Quando pensamos em um conjunto temos a ideia intuitiva de um grupo de pessoas, de animais, uma certa quantidade de letras, de números, ou uma coleção de objetos. Os conjuntos, de um modo geral, são designados por letras maiúsculas e seus elementos, se forem letras, serão minúsculas. Mas, na Matemática, existem além desses conjuntos, aqueles com infinitos elementos, com um só elemento (unitário) ou sem elementos (vazio).
Representação
Os conjuntos podem ser representados, principalmente, de três formas:
1- pela descrição de seus elementos
Neste caso colocamos os elementos entre chaves, separados por vírgulas. Ex: A = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado}
Obs: os elementos aparecem na descrição do conjunto.
2- por uma propriedade característica de seus elementos
Também entre chaves, geralmente começando pela expressão “x | x” (lê-se: x “tal que” x) seguida da propriedade.
Ex: A = {x | x é um dia da semana}
3- por um diagrama
Dentro de uma figura geométrica (diagrama de Venn), os elementos são dispostos sem ordem definida.
Número de Elementos de um Conjunto
A = {∆, ⌂, □, ◊, ○,▼,◄} → n(A) = 7 B = {a, b, c, ... , y, z} → n(B) = 26
C = {1, 2, 3, 4, 5, ... } → n(C) não definido, pois C é infinito
D = {março} → n(D) = 1 (unitário)
Relação de Pertinência
Relação entre elemento e conjunto, denotada pelo símbolo (pertence a). Assim, podemos dizer que segunda A, terça A, quarta A, etc.
Caso contrário, escrevemos janeiro
A.Relação de Inclusão
Relação entre dois conjuntos, denotada pelos símbolos (contém) ou (está contido). Ex: Consideremos os conjuntos:
A = {x | x é um dia da semana}, B = {segunda, terça, sábado} e C = {domingo, terça, quarta}.
Note que todo elemento de B é também elemento de A. Da mesma forma, todo elemento de C é também elemento de A. Neste caso, dizemos que B e C são subconjuntos de A e isto é indicado por:
A B (A contém B) ou B c A (B está contido em A). A C (A contém C) ou C A (C está contido em A). Note também que: C
B (C não está contido em B).Obs: - o número de subconjuntos de um conjunto A é dado por
2
n(A).- o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto (Ø A, Ø B e Ø C). - um conjunto é subconjunto dele mesmo (A A, B B, C C e Ø Ø).
- o conjunto dos subconjuntos de A é chamado conjunto das partes de A e é representado por P(A)
Igualdade
Dois conjuntos são iguais quando têm os mesmos elementos.
Ex: Sejam A = conjunto de letras da palavra POSTA, B = conjunto de letras da palavra PASTO e C = conjunto de letras da palavra SAPATO.
Teremos: A = { p, o, s, t, a }, B = { p, a, s, t, o } e C = { s, a, p, a, t, o } → podemos dizer que A = B e que n(A) = n(B) = 5
Operações com conjuntos: Dados dois conjuntos A e B temos que:
Operações Em diagrama
União (A U B)
É o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
Interseção (A ∩ B)
É o conjunto formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos A e B ao mesmo tempo.
Diferença (A – B)
É o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, mas não ao conjunto B
(pertencem apenas ao conjunto A).
Obs:
- a diferença A – B, quando o segundo conjunto está contido no primeiro, é chamada de complementar de B em relação a A e será representada por
C
BA .
Exercícios
1- (CONSULPLAN – 2015) Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}. O número de elementos de é:
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 5
2- (PRÓ-MUNICÍPIO – 2019) Se A= {1; 7; 10; 11; 15}, B= {1; 10; 12; 13}, C= {1; 2; 7; 12; 15}, o valor de: (A ∩ B) U (C ∩ A) é:
(A) {1; 10} (B) {1; 7; 10} (C) {1; 7; 10; 11} (D) {1; 7; 10; 15}
3- (PRÓ-MUNICÍPIO – 2019) Se A = {0, 2, 4, 6, 8}; B = {0, 1, 2, 3, 4}; C = {3, 5, 6, 7}, o resultado de: (A – B) U (C – A) é:
4- (PRÓ-MUNICÍPIO – 2019) Seja A = {0, 1, 2, 5} e B = {0, 1, 5}. Pode-se afirmar que:
(A) B – A = {2} (B) B A (C) (A ∩ B) U A = B (D) 5 (A U B)
5- (PRÓ-MUNICÍPIO – 2019) Seja X = { 5, {8}, {10,11} }. Analise as afirmações. I. Ø X;
II. {10,11} X; III. 5 X; IV. {8} X.
Logo as afirmações corretas são:
(A) I e II, somente (B) II, III e IV, somente (C) I, II e III, somente (D) I, III e IV, somente
Para responder às questões 6 e 7, considere a imagem abaixo, que representa o diagrama em que S delimita a região representada pelos funcionários públicos, C delimita a região dos indivíduos que são carpinteiros e P, a região dos indivíduos que são pedreiros.
6- (FUNDATEC – 2019) A alternativa que descreve uma sentença verdadeira para Renato está em: (A) Renato não é carpinteiro e não é pedreiro.
(B) Renato é carpinteiro e pedreiro. (C) Renato é carpinteiro e não é pedreiro. (D) Renato não é carpinteiro e é pedreiro. (E) Renato é carpinteiro ou pedreiro.
7- (FUNDATEC – 2019) A alternativa que descreve uma sentença verdadeira para o diagrama é: (A) João é carpinteiro e não é pedreiro.
(D) Pedro é carpinteiro e pedreiro. (E) Artur é carpinteiro ou pedreiro.
8- (IBFC – 2019) Considere o diagrama de Venn abaixo. Ele representa três conjuntos: A, B e C.
Se um objeto tem o atributo A, então pertence ao conjunto A, e assim por diante com os demais. Analise as afirmativas abaixo, dê valores
Verdadeiro (V) ou Falso (F).
( ) Dessa representação, o conjunto A é necessariamente menor, ou seja tem menos elementos, que B e C ( ) É possível que um objeto disponha dos três atributos A, B e C.
( ) O objeto pode ter apenas o atributo A.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de cima para baixo.
(A) F, V, F (B) F, F, V (C) V, V, V (D) F, F, F
9- (FUNDATEC – 2019) Em um processo seletivo para uma determinada empresa há 25 candidatos para o cargo de Fiscal, 28 candidatos para o cargo de Vigilante e 45 para outros cargos. Supondo que 13 candidatos realizaram o processo seletivo para ambos, Fiscal e Vigilante, o número total de candidatos que participaram do processo seletivo corresponde a:
(A) 53 (B) 66 (C) 85 (D) 98 (E) 100
10- (FUNDATEC – 2019) Em uma pesquisa realizada com 300 pessoas em Gramado, constatou-se que 100 gostam do chocolate da marca X, 150 gostam do chocolate da marca Y e 40 gostam de ambas as marcas (X e Y). O número de pessoas consultadas que não gostam nem do chocolate da marca X nem do chocolate da marca Y é:
(A) 40 (B) 60 (C) 90 (D) 110 (E) 300
11- (IPEFAE – 2019) Analisando o questionário socioeconômico dos estudantes da faculdade, o administrador observou o resultado da declaração de bens eletrônicos abaixo:
Sabendo que a faculdade possui 621 estudantes, foi possível concluir que quantos estudantes possuíam televisor e computador?
(A) 244 (B) 318 (C) 455 (D) 773
12- (PRÓ-MUNICÍPIO – 2019) Um curso de idiomas estava reestruturando a iluminação de suas salas de aulas. Do total de 60 salas, as lâmpadas foram divididas em duas categorias, as lâmpadas de luz Leds e as lâmpadas fluorescentes. Do total das salas foi contabilizado que:
I. 32 salas possuem lâmpadas Leds;
II. 35 salas possuem lâmpadas Fluorescentes; III. 6 salas não possuem lâmpadas.
Quantas salas desse curso possuem os dois tipos de lâmpadas?
(A) 11 (B) 13 (C) 15 (D) 18
13- (IBFC – 2019) Em um grupo de 50 pessoas, 20 gostam apenas de Lasanha e 5 gostam de lasanha e feijoada. Se 5 pessoas do grupo não gostam de nenhuma dessas comidas, assinale a alternativa que indica o número de pessoas que gosta de feijoada.
(A) 25 (B) 35 (C) 15 (D) 30
14- (IBFC – 2019) Em uma pesquisa com 1.000 pessoas foi perguntado se a pessoa rejeita o candidato A e se rejeita o candidato B. A pessoa pode responder “Sim” para um dos dois, para os dois ou para nenhum. Verificou-se: 100 responderam sim para ambos; 300 para o candidato B; 200 para nenhum. Assinale a alternativa que indica o número de pessoas que rejeita o candidato A.
(A) 100 (B) 300 (C) 500 (D) 600
15- (PRÓ-MUNICÍPIO – 2019) Em uma entrevista de uma agência de viagens sobre destinos 20 pessoas pagariam para ir aos lugares X ou Y. Sabe-se que 8 não pagariam para ir ao destino Y e 6 não pagariam ao destino X. Quantas pessoas pagariam para ir aos destinos X e Y?
(A) 4 pessoas (B) 6 pessoas (C) 8 pessoas (D) 10 pessoas
16- (AOCP – 2020) Duas peças teatrais foram apresentadas em um teatro, em dois horários distintos. A primeira peça começou às 19h, com duração de 1 hora e a segunda começou às 20h 30 min, com a mesma duração da peça anterior. 260 pessoas compareceram ao teatro durante a apresentação dessas duas peças, sendo que, desse total, 180 pessoas assistiram à primeira peça teatral e 60 pessoas assistiram às duas peças teatrais. Dessa forma, a quantidade de pessoas que assistiu à segunda peça teatral é igual a:
17- (CONSULPAM – 2019) Uma pesquisa foi feita com todos os habitantes de uma cidade para verificar as doenças que mais contaminou a população naquele ano. O resultado foi divulgado na tabela abaixo.
Observando a tabela do resultado da pesquisa, logo o número total de habitantes dessa cidade é:
(A) 3.650 (B) 2.150 (C) 1.150
(D) 1.500
18- (FUNDEP – 2020) Em um clube recreativo de uma cidade, 80 frequentadores assíduos fundaram um grupo com nome de “Quarentões”. No Quarentões, algumas pessoas praticam pelo menos uma das modalidades de esportes oferecidas pelo clube: natação, tênis ou peteca. Sobre os Quarentões, sabe-se o seguinte:
• 40 pessoas praticam peteca; • 30 pessoas praticam tênis; • 40 pessoas praticam natação;
• 18 pessoas praticam natação e peteca; • 16 pessoas praticam natação e tênis; • 15 pessoas praticam peteca e tênis;
• 10 pessoas praticam as três modalidades: peteca, tênis e natação.
Entre todas as pessoas que fazem parte do grupo Quarentões, o percentual daquelas que praticam exatamente duas das três modalidades é igual a:
(A) 23,75% (B) 61,25% (C) 87,5% (D) 52,5%
OUTROS TIPOS
19- (FGV - 2010) Sofia foi passar alguns dias de férias na casa de sua avó. A avó de Sofia, quando sai de casa de manhã, não sai de tarde e quando sai de tarde não saiu de manhã. Durante os dias que ficou na casa de sua avó, Sofia reparou que:
I- sua avó saiu de casa 18 vezes.
II- sua avó, em 16 manhãs, não saiu de casa. III- sua avó, em 12 tardes, não saiu de casa.
O número de dias que Sofia passou na casa de sua avó foi:
(A) 21 (B) 23 (C) 25 (D) 27 (E) 29
20- (FGV – 2018) Em uma palestra estiveram presentes 60 pessoas. Dentre elas, 37 eram homens, 42 eram advogados(as) e, entre as mulheres, 8 não eram advogadas. Quantos homens presentes não eram advogados? (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10
21- (IF – 2019) Um shopping realizou uma pesquisa sobre a preferência do público quanto à premiação para quem realizar compras de final de ano nas lojas parceiras. Nessa pesquisa, foram entrevistadas 250 pessoas, entre homens e mulheres, escolhidas aleatoriamente. Desse grupo, 100 eram mulheres e dessas, 40 não preferem carro como premiação. Se o total de pessoas pesquisadas que têm preferência por carro foi de 170 pessoas, o número de homens que não têm preferência por carro como premiação de final de ano é igual a: (A) 150 (B) 110 (C) 60 (D) 40 (E) 20
22- (FGV – 2019) Em uma classe de 20 estudantes, 12 são meninas. Além disso, dos 20 estudantes, 15 gostam de Matemática. É correto concluir que:
(A) nenhuma menina gosta de Matemática. (B) todas as meninas gostam de Matemática. (C) no máximo 7 meninas gostam de Matemática. (D) no mínimo 7 meninas gostam de Matemática. (E) exatamente 7 meninas gostam de Matemática
GABARITO
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