Para achar a anti-diferencial ou integral de uma função temos efetuar a operação inversa da diferenciação. Por

CAPÍTULO 6 - INTEGRAL INDEFINIDA E TÉCNICAS DE PRIMITIZAÇÃO

6.1- Definição

Na matemática freqüentemente ocorre conhecermos a derivada de uma função, e desejarmos encontrar a própria função. Exemplo, conhecemos a velocidade

dt ds

v = de uma partícula e necessitamos encontrar a sua posição s = f

( )

t . Para resolver esse problema precisamos “desfazer” a derivação ( ou diferenciação), isto é, temos que anti-diferenciar (ou integrar) a função.

Para achar a anti-diferencial ou integral de uma função temos efetuar a operação inversa da diferenciação. Por exemplo, tomando a função y = x2, sua derivada é obtida, multiplicando o x pelo expoente 2 e em seguida subtraindo uma unidade do expoente de x, ou seja y′= 2x e a diferencial é dy=2xdx. A operação inversa (integral) seria obtida dividindo a derivada pelo expoente e somando uma unidade no expoente, da forma: Integral (de 2x)

C x 2 x

2 1 1 ₌ 2₊

= + . Note que a função recuperada contém uma constante indeterminada, pois se derivarmos

(

)

_2x dx C x d 2 =

+ _{que é a mesma derivada da qual partimos.}

A operação inversa da diferenciação pode ser representada por um símbolo conhecido como integral

_{( )}

_{∫ que} se parece com um “

s

” alongado. Assim, dada uma diferencial de uma função, dy=f′

( )

xdx, aplicando nela a operação inversa, isto é, a integral tem-se

( )

→

_∫

=

_∫

′

( )

→ =

_∫

′

( )

′

=f xdx dy f xdx y f xdx dy

Portanto, as operações fundamentais no cálculo integral são representadas por

( )dx

x

f

dy = ′ (diferencial de uma função) e

∫

dy = y + c , que é a integral de uma diferencial da função mais uma constante.

( )

∫

dy = f x +c

,

esta expressão é conhecida como a primeira parte do teorema fundamental do cálculo. A constante indeterminada que aparece na integração é que dá origem ao nome de “integração indefinida”.

Exercícios

1) Qual a função cuja diferencial é 2x.dx ? Resposta: y = x2 _{+ c.}

2) Qual a função cuja diferencial é cos x.dx ? Resposta: y = sen x + c.

3) Qual a função cuja diferencial é ex_{.dx ?} Resposta: y = ex _{+ c.}

ou seja ∫ = + ∫ = + ∫ = + c x e .dx x e c senx x.dx cos c 2 x 2x.dx Definição:

Uma função g (x) é dita antiderivada ou integral de uma função f (x) se g‘(x) = f(x) ∫f(x)dx=g(x)+c⇔g'(x)=f(x), onde c é uma constante arbitrária que possa assumir infinitos valores, também chamada constante de integração. Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição inicial.

Exercícios

1) Determine a equação da família de curvas sabendo-se que a inclinação da tangente a ela em qualquer de seus pontos é o dobro da abcissa do ponto considerado. Determine também a curva da família que passa pelo ponto P (1, 3). Determinar: y = f (x) / dx dy = 2x dy = 2x.dx ∫dy= 2x.dx∫ y = x2 _{+ c → Família de curvas} Passe pelo ponto P (1, 3)

3 = 1 + c c = 2

y = x2 _{+ 2 Pertence à família e passa pelo ponto P (1, 3).}

6.2- Integral Indefinida de Funções de Uma Variável Se a derivada de uma função é _xn

dx

dy = , sua diferencial dy será dy₌xndx _{e sua integral}

∫

dy = y =

∫

xndx + c , que resultará em 1 n para c 1 n x c dx x 1 n n _{+ ≠ −} + = +

∫

+

Note-se que a expressão acima não é válida para

n

=

−

1

, pois teria-se

∫

− = = =∞

0 1 0 x dx

x 1 0 _{, isto é, a integral fica}

não definida. Porém, esta integral é definida como segue:

Observação: Para resolver-se este problema foi necessário encontrar uma função cuja derivada fosse igual a ela mesma, e esta função é

e

x.

Dentre de todas as possíveis bases para uma função exponencial, há uma que é mais conveniente para este propósito. Na escolha da base

a

para a função

y

=

a

x pesa muito a forma com a qual ela cruza o eixo

Y

.

( )

x c n x

dx _{= +}

6.3- Propriedade das Integrais

a)

∫

(du

+

dv

−

dw)

=

∫

du

+

∫

dv

−

∫

dw

. b)

∫

f′

( )

x dx + c = f

( )

x + c

c)

∫

dx+c=x+c

d)

∫

af

( )

x dx = a

∫

f

( )

x dx sendo a uma constante.

e)

∫

[

af

( )

x +bg

( )

x

]

dx = a

∫

f

( )

x dx +b

∫

g

( )

x dx (distributiva) Exemplo: 1) ∫(4x+cos x).dx ∫ +∫ = + + + → → ∫ +∫ =∫ +∫ → 1 c senx c 2 2x cosx.dx 2x.dx 2 a aplicando cosx.dx 2.2x.dx cosx.dx 4x.dx d aplicando (c+c1)=c2 → 2x2 + sen x + c2 Exercícios: 1) ∫ = +c 4 4 x dx 3 x 2) c 3 x 2x c 3 3 x 2 c 2 3 2 3 x dx 2 1 x dx x ∫ = + = + = + ∫ = 3) c 6 6 4) (2x 2 1 du 5 u 2 1 2dx 5 4) (2x 2 1 2.dx du 4 2x u dx 5 4) (2x → ∫ + = ∫ = + + = + = → ∫ +







∫

x

3

_e

x

2

x

Y

1

0

( )

( )

1 tan 0 = = = x x dx e d θ

θ

( )

( )

3 1,1 tan 0 = = = x x dx d θ ( )

( )

2 0.7 tan 0 = = = x x dx d θ

2.

∫

3 _x dx 3.

∫

(6x2 −x+1)dx 4.

∫

(x2 +4)3x.dx 5. c 4 x c 1 3 x dx x 4 1 3 3 _{+ = +} + = +

∫

6. c 6 x 7 dx x 7 5 ₌ 6 ₊

∫

7.

x

x

c

3

2

x

3

2

2

/

3

x

1

2

/

1

x

dx

x

dx

x

3 2 / 3 1 2 / 1 2 1

+

=

=

=

+

=

=

+

∫

∫

8.

c

x

2

x

2

1

5

x

8

dx

x

8

dx

x

8

4 4 1 5 5 5

+

−

=

−

=

+

−

=

=

− − + −

∫

∫

9.

(

)

2

x

c

2

x

4

3

x

3

dx

2

xdx

4

dx

x

3

dx

2

x

4

x

3

2

+

+

=

2

+

∫

+

∫

=

3

+

2

+

+

∫

∫

10.

(

)

x

x

7

x

c

3

2

x

2

5

x

7

2

/

3

x

2

x

5

dx

7

dx

x

xdx

5

dx

7

x

x

5

2 2 / 3 2 2 1

+

−

+

=

−

+

=

−

+

=

−

+

∫

∫

∫ ∫

11.

x

x

dx

x

x

dx

x

dx

₅

x

_/

₂

2

₅

2

x

5

2

₅

x

2

x

c

2 / 5 2 3 2 1

+

=

=

=

=

⋅

=

∫

∫

∫

12.

c

x

2

2

/

1

x

dx

x

dx

x

dx

x

x

dx

x

x

₂ 3₂ 1/2 2 1 2 2 1 2

=

⋅

=

=

=

₋

=

−

+

− − − −

∫

∫

∫

∫

13. x

(

x x

)

dx

(

x x x x

)

dx x x =x +x = x + x = x x+ x x+c + + + = ⋅ + ⋅ = +

_∫

+ +

∫

5 3 7 2 23 3 / 7 2 / 5 1 3 / 4 1 2 / 3 3 1 2 1 3 7 3 5 2 7 3 5 2 3 / 7 2 / 5 1 3 / 4 1 2 / 3 14. x x c 8 3 x 8 3 3 / 8 x dx x dx x x dx x x 2 13 53 8/3 3 8 2 3 2 3 2 + = = = = ⋅ =

∫

∫

∫

todos esses exemplos só envolvem o x elevado a um expoente. Agora vamos generalizar essa fórmula para o caso de se ter u ao invés de só n x , sendo u= f

( )

x .

6.4- Integração por substituição de variáveis

Para calcular uma integral do tipo

∫

x

(

x2 +5

)

100dx, se o método convencional fosse usado, teria de desenvolver-se o binômio

(

x2+5

)

100, o que resulta em 101 termos, a serem integrados termo a termo, o que seria no mínimo enfadonho.

Pelo método da substituição, faz-se: 5 x u= 2 + x 2 du dx xdx 2 du= ⇒ = ⇒

que substituída na integral dá:

(

)

c 202 u 101 u 2 1 du u 2 1 x 2 du u x dx 5 x x 2+ 100 =

∫

⋅ 100 =

∫

100 = ⋅ 101 = 101 +

∫

voltando para x tem-se

(

)

(

)

c 202 5 x dx 5 x x 101 2 100 2_{+ =} + ₊

∫

6.4.1- Regra geral para integrais do tipo

∫

xp

(

xq +a

)

sdx

Outros problemas que podem ser resolvidos por substituição. Exemplo, descobrir os valores dos expoentes para que a expressão seja integrável

(

)

∫

x

p

x

q

+

a

sdx

, faz

=

q

+

⇒

=

q−1

⇒

=

_q−1

qx

du

dx

dx

qx

du

a

x

u

Substituindo na integral vem

du x u q 1 x . q du u xp _q−1

∫

s p−q+1

∫

⋅ = ⇒ para que x desapareça, temos duas condições: 1a _{) p−q+1=0 ou p=q−1=0, então a integral para ser integrável tem que ser do tipo}

(

x a

)

dx

xq 1 q s

∫

− +

2a _{) condição é p−q+1= p (neste caso x}q _{é obtido de u=x}q_{+a) Então, p=2q−1que substituído na integral} resulta

(

x a

)

dx

x2q 1 q

∫

− +

Note-se que o expoente “

s

” e a constante “

a

” são quaisquer.

Exercícios 1-

∫

x3

(

x4 +9

)

7dx ⇒ u=x4 +9 ∴ du=4x3dx substituindo-se vem

∫

∫

= u du 4 1 x 4 du u x3 7 ₃ 7 32 ) 9 x ( 8 u 4 1 8 ₌ 4 + 8 =

(

)

c 32 ) 9 x ( dx 9 x x3 4+ 7 = 4 + 8 +

∫

2- dx 2 x x 6 5

∫

₊ x

(

x 2

)

2dx u x6 2 du 6x5dx 1 6 5 _{+ ⇒ = + ∴ =} =

∫

− substituindo-se tem-se

∫

∫

− − = u du 6 1 x 6 du u x 12 5 2 1 5

( )

2 6 12 1 ) 2 x ( 3 1 2 1 u 6 1 + = = c ) 2 x ( 3 1 dx 2 x x 6 6 5 + + = +

∫

3-

∫

x5 x3+ dxa x

(

x a

)

2dx u x3 a du 3x2dx 1 3 5 _{+ ⇒ = + ∴ =} =

∫

2 2 3 3 x 3 du dx dx x 3 du e a u x a x u= + ⇒ = − = ⇒ = substituindo-se vem

(

u a

)

u du 3 1 du u x 3 1 x 3 du u x 3 12 12 2 2 1 5

∫

∫

∫

= = −

(

)

_∫

_∫

_∫

_∫

∫

− = − = − u du 3 a du u 3 1 du au 3 1 du u . u 3 1 du u a u 3 1 1₂ 1/2 1/2 3/2 1/2     _{+ − +} =         − = −

∫

∫

3/2 1/2 5/2 3/2 3 5/2 _(x3 _a)3/2 3 a 2 ) a x ( 5 2 3 1 2 / 3 au 2 / 5 u 3 1 du u 3 a du u 3 1 c ) a x ( 9 a 2 ) a x ( 15 2 dx a x x5 3+ = 3+ 5 − 3 + 3 +

∫

. 4- dx x

(

x a

)

dx u x a,du 2xdx a x x 3 2 ₂1 2 2 3 = + = ⇒ + = +

∫

∫

− x 2 du dx xdx 2 du e a u x a x u₌ 2_{+ ⇒} 2 _{= − = ⇒ = ,} substituindo-se tem-se:

(

u a

)

u du 2 1 du u x 2 1 x 2 du u x3 − 12

_∫

2 − 12

_∫

− 12

∫

= = −

(

)

_∫

_∫

_∫

_∫

∫

− − − − − = − = − u du 2 a du u 2 1 du au 2 1 du uu 2 1 du u a u 2 1 _1/2 1₂ 2 1 2 1 2 1     _{+ − +} =         − −

∫

∫

1/2 −12 3/2 1/2 _(x3 _a)3/2 _2a(x3 _a)1/2 3 2 2 1 2 / 1 au 2 / 3 u 2 1 du u 2 a du u 2 1 c ) a x ( a ) a x ( 3 1 ) a x ( a 2 ) a x ( 3 2 2 1 3 3/2 3 1/2 ₌ 3 ₊ 3/2 ₋ 3 ₊ 1/2 ₊     _{+ − +} c a x a ) a x ( 3 1 dx a x x 3 3 3 2 3 + + − + = +

∫

. 5- ∫(3x+1)2dx

∫ + = + + = + + = = + = c 9 3 1) (3x c 3 3 1) (3x 3 1 3dx 2 1) (3x 3 1 3dx du 1 3x u 6- ∫(2x)3dx ∫ = ∫ = + = ∫ = + = + = = = c 4 4 x . 3 2 dx 3 x 3 2 dx 3 .x 3 2 ou c 8 4 (2x) c 4 4 (2x) 2 1 2dx 3 (2x) 2 1 2dx du 2x u 7- ∫ +(x 4)2dx ∫ + + = + + + = + + = c 16x 2 2 8x 3 3 x 16)dx 8x 2 (x ou c 3 3 4) (x 8- ∫tan3x.sec2x.dx c 4 x 4 tan 3 n x.dx 2 sec du tanx u + = = = = 9- ∫senx.cosx.dx c 2 x 2 cos dx sen x du x cos u dx )sen x cosx.( dx .sen x x cos ou c 2 x 2 sen dx x cos du senx u + −    − = = ∫ − − = ∫ + =    = = 10- ∫tanx.sec2x.dx

c 2 x sec dx . x tan . x 2 + = + =     = = + =     = =

∫

∫

x x.tan x.d x.sec sec ou c 2 x 2 tan x.dx 2 sec du tan x u 2 sec ou c 2 x 2 tan x.dx 2 sec du tanx u 11- ∫ + 3_{x 2} dx

(

)

c 2 3_{(x 2)}2 3. c 3 2 3 2 2) (x dx 3 1 2 x = − + = + + ∫ + − = 12- ∫ x x.dx 5 ln ∫ = + =     = = c 6 x 6 ln dx x 1 x. 5 ln dx x 1 du lnx u 13-

∫

+ 3 _x2 ₄ dx . x c 4 ) 4 x ( . 3 c 3 2 ) 4 x ( 2 1 dx . x . 2 du 4 x u dx . x . 2 . ) 4 x ( 2 1 3 2 2 3 2 2 2 3 1 2 + + = + + =     = + = + =

∫

− 14- ∫ 3_xdx

∫

+ =− + − = = − − _c x 1 c 2 x dx . x ₂ 2 3 15-

∫

x dx c x ln + =

16-

∫

− + + dx ) 7 x 5 x ( ) 5 x 2 ( 2 c ) 7 x 5 x ln( dx ) 5 x 2 ( du 7 x 5 x u 2 2 + − + =     + = − + = 17-

∫

.dx x tan x sec2 c x tan ln dx . x sec du x tan u 2 + =     = = 18-

∫

+e .dx 5 e x x c ) e 5 ln( dx e du e 5 u x x x + + =     = + = 19-

∫

+4dx e e x 2 x 2 c ) 4 e ln( 2 1 dx e . 2 du 4 e u dx 4 e e . 2 2 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 + + =     = + = + =

∫

OBS.:

∫

dx→ ) x ( Q ) x ( P _→

∫

=

∫

+

∫

→ + = ) x ( Q ) x ( r ) x ( q ) x ( Q ) x ( P ) x ( Q ) x ( r ) x ( q ) x ( Q ) x ( P 20-

∫

− + dx 4 x 2 x

∫

=

∫

+

∫

₋ − + → − + = − + 4 x dx . 6 dx dx 4 x 2 x 4 x 6 1 4 x 2 x =x+6ln(x−4)+c 21-

∫

− + + − dx 2 x 2 x x 3 x 2 2 4 dx . 2 x x . 2 2 1 dx ). 1 x ( dx 2 x 2 x x 3 x 2 x x 1 x 2 x 2 x x 3 x 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4

∫

=

∫

− +

∫

₋ − + + − − + − = − + + − ln(x 2) c 2 1 x 3 x3 _{− +} 2_{− +} = P (x) Q (x) r (x) q (x) x+2 x-4 -x+4 1 6 x4_-3x2_{+x+2 x}2_-2 -x4+_2x2 _x2_-1 -x2_+x+2 x2 _-2 x

22-

∫

+ + dx 1 x 1 x2 23-

∫

−5x dx 6 x 2 3 2 6.4.2- Principais Fórmulas 1)

∫

du=u+c 2) c 1 n u du un n 1 + + = +

∫

   − ≠ = 1 n f(x) u 3) lnu c u du _{= +}

∫

4)

∫

eudu=eu+c 5) c lna a du au ₌ u ₊

∫

6)

∫

cosu.du=senu+c 7)

∫

senu.du=−cosu+c 8) _∫    + + − = c lnsecu c lncosu tanu.du 9)

∫

cotu.du=lnsenu+c 10)

∫

secu.du=ln

(

secu+tanu

)

+c 11)

∫

cossecu.du=ln(cossecu−cotu)+c 12) ∫sec2u.du=tanu+c

13)

∫

cossec2u.du=−cotu+c 14)

∫

secu⋅tanu⋅du=secu+c 15)

∫

cossecu⋅cotu⋅du=−cossecu+c

16)

∫

= ⋅ + + a c u arctan a 1 a u du 2 2 17)

∫

+ + − ⋅ = − u a c a u ln 2a 1 a u du 2 2

18)

∫

= + − a c u arcsen u a du 2 2 19)

∫

= + − a c u arcsec a 1 a u u du 2 2 ** Exercícios: 1) ∫a2x.2.dx 2 1 c a ln x 2 a ₊ =    = = 2 1 2dx du 2x u 2) ∫e3x.3.dx 3 1 c 3x e 3 1 3.dx du 3x u + =    = = 3) ∫ dx 2 x x 1 e c e dx 2 x ). .( x 1 e ) ( dx 2 x du 1 x u x 1 + − = − − − =     − − = − =

∫

4) − ∫e3.cos2x.(-6)sen 2x.dx 6 1 c x 2 cos . 3 e 6 1 dx . x 2 sen 6 dx . 2 . x 2 sen . 3 du x 2 cos . 3 u + − =    − = − = = 5) ∫       dx 2 1 x 2 1 sen 2 c x 2 1 cos 2 c x 2 1 cos 2 +      − = +             − =       = = dx 2 1 du x 2 1 u 6)

∫

cos3x.3.dx 3 1

c x 3 sen 3 1 dx 3 du x 3 u + =    = = 7) sen(5x .)10.x.dx 10 1

_∫

2 c ) x 5 cos( 10 1 2 ₊ − = 8)

∫

tan2x.2.dx 2 1 c x 2 sec ln 2 1 dx 2 du x 2 u + =    = = 9)

∫

2.x.cotx dx 2 1 2 c x sen ln 2 1 xdx 2 du x u 2 2 + =     = = 10)

∫

dy y cos y sen 2 c y sec c y cos dy ) y sen ( y cos dy . y cos . y sen 1 2 2 + = + = = − − = = − − = − − −

∫

∫

11)

∫

sen(2x+1).2.dx 2 1 c ) 1 x 2 cos( 2 1 2 du 1 x 2 u + + − =    = + = 12)

∫

(1+tanx)2dx c x tan x sec ln 2 c x x tan x sec ln 2 x dx x sec x sec ln 2 x dx ) 1 x (sec x sec ln 2 x xdx tan xdx tan 2 dx dx ) x tan x tan 2 1 ( 2 2 2 2 + + = = + − + + = = − + + = = − + + = = + + = = + + =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

13)

∫

dx

c 3 x arctan 3 1 x u 9 a 2 2 2 + =     = = 14)

∫

+ − dx 9 x 7 x 2 2 c 3 x arctan 3 7 ) 9 x ln( 9 x dx 7 c ) 9 x ln( 9 x dx 7 9 x xdx 2 2 2 2 2 2 + − + = = + − + + = + − + =

∫

∫

∫

15)

∫

− 1 x dx 2 c ln 2 1 1 a x u 1 x 1 x 2 2 2 + =     = = + − 16)

∫

− 4 x dx 2 c 2 x 2 x ln 4 1 4 a x u 2 2 2 + + − =     = =

6.5- Generalização da integração por substituição de variáveis

Em geral esse método funciona sempre que se tiver uma integral que possa ser escrita na forma

( )

(

g x

) ( )

g xdx

f ′

∫

. Observe-se que se F =′ f , então

( )

[ ]

g x g

( )

xdx F

[ ]

g

( )

x C

F′ ′ = +

∫

,

pois, pela regra da cadeia

( )

[ ]

{

F g x

}

F

[ ]

g

( )

x g

( )

x dx

d _{= ′ ′}

Fazendo–se a mudança de variável u = g

( )

x , obtém-se:

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

( )

_∫

( )

∫

F′g x g′xdx=F g x +C=F u +C= F′udu e voltando a f =F′, fica

( )

[ ]

( )

_∫

_{( ) ( ) ( )}

_∫

( )

∫

= ′ ′ = ′ f udu x g du x g u f dx x g x g f .

Observe-se que a Regra de Substituição de Variáveis foi provada usando a Regra da Cadeia para diferenciação, ou seja, se u=g

( )

x , então

[ ]

g

( )

x dx g

( )

xdx

dx d

Exercício 1- Encontre

∫

cot

(

x2+3x+2

)

(

4x+6

)

dx Solução: Fazendo

(

)

₍

₎

3 x 2 du dx dx 3 x 2 du 2 x 3 x u 2 + = ∴ + = ⇒ + + =

(

)

(

)

( )(

₍

)

₎

du 2 cot

( )

udu 3 x 2 6 x 4 u cot dx 6 x 4 2 x 3 x cot 2

∫

∫

∫

= + + = + + +

( )

u c 2 nsen

(

x 3x 2

)

c sen n 2 _{+ =} 2 _{+ + +} l l

(

x 3x 2

)

(

4x 6

)

dx n

[

sen

(

x 3x 2

)

]

c cot 2+ + + = 2 2 + + +

∫

l . 2-

( )

dx 2 xdu x 2 dx du x u dx x x cos _{⇒ = ∴ = ⇒ =}

∫

( )

u du 2sen

( )

u c 2sen

( )

x c cos 2

∫

= + = + 3-

( ) ( )

15 du dx dx 15 du x 15 u dx x 15 tan x 15 sec ⇒ = ∴ = ⇒ =

∫

( ) ( )

( )

sec

(

15x

)

c 15 1 c u sec 15 1 du u tan u sec 15 1 _{= + = +}

∫

4-

( ) ( )

( )

[

1 cscx

]

u 1 csc

( )

x du csc

( ) ( )

x cot xdx dx x cot x csc 4 ⇒ = + ∴ =− +

∫

( ) ( )

_{( ) ( )}

x cot x csc du dx dx x cot x csc du=− ⇒ =− c ) x csc 1 ( 3 1 3 u du u du u ₃ 3 4 4 ₊ + − = − − = − = − −

_∫

− −

∫

. 5-

∫

sen(x2+4x)(x+2)dx ⇒ u=x2 +4x ∴ du=

(

2x+4

)

dx

( )

( )

cos

(

x 4x

)

c 2 1 c u cos 2 1 du u sen 2 1

_∫

_{= + =} 2 _{+ +} 6-

_∫

x2csc2(5x3)dx _⇒ u₌5x3 _∴ du₌15x2dx 7-

( )

( )

( )

cot

( )

5x c 15 1 c u cot 15 1 du u csc 15 1 x 15 du u csc x 2 3 2 2 2 ₌

_∫

_{= + = +}

∫

6.6- Métodos de Integração

Regra geral da substituição de Variáveis: Se u = g

( )

x for uma função diferenciável cuja variação ocorre em um intervalo

I

e

f

for contínua em

I

, então

( )

[ ]

( )

_∫

( )

6.6.1- Decomposição em Frações Parciais

Integração das funções racionais ∫ dx

Q(x)

P(x) _{, onde o grau de P(x) é menor que o grau de Q(x). Decomposição} em funções parciais

1o _Passo:

Fatorar Q(x).

a) Os fatores de Q(x) são do 1o _{grau (linear) e distintos;} b) Os fatores de Q(x) são do 1o _{grau e repetidos;} c) Os fatores de Q(x) são do 2o _{grau e distintos;} d) Os fatores de Q(x) são do 2o _{grau e repetidos.} 2o _Passo:

a) Se os fatores de Q(x) forem distintos e do 1o _{grau: Q(x) = (x-a}

1) (x-a2) ... (x-an) n a x n A ... 2 a x 2 A 1 a x 1 A Q(x) P(x) − + + − + − =

OBS.: o número de parcelas na decomposição é igual ao número de fatores da fatoração. 3o _Passo:

Tirar o mínimo múltiplo comum do 2º membro e eliminar os denominadores. 4o _Passo:

Por igualdade de polinômios formar um sistema com n equações e n incógnitas: A1; A2;...;An. Exemplo:

1) Decompor em frações parciais

3 x C 2 x B x A x 6 2 x 3 x 1 x + + − + = − + + 6 1 A 1 A 6 1 C 2 B 3 A ) 3 ( 0 C B A A 6 x ) C 2 B 3 A ( 2 x ) C B A ( 1 x Cx 2 2 Cx Bx 3 2 Bx A 6 Ax 2 Ax 1 x ) 3 x ).( 2 x .( x ) 2 x ).( x ( C ) 3 x ).( x ( B ) 3 x ).( 2 x ( A x 6 2 x 3 x 1 x ) 3 x ).( 2 x .( x ) 6 x 2 x .( x x 6 2 x 3 x − =      = − = − + − × = + + − − + + + + = + − + + + − + = + + − − + + + + − = − + + + − = − + = − +

c ) 3 x ln( 15 2 ) 2 x ln( 10 3 x ln 6 1 3 x dx 15 2 2 x dx 10 3 x dx 6 1 x 6 x x 1 x 3 x 15 2 2 x 10 3 x 6 1 x 6 x x 1 x 10 3 B 15 2 C 1 C 5 3 2 1 C 2 B 3 6 1 0 C 3 B 3 2 1 2 3 2 3 + + − − + − = + − − + − = − + + + − + − + − = − + + = − = = −       = − + − = − −

∫

∫

∫

∫

b) Se os fatores de Q(x) forem do 1o _{grau e repetidos}

Q(x)=(x-a)n n ) a x ( n A ... 2 ) a x ( 2 A 1 ) a x ( 1 A ) x ( Q ) x ( P − + + − + − = Exemplo: 1) _{2 1 2} ) 1 x ( C ) 1 x ( B ) 1 x ( A ) 1 x ).( 1 x ( 5 x 3 − + − + + = − + + 2 1 B 2 1 A 4 C 8 C 2 3 C A 2 5 C A 2 5 C B A 3 C A 2 B A 0 B A C Cx B Bx A Ax 2 Ax 5 x 3 ) 1 x ).( 1 x ( ) 1 x ( C ) 1 x ).( 1 x ( B ) 1 x ( A ) 1 x ).( 1 x ( 5 x 3 2 2 2 2 2 − = = = = = + − = +      = + − = + − − = → = + + + − + + − = + − + + + − + + − = − + +

∫

∫

∫

∫

+ − − + − − + = − + − − + = − + + − + − − + + = − + + − − c 1 ) 1 x ( 4 ) 1 x ln( 2 1 ) 1 x ln( 2 1 dx ) 1 x ( 4 1 x dx 2 1 1 x dx 2 1 ) 1 x ).( 1 x ( 5 x 3 ) 1 x ( 4 1 x 2 1 1 x 2 1 ) 1 x ).( 1 x ( 5 x 3 1 2 2 2 2

c) Se os fatores de Q(x) são do 2o _{grau e distintos}

Q(x)=(a1x2+b1x+c1) . (a2x2+b2x+c2). ... . (anx2+bnx+cn) n n 2 n n n 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 c x b x a B X A ... c x b x a B x A c x b x a B x A ) x ( Q ) x ( P + + + + + + + + + + + + = Exemplo:

1) ) 1 x 2 x ( C Bx ) 1 x ( A l irredutíveforma ) 1 x 2 x ( ). 1 x ( 2 2 x + + + + − = + + − + 43 42 1 c 4 3 2 1 x arctan 4 3 1 ) 1 x ln( ) 1 x x )( 1 x ( 2 x a u arctan a 1 a u du : lembrar 4 3 2 1 x dx ) 1 x ln( ) 1 x x )( 1 x ( 2 x ) 1 x x ( dx ) 1 x ( dx ) 1 x x )( 1 x ( 2 x ) 1 x x ( 1 ) 1 x ( 1 ) 1 x x )( 1 x ( 2 x 1 C 0 B 1 A 2 C A 1 C A 2 2 C A 0 C B A 1 B A ) 1 x x )( 1 x ( C Cx Bx Bx A Ax Ax ) 1 x x )( 1 x ( 2 x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +       + − − = + + − + = + ⇒ +       + − − = + + − + + + − − = + + − + + + − + − = + + − + − = = = = − = +      = − = + − = + + + − − + − + + + = + + − +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

d) Se os fatores de Q(x) são do 2o _{grau e repetidos}

Q(x) = n l irredutíve c) bx 2 (ax 4 4 3 4 4 2 1 + + n 2 n n 2 2 2 2 2 1 1 c) bx (ax B x A ... c) bx (ax B x A c) bx (ax B x A ) x ( Q ) x ( P + + + + + + + + + + + + =

Exercício: 1) ₂2 _{2 2 2 2} ) 3 x 2 x ( D Cx ) 3 x 2 x ( B Ax ) 3 x 2 x ( 2 x x + + + + + + + = + + + + c 1 ) 3 x 2 x ( 2 1 2 ) 1 x ( arctan 2 1 dx ) 3 x 2 x )( 1 x ( 2 2 1 ) 3 x 2 x ( dx ) 3 x 2 x ( 2 x x ) 3 x 2 x ( ) 1 x ( ) 3 x 2 x ( 1 ) 3 x 2 x ( 2 x x 1 D 1 C 1 B 2 D B 3 1 C B 2 A 3 1 B A 2 0 A ) 3 x 2 x ( D Cx B 3 Bx 2 Bx Ax 3 Ax 2 Ax ) 3 x 2 x ( 2 x x 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 + + + + + = + + + − + + = + + + + + + − − + + + = + + + + − = − = =        = + = + + = + = + + + + + + + + + = + + + + − −

∫

∫

∫

Exercícios: Resolva as integrais: 1) ∫ + + − dx x 3 2 x 6 x 4 3 x 2) dx 2 x 3 x 2 4 x 1 2 x 6 ∫ + + −

6.7- Integração das Potências Trigonométricas Identidades Trigonométricas 1)     − = − = u 2 sen 1 u 2 cos u 2 cos 1 u 2 sen 2)       + = − = ) u 2 cos 1 ( 2 1 u 2 cos ) u 2 cos 1 ( 2 1 u 2 sen 3)     − = − = 1 u 2 sec cos u 2 cot 1 u 2 sec u 2 tan 4) 5)     + = + = u 2 cot 1 u 2 sec cos u 2 tan 1 u 2 sec

a) Integrais da forma ∫sennudu ou ∫cosnudu i) Se n for ímpar • ∫ − .senu.du 1 identidade u 1 n sen 4342 1 • ∫ − .cosu.du 1 identidade u 1 n cos 4342 1 Exercícios: 1) ∫cos3x.dx c 3 x 3 sen x sen dx . x cos . x 2 sen dx . x cos dx . x cos ). x 2 sen 1 ( dx . x cos . . ident x 2 cos + − = ∫ −∫ = ∫ − = ∫ = ₁₂₃ 2) ∫sen5x.dx c 5 x 5 cos 3 x 3 cos 2 x cos dx . x sen ) .( x 4 cos ) ( dx . x sen ) .( x 2 cos ) ( 2 dx . x sen dx . x sen ) x 4 cos x 2 cos 2 1 ( dx . x sen . 2 ) x 2 cos 1 ( dx . x sen . x 4 sen + − + − = ∫ − − + ∫ − − ∫ − = ∫ − + = ∫ − = ∫ = 3) ∫cos35x.dx c 15 x 5 3 sen x 5 sen 5 1 c 3 x 5 3 sen 5 1 x 5 sen 5 1 dx . x 5 cos . 5 . x 5 2 sen 5 1 dx . 5 . x 5 cos 5 1 dx . x 5 cos ). x 5 2 sen 1 ( dx . x 5 cos . x 5 2 cos + − = + − = ∫ − ∫ = ∫ − = ∫ =

ii) Se n for par:

• ∫ .du 2 identidade u n sen 312 • ∫ .du 2 identidade u n cos 312

Exercícios 1) ∫cos23x.dx

[

]

c x 6 sen 6 1 x 2 1 dx . x 6 cos dx 2 1 dx ) x 6 cos 1 ( 2 1 +     + = + = + =

∫

∫

∫

2) ∫ .dx . ident x 5 4 sen 43142

[

]

    _{− + + +} =       +       + + − =     _{− + +} =     _{− + +} = + − = + − =     ₋ =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

c 40 x 20 sen 2 x 5 x 10 sen x 4 1 c 20 x 20 sen 2 1 2 x x 10 sen 10 2 x 4 1 dx . x 20 cos 2 1 dx 2 1 x 10 sen 10 2 x 4 1 dx ) x 20 cos 1 ( 2 1 x 10 sen 10 2 x 4 1 dx . x 10 cos dx . x 10 cos 2 dx 4 1 dx ) x 10 cos x 10 cos 2 1 ( 4 1 dx ) x 10 cos 1 ( 2 1 2 2 2

b) Integrais da forma:∫sennu.cosmu.du

i) Se n ou m for ímpar: • Suponha m ímpar: ∫ − .cosu.du 1 identidade u 1 m cos . u n sen ₁₄₂₄₃ Exercício: 1)

∫

cos6 2x.sen32x.dx ∫ = .sen2x.dx . ident x 2 2 sen . x 2 6 cos ₁₄₂₄₃

∫

∫

∫

− = − = dx . x 2 sen . x 2 cos dx . x 2 sen . x 2 cos6 8 dx 2x).sen2x. cos 2x.(1 cos6 2 c 9 x 2 cos 2 1 7 x 2 cos 2 1 7 9 + + − =

ii) Se n e m forem pares:

• ∫ .du 2 identidade u m cos . 2 identidade u n sen_{23 14243} 1

Exercício 1)

∫

sen2 x.cos2 x.dx

[

]

c x 4 sen 4 1 x 2 1 x 4 1 dx ). x 4 cos 1 ( 2 1 x 4 1 dx . x 2 cos dx 4 1 dx ). x 2 cos 1 ( 4 1 dx ). x 2 cos 1 ( 2 1 ) x 2 cos 1 ( 2 1 2 2 +             + − =     _{− +} = − = − = + ⋅ − =

∫

∫

∫

∫

∫

c) Integrais da forma ∫tannu.du ou ∫cotnu.du

• _∫ − .du 3 identidade u 2 tan . u 2 n tan ₁₂₃ • ∫ − .du 3 identidade u 2 cot . u 2 n cot ₁₂₃ Exercícios: 1) ∫ .dx . ident x 5 2 tan 4342 1 c x x 5 tan 5 1 dx x 5 sec dx ) 1 x 5 (sec 2 2 + − = − = − =

∫

∫

∫

2)

∫

tan33x.dx c x 3 sec ln 3 1 2 x 3 2 tan 3 1 dx . x 3 tan dx . x 3 2 sec . x 3 tan dx ) 1 x 3 2 (sec x 3 tan dx . . ident x 3 2 tan . x 3 tan + − = ∫ −∫ = ∫ − = ∫ = ₁₄₂₄₃ 3)

∫

cot4 x.dx c x x cot 3 x cot dx ) 1 x sec (cos 3 x cot dx . x cot dx . x sec cos ) ( x cot dx ) 1 x sec .(cos x cot dx . x cot . x cot 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 + + + − = − − − = − − − = − = =

∫

∫

∫

∫

∫

d) Integrais da forma ∫secnu.du ou ∫cossecnu.du

i) Se n for ímpar:

(Integra por partes)

ii) Se n for par:

• _∫ − .sec2u.du 4 identidade u 2 n sec 43142 • _∫ − .cossec2u.du 4 identidade u 2 n sec cos_{14 24 4 34} Exercícios: 1)

∫

sec4 x.dx ∫ = .sec2x.dx . ident x 2 sec 32 1 c 3 x 3 tan x tan dx . x 2 sec . x 2 tan dx . x 2 sec dx . x 2 sec ) x 2 tan 1 ( + + = ∫ +∫ = ∫ + = 2)

∫

cossec6 2x.dx c 5 x 2 cot 2 1 3 x 2 cot x 2 cot 2 1 dx . 2 ). .( x 2 sec cos . x 2 cot ) 2 1 ( dx . 2 ). .( x 2 sec cos . x 2 cot ) 2 2 ( dx . x 2 sec cos dx . x 2 sec cos ) x 2 cot x 2 cot 2 1 ( dx . x 2 sec cos . ) x 2 cot 1 ( dx . x 2 cos . x 2 sec cos 5 3 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 + − + − = − − + − − − = + − = − = =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

e) Integrais da forma:

∫

secnu.tanmu.du ou

∫

cossecnu.cotmu.du i) Se n for par: • ∫ − .tanmu.sec2u.du 4 identidade u 2 n sec₄₂₄₃ 1

• ∫ − .cotmu.cossec2u.du 4 identidade u 2 n sec cos_{4 24 4 34} 1 Exercícios: 1)

∫

sec4 x.tan6 x.dx

c 9 x tan 7 x tan dx . x sec . x tan dx . x sec . x tan dx . x sec ). x tan x (tan dx . x sec . x tan ). x tan 1 ( dx . x sec . x tan . x sec 9 7 2 8 2 6 2 8 6 2 6 2 2 6 2 + + = + = + = + = =

∫

∫

∫

∫

∫

2)

∫

cossec65x.cot25x.dx

c 7 x 5 cot 5 1 5 x 5 cot 5 2 3 x 5 cot 5 1 dx ). 5 .( x 5 sec cos . x 5 cot 5 1 dx ). 5 .( x 5 sec cos . x 5 cot 5 2 dx ). 5 .( x 5 sec cos . x 5 cot 5 1 dx . x 5 sec cos . x 5 cot ). x 5 cot x 5 cot 2 1 ( dx . x 5 sec cos . x 5 cot . ) x 5 cot 1 ( dx . x 5 sec cos . x 5 cot . x 5 sec cos 7 5 3 2 6 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 + − − − = −      − + −      − + − − = + + = + = =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

ii) Se m for ímpar:

• _∫ − − .secu.tanu.du 3 identidade u 1 m tan . 1 n sec ₁₄₂₄₃

• _∫ − − .cossecu.cotu.du 3 identidade u 1 m cot . u 1 n sec cos ₁₄₂₄₃ Exercícios 1)

∫

sec3 x.tan3x.dx c 3 x sec 5 x sec dx . x tan . x sec . x sec dx . x tan . x sec . x sec dx . x tan . x sec ). 1 x .(sec x sec 3 5 2 4 2 2 + − = − = − = =

∫

∫

∫

∫

sec2x.tan2x.sec x.tan x.dx

iii) Se n for ímpar e m for par:

(Integração por partes)

Exercícios

1)

∫

sen24x.dx

2)

∫

cos34x.dx

6.7.1- Integração por Substituição Trigonométrica

Se o integrando contiver qualquer das expressões: a2 −u2; u2 −a2 ou a2 +u2 onde a é constante e u é uma função em x.

Da trigonometria temos: Identidades: • cos 2 _{θ = 1 – sen} 2 _θ • sec 2 _{θ = 1 + tan} 2 _θ • tan 2 _{θ = sec} 2 _{θ – 1} 1o _Caso: θ = −u2 a.cos 2 a Substituição: u = a . sen θ θ = θ = θ − = θ − = θ − =

−u2 a2 a2.sen2 a2(1 sen2 ) a. (1 sen2 ) a. cos2 a.cos 2 a du = a . cos θ. d θ 2o _Caso: θ = −a2 a.tan 2 u Substituição: u = a . sec θ θ = θ = − θ = − θ = − θ =

−a2 a2.sec2 a2 a2(sec2 1) a. (sec2 1) a. tan2 a.tan 2 u du = a . sec θ . tan θ . d θ 3o _Caso: θ = +a2 a.sec 2 u Substituição: u = a . tan θ θ = θ = + θ = + θ =

+a2 a2.tan2 a2 a. tan2 1 a. sec2 a.sec 2 u du = a . sec 2 _{θ . d θ} Resumo: • θ    θ θ = θ = − a.cos d . cos . a du sen . a u 2 u 2 a • θ    θ θ θ = θ = − a.tan d . tan . sec . a du sec . a u 2 a 2 u • θ     θ θ = θ = + a.sec d . 2 sec . a du tan . a u 2 a 2 u u a 2 a 2 u − a 2 u 2 a − u u a a2+u2 θ θ θ

Exercícios 1) dx x x 4 2 2 ⋅ −

∫

Subst.: θ θ = θ = θ = θ − = − θ = d . cos . 2 dx cos . 2 2 cos . 2 2 sen 4 4 2 x 4 sen . 2 x x 2 x 4 cotθ= − 2 x senθ= c 2 x arcsen x 2 x 4 c cot d d . 2 sec cos d ). 1 2 sec (cos d . 2 cot 2 sen . 4 d . cos . 2 . cos . 2 + − − − = + θ − θ − = ∫ θ θ−∫ θ = ∫ θ− θ = ∫ θ θ = ∫ θ θ θ θ = 2)

∫

+ 4 x dx x 2 3 Subst.: θ θ = θ = θ = + = + θ = + θ = d . 2 sec . 2 dx sec . 2 2 sec 2 ) 1 2 (tan 4 4 2 tan . 4 4 2 x tan . 2 x

[

]

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+         − + = + + = +         − = − = − = = = = + _c 24 ) 4 x ( 8 4 x dx x 2 4 x sec c sec 3 sec 8 d . tan . sec d . tan . sec . sec 8 d . tan . sec ). 1 (sec 8 d . tan . sec . tan 8 d . sec . tan 8 sec . 2 d . sec . 2 . tan . 8 2 ) 4 x ( 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 1 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 2 2 x 4− x θ

3) dy y 9 y2

∫

− Subst.: θ θ θ = θ = − θ = − θ = d . tan . sec . 3 dy tan . 3 9 2 sec . 9 9 2 y sec . 3 y

[

]

[

]

c 3 y sec arc 3 9 y 3 c tan 3 d d . sec 3 d ) 1 (sec 3 d . tan 3 sec . 3 d . tan . sec . 3 . tan . 3 2 2 2 2 +         − − = + − = − = − = = =

∫

∫

∫

∫

∫

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

6.8- Integração por Partes

∫

∫

∫

∫

∫

+ = + = du . v dv . u v . u du . v dv . u ) v . u ( d

∫

u.dv=u.v−

∫

v.du → Fórmula da Integração por Partes

Exercícios 1) { ∫ ₁₄₂+ ₄₃ dv dx 5 ) 4 x (. u x      = + = + =

∫

dx . 1 du 6 ) 4 x ( dx ) 4 x ( v 6 5 c 7 ) 4 x ( 6 1 6 ) 4 x ( x dx ) 4 x ( 6 1 6 ) 4 x ( x 7 6 6 6 + + − + = + − + =

∫

2) ∫_{14243 dv dx . x sen . u x    = − = dx . 1 du x cos v c x sen x cos . x dx . x cos x cos . x + + − = + − =

∫

3) { ∫ ₁₄₂₄₃ dv dx . x sen . u 2 x

   = − = dx . x 2 du x cos v {

(

)

c ) x cos x sen . x .( 2 x cos . 2 x dx . x sen x sen . x . 2 x cos . 2 x dx . 1 du x sen v dv dx . x cos . u x . 2 x cos . 2 x + + + − = ∫ − + − =    = = ∫ + − = ₁₄₂₄₃ 4) ∫_{123 dv dx . x e . u 2 x { c x e x e . x 2 x e . 2 x dx . x e x e . x 2 x e . 2 x dx . 1 du x e v dv dx . x e . u x 2 x e . 2 x dx . x 2 . x e x e . 2 x dx . x 2 du x e v +       ₋ − =       _−∫ − =     = = ∫ − = ∫ − =     = = 3 2 1 5) ∫_{{ {} dv dx . u x ln c x x ln . x dx x x x ln . x dx x 1 du x v + − = − =     = =

∫

6) ∫₁₄₂}₄₃ dv dx . u x ln . 2 x c 3 x 3 1 3 x ). x (ln dx . x 3 1 3 x ). x (ln dx x 1 3 x 3 x ). x (ln dx x 1 du 3 x v 3 3 2 3 3 3 3 + ⋅ − = − = − =       = =

∫

∫

7) ∫ _{ dv dx . u x arctan₄₂₄₃ 1 c ) x 1 ( ln 2 1 x arctan . x x 1 dx . x 2 2 1 x ). x (arctan dx x 1 1 du x v 2 2 2 + + − = + − =     + = =

∫

8) ∫_{14 2}6₄474_{4 3}8₄ dv dx . u x arcsen . 2 x { c 3 2 2 3 ) 2 x 1 ( 3 1 ) 2 x 1 ( 2 x 3 1 3 3 x ) x (arcsen dx . x 2 ). .( 2 1 ) 2 x 1 ( ) ( 3 1 ) 2 x 1 ( 2 x 3 1 3 3 x ) x (arcsen dx . x 2 du 2 1 ) 2 x 1 ( v dv dx . x . 2 1 ) 2 x 1 ( u . 2 x 3 1 3 3 x ) x (arcsen 2 x 1 dx 3 x 3 1 3 3 x ) x (arcsen dx 2 x 1 1 du 3 3 x v +           ⋅ − − − − − =           ∫ − − − + − − − =      = − − =           ∫ − − − = ∫ − − =        − = = 4 4 4 3 4 4 4 2 1 9)

∫

sec3 x.dx {

[

secx.tanx ln(secx tanx)

]

c 1 dx . x 3 sec ) x tan x ln(sec x tan . x sec dx . x 3 sec 2 dx . x sec x tan . x sec dx . x 3 sec dx . x 3 sec dx . x sec dx . x 3 sec x tan . x sec dx . x sec ). 1 x 2 (sec x tan . x sec dx . x sec . x 2 tan x tan . x sec dx . x tan . x sec du x tan v dv dx . x 2 sec . u x sec + ∫ = + + + + = ∫ ∫ = +∫ ∫ + ∫ +∫ − = ∫ − − = ∫ − =    = = ∫ = ₁₄₂₄₃

10) {∫ ₁₄₂₄₃ dv dx . x sen u . x e { ∫ = _− + _+ ∫ =− + ∫ − + − =     = = ∫ + − =     = − = c x sen . x e x cos . x e 2 1 dx . x sen . x e x sen . x e x cos . x e dx . x sen . x e 2 dx . x e . x sen x sen . x e x cos . x e dx . x e du x sen v dv dx . x cos u . x e x cos . x e dx . x e du x cos v 43 42 1 6.9- A Mudança de Variável 2 x tg u= A mudança de variável 2 x tg

u= é recomendável sempre que o integrando for da forma Q

(

senx,cosx

)

, onde Q

( )

u,v é um quociente entre dois polinômios nas variáveis u e v.

Antes de passarmos aos exemplos, vamos relembrar duas identidades trigonométricas importantes.

2 x cos 2 x cos 2 x sen 2 2 x cos 2 x sen 2 x sen = = 2 Assim, 2 x tg 1 2 x tg 2 x sen 2 + =

Por outro lado,

2 x tg 1 2 x tg 1 2 x tg 2 2 x sec 2 x cos 2 x sen 2 1 x cos 2 2 2 2 2 2 + − =     ₋ = − = Exercícios: 1- Calcule

∫

dx x cos 1 2- Calcule dx x sen x cos 1 1

∫

_{− +} 3- Calcule

∫

+cosxdx 1 x 2 sen