Fundamentos dos N´
umeros
(Tudo o que vocˆe gostaria de saber sobre n´umeros mas n˜ao tinha a quem perguntar)
− Constru¸c˜ao dos n´
umeros
− N´
umeros Azuis
− N´
umeros Vermelhos
Gentil, o iconoclasta 1a edi¸c˜ao Boa Vista-RR Edi¸c˜ao do autor 2016Copyright c 2015 Gentil Lopes da Silva Todos os direitos reservados ao autor
Site do autor → www.profgentil.com.br email → [email protected]
Editora¸c˜ao eletrˆonica e Diagrama¸c˜ao: Gentil Lopes da Silva
Capa: Adriano J. P. Nascimento Gentil Lopes da Silva
Ficha Catalogr´afica S586d Silva, Gentil Lopes da
Fundamentos dos N´umeros: tudo o que voc^e gostaria de saber sobre os n´umeros mas n~ao tinha a quem per-guntar: constru¸c~ao dos n´umeros: n´umeros azuis: n´umeros vermelhos/Gentil Lopes da
Silva.-.- Boa Vista-RR: Uirapuru, 2015 x, 514 p. il. 16x23 cm
[Formato e-book]
[Pseud^onimo: Gentil, o iconoclasta.] ISBN 978-85-63979-08-7
1. Matem´atica. 2. N´umeros Naturais. 3. N´umeros Inteiros. 4. N´umeros Racionais. 5. N´umeros Reais. 6. N´umeros Complexos. 7. Gentil, o iconoclasta. I. T´ıtulo.
CDU:519.682
Pref´
acio
Este livro trata de n´umeros− dos naturais aos hipercomplexos −, desde a fundamenta¸c˜ao filos´ofica at´e as constru¸c˜oes dos mesmos. Aqui construimos os n´umeros a partir do zero, literalmente falando.
0
→ N → Z → Q → R
→
→
C
H
A constru¸c˜ao dos n´umeros reais, a mais delicada e engenhosa de todas, o fazemos por dois m´etodos: Cortes, devido ao matem´atico Richard Dedekind; sequˆencias de Cauchy, devido ao matem´atico Georg Cantor.
Ademais, exibimos dois novos modelos para tais n´umeros, um dos quais, os ideogramas chineses; por exemplo os inteiros vermelhos
. . . , , , , , , , , . . .
{
}
Z
=
... ... ... ... ... ... ...agora s˜ao n´umeros inteiros com a mesma legitimidade matem´atica que “os velhos n´umeros inteiros”.
Existem duas quest˜oes debatidas h´a s´eculos por matem´aticos e fil´osofos as quais pretendemos ter solucionado de uma vez por todas:
−O que ´e um n´umero?;
−o n´umero, e mais geralmente a matem´atica, existe independentemente do homem? Ou ainda, a matem´atica ´e descoberta ou criada?
Neste livro debelamos estas e muitas outras quest˜oes correlatas. (p. 382)
Assim como no universo da m´usica, tamb´em na ciˆencia− e em particular na matem´atica − existem os compositores e os int´erpretes; escrevo em duas ´
areas, matem´atica e espiritualidade, em ambas me considero um compositor, al´em de int´erprete. Escrevi quatro livros de matem´atica e trˆes de teologia.
N˜ao ´e necess´ario que um int´erprete seja original, um compositor sempre ´e original, por defini¸c˜ao.
Existe no ambiente acadˆemico por parte daqueles que decidem o que deve ou n˜ao constar em um livro de matem´atica, ou como se deve escrever um tal livro, uma for¸ca niveladora para arrastar todos ao n´ıvel de int´erpretes apenas, a criatividade ´e recha¸cada como uma esp´ecie de heresia. O meu ´
ultimo livro de matem´atica publicado (Espa¸cos M´etricos, p. 445) foi re-jeitado por duas editoras, ap´os o que tive que tomar dinheiro emprestado no Banco para public´a-lo. Uma vers˜ao deste livro em .pdf circula por diversas Universidades brasileiras, tenho recebido diversos email’s de agradecimento, o mais recente deles com o seguinte teor:
Gentil Lopes <[email protected]> Agradecimentos sobre seu livro
1 mensagem
Vinicius souza<[email protected]> 18 de agosto de 2015 12:10
Para: [email protected] Professor Gentil Lopes,
Muito obrigado por escrever um livro de linguagem simples, com v´arios exemplos e muito ilustrativo de um assunto t˜ao complexo para a maio-ria dos estudantes a n´ıvel de gradua¸c˜ao. Creio que todos estudantes de matem´atica do Brasil deveriam conhecer seu livro Espa¸cos M´etricos (Com Aplica¸c˜oes). Acredito que para isso, seria necess´ario divulga¸c˜ao atrav´es de aulas ou palestras na internet mesmo online, isso ganha muita popularidade. No mais s´o foi uma sugest˜ao. Escrevo mesmo ´e para agradecer e pabeniza-lo, estou muito empolgado com seu livro.
Att: Marcus Vin´ıcius Sousa
Faculdade de Matem´atica UFPA\ICEN(Graduando)
Retomando, esta ´e a realidade do nosso pa´ıs: enquanto as ratazanas (pol´ıticos bandidos, e quase todos o s˜ao) roubam bilh˜oes de reais (bilh˜oes!) um professor de matem´atica tem que tomar dinheiro emprestado a juros para publicar seu livro. Tenho dito e reitero: onde um pol´ıtico toca, vira merda, foi o que sucedeu com a educa¸c˜ao brasileira (sa´ude, seguran¸ca, etc.) A prop´osito, existe um dito popular que reza: “quem trabalha de gra¸ca ´e rel´ogio”. ´E por isto que eu invejo os rel´ogios; com efeito, pela parte que me toca, se eu trabalhasse de gra¸ca me daria por muito satisfeito, a verdade ´e que me considero um caso anˆomalo, pago para trabalhar! Este foi o caso dos meus sete livros j´a escritos. Isto mesmo, nunca recebi um ´unico centavo de incentivo, e depois de publicados, minha Universidade nunca adquiriu um ´
unico volume sequer, esta ´e a realidade que aproveito a oportunidade para denunciar. Afora as despesas inerentes `a produ¸c˜ao de um livro (quanto mais v´arios) deixo de ganhar “mais” dinheiro para n˜ao roubar tempo `a produ¸c˜ao copiosa de meus escritos.
Veja bem, n˜ao ´e o caso de meus livros serem desprovidos de m´eritos acadˆemicos, n˜ao ´e este o caso. Meu primeiro livro de matem´atica publicado (`as minhas expensas, reitero), [21], foi elogiado por dois grandes matem´aticos brasileiros∗, vou pedir licen¸ca para reproduzir um dos email’s, ei-lo:
∗Ubiratan D,Ambr´osio e Carlos Gustavo T. de A. Moreira (Gugu) que, dentre outras
From: Ubiratan D,Ambr´osio <[email protected]> To: Gentil Lopes da Silva
Sent: Saturday, November 06, 2004 10:46 AM Subject: Obrigado pelo livro
Caro Gentil
Muito obrigado pelo livro que vocˆe mandou pelo Chateau. Est´a muito bom, interessante e cheio de provoca¸c˜oes. D´a oportunidade para os estudantes se iniciarem em pesquisas. Vocˆe fala que o livro destina-se a alunos de 2o e 3o graus. Eu diria que ´e tamb´em para a p´os. Aritm´etica continua sendo grande fonte de problemas de pesquisa que podem ser trabalhados com relativamente pouco da complicada linguagem, nota¸c˜oes e resultados que caracterizam muitas ´areas da matem´atica. S˜ao formula¸c˜oes simples que podem ser trabalhados com pouca t´ecnica, exigindo imagina¸c˜ao e criativi-dade. Vou recomendar aos meus alunos. Mas tive um problema. Nos sites das livrarias, o livro n˜ao existe. E nem est´a no site da Thesaurus. Recomen-dar um livro implica dizer como adquirir. O que vocˆe diz? Siga em frente com suas id´eias. As suas reflex˜oes iniciais, a sua escolha de ep´ıgrafes, e a pr´opria capa, s˜ao uma grande contribui¸c˜ao para um novo pensar na urgente renova¸c˜ao da educa¸c˜ao em todos os n´ıveis. A sua trajet´oria desde seus estu-dos, lecionando em condi¸c˜oes prec´arias, e com as dificuldades para publicar o livro ´e um exemplo, muit´ıssimo frequente, do processo (certamente inten-cional) de desencorajar o florescimento dos criativos, e abrir o espa¸co para os executores de id´eias de outros.
Uma curiosidade: vocˆe sabia que o ´Edouard Lucas, que vocˆe cita na p´agina 393, ´e quem fez a revis˜ao t´ecnica para a publica¸c˜ao p´ostuma do livro “M´elan-ges de Calcul Int´egral”, de Joaquim Gomes de Souza, o Souzinha, em 1882? O livro havia sido recusado por in´umeras editoras enquanto ele estava vivo. Muito obrigado.
Um abra¸co, Ubiratan
Ali´as, lembrei que tamb´em publico na ´area de programa¸c˜ao, meu livro “Programando a HP 50g”∗ encontra-se em todas as Universidades brasileiras (em vers˜ao .pdf), servindo a milhares de estudantes. Tenho recebido dezenas de email’s de agradecimentos− tanto de alunos quanto de professores − por tˆe-lo escrito e disponibilizado.
Para finalizar, uma justificativa. Este livro foi escrito a “uma m˜aos” (isto ´e, eu e eu), ´e f´acil a diagrama¸c˜ao de um livro com textos apenas, n˜ao ´e o caso do presente livro onde constam in´umeras figuras e ilustra¸c˜oes, ade-mais, em muitas situa¸c˜oes o autor deve decidir quando ou n˜ao uma figura deve constar na mesma p´agina que a explica¸c˜ao correspondente, em muitos casos para n˜ao deixar um peda¸co de p´agina em branco decidi interpolar al-gum texto (ou pensamento) que tivesse a ver com o contexto local ou geral
da obra. Gentil, o iconoclasta/Boa Vista-RR/16.12.2015
Dedicat´
oria
A meus pais (in memorian)
Uma simples dedicat´oria como esta me deixaria insatisfeito, representa muito pouco, n˜ao deixaria patente a participa¸c˜ao do meu pai neste livro.
Do alto dos meus atuais 55 anos de idade me sinto at´e feliz por ter descortinado o que vejo como uma lei Universal; a de que tudo no Uni-verso surge de interrela¸c˜oes(rede de interconex˜oes), s˜ao interrela¸c˜oes e com-bina¸c˜oes apropriadas que trazem algo `a existˆencia. Apenas para contextua-lizar, o som n˜ao existiria sem o ouvido, nem a luz sem o olho.
Este livro (e todos os meus outros) n˜ao teria vindo `a existˆencia sem o concurso do meu pai. N˜ao falo da trivialidade de ele ter me colocado no mundo, n˜ao ´e isto.
Devemos nos situar em um contexto, em uma ´epoca; meu pai, homem de poucas letras era agricultor; pra come¸car, em um meio e cultura onde os pais n˜ao davam nenhuma importˆancia para o estudo dos filhos, meu pai, trabalhando na ro¸ca mandou todos os filhos pra estudarem na cidade, enfatizo que esta foi uma s´abia decis˜ao que concorreu para a feitura deste e de todos os meus outros livros.
Quando completei o 2o grau n˜ao existia Universidade em minha pequena cidade natal, o que s´o veio a ocorrer muitos anos depois; quando meu pai soube do meu interesse em viajar pra Bel´em para dar continuidade a meus
es-tudos prontamente foi ter com seu patr˜ao para pedir um adiantamento para custear minhas despesas, como garantia prometeu ao patr˜ao dobrar as horas de trabalho com seu ´unico instrumento de sobrevivˆencia, o machado, isto ele contava sem disfar¸car o orgulho.
Ora, se tudo no Universo se origina dentro de uma teia de (inter)rela¸c˜oes ent˜ao resulta ´obvio que meu pai tem uma participa¸c˜ao direta no fato de todos os meus livros terem vindo `a existˆencia, n˜ao ´e isto?
Ainda tem mais, observando meu pai em diversas situa¸c˜oes e contex-tos fui levado a fazer distin¸c˜ao entre cultura por um lado e sabedoria e inteligˆencia por outro. S˜ao coisas distintas, nem sempre convergem em um mesmo sujeito. Meu pai n˜ao possuia cultura, entretanto possuia inteligˆencia e sabedoria, essa combina¸c˜ao ´e rara de se ver.
De minha m˜ae ´e suficiente dizer que nesta vida foi uma verdadeira her´oina, tamb´em sem cultura e vivendo em condi¸c˜oes in´ospitas criou e educou oito filhos.
Pelo que conheci minha m˜ae, a can¸c˜ao a seguir ´e como se tivesse sido composta para ela.
Maria, Maria (Milton Nascimento)
Ant^
onio Cear´
a/Maria Icidor
Maria, Maria,´
E um dom, Uma certa magia
Uma for¸ca que nos alerta Uma mulher que merece Viver e amar
Como outra qualquer Do planeta
Maria, Maria, ´
E o som, ´e a cor, ´e o suor ´
E a dose mais forte e lenta
De uma gente que r´ı Quando deve chorar
E n˜ao vive, apenas aguenta
Mas ´e preciso ter for¸ca, ´
E preciso ter ra¸ca ´
E preciso ter gana sempre Quem traz no corpo a marca Maria, Maria,
Mistura a dor e a alegria
Mas ´e preciso ter manha, ´
E preciso ter gra¸ca ´
E preciso ter sonho sempre Quem traz na pele essa marca
Possui a estranha mania De ter f´e na vida. . .
∗ ∗ ∗
De minha m˜
ae herdei esta estranha mania de ter f´
e na vida.
Pelo que conheci meu pai, a can¸c˜ao a seguir ´e como se tivesse sido com-posta para ele.
Cantiga do Estradar (Elomar)
T´a fechando sete tempo nas inlus˜ao que hai no mundo
qui m˜ıa vida ´e cam˜ı´a nas bramura qui hai pru l´a
pulas istradas do mundo saltei pur prefundos pˆo¸co
dia e noite sem par´a qui o T˜ıoso tem pru l´a
J´a visitei os sete rˆeno Jesus livrˆo derna d’eu mˆo¸co
adonde eu t˜ıa qui cant´a do raivoso me p˜ai´a
sete didal de veneno j´a passei pur tantas prova
traguei sem pestanej´a inda tem prova a infrent´a
mais duras penas s´o eu veno vˆo cantando m˜ıas trova
ˆ
otro crist˜ao pr´a suport´a qui ajuntei no cami´a
sˆo irirm˜ao do sufrimento l´a no c´eu vejo a l˜ua nova
de pauta vea c’a dˆo cump˜a˜ıa do istrad´a
ajuntei no isquicimento ele insinˆo qui nois vivesse
o qui o baldono guardˆo a vida aqui s´o pru pass´a
meus meste a istrada e o vento qui nois intonce invitasse
quem na vida me insinˆo o mau disejo e o cora¸c˜ao
vˆo me alembrano na viage nois prufiasse pra sˆe branco
das pinura qui passei inda mais puro
daquelas duras passage qui o capucho do algud˜ao
nos lugari adonde andei qui nun juntasse dividisse
S´o de pens´a me d´a friage nem negasse a quem pidisse
nos sucesso qui assentei nosso amˆo o nosso bem
na mia lembran¸ca nossos ter´em nosso perd˜ao
ligi˜ao de condenados s´o assim nois vˆe a face ogusta
nos grilh˜ao acorrentados do qui habita os altos c´eus
nas treva da inguinoran¸ca o Piedoso o Manso o Justo
sem a luiz do Grande Rei o Fiel e cumpassivo
tudo isso eu vi nas m˜ıa andan¸ca Siˆo de mortos e vivos
nos tempo qui eu bascuiava Nosso Pai e nosso Deus
o trecho alei disse qui hav´era de volt´a
tˆo de volta j´a faiz tempo cuano essa terra pecadora
qui dexei o meu lug´a marguiada in transgress˜ao
isso se deu cuano mo¸co tivesse chea de violen¸ca
I Ching - O Livro das Muta¸c˜oes
O Livro das muta¸c˜oes ´e o primeiro en-tre os seis Cl´assicos Confucionistas e deve ser considerado como um trabalho que se encontra no pr´oprio cerne da cultura e do pensamento chineses. A autoridade e con-sidera¸c˜ao que tem desfrutado na China ao longo de milhares de anos s´o podem ser comparadas `as gozadas por textos sagra-dos, como os Vedas ou a B´ıblia, em outras culturas.
No centro dos coment´arios de Conf´ucio, como no centro de todo o I Ching, encontra-se a ˆenfase no aspecto dinˆamico de todos os fenˆomenos. A transforma¸c˜ao incessante de todas as coisas e situa¸c˜oes ´e a mensagem essencial de O Livro das
Muta¸c˜oes. (Capra/O Tao da F´ısica)
Na concep¸c˜ao chinesa, todas as manifesta¸c˜oes do Tao s˜ao geradas pela interrela¸c˜ao dinˆamica dessas duas for¸cas polares (yin e yang).
1 yang
0 yin
´
E importante aprender sobre a Dicotomia Divina e compreendˆe-la bem para viver feliz em nosso Universo.
A Dicotomia Divina torna poss´ıvel duas verdades aparentemente contra-dit´orias existirem simultaneamente no mesmo espa¸co.
Em seu planeta as pessoas acham dif´ıcil aceitar isso. Apreciam a or-dem, e tudo que n˜ao se encaixa em seu quadro ´e automaticamente rejeitado. Por esse motivo, quando duas realidades come¸cam a se afirmar e parecem contradit´orias, a suposi¸c˜ao imediata ´e a de que uma delas ´e falsa. ´E pre-ciso muita maturidade para ver e aceitar que de fato ambas poderiam ser verdadeiras.
Contudo, na esfera do absoluto − oposta `a do relativo, em que vocˆes vivem − est´a muito claro que a ´unica verdade que ´e Tudo que Existe, `as vezes, produz um efeito que, visto em termos relativos, parece uma con-tradi¸c˜ao.
Isso ´e chamado de Dicotomia Divina e ´e uma parte muito real da ex-periˆencia humana. E como eu j´a disse, ´e praticamente imposs´ıvel viver feliz sem aceit´a-la. A pessoa fica sempre resmungando, zangada, aflita, buscando em v˜ao “justi¸ca” ou tentando muito conciliar for¸cas opostas que nunca deve-riam ser conciliadas mas que, pela pr´opria natureza da tens˜ao entre elas, produzem exatamente o efeito desejado. (Conversando com Deus/N. D. W.)
Sum´
ario
1 O QUE ´E UM N ´UMERO 13
1.1 O Que ´e um N´umero? . . . 15
1.1.1 Conjuntos × Estruturas . . . 15
1.1.2 O n´umero (ou a matem´atica) existe independente-mente do homem? . . . 25
1.1.3 A filosofia do Nada − do Vazio, da Vacuidade . . . 26
1.1.4 A Estrutura Cognitiva de Referˆencia . . . 36
2 RELAC¸ ˜OES BIN ´ARIAS 49 2.1 Rela¸c˜oes Bin´arias . . . 53
2.2 Rela¸c˜oes Especiais . . . 59
2.3 Rela¸c˜oes de equivalˆencia . . . 63
2.4 Rela¸c˜oes de ordem . . . 76
3 N ´UMEROS NATURAIS 81 3.1 Axiom´atica de Peano . . . 82
3.2 Constru¸c˜ao dos Naturais . . . 91
4 N ´UMEROS NATURAIS AZUIS E VERMELHOS 117 4.1 Os Naturais Azuis . . . 117
4.1.1 In´ıcio da constru¸c˜ao dos naturais azuis . . . 119
4.1.2 A fun¸c˜ao sucessor . . . 121
4.2 Os Naturais Vermelhos . . . 137
4.2.1 Isomorfismo entre estruturas . . . 138
• Apˆendice: Matriz de combina¸c˜oes . . . 141
5 N ´UMEROS INTEIROS 147 5.1 Constru¸c˜ao dos Inteiros . . . 153
5.2 Identificando os inteiros positivos com os naturais. . . 181
6 INTEIROS AZUIS E VERMELHOS 209 6.1 Os Inteiros Azuis . . . 209
6.1.1 Representa¸c˜ao bin´aria para os inteiros azuis . . . 211
7 N ´UMEROS RACIONAIS 219
7.1 Constru¸c˜ao dos Racionais . . . 219
7.1.1 Opera¸c˜oes em ¯Q . . . 227
7.2 Rela¸c˜ao de ordem em ¯Q . . . 236
7.3 Os Inteiros como “Subconjunto” dos Racionais . . . 242
• Apˆendice: Supremo e ´Infimo . . . 246
7.3.1 M´odulo/Distˆancia . . . 256
8 RACIONAIS AZUIS E VERMELHOS 261 8.1 Constru¸c˜ao dos Racionais Azuis . . . 261
8.2 O Mito das Ambiguidades nas Representa¸c˜oes . . . 276
• Apˆendice: Um resultado bizarro: 0, 999 . . . = 0 . . . 284
9 N ´UMEROS REAIS POR DEDEKIND 287 9.1 Constru¸c˜ao dos Reais . . . 291
9.2 O que ´e um corte . . . 293
9.3 Opera¸c˜oes em C . . . 300
9.3.1 Adi¸c˜ao . . . 301
9.4 Rela¸c˜ao de ordem emC . . . 313
9.4.1 Multiplica¸c˜ao . . . 319
9.5 Completude segundo Dedekind . . . 350
• Apˆendice: Supremo e ´Infimo . . . 372
10 N ´UMEROS REAIS POR CANTOR 383 10.1 pr´e-requisitos . . . 384
10.1.1 Sequˆencias . . . 384
10.1.2 Subsequˆencias . . . 389
10.1.3 Sequˆencias de Cauchy . . . 396
10.2 Rela¸c˜ao de ordem emC . . . 419
11 N ´UMEROS REAIS AZUIS E VERMELHOS 453 12 N ´UMEROS COMPLEXOS 455 12.1 Imers˜ao de R em C . . . 463
13 N ´UMEROS HIPERCOMPLEXOS 471 13.1 Imers˜ao de R em H . . . 478
14 CONSULTAS 487 14.1 Elementos de L´ogica & Demonstra¸c˜oes . . . 487
14.1.1 Opera¸c˜oes L´ogicas sobre Proposi¸c˜oes . . . 488
14.1.2 T´ecnicas (Engenharia) de Demonstra¸c˜ao . . . 492
Cap´ıtulo 1
O QUE ´
E UM N ´
UMERO
A abstra¸c˜ao desobstrui o esp´ırito, o torna mais leve e dinˆamico.
(Gaston Bachelard)
Introdu¸c˜
ao
Parece mentira, mas se o leitor procurar em um livro de matem´atica a resposta para o que seja um n´umero, n˜ao vai encontrar. E se o leitor fizer esta pergunta a um matem´atico tamb´em n˜ao vai obter a resposta, ´e irˆonico! Ele dir´a, a exemplo de Peano∗: “n´umero ´e um conceito primitivo, n˜ao se define ”, e assim ele se livra desta responsabilidade− escapa pela “tangente” como se diz.
Que esta “deficiˆencia”, digamos assim, j´a vem de longas datas ´e o que podemos inferir da cita¸c˜ao a seguir:
A ambivalˆencia dos matem´aticos do S´eculo XVIII em rela¸c˜ao aos n´umeros complexos pode mais uma vez ser evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles, afirma
“Como todos os n´umeros conceb´ıveis s˜ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica ent˜ao claro que as ra´ızes quadradas de n´umeros negativos n˜ao podem ser inclu´ıdas entre os n´umeros poss´ıveis [n´umeros reais]. E esta circunstˆancia nos conduz ao conceito de tais n´umeros, os quais, por sua pr´opria natureza, s˜ao imposs´ıveis, e que s˜ao geralmente chamados de n´umeros imagin´arios, pois existem somente na
imagina¸c˜ao.” [7]
∗Giuseppe Peano (1858-1932), natural de Cuneo, It´alia, foi professor da Academia
Militar de Turin, com grandes contribui¸c˜oes `a Matem´atica. Seu nome ´e lembrado hoje
em conex˜ao com os axiomas de Peano dos quais dependem tantas constru¸c˜oes da ´algebra
Observe que, na mente de Euler, “todos os n´umeros conceb´ıveis s˜ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero”; o que prova que Euler e, por extens˜ao os demais matem´aticos, n˜ao havia ainda atinado com uma compreens˜ao necess´aria (satisfat´oria) do conceito de n´umero.
Nota: O conceito− e entendimento − de n´umero veio evoluindo ao longo dos s´eculos; portanto ´e perfeitamente compreens´ıvel que os matem´aticos, de ent˜ao, n˜ao se sentissem `a vontade com este “ente”, bem sabemos que isto em nada diminui os m´eritos destes grandes matem´aticos, o que n˜ao nos impede, todavia, de pˆor em evidˆencia esta curiosa particularidade.
Por outro lado, o que me deixa impressionado, embasbacado at´e, foi o tardio dom´ınio do importante conceito de n´umero negativo; at´e h´a pouco tempo atr´as matem´aticos de estirpe ainda claudicavam no entendimento do que fosse um n´umero negativo, observe como n˜ao estou exagerando:
Peacock n˜ao produziu resultados novos not´aveis em matem´atica, mas teve grande importˆancia na reforma do assunto na inglaterra, espe-cialmente no que diz respeito `a ´algebra. Tinha havido em Cambridge uma tendˆencia t˜ao conservadora em ´algebra quanto na geometria e na an´alise; ao passo que, no Continente, os matem´aticos estavam desen-volvendo a representa¸c˜ao gr´afica dos n´umeros complexos, na inglaterra havia protestos de que mesmo os n´umeros negativos n˜ao tinham validade. (Boyer, p. 420) Isto tudo dentro do j´a avan¸cado S´eculo XIX.
N˜ao constituir´a ent˜ao uma vergonha para a Ciˆencia estar t˜ao pouco elucidada acerca do seu ob-jeto mais pr´oximo, o qual deveria, aparentemente, ser t˜ao simples? Menos prov´avel ainda ´e que se seja capaz de dizer o que o n´umero ´e. Se um conceito que est´a na base de uma grande ciˆencia oferece dificuldades, inves-tig´a-lo com mais precis˜ao com vista a ultrapassar essas dificuldades ´e bem uma tarefa inescap´avel.
(Frege/Os Fundamentos da Aritm´etica)
Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 — 1925) foi um matem´atico, l´ogico e fil´osofo alem˜ao.
Trabalhando na fronteira entre a filosofia e a matem´atica, Frege foi um dos principais criadores da l´ogica matem´atica moderna.
N˜ao podes encontrar a verdade com a l´ogica se n˜ao j´a a tens encontrado sem ela. (G.K. Chesterton)
1.1
O Que ´
e um N´
umero?
No in´ıcio era o caos. . . e Deus disse: ‘Que exista a luz!’ E a luz come¸cou a
existir. (Gn 2 : 3)
Em nosso entendimento, a falta de clareza a respeito do que seja um n´umero constitui-se numa pedra de trope¸co para a compreens˜ao de muitas quest˜oes relevantes tanto no ˆambito da matem´atica quanto no da filosofia da matem´atica. ´E nosso objetivo na presente se¸c˜ao dizer o que ´e um n´umero, definir (estabelecer) este conceito matem´atico fundamental.
1.1.1 Conjuntos × Estruturas
O entendimento do que seja um n´umero inicia-se com a distin¸c˜ao entre conjunto e estrutura.
Em matem´atica s˜ao frequentes conjuntos munidos de uma ou mais opera-¸c˜oes, que gozam de certas propriedades. Esses conjuntos com tais opera¸c˜oes e respectivas propriedades constituem aquilo que denominamos estruturas alg´ebricas.
Para nos auxiliar em nosso objetivo (deixar claro a diferen¸ca entre con-junto e estrutura) vamos recorrer a uma analogia: Suponhamos um concon-junto M cujos elementos s˜ao materiais de constru¸c˜ao, assim:
M ={tijolo, cimento, seixo, pedra, areia, . . .}
“sobre” este conjunto podemos construir diversas estruturas, por exemplo:
M − Edif´ıcio − Casa − Ponte Conjunto Estruturas
N˜ao devemos confundir o conjunto M com a “estrutura” edif´ıcio, por exemplo.
Mas este tipo de confus˜ao ´e o que comumente se faz quando se fala de conjuntos num´ericos. No nosso entendimento um “conjunto num´erico” ´e muito mais que um mero conjunto, ´e uma estrutura. H´a tanta impre-cis˜ao em considerar um “conjunto num´erico” como um conjunto, quanto confundir o edif´ıcio com o conjunto M , na analogia acima.
Entendemos que com respeito aos entes (conceitos) matem´aticos n˜ao deve ser diferente.
Vejamos um exemplo retirado da matem´atica. Considere o conjunto de pontos R2 =(x, y) : x, y∈ R , cuja vers˜ao geom´etrica ´e vista a seguir:
R2
0
r(x, y)
sobre este conjunto podemos construir, por exemplo, trˆes estruturas, assim:
- Espa¸co vetorial : ( (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) λ(a, b) = (λa, λb) - N´umeros C : ( (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)· (c, d) = (ac − bd, ad + bc) - N´umeros H : ( (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)· (c, d) = (ac ∓ bd, |a|d + b|c|) R2
0 q(x, y)
Assim o n´umero de estruturas que podemos construir sobre um mesmo conjunto estar´a limitado apenas por nossa criatividade∗.
A rec´ıproca tamb´em vale: Um mesmo sistema num´erico
pode ser implementado em v´arios hardwares (conjuntos)
Por oportuno, observamos que assim como podemos construir diversas estruturas sobre um mesmo conjunto (“hardware”), a rec´ıproca tamb´em vale: um mesmo sistema num´erico pode ser implementado em conjuntos (hardwares) distintos:
∗C : N´umeros complexos. Os n´umeros Hipercomplexos ´e um novo sistema num´erico
que construimos sobre o R2, ´e tamb´em uma generaliza¸c˜ao dos n´umeros reais.
(Software)
- Um mesmo software (conjunto de instru¸c˜oes) pode rodar em hardwares distintos
Por exemplo, no cap´ıtulo 4 estaremos rodando o software dos n´umeros
naturais, (p. 91)
N ={ 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
em outros dois hardwares: em um conjunto de sequˆencias bin´arias,
N={ 0 0 1 0 , 0 0 0 0 , 0 1 0 0 , 1 0 0 0 , 1 1 0 0 , . . . } e no conjunto de ideogramas∗ chineses,
n n
N
=
,
,
,
,
, . . .
Resumindo, N ={ 0, 1, 2, 3, 4, . . . } N={ 0 0 1 0 , 0 0 0 0 , 0 1 0 0 , 1 0 0 0 , 1 1 0 0 , . . . } n nN
=
,
,
,
,
, . . .
(Software dos Naturais)
- Software dos Naturais roda em tr^es hardwares distintos
Pois bem, retomando, do nosso ponto de vista, os “conjuntos” num´ericos ser˜ao estruturas construidas sobre conjuntos.
Em alguns livros-texto ao inv´es de conjunto dos n´umeros reais diz-se
sistema dos n´umeros reais, designa¸c˜ao esta mais apropriada − a nosso ver −, uma vez que nos permite uma distin¸c˜ao entre conjunto e estrutura.
Os nossos sistemas num´ericos sempre ser˜ao construidos em cima de al-gum conjunto. Em fun¸c˜ao do exposto ´e que sentimos a necessidade de uma nota¸c˜ao mais apropriada. Utilizaremos dois estilos de fontes, um para o conjunto e outro para a estrutura (construida sobre aquele conjunto), por exemplo, assim: Estrutura: N ← − Conjunto: N Estrutura: Z ← − Conjunto: Z Estrutura: Q ← − Conjunto: Q A Identidade de um Elemento
Uma outra distin¸c˜ao que se faz necess´aria ´e quanto a natureza ( identi-dade) de um elemento.
Perguntamos: afinal de contas o par ordenado (3, 2) ´e um vetor ou um n´umero complexo?
Respondemos: o par ordenado (3, 2), por si s´o, n˜ao ´e nem uma coisa nem outra, ´e apenas um elemento do conjunto R2. Agora dependendo do contexto em que nos situamos, este elemento pode ser um vetor, um n´umero complexo, ou ainda um n´umero hipercomplexo.
Se, por exemplo, o par ordenado (3, 2) estiver inserido na estrutura de espa¸co vetorial∗ ele ser´a um vetor, se estiver sendo manipulado na estru-tura n´umeros complexos ele ser´a um n´umero complexo, e se estiver sendo manipulado dentro da estrutura “Hipercomplexa” ser´a um n´umero
hiper-complexo. (ver fig., p. 16).
Portanto, enfatizamos, ´e a estrutura que confere “dignidade” (identi-dade) a um elemento. Vejamos algumas analogias:
1a) Suponhamos que desejamos jogar xadrez mas n˜ao dispomos das pe¸cas, apenas do tabuleiro. N˜ao h´a o menor problema:
feij˜ao→ Rei arroz→ pe˜oes milho → torres .. . ... .. .
podemos substituir as pe¸cas por cereais. Por exemplo, um caro¸co de feij˜ao far´a o papel de rei, os pe˜oes ser˜ao substituidos por gr˜aos de arroz, as torres por caro¸cos de milho, etc.
Observe mais uma vez que ´e a estrutura que confere a “dignidade” (iden-tidade) de um elemento: um mero caro¸co de feij˜ao de repente vˆe-se pro-movido a “rei”, ao participar da estrutura xadrez.
2a) Como mais um exemplo da “metamorfose” conferida pela estrutura, o Brasil est´a empestado de ratazanas (bandidos) que, ao ingressarem na estrutura pol´ıtica, tornam-se “vossa excelˆencia”:
Assim como um mero caro¸co de feij˜ao torna-se um “rei” ao ingressar na estrutura xadrez, bandidos tornam-se “vossa excelˆencia” ao ingressar na estrutura pol´ıtica brasileira.
3a) Como mais um exemplo de que uma estrutura pode “metamorfosear” um elemento, basta observar a estrutura “religiosa” mundial.
Assim como um mero caro¸co de feij˜ao torna-se um “rei” ao ingressar na estrutura xadrez, um assassino torturador∗ torna-se “vossa santidade” ao ingressar na estrutura religiosa.
4a) Assim como um mero caro¸co de feij˜ao torna-se um “rei” ao ingressar na estrutura xadrez, bandidos tornam-se pastores de ovelhas e homens ungidos por Deus, ao ingressarem em uma estrutura religiosa:
(Os bandidos trocaram o rev´olver pela B´ıblia!)
- Eu n˜ao tenho onde reclinar minha cabe¸ca.
(Jesus)
∗ ∗ ∗
No lugar da verdade ou da realidade, temos uni-camente o limitado discurso humano, os sistemas de cren¸ca e os atos de interpreta¸c˜ao que cada um de n´os faz na pris˜ao da linguagem ou da cultura. Desafiar es-sas pretenes-sas “verdades”, desconstruir as suposi¸c˜oes nas quais elas se ap´oiam, ´e a tarefa da nossa ´epoca.
(Danah Zohar, f´ısica e fil´osofa)
∗Refiro-me `a “Santa Inquisi¸c˜ao”, `as in´umeras Cruzadas papais, `as milhares de “bruxas”
torturadas e queimadas vivas em fogueiras. Lembramos que o cientista Giordano Bruno
foi queimado vivo em uma fogueira no ano 1600, Galileu s´o n˜ao teve o mesmo fim tr´agico
Retomando, antes de definir o que seja um n´umero necessitaremos de duas defini¸c˜oes preliminares:
Defini¸c˜ao 1 (Opera¸c˜ao). Sendo E um conjunto n˜ao vazio, toda aplica¸c˜ao (fun¸c˜ao) f : E× E → E recebe o nome de opera¸c˜ao sobre E.
Para construirmos (erigirmos) um sistema num´erico sobre um dado con-junto basta definirmos duas opera¸c˜oes sobre este conjunto, uma das quais ser´a chamada de adi¸c˜ao e a outra de multiplica¸c˜ao, simbolizadas por + e ·, respectivamente. Mais formalmente,
Defini¸c˜ao 2 (Conjunto num´erico). Dado um conjunto E n˜ao vazio e duas opera¸c˜oes sobre E,
+ : E× E → E (x, y) 7→ x + y
· : E × E → E (x, y) 7→ x· y
A terna (E, +, ·) ´e o que entendemos por um conjunto num´erico (ou estrutura num´erica). Usaremos da seguinte nota¸c˜ao (E, +,·) = E.
Observe que um “conjunto num´erico” ´e mais que um mero conjunto, ´e uma estrutura (ou sistema).
Defini¸c˜ao 3 (N´umero). Um “elemento” de um conjunto continuar´a a ser chamado de elemento; agora, ao construirmos uma estrutura num´erica sobre este conjunto, este elemento ter´a adquirido o status de n´umero.
E
E
× E
E
E
+
·
E
= (E, +,
·)
- Conjunto(aqui temos elementos)
- Estrutura
Exemplo: Vamos construir um “conjunto num´erico” (sistema num´erico). Considere o conjunto com dois s´ımbolos
E ={ 0, 1 }
at´e este momento 0 e 1 s˜ao reles elementos deste conjunto. Vamos atribuir a eles status de n´umeros. Para tanto vamos definir duas opera¸c˜oes sobre esse conjunto, uma chamada de adi¸c˜ao
+ : E× E → E (x, y) 7→x + y ⇒ 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 e outra chamada de multiplica¸c˜ao
· : E × E → E (x, y) 7→ x· y ⇒ 0· 0 = 0 0· 1 = 0 1· 0 = 0 1· 1 = 1
Acabamos de construir o seguinte sistema num´erico: E = ({ 0, 1 }, +, ·). Agora, 0 e 1 s˜ao n´umeros. Mais uma vez observe que ´e a estrutura que confere status de n´umero a um reles elemento de um conjunto:
E ={ 0, 1 }
− Aqui 0 e 1 s˜ao meros elementos de um conjunto.
E= ({ 0, 1 }, +, ·) −A quio 0 e 1 s˜ao n´umeros
de uma estrutura num´erica.
Nota: Neste livro utilizaremos o mesmo s´ımbolo,∈, tanto de elemento para conjunto quanto de n´umero para estrutura.
Adendo: Ao contr´ario do que muitos leitores poderiam pensar, o sistema num´erico E definido acima presta para alguma coisa: tem aplica¸c˜oes na in-form´atica e na matem´atica. Resulta numa estrutura que os matem´aticos denominam de corpo.
A isto se acrescenta que todo s´ımbolo ´e ambivalente e at´e mesmo polivalente, no sentido de que ele pode significar uma pluralidade de rea-lidades diversas e mesmo contradit´orias. (L´eon Bonaventure) Ademais, o leitor n˜ao se escandalize com a opera¸c˜ao 1 + 1 = 0, posto que, se servir de consolo, mesmo na f´ısica− supostamente mais aderente `a realidade− nem sempre 1 + 1 = 2. Por exemplo, se adicionarmos duas ve-locidades iguais a 1, na f´ısica de Galileu teremos 1 + 1 = 2, j´a na de Einstein
N˜ao h´a mais, para os teoremas, verdade separada e, por assim dizer atˆomica: sua verdade ´e apenas sua integra¸c˜ao no sistema; e ´e por isso que teoremas incompat´ıveis entre si podem ser igualmente verdadeiros, contanto que os relacionemos com sistemas diferentes. (Blanch´e)
O que ´e um n´umero? Respondemos: Um sistema num´erico (ou “con-junto num´erico”) − a plataforma da qual podemos falar em n´umero − ´e um conjunto de regras, tal como o xadrez, envolvendo duas opera¸c˜oes, uma chamada de adi¸c˜ao e outra de multiplica¸c˜ao; este conjunto de regras pode ser entendido como um software, um conjunto de instru¸c˜oes.
Este conceito abstrato que ´e o n´umero, para que possa ser ´util, ma-nipul´avel, deve tomar corpo (“encarnar”) em um conjunto de s´ımbolos; em-bora em casos espec´ıficos (como os n´umeros canˆonicos, por exemplo) este conjunto de s´ımbolos n˜ao seja ´unico todavia n˜ao ´e arbitr´ario, isto ´e, algumas exigˆencias devem ser satisfeitas.
N ={ ∅, { ∅ }, { ∅, { ∅ } }, . . . }
N={ 0 0 1 0 , 0 0 0 0 , 0 1 0 0 , 1 0 0 0 , 1 1 0 0 , . . . } n
n
N
=
,
,
,
,
, . . .
(Software dos Naturais) (p. 91)
− Naturais “encarnados” (tomando corpo) em trˆes conjuntos de s´ımbolos. Adendo: Um n´umero como um objeto isolado (“solto”) n˜ao existe Por oportuno, assistindo um v´ıdeo sobre mecˆanica quˆantica∗ ouvir dizer que: N˜ao existe tal coisa como um el´etron, um el´etron − ou qualquer outra part´ıcula elementar − s´o existe em rela¸c˜ao a outras coisas, como em rela¸c˜ao a outras part´ıculas ou ao Universo mesmo. Isto nos diz com suficiente profundidade, que quando se navega na natureza mesma da mat´eria, tudo o que sabemos do mundo cotidiano se dissolve, e n˜ao existem objetos, s´o rela¸c˜oes.
Esta conclus˜ao da f´ısica quˆantica s´o vem a confirmar o que ´e ensinado pela filosofia budista da vacuidade. (p. 26)
Todas as coisas neste mundo surgem de rela¸c˜oes, nada tem existˆencia intr´ınseca, por si mesmo, independente− Interdependˆencia budista.
E o que tudo isto tem a ver com n´umeros? Defendo que o mesmo se d´a com conceitos, como n´umero p. ex.; isto ´e, n˜ao existe algo como “um n´umero isolado” − como querem matem´aticos e fil´osofos −, os n´umeros s´o surgem na rela¸c˜ao com outros objetos de uma estrutura, observe:
E
E
× E
E
E
+
·
E
= (E, +,
·)
- Conjunto(aqui temos elementos)
- Estrutura
(aqui temos n´umeros)
- Nesta figura destacamos quatro objetos (Rela¸c~oes) que condicionam a exist^encia de um n´umero:
um conjunto, produto cartesiano, duas opera¸c~oes.
No jogo de xadrez um rei (que pode ser um mero caro¸co de feij˜ao) s´o ´e rei se tomado em rela¸c˜ao a estrutura, fora do tabuleiro ele se descaracteriza. No meu entendimento ´e um erro hist´orico− tanto de fil´osofos quanto de matem´aticos− considerarem um n´umero como um “ente isolado”.
Poder-se-ia at´e afirmar que a realidade subatˆomica, enquanto ino-bserv´avel, n˜ao ´e constituida de objetos, mas de rela¸c˜oes, e que as part´ıculas individuais n˜ao existem como entidades f´ısicas reais. Somente possuem sig-nificado dentro da totalidade das rela¸c˜oes que mantˆem com as demais enti-dades, sobretudo com a consciˆencia do observador.
1.1.2 O n´umero (ou a matem´atica) existe independentemente do homem?
Que seria a tua felicidade, ´
o grande astro, se n˜ao tivesses aqueles que iluminas!
(Nietzsche/Zaratustra)
Esta ´e uma quest˜ao − da filosofia da matem´atica − que atravessou s´eculos e milˆenios, sem que se tenha chegado a um ponto consensual.
Pretendemos nesta se¸c˜ao dar nossa contribui¸c˜ao a esta relevante quest˜ao.
(p. 382)
Antes exibiremos um resumo das principais escolas nos fundamentos da matem´atica. No final do s´eculo XIX inicia-se um grande debate em torno dos fundamentos da matem´atica, da tentativa de assent´a-la em bases firmes surgiram em seus fundamentos filos´oficos trˆes escolas principais.
A primeira foi o logicismo, em 1884, criada pelo matem´atico alem˜ao Gottlob Frege (1848-1925).
Em 1908, surge o intuicionismo, criada pelo matem´atico holandˆes L. E. J. Brouwer (1881-1966). Por ´ultimo, em 1910, veio o formalismo, criada pelo matem´atico alem˜ao David Hilbert (1862-1943).
Logicismo
O eixo da tese logicista era a factibilidade da redu¸c˜ao da matem´atica `
a l´ogica. A base (fundamento) da matem´atica seria a l´ogica. Ou ainda: o edif´ıcio da matem´atica deveria ser erigido a partir de princ´ıpios l´ogicos.
(Frege, Bertrand Russel, Peano, Whitehead) Intuicionismo
A tese dos intuicionistas ´e que o fundamento ´ultimo da matem´atica ´e a intui¸c˜ao e que, ademais, esta disciplina deve ser desenvolvida apenas por m´etodos construtivos finitos: Nenhum objeto matem´atico existe sem que tenha sido de algum modo construido.
(Brouwer, Kronecker, Poincar´e, Lebesgue) Formalismo
Os formalistas, a exemplo dos intuicionistas, n˜ao viam a l´ogica como o fundamento da matem´atica. A preocupa¸c˜ao prec´ıpua dos formalistas era livrar a matem´atica das contradi¸c˜oes (inconsistˆencias, paradoxos) que vin-ham se insinuando desde a teoria dos conjuntos de Cantor; para os formalis-tas a matem´atica se resume ao estudo dos sistemas simb´olicos formais. Ou ainda: a matem´atica sustenta-se no trip´e axiomas, defini¸c˜oes e teoremas.
Existem autores que ainda destacam uma quarta escola: Conjuntista
Esta escola defende a teoria dos conjuntos como os fundamentos para se edificar uma matem´atica s´olida. Cantor (1845-1918) e Richard Dedekind (1831-1916) est˜ao entre os principais precursores desta escola.
1.1.3 A filosofia do Nada − do Vazio, da Vacuidade
[. . .] Com base em tais observa¸c˜oes e an´alises matem´aticas, quanto mais pr´oximo das origens remontamos o universo, mais pr´oximo chega-mos da perfei¸c˜ao, a mais implicada de todas as ordens da realidade. A natureza daquele v´acuo perfeito pode conter a chave para o entendimento do universo como um todo. Como comenta Leonard Susskind, f´ısico de Stanford: “Qualquer um que sabe tudo sobre nada sabe tudo”.
([13], p. 147)
Todos estes matem´aticos que se voltaram para os fundamentos da mate-m´atica foram, de um modo ou outro, influenciados por fil´osofos, como, por exemplo, Plat˜ao, Kant, Leibniz, etc. De igual modo, no desenvolvimento do presente livro tamb´em fomos inspirados por uma filosofia, a qual de-nomino de “filosofia do Nada”, ou “filosofia do Vazio”, ou ainda, “filosofia da Vacuidade”.
Essencialmente esta filosofia prega que o Vazio − ou V´acuo − ´e o fun-damento do Universo. Vejamos alguns testemunhos a favor da mesma. 1o) Um matem´atico
Charles Sanders Peirce (Cambridge, 10 de setembro de 1839 — Milford 19 de abril de 1914), foi um fil´osofo, cientista e matem´atico ameri-cano.
Filho do matem´atico, f´ısico e astrˆonomo Benjamin Peirce, Charles, sob influˆencia pa-terna, formou-se na Universidade de Harvard em f´ısica e matem´atica, conquistando tamb´em o diploma de qu´ımico na Lawrence Scientific School.
O livro “O Conceito de Continuidade em Charles S. Peirce”∗ trata de l´ogica e filosofia da matem´atica. Apresenta uma se¸c˜ao sobre cosmogonia
que a mim surpreendeu pelo fato de um l´ogico, filos´ofo e matem´atico puro tamb´em colocar o Vazio (Nada) como fundamento do Universo. Do livro:
∗Por Ant´onio Machado Rosa. Funda¸c˜ao Calouste Gulbenkian (Funda¸c˜ao para a Ciˆencia
O Nada Inicial (p. 290)
Um dos objectivos das cosmologias ´e a origem do universo, a qual, no entanto, fica usualmente inexplicada. O princ´ıpio de continuidade obriga a ir para al´em dessa origem: obriga a compreender a passagem da n˜ao exis-tˆencia `a exisexis-tˆencia. “Exisexis-tˆencia” designa aqui o nosso universo actual e as rea¸c˜oes materiais entre os objectos que o comp˜oe. Deve-se ir para l´a dessa existˆencia e conjecturar um processo evolutivo anterior `a pr´opria origem. Resulta da´ı que a cosmologia peirceana ´e tamb´em uma cosmologia do uni-verso anteriormente `a sua existˆencia. [. . . ]
H´a, pois, um processo evolutivo anterior `a existˆencia. Globalmente, Peirce distingue nele dois momentos: um “nada ca´otico” e um nada ainda mais primitivo que esse nada ca´otico. ´E nesse Nada primitivo que deve-mos come¸car por nos concentrar. O Nada primitivo ´e um estado em que “o universo n˜ao existia”, um “absoluto nada”. Contudo, esse Nada absoluto tem propriedades not´aveis na medida em que a totalidade do nosso universo actual j´a se encontra nele em germe; com efeito, ele representa a totalidade das possibilidades.
2o) F´ısica quˆantica
Metaforicamente, como eu sugeri, podemos pensar o v´acuo como um vasto mar; e tudo quanto existe − as estrelas, a Terra, as ´arvores, n´os e as part´ıculas de que somos feitos −, como ondas nesse mar. Os f´ısicos denominam tais “ondas” − n´os e tudo quanto existe − “excita¸c˜oes” ou “flutua¸c˜oes” do
v´acuo. (Danah Zohar/F´ısica)
3o) Marcelo Malheiros/Fil´osofo ´
E importante assinalar que a no¸c˜ao de que o Nada, ou o Vazio, ´e fonte de energia − e de energia inesgot´avel − est´a perfeitamente de acordo com o esquema b´asico de pensamento inerente `a mecˆanica quˆantica. A id´eia de que h´a infinitos estados de energia negativa e positiva, e sobretudo a especula¸c˜ao de que um estado neutro de energia (o vazio), mediante uma flutua¸c˜ao quˆantica decorrente da instabilidade do vazio, do princ´ıpio de in-determina¸c˜ao de Heisenberg, pode dar nascimento a uma grande onda de energia positiva e outra negativa (cuja soma seja zero), ´e uma cogita¸c˜ao que hoje tem sido seriamente considerada pelos f´ısicos te´oricos mais represen-tativos da atualidade (Stephen Hawking, Roger Penrouse, Alan Guth, Paul Davies, John Gribbin, Heinz Pagels e muitos outros). A hip´otese de que o Universo surgiu do Nada, a partir de uma simples oscila¸c˜ao ou perturba¸c˜ao do vazio, foi pela primeira vez sugerida pelo f´ısico americano Tryon em 1969.
4o) A pr´opria Ciˆencia
Na Super Interessante de fevereiro de 2011 saiu uma reportagem com t´ıtulo: ´E poss´ıvel criar mat´eria a partir do nada. Cientistas descobrem como extrair part´ıculas do vazio− sem depender de nenhuma mat´eria-prima da natureza.
Nada se cria, tudo se transforma. Essa lei da f´ısica pode estar sendo ultrapassada por um grupo de pesquisadores da Universidade de Michi-gan, que diz ter descoberto um meio de gerar mat´eria a partir do v´acuo− popularmente conhecido como “nada”. Isso seria poss´ıvel porque, na ver-dade, o que n´os chamamos de nada n˜ao ´e um vazio absoluto. Est´a cheio de part´ıculas de mat´eria e antimat´eria, que se anulam mutuamente. A novidade ´e que os pesquisadores descobriram um jeito de separ´a-las [. . .] 5o) F´ısico
Tomemos ent˜ao um espa¸co sem mat´eria, “vazio”. A f´ısica quˆantica mostra que, mesmo neste caso, flutua¸c˜oes de energia existem. O nada tem uma energia associada. Sendo assim, part´ıculas podem surgir dessas flu-tua¸c˜oes, mat´eria brotando do nada.
Em 1948, H. Casimir, um f´ısico holandˆes, propˆos que as flutua¸c˜oes do v´acuo provocariam uma for¸ca atrativa entre duas placas met´alicas. O efeito foi confirmado: por incr´ıvel que pare¸ca, a energia do nada foi medida re-centemente no laborat´orio. ´E sempre bom lembrar que o vazio est´a cheio de
energia. (Marcelo Gleiser/F´ısico)(grifo nosso)
6o) S´abio Lao Ts´e
O Nada, ber¸co de todos os poss´ıveis Nas profundezas do Insond´avel
Jaz o Ser.
Antes que c´eu e terra existissem, J´a era o Ser
Im´ovel, sem forma,
O V´acuo, o Nada, ber¸co de todos os Poss´ıveis. Para al´em de palavra e pensamento
Est´a Tao, origem sem nome nem forma, A Grandeza, a Fonte eternamente borbulhante,
7o) F´ısico
Contradit´orio? A nova ciˆencia explica: a base da existˆencia ´e, ao mesmo tempo, plena de possibilidades, sim, mas as possibilidades n˜ao s˜ao “coisas”, e por isso tamb´em podem ser chamadas de nada. (Amit Goswami)
O mais importante: No Vazio n˜ao encontramos apenas energia, como tamb´em Consciˆencia, ´e o que afirma um fil´osofo budista.
8o) Filosofia budista
O princ´ıpio da incerteza de Heisenberg sugere que viola¸c˜oes do princ´ıpio da conserva¸c˜ao da energia podem ocorrer por causa de flu-tua¸c˜oes espontˆaneas e imprevis´ıveis do v´acuo que ´e o espa¸co. Isso foi legitimado por in´umeros experimentos. De acordo com a mecˆanica quˆantica, a energia pode surgir do nada por um breve instante; quanto menor o intervalo, maior o desvio de energia. [. . . ] sugere que o v´acuo pode n˜ao estar preenchido apenas de energia ponto-zero, que pode ser medida objetivamente com t´ecnicas da f´ısica, mas tamb´em permeado de consciˆencia, que pode ser experiˆenciada subjetivamente com t´ecnicas de
introspec¸c˜ao. (Wallace/[13], pp. 53, 54 )
Coloco em destaque (sobre o v´acuo):
“. . .mas tamb´em permeado de consciˆencia, que pode ser experiˆenciada subjetivamente com t´ecnicas de introspec¸c˜ao.”
Nota: Esta experiˆencia (consciˆencia do v´acuo) j´a realizei in´umeras vezes − “com t´ecnicas de introspec¸c˜ao” −, assim ´e que este livro, que o leitor tem em m˜aos, ´e fruto de um processo colaborativo entre este autor e a referida consciˆencia do v´acuo− pelo ao menos assim creio.∗ (p. 218)
Pois bem, retomando, esta “filosofia do Nada” ´e que vai nos orientar em algumas conclus˜oes e afirma¸c˜oes ao longo deste livro.
Ap´os esta necess´aria digress˜ao, retornemos `a pergunta original: Os n´ ume-ros existem independentemente do homem?.
A partir de nossa defini¸c˜ao de n´umero fica f´acil concluir que n´umero ´e uma cria¸c˜ao do homem − como afirmava o matem´atico Gauss − e ar-rematamos: se o homem deixasse de existir os n´umeros concomi-tantemente desapareceriam da face da terra. Ainda que todos os livros de matem´atica fossem preservados nas bibliotecas.
J´a respondemos a quest˜ao levantada, n˜ao obstante vamos alongar um pouco mais nossa discuss˜ao.
Suponhamos, por hip´otese de trabalho, que um meteorito atingisse a Terra e dizimasse todos os homens da face do planeta, menos alguns bebˆes e alguma tribo ind´ıgena.
∗Por vezes acontece de algu´em est´a trabalhando em um problema e, ao amanhecer, sem
nenhum esfor¸co, tem um insight (ideia) “do Nada” que lhe permite resolver o problema.
Na cena a seguir vemos, ao centro, um tabuleiro com as pe¸cas do xadrez
`
a esquerda a suposta tribo ind´ıgena, `a direita um bebˆe remanescente. Pergunto: nestas circunstˆancias o xadrez ter´a desaparecido da face da terra?
A resposta ´e um rotundo sim!, uma vez que o xadrez n˜ao se constitui nas pe¸cas propriamente mas em suas regras.
Nota: Que um ind´ıgena e um bebˆe tenham o potencial para vir a jogar xadrez, n˜ao resta d´uvida, mas a quest˜ao em foco n˜ao ´e esta. A quest˜ao ´e, repito, o xadrez ter´a desaparecido?
Supondo, ademais, que todos os manuais de xadrez tenham sido extravia-dos na hecatombe, n˜ao teremos nenhuma garantia de que, no futuro, o jogo de xadrez venha a ser reinventado.
Substitua o xadrez pelos n´umeros e se fa¸ca a mesma pergunta . . . Pergunto: nestas circunstˆancias os n´umeros teriam desaparecido da face da terra?
A resposta ´e, novamente, um rotundo sim!, uma vez que os n´umeros n˜ao se constituem nos numerais (s´ımbolos) propriamente mas sim em suas regras de manipula¸c˜ao (estrutura).
Lembramos que a hist´oria da matem´atica registra que os n´umeros in-teiros, Z = { −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }, precisaram de mais de mil anos para serem efetivamente compreendidos − isto ´e para adquirirem unanimi-dade entre os matem´aticos, cidadania matem´atica.
Descartes (1596 -1650) chamava de falsas as ra´ızes negativas de uma equa¸c˜ao; Viete (1540 -1630) era mais radical: simplesmente rejeitava os n´umeros negativos.
Um dos gigantes na matem´atica, Laplace (1749 -1827), certa feita pro-feriu: “ ´E dif´ıcil conceber que um produto de (−a) por (−b) ´e o mesmo que a por b ”.
Colocamos novamente em destaque a quest˜ao: os n´umeros existem in-dependentemente do homem?. Um fil´osofo acentua com muita propriedade: [. . . ] as possibilidades de existir s˜ao apenas possibilidades vazias. So-mente quando pensadas ´e que ganham um impulso para a existˆencia, porque ´e preciso que tais realidades primeiro sejam concebidas, imaginadas, men-talizadas, elaboradas na forma de Id´eias, que constituem “programas” de cria¸c˜ao, sementes de eventos e de Universos. [. . . ] O tempo linear de nossa dimens˜ao, e de nossa consciˆencia, constitui o mundo onde essas possibili-dades ainda n˜ao existentes ter˜ao condi¸c˜ao de “existir”, de ser (ser aqui tem o significado “ser objeto para uma consciˆencia”, ser um “outro” que n˜ao essa mesma consciˆencia, enfim, a alteridade). (Marcelo/[17], p. 163)
Enfatizo: “ser . . . tem o significado‘ser objeto para uma consciˆencia’ ” Em particular, os n´umeros s˜ao n´umeros ‘para uma consciˆencia’.
Pergunto ao leitor: Os n´umeros naturais vermelhos, n
n
N
=
,
,
,
,
, . . .
N
=
(
,
+
,
·
)
Respondo: para minha consciˆencia sim, para os demais homens n˜ao.∗
Os n´umeros vermelhos passaram a existir somente “quando pensados”: “[. . . ] as possibilidades de existir s˜ao apenas possibilidades vazias. So-mente quando pensadas ´e que ganham um impulso para a existˆencia”.
Tal como no argumento do xadrez, se eu (Gentil) deixasse de existir, os n´umeros vermelhos (ou azuis) deixariam de existir, posto que, at´e a pre-sente data ningu´em, exceto eu, conhece a constru¸c˜ao de tais n´umeros − eu os trouxe `a existˆencia, ao “pensar” neles. O mesmo argumento vale para os n´umeros hipercomplexos, cap´ıtulo 13.
Existir significa existir para uma consciˆencia. N˜ao h´a como fugir disto. Como estas quest˜oes filos´oficas s˜ao delicadas, sutis − e relevantes −, deixa eu tentar contribuir com uma ilustra¸c˜ao (analogia).
Existe uma experiˆencia na f´ısica na qual um prisma ao receber a Luz branca a decomp˜oe em um espectro de frequˆencias, “as sete cores do arco-´ıris ” , assim: (Prisma) Luz Branca Vermelho Alaranjado Amarelo Verde Azul Anil Violeta
Pois bem, em nossa analogia, esta luz branca ´e a Consciˆencia do v´acuo − referida `a p´agina 29 −, o prisma ´e a mente do homem; as cores, s˜ao tudo o que o homem produz, em particular os n´umeros, a matem´atica, ciˆencias, artes, etc. − e tamb´em as guerras.
Luz Branca Consciˆencia V´acuo P r o d u t o s d a m e n t e (Mente) consci^encia do homem
N´umeros Matem´atica F´ısica Artes Literatura Guerras N´umeros Azuis N´umeros Vermelhos
“A mente ´e a verdadeira natureza das coisas ” (Zen budismo)
∗Estou escrevendo isto no dia 28.01.2015, estes n´umeros eu os concebi h´a poucos dias,
Plat˜ao e o “Mundo das ideias”
Na filosofia de Plat˜ao encontramos duas realidades diferentes que envolvem o ser hu-mano, o Mundo das Ideias e o Mundo das Som-bras, conhecido tamb´em como Mundo dos sen-tidos. O mundo sens´ıvel ´e apenas uma c´opia do mundo ideal; o objeto da ciˆencia deve ser o mundo real das Ideias.
Para Plat˜ao, o mundo real (sens´ıvel) apenas reflete um mundo puro de entidades perfeitas, imut´aveis e eternas; em particular, os conceitos matem´ a-ticos.
A filosofia de Plat˜ao teve, e ainda tem, grande influˆencia na concep¸c˜ao filos´ofica de cientistas e matem´aticos; raz˜ao porque decidimos incorporar em nosso trabalho este adendo.
Em nossa concep¸c˜ao − que se harmoniza com a filosofia budista, em especial a da vacuidade, como j´a salientamos −, n˜ao existe um Mundo das Ideias, o que existe ´e o V´acuo; este V´acuo (“Oceano”) de fato cont´em todas as possibilidades, todavia, apenas em potˆencia. As “Ideias” surgem da in-tera¸c˜ao entre o V´acuo e a mente do homem, vejamos isto na ilustra¸c˜ao:
“Luz Branca” V´acuo
I
d
e
i
a
s
(Mente) N´umeros Matem´atica F´ısica Artes Literatura Guerras N´umeros AzuisΦ
Reiteramos, n˜ao existe um “Mundo das Ideias”, existe o V´acuo com to-das as suas potencialidades, em especial as ideias, entretanto, sem o “prisma” estas ideias n˜ao veem `a existˆencia.
Uma analogia: ao contr´ario do que a quase totalidade dos homens imagi-na, o sol n˜ao brilha, o sol n˜ao emite luz, emite ondas eletromagn´eticas que ao interagirem com o olho humano resulta em luz.
Mesmo que um grande n´umero de pessoas olhem um carro de bombeiro e o vejam como vermelho, isso n˜ao significa que a cor exista independente-mente das faculdades visuais delas. (Alan Wallace/Fil´osofo)
A luz existe apenas como uma potencialidade na onda, entretanto, sem a mente, “´e mesmo que nada!”.
S
ol
Assim como a luz surge
nesta intera¸c~ao...
Φ
M en te V ´ac u o qualquer ideia surge
nesta intera¸c~ao.
Querer, como quer Plat˜ao, que existam ideias independentemente da mente ´e como querer que exista luz sem o olho, ou som sem o ouvido.
A n˜ao ser que Plat˜ao admita que o Demiurgo possua atributos humanos, tais como pensamentos e desejos. Se for este o caso, sua filosofia resvala para o misticismo e pouco diferir´a das teologias comuns.
Pelo contr´ario, o V´acuo, como entendo, n˜ao possui nenhum dos atribu-tos humanos.
N˜ao importa se as Ideias a que Plat˜ao se refere n˜ao sejam as humanas e que sejam perfeitas por se originarem em um “mundo perfeito”, isto s˜ao apenas especula¸c˜oes metaf´ısicas.
Se alguma verdade existe que n˜ao guarde nenhuma rela¸c˜ao sensi-tiva ou racional com a inteligˆencia humana, ser´a igual a zero, enquanto
formos n´os seres humanos. (Rabindranath Tagore)
Contradit´orio? A nova ciˆencia explica: a base da existˆencia ´e, ao mesmo tempo, plena de possibilidades, sim, mas as possibilidades n˜ao s˜ao “coisas”, e por isso tamb´em podem ser chamadas de nada. (Amit Goswami)
Adendo: Desejo compartilhar com o leitor, atrav´es de uma analogia, meu entendimento de afirma¸c˜oes “sutis e abstratas” tais como: “existe em potˆen-cia”, “estado de n˜ao-existˆencia”, etc., referentes ao V´acuo.
Perguntamos, a rigor podemos afirmar que existe m´usica ou imagem em um pen-drive ou onda eletromagn´etica?
´
Obvio, em um pen-drive, ou onda eletromagn´etica, n˜ao existem m´usicas ou imagens, mas t˜ao somente m´usicas e imagens codificadas, em c´odigo.
No pen-drive, ou onda eletromagn´etica, existem m´usicas e imagens “em potˆencia”, “num estado de n˜ao-existˆencia”, para virem `a existˆencia neces-sitam apenas de um hardware apropriado que as decodifiquem.
O V´acuo, ´e este estado de “n˜ao-existˆencia” mas que cont´em Tudo (em c´odigos) − O que significa que todas as possibilidades existem em potˆencia (codificadas) no V´acuo.
Tudo veio a ser. N˜ao h´a fatos eternos nem verdades absolutas. (Nietzsche) Da´ı por que dizer-se que consciˆencia e objeto s˜ao binˆomios insepar´aveis, correlativos e complementares do que denominamos realidade. Real ´e aquilo que existe em uma (ou para uma) consciˆencia e de acordo com a estrutura condicionada e condicionadora dessa mesma consciˆencia. Procurar saber o que seja a realidade (o objeto de investiga¸c~ao) independentemente da consciˆencia e de nosso aparato cognitivo-sens´ıvel n˜ao tem sentido, pois pre-cisamos da consciˆencia para pensar nessa suposta “realidade independente”, que ser´a sempre, `a propor¸c˜ao que a pensamos, uma realidade para “uma” consciˆencia, uma realidade pensada. De maneira que ´e razo´avel supor que o mundo atˆomico n˜ao existe num estado bem definido at´e que o observemos mediante um instrumento, instante em que ele se define para a consciˆencia do observador, ocorrendo o que alguns denominam de colapso da fun¸c˜ao de onda. O que constituia um campo de probabilidade de existˆencia num certo espa¸co transforma-se em uma existˆencia espacialmente determinada num ponto espec´ıfico do espa¸co e do tempo. (Marcelo,[17], p. 22)
1.1.4 A Estrutura Cognitiva de Referˆencia
H´a um outro fil´osofo, j´a mencionado anteriormente (o budista), que tamb´em est´a de acordo com o fil´osofo de “A potˆencia do Nada”. ([17])
Ele afirma,
Todos os fenˆomenos [tanto percept´ıveis quanto conceituais] podem ser postulados como existentes apenas em rela¸c˜ao a uma estrutura cognitiva de
referˆencia. (Wallace/[13], p. 97 )
Pronto!, a´ı est´a! . . . Existem “postulados” que, aos meus ouvidos, soam como verdadeira poesia, este enunciado ´e um deles.
No “meu sistema” este enunciado foi elevado `a categoria de axioma. Deste axioma deduzo que o Universo s´o existe− como existe − porque n´os existimos. Por exemplo, veja o leitor como a nossa “estrutura cognitiva de referˆencia (c´erebro)” decodifica uma formiga que “existe l´a fora”:
− Percept´ıvel: Se a estru-tura cognitiva de referˆencia, isto ´e, o hardware a decodificar a “formiga que existe l´a fora” ´e o c´erebro humano, a formiga aparece como na figura.
Vamos trocar de estrutura cognitiva de referˆencia, assim: − Percept´ıvel: Por outro lado,
tomando um microsc´opio como a estru-tura cognitiva de referˆencia, isto ´e, do ponto de vista de um microsc´opio, uma formiga ´e como aparece ao lado.
Conceitual: Suponhamos um observador O fixo em rela¸c˜ao ao solo, e um vag˜ao movendo-se com velocidade v em rela¸c˜ao ao solo. Dentro do vag˜ao h´a uma bola que se move com velocidade u (em rela¸c˜ao ao vag˜ao).
∼≀ • q O · · v u
Tomando u = v = 1 teremos que a velocidade da bola para o observador depende de quem ´e este observador − a estrutura cognitiva de referˆencia. − Se Galileu, ent˜ao 1 + 1 = 2;
Conceitual: Onde muitos enxergam homens santos e respeit´aveis, eu vejo bandidos, demˆonios e lobos.
Mudou a “estrutura cognitiva de referˆencia” (mente) muda a forma de percep¸c˜ao. Se d´a tal como naquelas ilus˜oes de ´otica: em um mesmo quadro podemos perceber imagens distintas. Reitero: onde muitos enxergam uma indument´aria, eu enxergo outra. Algum problema?
Em resumo enfatizamos o seguinte: se uma formiga − ou outro objeto qualquer− que vemos e apalpamos ´e uma constru¸c˜ao da mente, o que dizer de conceitos abstratos? − como ´e o de n´umero.
Na Scientific American Brasil∗ existe um artigo com t´ıtulo “Por que a Matem´atica Funciona”, por Mario Livio. Na s´ıntese lemos:
Parte desse enigma ´e a quest˜ao de saber se ela [a matem´atica] ´e uma inven¸c˜ao (uma cria¸c˜ao da mente humana) ou uma descoberta (algo que existe independentemente de n´os). O autor sugere ambos.
Por tudo o que aqui foi exposto, somos for¸cados a discordar do autor do artigo. Ficamos apenas com a primeira op¸c˜ao: A matem´atica ´e uma cria¸c˜ao da mente humana. Em colabora¸c˜ao com a Consciˆencia do v´acuo, acrescento.
´
E uma cria¸c˜ao da mente humana tanto quanto a cria¸c˜ao de uma formiga “que existe l´a fora”− Ou mesmo do Universo “que existe l´a fora”.
A vis˜ao dos microsc´opios
Fica mais f´acil exemplificarmos como a “realidade” resume-se a uma mera quest˜ao de zoom se apelarmos para a vis˜ao de um microsc´opio. Ve-jamos, atrav´es de uns poucos exemplos, como a nossa realidade se modifica quando vista sob as lentes (“vis˜ao”) de um microsc´opio:
Formiga
Piolho
Ponta da l´ıngua de uma borboleta
∗ ∗ ∗
Os construtivistas em filosofia da matem´atica s˜ao anti-realistas quer em ontologia, quer em epistemologia, quer em ambos. Eles n˜ao acreditam que os objetos matem´aticos existam “em si”, independentemente de qual-quer constru¸c˜ao, ou que os enunciados matem´aticos sejam determinada-mente verdadeiros ou falsos independentedeterminada-mente de qualquer verifica¸c˜ao efe-tiva. Em poucas palavras, para o construtivista a existˆencia ou a verdade depende da atividade matem´atica. N˜ao se descobrem entidades ou verdades
matem´aticas, se as criam. ([10], p. 147)
Observe que esta postura dos construtivistas se harmoniza com o
“axio-ma de Wallace”: (p. 36)
Todos os fenˆomenos [tanto percept´ıveis quanto conceituais] podem ser postulados como existentes apenas em rela¸c˜ao a uma estrutura cognitiva de referˆencia.
Com o prop´osito de contribuir ainda mais com o entendimento do para-doxal binˆomio Existˆencia-N˜ao Existˆencia ´e que a seguir transcreveremos − comentaremos e ilustraremos− um pequeno trecho de um di´alogo ocorrido entre dois eminentes pensadores.
Di´alogo entre Einstein e Tagore
Na tarde de 14 de julho de 1930, o cientista Albert Einstein recebia em sua residˆencia, em Caputh, Alemanha− durante a Segunda Guerra Mundial − Rabindranath Tagore∗, para um di´alogo informal o qual ficou registrado nos apontamentos de Tagore que, posteriormente, publicou-o com o t´ıtulo “A Natureza da Realidade”.
Aqui vamos apenas comentar um pequeno trecho, o leitor interessado no di´alogo completo pode baix´a-lo na internet. Iniciamos o di´alogo com uma pergunta de Einstein. Apenas para situar: Einstein acredita que a verdade e a beleza s˜ao independentes do homem, Tagore, ao contr´ario, diz que n˜ao.
×
Pois bem, Einstein e Tagore discutiam sobre se ´e poss´ıvel que exista uma verdade “l´a fora” independentemente do homem.
Tagore diz que n˜ao, Einstein diz que sim. Num certo momento Einstein tenta refutar a posi¸c˜ao de Tagore com a seguinte alega¸c˜ao:
E: [. . .] Por exemplo, se n˜ao estivesse ningu´em nesta casa, nem por isso deixaria de estar aqui esta mesa.
Apenas a t´ıtulo de refor¸co, Einstein acredita que a mesa que existe “l´a fora” n˜ao depende da presen¸ca dele, isto ´e um fato indiscut´ıvel, e que, por-tanto, Tagore seria um tolo se negasse esta “verdade evidente”.
Coment´ario: Observe, pelo conte´udo da pergunta de Einstein, que ele acredi-ta que a “realidade l´a fora (no caso a mesa)” ´e independente do homem. Tagore, responde:
T: A ciˆencia demonstrou que a mesa, como objeto s´olido, ´e uma aparˆencia, e, por conseguinte, isso que a mente humana percebe como tal mesa n˜ao existiria se n˜ao existisse a mente humana. (Grifo nosso) Tagore responde que a mesa − como ´e observada por Einstein − n˜ao existe independentemente da mente de Einstein.
∗Rabindranath Tagore nasceu a 7 de Maio de 1861 na cidade de Calcut´a, a antiga
capital da ´India. Poeta, dramaturgo, fil´osofo, pintor, m´usico e core´ografo. A edi¸c˜ao
inglesa, traduzida e comentada por ele pr´oprio, de uma obra sua em Bengali, o Gitanjali
(“Can¸c˜ao de oferendas” ou “Oferenda L´ırica”, 1912) fez com que Tagore ganhasse o Prˆemio
Gedankenexperiment
Consta que Einstein ami´ude se servia de “experimentos mentais ” para refutar (tripudiar?) seus oponentes em quest˜oes de f´ısica. Decidi usar a arma de Einstein contra ele pr´oprio, o feiti¸co virando-se contra o feiticeiro. Ap´os refletir um pouco elaborei um “Gedankenexperiment”∗ com o ob-jetivo de evidenciar a ingenuidade de Einstein frente a Tagore.
Como n˜ao tenho a imagem de uma mesa ao microsc´opio irei substitu´ı-la por um pernilongo, sem perda de generalidade. Na ilustra¸c˜ao a seguir,
P e r n i l o n g o P e r n i l o n g o (Gedankenexperiment) (Caixa)
Φ
Φ
Einstein e um pequeno robˆo (com a vis˜ao de um microsc´opio) observam “um mesmo pernilongo” que se encontra dentro de uma caixa. A pergunta que n˜ao quer calar: quando os dois se retiram da presen¸ca da caixa, qual o pernilongo que fica l´a dentro, aquele que Einstein vˆe ou aquele que o robˆo
vˆe? (Nota: na p. 47 damos o significado de Φ)
N˜ao se precipite leitor, reflita antes de responder, se vocˆe por acaso se equivocar, sem problemas, Einstein tamb´em n˜ao entendeu. . . Ufa!
∗A express˜ao alem˜a Gedankenexperiment significa um racioc´ınio l´ogico sobre um
experimento n˜ao realiz´avel na pr´atica mas cujas consequˆencias podem ser exploradas
Este contexto ´e um caso especial do que afirma Wallace:
Na teoria da relatividade ontol´ogica, h´a uma verdade que ´e in-vari´avel atrav´es de todos os sistemas de referˆencia cognitivos: tudo o que apreendemos, seja perceptiva ou conceitualmente, ´e desprovido de natureza inerente pr´opria, ou identidade, independentemente dos meios pelos quais seja conhecido. Objetos percebidos, ou entidades observ´aveis, existem em rela¸c˜ao `as faculdades sensoriais ou sistemas de medi¸c˜ao pelos quais s˜ao de-tectados − n˜ao de modo independente no mundo objetivo.
(Wallace/[13], p. 99/Grifo nosso)
Traduzindo para o nosso contexto, significa que o “pernilongo” que Einstein percebe “´e desprovido de natureza inerente pr´opria”. Ainda: os n´umeros s˜ao desprovidos de natureza inerente pr´opria, s´o existem em rela¸c˜ao `
as faculdades sensoriais pelas quais s˜ao detectados, em particular, os n´umeros azuis e vermelhos s´o existem − at´e o momento − em rela¸c˜ao com a minha mente. O mesmo argumento vale para os n´umeros hipercomplexos, cap´ıtulo 13.
Ainda um ´ultimo corol´ario: O “Mundo das Ideias de Plat˜ao” n˜ao tem natureza inerente pr´opria, independentemente dos meios pelos quais seja conhecido.
Resumindo e sendo ainda mais expl´ıcito, cristalinamente expl´ıcito, n˜ao podemos afirmar a existˆencia de nada sem antes fixarmos um “referencial”. Existir implica existir em rela¸c˜ao a algo, a um referencial, a uma ECR.
∗ ∗ ∗
A Consciˆencia cria a realidade
Ainda uma outra interpreta¸c˜ao prop˜oe que o ato de observa¸c˜ao cria a realidade f´ısica. Em sua forma forte, essa interpreta¸c˜ao assevera que a cons-ciˆencia ´e o estado b´asico fundamental, mais prim´ario que a mat´eria ou ener-gia. Essa posi¸c˜ao concede um papel especial `a observa¸c˜ao, quando a trans-forma no agente ativo que provoca o colapso das possibilidades quˆanticas em realidades. Muitos f´ısicos suspeitam dessa interpreta¸c˜ao porque ela lembra id´eias origin´arias das filosofias orientais e das propostas m´ısticas. Mas um not´avel subconjunto de f´ısicos proeminentes, incluindo os laureados Nobel em F´ısica Eugene Wigner, Brian Josephson, John Wheeler e Jonh von Neu-mann, abra¸cou conceitos que s˜ao, pelo menos, um pouco simp´aticos a este ponto de vista. O f´ısico Amit Goswami, da Universidade de Oregon, ´e um dos que o promovem com muito vigor.
(Dean Radin/Mentes Interligadas, p. 221)
Nota: Voltando `a teoria da relatividade ontol´ogica, referida acima, no meu livro “O Deus Quˆantico”([20]) defendo a tese de que at´e amorte e a vidas˜ao constru¸c˜oes da mente humana (ECR), ou ainda, s˜ao desprovidas de natureza inerente pr´opria.