RELAXAÇÃO LAGRANGEANA COM MÉTODO DE SUBGRADIENTE
APLICADA NO PROJETO DE UMA REDE DE TELEFONIA MÓVEL
Luiz Otavio Ribeiro Afonso Ferreira Faculdade Integrada do Ceará
lotavior@yahoo.com.br Adriana Aparecida Rigolon
Universidade de Fortaleza arigolon@ubbi.com.br Plácido Rogério Pinheiro
Universidade de Fortaleza placido@unifor.br Maikol Magalhães Rodrigues
Universidade de Fortaleza maikol@unifor.br Elder Magalhães Macambira Universidade Federal da Paraíba
Departamento de Estatística elder@de.ufpb.br
Resumo
Este trabalho apresenta uma relaxação Lagrangeana para o Problema de Atribuição Generalizada com Restrições de Diversidade e Capacidade (PAG-DC). Este problema surge durante o projeto de uma rede de telefonia celular e consiste em encontrar uma atribuição de estações rádio base a hubs, a um custo mínimo, tal que as demandas de cada estação e a capacidade de cada hub sejam atendidas. O PAG-DC é conhecido ser NP-difícil. Alguns experimentos computacionais foram realizados com instâncias reais e de grande porte usando a relaxação Lagrangeana associada ao método do subgradiente. Os resultados computacionais indicam que o algoritmo proposto é capaz de encontrar bons limitantes inferiores, e mostrou-se eficiente na resolução de instâncias de grande porte em um tempo computacional razoável.
Palavras-chaves: problema de atribuição, redes de telefonia celular, relaxação Lagrangeana. Abstract
This paper shows a Lagrangean relaxation for the Generalized Assignment Problem with Diversity and Capacity Constraints (PAG-DC). This problem arising in network design of cellular networks. The PAG-DC consists of assigning base stations to hubs which minimizes a certain cost so that the diversity requirement is met and the hub´s capacity is not exceeded. This problem is known as an NP-hard problem. Some computational experiments have been run on real instances using the Lagragean relaxation together with the subgradiente method. The results show that proposed algorithm is able to find good lower bounds in a reasonable computational time.
1. Introdução
Uma rede de telefonia celular é basicamente formada por uma ou mais centrais de comutação móveis (do inglês Mobile Switching Center - MSC), e de várias Estações Rádio Base (ERB’s). Essas ERB’s são distribuídas de forma a atender toda área de cobertura no nível mínimo de sinal de rádio freqüência, garantindo uma qualidade de conversação aceitável. Cada estação possui uma determinada capacidade definida em termos de números de chamadas que podem ser feitas simultaneamente. Essa capacidade é determinada pelo número de assinantes e pelo número de canais designados para conduzir a carga de voz e o controle de rádio ao MSC.
À medida que aumenta o número de usuários em uma rede de telefonia celular, aumenta também a necessidade de se adicionar mais estações base à rede para atender à demanda desses novos usuários, e aumenta também o custo de transmissão das estações base ao MSC. Diante dessas dificuldades, as operadoras de telefonia procuram selecionar algumas estações rádio base para desempenhar o papel de concentradores (do inglês hubs).
A solução adotada pelas operadoras, no entanto, acarreta uma preocupação no sentido de garantir a confiabilidade no envio (ou no recebimento) dos dados, ou seja, a questão de sobrevivência da rede no caso de falha em um hub. Para sobrepor este problema, procura-se definir uma topologia da rede em anel ou em árvore. A primeira usa a tecnologia SONET (Synchronous Optical Network) para os anéis enquanto que a segunda topologia emprega a diversidade física.
A topologia em árvore permitirá as estações base adotarem uma diversidade física dos enlaces, e conseqüentemente, garantir que o tráfego de dados seja roteado em partes iguais para todos os hubs, ao qual uma estação base esteja conectada, sem que os dados sejam perdidos por completo em caso de falha de um dos hubs. Neste contexto, surge o Problema de Alocação Generalizado com Restrições de Diversidade e Capacidade, doravante denominado PAG-DC.
O PAG-DC faz uso de uma topologia onde as estações base pertencem a árvores diferentes e o MSC representa o nó raiz de cada árvore. As árvores são constituídas de hubs (MSC e concentradores). A Figura 1.1 apresenta uma rede de telefonia celular com topologia em árvore para o PAG-DC cuja diversidade das estações é igual a 2.
Figura 1.1 - Rede de telefonia celular com topologia em árvore para o PAG-DC com diversidade igual a 2.
O Problema de Alocação Generalizado com Restrições de Diversidade e Capacidade consiste em encontrar uma atribuição de estações rádio base a hubs, a um custo mínimo, tal que a demanda de cada estação base seja atendida e a capacidade de cada hub seja respeitada. Em Kubat et al [9] é provado que o PAG-DC é um problema NP-difícil.
O objetivo deste trabalho é propor e solucionar um modelo de programação linear inteira mista para o planejamento de uma rede telefonia celular localizada na cidade de Fortaleza-CE, considerando
MSC
ERB’s Hubs
a diversidade igual a 1 para as estações rádio base. O problema resultante é um caso particular do PAG-DC, denominado PAG-DC*, e que continua sendo um problema NP-difícil.
Diversas abordagens vêm sendo propostas para o PAG-DC e suas variantes. Em Kubat et al [9], os autores apresentam várias heurísticas gulosas e sugerem a aplicação da técnica de relaxação Lagrangeana. Neste trabalho, os autores encontraram soluções de boa qualidade para o PAG-DC com o emprego de relaxação Lagrangeana. Em Bose et al. [3] e Kubat et al. [8] consideram o PAG-DC como um problema do tipo multi-período. Com isso, a intenção dos autores é modelar e tratar algumas alterações que possam ocorrer na rede ao longo do tempo. Em [3] são propostas novas formulações inteiras e heurísticas gulosas para esse problema enquanto que em [8] os autores propuseram uma heurística Lagrangeana e um algoritmo branch-and-cut.
Neste trabalho, devido o sucesso do uso da técnica de relaxação Lagrangeana na resolução do PAG-DC, e principalmente na resolução de problemas de projeto de redes no contexto de telefonia celular [4, 5, 14], propõe-se para a solução do PAG-DC* o emprego de um algoritmo baseado na técnica de relaxação Lagrangeana associado ao método de subgradiente.
O restante deste trabalho é organizado como a seguir. Na seção 2 é apresentado um modelo para o PAG-DC*. Uma relaxação Lagrangeana associada ao método de subgradiente é apresentada na seção 3 para a solução do PAG-DC*. Na seção 4, alguns experimentos computacionais são realizados com a relaxação Lagrangeana, utilizando LINDO, para casos reais de uma operadora de telefonia celular. Finalmente, na seção 5, são apresentadas conclusões e discutidos trabalhos futuros.
2. Modelo matemático para o PAG-DC*
Para apresentação do modelo matemático para o PAG-DC*, faz-se necessária à descrição do modelo proposto para o PAG-DC. Sejam:
• M = {1, ..., m}, o conjunto de índices dos hubs;
• N = {1, ..., n}, o conjunto de índices das estações rádio base; • MSC, a central de comutação;
• V = {v1, v2, ..., vn}, o conjunto de estações rádio base a serem conectadas;
• H = {h1, h2, ..., hm}, o conjunto de hubs;
• R = H ∪ {MSC}, o conjunto de hubs mais a MSC;
• Q = {T1, ..., Tq}, o conjunto de árvores, tal que, Ti ∩ Tj = ∅. Cada árvore possui como raiz a
MSC;
• Si , a diversidade de cada estação base i ∈ V;
• Di , a demanda fixa em número de feixes DS0 (64 Kbps) de cada estação base i ∈ V;
• K, a capacidade do enlace dos hubs para o MSC em número de feixes DS0 (64 Kbps);
• ajl, uma constante, tal que, ajl = 1 se o enlace l ∈ H faz parte do caminho entre o nó raiz e o
hub j ∈ H e ajl = 0, caso contrário;
• cij, o custo fixo de interconectar uma estação base i ∈ V ao hub j ∈ R;
• bl, o custo para adquirir hubs.
Como a topologia da rede é em árvore, e cada estação base gera uma demanda Di, que será
enviada para um nó desta árvore (hubs), pode-se definir para cada ERB a variável de decisão xij, tal
que, xij = 1 se a estação i ∈ V está conectada ao hub j ∈ R., e xij = 0, caso contrário. Além dessa
variável, pode-se definir uma outra, denotada por yl, que indica a quantidade de hubs a adquirir a fim
de que a demanda que passa pela rede seja atendida. Com isso, o PAG-DC pode ser formulado como sendo o seguinte problema de programação inteira mista, conforme apresentado em [9]:
A função objetivo (1) busca minimizar o custo de interconectar as ERB’s aos hubs e de adquirir mais capacidade, caso seja necessário. As restrições (2) garantem a diversidade definida, ou seja, que se a ligação conectada a um determinado hub (ou diretamente ao nó raiz) falhar nem todo o tráfego será perdido. Os possíveis valores utilizados para a diversidade Si ,de cada estação i, são 1, 2 e
3. As restrições (3) estabelecem a quantidade de capacidade a ser adquirida para cada enlace. As restrições (4) impedem que a célula seja ligada a hubs de uma mesma árvore. As restrições (5) correspondem às restrições de integralidade das variáveis xij, e por último, as restrições (6)
correspondem às restrições de não negatividade das variáveis yl.
Em seguida, realiza-se uma pequena modificação no modelo (M) para que seja possível a modelagem do PAG-DC*. Essa modificação deve-se as exigências da operadora de telefonia celular onde foi desenvolvido o estudo. Nesta empresa, a diversidade física dos enlaces ainda não é considerada. Com isso, temos Si = 1, para cada i ∈ V, e a eliminação da constante ajl do modelo
matemático. Além disso, já que a diversidade não é exigida, podemos eliminar as restrições (4). Assim, o PAG-DC* pode ser modelado como sendo o seguinte problema de programação linear inteira mista:
{ }
. , 0 , , 1 , 0 , , , , 1 H l y R j V, i x H l Ky x D V i x y b x c Min l ij V i j R i ij l R j ij V i j R ij ij l H l l ∈ ∀ ≥ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∀ ≤ ∈ ∀ = +∑∑
∑
∑∑
∑
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ (7) (8) (MS) (1) (2) (3) (4) (5) (6){ }
. , 0 , , 1 , 0 Q, , ... 1, q , i , 1 , , , , H l y R j V, i x V x H l Ky x a S D V i S x y b x c Min l ij Tq j ij V i j R l ij jl i i R j ij i V i j R ij ij l H l l ∈ ∀ ≥ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ = ∈ ∀ ≤ ∈ ∀ ≤ ∈ ∀ = +∑
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ (M)3. Algoritmo de solução
Nesta seção é apresentado um algoritmo para a solução do PAG-DC*. Como dito anteriormente, o PAG-DC* é um problema NP-difícil, portanto encontrar uma solução ótima pode levar a um tempo computacional elevado. Assim, a exigência de obter boas soluções, em um tempo computacional razoável, por parte da operadora nos levou ao emprego de heurísticas.
A avaliação da qualidade de uma solução obtida para um problema de otimização combinatória requer a geração de limitantes inferiores e superiores. O limitante superior representa uma solução viável e pode ser obtida através de uma heurística. Já o limite inferior pode ser obtido relaxando algumas restrições consideradas difíceis do problema (veja [16]).
Uma das técnicas de geração de limitantes inferiores é a relaxação Lagrangeana ([6, 7]). Esta técnica consiste em relaxar restrições difíceis do problema, lançando-as como termos adicionais na função objetivo. A violação destas restrições é penalizada pelo uso de multiplicadores de Lagrange associados a cada uma destas restrições relaxadas. O problema de calcular os multiplicadores de Lagrange que maximizem o problema relaxado é denominado de problema Lagrangeano dual. Para resolver o problema relaxado comumente é empregado o método de subgradiente.
Em seguida, discute-se a obtenção de limitantes inferiores e superiores para o PAG-DC*. Os limitantes inferiores são obtidos com o emprego de uma relaxação Lagrangeana e os limitantes superiores através de uma heurística gulosa. Vale ressaltar que a atualização dos multiplicadores de Lagrange é feita através do método de subgradientes.
3.1 Limitante inferior
No modelo matemático (MS) têm-se dois conjuntos de restrições, (7) e (8), que podem ser considerados como complicantes para a resolução do modelo. No primeiro conjunto, tem-se uma atribuição, ou particionamento, de elementos. Já no segundo tem-se uma restrição do tipo mochila. Assim, devido a essa dificuldade intrínseca das restrições, pode-se adotar a relaxação de cada uma delas.
Seja λi, para todo i ∈ V, o conjunto de multiplicadores associado às restrições (7). A relaxação
Lagrangeana do modelo obtida com a definição de λi, após a reorganização dos termos da função
objetivo, é definida por:
{ }
.
,
0
,
,
1
,
0
,
,
(9)
1
)
(
V i iH
l
y
R
j
V,
i
x
H
l
Ky
x
D
x
y
b
x
c
Min
Z
l ij V i j R l ij i R j ij V i j R l H l l ij ij RL∈
∀
≥
∈
∀
∈
∀
∈
∈
∀
≤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
∑∑
∑
∑
∑∑
∑
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈λ
λ
Assuma agora que αl ≥ 0, para todo l ∈ H, denote o conjunto de multiplicadores associados às
restrições (8). Assim, a relaxação Lagrangeana obtida com esse conjunto de multiplicadores αl é
{ }
.
,
0
,
,
1
,
0
,
,
1
(10)
)
(
H
l
y
R
j
V,
i
x
V
i
x
Ky
x
D
y
b
x
c
Min
Z
l ij R j ij H l i V l R j ij i l V i j R l H l l ij ij RL∈
∀
≥
∈
∀
∈
∀
∈
∈
∀
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
∑
∑ ∑∑
∑∑
∑
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈α
α
Para qualquer conjunto de multiplicadores de Lagrange λi e αl , a relaxação Lagrangeana
fornece uma solução, ZRL(λ) ou ZRL(α), que é sempre menor ou igual à solução do problema original
(veja [7]). Assim, quanto maior for o valor da solução, melhor será o limitante inferior para o PAG-DC*. Como dito anteriormente, o problema de encontrar o conjunto de multiplicadores que maximizem a solução do problema Lagrangeano é denominado de Lagrangeano dual. No caso do PAG-DC* como foram definidos dois problemas Lagrangeanos, temos dois problemas Lagrangeanos duais para serem resolvidos, conforme abaixo:
ZLD(λ) = max {ZRL(λ) | λ é irrestrito}, (11)
ZLD(α) = max {ZRL(α) | α ≥ 0}. (12)
3.2 Método subgradiente
O método subgradiente é o mais utilizado para a resolução do Lagrangeano dual. Em seguida, apresenta-se uma descrição sucinta do funcionamento deste método. Após esta descrição, aplica-se o método do subgradiente para a solução dos problemas (11) e (12).
Dado um conjunto de multiplicadores de Lagrange, o problema relaxado é solucionado, gerando um limitante inferior, e os subgradientes correspondentes à solução relaxada são calculados. Utilizam-se, então, os subgradientes na atualização do conjunto de multiplicadores, visando à obtenção de um novo limitante inferior, de maior valor do que o anterior. O processo é repetido até que os limitantes inferiores e superiores sejam iguais ou até que seja atingido um gap de dualidade.
O multiplicador de Lagrange λ, na (k+1)-ésima iteração, é calculado por:
λik+1 = λik + tk gλik(xk), para todo i ∈ V, (13)
onde tk é um escalar positivo, denominado tamanho do passo, gλ
ik(xk) é o vetor subgradiente de ZRL(λ),
e xk representa o valor ótimo das variáveis x
ij na solução do problema ZRL(λ).
Já o segundo multiplicador de Lagrange α, na (k+1)-ésima iteração, é calculado por: αik+1 = max{0, αik + sk gαik(xk,yk), para todo l ∈ H, (14)
onde sk é um escalar positivo, denominado tamanho do passo, gα
ik(xk, yk) é o vetor subgradiente de
ZRL(α), e (xk,yk) representa o valor ótimo das variáveis xij e yl na solução do problema ZRL(α).
Os vetores dos subgradientes mencionados nas equações (13) e (14) são definidos, respectivamente, como: gλik(xk) =
∑
∑
⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ − 1 xij , para todo i ∈ V, (15)gαik(xk,yk) =
∑ ∑∑
∈ ∈ ∈ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − H l i V j R i ij l Ky x D , para todo l ∈ H. (16)O tamanho do passo, tk, a ser tomado em direção ao subgradiente quando relaxamos a
restrição (7) é:
tk = π[Z
ub – ZRL(λk)] / || gλik || 2 , (17)
onde π é um escalar definido no intervalo 0 < π ≤ 2 e Zub representa o limitante superior conhecido até
o momento. O valor π é utilizado para regular o tamanho do passo, e conseqüentemente, a velocidade de convergência do método de subgradiente.
Já para a restrição (8), o tamanho do passo, sk, é definido por:
sk = π[Z
ub – ZRL(αk)] / || gαik || 2. (18)
Descrito todos os pontos básicos do método subgradiente que utilizaremos, pode-se agora apresentar o algoritmo empregado na resolução do PAG-DC*. Primeiro apresentamos uma versão desse algoritmo utilizando o multiplicador de Lagrange λ, depois fazemos menção das alterações que deverão ser feitas para o caso de onde utilizaremos o multiplicador de Lagrange α . Ambos os algoritmos são baseados na descrição em [2].
Algoritmo 1
1. Faça LI = -∞, LS = ∞, k = 0 e π = 2.
2. Inicialize os multiplicadores de Lagrange λik, para todo i ∈ V.
3. Faça k = k +1.
4. Calcule o limitante inferior ZRL(λ).
5. Se (ZRL(λ) > LI)
6. então LI = ZRL(λ).
7. senão vá para o passo 13. 8. Calcule um limitante superior Zub.
9. Se (Zub < LS) 10. então LS = Zub. 11. Se (LI = LS) ou (LS – LI < 0,00001) 12. então retorne(LI). 13. Calcule o subgradiente || gλik+1 ||. 14. Se || gλik+1 || = 0 15. então PARE.
16. Se LI não é incrementado a 30 iterações 17. então π = π / 2.
18. Calcule o tamanho do passo tk.
19. Atualize os multiplicadores de Lagrange λik+1.
20. Se (π < 0,001) 21. então PARE.
22. senão vá para o passo 3.
O Algoritmo 2 é obtido fazendo-se as devidas trocas para o multiplicador de Lagrange α nos passos 2, 4-7, 13-15, 18 e 19 do Algoritmo 1. Ambos os algoritmos utilizam o valor 1,05xZub na
equações (17) e (18). Essa constante é um valor empírico e foi sugerida por Beasley [2] para a implementação de uma relaxação Lagrangeana. A mesma observação empírica pode ser feita para o valor 30 no passo 16.
3.3. Limitante superior
Nesta seção descreve-se a heurística utilizada para obter o limite superior (Zub) que auxilia no
cálculo do tamanho dos passos descritos em (17) e (18).
Na seção 2 define-se para cada ERB a variável de decisão xij, tal que, xij = 1 se a estação i ∈ V está
conectada ao hub j ∈ R., e xij = 0, caso contrário e yl, indicando a quantidade de hubs a adquirir. Para
obtenção do limite superior supõe-se que xij = 1 para todo i ∈ V e j ∈ R adicionado à divisão da
quantidade total de ERB’s pela menor quantidade de portas de um hub, obtendo, dessa forma, o custo máximo de alocação para a função objetivo (1).
Aplica-se um percentual de correção de até 3 %, conforme sugerido em Maculan [12]. 4. Resultados computacionais
Nesta seção apresentamos alguns resultados computacionais realizados com o modelo e a relaxação Lagrangeana propostos para o PAG-DC*. Os experimentos foram realizados em um computador IBM-PC, com processador Pentium de 1.2 MHZ com 256Mb de memória RAM. Para a resolução do modelo foi utilizado o pacote comercial de otimização LINDO 6.1 [10].
As instâncias utilizadas nos experimentos representam casos reais de uma empresa de telefonia de celular de Fortaleza. A caracterização de cada instância será feita através de três parâmetros: número de estações rádio base, número de concentradores (hubs) e número de comutadores (MSC). O conjunto de instâncias testes é apresentado na Tabela 1.
Instância # ERB´s # hubs # MSC
1 8 1 1 2 15 1 1 3 128 2 1 4 256 3 1 5 128 4 1 6 256 32 1 7 512 8 1 8 1024 8 1
Tabela 1: Caracterização das instâncias utilizadas nos experimentos.
Os resultados obtidos para as instâncias testadas com o pacote de otimização LINDO 6. são apresentados na Tabela 2. A primeira coluna desta tabela indica o número da instância, a segunda coluna o valor da relaxação linear, a terceira coluna o ótimo inteiro, a quarta coluna indica o gap entre o valor z* da solução ótima e o valor z da relaxação linear, ou seja,
Δ = [ (z* - z ) / z*] x 100, (19) Instância Z Z* Δ (%) 1 157.296 164.899 4,610701 2 309.515 329.933 6,188529 3 3.068.745 3.088.612 0,643234 4 4.066.761 4.697.638 13,429660 5 2.039.880 2.357.773 13,482770 6 1.721.789 2.538.364 32,169340 7 6.410.154 7.781.121 17,619150 8 11.522.390 14.511.990 20,600900
É possível observar na Tabela 2 que as instâncias testadas representam problemas reais de difícil solução. Isto pode ser visto através do valor do gap que estão maior do que 0,5%.
A Tabela 3 e 4 mostram, respectivamente, os resultados obtidos pela relaxação Lagrangeana para as instâncias descritas na Tabela 1 através do Algoritmo 1 e 2. O significado das colunas destas tabelas são os seguintes: a primeira coluna indica o número da instância, a segunda coluna o valor obtido na relaxação Lagrangeana, a terceira coluna o ótimo inteiro, a quarta coluna indica o gap entre o valor z* da solução ótima e o valor LI da relaxação Lagrangeana , ou seja,
Θ = [ (z* - LI ) / z*] x 100, (20) Instância LI z* Θ (%) 1 164.620 164.899 0,16919 2 320.006 329.933 3,00879 3 3.080.868 3.088.612 0,25072 4 4.085.648 4.697.638 13,02761 5 2.064.116 2.357.773 12,45485 6 1.890.322 2.538.364 25,52991 7 6.476.449 7.781.121 16,76715 8 11.591.350 14.511.990 20,12570
Tabela 3: Resultados obtidos pela relaxação Lagrangeana através da execução do Algoritmo 1.
Instância LI z* Θ (%) 1 157.296 164.899 4,610701 2 309.515 329.933 6,188529 3 3.080.867 3.088.612 0,250760 4 1.370.629 4.697.638 70,823020 5 Unbounded 2.357.773 - 6 Unbounded 2.538.364 - 7 Unbounded 7.781.121 - 8 Unbounded 14.511.990 -
Tabela 4: Resultados obtidos pela relaxação Lagrangeana através da execução do Algoritmo 2. Analisando os resultados das Tabelas 3 e 4, verifica-se que ambos os algoritmos obtiveram soluções de boa qualidade para o PAG-DC* e o tempo computacional foi inferior a 5 segundos, enquanto que, em Aguiar [1] o tempo, para resolução dessas mesmas instâncias, foi superior a 30 minutos. Ressalta-se que o Algoritmo 1 obteve melhores limitantes inferiores do que os obtidos pelo Algoritmo 2 e pela relaxação linear.
5. Conclusões
Neste trabalho propomos um modelo de programação inteira mista para um problema que surge em uma operadora de telefonia móvel. O problema em questão, PAG-DC*, corresponde a um caso particular do Problema de Atribuição Generalizada com Restrições de Diversidade e Capacidade. O PAG-DC* é um problema NP-difícil. Assim, devido a sua complexidade e o fato de obtermos soluções de boa qualidade em um tempo computacional razoável, foram desenvolvidos e implementados dois algoritmos de relaxação Lagrangeana associado ao método de subgradiente para o PAG-DC*. Esses algoritmos foram obtidos de acordo com a restrição relaxada do modelo.
Os resultados obtidos com o emprego dos algoritmos propostos demonstraram ser eficiente aos nossos propósitos visto que o valor do gap obtido com estes algoritmos foi melhor do que o gap obtido na relaxação linear, e o tempo computacional, para a obtenção de um limitante inferior de boa qualidade, ficaram em segundos.
Uma direção futura para o trabalho seria verificar formas de se obter melhores limitantes inferiores e superiores com o intuito de diminuir ainda mais o gap obtido com o emprego dos algoritmos propostos para a resolução do PAG-DC*. Com relação aos limitantes superiores poderia pensar na utilização de metaheurísticas (vide, [13]). Já com relação à determinação de melhores limitantes inferiores poder-se-iam utilizar a técnica de relaxação Lagrangeana/surrogate (veja, [15]) ou o emprego de planos-de-cortes facias (veja, [11]).
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