Aula 9. Sistemas de Equações Lineares Parte 2

(1)

(2)

Aula 9

(3)

(4)

FATORAÇÃO LU

 Uma fatoração LU de uma dada matriz quadrada é dada por:

onde L é triangular inferior e U é triangular superior. Exemplo:

A = LU

A

=

2

3

8

5 é

ë

ê

ù

û

ú=

LU

=

1

0

4

1 é

ë

ê

ù

û

ú

2

3

0 -

7 é

ë

ê

ù

û

ú

(5)

FATORAÇÃO LU

 Pode ser provado que, para qualquer matriz não-singular

(inversível), as linhas podem ser reordenadas de forma que a matriz resultante A tenha uma fatoração LU, onde:



L



U

Matriz dos multiplicadores m_jk com diagonal principal 1, ..., 1

Matriz do sistema triangular ao final da eliminação de Gauss

(6)

FATORAÇÃO LU

 Podemos, então, determinar x mais facilmente.

 Fazemos y = Ux

 Passo 1: Resolvemos o sistema Ly = b para y.

(7)

Teorema 1

 Se a eliminação de Gauss puder ser realizada no sistema

linear Ax = b sem trocas de linhas, então a matriz A pode ser fatorada no produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U, A = LU, em que:

(8)

Exemplo 1

 Seja o sistema linear:

 Resolva utilizando fatoração LU.





















2

1

4

2

3

2

3

4

3 2 1 3 2 1 3 2 1

x

(9)

Exemplo 1

 A fatoração LU é obtida de:

 





























2

1

4

2

3

2

3

4

33 32 31 23 22 21 13 12 11

a

_jk

A



























33 23 22 13 12 11 32 31 21

0

1

0

1

0

1 u

u

m

(10)

Exemplo 1

 Usando o processo de Eliminação de Gauss com estratégia

de pivoteamento, para triangular A, temos:

 Passo 1: Eliminação de x₁  Pivô = a₁₁ = 4  Multiplicadores: e  Então, faremos: e  

















2

3

4

1

0

2

5

4

1

0

2

3

4

1

A

4

3 m

11 21



a

21

4

1 m

11 31



a

31



E

₂



m

₂₁

E

₁

  



E

₂

(

E

₃

-

m

₃₁

E

₁

)

®

( )

E

₃

(11)

MULTIPLICADORES

Exemplo 1

 Uma vez que os elementos são nulos, podemos

guardar os multiplicadores nestas posições, então:

 

















2

3

4

1

4

1

2

5

4

1

4

3

2

3

4

1

A

 1  1 31 21

e a

a

(12)

Exemplo 1

 Passo 2: Eliminação de x₂  Pivô = a₂₂ = -1/4  Multiplicadores:  Então, fazemos:  

















4

1

4

1

2

5

4

1

4

3

2

3

4

2

A

1

4

1

4

1 m

22 32







a

32



E

₃



m

₃₂

E

₂

  



E

₃

(13)

Exemplo 1

 Os fatores L e U são:

e

1

4

1

0

1

4

3

0

1 

















L

















4

0

2

5

4

1

0

2

3

4 U

(14)

Exemplo 1

  y



















2

4

1

4

3

3 2 1 2 1 1

y

















0

4

5

3 y

(15)

Exemplo 1

















0

5

3 x























0

4

5

2

5

4

1

3

2

3

4

3 3 2 3 2 1

x

(16)

Vantagem da Fatoração LU

 A fatoração LU é eficiente na solução de sistemas de

equações lineares que possuem a mesma matriz dos

coeficientes A, porém vetor dos termos independentes b diferentes.

 Neste caso, a resolução do novo sistema linear será quase

(17)

FATORAÇÃO LU:

Quando trocas de linhas

são necessárias

(18)

Matriz de Permutação

 Quando as trocas de linhas forem necessárias, utilizaremos

uma matriz de permutação.

 Uma n × n, P = [p_ij] é

obtida por meio da reorganização das linhas de I_n, a matriz identidade.

 Isso resulta em uma matriz com exatamente um elemento

não-nulo em cada linha e em cada coluna, e cada elemento

(19)

Exemplo 2

 A matriz:

é uma matriz de permutação 3 × 3.

P

=

1

0

1

0

1

0 é

ë

ê

ù

û

ú

(20)















23 22 21 33 32 31 13 12 11

a

Exemplo 2

 Para qualquer matriz A (3 × 3), multiplicar à esquerda por P

tem o efeito:

E

₂

( )

«

( )

E

₃



























33 32 31 23 22 21 13 12 11

0

1

0

1

0

1 a

a

PA

21

a

31

a

11

a

22

a

₂₃ 32

a

₃₃ 12

a

₁₃

(21)

Exemplo 2

 De maneira análoga, multiplicar A à direita por P troca a

segunda e a terceira colunas de A.









































32 33 31 22 23 21 12 13 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11

0

1

0

1

0

1 a

a

AP

(22)

 Seja o sistema linear Ax = b e sejam os fatores L e U obtidos

pelo processo de Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento. Quando uma troca de linhas for necessária:

 L e U serão fatores da matriz A’ , onde A’ é a matriz A com

as linhas permutadas:

(23)

 Permutar as linhas de A implica permutar as equações de Ax = b.

 Então, as mesmas permutações efetuadas nas linhas de A

devem ser efetuadas sobre o vetor b:

_{b’ =Pb}

A’x=b’

Ax=b

(24)

 Se A’ = LU:

 Resolvemos então: 



(25)

Exemplo 3

 Considere o sistema:

 Resolva utilizando fatoração LU:

























2

3

4

3

2

9

4

3

3 1 3 2 1 3 2 1

x

(26)

Exemplo 3

 Considere o sistema:

 Resolva utilizando fatoração LU:

   

E

₁



E

₃  

















3

0

4

2

1

4

3

0

A

(27)

Exemplo 3

   































0

1

0

1

0

1

0

0 ,

1

4

3

2

1

3

0

4 '

0

P

0

A

 0  0  0

'

P

A



Pivô

(28)

Exemplo 3

Usamos os k multiplicadores, cada um multiplicando a

respectiva linha k.

e fazemos:

E

_j

-

m

_jk

E

_k

(29)















4

13

4

0

4

11

2

0

3

0

4 















4

13

4

3

4

11

2

4

1

3

0

4 Exemplo 3





_E

₂



1 ₄

_E

₁





 

_E

₂ m₃₁ = 3/4 m₂₁ = 1/4















1

4

3

2

1

3

0

4



_E

_

3 _E



_

 

_E

MULTIPLICADORES

(30)

Exemplo 3



 Como |a₂₂ |< |a₃₂|, temos que fazer:

   

E

₂



E

₃  

















4

13

4

3

4

11

2

4

1

3

0

4

1

A

(31)



Exemplo 3

A'

( )1

=

4

0 -

3 3 4

-

4 13 4

1 4

2 11 4

é

ë

ê

ù

û

ú

,

P

1 ( )

₌

0 ₁

0 ₀

1 ₀

0

1

0 é

ë

ê

ù

û

ú

Pivô

(32)















8

35

0

4

13

4

0

3

0

4 















8

35

2

1

4

1

4

13

4

3

0

4 Exemplo 3





_E

₃



1 ₂

_E

₂





 

_E

₃ m₃₂ = -1/2 MULTIPLICADORES















4

11

2

4

1

4

13

4

3

0

4

(33)

Exemplo 3

 Os fatores L e U são:

e

0

1

4

3

0

1 













L













0

4

13

4

3

0

4 U

 

















8

35

2

1

4

1

4

13

4

3

0

4

2

A

(34)

Exemplo 3

 Estes são os fatores da matriz A’ = PA, onde P = P(1):





























3

0

4

2

1

4

3

0

1

0

1

0

0 ' PA

A

















2

1

4

3

0

4 '

A

(35)

Exemplo 3

  y











































3

9

2

3

9

0

1

0

1

0

0 Pb

(36)

Exemplo 3

  y























3

2

1

4

1

9

4

3

2

3 2 1 2 1 1

y











 



4

35

2

21

2 y

(37)

Exemplo 3



















2

1

1 x



















4

35

8

35

2

21

4

13

4

2

3

4

3 3 2 3 1

x

(38)

Referências

 BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise

numérica. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2008. xiii, 721 p. ISBN 8522106010.

 RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da

Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e

computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Makron, c1997. xvi, 406 p. ISBN 8534602042.



CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P.

Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São

Paulo: McGraw-Hill, 2008. 809 p. ISBN

978-85-86804-87-8.