FUSCO, Péricles B. Estruturas de concreto - Solicitações Tangenciais

Péricles Brasiliense Fusco

ESTRUTURAS

DE

CONCRETO

SOLICITAÇÕES TAUCENCIAIS

Esforços Solicítantes Forças Cortantes Torção

Tensões em Regime Elástico

Seções Abertas e Seções Fechadas Analogias de Treliça

Oimensionamento em Regime de Ruptura Peças de Concreto Armado

Peças de Concreto Protendido

Ptiritlcs Brasillcnsç Fusco

E n p n l i e i r o Ciwit • Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - ÊPUSP - 1 9 5 2 Engenheiro N a v a ! - EPUSP - 1 9 6 0 Doutor e m Engenharia - EPUSP - 1 9 6 8 Livjre-Do cento - EPUSP - 1 9 7 5 Professor titular - EPUSP - 1 9 8 0

Coordenador das áreas "Sistemas Estruturais de Concreto" e "Análise Experimental de Estruturas" do Departamento de Engenharia e Estruturas e Fundações da EPUSP

Fundador e Diretor do Labora tá rio de Estruturas e Materiais Estruturais da EPUSP

Orientou 19 dissertações de mestrado c 17 do doutorado.

Projetista de e s t r u t u r a s cie c o n c r e t o , tendo participado do projeto de grandes obras realçadas no País durante os últimos 2 5 anos, nas áreas de edifícios altos, indústrias pesadas, pontes e usinas.

ESTRUTURAS UE CONCRETO

SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS

Estruturas de concreto: solicitações tangenciais

©COPYRIGHT EDITORA PINI LTDA.

Todos os direitos do reprodução ou tradução reservados pote Editora Pini Lida,

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP> (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Fusco, Péricles Brag iliensí?

Estruturas de concreto : solicitações tangenciais / Péricles Brasiliense Fusco,

ISBN 979-85-7266-208-6

1, Cisalhamento 2. Engenharia de estruturas 3, Estruturas de concreto armado I, Título,

08-06331 CDD-624,1334

índice para catáloga sistemático:

1. Estruturas de concreto armado : Solicitações tangenciais : Engenharia estrutural 624 ,1834

Coordenação de Manuais Técnicos; Josiani Souza Projeto Gráfico e Capa; Luciano Rocha

Díagramação: Maurício Luiz Aires Revisão: Andréa Marques Camargo Editora Píni Lida,

Rua Anhaia, 964 - CEP 01130-900 - São Paulo - SP - Brasil Fone: (011) 2173-2300 - Fax: {011) 2173-2427

www.piniweb.com - manuals@plni,com.br 1» edição

Esta obra cuida do dimensionamento de peças de concre-to estrutural submetidas a solicitações tangenciais: forças cortantes e momento de torção.

Nelas, as solicitações tangenciais são resistidas por diago-nais comprimidas de concreto e por armaduras transversa-is tracionadas, e, no caso da torção, também por armadu-ras longitudinais tracionadas, As diagonais comprimidas de concreto usualmente devem atravessar regiões fissur-adas por solicitações de flexão, çue diminuem de forma aleatória a resistência do concreto à compressão. É por essa razão que acidentes estruturais, envolvendo o co-lapso de estruturas, quase sempre decorrem da ação de solicitações tangenciais. Por esse motivo, a possibilidade de ocorrência de estados limites últimos de solicitações tangenciais somente deve existir depois da ocorrência de estados limites últimos de solicitações normais, devidos a escoamentos de armaduras (racionadas, os quais podem provocar físsuração Suficientemente intensa para servir de advertência da proximidade de possíveis situações de eminência de colapso.

A resistência adequada aos esforços tangenciais depende essencialmente de um correto detalhamento das armadu-ras das peças estruturais. Este livro aborda a determinação das quantidades de armaduras necessárias para essa re-sistência, mas o seu adequado detalhamento não é aqui discutido em minúcias, O estudo pormenorizado do deta-lhamento das armaduras já foi, por nós, elaborado no livro Técnica de Armar, também publicado pela Editora Pini, Como já dizia Aristóteles em seu livro 'A Política", o entendimento completo das coisas somente é obtido pela compreensão do funcionamento da menor <íe suas partes. Essa é a idéia central que deve orientar quem lida com as estruturas das sociedades humanas, em todos os seus sentidos. P É R I C L E S B R A S t L I E N S E F U S C O P r o f e s s o r T i t u l a r d a E s c o l a P o l i t é c n i c a d a U n i v e r s i d a d e d e S ã o P a u l o São Paulo 30/5/2008

1" PARTE - C O N C E I T O S B Á S I C O S S O B R E C I S A L H A M E N T O

CAPÍTULO 1

TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO EM REGIME ELÁSTICO 12

1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples 12 1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante 14 1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento 19 1.4 Cisalhamento em barras de seção variável 26

1.5 Tensões principais 29 1.6 Natureza simplificada da teoria 31

CAPÍTULO 2

FORÇAS CORTANTES REDUZIDAS 34 2.1 A resultante das tensões de cisalhamento 34

2.2 O conceito cie força cortante reduzida 39 2.3 Cisalhamento na flexão composta 42 24 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto armado... „„„„„„.47

2.5 Cisalhamento nas peças usuais de concreto armado 51 2.6 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto pretendido 54

2.7 Vigas protendides com cabos inclinados. 57 CAPÍTULO 3

ANÁLISE ESTRUTUAL DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOUCITANTES

-EXEMPLOS 64 3.1 Critérios de classificação das ações ....64

3.2 Combinações de cálculo e critérios de segurança 68 3.3 Exemplo n° 1: Viga isostótíca de seçío constante em edifício de oficinas;

FlexSo simples devida a ações permanentes e ações variáveis de mesma

natureza, combinação última fundamental e combinação de serviço .71 3.4 Exemplo n° 2: Viga isostãtica de seçfio constante em edifício de oficinas;

Flexão simples devida a ações permanentes do grande voriabilidade c duas ações variáveis de naturezas diferentes; Duas combinações últimas

3,5 Exemplo nü 3; Viga isostática de seçáo constante; Flexão simples devida a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis com

carregamento alternado , 77 3,6 Exemplo n°4: Viga isostãtica de seção constante; Flexão simples devida

a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis móveis 80 3.7 Exemplo n°5: Viga Isostãtica de concreto armado de seção variável; Flexão

simples c composta; Combinação principal e combinação secundária 85 3.8 Exemplo nu6: Viga Ivperestãtica de seção constante; Flexão simples devida

a ações permanentes e ações variáveis com carregamento alternado;

Combinação principal e combinação secundária 9C

CAPÍTULO 4

VIGAS DE CONCRETO ARMADO 96 4.1 Modelo resistente de treliça 96 4.2 Transição do comportamento de viga para o de treliça 99

4.3 Modos de ruptura 102 4.4 Estados limites últimos de solicitações tangenciais 106

4.5 Principio funda mental de segurança em relação às solicitações tangenciais 108

4.6 Funcionamento de estribos perpendiculares ao eixo da peça .. 108

4.7 Funcionamento de estribos inclinados 112 4.8 Funcionamento de barras dobradas 113 CAPÍTULO 5

ANALOGIAS DE TRELIÇA 116 5.1 Analogia da treliça clássica 116 5.2 Treliça clássica com armadura vertical 120

5.3 Treliça clássica com armadura transversal inclinada 127

5.4 Analogia generalizada da treliça 133 5.5 Tensões na armadura transversal 135 5.6 Tensões nas bielas diagonais 138 5.7 Tensões na armadura longitudinal de flexão 139

CAPITULO 6

PEÇAS DE CONCRETO ARMADO COM ARMADURA DE CISALHAMENTO 142

6.1 Tensões na armadura transversal 142 6. 2 Redução da força cortante por inclinação do banzo comprimido, 144

6.3 Tensões nas bielas diagonais 146 6.4 Eficiência dos estribos inclinados 150 6.5 Influencia da taxa de armadura transversal sobre a compressão das bielas 151

6.6 Intervalo de variação da inclinação das bielas 153 6.7 Flexão local das barras da armadura longitudinal de flexão 15®

6.8 Cisalhamento junto a cargas concentradas 161 6.S Cisalhamento nas abas salientes,,....,, 16? CAPÍTULO 7

PEÇAS SEM ARMADURA DE CISALHAMENTO 170 7.1 Ruptura de peças sem armadura de cisalhamento ..170

7.2 Mecanismos resistentes ao cisalhamento 174 7.3 Investigação experimental sobre a resistência na flexão simples.,, 180

7.4 Outra s i nvestigações experimentais 191 7.5 Dispensa da armadura de cisalhamento,,... 194

7.6 Cisalhamento na flexo-tração .199 7.7 Cisalhamento na flexo-compressão 202 CAPÍTULO 8

PEÇAS DE CONCRETO PROTENDIDO 206 8.1 Interação dos cabos de pretensão com o concreto das peças estruturais 206

8.2 Fissuração das vigas de concreto protendido 210 8.3 Modos do ruptura e estudos limites últimos 214 8.4 Influencia da força normal longitudinal sobre o cisalhamento, 215

8.5 Redução da armadura transversal em função da força normal 222

CAPÍTULO 9

REGRAS DE D1MENSIQNAMENTO . . 230

9.1 Lajes sem armadura de cisalhamento 230 9.2 Peças com armadura de cisalhamento . 232

» PARTE - C I S A L H A M E N T O N A T O R Ç Ã O

CAPÍTULO 10

TORÇÃO DE SEÇÕES ABERTAS DE PAREDE DELGADA 246

10.1 Garras de seção circular 246 10.2 Analogia da membrana .„... . . . 249

10.3 Torção uniforme de seções retangulares delgadas 251 10.4 Torção uniforme de seções trapezoidais delgadas ,..,, 256

10.5 Seções abertas de parede delgada 256 10.6 Centro de cisalhamento de seções duplamente simétricas 260

10.7 Centro de cisalhamento de seções com uma única simetria 261

10.8 Exemplo importante 263 10.9 Centro de cisalhamento do seções abertas de forma qualquer 265

CAPÍTULO 11

TORÇÃO DE SEÇÕES FECHADAS DE PAREDE DELGADA 268

11.1 Tensões .. 268

11.2 Rigidez 272 11.3 Analogia da membrana 274

11.4 Centro de cisalhamento das barras de seção fechada.... 276

11.5 Exemplo 282 11.6 Seções parcialmente fechadas 287

11.7 Exemplo de seção parcialmente fechada 289

11.8 Seções multicelulares 290 11.9 Exemplo de seção multicelulsr., 293

CAPÍTULO 12

TORÇÃO EM PEÇAS DE CONCRETO ESTRUTURAL . 298

12.1 Torção em peças de concreto armado 298 12.2 Analogia da treliça espacial .,,.301 12.30 modelo de treliça espacial - ...303

12.4 Rigidez à torção 309 12.5 Torção de peças de concreto protendido 312

CAPÍTULO 13

TORÇÃO EM REGIME DE RUPTURA ,,,..314 13.1 Torção pura - 314

13.2 Tensões nas bielas diagonais ...317 13.3 Tensões na armadura transversal 320 13,4Tensões na armadura longitudinal 322

13.5 Torção composta ...324 13.6 Flexo-torção 326

I

a

PARTE

CONCEITOS BÁSICOS SOBRE CISALHAMENTO

CAPÍTULO 1 TENSÕES DE CISALHAMENTO EM REGIME ELÁSTICO

1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples

Considere-se uma barra submetida a cargas transversais de intensidade p variável ao longo de seu comprimento. Nela existem momentos fletores M e forças cortantes V Fig. (1.1 -a).

O equilíbrio de um elemento de viga, de comprimento infínitesima! dx, Fig. (1.1-b), deve obedecer às seguintes condições:

l

U± = v

dx (1.1-1)

dx (1.1-2)

donde dlM dV dx dx _(1.1-3)

t t t t

M V

M + dM

V + dV

dx

Condições tio equilíbrio Figura (J, J-b)

Note-se que essas equações foram escritas com as convenções clássicas de sinais da Resistência dos Materiais, ou seja, os momentos fletores sâo posi-tivos quando produzem tração nas fibras inferiores, as forças cortantes são positivas quando, em duas seções adjacentes, formam um binário horário, e as cargas são positivas quando atuam de cima para baixo.

A equação (1.1-1) exprime a condição de equilíbrio de momentos e a equação (1.1-2) a condição de equilíbrio de forças transversais ao eixo da barra.

Observe-se que não se cogitou do equilíbrio de forças axiais, pois como não existe força normal, em qualquer seção transversal, há sempre a condição

em que A é a área da seção transversal da barra. Note-se, também, que não foi feita qualquer restrição quanto à forma da seção transversal, não impor-tando se a seção transversal da barra varia ao longo de seu comprimento, pois o equilíbrio de tensões normais se dá dentro de cada seção transversal, como mostra a expressão (1.1-4).

De fato, como é mostrado na Fig. (1.1 -c), sendo r a resultante das tensões

de compressão e Rj(} das de tração que atuam em uma mesma seção

trans-versal, cada uma delas de um dos lados da linha neutra, tem-se

Rc0 +

e, analogamente, na seção de abscissa x+dx ,

(R CQ+d R co ) + (R to +dR (Q.) = 0

estando sempre assegurado o equilíbrio de forças paralelas ao eixo da barra.

crc+ dac

i > -, dx

Rco Rco ^ d^o C

6

L —

Rlo+dRt*)

N

dx

Condições ele equilíbrio Figura {). 1-cj

1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante

Considere-se agora não mais o elemento completo de viga, mas apenas tre-chos definidos por seções longitudinais de ordenada y, Fig. (1.2-a).

Nesse caso, o equilíbrio de cada um dos trechos parciais do elemento de comprimento dx somente subsistirá com a presença de tensões tangenciais nas faces de corte longitudinal do elemento.

Vigas da Soçáo Constante Figuro (1,2-o)

Tomando-se em valor absoluto as resultantes das tensões normais, o equilíbrio longitudinal de cada seção transversal completa, considerada isoladamente, im-põe necessariamente as condições

Subdividindo o elemento pela seção longitudinal de ordenaday, em face das

expressões acima, a força dVy pode ser determinada considerando-se

indife-rentemente o equilíbrio do trecho superior ou o do trecho inferior resultante dessa subdivisão.

Desse modo, pode-se escrever a condição de equilíbrio como

«/k, = <//?,

onde Í!R{ a d | aihi

sendo Ar a área da parte da seção transversal delimitada pela seção

longitu-dinal considerada, resultando

(IV =cí f <TíIA * \

Desse modo, admitindo que seja constante a tensão de cisalhamento ao lon-go da seção longitudinal de corte, Fig, (1.2-b), tem-se

dV =xbcíx X logo I d i = b dx - jatíA (12-1)

Cisalhamento no piitno longitudinal de corte Figura (12-b)

A validade da equação (1,2-1) exige que, no plano longitudinal, a tensão x possa ser admitida como constante ao longo da largura b, mas não se faz qualquer restrição quanto à eventual variação de x ao longo de dx pois, se

ela existir, sua resultante será um irrfinitésimo de ordem superior, sendo, por-tanto, desprezável.

A possibilidade de admitir a tensão t como constante ao longo da largura h depende da forma da seção transversal.

De fato, em virtude do equilíbrio, são iguais entre si os módulos das compo-nentes de cisalhamento T e r„„ que agem perpendicularmente à aresta comum dos dois planos ortogonais, Fig, (1,2-b),

Desse modo, para que xyx seja constante ao longo de b no plano

longitudi-nal, t^ deverá ser constante ao longo de b no plano da seção transversal. As seções transversais para as quais esta hipótese é plausível, são analisa-das adiante.

De qualquer maneira, aceitando-se que i seja constante ao longo de b e que não haja força normal na seção transversal, de [1,2-1], considerando o caso de flexão normal, resulta

1 d cM I d (M

t = —y-dA = — - —-5,

bdx j I ' bdx{ I y)

onde / é o momento de inércia da seção transversal e

Sy = | ydA

o momento estático, em relação à linha neutra, da qualquer uma das duas

áreas Ay correspondentes á parte da seção transversal situada de um dos

la-dos do plano longitudinal de corte, pois como a linha neutra é baricêntrica na flexão simples, são iguais os módulos dos momentos estáticos dessas duas áreas parciais. Deste modo, tem-se

/ l

s

_{y d}

₍

_SY

No caso em que as seções transversais tenham Sy// constante ao longo do eixo da barra, resulta

(1,2-3) hl

Em uma dada seção transversal, Ve / são constantes, variando as tensões r

proporcionalmente a Sy/h. INIos trechos em que a largura b for constante, a

variação da tensão será proporcional a Sy . Na Fig. (1,2-c) são mostradas as

variações de tensões de cisalhamento em uma seção retangular e na alma de uma seção duplo T.

Note-se que por meio dessa teoria não é possível determinar as tensões de cisalhamento paralelas à força cortante nas abas da seção duplo T.

Ao longo da alma da seção duplo T pode-se admitir a tensão de cisalhamento

T constante ao longo de b, mas isso não é possível ao longo das abas. Ao

longo dos trechos AB e CD das mesas da seção duploT, a condição de contor-no imposta pelas bordas livres torna nula as tensões perpendiculares a essa borda. Todavia, nos trechos BC de ligação das mesas com a alma, a tensão de cisalhamento é obrigatoriamente não nula, para garantir o equilíbrio longitudi-nal das próprias mesas sob a ação de momentos fletores que variam ao longo do eixo da barra. Não há, portanto, motivo para que a tensão de cisalhamento

paralela à força cortante seja constante ao longo de fibras EF e da espessura das abas, Todavia, como essa tensão de cisalhamento ao longo da espessura das abas parte de zero em uma borda e também deve ser nula na outra borda, admite-se que ela possa ser considerada nula ao longo de toda a espessura da aba.

De modo geral, nas seções transversais usuais, a máxima tensão de cisalha-mento ocorre na fibra que contém o seu centro de gravidade, pois é aí que

usualmente a função Sy/b assume seu valor máximo. Como exceção

impor-tante, tem-se a seção triangular, cujo máximo da função Sy/b ocorre à meia

altura da seção.

Chamando de r„ a tensão de cisalhamento na fibra da linha neutra, onde

y = 0, tem-se

JL

~ v ~ V

(1

-

2

-

4

>

sendo

Z~SÜ (1.2-5)

Em resumo, as expressões (1.2-3) e (1.2-4) permitem o cálculo do módulo da tensão de cisalhamento nas seções transversais em que é possível admitir x constante ao longo da largura h da fibra considerada.

1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento

Quaisquer que sejam os esforços que atuam em uma peça estrutural, na periferia de uma seção plana perpendicular à superfície externa da peça, a tensão de cisalhamento será obrigatoriamente tangente a seu contorno. De fato, admitindo-se que na superfície lateral da peça sejam nulas todas as tensões, também será nula a componente de cisalhamento perpendicular ao contorno da seção transversal, Fig. (1.3-a). Então, na seção transversal, a componente de cisalhamento perpendicular ao contorno também será obri-gatoriamente nula, fazendo que na seção transversal possa subsistir apenas a componente de cisalhamento tangente ao contorno.

mm

Cisalhamento na periferia da saçãa transversal Figura fI.3-«)

Na maior parte dos casos, essa condição de contorno permite a determinação da direção das tensões de cisalhamento devidas às forças cortantes,

Na Fig, (1.3-b) está mostrada a distribuição das tensões de cisalhamento em diferentes seções transversais submetidas a forças cortantes paralelas ao eixo Y.

Nas seções transversais formadas por elementos delgados, Fig, (1.3-b; I - III - V), as tensões de cisalhamento têm a direção da linha média do perfil, A

pequena espessura dos elementos também justifica a hipótese de que T seja constante ao longo da espessura b, medida sempre na perpendicular à linha média do elemento,

No cruzamento dos elementos delgados que compõem a seção transversal, essa teoria elementar não permite uma análise rigorosa do andamento das tensões de cisalhamento, embora permita o entendimento qualitativo adian-te apresentado.

Nas seções retangulares, Fig. (1.3-b; II), a mesma hipótese simplificadora an-terior pode ser aceita, desde que a largura b não seja significativamente maior que a altura da seção.

Figura (1,3 b)

Mas seções circulares, Fig. (1,3-b; IV), as tensões x náo podem ser constantes ao longo da largura b, pois elas necessariamente terão direções diferentes nas duas extremidades de b, No entanto, admitindo que a componente para-lela a Y seja constante, a expressão (1.2-3} pode ser empregada para o cálculo dessa componente.

Sempre que em uma seção x não for constante ao longo de b, a expressão (1.2-3} fornecerá um simples valor médio aproximado.

Observe-se que para o cálculo das tensões de cisalhamento existe apenas uma equação de equilíbrio, podendo, então, existir somente uma incóg-nita, Desse modo, com um único corte longitudinal, a seção transversal deverá ficar dividida em duas partes inteiramente separadas.

Note-se que essa condição não ocorre na seção celular da Fig. {1.3-b; V), No caso da seção celular simétrica, com o carregamento contido no plano longitudinal de simetria, o cisalhamento no eixo de simetria, por simetria, é necessariamente nulo. Isso permite tratar a seção celular como se ela fosse aberta no eixo de simetria.

No caso da seção não ser simétrica, o problema é hiperestátíco e, em princí-pio, isso acarreta o aparecimento de esforços de torção combinados com os de força cortante.

Note-se, finalmente, que o sentido das tensões de cisalhamento não é deter-minado pela expressão (1.2-3). Para determinar esse sentido, deve-se consi-derar o andamento do diagrama de momentos fletores, conforme é mostrado no exemplo da Fig. (1.3-c).

Sontkfo tios tonsíos tio çi&alhamanto figuro (?,3-c)

Um exemplo mais complexo está mostrado na Fig, {1,3-d}. Observe-se que nesse caso há uma inversão do sentido das tensões de cisalhamento ao longo das abas salientes, Nos pontos B, que delimitam os trechos AB que têm seus centros de gravidade G1 na mesma altura que o centro de gravidade G da se-ção completa, a tensão de cisalhamento é obrigatoriamente nula, por ser nulo o momento estático Sy a eles correspondentes.

Figura fl.S-d)

É importante assinalar que em seções delgadas, como o duplo T ou a seção celular, Fig. {1,3-b ; III - V), de fato existem tensões de cisalhamento paralelas à força cortante perpendicularmente à linha média dos elementos delgados. Nesses elementos, as tensões perpendiculares à linha média das abas são sempre de pequena intensidade, pois elas partem de zero em uma borda e chegam a zero na outra borda, como conseqüência de serem nulas as ten-sões na superfície externa da barra, como se mostra na Fig.(1.3-e), Por esse motivo, essas tensões são sempre desprezadas, considerando-se apenas as componentes paralelas à linha média do perfil.

Tgnsôos porpendtcularos è tinha média do perfil Figura (1.3-o)

A fim de analisar o andamento das tensões de cisalhamento na região de cru-zamento de elementos delgados, considere-se o trecho de ligação da alma de um perfil T com a mesa de tração. Na Fig. (1.3-f) estão mostradas as tensões de cisalhamento que atuam ao longo dos diferentes planos longitudinais res-ponsáveis pela ligação da alma à mesa.

As tensões xx, que atuam na alma provocam a distorção, Fig. (1.3-g).

Ao longo do trecho de cruzamento da alma do perfil com a sua mesa de tra-ção ou de compressão, essa distortra-ção tende a zero, pois, no cruzamento da

alma com as faces externas da mesa, a tensão ti : é obrigatoriamente nular

em virtude de ser nula a tensão na própria superfície livre, Fig. (1.3-g),

Desse modo, a tensão de cisalhamento x„: vai- se anulando ao longo do

cru-zamento da alma com a mesa de compressão, como mostrado na Fig. (1.3-h).

Verifica-se então que as tensões t; í atuantes no plano longitudinal de corte

da alma são equilibradas pelas tensões t,, que agem nos dois planos longi-tudinais de corte das abas da mesa.

Note-se que a composição vetorial das tensões zx. e tvv mostradas na Fig.

(1,3-h) faz com que o fluxo de tensões da alma sofra uma rotação ao ser trans-ferido para as abas da mesa, como mostrado nas figuras anteriores. A análise desse fluxo de tensões mostra a importância do arredondamento dos cantos reintrantes das estruturas metálicas e das correspondentes mísulas das estru-turas de concreto,

Md

Figura f! ,3-g)

t 1 £ t 122

"^xz

Figura (1,3-ty

1.4 Cisalhamento em barras de seção variável

Para a determinação das tensões de cisalhamento nas seções transversais das barras de seção variável, em lugar da equação (1,2-3} deve ser

Como em geral a tensão de cisalhamento é máxima na fibra que contém o centro de gravidade da seção, no caso de barras de seção variável,

usualmen-te são estudadas apenas as usualmen-tensões x9 nessa fibra. Desse modo, de (1.2-2)

tem-se

Tb A / — f —

0 0 I dx[l ,

logo

Como usualmente o braço de alavanca z é proporcional à altura h variável da seção, admite-se que seja

donde ou seja Z=Qt _V_ A / j / f O V__M_ I dh CA~z + C ttc[h) z C, fr dx I (y_M_dh^ h dx j baz (1.4-1) V,

Viges do altura variável Figura ít^-oj

Considerando barras com variação suave da seção transversal, Fig, (1.4-a), tem-se

— =—L + — - 3 tany, + tan = tan (V, + lan^

dx dx dx

logo

1

(„

M

.

Desse modo, tudo se passa como se continuasse válida a expressão (1.2-4),

atu-ando porém na seção transversal uma força cortante reduzida Vntl dada por

(1.4-2)

(1.4-3)

sendo então

t0= ^ L (1.4-4)

IMa passagem das expressões (1.4-1) para (1.4-2), foi acrescentado o duplo sinal porque nelas há várias convenções de sinais que precisam ser compatibilizadas. Para a escolha do sinal a ser empregado nas expressões anteriores, podem ser feitos os seguintes raciocínios, Fig. (1.4-b).

Influência do variação da seção Figura (J.4-Ò)

Quando a barra tem braço de alavanca z - constante, a força AH deve equi-librar a componente AR correspondente à variação do momento fletor no trecho de comprimento Ax.

No caso de vigas com z variável, mesmo que no trecho Avatue um

mo-mento fletor constante M , sendo , será Rtl * Rc2, surgindo assim

uma componente AH{, embora V = dMjdx = 0.

Combinando-se os dois raciocínios anteriores, conclui-se que quando |/kf| e h crescem no mesmo sentido, a força AH decorrente da existência da força

cortante fica reduzida pela parcela AHt devida à variação da seção transver*

sal, Fig. (1.4-b).

Dessas observações decorre a regra pela qual, na expressão {1.4-3) que

de-termina o valor da força cortante reduzida Vrft!, é tomado o sinal menos {-)

quando \M\ e h crescem no mesmo sentido, e o sinal mais {+) quando cres-cem em sentidos opostos.

1.5 Tensões principais

Nas peças estruturais, as superfícies externas em geral são superfícies isentas de tensões. Desse modo, os estados múltiplos de tensões que apresentam maior interesse são estados triplos com um plano de tensão nula, pois em geral os pontos mais solicitados situam-se junto à periferia das seções trans-versais. Nesse caso, basta estudar as tensões que agem nos planos perpendi-culares ao plano de tensão nula.

Conhecidas as tensões nas faces de referência de um elemento da barra, Fig. (1.5-a), as tensões principais e as direções dos planos principais podem ser determinadas pelas expressões seguintes, em que a é a inclinação da ten-são principal menor em relação ao eixo na direção ao qual atua a tenten-são

designada por av. Nessa figura também é mostrada a determinação das

ten-sões e das direções principais por meio do círculo de Mohr, no caso particular corrente em que <rh. = 0.

tan a

a^-cr, CJ, - Cl tá h

Na verificação da segurança das estruturas de concreto, de modo geral, são impostas limitações às máximas tensões de tração e às máximas tensões de compressão. Para evitar ambigüidades, essas tensões são consideradas em

valor absoluto, indicando-se a maior tensão de tração por aJ (e a maior

ten-são de compresten-são por <s„ .

Os valores característicos dessas tensões serão indicados por vn e <sjfk, e os valores de cálculo por Gjd e a„(í, respectivamente.

Estados múltiplas da tvnsóas Figura (!.5-i>)

Na Fig. (1,5-b) estão indicadas as tensões principais ao longo da altura da seção transversal de uma viga de seção retangular, de material elástico, sub-metida à flexão simples.

Nesse caso, na linha neutra existe um estado de cisalhamento simples, com a

inclinação çt = 4S da tensão principal de compressão nlf em relação ao eixo

longitudinal da peça.

Além disso, na linha neutra, A, = T5, e também O^ = TFL.

TENSÕES PfllNCIPfllS TENSAS PRINCIPAIS

Distribuição dos tansàos principais Figuro (f,5b)

Guando a peça também for submetida a forças normais de compressão, as tensões principais no centro de gravidade da seção ficarão alteradas, conforme foi mostrado na Fig. (1.5-a), Observe-se que com isso haverá uma redução da tensão principal e a tensão principal terá uma inclinação et <45 .

1.6 Natureza simplificada da teoria

E importante salientar que as equações aqui deduzidas para a determinação das tensões de cisalhamento decorrem de uma teoria aproximada, cujos re-sultados são influenciados pelas hipóteses simplificadoras adotadas,

Essas teorias não podem, portanto, ser aplicadas sem tais ressalvas.

Como exemplo das limitações dessa teoria, existe o paradoxo de que a distri-buição das tensões de cisalhamento foi obtida a partir da hipótese adotada na

teoria de flexão, de que seja mantida a forma plana da seção transversal da barra, e o seu resultado diz que a seção transversal deixa de ser plana.

De fato, na expressão (1.2-1) para o cálculo das tensões de cisalhamento in-troduziu-se a expressão da tensão normal decorrente da teoria de flexão, que adota a hipótese da manutenção da seção plana, corno está explicitado na equação (1.2-2).

Analisando a distribuição de tensões de cisalhamento t = VSÍbl calculadas ao longo da altura de uma seção transversal retangular, Fig. (1.6-a}, verifica-se que em virtude das distorções y-\jG seguirem necessariamente um andamento análogo ao dessas tensões, haverá uma distorção máxima no centro de gravi-dade da seção e distorções nulas em suas extremigravi-dades.

r - V S v - i ~bj G AX q>=IA<p. \ T0

/

/

" ri i i i i 1 n, ' • -X. i tp = IAíJ}j / f / / ii i X fp = 1 Aifh,

Do/ormsçáo da scçáo transversa) dovida ò íorçn cortanto Figura (t.6-o)

Desse modo, tendo em vista a compatibilizaçào das distorções ao longo da altura da seção transversal, essa seção, originalmente plana, sob a influência da força cortante, necessariamente deixa de ser plana.

CAPÍTULO 2 Forças cortantes reduzidas

2.1 A resultante das tensões de cisalhamento

Ma flexão simples, a tensão de cisalhamento nas vigas de seção constante é dada pela expressão

ys X = JF

em que V é a força cortante, I é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra, b é largura da fibra por meio do qual calcula-se a tensão e S é o momento estático, calculado sempre em relação à linha neutra, da parte da seção situada de um dos lados da fibra na qual é calculada a tensão t, Mote-se que não importa qual dos dois lados da seção é considerado para o cálculo do momento estático S, pois para ambos é obtido o mesmo valor absoluto, uma vez que é nulo o momento estático da totalidade da seção transversal em relação a um eixo baricêntrico,

Quando a largura b for variável ao longo da altura da seção, a tensão calcula-da pela expressão anterior corresponderá ao valor médio calcula-da componente de cisalhamento atuante paralelamente à força cortante.

Considere-se agora a demonstração de que a resultante das tensões de cisalha-mento calculadas pela expressão anterior é igual à força cortante aplicada. Note-se que o resultado não é óbvio, pois as tensões de cisalhamento foram calculadas a partir da variação das tensões normais atuantes na seção trans-versal, e não a partir de hipóteses formuladas diretamente a partir da própria força cortante.

Em principio, Ffg. (2.1-a), a resultante das tensões t paralelas a V vale

(2.1-1)

em que o momento estático S(y) é função da ordenada y que define a fibra por meio da qual se calcula i ,

fíosvftanto das lonsúos do cisalhamento Figura (5. J-o)

Integrando a expressão anterior por partes, obtém-se

ou seja

\s(y)dy~-)yds(y)

yi >1

uma vez que são nulos os momentos estáticos S ) e correspon-dentes à totalidade da seção transversal em relação à linha neutra, temos como resultado

>•• (2,1-2)

Por outro lado, sendo r uma variável muda de integração, o momento estáti-co vale

S(y)= jbz-dz

ou seja

V >1

A segunda integral da expressão anterior representa o momento estático da parte da seção que fica de um lado do eixo baricêntrico Gx, sendo portanto um valor constante, possível de se escrever a expressão anterior sob a forma

A expressão do diferencial dS(y) a ser introduzido na integral da equação (2,1-2), que é definida por

pode então ser escrita sob a forma

íty >

-jbz-dz + Sq dv

Desse modo, sendo Su um valor constante, tem-se

dS(y) = -[bzl-dy = -bydy

Substituindo (2.1-3] em (2.1-2), obtém-se (2.1-3)

\s(y)dy = -\y(-by)dy

resultando, finalmente, \S(y)dy=]byldy = I (2.1-4)

Essa expressão, substituída em (2.1-1), prova que

(2.1-5)

Mo caso de vigas de seção variável, de acordo com (1.2-2), as tensões de ci-salhamento são dadas por

, « 4

vs

v

d

I dx ( c

t

e sua resultante, pelo que já foi visto, vale

\x(y)bdy = V+ fM J-f ^ \dy

Como M e I são valores globais da seção transversal genérica, tem-se

A Vj V

dy

Por outro lado, de

'r d f

c-f - ^ 4> =

M '

J dx

7

integrando-se por partes, conforme (2.1-4), obtém-se

ou seja, resulta

1 dA !

J y - M l . I * d x \ I

s O

concluindo-se que em qualquer caso

R(t)mV

2.2 O conceito de força cortante reduzida

O conceito de força cortante reduzida foi introduzido pela primeira vez por meio das expressões (1.4-2) e (1.4-3), pelas quais, no centro de gravidade das seções transversais das vigas de altura variável, atuam as tensões t0 dadas por

1 í,v

M

.

\

Surge, então, a idéia de uma força cortante fictícia, expressa por r, M

chamada de força cortante reduzida. Por simplicidade de notação, sempre

que for conveniente, a força cortante reduzida será indicada por Vr.

O conceito de força cortante reduzida fica mais claro quando a peça estrutural é estudada à luz de um modelo de treliça e não mais como viga de alma cheia. Nesse caso, a red ução da força cortante corresponde à parcela de cisalha mento que é transmitida petos banzos de flexão da peça, e a viga não mais transmite toda a força cortante apenas por sua alma, Fig. {2.2-a) e Fig. [2.2-b),

M ' T

S c t g V y t V g V s

M + AM

Força corta/lio rttduiida - (Vr<V)

Ftgura (2,2-o)

Força cortante redunda -(Vr<Vf

Em virtude da inclinação dos banzos da peça, as forças Rt e Rt,

resultan-tes das tensões normais que agem nos planos das seções transversais, são acompanhadas pelas componentes transversais /?. tan\|/r e R, tan v|/f, que são

paralelas à força cortante V.

Desse modo, Fig. (2.2-a), quando M e h crescem no mesmo sentido, a re-sultante /?(T) das tensões de cisalhamento na alma deve equilibrar apenas a força Vr -V-Rc tan v|/£. - Rt tany, Nesse caso,sendo Z obtém-se Vt-V - — (tan + taiH|>,)

z

Fazendo-se, então,

tan v|/c + tan _ tani|/, + tan\j/2 ^ tanvp

z h h

resulta

., ,, M

» f - — t a n y

h (2.2-1) que é a mesma expressão (1.4-3) já obtida anteriormente com o modelo de viga de alma cheia.

De forma análoga, Fig. (2,2-b), quando M e h crescem em sentidos contrários, tem-se Vr - R tan - Rf tan yf = V ou seja Vr-V + Rr tan + R, tan resultando assim r r w M V = V -t-—tan 4/

A (2.2-2)

Verifica-se, portanto, que o conceito de força cortante reduzida é bem ade-quado às vigas de altura variável, quando nas seções transversais pode-se admitir a existência de um banzo comprimido e um banzo tracionado reunidos pela alma, com direções quase paralelas às faces superior e inferior da peça, fazendo-se de conta que a força cortante seja resistida apenas pela alma.

2.3 Cisalhamento na flexão composta

Nesse estudo, é considerado apenas o caso usual em que se pode admitir uma força normal constante, sendo desprezada a influência sobre o cisalha-mento de eventuais variações de N ao longo da peça.

Nas barras de seção constante, em regime elástico, não se alteram os resul-tados obtidos anteriormente, pois a presença de tensões normais, devidas a forças normais iguais em duas seções adjacentes, não altera o equilíbrio de forças longitudinais. De modo geral, as máximas tensões de cisalhamento continuam existindo na fibra que contém o centro de gravidade da seção transversal, embora por ela não mais passe a linha neutra, em virtude da exis-tência de uma força normal não nula.

Nas barras de seção variável, Fig. (2.3-a), as tensões tangenciais são dadas pela expressão geral (1.2-1), ou seja

T = I i - íadA b dx }

donde

hdx \ , r a )

•

obtendo-se, no centro de gravidade da seção, o valor

C/stffiammto na ftoxào composta Figura 12.3-a)

Por essa expressão, é nula a influência de uma força normal constante em barras em que \ j A é constante ao longo do eixo da barra. Isso acontece es-sencialmente nas barras em que a seção transversal é simétrica em relação à linha neutra da flexão simples, Fig. (2.3-b), pois, nesses casos, a simetria dos banzos da peça anula a possível influência da força normal sobre a resultante das tensões de cisalhamento.

Mo caso geral, deve-se admitir que o banzo comprimido e o tracionado te-nham inclinações diferentes em relação ao eixo da barra. Nessa situação, é necessário raciocinar como se a força normal fosse decomposta em duas

parcelas, kt.N e k,N, resistidas respectivamente pelo banzo comprimido e

pelo banzo tracionado, Fig. (2.3-c).

Seçíto çgm Aa j A constante

Viga com banzos do inclitmçõos difcrânios Figura 12.3-cí

O equilíbrio de forças axiais impõe a condição

kc+k,= 1

e para que não se altere o momento fletor M relativo ao centro de gravida-de da seção, gravida-deve-se ter

k,e(.=k,e, donde ou seja logo k, e, L = L e, e, K _ e< k(. + k, e,+et.

Desse modo, sendo o braço de alavanca z dos esforços internos (na flexão composta) dado por

z

= e

t

, +t>,

têm-se

z _[2.3-2}

- (2.3-3}

Conforme é mostrado na Fig. (2.3-d), a força cortante reduzida vale então

^ ( _{tan - M . ^} —+k.N \ z J t a n % (2.3-4) com N > 0 de tração.

Força CürtunlO roduridú na ftcxüQ composto Figuro (2.3-d)

2.4 Forças cortantes reduzidas em peças de concreto armado

Preliminarmente, observe que para a determinação das tensões normais que agem na seção transversal das peças fletidas, a consideração de que o mo-mento de flexão seja referido ao centro de gravidade da seção é apenas uma convenção que facilita os cálculos no caso de peças de material elástico line-ar. Nada impede, porém, que o momento dos esforços internos seja referido a qualquer outro ponto da seção transversal da peça.

Nas peças de concreto armado, a possibilidade de fissuração do concreto tra-cionado e a pseudoplastificação do concreto comprimido eliminam qualquer vantagem que poderia existir na consideração do momento de flexão referido ao centro de gravidade da seção geométrica da peça.

Desse modo, sempre que o cisalhamento for verificado com a hipótese de que na peça haja um banzo tracionado e um banzo comprimido, será admitida a fissuração do banzo tracionado e, ao invés do momento fletor M e da for-ça normal N serem aplicados no centro de gravidade da seção, os esforços serão referidos ao centro de gravidade da armadura de tração, Fig. (2.4-a}. Nesse caso, em lugar de M, aplica-se o momento , dado por

Ma = M - N • ys ( 2 . 4 - 1 )

considerando-se como positiva a força normal N de tração e negativa a de compressão.

Cissthamentú nus poças com um bamo tracionado o outro comprimido Figura f2.4 o)

Note-se que a consideração dos esforços solicitantes referidos ao centro de gravidade da armadura de tração não altera as resultantes /?, e R, das ten-sões normais na seção transversal, porquanto de acordo com as expresten-sões [2.3-2) e [2.3-3), sendo têm-se = v, er+e, =s R N'e> M-N-ya Af, T T

„ M N-ee M-N-y( N(er+ys) M

R, - — + — +————-—2- + _N

Considerando a expressão geral (2.3-4), pela qual

tan y - _—+k,N M . ..

K z

tan

verifica-se que o momento referido ao centro de gravidade da armadura de tração corresponde à decomposição com os valores

kc= 0 e *,m\

obtendo-se para a força cortante reduzida a expressão

M M

= V - tan tan - N lan

Finalmente, admitindo-se as simplificações tani|/,. tany

2 ~ d e

obtém-se a expressão geral da força cortante reduzida na flexão composta

Observe que em lugar da força normal ter sido transportada para o centro de gravidade da armadura de tração, isso é, para o ponto de aplicação da resul-tante das tensões de tração, ela poderia ter sido transportada para qualquer outro ponto da seção e, em particular, para o ponto de aplicação da resultante das tensões de compressão.

De fato, Fig. (2.4-b), para que na equação geral (2,3-4) não se altere o valor do momento fletor, na expressão

de acordo com {2.3-2) e {2.3-3), devem ser introduzidos os valores (2.4-3)

>

(M \ -kt,N turnj^- — \ - k:N tanvfí,

) \

s

)

e . =£zl±=>L (2.4-4) cstuutuhas pc ggNCFiETo mm 4 9

Raduçèo dos momentos fletorcs ao banzo comprimido Figuro {2,4-b)

Tomando-se as primeiras definições de kc e kt contidas no par de expressões

(2.4-4), resulta t a n yt - M z — y t N \ -tan ou seja Vm, = V - — ( t a n y (1 + t a n y , ) + — — ( t a n + t a n i [ f , ) - N t a n resultando então

ym, = V _ (tan y , + tan y J - N tan vj/,

que é a mesma expressão (2.4-2) correspondente ao transporte de N ao cen-tro de gravidade da armadura de tração, pois

De forma análoga, empregando-se as segundas definições de kc e k,

conti-das no par de expressões (2,4-4), tem-se

jtany,- — + — N tari M y ' , \ . z z ) isto é = r (t a n + M c resultando

que corresponde ao transporte de N para a posição da resultante das tensões normais no banzo comprimido.

2.5 Cisalhamento nas peças usuais de concreto armado

No caso das peças de concreto armado em que a variação da seção corres-ponde apenas a uma inclinação do banzo comprimido, Fig, (2.5-a), para a aplicação das expressões do item anterior, têm-se

e

resultando de (2.4-3) a expressão simplificada

, jr JV/

na qual o duplo sinal decorre dos sentidos de variação de d e de M(.

Mas peças submetidas à flexão simples será sempre M} = M .

R BF / 2

ÚV-^-lfl^ F/2

Vigas com inclinação do banzo comprimido Figura (2,S-aj

A expressão anterior também pode ser posta sob a forma

(2,5-2)

admitindo sempre que /gy > o, que a força normal é positiva [A' >0) quan-do de tração, e que h e \m\ crescem no mesmo sentiquan-do. Essa expressão é válida quando existe inclinação apenas do banzo comprimido, Caso con-trário, deve ser empregada a expressão geral (2,4-2).

Mote-se que quando não há simetria na inclinação dos dois banzos, como por exemplo quando apenas o banzo comprimido é inclinado, surge a dificuldade suplementar de se entender o que seja o eixo da peça, Fig. (2,5-b), Todavia, conforme é mostrado nesta figura, qualquer que seja o eixo adotado, a redu-ção a ser feita na força cortante é praticamente a mesma.

Figura (25 b)

Finalmente, observa-se que a determinação separada das tensões normais devidas à flexão e das tensões tangenciais devidas â força cortante é uma simplificação grosseira do problema, É dessa simplificação que surge a idéia de que nas vigas de seção constante possam ser imaginados dois banzos paralelos ao eixo longitudinal da peça. Na Fig. (2.5-c) estão mostradas as tra-jetórias das tensões, em regime elástico, determinadas por métodos precisos e pela teoria usual de flexão.

Trujatórias cia esforços Figuro (2.5-c)

Verifica-se, portanto, que mesmo nas vigas de altura constante existe de fato uma certa inclinação da trajetória das tensões nos apoios, ou seja, existe efe-tivamente uma certa inclinação do que poder-se-ia entender como o banzo comprimido da peça. Nos apoios, essa inclinação pode afetar sensivelmente a determinação das armaduras de cisalhamento das peças de concreto arma-do, como se a viga de fato tivesse um banzo comprimido inclinado.

2.6 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto protendido

O estudo do cisalhamento na flexão composta das peças de concreto pro-tendido é feito correntemente da mesma maneira que nas peças de concreto armado clássico, Entretanto, para isso, há a necessidade de um claro enten-dimento do que seja flexão composta no concreto protendido, uma vez que o próprio processo de protensão introduz tensões axiais nas seções transver-sais da peça.

Ma Fig. {2.6-a} estão mostradas as diferentes forças axiais que agem nas seções transversais das peças pertencentes a estruturas isostáticas de concreto pro-tendido, submetidas a ações diretas que provocam apenas flexão simples,

Observe-se que a resultante Rc das tensões de compressão no concreto será

sempre igual à resultante Rt das tensões de tração nas armaduras, qualquer

que seja a fase considerada de carregamento.

Com as mesmas hipóteses, na Fig. {2.6 b) estão mostradas as resultantes de ten-sões que agem nas seções transversais das vigas pretendidas hiperestáticas. A idéia de que a pretensão corresponde a uma flexão composta é válida

ape-nas para a seção transversal da qual é excluída a própria armadura de preten-são. Quando se considera a totalidade da seção transversal da peça, formada pelo concreto e pelas armaduras passivas e de protensão, os esforços soli-citantes não dependem da protensão, exceto nas estruturas hiperestáticas, onde podem surgir os chamados esforços hiperestáticos de protensão, de-correntes da inibição de deslocamentos provocados pela própria protensão. Assim, tanto nas peças de concreto protendido, quanto nas peças de qualquer outro material, somente haverá flexão composta se realmente houver força normal externa atuante, a qual somente poderá existir como decorrência de ações aplicadas à estrutura e de esforços hiperestáticos de protensão.

Observe-se que, de início, no ato da protensão, admitindo que não seja mo-bilizada parcela alguma do peso próprio, os esforços internos são auto-equi-librados e não dependem das ações diretas g e q, que ainda não atuam na

estrutura. Nesse estágio, as resultantes de tensões Rrl e /?„ são iguais em

módulo e, nas estruturas isostáticas, elas atuam segundo a mesma linha de

ação, pois Rcl e R„ devem formar um binário de momento nulo, Nas

estrutu-ras hiperestáticas, no estado inicial de protensão, Rrj e Rü devem estar

afas-tadas entre si a uma distância zt tal que elas formem um binárío de momento

igual ao valor M M mobilizado no próprio ato da protensão.

Carregando-se a estrutura progressivamente, ao se atingir o estado limite úl-timo de solicitações normais, a resultante das tensões na armadura de

pro-tensão estará praticamente limitada ao valor de escoamento À/Ifyj!. Nessa

situação, o funcionamento do concreto protendido é exatamente o mesmo que o do concreto armado comum, devendo o binário formado pelas resul-tantes Rt,(l e Rltl equilibrar o momento externo M[f,ltj)ll das ações diretas,

somando-se a ação direta Mi>m, , quando ela existir

-r

H :

H-o / ü , 1 P Z 4

)

^M "O

t

(RU - Rci> ía). PROTENSÃO iM r g +q (b>. ESTÁDIO I ^c (p + g + q í R ^ 1 — Rcn ^ — T Mn <cd - — -T

;

! H t r " W ( c ) , ESTÁDIO H M

Jí

tRtd - <W

td). ESTADO LIMITE ULTIMO

Fhxáo simples de estruturas pretendidas isostáticas Figuro (Z.G-oj r* \h i— Rt l t -c d r \M _p.hip Md > Í W p+V q ) « í (Ru - Rci » (d). PROTENSÃO Rt d * Rc d (b>. E S T A D O L I M I T E ÚLTIMO

ffexéo simples do estruturas pretendidas hiporestáticas Figuro f2,6-b)

Desse modo, a força P de protensão não deve ser interpretada como uma força normal para efeito de determinação das forças cortantes reduzidas, também não deve ser considerada como uma força normal para o dimen-sionamento à flexão da seção transversal. Uma força normal somente pode ser criada por ações diretas, inclusive por efeitos hiperestáticos da própria protensão, que também são efeitos diretos.

Nessas condições, nas peças de concreto protendido submetidas à flexão com-posta, a força cortante reduzida continua sendo dada pelas expressões (2.4-1) até (2.5-2), nas quais agora

M = M + Mp M l )

(2.6-1)

(2.6-2)

Na verdade, nas peças de concreto protendido, para cálculo da força cortante reduzida, ainda deve ser considerada a influência de eventuais cabos de pro-tensão inclinados, conforme é analisado a seguir

2.7 Vigas protendidas com cabos inclinados

Nas vigas pretendidas com cabos inclinados, a força cortante a ser resistida sofre ainda urna outra redução, devida à inclinação da força de protensão, Fig. (2.7-a)

ftgura (2.7-{>l

Mo caso geral, a força cortante reduzida Vmt pode ser escrita

V^V-AV^-AV,,

onde V é a força cortante efetiva, é a redução devida à seção transversal

variável, e AVp è a redução correspondente à existência de cabos inclinados

de protensão.

Mo caso de vigas protendídas com cabos curvos, considerando a ação de o concreto sobre o cabo, Fig. (2.7-b), como o cabo é perfeitamente flexível, o

trecho considerado de cabo está em equilíbrio sob a ação das forças Pt e P

que atuam nas extremidades desse trecho, e da pressão transversal Pt

exer-cida entre o cabo e o concreto. Desprezando-se o atrito, as forças Pt e P são

iguais em módulo, pois são forças análogas às que são transmitidas ao longo de um cabo flexível enrolado sem atrito em torno de um tambor. No caso real, em que existe atrito, sempre será P< Pt.

Considerando a ação do cabo sobre o concreto, Fig. £2.7-c), em virtude do cabo ser flexível, a ação conjunta da força de protensão P aplicada na seção inicial de um dado trecho e das forças transversais P, atuantes ao longo desse trecho

Açüo tio concroto sobro OS Cubos Curvos Figuro (2.7-b)

é esteticamente equivalente à ação de uma força de módulo P aplicada, com a inclinação a do cabo, na seção da outra extremidade do trecho considerado,

Desse modo, a redução Àí^da força cortante devida à presença de cabos curvos vale

e no caso usual em que os cabos podem ser admitidos com forma parabólica de equação

y = cx2

cuja inclinação em relação ao eixo da viga é dada por

dy „

tan a = — = 2o:

dx

sendo

sin a = tan a = 2cx

resulta uma variação linear de AFJt ao longo do trecho curvo da cabo, como

se mostra na Fig. (2.7-c).

IMa presença de vários cabos curvos, Fig. (2.7-d), a redução AVp é obtida por

superposição das reduções correspondentes a cada um dos cabos conside-rados isoladamente.

Figura (2.7-d)

Para efeito de dimensíonamento, é preciso considerar que o desconto áVfI

de-vido à força de protensão pode inverter o sentido da força cortante reduzida. Por essa razão, no projeto é preciso considerar tanto a situação de solicita-ções máximas quanto a de solicitasolicita-ções mínimas, Nos casos usuais, são consi-deradas as forças médias Pm lmftj e Pm f.Q , respectivamente, como mostrado na Fig. (2.7-e),

SOLICITAÇÕES M A X M A S : V( Í T Q ) ( J SOLICTTFTÇÕEÂ MÍNIMAS : V ( U S U A L M E N T E U M ÚNICO ri.

£J

r d,

I

1 V, ÍTlO* [o +

m

s V min gl,<f q)d p,t«» AV F O R Ç A S p,t»o F O R Ç A S C O R T A N T C O R T A N T S E R Á CONSIDERADO VALOR P B P M ) E S E S M A X I M A S M Í N I M A S

Forças cortantes reduzidas do cálculo Figura (2.7-0)

CAPÍTULO 3 Análise estrutural - Determinação dos esforços solicitantes - exemplos

3.1 Critérios de classificação das ações

De modo geral, as ações que atuam nas estruturas podem ser classificadas de acordo com diferentes critérios, como os indicados na Tabela (3,1-a),

Tabela (3.1-a)

C R I T É R I O S D E C L A S S I F I C A Ç Ã O T I P O S D E A Ç Õ E S

Variação no Tempo Ações Permanentes Ações Variáveis Ações Extraordinárias

Variação no Espaço Ações Fixas _{Ações Livres (Móveis ou Removíveis)}

Natureza Mecânica Ações Estáticas (Acelerações Desprezíveis) _{Ações Dinâmicas (Acelerações Significativas}}

Para o projeto, também se consideram como permanentes as ações cujas va-riações sejam desprezíveis em relação ao seu valor médio. As ações variáveis são consideradas conforme os critérios indicados na Tabela (3,1-b).

A variabilidade das ações permanentes é considerada em relação a um con-junto de construções de mesma natureza.

A variabilidade das ações variáveis é considerada em relação ao tempo de utilização da construção.

CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO

DAS AÇÕES VARIÁVEIS TIPOS DE AÇÕES VARIÁVEIS Tempo de Permanência Ações de Longa Duração _{Ações de Curta Duração} Freqüência de Atuação Ações Repetidas _{Ações Não Repetidas}

Em face da multiplicidade de condições de carregamento que podem ocorrer durante a vida útil das construções, torna-se necessário convencionar quais as situações de carregamento a considerar na verificação da segurança das estruturas, da seguinte maneira:

a) Situações permanentes

Entendem-se como permanentes, as situações de carregamento correspon-dentes à utilização normal da construção, As situações permanentes englo-bam as ações permanentes e as ações variáveis usuais, tendo duração da mesma ordem de grandeza que o período de referência admitido para a vida útil da construção.

b} Situações temporárias

Entendem-se como temporárias, as situações cuja duração é muito menor que o período de referência da vida útil da construção. A situação temporária é considerada como transitória quando nela ocorrem ações variáveis especiais, como é a situação de construção. A ação temporária será extraordinária quan-do ocorrerem cargas extraordinárias que até podem levar a estrutura à ruína.

Ma elaboração do cálculo estrutural, para as ações, são adotados determinados valores considerados como representativos (F ) para o caso considerado. Esses valores representativos podem ser determinados com os seguintes critérios:

I) Ações permanentes

Em princípio, as ações permanentes podem ser consideradas com dois va-lores diferentes: um valor característico superior correspondente ao quantil de 95% da distribuição de valores associados à população de

estrutu-ras semelhantes, e um valor característico inferior, Gk M f correspondente ao

quantil de 5% dessa distribuição.

Usualmente esses dois valores característicos são substituídos por valo-res repvalo-resentativos nominais, fixados de modo convencional da seguin-te maneira:

1- Peso próprio das estruturas

Em virtude de a pequena variabilidade do peso próprio, adota-se um único

valor nominal Gk, calculado a partir dos desenhos de projeto e dos pesos

espe-cíficos médios dos materiais.

2- Peso dos elementos não estruturais

Em princípio, são adotados dois valores nominais, um máximo e um mínimo, levando-se em conta todas as variações que possam ser razoavelmente pre-vistas. Usualmente o valor mínimo é considerado igual a zero.

3- Empuxos de terra

Adota-se o valor máximo para o empuxo ativo e o valor mínimo para o em-puxo passivo.

4- Forças de protensão

Os efeitos da protensão são determinados a partir de dois valores

caracterís-ticos da força de protensão, um valor máximo Ph e um valor mínimo Pkml(i

ou, em muitos casos, a partir de um valor médio Pm.

5- Outras ações

As deformações impostas pelo método construtivo, por recalques de apoio, por diferenças de temperatura e pela retração, bem como as forças decorren-tes de um nível d'água praticamente constante são representados por valores nominais únicos.

II) Ações variáveis

Para as ações variáveis são considerados os seguintes valores representativos: 1- Valor característico {Ffc}

É o valor básico de referência estabelecido pelos regulamentos normalizadores. 2- Valor de combinação }

É o valor de uma ação secundária que acompanha uma outra ação variável considerada como principal, na verificação da segurança em relação a esta-dos limites últimos.

3- Valor freqüente (y,/^ )

E o valor significativo para a consideração da ocorrência repetida da ação, ou ações de média duração, na verificação da segurança em relação a estados I irrites de serviço.

4- Valor de longa duração ( y ^ )

É o valor da ação variável quase permanente, que pode atuar durante perío-dos de tempo suficientemente longos para que sejam consideraperío-dos os efeitos da permanência ao longo do tempo, na verificação da segurança em relação a estados limites de serviço.

Os valores usuais dos fatores de combinação (4^) e dos fatores de utili-zação ( >}'!© V;) especificados por normas brasileiras são os indicados na Tabela (3.1-c)."

•na

Tabela (3.1-c) Fatores de combinação e de utilização

AÇÕES EM ESTRUTURAS CORRENTES

Vi Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3

Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0

CARGAS ACIDENTAIS EM EDIFÍCIOS

¥0 Vi Locais em que não há predominância de equipamentos fixos, nem de

elevadas concentrações de pessoas 0,4 0,3 0,2 Locais onde há predominância de pesos de equipamentos fixos, ou

de elevadas concentrações de pessoas 0,7 0,6 0,4 Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 CARGAS MÓVEIS E SEUS EFEITOS DINÂMICOS

Vo

Pontes de pedestres 0,4 0,3 0,2

Pontes rodoviárias 0,6 0,4 0,2

Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas) 0,6 0,6 0,4

3,2 Combinações de cálculo e critérios de segurança

A- Estados limites últimos

m

Combinações últimas normais F<T = C!FCIII + 7,

»

II - Combinações últimas especiais ou de construção

rrj

III - Combinações últimas especiais

jtJ ri

M B- Estados limites de serviço

tti tt

I - Combinações de longa duração FÍKM. = £FGKK + 2

í-i /.i

MT tl

II - Combinações freqüentes F<IFRF = Y FA I + + X ^ A

M /«I

C- Coeficientes de ponderação

Tabela (3.2-a) Ações permanentes de pequena variabilidade

C o m b i n a ç õ e s yK p a r a efeitos ( * } C o m b i n a ç õ e s D e s f a v o r á v e i s Favoráveis Normais te - 1 , 3 r . * 1,0 Especiais ou de Construção

_y

K

=

i.a

y, =

1,0 Excepcionais y , = ™

y

s

= 1,0

Tabela (3.2-b) Ações permanentes de grande variabilidade

Combinações y para efeitos (*} Combinações Desfavoráveis Favoráveis Normais _y K - 1,4 y, - 0,9 Especiais ou de Construção V, - 1,3

y, -

o-s Excepcionais

y

K = 1,2 y* = 0,9

(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos y^ ou ya

Tabela (3.2-ç) Ações permanentes indiretas

Combinações yK para efeitos (*)

Combinações Desfavoráveis Favoráveis Normais _yK = 1,2 y« = 0 Especiais ou de Construção y« - 1,2 = 0 Excepcionais _{= 0 Y* = 0}

Tabela (3.2-d) Ações variáveis

Combinações Ações variáveis em geral incluindo as cargas móveis D

Efeitos da temperatura Normais

7, = 1.4 Yc= 1.2 Especiais ou cie Construção

7 , = 1.2 y, = i-o Excepcionais

T,, = 1.0

(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos ou

3.3 EXEMPLO N°1:

- Viga isostática de seção constante em edifício de oficinas;

- Flexão simples devida a ações permanentes e ações variáveis de mesma natureza;

- Combinação última fundamental e combinação de serviço.

Q=100k N | q = 20 k N ,' m . _ _ _ L l g »10 k NI m aJí A S _{O —•} L =0,0 m Figura (3.3-s)

UNIDADES [kN, m) 1 kN s 0,1 tf

ANÁLISE ESTRUTURAL

ESFORÇOS VALORES CORRESPONDENTES A

ANÁLISE ESTRUTURAL ESFORÇOS 9 q Q TOTAIS ANÁLISE ESTRUTURAL Ações características: gk , qik 10 20 100 -ANÁLISE ESTRUTURAL Reações de apoio: R a = Rm 40 80 50 170 ANÁLISE ESTRUTURAL Forças cortantes características Ku 40 80 50 • ANÁLISE ESTRUTURAL Forças cortantes características K--, 0 0 50 -ANÁLISE ESTRUTURAL

Momentos fletores característicos MCk 80 160 200

-E.L. ÚLTIMO 7, "T, =1.4

Forças cortantes de cálculo

56 112 70 238 E.L.

ÚLTIMO 7, "T, =1.4

Forças cortantes de cálculo

0 0 70 70 E.L.

ÚLTIMO 7, "T, =1.4

Momentos fletores de cálculo MCit 112 224 280 616

E, L. de SERVIÇO ^ =0,7 Forças cortantes de serviço Ku 40 80 50 -E, L. de SERVIÇO ^ =0,7 Forças cortantes de serviço • 56 35 • E, L. de SERVIÇO ^ =0,7 Forças cortantes de serviço v Y A&r - - - 131 E, L. de SERVIÇO ^ =0,7 Forças cortantes de serviço 0 0 50 -E, L. de SERVIÇO ^ =0,7 Forças cortantes de serviço 0 0 35 • E, L. de SERVIÇO ^ =0,7 Forças cortantes de serviço V - - - 35 E, L. de SERVIÇO ^ =0,7 Momentos fletores de serviço 80 160 200 -E, L. de SERVIÇO ^ =0,7 Momentos fletores de serviço - 112 140 -E, L. de SERVIÇO ^ =0,7 Momentos fletores de serviço » * * 332

gk- 1 0 k N M i qk = 2 0 k N / m < ^ = 1 0 0 k N fm E s t a d o L i m i t e Ú l t i m o Mc J 50 100 1S0 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 k N . m gk= 1 0 k N / m qk = 2 0 k N / m Q ^ 1 0 0 k N / m E s t a d o L i m i t e Ú l t i m o V,t E s t a d o L i m i t e d e U t i l i z a ç ã o V. Figura (13-b)