

i) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então det M = 0.

Exemplo.

/ = # 2 0 √37 250 0 cos 57x _{−1,37 15}%

O determinante da matriz M é igual a 0, pois a matriz possui uma fila composta por zeros.

ii) Se uma Matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então det M = 0. Exemplo: / = #25 √37 25_{1 2 1} 15 −1,37 15% det ; = t−2 1 05 2 3 1 4 −1t −2 1 5 2 1 4

Como a primeira coluna é igual à terceira coluna, então o determinante da matriz é igual a 0.

iii) Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0.

Exemplo:

/ = #4 √37 123 2 9 1 −1,37 3%

Observe a primeira e a terceira coluna. Elas são proporcionais e a constante de proporcionalidade é igual a 3 (ou seja, a terceira coluna foi produzida multiplicando a primeira coluna por 3). Assim, o determinante da matriz é igual a 0.

iv) Se uma matriz quadrada M tem uma linha (ou coluna) que é combinação linear de outras linhas (ou colunas), então det M = 0.

Deixe-me falar numa linguagem bem coloquial para explicar o que é combinação linear.

Imagine que você vai “construir” uma matriz de terceira ordem.

/ = 2 53 2 1 7

Você construiu a primeira coluna e a segunda coluna. E você resolveu ser um pouco mais criativo para construir a última coluna. E o que você fez? Você multiplicou a primeira coluna por 2 e multiplicou a segunda coluna por 3 e somou os dois resultados. O que você obteve?

/ = 2 5 2 ∙∙∙ 222 +3 2 3 ++ 5 ∙∙∙ 3332 1 7 1 ∙ 2 + 7 ∙ 3 =

2 5 1119 3 2 222 1 7 3

Pronto! A terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras colunas. Ou seja, você deve multiplicar uma fila por um certo número A e outra fila por qualquer outro número B. Somando os dois resultados, você obtém uma combinação linear das duas filas.

Pense bem, uma coisa é criar a matriz e saber que uma fila é combinação linear das outras duas. Imagine que o quesito fosse assim:

Calcule o determinante da matriz

/ = 2 5 11193 2 222 1 7 3

Obviamente a pessoa que criou a questão sabe que a terceira coluna é combinação linear das outras duas e, portanto, o determinante é zero.

A dificuldade é “perceber” na hora da prova isso. Não será você o criador das questões!!

Veja só outro exemplo.

Calcule o determinante da matriz:

/ = 16 3 224 2 4 15 5 1 Se você tiver um excelente olho e perceber que

Primeira coluna = (Segunda coluna) x 2 + (Terceira coluna) x 5

Você poderá concluir que o determinante é zero. Caso contrário, terás que usar a regra de Sarrus (o que é bem provável que aconteça. Não perca seu tempo tentando achar alguma regra. Faça as contas que em muitos casos é mais rápido!)

v) Se U é uma matriz quadrada de ordem n e U[ é a sua transposta, então yz{ U = yz{ U[.

vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n por um número real k, o determinante da nova matriz será o produto do determinante de A pelo número k.

Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz ; = −2 1 05 2 3

1 4 −1 é igual a 36. Vamos multiplicar uma fila qualquer por −2, digamos a segunda coluna.

;* =

−2 2 0 5 −−−4 3 1 8 −1

Para calcular o determinante desta nova matriz, basta multiplicar o determinante da matriz original por −2.

Desta forma, det ;_* = −2 ∙ det ; = −2 ∙ 36 = −72.

vii) Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será

yz{(k ∙ U) = k2 _{∙ yz{ (U)}

Na verdade, esta propriedade vii é uma decorrência da propriedade vi. Isto porque multiplicar uma matriz de ordem n por uma constante k é o mesmo que multiplicar as n linhas por k (ou as n colunas).

Ao multiplicar a primeira linha por k, multiplicamos o determinante por k.

Ao multiplicar a segunda linha por k, multiplicamos o determinante por k.

Ao multiplicar a terceira linha por k, multiplicamos o determinante por k.

Se a matriz é de ordem n, então terá n linhas.

Então,

det(P ∙ ;) = P ∙ P ∙ P ∙ ⋯ ∙ P}~~~•~~~€

1 •‚`xƒ„… ∙ det ; = P

1 _{∙ det ;}

viii) Considere uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 2. Se trocarmos a posição de duas filas paralelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o determinante da matriz troca de sinal.

Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz ; = −2 1 05 2 3

1 4 −1 é igual a 36. Se trocarmos a posição da primeira linha com a terceira linha, o determinante da matriz troca de sinal.

;( =

1 4 −1 5 2 3 −2 1 0 O determinante desta matriz é igual a −36.

ix) O determinante de qualquer matriz identidade é igual a 1.

8. (MPOG 2008 ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a:

a) 10-6 b) 105 c) 1010 d) 106 e) 103 Resolução

Quando multiplicamos uma fila (linha ou coluna) de uma matriz por um número real “a”, o determinante da matriz também será multiplicado por “a”. Nessa questão, quando multiplicamos todos os elementos da matriz X por 10, o que aconteceu?

Multiplicamos a primeira linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10.

Multiplicamos a segunda linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10.

Multiplicamos a terceira linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10.

Multiplicamos a quarta linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10.

Multiplicamos a quinta linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10.

Assim, o determinante da matriz X, que é igual a 10, será igual a:

det(10L) = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ det(M) = 10† _{∙ 10 = 10}‡

É válido o seguinte teorema: se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será

det(P ∙ ;) = P1 _{∙ det (;)}

Assim, como a matriz do problema é de 5ª ordem e foi multiplicada por 10,

det(10 ∙ ;) = 10† _{∙ det(;) = 10}† _{∙ 10 = 10}‡ Letra D

9. (ATA – MF 2009/ESAF) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, o determinante da matriz fica

a) Multiplicado por –1. b) Multiplicado por –16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por –2/3. Resolução

Vamos relembrar uma das propriedades.

vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n por um número real k, o determinante da nova matriz será o produto do determinante de A pelo número k.

Ora, se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2, o determinante será multiplicado por 2. Se dividirmos os elementos da

terceira linha da matriz por –3, o determinante será dividido por -3. Assim, juntando tudo, o determinante será multiplicado por –2/3.

Letra E

10. (MPOG 2002 ESAF) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a:

a) –2 b)–1/2 c)4 d) 8 e) 10 Resolução

O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Assim, o determinante não será alterado. P orém, quando multiplicamos uma matriz de segunda ordem por 2 (já que queremos o determinante do dobro da matriz), o determinante será:

det (2 ∙ ;ˆ_{) = 2}1 _{∙ det(;}ˆ_{) = 2}( _{∙ det(;) = 4 ∙ 2 = 8} Letra D

11. (BNB 2002 VUNESP) Dadas as matrizes           =           = 3 2 c 2 3 b 1 5 a B e 6 4 2 2 3 5 c b a

A , de determinantes não nulos, para quaisquer

valores de “a”, “b” e “c”, temos

A) det(A) = det(B) B) det(B) = 2.det(A) C) det(A) = 2.det(B) D) det(A) = –2.det(B) E) det(A) = – det(B)

Quais foram as transformações sofridas por A para “chegar” na matriz B?

Observe que a primeira linha de A é igual à primeira coluna de B. A segunda linha de A é igual à segunda coluna de B.

Vamos construir a matriz transposta de A.

A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas.

;` _{= B 3 4}5 2

2 6 Observe agora a matriz B.

          = 3 2 c 2 3 b 1 5 a B

A terceira coluna da matriz transposta de A é igual ao dobro da terceira coluna

de B. Dessa forma, o determinante da transposta de A é o dobro do

determinante da matriz B.

det (;ˆ_{) = 2 ∙ det(A)}

Como o determinante de A e de sua transposta são iguais,

det (;) = 2 ∙ det(A)

12. (AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz

A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a:

a) –x-6 b) –x6 c) x3 d) –1 e) 1 Resolução Considere a matriz A: ; = B l m ℎ

A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A.

A = l B ℎ m

Observe que as segundas colunas das matrizes são iguais. Apenas permutamos a primeira com a terceira coluna.

Quando permutamos (trocamos de lugar) duas filas (linhas ou colunas), o determinante troca de sinal.

Como o determinante de A é igual a x3, então o determinante de B será igual a –x3.

O produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a

det(;) ∙ det(A) = M) _{∙ (−M})_{) = −M}‡ Letra B

13. (MPOG 2005 ESAF) O menor complementar de um elemento genérico xij

de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a

(aij) = (i+j)2 e que bij = i2 , então o menor complementar do elemento y23 é igual a: a) 0 b) -8 c) -80 d) 8 e) 80 Resolução

Vamos construir as matrizes A e B.

; = ** (* *( (( *)() )* )( )) = #(((1 +++ 111))) ( _{(((1 +++ 222)))}( _{(((1 +++ 333)))}( 2 ( ₂ ( ₂ ( (3 + 1)( _{(3 + 2)}( _{(3 + 3)}(% = 4 9 16 9 16 25 16 25 36 A = BBB** (* *( (( *)() B)* BBB)( BBB)) = 1 ( ₁( ₁( 2( ₂( ₂( 3( ₃( ₃( = 1 1 1 4 4 4 9 9 9 ‰ = ; + A = 4 9 169 16 25 16 25 36 + 1 1 1 4 4 4 9 9 9 = 5 1000 17 13 2 29 25 34 45

Se quisermos calcular o menor complementar do elemento y23, devemos

suprimir a segunda linha e a terceira coluna de Y.

s 5 10

25 34s = 5 ∙ 34 − 10 ∙ 25 = 170 − 250 = −80

Lembre-se que para calcular o determinante de uma matriz de segunda ordem devemos calcular a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Letra C

14. (ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz ; = 2 1B 0 4 + 2 + B é: a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c

e) 0

Resolução

Resolveremos esta questão de duas maneiras: a primeira usando a força bruta do braço e a segunda utilizando algumas propriedades dos determinantes.

Um determinante de terceira ordem pode ser calculado com o auxílio da regra de Sarrus.

Devemos repetir as duas primeiras colunas.

; = t 2 1B 0 4 + 2 + B t

2 1

B 4 + 2 + B

Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as flechas.

Obtemos 2 ∙ B ∙ + 1 ∙ ∙ (4 + ) + 0 ∙ ∙ (2 + B) = 2B + 4 +

Vamos multiplicar os elementos que estão na direção da diagonal secundária e trocar o sinal do resultado.

Obtemos −1 ∙ ∙ − 2 ∙ ∙ (2 + B) − 0 ∙ B ∙ (4 + ) = − − 4 − 2B

Para calcular o determinante da matriz A, devemos somar os dois resultados obtidos:

; = 2B + 4 + − − 4 − 2B = 0 Vamos voltar ao quesito:

(ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz

A = 2 1B 0 4 + 2 + B é:

a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c e) 0

Ora, perceba que multiplicando a primeira linha por 2 e somando com a segunda linha, obtemos a terceira linha.

Assim, a terceira linha é combinação linear das outras duas e o determinante é zero.

Letra E

15. (Gestor Fazendário – MG 2005/ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que A = 2*/: ∙ ;. Sabendo que o determinante de A é igual a 2•*/(, então o determinante da matriz B é igual a:

a) 21/2 b) 2 c) 2 -1/4 d) 2 -1/2 e) 1 Resolução

As matrizes são de segunda

or-dem.

Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será

det(P ∙ ;) = P1 _{∙ det (;)}

Como a matriz A é de segunda ordem, então = 2 .

Estamos multiplicando a matriz A por 2*/:, portanto, P = 2*/:. detN2*/: _{∙ ;O = N2}*/:_O( _{∙ det (;)}

detN2*/: _{∙ ;O = N2}*/:_O( _{∙ 2}•*/(

det A = 2(×*: ∙ 2•*/( _{= 2}*/( _{∙ 2}•*/( _{= 2}*_(Ž8•*_{(9= 2}• _{= 1} Letra E

16. (AFC-STN 2000/ESAF) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz ‰ = 3• tem determinante igual a:

a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81 Resolução

A matriz é de terceira ordem, logo = 3.

Estamos multiplicando a matriz Z por 3, logo P = 3.

Sabemos também que • = L` e sabemos que o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta.

det(P ∙ •) = P1 _{∙ det (•)}

det(3 ∙ •) = 3) _{∙ det(•) = 27 ∙ det L}`

Sabemos que 3 ∙ • = ‰ 3 det L` = det L .

det ‰ = 27 ∙ L Como det L = 3,

det ‰ = 27 ∙ 3 = 81

Letra E

17. (AFC-CGU 2008 ESAF) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij , onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira ordem, constrói-se a matriz B (bij), também de terceira ordem, dada por:

Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a:

a) 50 b) -50 c) 0 d) -100 e) 100 Resolução

A matriz A é dada por:

; =

b__ b_J b_a

bJ_ bJJ bJa

ba_ baJ baa

A matriz B é dada por:

A = BBB** (* BBB*( (( BBB*)() B)* B)( B)) = ba_ baJ baa bJ_ bJJ bJa b__ b_J b_a

A matriz B foi construída a partir da matriz A a partir do seguinte processo:

Repetimos a segunda linha.

Trocamos a primeira linha com a terceira linha

Vimos na propriedade viii que se trocarmos a posição de duas filas

paralelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o determinante da matriz troca de sinal.

Como o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a −100.

Letra D

11. Teorema de Binet

Se ; e A são matrizes quadradas de ordem n, então: det(;A) = det ; ∙ det A

Isto quer dizer que tanto faz:

Calcular o produto AB e calcular o determinante do produto.

Calcular o determinante de A, calcular o determinante de B e multiplicar os resultados.

18. (MPU 2004/ESAF) Considere as matrizes L = 1 2 32 4 6

5 3 7 ; ‰ =

2 3 2 B 6 5 3

onde os elementos a,b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a:

a) 0 b) c) d) + B + + B e) + Resolução Queremos calcular (L‰).

Pelo Teorema de Binet, sabemos que

det(L‰) = det L ∙ det ‰ Dê uma olhada na matriz X.

L = 1 2 32 4 6 5 3 7

Percebeu que a segunda linha é igual a primeira linha multiplicada por 2?

Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0.

Podemos concluir que o determinante da matriz X é igual a 0. det(L‰) = det L ∙ det ‰

Letra A

12. Matriz Inversa

Considere uma matriz quadrada de ordem n. Vamos chamar esta matriz de A. Dizemos que a matriz A é inversível se existir uma matriz B tal que ; ∙ A = A ∙ ; = 71.

Lembre-se que 7₁ é a matriz identidade de ordem n.

Esta matriz B é chamada matriz inversa de A e é denotada por ;•*. Exemplo: A inversa da matriz ; = !5 6

4 5" é a matriz ;•* = ! 5 −6−4 5 " porque !5 6_{4 5" ∙ !−4 5 " = !}5 −6 1 0_{0 1"}.

Para verificar basta fazer:

= 5 ∙ 5 + 6 ∙ (−4) = 25 − 24 = 1 B = 5 ∙ (−6) + 6 ∙ 5 = −30 + 30 = 0

= 4 ∙ 5 + 5 ∙ (−4) = 20 − 20 = 0 = 4 ∙ (−6) + 5 ∙ 5 = −24 + 25 = 1 Ora, sabemos que ; ∙ ;•* = 7₁.

Vamos aplicar o teorema de Binet.

det(; ∙ ;•*_{) = 71}

det ; ∙ det ;•* _{= 7} 1

Lembre-se que o determinante da matriz identidade é igual a 1, portanto: 5 6

4 5

5 −6 −4 5

det ; ∙ det ;•* _{= 1}

Este fato é muito importante. Pois se for dado o determinante de uma matriz, podemos automaticamente calcular o determinante da sua inversa e

reciprocamente.

Se a matriz A não admite inversa, a matriz A é chamada de matriz singular.

Uma matriz quadrada não é inversível quando o seu determinante é igual a 0.

Por exemplo, a matriz ! 5 2

10 4" é uma matriz singular, isto é, não admite inversa. Isto pode ser verificado calculando o seu determinante.

s 5 2_{10 4s = 5 ∙ 4 − 2 ∙ 10 = 20 − 20 = 0}

Bom, podemos concluir que se o determinante da matriz quadrada é diferente de zero, então a matriz é inversível. E como calculamos a matriz inversa?

Neste curso, ficaremos restritos ao cálculo de matrizes inversas de ordem 2.

Considere uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante diferente de 0.

; = ! B _"

A inversa da matriz A é calculada da seguinte forma:

;•* ₌ 1

det ; ∙ !− −B "

Ou seja, trocamos de posição os elementos da diagonal principal e mudamos o sinal dos elementos da diagonal secundária. Depois dividimos todos os

elementos pelo determinante da matriz original.

Exemplo 4. Determine, se existir, a inversa da matriz ; = !4 6_{5 8"}.

Resolução

O primeiro passo é calcular o determinante da matriz A.

det ; = 4 ∙ 8 − 5 ∙ 6 = 2

Vamos trocar a posição dos elementos da diagonal principal e trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária.

O próximo passo é dividir todos os elementos pelo determinante da matriz original que é igual a 2.

;•* _{= ’ 4} −3

−5/2 2 “

19. (Oficial de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Dada a matriz !1 111_{M "} e

sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de M é igual a: a) −1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2 Resolução

Sabemos que det ; ∙ det ;•* = 1. O problema já forneceu o determinante da inversa que é igual a 1/2.

det ; ∙ 1_{2 = 1} det ; = 2

Ora, temos em mãos o determinante da matriz original.

s1 111_{M s = 2} 1 ∙ 1 − 1 ∙ M = 2 1 − M = 2 −M = 1 M = −1 Letra A

13. Sistemas Lineares

Equação linear nas incógnitas M, ”, , … é toda equação do tipo M + B” + + ⋯ = P.

Os números reais , B, , … (os números que multiplicam as incógnitas) são chamados de coeficientes e o número P é o termo independente da equação. É importante notar que os expoentes das incógnitas devem ser todos iguais a 1 para que a equação seja considerada linear.

São equações lineares:

2M + 3” = −5 −4M + 6” + 7 = 0 Não são equações lineares:

2M) _{− 5”}( _{= 8}

√M + 6” = 0 2M + 3M” = 7

É importante também notar que não é permitido o produto de duas incógnitas em algum dos termos da equação.

Vejamos alguns fatos que aprenderemos nas aulas de lógica.

Veremos que uma sentença do tipo 3M + 2” = 12 não é uma proposição lógica. Isto porque não podemos determinar o seu valor lógico sem que sejam fornecidos os valores das incógnitas.

Se alguém nos disser que M = 2 ” = 3, então a sentença 3M + 2” = 12 tornar-se-á verdadeira porque 3 ∙ 2 + 2 ∙ 3 = 12; ao passo que se M = 3 ” = 0, a sentença 3M + 2” = 12 será classificada como falsa porque 3 ∙ 3 + 2 ∙ 0 ≠ 12.

Pois bem, já que M = 2 ” = 3 torna a sentença 3M + 2” = 12 verdadeira, dizemos que a sequência (2,3) é uma solução da equação linear.

Falamos em equações lineares. E o que vem a ser um sistema linear?

Nada mais nada menos que um conjunto de equações lineares!

–2M + 5” = 9_{M − 3” = −1}

Aqui, dizemos que uma sequência de números é uma solução do sistema linear, se a sequência for solução de todas as equações lineares que compõem o sistema.

Por exemplo: A sequência (2,1) é solução do sistema linear acima, porque: —2 ∙ 2 + 5 ∙ 1 = 9_{2 − 3 ∙ 1 = −1}

14. Classificação dos sistemas lineares

Se um sistema linear admitir pelo menos uma solução, diremos que o sistema é possível (alguns dizem que o sistema é compatível). Se o sistema não admitir soluções, ou seja, não existir uma sequência que satisfaça todas as equações do sistema, diremos que o sistema é impossível ou incompatível.

Se o sistema é possível, ainda podemos fazer uma subclassificação: se o sistema admitir apenas uma solução, dizemos que o sistema é possível e determinado; se o sistema admitir infinitas soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado. Sistema linear Possível (admite solução) Determinado (a solução é única) Indeterminado (existem infinitas soluções) Impossível

Para quem nunca estudou este assunto, parece um pouco estranho que um sistema linear não possua soluções (impossível) ou que possua infinitas soluções (possível e indeterminado).

Vamos ver alguns exemplos:

Exemplo 5. Resolva o sistema linear – M − 2” = 5_{3M + ” = 29}.

Resolução

Vamos isolar a incógnita M na primeira equação. M = 2” + 5

Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação

3M + ” = 29 3 ∙ (2” + 5) + ” = 29 6” + 15 + ” = 29 7” = 14 ” = 2 Como M = 2” + 5, então: M = 2 ∙ 2 + 5 = 9

Portanto, o sistema admite apenas uma solução: M = 9 ” = 2. O sistema é

possível e determinado.

Exemplo 6. Resolva o sistema linear – _{3MMM −−− 6 =}2””” 5_{== 10}.

Resolução

Vamos isolar a incógnita M na primeira equação. M = 2” + 5

Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 3M − 6” = 10

6” + 15 − 6” = 10 0” = −5

Ora, devemos encontrar um número que multiplicado por zero seja igual a −5. Mas sabemos que qualquer número multiplicado por 0 obrigatoriamente tem como resultado o número 0. Desta forma, não existe um número ” tal que 0” = −5.

O sistema é impossível.

Exemplo 7. Resolva o sistema linear – MMM −−− 2””” === 5

3 6 15

Resolução

Vamos isolar a incógnita M na primeira equação. M = 2” + 5

Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 3M − 6” = 15

3 ∙ (2” + 5) − 6” = 15 6” + 15 − 6” = 15 6” − 6” = 15 − 15

0” = 0

Devemos pensar em um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora, qualquer número real serve!! Pense em um número qualquer, digamos ” = 1. Neste caso, 0 ∙ 1 = 0.

E já que M = 2” + 5, então

M = 2 ∙ 1 + 5 M = 7

Portanto M = 7 ” = 1 é uma solução do sistema. Vamos colocar ” = 5. Já que M = 2” + 5, então

M = 2 ∙ 5 + 5 M = 15

Portanto, M = 15 ” = 5 é outra solução do sistema. Na verdade, você pode escolher o valor que quiser para a incógnita ”, substituir o valor na equação M = 2” + 5 e calcular o valor correspondente de M.

O sistema admite infinitas soluções e, portanto, é possível e indeterminado.

15. Sistema Linear Homogêneo

Um sistema linear é dito homogêneo se o termo independente de todas as equações é igual a 0.

Exemplos:

–2M + 5” = 0_{M − 3” = 0} ˜M + 2” − 3 =2M − 5” + == 000

M − 6” + 8 = 0

É fácil perceber que todo sistema linear é possível. Basta substituir todas as incógnitas por 0. Esta solução em que todas as incógnitas são iguais a 0

é chamada de solução trivial. Se houver, as outras soluções são chamadas de não-triviais.

Desta forma, todo sistema linear homogêneo é possível. Em breve aprenderemos a classificá-lo em determinado ou indeterminado.

16. Teorema de Cramer

O bem conhecido teorema de Cramer, publicado em 1750 por Gabriel Cramer (1704-1752) provavelmente era conhecido por Maclaurin desde 1729. Isso ocorre com muita frequência na Matemática. Uma pessoa descobre algum fato e outra, vários anos depois, leva o crédito. Bom, deixemos a História da Matemática de lado (quem se interessar, depois de passar no concurso, pode comprar o livro História da Matemática de Carl B. Boyer).

Vamos lá. Considere um sistema linear em que o número de incógnitas é igual ao número de equações.

Como o nosso intuito é fechar as provas de concurso, vamos ficar restritos aos sistemas com 2 equações e 2 incógnitas e aos sistemas com 3 equações e 3 incógnitas. – M +_{M ”””} ++ B === PPP* ( ˜ B === PPP* MMM +++ ””” +++ l ( mM + ℎ” + = P₎ Estamos considerando que as incógnitas são as letras M, ”, .

Vamos considerar alguns determinantes especiais que podem ser calculados com os coeficientes e com os termos independentes.

Chamaremos de ™ o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

No caso do sistema de segunda ordem:

™ = s B _s No caso do sistema de terceira ordem:

™ = t B l m ℎ t

Chamaremos de ™_š o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do M pelos termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do M) pelos termos independentes (P_*, P₍, …).

Chamaremos de ™_› o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do ” pelos termos independentes. No caso, substituiremos a segunda coluna (a do ”) pelos termos independentes (P_*, P₍, …).

Chamaremos de ™_œ o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do pelos termos independentes. No caso, substituiremos a terceira coluna (a do ”) pelos termos independentes (P_*, P₍, …). É óbvio que ™_œ só existe em sistemas de terceira ordem.

No caso de sistemas de segunda ordem, temos:

™š = •_PPP* ₍ B• ™› = • _PPP*₍•

™š = t PPP* B ( l P) ℎ t , ™› = t PPP_* ( l m P) t ™œ = t B PPP* ( m ℎ P) t Vamos ver alguns exemplos numéricos.

Considere o sistema – M − 2” = 5 3M + ” = 29.

Temos os seguintes determinantes relacionados a este sistema:

™ é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. ™ = s1 −2_{3 1 s = 1 ∙ 1 − (−2) ∙ 3 = 1 + 6}

™ = 7

™_š é o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do M pelos termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do M) pelos termos independentes.

™š = s 5 −2_{29 1 s = 5 ∙ 1 − (−2) ∙ 29 = 5 + 58}

™š = 63

Analogamente, temos:

™› = s1 5_{3 29s = 1 ∙ 29 − 5 ∙ 3 = 29 − 15}

™› = 14

O Teorema de Cramer afirma que se um sistema linear tem o número de equações igual ao de incógnitas e se ™ ≠ 0 o sistema será possível e determinado (apresenta solução única) e:

M = ™_{™ ,} š ” =™_{™ , …}› No nosso exemplo:

M = ™_{™ =}š 63_{7 = 9} ” = ™_{™ =}› 14_{7 = 2}

Já tínhamos resolvido este sistema pelo método da substituição anteriormente.

Obviamente, o Teorema de Cramer tem mais valor teórico que valor prático. Principalmente ao trabalhar com sistemas de ordem maior ou igual a 3.

O que nos interessa é que o Teorema de Cramer afirma que se ž ≠ Y, então o sistema é possível e determinado. Isso é IMPORTANTÍSSIMO!!! Tem cheiro de ESAF no ar...

E o que acontece se ™ = 0 ?? Há duas possibilidades.

Se todos os outros determinantes associados ao sistema forem iguais a 0, ou seja,

™š = ™› = ⋯ = 0

então o sistema é possível e indeterminado.

Se pelo menos um dos outros determinantes associados ao sistema for diferente de 0, então o sistema é impossível.

Resumindo:

Se você estiver trabalhando em um sistema de equações com número de equações igual ao de incógnitas, então ele pode

ser: _{P ossível e determinado, se} ™ ≠ 0 .

Possível e indeterminado, se ™ = ™š = ™› = ⋯ = 0

Impossível, se ™ = 0 e existir algum ™& ≠ 0.

Na verdade, o resuminho acima está incompleto. É que pode haver casos em que todos os determinantes são nulos e o sistema ser impossível. São casos excepcionais, raros de acontecerem. Só que, para efeito de concurso, podemos simplesmente ignorar esta exceção, pois nunca foi cobrado. Certo?

E se o sistema for homogêneo?

Ora, já vimos que um sistema linear homogêneo sempre admite solução. Portanto temos duas possibilidades: ser possível e determinado ou ser possível e indeterminado.

Basta calcular o valor de ™.

O sistema é possível e determinado se ™ ≠ 0. O sistema é possível e indeterminado se ™ = 0.

20. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Para que o sistema abaixo seja possível e determinado, o valor de a deverá ser:

ax + 3y = 7 x +2y = 1 (A) a = 3. (B) a = 3/2. (C) a ≠≠≠ 3/2. (D) a 5/2. (E) a ≠2/5. Resolução

Para que o sistema seja possível e determinado o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis deve ser diferente de zero.

™ ≠ 0 Sistema linear Possível (admite solução) Determinado (a solução é única) Indeterminado (existem infinitas soluções) Impossível

s 3_{1 2s ≠ 0} 2 ∙ − 3 ∙ 1 ≠ 0

2 ≠ 3 ≠ 3₂

Letra C

21. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções.

   = + = + 4 2 0 3 mb a mb ma

Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que

a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. b) se m=0, o sistema é impossível.

c) se m=6, o sistema é indeterminado.

d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado.

Resolução

Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de 0.

s 3_{2 s ≠ 0}

( _{− 6 ≠ 0}

≠ −(−6) ± (−6)_{2 ∙ 1}( − 4 ∙ 1 ∙ 0 ≠ 6 ± 6₂

Assim, m≠6 e m≠0 fazem com o que o sistema seja possível e determinado.