Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro

Um passeio pela sequ ˆencia de Fibonacci e o

n ´umero de ouro

Reginaldo Leoncio Silva

Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB - Campus de Itapetinga Departamento de Ci ˆencias Exatas e Naturais - DCEN

Introduc¸ ˜ao

Neste Semin ´ario iremos apresentar o seguinte:

A biografia do matem ´atico Leonardo de Pisa (Fibonacci). Suas contribuic¸ ˜oes matem ´aticas.

A sequ ˆencia que leva seu nome (Sequ ˆencia de Fibonacci) e suas propriedades elementares.

O n ´umero de ouro.

A relac¸ ˜ao entre o n ´umero de ouro e a sequ ˆencia de Fibonacci. Aplicac¸ ˜oes da sequ ˆencia de Fibonacci e do n ´umero de ouro.

Objetivos

Conhecer a hist ´oria de Fibonacci e suas principais obras. Apresentar o problema que deu origem a sequ ˆencia de Fibonacci.

Definir a sequ ˆencia de Fibonacci, elucidando suas principais propriedades elementares.

Conhecer o n ´umero de ouro e sua hist ´oria. Determinar o n ´umero de ouro.

Construir o ret ˆangulo e a espiral ´aurea.

Apresentar a conex ˜ao entre o n ´umero de ouro e a sequ ˆencia de Fibonacci.

Biografia de Fibonacci e suas principais obras

Leonardo de Pisa, Filho de um comerciante italiano chamado Guilielmo dei Bonaccio, por isso ficou conhecido como Fibonacci, viveu entre os anos de 1180 e 1250.

Iniciou estudando assuntos relacionados a neg ´ocios e com ´ercio mercantil, recebendo parte de sua educac¸ ˜ao em

Bejaia, norte da ´Africa, onde seu pai desempenhava uma

func¸ ˜ao alfandeg ´aria.

A partir da´ı, estudando com professores ´arabes, estudou tamb ´em Matem ´atica no Egito, Siria e Gr ´ecia. Assim teve a oportunidade de conhecer e estudar o sistema de numerac¸ ˜ao indo-ar ´abico.

Em 1202 retorna a It ´alia e escreve v ´arios livros:

LIBER ABACI (1202): um livro sobre c ´alculos. Foi revisto em 1228 e nele encontra-se o problema dos coelhos.

PRACTICA GEOMETRIAE (1220): livro que aborda a

aplicac¸ ˜ao da ´algebra `a soluc¸ ˜ao de problemas de Geometria e trigonometria.

FLOS (1225): obra dedicada ao cardeal di ´acono Raniero Capacci, com soluc¸ ˜oes para os problemas postos por Jo ˜ao de Parma.

LIBER QUADRATORUM (1225): ´E o maior livro que escreveu.

Trata de equac¸ ˜oes diofantinas, dedicado ao imperador Frederico II.

O livro Liber Abaci (Livro do ´abaco)

Mostra seus trabalhos em ´algebra e aritm ´etica, tais como: m ´etodos de c ´alculos com inteiros e frac¸ ˜oes, o c ´alculo de ra´ızes quadradas e c ´ubicas e a resoluc¸ ˜ao de equac¸ ˜oes lineares e quadr ´aticas.

Tem muito a influ ˆencia das ´algebras de Al-Khow ˆarizmˆı e Ab ˆu K ˆamil.

Trata de convers ˜ao monet ´aria e outros interesses do com ´ercio e de uma gama de problemas.

Este livro foi importante para a popularizac¸ ˜ao dos n ´umeros indo-ar ´abicos.

Sentenc¸a de abertura do Liber Abaci

A sentenc¸a de abertura do “Liber Abacci” trazia a seguinte mensagem:

“Nouem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Cym his itaque nouem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appelatur, scribur quilibet numeus, ut inferius demonstratur”

(Estes s ˜ao os nove algarismos indianos 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Com esses nove algarismos, e com o sinal 0, que os ´arabes chamam de zephirum, pode-se escrever qualquer numero, como se demonstrar ´a a seguir.) (EVES, 2004, p. 294)

O problema de reproduc¸ ˜ao dos coelhos

De todos os temas e problemas tratados no Liber Abaci o que mais se destacou e que ainda hoje cria-se novas aplicac¸ ˜oes ´e o problema dos coelhos, elucidado no livro Hist ´oria da Matem ´atica de Boyer (1974, p. 186):

Quantos pares de coelhos s ˜ao produzidos num ano,

comec¸ando com um s ´o par, se em cada m ˆes gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo m ˆes?

Qual o n ´umero de casais de coelhos numa populac¸ ˜ao considerando-se que:

1 _{No primeiro m ˆes tem-se apenas um casal;}

2 _{Casais reproduzem-se somente ap ´os o segundo m ˆes de vida;}

3 _{N ˜ao h ´a problemas gen ´eticos no cruzamento cossangu´ıneo;}

4 _{Todos os meses, cada casal f ´ertil d ´a `a luz um novo casal;}

Soluc¸ ˜ao:

1 _{A resoluc¸ ˜ao deste problema gera uma sequ ˆencia amplamente}

estudada com v ´arias aplicac¸ ˜oes na natureza e recheada de in ´umeras propriedade interessantes. Est ´a sequ ˆencia ´e conhecida como sequ ˆencia de Fibonacci.

A sequ ˆencia de Fibonacci

Definic¸ ˜ao: A sequ ˆencia de inteiros

(Fn) : (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .), onde F1=F2=1 e

Fn=Fn−1+Fn−2, ∀n ≥ 3, n ∈ N, recebe o nome de sequ ˆencia

de Fibonacci. Seus termos chamam-se n ´umeros de Fibonacci. No S ´eculo XIX essa sequ ˆencia foi devidamente chamada de sequ ˆencia de Fibonacci pelo matem ´atico franc ˆes Edouard Lucas (1842-1891).

Propriedades elementares

A soma dos primeiros n ´umeros da sequ ˆencia de Fibonacci ´e igual a Fn+2− 1.

A soma dos primeiros n ´umeros de Fibonacci com ´ındices impares ´e igual a F2n

A soma dos primeiros n ´umeros de Fibonacci com ´ındices pares ´e igual a F2n+1− 1

(F1)2+ (F2)2+ (F3)2+ . . . + (Fn)2=FnFn+1, ∀n ≥ 1

Quaisquer dois n ´umeros de Fibonacci consecutivos s ˜ao primos entre si.

Prova da propriedade 4:

Vamos fazer a prova usando induc¸ ˜ao sobre n.

Para n = 1, temos que: (F1)2=12=1.1 = F1F2. Logo o caso

base ´e verdade.

Suponhamos agora que

(F1)2+ (F2)2+ (F3)2+ . . . + (Fn)2=FnFn+1, ∀n ≥ 1.

Iremos provar que:

(F1)2+ (F2)2+ (F3)2+ . . . + (Fn)2+ (Fn+1)2=Fn+1Fn+2, ∀n ≥ 1.

Usando a hip ´otese de induc¸ ˜ao, temos que: (F1)2+ (F2)2+ (F3)2+ . . . + (Fn)2+ (Fn+1)2=

FnFn+1+ (Fn+1)2=Fn+1(Fn+Fn+1) =Fn+1Fn+2, como quer´ıamos

F ´ormula de Binnet

No s ´eculo XIX, o matem ´atico franc ˆes Jacques Philippe Marie Binet deduziu a f ´ormula que permite encontrar o en ´esimo n ´umero da s ´erie de Fibonacci sem a necessidade de se conhecer os n ´umeros anteriores.

Para todo n ≥ 1, tem-se que Fn= √1₅

  1+√5 2 n −1− √ 5 2 n , onde (Fn) ´e a sequ ˆencia de Fibonacci.

O n ´umero de ouro

Definic¸ ˜ao: O n ´umero de ouro, tamb ´em conhecido como proporc¸ ˜ao ´aurea, n ´umero ´aureo, secc¸ ˜ao ´aurea, proporc¸ ˜ao de ouro, ´e um n ´umero irracional, cujo valor ´e:

φ = 1 +

√ 5

2 =1, 6180339887498948482045868343656 . . .

´

E um n ´umero muito misterioso e enigm ´atico.

No Egito as pir ˆamides de Giz ´e foram constru´ıdas usando a raz ˜ao ´aurea.

A raz ˜ao entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pir ˆamide ´e igual ao n ´umero de ouro.

Relac¸ ˜oes ´aureas na pir ˆamide

Os Pitag ´oricos perceberam a secc¸ ˜ao de ouro na construc¸ ˜ao da estrela pentagonal (ou pentagrama).

Euclides (360-295a.C.) escreveu em seus “Elementos” que havia encontrado uma proporc¸ ˜ao que se repete na natureza. esta proporc¸ ˜ao ele chamou de “m ´edia e extrema raz ˜ao”. Em 1509, o monge Luca Paccioli publicou o livro A Divina Proporc¸ ˜ao, com ilustrac¸ ˜oes de Leonardo da Vinci (1452-1519). Neste livro Paccioli diviniza a proporc¸ ˜ao ´aurea ligando-a ao Criador.

A sec¸ ˜ao ´aurea

Definic¸ ˜ao: Diz-se que um ponto divide um segmento de reta em m ´edia e extrema raz ˜ao ou em sec¸ ˜ao ´aurea, se o mais longo dos segmentos ´e m ´edia geom ´etrica entre o menor e o

segmento todo. A raz ˜ao entre o maior segmento e o menor segmento chama-se raz ˜ao ´aurea.

Entre outras palavras, dado um segmento AB de medida a + b, seja C o ponto entre A e B, tal que, AC = a > CB = b como mostra a figura abaixo.

Figura: Segmento ´aureo

Assim temos que:

AC BC = AB AC ⇒ a b = a+b a ⇒ a 2_{=ab + b}2

Dividindo ambos os membros por b2, obtemos:

a2

b2 =

a b +1

Como φ = a_b, resulta que:

φ2− φ − 1 = 0, cujas raizes s ˜ao: φ = 1±

√ 5 2

O ret ˆangulo ´aureo, a sequ ˆencia de Fibonacci e a

espiral ´aurea

O ret ˆangulo ´aureo ´e um ret ˆangulo no qual a raz ˜ao entre as medidas de seus lados ´e o n ´umero de ouro, ou seja, se x e y s ˜ao, respectivamente, o maior e o menor lado, tem se que:

x

y = φ =

1 +√5

2

Por ser considerado uma figura esteticamente agrad ´avel, este ret ˆangulo exerceu enorme influ ˆencia em obras arquitet ˆonicas e em pinturas.

Passos para a construc¸ ˜ao da espiral ´aurea no Geogebra:

Relac¸ ˜ao entre o n ´umero de ouro e a sequ ˆencia de

Fibonacci

Se rn= F_Fn+1_n ent ˜ao limn→∞rn=L = φ = 1+ √

5 2

Essa relac¸ ˜ao foi estabelecida primeiramente pelo matem ´atico escoc ˆes Robert Simpson, em 1753.

Prova:

Seja rn= F_Fn+1_n , n ≥ 2. Como Fn+1 =Fn+Fn−1, temos que:

rn = Fn+F_Fnn−1 =1 + Fn−1_Fn =1 + _rn−11 .

Seja limn→∞rn=L. Como limn→∞rn−1 =L, segue-se que:

L = 1 + 1_L, ou seja, L2− L − 1 = 0. Resolvendo esta equac¸ ˜ao vem que:

L = 1±

√ 5 2 .

Como rn≥ 0, ∀n, podemos concluir que L = 1+

√ 5

2 = φ, como

Pot ˆencias de φ

Desenvolvendo as pot ˆencias de φ, temos: φ2=1+ √ 5 2 2 = 1+2 √ 5+5 4 = 1+2√5+4+1 4 =1 + 2+2√5 4 = 1 + 1+ √ 5 2 =1 + φ φ3= φ2φ = (1 + φ) φ = φ + φ2_{= φ +1 + φ = 1 + 2φ} φ4= φ3φ = (1 + 2φ) φ = φ + 2φ2= φ +2 (1 + φ) = φ +2 + 2φ = 2 + 3φ φ5= φ4φ = (2 + 3φ) φ = 2φ + 3φ2=2φ + 3 (1 + φ) = 3 + 5φ φ6= φ5φ = (3 + 5φ) φ = 3φ + 5φ2=3φ + 5 (1 + φ) = 5 + 8φ ...

Outras express ˜oes que geram o n ´umero de ouro

O n ´umero φ pode ser gerado por outras express ˜oes interessant´ıssimas. Vejamos: φ =1 + 1 1 + 1 1+ 1 1+ 1 1+... φ = r 1 + q 1 +√1 + . . .

Prova: Fazendo y = 1 + 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+...

, obtemos que: y = 1 + 1_y, ou seja,

y2_{− y − 1 = 0. Resolvendo obtemos: y =} 1±√5 2 Fazendo y = r 1 + q 1 +p1 +√1 + . . ., obtemos que: y =p1 + y. Da´ı, y2=1 + y , ou seja, y2− y − 1 = 0. Resolvendo obtemos: y = 1± √ 5 2

A sequ ˆencia de Fibonacci e o n ´umero de ouro na

natureza

A sequ ˆencia de Fibonacci est ´a intimamente relacionada com a natureza. Ela aparece em in ´umeras situac¸ ˜oes, seja na forma de sequ ˆencia num ´erica ou atrav ´es da espiral de Fibonacci, como por exemplo, nos troncos de ´arvores, em folhas, frutos, animais, etc. A seguir, veremos algumas dessas aparic¸ ˜oes.

A raz ˜ao entre o segmento AP e PC ´e igual ao n ´umero de ouro. Em um pentagrama a raz ˜ao entre a diagonal e o lado do pent ´agono ´e igual ao n ´umero de ouro.

Passos para a construc¸ ˜ao do pentagrama no Geogebra:

A gal ´axia

Na figura abaixo, temos a foto de uma gal ´axia, que apresenta o formato da espiral ´aurea.

O Nautilus marinho

O Nautilus ´e uma esp ´ecie de molusco oriundo do sudoeste do Oceano Pac´ıfico. Na sua concha aparece a espiral ´aurea.

O ant´ılope

Se os chifres deste animal continuassem crescendo

indefinidamente, o resultado seria o aparecimento da espiral de Fibonacci.

O camale ˜ao

Quando o rabo deste animal est ´a contra´ıdo, percebe-se claramente umas das representac¸ ˜oes mais perfeitas da espiral de Fibonacci.

Arranjo de folhas

No arranjo das folhas de algumas plantas h ´a a descric¸ ˜ao da sequ ˆencia de Fibonacci. Este arranjo ´e relevante na captac¸ ˜ao uniforme de raios solares e no escoamento das ´aguas das chuvas.

Ramos e troncos de plantas

Existem v ´arias plantas que descrevem os n ´umeros de

Fibonacci no crescimento de seus galhos. A Achillea ptarmica ´e um exemplo de planta que det ´em estas caracter´ısticas.

P ´etalas de flores

Em muitas flores, o n ´umero de p ´etalas ´e um n ´umero de Fibonacci.

Sementes

Nas sementes da pinha e do girassol, podemos encontrar os n ´umeros de Fibonacci. Na pinha, as sementes crescem e se disp ˜oe em duas espirais que lembram a de Fibonacci: oito irradiando no sentido hor ´ario e 13 no anti-hor ´ario. J ´a no girassol, suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois conjuntos de espirais: 21 no sentido hor ´ario e 34 no

´

Aplicac¸ ˜oes da sequ ˆencia de Fibonacci e do n ´umero

de ouro

CONVERS ˜AO DE MILHAS EM QUIL ˆOMETROS

Um milha ´e uma unidade de medida que equivale a 1609 metros, ou seja, 1,609 quil ˆometros. Note que este n ´umero ´e bem pr ´oximo do n ´umero de ouro cujo valor ´e 1,618. Assim, por exemplo, para converter 5 milhas em quil ˆometros, basta olhar para o pr ´oximo n ´umero de Fibonacci depois do 5, que ´e o 8, pois como sabemos o n ´umero 5 ´e um n ´umero de Fibonacci. Outro exemplo: Quantas milhas s ˜ao 30 quil ˆometros?

Basta decompor o n ´umero 30 como soma dos n ´umeros de Fibonacci.

A sequ ˆencia de Fibonacci na F´ısica

Na ´optica dos raios de luz podemos verificar a presenc¸a da sequ ˆencia de Fibonacci. Vamos considerar duas placas de vidro, de ´ındices de refrac¸ ˜ao diferentes, justapostas uma sobre a outra. Sabemos que um raio de luz que incida sobre esse conjunto pode sofrer reflex ˜oes e desvios. Assim sendo, vamos contar o n ´umero de caminhos poss´ıveis de um raio de

luz aumentando gradualmente o n ´umero de reflex ˜oes nesses caminhos.

Tri ˆangulo de Pascal

No tri ˆangulo de Pascal, a soma dos elementos da n- ´esima diagonal ´e um n ´umero de Fibonacci.

A sequ ˆencia de Fibonacci e o Teorema de Pit ´agoras

A soma dos quadrados de dois n ´umeros consecutivos da sequ ˆencia de Fibonacci ´e um n ´umero de Fibonacci, isto ´e, F2n+1 = (Fn)2+ (Fn+1)2, ∀n ≥ 1

Prova:

Vimos que umas das propriedades dos n ´umeros de Fibonacci ´e:

Fm+n=Fm−1Fn+Fn+1Fm, ∀n ≥ 1 e ∀m > 1. Tomando m = n + 1,

temos que:

Fm+n=F(n+1)+n =F2n+1=FnFn+Fn+1Fn+1= (Fn)2+ (Fn+1)2,

A proporc¸ ˜ao ´aurea no dia-a-dia

Ao padronizar internacionalmente algumas medidas usadas em nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram respeitar a proporc¸ ˜ao divina.

Arte

Muitos artistas consagrados, como Piet Mondrian, C ˆandido Portnari, Michelangelo, Leonardo da Vinci, usaram a raz ˜ao

´aurea em suas obras art´ısticas, com o intuito de obter

harmonia, beleza e perfeic¸ ˜ao. Como exemplo, podemos citar a famosa pintura Monalisa do famoso pintor italiano Leonardo da Vinci, produzido em 1505. Nesta obra, h ´a a aparic¸ ˜ao de v ´arios ret ˆangulos ´aureos, como por exemplo, em torno do rosto, num ret ˆangulo de dimens ˜oes 4,1 por 2,533, cuja raz ˜ao ´e de

Outro exemplo, ´e a Santa Ceia, obra tamb ´em de Leonardo da Vinci.

Arquitetura

Com o mesmo objetivo de obter harmonia, beleza e perfeic¸ ˜ao, muitos arquitetos usaram em suas construc¸ ˜oes o n ´umero de ouro. Um dos exemplos mais ilustres ´e o Partenon, na Gr ´ecia, que foi obra do Grego F´ıdias (Phidias - 490 a.C. a 430 a.C), que era considerado um dos mais brilhantes arquitetos da Gr ´ecia Antiga. Nesta obra, percebe-se in ´umeras aparic¸ ˜oes do ret ˆangulo ´aureo em sua estrutura.

Raz ˜oes ´aureas no corpo humano

O n ´umero de ouro aparece como raz ˜ao de medidas em in ´umeras partes do corpo humano. Como exemplo, citaremos as seguintes:

A altura do corpo humano e a medida do umbigo at ´e o ch ˜ao. A altura do cr ˆanio e a medida da mand´ıbula at ´e o alto da cabec¸a.

A medida da cintura at ´e a cabec¸a e o tamanho do t ´orax A medida do ombro `a ponta do dedo e a medida do cotovelo `a ponta do dedo.

Essas proporc¸ ˜oes anat ˆomicas foram bem representadas pelo ”Homem Vitruviano”, obra de Leonardo Da Vinci, que ´e baseado numa famosa passagem do arquitecto romano

Marcus Vitruvius Pollio na sua s ´erie de dez livros intitulados de “De Architectura”.

Conclus ˜ao

Este semin ´ario possibilitou um conhecimento sobre a sequ ˆencia de Fibonacci e o n ´umero de ouro, bem como sua relac¸ ˜ao e propriedades, mostrando v ´arias aplicac¸ ˜oes no mundo material. Esperamos que o mesmo seja fonte de pesquisa para muitas pessoas que queiram conhecer tal sequ ˆencia e que venha a ser trabalhado em sala de aula, devido a sua vasta riqueza.

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