A Indústria sob controlo

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A Ind´

ustria sob controlo

Manuel Cabral Morais

maj@math.ist.utl.pt

Departamento de Matem´atica — CEMAT

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Plano da apresenta¸c˜ao 1. Sobre a Qualidade 2. Controlo de Qualidade

2.1 A melhoria da Qualidade e a Estat´ıstica 2.2 Um pouco de hist´oria

2.3 Cartas de controlo de qualidade 3. Desempenho de cartas de controlo

3.1 Cartas ¯X e EWMA

3.2 Carta Shewhart S2 _{para σ}2

3.3 Sinais err´oneos em esquemas conjuntos para µ e σ2_* 4. Nota Final

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1. Sobre a Qualidade

AQualidadede umproduto constitui umfactor decisivona sua

aquisi¸c˜aoa par do respectivo custo. Qualidade

Significa adequa¸c˜ao do produto ao consumidor: satisfa¸c˜ao de requisitos considerados essenciais para o consumidor (fitness for use).

Quando se compra umautom´ovelespera-se que n˜ao tenha

defeitos e que constitua um meio detransporte fi´avele econ´omico.

Um retalhista espera que oempacotamentodosprodutos

que adquire permita umarmazenamento seguroe umaboa

exposi¸c˜aodos mesmos.

Dimens˜oes da Qualidade

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2. Controlo de Qualidade

2.1 A melhoria da Qualidade e a Estat´ıstica

Não há processos de produ¸cão sem variabilidadepor mais cuidado que tenhamos no seu planeamento e na sua manuten¸cão... Deteçcão vs. preven¸cão

Um processo de produ¸cão que assente na deteçcão (e posterior separa¸cão) de produtos acabados que não respeitem as

especifica¸cões conduz a desperd´ıcios de mão de obra e matéria prima.

Melhorar a qualidade passa por técnicas de preven¸cão que conduzam àredu¸cão sistemáticadavariabilidade(maior uniformidade do produto) e elimina¸cão de defeitos (até que o produto não possua defeitos).

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A presen¸ca de variabilidade nos processos de produ¸c˜ao e a necessidade de a reduzir torna fundamental o uso dem´etodos estat´ısticosdos quais destacamos:

Planeamento de experiˆencias

Técnica off-line que consiste do planeamento cuidadoso do produto e da identifica¸cão dos n´ıveis óptimos dos factores que claramente influenciam as caracter´ısticas de qualidade (por ex. a temp. de cozedura, etc.).

Controlo estat´ıstico de processos

Técnica on–line cujo objectivo principal é oacompanhamento do processo de produ¸cãoe pressupõe de um modo geral o uso decartas de controlo de qualidade(e não só).

Amostragem de aceita¸c˜ao

Utilizada para avaliar a qualidade à entrada/sa´ıda das/dos matérias-primas/produtos, por inspeçcão dos lotes destinados aos produtores/consumidores.

Consiste em aceitar ou rejeitar um lote com base numa amostra e determinada regra padrão; trata-se de um compromisso entre a inspeçcão

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2.2 Um pouco de hist´oria

Um facto curioso que escapa à maioria dos consumidores: as preocupa¸cões com a qualidade datam, por exemplo, dos tempos do império da Babilónia

(1830AC–539AC) e da civiliza¸c˜ao fen´ıcia (1550AC–300AC), de acordo com Gitlow et al. (1989, pp. 8–9).

C´odigo de Hammurabi (c. 1772AC)

Consiste em 282 leisque regiam contratos, transaçcões e aspectos que dizem respeito a questões de fam´ılia como heran¸cas, divórcio, paternidade e comportamento sexual.

Lei 229If a builder builds a house for a man and does not make its construction firm, and the house which he has built collapse and cause the death of the owner of the house, that builder shall be put to death.

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As guildas da Europa medieval

Entre o final do sec. XIII e o in´ıcio do sec. XIX, os artes˜aos da Europa medieval organizam-se em associa¸c˜oes/sindicatos denominados de guildas.

Estas guildas s˜ao respons´aveis pelo estabelecimento deregras

rigorosasque garantem a qualidade dos produtos fornecidos e

dos servi¸cos prestados.

Existemcomissões de inspeçcãoque verificam os produtos um a um e de certo modo for¸cam ao cumprimento das referidas regras já que marcam os artigos sem defeitos com um s´ımbolo que serve de garantia de qualidade.

Estaabordagem `a qualidadedos produtos manufacturados e dos

servi¸cos prestados é adominante atéàRevolu¸cão Industrialno in´ıcio do sec. XIX.

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A Revolu¸c˜ao Industrial O sistema fabril

Este sistema, fruto da Revolu¸c˜ao Industrial, acaba por transformar os diversos of´ıcios dos artes˜aos em diversas tarefas especializadas.

Esta transforma¸cão for¸ca os artesãos a tornarem-seoperários

fabrise os donos de lojas a passarem a ser supervisores da

produ¸c˜ao.

Aqualidadeno sistema fabril é assegurada pelaper´ıciados operários complementada porinspeçcões sistemáticas.

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O in´ıcio do sec. XX ´

E marcado pela inclusão dano¸cão de processonas práticas de qualidade.

Um processo ´e definido por um grupo de actividades que, tendo

como ponto de partida mat´eria-prima (input), valoriza-a e transforma-a num produto acabado (output).

Walter A. Shewhart,um estat´ıstico dosBell Laboratories,

reconhece que os processos industriais produzem dados.

Shewhart entende que estesdadospodem ser analisados usando

técnicas de Estat´ısticade modo a averiguar se oprocessoestá estável ousob controlo, ou estáfora de controlopor estar a ser afectado por causas assinaláveis.

Ao fazˆe-lo, Shewhart crioua carta de controlo,uma ferramenta essencial para a ind´ustria.

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O pai do controlo estat´ıstico de qualidade

Walter A. Shewhart(1891–1967)

Ao propor um dispositivo gr´afico, acarta de controlo,num famoso

memorandum, no dia 16 Maio de1924,Shewhart:

alterou o curso hist´oria da ind´ustria;

ao celebrar aquilo que se pode considerar umcasamento

perfeitoentreEstat´ıstica, Engenharia e Economia;

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2.3 Cartas de controlo de qualidade

Qualquer produto possui pelo menos umacaracter´ıstica de qualidade

que descreve a sua adequa¸c˜ao ao consumidor. Ela pode ser, por ex., do tipo:

f´ısico — voltagem, viscosidade, peso e diˆametro; sensorial — gosto, cor e aparˆencia;

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O acompanhamento de processos de produ¸c˜ao pressup˜oe de um modo geral:

a escolha decaracter´ıstica de qualidade → no. de defeitos por amostra aleat´oria;

a seleçcão deparâmetro(s) a controlar → no. esperado de defeitos por amostra aleatória;

a recolha regular deamostras→ de hora em hora;

oregisto sequencialdo no. de defeitos por amostra, em gr´afico comlimites apropriados — um limite inferior de controlo (LCL) e um limite superior de controlo (UCL). O dispositivo (gr´afico) resultante denomina-secarta de controlo.

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Emiss˜ao e tipos de sinal

Somos alertados para a poss´ıvel perda de controlo do processo assim que se registar observa¸c˜ao para al´em dos limites de controlo. Podem ocorrer:

falsos alarmes

emissão de sinal na ausência de desvio num parâmetro da caracter´ıstica de qualidade;

sinais v´alidos

emiss˜ao de sinal na presen¸ca de desvio (shift, drift, etc.) no parˆametro.

Os limites de controlo (LCL e UCL) são escolhidos de modo a que: osfalsos alarmessejam emitidos compouca frequência; a emissão desinal válidoocorra com amaior brevidade.

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Exemplo 2.1

Foram registadas 70 observa¸c˜oes don´umero de artigos

defeituosos em amostras de dimens˜aon = 100 numa carta de

controlo−np.

Asprimeiras 50 observa¸c˜oesforam recolhidas enquanto o processo de produ¸c˜ao operavasob controloao n´ıvel

alvo/nominal np0= 100 × 0.05.

As20 observa¸cões seguintes foram recolhidas do processo após a ocorrênciade umshiftpara

n(p0+ θ) = 100 × (0.05 + 0.006).

Oslimites inferioresuperior de controlodacarta Shewharts˜ao iguais a

LCL = max{0, np0− 3pnp0(1 − p0)} = 0

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Exemplo 2.1 (cont.)

Tabela 3.1: No. observado de defeituosos tNcom: n = 100; p = p0= 0.05,

para N = 1, . . . , 50; e p = p0+ θ = 0.056, para N = 51, . . . , 70. N tN N tN N tN N tN N tN N tN N tN 1 2 11 7 21 7 31 4 41 4 51 7 61 5 2 1 12 2 22 4 32 2 42 9 52 12* 62 9 3 3 13 5 23 1 33 2 43 8 53 8 63 18* 4 6 14 6 24 5 34 9 44 6 54 7 64 10 5 7 15 7 25 8 35 9 45 7 55 6 65 11 6 4 16 2 26 4 36 3 46 6 56 15* 66 9 7 3 17 7 27 1 37 2 47 3 57 12* 67 9 8 2 18 5 28 4 38 8 48 6 58 11 68 7 9 5 19 4 29 7 39 3 49 1 59 11 69 14* 10 15† 20 4 30 6 40 5 50 3 60 12* 70 12*

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Exemplo 2.1 (cont.)

A carta−np foi responsável porum falso alarme(sinal emitido antes da ocorrência do shift) e porsete sinais válidos(sinais emitidos após a ocorrência do shift), sendo que o primeiro sinal válido foi emitido pela 52a. amostra, i.e. 2 observa¸cões após a ocorrência do shift no parâmetro np.

! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! !! !! ! ! ! ! ! ! ! ! !!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!! ! ! ! !! !! ! ! ! 5 10 15 20 tN

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Exemplo 2.2

Suspeita-se que um processo de enchimento de saquetas de produto qu´ımico, que conduziu ao conjunto de resultados (em gramas), esteja fora de controlo. Para o efeito, usar-se-˜ao duas cartas de controlo de qualidade...

Carta ¯X (Shewhart) para µ

Destina-se a controlar o valor esperado (µ) de uma caracter´ıstica de qualidade X ∼ N (µ = µ0+ θσ0/ √ n, σ2 0). Estat´ıstica ¯ XN=_n1Pni =1XiN, N ∈ IN Limites de controlo LCL = µ0− γ × q σ2 0 n UCL = µ0+ γ × q σ2 0 n,

onde: a) µ0representa o valor alvo de µ; b) γ ´e uma constante

real positiva, escolhida tendo em vista o desempenho que se pretende para a carta, sob e fora de controlo; c) σ2

0´e o valor

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Exemplo 2.2 (cont.) Carta EWMA para µ

Mesma utilidade que a carta ¯X . Estat´ıstica WN=  µ0, N = 0 (1 − λ) × WN−1+ λ × ¯XN, N ∈ IN, Limites de controlo LCLa= µ0− γa q λ σ₀2 (2−λ) n UCLa= µ0+ γa q λ σ2₀ (2−λ) n,

onde: a) λ ∈ (0, 1] é uma constante que representa o peso atribu´ıdo à informa¸cão mais recente acerca do processo condensada em ¯XN; b) γ é uma constante real positiva que, cuja seleçcão é

feita a par da de λ, tendo sempre em vista o desempenho que se pretende para a carta, sob e fora de controlo.

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Exemplo 2.2 (cont.)

Os valores obs. das estat´ısticas dascartas ¯X eEWMAusadas no controlo do valor esperado do peso de cada saqueta s˜ao, para µ0= 10.0,

γ = 3.09, σ0/ √ n = 2, w0= µ0, λ = 0.134 e γa' 2.8891, iguais a: N M´edia (¯xN) EWMA (wN) N ¯xN wN 1 10.7 10.0938 11 12.8 11.3904 2 9.2 9.97403 12 14.0 11.7401 3 13.0 10.3795 13 9.7 11.4668 4 8.7 10.1545 14 13.3 11.7124 5 12.4 10.4554 15 14.3 12.0591 6 14.4 10.9839 16 12.6 12.1316 7 11.8 11.0933 17 11.0 11.9800 8 11.8 11.1880 18 11.4 11.9023 9 10.0 11.0288 19 11.8 11.8886 10 12.1 11.1723 20 10.5 11.7025

Os limites das cartas ¯X e EWMA s˜ao LCL = 3.82 UCL = 16.18 LCLa' 8.45 UCLa' 11.55.

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Exemplo 2.2 (cont.)

Carta ¯X Carta EWMA

! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! !! ! ! !!_! 0 5 10 15 20N 5 10 15 20 tN ! !! ! ! ! ! ! ! !! !_!!! ! ! ! !! 5 10 15 20N 8 10 12 14 wN

Acarta EWMAemitiuoito sinais (v´alidos)ao passo que acarta Shewhart n˜ao emitiu qualquer sinal.

Quest˜ao:

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A análise de desempenho das cartas de controlo é feita à custa da v.a. RL (run length)— número de amostras até emissão de sinal na presen¸ca de shift de magnitude θ.

ARL = E(RL) — O ARL deve ser calculado para v´arias

magnitudes do shift de forma a avaliar a sensibilidade da carta sob e fora de controlo.

(De um modo geral fixa-se o ARL sob controlo para obter-se os limites de controlo da carta.)

Distribui¸c˜oes de RL

Carta Shewhart —RLS(θ) ∼ Geométrica(p(θ));ARLS(θ) =_p(θ)1 , onde, por ex., p(θ) = P( ¯X 6∈ [LCL, UCL]) (fun¸cão potência do teste!).

Carta EWMA —RLu

E(θ) ∼ Phase-type(eu, Q(θ));ARLuE(θ) = e>[I − Q(θ)]−11, onde Q(θ) ´e o an´alogo matricial de (1 − p(θ)).

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Ao substituir-se a carta ¯X (Shewhart) por carta do tipo EWMA, com o mesmo ARL sob controlo, obt´em-se a seguinteredu¸c˜ao percentual em ARL,

h 1 −ARLE(θ) ARLX¯(θ) i × 100%: 2 4 6 8 10 Θ "50 50 Redução percentual

Confirma-se que, em média, a cartaEWMAémais rápida queacarta ¯X a detectar shifts de pequena e média magnitude em µ,deixando o seu uso de ser vantajoso

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Caracter´ıstica de qualidade

X ∼ N (µ, (θσ0)2), onde σ02´e o valor alvo da variˆancia do processo e θ (θ ∈ IR+_{) representa a magnitude do shift em σ.}

X diz-se sob controlo se θ = 1 e fora de controlo caso contr´ario.

Carta Shewhart S2 _(padr˜_ao)

Emite sinal aquando da recolha da amostra N, sugerindo que a variˆancia do processo σ2 se alterou, se

S_N2 = 1 n − 1 n X i =1 (Xi N− ¯XN)2 6∈ [LCL, UCL], onde LCL = σ20 n−1× F −1 χ2 (n−1) [1/(2ARL(1))],UCL = σ20 n−1× F −1 χ2 (n−1) [1 − 1/(2ARL(1))] e

ARL(1) representa o n´umero esperado de amostras at´e falso alarme

(e.g. ARL(1)=500 amostras) e _ARL(1)1 a probabilidade de erro de

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Carta Shewhart S para σ (cont.) Run length

RL(θ) ∼ Geom´etrica(p(θ))

p(θ) = PSN2 6∈ [LCL, UCL] | θ , θ ∈ (0, +∞).

Probabilidade de emissão de sinal — fun¸cão potência do teste

p(θ) = 1 − 8 > > > < > > > : F_χ2 (n−1) 2 6 6 6 4 F−1 χ2_(n−1) “ 1 −_2ARL(1)1 ” θ2 3 7 7 7 5 − F χ2 (n−1) 2 6 6 6 4 F−1 χ2_(n−1) “ ₁ 2ARL(1) ” θ2 3 7 7 7 5 9 > > > = > > > ;

Average run length

ARL(θ) = 1

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Detecta shifts na variância de output com distribui¸cão normal com valor esperado µ e valor alvo da variância σ2

0...

µ = 0, σ0= 1, n = 5, ARL(1) = 500 amostras, i.e. probab. de erro de 1a. esp´ecie p(1) = 0.002, LCL = 0.022701, UCL = 4.61671 Fun¸c˜ao ARL

Alguns valores deARL fora de controlosãosuperiores ao ARL sob controlo(e.g. ARL(0.95) ' 614.0 > ARL(1) = 500), i.e. a carta Shewhart S2demora, em média, mais tempo a detectar algumas diminui¸cões de σ2que a emitir um falso alarme.

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Novos limites de controlo LCL∗= σ20 n−1× a e UCL ∗₌ σ2 0 n−1× b

ARL e fun¸c˜ao potˆencia do teste

ARL(θ) = 1/p(θ) onde p(θ) = 1− » F_χ2 (n−1) „ b θ2 « − F_χ2 (n−1) “a θ2 ”– , θ ∈ (0, +∞) Determina¸c˜ao de a e b (a, b) : 

ARL(1) = ARL∗_{(valor elevado e.g. 500 amostras)}

ARL(1) = maxθ∈(0,+∞)ARL(θ)

( 1/p(1) = ARL∗ d [1/p(θ)] d θ ˛ ˛ ˛ θ=1= 0, d2_[1/p(θ)] d θ2 ˛ ˛ ˛ θ=1< 0 8 < : F_χ2 (n−1) (b) − F_χ2 (n−1) (a) = 1 − 1/ARL∗ b × f_χ2 (n−1) (b) − a × f_χ2 (n−1) (a) = 0... −1 “ 1 ” ₋₁ “ 1 ”

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Fun¸c˜ao ARL da carta com novos limites

LCL∗= 0.029359(LCL = 0.022701),UCL∗= 5.20765(UCL = 4.61671)

Todos osvalores de ARL fora de controlos˜ao todosinferiores ao

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Aplica¸c˜oes do cartas de Controlo de Qualidade

O recurso decartas de controlo de qualidadesurgiu no contexto

da engenharia industrial mas é tambémvital,por exemplo, na indústria alimentar(Hubbard, 2003):

a utiliza¸cão de umacarta de controlo paraacontagem bacterianaé pertinente epoderá resultaremreajuste das

condi¸c˜oes de processamento do produto,caso os seus

limites de controlo seja excedidos, e, consequentemente, contribuir para a diminui¸c˜ao do fabrico de produtos alimentares impr´oprios para consumo;

asaltera¸cões significativas da cordas passas e dos figos secos podem ser indicadoras dadeteriora¸cão irrevers´ıvel destes produtos, logo afigura-se relevante recorrer acartas de controlopara controlar a cor ( Özilgen et al., 1997).

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A utiliza¸cão das cartas de controlonão se confina à indústria: administra¸cão(Hawkins e Olwell, 1998, p. v —

preenchimento incorrecto de documentos);

epidemiologia(Blacksell et al., 1994 — diagn´ostico de doen¸cas veterin´arias);

deteçcão de fraudes(Johnson, 1984 — roubo sistemático pelos caixas de supermercado);

gestão de pessoal(Olwell, 1997 — avalia¸cão do número de casos de assédio sexual em ambiente laboral);

atletismo, biologia, ciˆencias do ambiente, gen´etica (Hawkins e Olwell, 1998, e Stoumbos et al., 2000);

finan¸cas (Golosnoy, 2007; Golosnoy e Schmid, 2007; Golosnoy et al., 2007 — controlo dos pesos ´optimos dos diversos t´ıtulos de uma carteira).

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