CO 41: A Trigonometria da Grécia Antiga no Almagesto de Ptolomeu

CO 41: A Trigonometria da Grécia Antiga no Almagesto de Ptolomeu

Márcia Marinelli Pereira Silva Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo marciamarinellips@gmail.com Gilmar Alves de Fonte Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo gilmarplanejamento.alves@gmail.com Rafael de Souza Santos Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo rafael.ss.contato@gmail.com

RESUMO

Este artigo apresenta os resultados da leitura que buscou compreender e interpretar como Ptolomeu (100-170 E.C.) desenvolveu a trigonometria plana, contida no Livro I de sua obra o Almagesto, nos capítulos 10 e 11, necessária para utilizar em seus livros subsequentes sua discussão sobre astronomia. Ptolomeu construiu uma Tabela de Cordas desenvolvendo um método sistemático a fim de obter os comprimentos das cordas tomando posse de uma prova de um método, obtidos com bases em considerações geométricas. Primeiro, apresentaremos o contexto histórico a fim de entender o que levou o autor a escrevê-la e a influência gerada por ela. A seguir, analisamos os capítulos 10 e 11 procurando reconstruir a tabela mostrando os principais passos e teoremas pertinentes, e também fazer um paralelo com os conceitos trigonométricos atuais. Ptolomeu estruturou esses capítulos de forma que apresentassem as proposições necessárias, baseadas, principalmente, em Euclides (século IV a.E.C.), para a construção de uma tabela de cordas que seria usada para cálculos de posições planetárias. No capítulo 10, ele mostrou, nessa ordem, como calcular as cordas de 36 e 72 e a corda do suplemento a partir desses resultados, provou o teorema que leva seu nome para que pudesse calcular a corda da diferença, a corda do arco metade e a corda da soma e, enunciou o lema sobre as razões entre arcos e cordas para determinar a corda de 1°. Desse modo, ele foi capaz de construir a Tabela de Cordas, propriamente dita, no capítulo 11. Ao realizarmos nosso estudo, adotamos a metodologia de pesquisa bibliográfica. Usamos como principal referência a tradução do Almagesto realizada por Gerald J. Toomer (1984), considerada, segundo Katz (2009), a melhor disponível em língua inglesa. O Almagesto se destaca por ter tido o mérito de dar impulso à noção de que se pode criar um modelo matemático, para estabelecer uma descrição quantitativa de fenômenos naturais. Da pesquisa é possível concluir que muitas das relações estabelecidas por Ptolomeu são usadas até os dias de hoje e que a trigonometria grega teve um papel central para o desenvolvimento das ciências, principalmente da astronomia, durante os séculos seguintes. Palavras-chave: Trigonometria, Almagesto, Ptolomeu.

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Introdução

O presente texto tem como objetivo apresentar os resultados da leitura para compreenção da trigonometria contida nos capítulos 10 e 11 do Livro I, da obra o Almagesto escrita por Ptolomeu (100–170 E.C.) por volta de 150 E.C, que teve como objetivo descrever o funcionamento do sistema solar, supondo que a Terra estivesse em seu centro.

A obra é constítuida por 13 livros. O conteúdo do Livro I, do primeiro ao nono capítulo, possui uma introdução básica do conceito grego do Cosmos. No capítulo 10, encontram-se as proposições necessárias para a construção de uma Tabela de Cordas, partindo de algumas proposições dos Elementos de Euclides (século IV a.E.C.), e o capítulo 11 contém a própria tabela. O objetivo desses dois capítulos foi o de desenvolver a trigonometria necessária para apresentar em seus livros subsequentessuadiscussãosobre astronomia. Dos capítulos 12 ao 16 do Livro I ele escreveu sobre a trigonometria esférica.

Ao realizarmos nosso estudo, adotamos a metodologia de pesquisa bibliográfica. Usamos como principal referência a tradução do Almagesto realizada por Gerald J. Toomer, considerada, segundo Katz (2009), a melhor disponível em língua inglesa.

Ptolomeu e o Almagesto

As origens da trigonometria são incertas. Sabemos que surgiu na Babilônia e no Egito a necessidade de explorar a trigonometria para a resolução de problemas relacionados à astronomia, à cronologia do tempo e à agricultura. Foi, principalmente, o interesse no estudo dos movimentos dos astros que impulsionou a evolução da trigonometria.

Nesse processo os gregos, nas figuras de Hiparco de Nicéia (século II a.E.C.) e Ptolomeu, criaram uma trigonometria plana e uma esférica, desenvolvendo também, um modelo matemático do universo, o qual modificariam muitas vezes entre o tempo de Platão (429–347 a.E.C.) e de Ptolomeu (100–170 E.C.).

Hiparco introduziu a divisão do círculo em 360 partes, provavelmente inspirado nos babilônios, e construiu uma tábua de cordas considerada a primeira tabela trigonométrica da história. Entretanto, a figura mais importante entre os gregos, para esse fim, foi Ptolomeu. Astrônomo e geógráfo trabalhou toda sua vida em Alexandria, onde escreveu seu trabalho sobre astronomia, baseado nos escritos de Hiparco, Mathematiki Syntaxis (Coleção Matemática).

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Séculos depois, os cientistas islãmicos começaram a chamá-lo de Almagesto. Como os Elementos, de Euclides, ele substituiu todos os trabalhos anteriores sobre o assunto.

Após Ptolomeu, encontramos estudos sobre trigonometria e astronomia na Índia, por volta do século III e no Islã, por volta do século VIII. Porém, o Almagesto, como texto de astronomia, foi o trabalho de astronomia mais influente até o século XVI, sendo, segundo Katz (2009), copiado e comentado inúmeras vezes e somente superado por novas ideias, observações e estudos a partir do século XV, através dos trabalhos de Nicolau Copérnico (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601), Johannes Kepler (1571-1630) e Galileu Galilei (1564–1642). Seu grande mérito foi o de dar impulso à noção de que se pode criar um modelo matemático para estabelecer uma descrição quantitativa de fenômenos naturais.

Uma análise para os capítulos 10 e 11

Ptolomeu construiu sua Tabela de Cordas por meio de um método que usou o menor número possível de proposições baseadas na geometria plana. Vamos, com linguagem atual, reconstruir tal tabela mostrando os principais passos e proposições.

Antes de tudo, será necessário apresentar um conceito importante para o entendimento da trigonometria de Ptolomeu, a saber, o conceito da relação da corda ∅ com o ∅. De acordo com as traduções do Almagesto, numa circunferência dada, ele relacionava cada arco ao comprimento de sua respectiva corda, que denominaremos ∅, dividindo a circunferência em 360 partes e seu diâmetro em 120 partes. A escolha se justifica pela facilidade dos cálculos quando é usada a base sexagesimal.

∅ 2= = 2 2 = â = ∅ 120 ∅ = 120 . ∅ 2

Para determinar as cordas de 36º e 72º, Ptolomeu construiu uma circunferência de centro O e por ele baixou a perpendicular OC ao diâmetro AB. Por D, ponto médio de OB, traçou o arco CE determinando DE, igual a DC. Ptolomeu afirmou, a seguir, que EO é o lado de um decágono regular e EC o lado de um pentágono regular.

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3.1 A determinação das Cordas de 36º e 72º.

Utilizando Euclides II 6: BE.EO + OD² = DE² (1) e DC = DE, por construção.

Por Pitágoras, tomando o triãngulo DOC, temos: DE² = DC² = DO² + OC² (2). Igualando (1) e (2), obtemos: BE.EO + DO² = DO² + OC²  BE.EO = OC².

Logo, OC² = OB² (raio da circunferência). Portanto, BE.EO = OC² = OB², em que BE é dividido na média e extrema razão: = ⇔ =

Então OB e EO são meio e extremo de BE (ou O divide BE em extremo e meio). Em seguida, por Euclides III 9: o lado do hexágono e o lado do decágono, quando inscritos em um mesmo círculo são extremo e meio de um segmento. Como o raio OB representa o lado do hexágono, então EO representa o lado do decágono. Logo, por Euclides III 10, EC é o lado do pentágono. Portanto, CO² + OE² = EC² ou (crd 72)² = (crd 36)² + (crd 60)².

Como o diâmetro foi dividido em 120 partes, é possível encontrar os valores do lado do decágono e do lado do pentágono: OE = 30 e OE² = 900 e OC = 60 e OC² = 3600.

DE² = DC² = 4500  ≈ 67; 4, 55

Portanto, o lado do decágono ou a crd 36 = EO = DE – DO ≈ 37; 4,55 ou ainda crd 36 ≈ 37,0820 em base decimal. E conhecendo o lado do decágono podemos calcular o lado do pentágono: EC² = 3600 e EC² = 1375; 4,15

EO² + OC² = EC² EC² = 4975; 4,15 ∴ EC ≈ 70; 32,3

Como o lado do pentágono subtende a corda de 72°, temos que 72 ≈ 70; 32,3 ou 72 ≈ 70,5342 em base decimal.

Similarmente, Ptolomeu também calculava o valor das cordas dos ângulos de 90° e 120° usando um quadrado e um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência. Uma vez que a área do quadrado inscrito é igual a 7200, pois é duas vezes o quadrado do raio da circunferência e este valendo 3600. Analogamente, sendo o quadrado do triângulo inscrito igual a três vezes o quadrado do raio, seu valor é de 10800. Temos então que:

crd 90 ≈ 84; 54,10 ou 84,8528 em base decimal crd 120 ≈ 103; 55,23 ou 103,9230 em base decimal

Usando a relação entre a corda e o seno deduzida anteriormente podemos concluir que as cordas encontradas são equivalentes ao seno de sua metade: crd 72 = 120. sen 36°, crd 36 = 120. sen 18°, crd 90 = 120. sen 45°, e crd 120 = 120. sen 60°.

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A corda do suplemento

Em decorrência dos resultados anteriores, ele observou que o ângulo inscrito que subtende o diâmetro é reto, e assim aplicou o teorema de Pitágoras para calcular os comprimentos das cordas de arcos suplementares, como o de 144°. Ele podia, portanto, calcular a corda do suplemento para qualquer arco cuja corda fosse conhecida. Assim, crd 72, calcular a crd 108, da crd 36, crd144, e assim por diante. Por exemplo:

O teorema de Ptolomeu

“Dado qualquer quadrilátero inscrito em uma circunferência, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos.” (KATZ, 2009, p. 147, tradução nossa).

Então: =  AB.DC = AE.BD (1)

Além disso, os triângulos ABD e EBC são semelhantes, pois: ∠ ~∠ (por construção) e ∠ ~∠ (subentendem o mesmo arco).

Então: =  AD.BC = CE.BD (2)

Somando-se (1) e (2), obtemos: AB.DC+AD.BC = AE.BD + CE.BD. Ou AB.DC + AD.BC = BD(AE+CE), mas AC = AE+CE. Portanto: AB.DC+AD.BC = BD.AC.

A partir desse resultado, Ptolomeu determinou três cordas, como veremos a seguir. Ptolomeu provou que: AC.BD = AB.DC + AD.BC. Após construir

o quadrilátero ABCD, determinou o ponto E, pertencente a AC, de forma que ∠ ~∠ . Nessas condições, os triângulos ABE e DBC são semelhantes, pois ∠ ~ (por construção) e ∠ ~∠ (subentendem o mesmo arco).

( 36) + { (180 − 36)} = ( 90)

144 = 114; 7,37

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Corda da diferença entre dois arcos

Unindo BC, obteve o quadrilátero ABCD. Pelo teorema acima temos: AC.BD = AD. BC + AB. CD, mas AC.BD e AB.CD são conhecidos. Portanto:

AD.BC = AC.BD - AB. CD, ou crd 180 .{crd (α-β)} = crd α. crd (180-β)- crd β. crd (180-α). Em linguagem moderna: 120. sen − 2 . 120 = 120. sen2. 120. sen 180° − 2 − 120. sen2. 120. sen 180° − 2 sen(

2−2) = sen2. sen 90° −2 − sen2. sen 90° −2

Tomando = e = , segue: sen( − ) = sen . sen(90° − ) − sen . sen(90° − ) Como cos = sen(90° − ) e cos = sen(90° − ), o resultado acima torna-se:

sen( − ) = sen . cos − sen . cos .

Segundo Ptolomeu, podemos calcular outras cordas a partir desse resultado como: crd 12 = crd (72 - 60) = 12;32,36.

Corda do arco metade

Então, por construção, os triângulos ABD e AED são congruentes, por LAL, e o triângulo DEC é isósceles, de altura DF. Daí, EF = FC ou FC = . Por semelhança, temos: =  DC² = AC.FC.

Logo, (crd DC)² = AC. ( ) = ( 180). {( 180) − (180 − )}. A partir de um semicírculo construído sobre o diâmetro

AD, traçou, por A, duas cordas AB, AC, de comprimentos dados, sendo AC (crd α) maior que AB (crd β). Unindo BD e CD, obteve as cordas de arcos suplementares (para os arcos das cordas dadas AB e AC).

A fim de obter as cordas de ângulos ainda menores, Ptolomeu considerou o problema de encontrar a corda do arco que é a metade de uma corda dada. Ele construiu um semicírculo de diâmetro AC, e traçou a corda BC, dada. Sobre o arco BC determinou o ponto D, em que BD = DC. Traçou o segmento DF perpendicular a AC, uniu AB, AD, BD, DC e, traçando o arco BE a partir de A, determinou E tal que AE = AB.

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Se crd DC = crd e crd BC = crd (2 ), temos:

(crd )² = ( 180). {( 180) − (180 − crd (2 ))}. Em linguagem moderna, temos:

(120. sen )² = 120. (120 − 120. cos ) ou (sen )² = (1 − cos )

Por sucessivas aplicações da fórmula, Ptolomeu obteve a crd 6, crd 3 e, finalmente, crd 1½ = 1;34,15 e crd ¾ = 0; 47,8. Mas ele queria construir uma tabela cujas medidas tivessem um intervalo de meio e, então, seriam necessárias mais duas proposições para obter a fórmula da adição de arcos e o valor da crd 1.

Corda da soma

Para encontrar a fórmula de adição, construiu uma circunferência considerando os arcos AB, BC e suas respectivas cordas AB (crd α) e BC (crd β). O arco AB, por construção, é igual ao arco DE e, portanto, a corda AB é igual à corda DE. As cordas CE e BD são as cordas de arcos suplementares para as cordas AB e BC, e AC é a corda do arco soma.

(crd (180 -(α+β))).crd 180= crd (180-α). crd (180-β) - (crd β). (crd α). Em linguagem moderna,:

(120. sen ° ). 120. sen ° = 120. sen ° ( ) . 120 + 120. sen . 120. sen sen(90° −( )) = sen 90° − .sen(90° − ) − sen . sen

Se = e = , segue: sen(90° −( + )) = sen(90° − ).sen(90° − ) − sen . sen . Como cos = sen(90° − ), cos = sen(90° − ), e cos( + ∅) = sen(90° −( + )), o resultado acima torna-se:

cos ( + ∅) = cos cos ∅ − sen sen ∅

E, então, Ptolomeu estava apto a calcular os comprimentos das cordas para ângulos entre 0° e 180° com incremento de 1 °, como, por exemplo,

21 = (18 + 3) = 21; 52,6 Aplicando-se o teorema de Ptolomeu ao quadrilátero BCDE, temos que: BD.CE = BC.DE + BE.CD, mas BD.CE, BC.DE são conhecidos e BE é o diâmetro. Assim, CD é a corda do arco da soma, e, desse modo:

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22 = 21 + 1 = 23; 24,40, e assim por diante.

Lema sobre as razões dos arcos e das cordas

Para completar sua tabela de cordas, além da utilização da soma e da diferença, restou a Ptolomeu determinar as cordas entre os intervalos de 1 . Mas, segundo ele, dada a corda de um arco, digamos, de (1 °), a corda de um terço deste arco não podia ser encontrada por métodos geométricos. Deste modo, obteve a corda de 1 a partir de (1 ) e ( ).

Segue abaixo o lema por ele utilizado, baseado em um método de interpolação de Aristarco de Samos (310–230 a.E.C.). Apesar de não permitir, em geral, calcular tamanho de cordas, no caso de pequenas cordas, determina seu comprimento com um erro muito pequeno.

“Afirmo que se duas cordas desiguais são dadas, então a razão entre a maior e a menor é menor que a razão entre o maior arco e o arco menor,” (FOSSA, 2009, p. 146) ou:

<

.

Tomando duas cordas AB, BC tal que AB = β e BC = α, por hipótese temos que α > β. Ao traçarmos a bissetriz do ângulo B, que intercepta AC em E e o círculo em D, temos que AD = DC, pelo ângulo central.

Aplicando Euclides VI 3 ao triângulo ABC temos que: = . Como AB < BC, por hipótese, temos que AE < EC. Traçando por D uma perpendicular sobre AC, com AD = DC.

Assim: Á â

Á â

<

Á

Á

Logo, F é ponto médio de AC. Observe então que AD > ED > FD. Ao traçarmos um círculo de raio ED, este interceptará AD em G, e sendo H o prolongamento de DF até o circulo. Para os setores GDE e EDH, temos que: á ∆ á ∆

<

<

.

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Como os triângulos EFD e AED são semelhantes e as áreas dos setores de um círculo têm a mesma razão que os ângulos centrais correspondentes, a desigualdade (1) fica

<

∠

.

Somando-se 1 a ambos os lados, vem que: ( )

<

∠ .

E como EF + EA = AC e ∠EDH + ∠EDG = ∠ADC, obtemos:

<

∠ (2).

Usando o fato de que um ângulo em um círculo é metade do arco que ele subentende, podemos reescrever (2) da seguinte forma: < ∝< .

Tomando α = (1 ) e β = 1, temos:

< (1 ) = . Logo: crd 1 > crd(1 ) = .1;34,15 = 1;2,50.

E pelo teorema do arco metade temos: crd = 0;31, 25.

A tabela de cordas

Após encontrar o valor de crd 1 e crd ½, Ptolomeu construiu uma tabela com todas as cordas de ½ em ½ parte de circunferência (equivalente ao ângulo) de 0 a 180. Se convertermos em seno, é equivalente a uma tabela de ½° em ½° de 0° até 90°.

Em sua tabela, existe uma coluna com 1/30 da diferença entre o valor da corda e de sua anterior, isto é, a corda do arco 30’ menor que a corda em questão. Assim, se quisermos achar uma corda 25’ maior que a crd 2½ , basta somarmos 25 vezes o valor encontrado nesta coluna, ou subtrair 5 vezes o valor da coluna da crd 3.

É importante mencionar alguns valores encontrados na tabela. Sendo 1 = 1; 2,50, o comprimento da circunferência fica como 360 = 360(1; 2,50), e sendo o diâmetro 120, podemos calcular o valor de = = ʹ ʹ = 3(1; 2, 50). Escrito em base decimal é igual a = 3,14166 …

Sendo √3 = 2. 60° e 120 = 2(103; 55,23), usando a relação entre seno e corda, temos um valor correto até seis casas decimais: √3 = (103; 55,23) = 1,7320509.

De modo geral, as cordas obtidas na tabela de Ptolomeu estão corretas até cinco casas decimais.

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Resultados da pesquisa

Esse texto apresentou os resultados obtidos em nossa leitura sobre os capítulos 10 – Cálculo da tabela de cordas e 11 – Tabela de cordas, do Livro I do Almagesto de Ptolomeu. Nosso estudo procurou compreender o conteúdo contido nestes capítulos, comparar seus resultados com a trigonometria plana atual, e constatar a importância desta obra no desenvolvimento da matemática.

Ptolomeu estruturou esses capítulos de forma que apresentassem as proposições necessárias, baseadas principalmente em Euclides, para a construção de uma tabela de cordas que seria usada para cálculos de posições planetárias. Isto é, utilizando geometria plana, obteve sua tabela trigonométrica. No capítulo 10, mostrou como calcular as cordas de 36 e 72, e a corda do suplemento a partir desses resultados, provou o teorema que leva seu nome para que pudesse calcular a corda da diferença, a corda do arco metade, e a corda da soma e, enunciou o lema sobre as razões entre arcos e cordas para determinar a corda de 1°. Com isso, construiu a Tabela de Cordas no capítulo 11.

Como dito anteriormente, o Almagesto teve o mérito de dar impulso à noção de que se pode criar um modelo matemático, para estabelecer uma descrição quantitativa de fenômenos naturais. Podemos concluir que muitas das relações que Ptolomeu estabeleceu são usadas na atualidade, como a relação entre uma corda e o arco que a compreende. A estrutura do desenvolvimento matemático dessa obra muito se assemelha à estrutura formal dos livros atuais para o ensino superior de matemática.

A evolução dos conceitos e ideias da astronomia, embora, tenham tornado a obra ultrapassada em sua aplicação, não a tornou em seu modelo matemático, que foi usado por estudiosos como Copérnico, Kepler, Galileu, entre outros, mostrando o valor significativo da trigonometria desenvolvida na Grécia até o século II.

Referências

AABOE, A. Episódios da história antiga da matemática. Tradução João Bosco Pitombeira. 3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2013.

FOSSA, J. A. et al. Matemática e medida: três momentos históricos. 1. ed. São Paulo: Editora Livraria da Física/SBHMat, 2009.

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HEATH, T. L. A history of Greek mathematics 2 ed. New York: Dover Publications, Inc, 1981. v.2

HEATH, T. L. Euclid: The thirteen books of the elements. 2. ed. New York: Dover Publications, Inc, 1956. 3 v.

KATZ, V. J. A history of mathematics an introduction. 3. ed. Boston: Pearson Education, 2009. NEUGEBAUER, O. Studies in the history of mathematics and physical sciences: A history of ancient mathematical astronomy. 1. ed. New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 1975. v.1.

PTOLEMY, C. Ptolemy’s Almagest. Tradução: Gerald J. Toomer. 1. ed. London: Gerald Duckworth & Co. Ltd., 1984.

RONAN, C. A. História ilustrada da ciência. Tradução: Jorge Enéias Fortes. São Paulo: Círculo do Livro SA, 1983. 4 v.