FELIPE PITON DA SILVA APLICAÇÕES DO DEA COM BOOTSTRAP

FELIPE PITON DA SILVA

APLICAÇÕES DO DEA COM BOOTSTRAP

Trabalho de Formatura apresentado

à Escola Politécnica da Universidade

de São Paulo para a obtenção do

Diploma de Engenheiro de Produção

São Paulo

2005

FELIPE PITON DA SILVA

APLICAÇÕES DO DEA COM BOOTSTRAP

Trabalho de Formatura apresentado

à Escola Politécnica da Universidade

de São Paulo para a obtenção do

Diploma de Engenheiro de Produção

Orientadora:

Profª Drª Celma de Oliveira Ribeiro

São Paulo

2005

FICHA CATALOGRÁFICA

da Silva, Felipe Piton

Aplicações do DEA com bootstrap. São Paulo, 2005.

133 p.

Trabalho de Formatura – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.

Departamento de Engenharia de Produção.

1. Data Envelopment Analysis 2. Bootstrap 3. Modelagem Matemática. I.

Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia

de Produção II. t.

“O modo como você enxerga o problema é o problema”.

AGRADECIMENTOS

A meus pais, não só pela educação que me foi dada com também pela

minha formação enquanto Homem. Tenho certeza de que devo a eles muito do

que sou hoje.

Aos meus irmãos, tios, avós, demais familiares e aos meus amigos que,

durante todo meu caminho, me apoiaram, criticaram e colaboraram na definição

dos rumos que segui.

À minha orientadora Profª Celma de Oliveira Ribeiro, pela dedicação e

amizade demonstrada durante a orientação do meu trabalho, e pelo excelente

acompanhamento e envolvimento demonstrados na sua realização.

À minha namorada Juliana por todo o apoio dado durante a realização

deste trabalho e também pelo envolvimento direto que teve na sua elaboração.

À Escola Politécnica (professores, alunos e funcionários) por fazer parte

da minha formação e pela oportunidade de realização da minha graduação em

Engenharia de Produção.

A todos que de alguma forma contribuíram para a realização deste

trabalho e, acima de tudo, a Deus, não só pela minha evolução como também

por toda a minha vida.

RESUMO

Este trabalho consiste na aplicação da metodologia DEA (Data

Envelopment Analysis) utilizada em conjunto com a reamostragem estatística

(bootstrap). Aplicam-se essas metodologias com a finalidade de se realizarem

rankings de hedge funds brasileiros e, posteriormente, essa mesma metodologia

é utilizada na avaliação da eficiência na utilização dos recursos de saúde por

parte dos estados brasileiros.

Em um primeiro momento é apresentado o mercado de hedge funds e

também são apresentados os modelos utilizados como base deste trabalho: o

modelo CCR do DEA e o bootstrap. São apresentados também outros modelos

amplamente utilizados na prática na avaliação de alternativas e de carteiras de

investimento, como o modelo clássico de Markowitz.

Em seguida aplica-se o modelo CCR do DEA na comparação dos hedge

funds e também é inserida incerteza nos estimadores de eficiência obtidos

através do bootstrap. Os resultados dessas comparações são apresentados.

É também contextualizada a aplicação do modelo na avaliação dos

sistemas de saúde dos estados brasileiros. São apresentadas algumas aplicações

do DEA em sistemas de saúde, os órgãos que foram utilizados como fonte de

dados e são apresentados os resultados da utilização do modelo DEA com o

bootstrap.

ABSTRACT

This work consists in an application of the DEA model (Data

Envelopment Analysis) with statistical re-sampling (bootstrap). These

methodologies are applied with the intention to determinate ranking for

Brazilian hedge funds and, in an additional application, this same method is

used to compare the efficiency which Brazilian states use healthy resources.

First of all is presented the hedge funds market and them base models

for this work: de CCR model of DEA and the bootstrap. Other models for

portfolio evaluating commonly used are also presented, like the classic

Markowitz model.

Thee CCR model of DEA is applied in the hedge funds und with the

bootstrap is used to add uncertainty to the efficiency estimators. The results of

this comparison are presented.

Is also introduced the application of the model in the analysis and

envelopment of healthy systems in the Brazilian states, the source of the data

used and the results of the application of the DEA with the bootstrap.

SUMÁRIO

CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO ... 1

1.1 Apresentação ao Problema... 2

CAPÍTULO II – EMBASAMENTO TEÓRICO... 7

2.1 Hedge Funds ... 8

2.1.1 Estratégias de Hedge Funds ... 10

2.2 Data Envelopment Analysis (DEA) ... 15

2.2.1 Apresentação ao modelo ... 15

2.2.2 Algumas limitações do modelo DEA... 18

2.2.3 Diferentes modelos DEA... 19

2.2.4 O modelo CCR do DEA... 21

2.3 Reamostragem (Bootstrap) ... 23

2.3.1 Métodos Estatísticos Computacionais Intensivos ... 23

2.3.2 O bootstrap ... 24

2.4 Modelo de otimização de carteiras de Markowitz (1959)... 27

2.4.1 Carteira formada apenas por Ativos de Risco... 28

2.4.2 Carteiras com Ativos de Risco e 1 Ativo sem Risco... 30

2.5 Introdução aos modelos de equilíbrio e à análise de desempenho.... 33

2.5.1 Carteira de Mercado e a Capital Market Line (CML)... 34

2.5.2 O modelo de Sharpe-Lintner: CAPM... 36

CAPÍTULO III – APLICAÇÃO DO MODELO NA CLASSIFICAÇÃO

DE HEDGE FUNDS... 41

3.1 A amostra de fundos selecionada... 43

3.2 Teste de normalidade dos dados ... 45

3.3 Definição dos insumos e produtos do modelo DEA... 46

3.4 Cálculo dos valores dos insumos e produtos do modelo DEA... 49

3.5 Modelagem dos dados através do DEA... 50

3.6 Cálculo dos Índices de Desempenho através do DEA... 52

3.7 Análise dos dados e inclusão de incerteza através do bootstrap... 54

3.7.1 O processo de reamostragem... 55

CAPÍTULO IV – UMA APLICAÇÃO AO SISTEMA BRASILEIRO DE

SAÚDE ... 57

4.1 Aplicações do DEA em Sistemas de Saúde ... 59

4.2 O órgão DATASUS ... 60

4.2.1 Indicadores de Dados Básicos para a Saúde (IDB)... 62

4.3 Definição dos insumos e produtos do modelo DEA... 64

4.3.1 Cálculo dos valores dos insumos e produtos... 71

4.4 Aplicação do DEA e inclusão de incerteza através do bootstrap... 72

4.4.1 Inclusão de incerteza com o bootstrap ... 72

CAPÍTULO V - CONCLUSÕES... 74

5.1 Aplicação do DEA com bootstrap na seleção de hedge funds... 75

5.2 A classificação dos Estados brasileiros quanto à eficiência na

utilização dos recursos de saúde ... 80

5.3 Extensões do Estudo... 81

6 BIBLIOGRAFIA... 83

ANEXOS ... 86

ANEXO A – Fundos candidatos para análise... 86

ANEXO B – Fundos Selecionados para Análise... 88

ANEXO C – Cotas dos Fundos Selecionados ... 89

ANEXO D – Eficiências dos Hedge Funds calculadas com o bootstrap

... 110

ANEXO E – Divisão dos Indicadores do IDB... 118

ANEXO F – Dados coletados do IDB relativos aos insumos e produtos

selecionados... 124

ANEXO G – Eficiências calculadas dos estados com o DEA e o bootstrap

... 127

LISTA DE FIGURAS

Figura 2-1: Fluxograma da aplicação de um modelo DEA

Figura 2-2: Comparação DEA vs. regressão

Figura 2-3: Fronteira eficiente do modelo CCR do DEA

Figura 2-4: Fronteira eficiente do modelo BCC do DEA

Figura 2-5: Etapas do método de amostragem

Figura 2-6: Representação da fronteira eficiente

Figura 2-7: Representação da fronteira eficiente geral de investimentos

Figura 2-8: Representação da Capital Market Line

Figura 2-9: Representação da Security Market Line

Figura 3-1: “Produtos” e “insumos” em um hedge fund

Figura 3-2: Insumos e produtos utilizadas no modelo

Figura 3-3: Estrutura base de resolução do problema pelo DEA

Figura 4-1: Cálculo do indicador médico/habitante

Figura 4-2: Cálculo do indicador leitos/habitante

Figura 4-3: Cálculo do indicador gasto médio/atendimento ambulatorial

Figura 4-4: Cálculo do indicador consulta/habitante

Figura 4-5: Cálculo do indicador internações/habitante

Figura 4-6: Cálculo da proporção de partos hospitalares

LISTA DE TABELAS

Tabela 3-1: Classes dos fundos selecionados

Tabela 3-2: Rentabilidade dos fundos selecionados em % do CDI

Tabela 3-3: Valores dos testes Jarque-Bera

Tabela 3-4: Valores calculados dos insumos e produtos de cada fundo

Tabela 3-5: Cálculo das eficiências obtidas a partir do modelo DEA

Tabela 3-6: Eficiências médias, coeficientes de variação e rankings obtidos

Tabela 4-1: Insumos e produtos do modelo

Tabela 4-2: Valores médios calculados dos insumos e dos produtos

Tabela 4-3: Eficiências calculadas com o DEA

Tabela 4-4: Eficiências dos estados com o DEA e o bootstrap

Tabela 5-1: Produtos e insumos dos 2 Fundos 100% eficientes

Tabela 5-2: Estatísticas das distribuições de eficiência

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 3-1: Trade-off entre número de fundos x dias de dados

Gráfico 3-2: Evolução das cotas normalizadas

Gráfico 4-1: Eficiências dos Estados calculadas com o DEA

Gráfico 5-1: Evolução da rentabilidade dos fundos 100% eficientes

Gráfico 5-2: Distribuição de retornos do Fundo 9

Gráfico 5-3: Distribuição de Retornos do Fundo 19

Gráfico 5-4: Distribuição de Retornos na mesma escala

Gráfico 5-5: Diferença de Cotas entre os Fundos 12 e 9

1 INTRODUÇÃO

Hedge funds, que no Brasil são chamados por alguns de fundos de

investimento multimercados agressivos, têm sido amplamente estudados na

atualidade tanto por gerarem altos lucros quanto por conta de perdas

significativas de patrimônio que propiciam a seus cotistas. Hedge funds

ganharam bastante popularidade e aceitação na atualidade por diversificarem

portfolios de investimento tradicionais de títulos e ações. Essa classe de ativos

possui baixa correlação com esses dois mercados e também pode oferecer

proteção em mercados turbulentos. Esses fundos apareceram nos Estados

Unidos em 1949 criados por Alfred Jones, com o objetivo de incrementar

rendimentos em fundos comuns. Sua estratégia consistia em realizar operações

no mercado financeiro com a finalidade de proteger outras operações

previamente contratadas, daí o nome dessas carteiras (proteção em inglês é

hedge).

Aproveitando-se do fato desses fundos poderem propiciar altos retornos

aos seus cotistas, desenvolveu-se um ramo de empresas de gestão de patrimônio

(os chamados assets) que passou a oferecer, tanto para empresas de médio e

grande porte quanto para pessoas físicas de patrimônios elevados, hedge funds

como uma alternativa de produto financeiro.

Essa restrição para empresas e pessoas físicas de alto patrimônio deve-se

ao fato de que esses fundos exigem aplicações mínimas muito elevadas. Para se

ter uma idéia, nos Estados Unidos em 2004 o investimento mínimo pedido por

esses fundos era de cerca de US$ 1 milhão e, dado que se recomenda ter no

máximo 10% do patrimônio nesses fundos, necessita-se, portanto, de cerca de

US$ 10 milhões para se ter acesso a esse mercado. É nesse tipo de empresa que

oferece soluções financeiras para esses investidores de alto poder aquisitivo,

também chamadas de empresas especializadas em Gestão de Riquezas, que será

desenvolvido esse trabalho.

1.1 Apresentação ao Problema

Em uma empresa que indica hedge funds a seus clientes para aplicação

de seus recursos, é clara a necessidade de se medir o desempenho desses fundos

e, de alguma maneira, classificá-los, tanto para fins de sugestão quanto para fins

de acompanhamento de performance. Muito tem se discutido na literatura a

respeito de como essa medição e acompanhamento de performance deve ser

feita para o caso de hedge funds.

É uma prática comum no mercado financeiro analisar a performance

desses fundos de investimento utilizando seus retornos passados, mesmo que

não exista nenhuma garantia de que esses retornos passados assegurem

rentabilidades futuras. A fim de medir a performance de fundos de

investimento, principalmente de títulos e de ações, alguns índices foram

desenvolvidos na literatura e são amplamente usados na prática, como por

exemplo o prêmio por volatilidade introduzido por Sharpe (1964) ou o prêmio

por variabilidade apresentado por Treynor (1965), acompanhados, é claro, por

retornos médios e volatilidade. O problema existente ao se utilizarem esses

índices que se utilizam indicadores passivos (também chamados de

benchmarks) é que, como a proposta das estratégias de investimento

alternativas adotadas pelos hedge funds é oferecer retornos absolutos, essas

comparações dos retornos desses hedge funds com índices de referência podem

ser ineficientes, ainda mais quando consideramos que muitos deles utilizam

opções em seus portfolios como mostraram Fung e Hsieh (1997).

O fato de esses fundos utilizarem instrumentos derivativos, alavancagem

e vendas à descoberto em suas operações faz com que eles ofereçam retornos

muitas vezes assimétricos, tornando-se necessária uma gestão de portfolio mais

acurada. Brealey e Kaplanis (2001) perceberam que existem sérios problemas,

por exemplo, em modelos multi-fatoriais utilizados na medição de performance

de hedge funds propostos por alguns autores como Edward e Caglayan (2001) e

Gregoriou et al. (2002). O fato das estratégias utilizadas por esses fundos serem

muito dinâmicas, devido às exposições a diferentes mercados mudarem

recorrentemente no tempo, afeta significativamente o poder de previsão desses

modelos. Esse é uma das razões de se falar muito mais em “Seleção de

Gestores” do que em “Seleção de Fundos” para o caso de hedge funds.

Fica claro, portanto, o fato de que as empresas de Gestão de Riquezas

possuem um problema não trivial que consiste em comparar e classificar hedge

funds e outros fundos de investimento que visam retornos absolutos, em um

contexto em que as abordagens teóricas mais utilizadas pressupõem sempre a

não tem muito sentido. Procurou-se nesse trabalho é resolver esse problema

através de uma abordagem freqüentemente utilizada em Pesquisa Operacional

aplicada à Engenharia de Produção, que pode ser usada na construção de

rankings através da comparação de eficiências de diferentes unidades, chamada

de Data Envelopment Analysis (DEA) desenvolvido por Charnes, Cooper e

Rhodes (1978).

A grande vantagem do DEA frente aos demais modelos é que ele “cria”

a partir dos próprios dados utilizados uma referência e compara cada uma das

unidades em relação àquele referencial. Essa utilização é particularmente

interessante para o caso dos hedge funds também porque avalia, de certa forma,

a “eficiência” com que os gestores dos fundos conseguiram gerar retornos a

sues cotistas. Essa abordagem para medição de performance de hedge funds foi

utilizada por Gregoriou (2005) para avaliar o desempenho de hedge funds

suíços.

Um problema muitas vezes encontrado nos rankings gerados pelo DEA

é que algumas vezes uma grande porcentagem dos chamados DMU’s (Decision

Making Units – a entidade responsável por transformas insumos em produtos e

cuja eficiência deseja ser medida analisada) que são avaliados são considerados

100% eficientes pelo modelo. Mickael Löthgren (1998) utilizou uma

abordagem em que são realizados reamostragens (bootstrap) nos dados de modo

que se possa gerar uma amostra de “eficiências” melhorando o poder de

comparação do modelo.

Este trabalho pretende, portanto, resolver o problema de classificação de

hedge funds comparando-se a eficiência de diferentes fundos e ainda avaliar a

incerteza nessas medições através do bootstrap dos dados, uma vez que na

realidade cada uma desses estimadores de eficiência possui uma distribuição de

probabilidade e possuímos apenas um conjunto de dados (correspondente a uma

particular realização de um processo estocástico) para análise.

Por fim, em uma aplicação adicional, o mesmo modelo utilizado na

classificação dos hedge funds (DEA com bootstrap) é também empregado com

a finalidade de avaliar a eficiência dos estados brasileiros em relação à

utilização dos recursos de saúde. É apresentado o DATASUS, órgão federal da

Secretaria Executiva do Ministério da Saúde responsável pelo processamento e

disseminação de informações de saúde no Brasil, e como seus dados foram

utilizados em uma comparação de eficiência na utilização de recursos saúde por

parte dos estados brasileiros. Por fim, as conclusões obtidas em ambos os

estudos serão apresentadas.

Vale uma observação em relação às empresas onde este trabalho foi

executado. Neste trabalho a principal ferramenta desenvolvida tem a finalidade

de comparar hedge funds (foi utilizada para comparar a eficiência dos estados

brasileiros na utilização dos recursos, mas não foi essa sua finalidade a priori).

Começou a ser elaborado em uma empresa de Gestão de Riquezas que oferece a

seus clientes o serviço de sugestão de hedge funds (que não permitiu a

divulgação do nome) e terminou em outra empresa do mesmo ramo (que

também não permitiu a divulgação do nome). O importante é que a ferramenta

foi desenvolvida e, como pode-se perceber neste trabalho, suas aplicações são

as mais diversas.

Este trabalho é dividido da seguinte maneira: o Capítulo 2, que servirá

de embasamento teórico para realização deste trabalho, inicialmente abordará o

conceito de hedge fund e apresentará um resumo sobre algumas das diferentes

estratégias adotadas por esses fundos. Em seguida, apresentará os dois modelos

que servirão de base para a realização deste trabalho: o DEA e o Bootstrap,

seguidos dos modelos que são utilizados na prática na avaliação de carteiras.

Por fim são discutidos os modelos de equilíbrio de mercado e como a partir

deles surgem os indicadores que são as ferramentas mais usadas na atualidade

com a finalidade de comparação de fundos de investimento.

O Capítulo 3 consiste na aplicação do modelo proposto para os hedge

funds selecionados. Apresenta-se neste capítulo o processo de seleção da

amostra de fundos e também são realizados testes de normalidade com os

retornos de cada um dos fundos selecionados. São apresentadas os insumos e

produtos do modelo DEA que serão utilizados na análise dos fundos e também

é apresentado o modelo DEA que será utilizado na classificação da amostra de

hedge funds. Ainda nesse capítulo são apresentados os valores dos insumos e

dos produtos selecionados e, por fim, são mostrados os resultados (as

eficiências obtidas) e também é inserida incerteza nos estimadores de eficiência

a partir do bootstrap no modelo DEA. É nesse capítulo que é apresentado o

ranking dos fundos através de seus estimadores de eficiência e também são

apresentadas as incertezas nessas estimativas.

No Capítulo 4 é realizada uma aplicação do mesmo modelo utilizado na

comparação de hedge funds para a comparação de eficiência da utilização dos

recursos de saúde por parte dos estados brasileiros. Neste capítulo é apresentado

um breve resumo sobre informações do sistema de saúde brasileiro, como

foram obtidos os dados utilizados, como eles foram tratados e os resultados

alcançados com a utilização do DEA e do bootstrap.

O Capítulo 5 apresenta a análise e conclusão dos resultados obtidos,

tanto para os hedge funds quanto para os estados brasileiros. São discutidas

características dos fundos 100% eficientes de acordo com o DEA e dos estados

100% eficientes na utilização dos recursos. São apresentadas as análises a

respeito de como estes dados podem ser utilizados na prática, e também é dada

uma ideia de possíveis desdobramentos e evoluções de pesquisa que podem se

seguir ao tema deste trabalho, tanto para classificação de hedge funds como

para os estados brasileiros no que diz respeito à utilização dos recursos de

saúde.

2 EMBASAMENTO TEÓRICO

Primeiramente será apresentada neste capítulo uma breve descrição

sobre Hedge Funds e as estratégias que esses fundos podem adotar. Em seguida,

apresentar-se-á o modelo CCR do DEA (que será utilizado neste trabalho) e em

seguida a metodologia de reamostragem (o bootstrap). Será apresentado em

seguida o modelo de Markowitz de seleção de carteiras, os modelos de

equilíbrio de Sharpe-Lintner e como esses modelos conseguem gerar a

possibilidade de utilização de indicadores de desempenho

2.1 Hedge Funds

Não existe uma definição exata de hedge fund que permita diferenciá-lo

claramente de outros tipos de fundo de investimento. Muitas estratégias

utilizadas por eles visam proteger contra períodos de baixa nos mercados em

que esses fundos operam. Esses fundos são bastante flexíveis no que diz

respeito às opções de investimento que eles propiciam: podem se utilizar de

alavancagem financeira, vendas à descoberto, outros derivativos como opções

de compra, opções de venda, opões exóticas, futuros entre outras. Pode-se dizer

também que o fato dos hedge funds remunerarem agressivamente seus gestores,

seja através das taxas de administração cobradas, seja através das taxas de

performances utilizadas como incentivos, atrai as melhores cabeças do Mercado

Financeiro.

Para se ter uma idéia do que representa esse mercado, a seguir são

apresentados alguns dados sobre a indústria de hedge funds nos Estados Unidos

extraídos da Hedge Fund Association

• Indústria estimada em US$ 875 bilhões, com uma taxa de crescimento

de aproximadamente 20% ao ano e contando com aproximadamente

8350 hedge funds ativos nos Estados Unidos;

• Possui uma enorme variedade de estratégias de investimento, algumas

das quais utilizam-se de alavancagem e derivativos enquanto que outras

mais conservadoras apresentam pouco ou nenhum grau de alavancagem.

Muitas estratégias de hedge funds procuram reduzir exposições em

mercados específicos através de posições vendidas em mercados de

derivativos;

• A maioria dos hedge funds são altamente especializados, devido ao fato

de tanto os gestores quanto o time de gestão normalmente possuírem

conhecimentos bastante específicos a respeito da estratégia adotada;

• A performance de muitas estratégias de hedge funds, particularmente

estratégias de Relative Value, não depende da direção dos mercados de

bolsa ou de títulos, ao contrário dos fundos tradicionais que

normalmente estão 100% expostos a esses tipos de riscos de mercado.

Essa baixa correlação com o mercado pode ser encarado como um forte

instrumento de diversificação da carteira.

• Muitas estratégias de hedge funds, particularmente as estratégias

chamadas de Arbitrage, são limitadas ao montante de capital que elas

podem empregar com sucesso até um certo período. Como resultado,

muitos gestores restringem a quantidade de capital do fundo para

iniciarem a execução de suas estratégias.

• Gestores de hedge funds geralmente são profissionais altamente

qualificados, disciplinados e diligentes.

• Os retornos gerados considerando-se períodos relativamente longos têm

sido superiores aos índices mais tradicionais nos mercados de renda fixa

e de ações e com menor volatilidade e menos risco de perdas do que no

mercado de ações.

• Entre todos os hedge funds que apresentam retornos acima da média de

mercado, muitos apresentam retornos extremamente significativos.

• O investimento em hedge funds tende a ser melhor visto por

investidores mais sofisticados, incluindo muitos Private Banks que já

viveram e conhecem bem as chamadas “correções” existentes nos

mercados de ações. Muitos fundos de pensões também possuem altos

investimentos em hedge funds.

Talvez o maior erro que é cometido quando se pensa em um hedge funds

é que normalmente as pessoas acreditam que todos os hedge funds são

extremamente voláteis e que, de alguma maneira, todos eles têm estratégias

global macro, possuem altas exposições em ações, moedas, commodities e

opções, tudo isso fortemente alavancados. Na realidade, menos de 5% dos

hedge funds são fundos global macro, a maioria dos hedge funds usa

derivativos somente para hedging ou simplesmente não usam derivativos, e

muitos deles não são alavancados, ao contrário da crença geral existente a

respeito desses fundos.

2.1.1 Estratégias de Hedge Funds

Existem diversos tipos diferentes de estratégias para hedge funds, que

variam principalmente no que diz respeito aos mercados em que eles operam e

na volatilidade que eles oferecem. A seguir serão brevemente comentadas

algumas das estratégias de hedge funds norte-americanos de acordo com a

Hedge Fund Association.

Aggressive Growth

Essa estratégia basicamente consiste em investir em ações de empresas onde

há expectativa de alto crescimento no indicador de Lucros por Ação.

Geralmente são ações com elevados índices Preço/Lucro e com baixo ou

nenhum dividendo e de pequenas e micro empresas de quem se espera um

forte crescimento em um prazo relativamente curto. Dentro dessa particular

estratégia existem muitos fundos que com o objetivo de reduzir o universo

de análise acabam se especializando em determinados setores, como por

exemplo no setor tecnológico, no setor bancário ou no setor de

biotecnologia. O hedge no caso desses fundos pode ser feito ou com a venda

à descoberto de ações onde se esperam baixos lucros, ou mesmo do próprio

índice de bolsa. Esses fundos tendem a ser viesados em posições compradas

e costumam apresentar altas volatilidades em suas cotas.

Distressed Securities

Aproveitam épocas de reestruturação de empresas, falências para comprar

ações e títulos com um elevado desconto. Esses tipos de fundos se

possuir títulos abaixo de algum determinado “grau de investimento” e essa

pressão de venda acaba criando esse desconto. Os retornos desses fundos

são, na média, muito pouco correlacionado com as direções do mercado e

apresentam uma volatilidade relativamente moderada.

Mercados Emergentes

Como já deixa claro o próprio nome da estratégia, esses fundos direcionam

seus recursos a ações de empresas e títulos de dívida de países onde a

economia não é tão desenvolvida, apresentando altos índices de inflação e

crescimento esperado bastante volátil. Em muitos mercados emergentes,

vendas à descoberto não são permitidas, o que impossibilita a realização de

um hedge efetivo, mesmo que este possa ser realizado, por exemplo, através

de uma exposição ativa à taxa futura de títulos do tesouro americano ou

posições no mercado de câmbio. Esses fundos tendem a apresentar alta

volatilidade.

Fundo de Fundos

Essa classe é bastante comum no Brasil, onde a Instrução 409 da Comissão

de Valores Mobiliários (CVM) instituiu, entre outras modalidades de

investimento, o Fundo de Investimento em Cotas de Fundos de

Investimento (FIC), modalidade bastante comum na indústria de fundos

brasileira. Podem aplicar em diversas classes simultaneamente, podendo

inclusive ser um Fundo de Hedge Funds. Retorno, risco e volatilidade

desses fundos podem ser regulados através da exposição às diferentes

classes de ativos e normalmente a preservação do capital é uma

característica desejada desses fundos. A volatilidade é bastante variável, e

depende basicamente da alocação em classes de cada fundo.

Income

O raciocínio básico desse tipo de investimento é o de obter ganhos operando

a curva de juros ou alguma moeda específica. Pode se utilizar de

alavancagem para comprar títulos além de outros derivativos de renda fixa a

fim de ganhar também com o aumento do principal. Apresentam

volatilidades razoáveis.

Macro

Visa obter lucros através de mudanças nas condições globais na economia,

aproveitando de mudanças em políticas governamentais que impactam em

mercados de câmbio, ações e títulos. Esses hedge funds atuam em todos os

mercados – ações, títulos, câmbio e commodities – mas não

necessariamente em todos ao mesmo tempo. Para que suas posições e seus

movimentos tenham um impacto mais significativo nos resultados do

fundo, muitas vezes são utilizadas posições nos mercados de derivativos e

alavancagem. Apesar de utilizarem hedge em algumas posições, são as

apostas direcionais que tendem a impactar mais significativamente na

performance do fundo. A volatilidade esperada para esses fundos é bastante

alta.

Market Neutral - Arbitrage

É uma estratégia onde busca-se a neutralização através de hedge de risco de

mercado através de posições contrárias normalmente em diferentes papéis

de um mesmo emissor. Um possível exemplo é uma estratégia onde se está

comprado nas ações de uma empresa e vendido à descoberto nas ações

daquela empresa. Essas estratégias são focadas na obtenção de retornos

pouco ou nada correlacionados com os mercados de ações e títulos. Essas

estratégias também conhecidas como Relative Value também incluem

arbitragem em renda fixa, títulos hipotecários e arbitragem de estrutura de

capital de empresas. Normalmente possuem baixa volatilidade.

Market Neutral – Securities Hedging

Investem em iguais proporções em portfolios de ações comprados e

vendidos à descoberto, normalmente em um mesmo setor do mercado.

Normalmente uma boa parte do risco de mercado é mitigado nessas

estratégias, mas a qualidade na análise e seleção de ações e cenários é

essencial na obtenção de retornos significativos. Esses hedge funds podem

se utilizar de alavancagem a fim de intensificar seus resultados e, por serem

neutros em relação à exposição no mercado, também possuem baixa

correlação com os retornos apresentados nos mercados de títulos e ações.

Podem se utilizar de posições vendidas em índices futuros a fim de

neutralizarem risco sistemático (risco de mercado), utilizam normalmente os

títulos do tesouro americano como benchmark relativo e tendem a

apresentarem baixas volatilidades.

Market Timing

Esse tipo de fundo tem como estratégia fundamental a alocação de ativos de

acordo com a visão econômica de mercado do gestor. As posições podem

variar significativamente entre diferentes classes de ativos e curtos espaços

de tempo. As movimentações de imprevisíveis do mercado e dificuldades de

insumo e produtos em algumas posições (devido à baixa liquidez, por

exemplo) são fatores que colaboram com altas volatilidades que os

investidores desses tipos de hedge funds estão sujeitos.

Opportunistic

A estratégia de investimento varia de acordo com as oportunidades de

obtenção de lucros aparecem como em OPA (Ofertas Públicas de Ações),

variações bruscas nos preços normalmente causadas por divulgações de

resultados e outras oportunidades geradas por eventos (chamadas de

Event-riven Opportunities). Pode utilizar diversas estratégias de investimentos ao

mesmo tempo e não se restringem a uma particular estratégia de

investimento ou classe de ativo. A volatilidade esperada depende

exatamente do tipo de estratégia e dos mercados em que esses fundos

atuam.

Multi Estratégia

Esses hedge funds utilizam uma abordagem de investimento diversificada e

empregam várias estratégias simultaneamente visando obter ganhos no

curto e no longo prazo. Podem utilizar análises técnicas (como por exemplo

análises de tendências) como fundamentos de algumas de suas estratégias.

Esse tipo de hedge fund permite ao gestor alocar recursos às estratégias de

acordo com sua visão de oportunidades. Também apresenta volatilidade

variável.

Short Selling

Essa estratégia consiste na utilização de venda à descoberto de títulos com a

finalidade de recomprá-los no futuro a um preço menor do que o vendido. A

perspectiva de desvalorização pode ser devida a divulgação de resultados

abaixo das expectativas, novos competidores no setor específico da empresa

emissora de determinada ação, mudanças na gestão, irregularidades

contábeis, entre outros. Por apresentarem baixa correlação com os retornos

do mercado, são frequentemente usados como boas alternativas de

diversificação e recebem altos fluxos de investimento quando a expectativa

do mercado é de queda. São fundos de alto risco (podem propiciar perdas

maiores do que o principal) e tendem a apresentar altas volatilidades.

Special Situations

São fundos que basicamente buscam situações como fusões, aquisições e

recompras de ações no mercado. Pode incluir por exemplo a estratégia de

compra de uma ação de uma empresa que está sendo adquirida e a venda

das ações da empresa que a está adquirindo, buscando auferir lucros com a

diferença entre o preço atual de mercado e o preço final da companhia.

Podem também utilizar derivativos e alavancagem para diminuir exposições

a riscos de mercado ou intensificar retornos das posições. Também possuem

baixas correlações com os mercados e apresentam volatilidades razoáveis.

Value

São fundos que investem em papéis negociados com alto desconto em

relação ao seu valor intrínseco ou crescimento potencial avaliado.

Costumam se tratar de investimentos de longo prazo onde se exige

paciência e disciplina até que o valor “justo” seja reconhecido pelo

mercado. Tendem a apresentar uma volatilidade moderada.

Tanto nos Estados Unidos quanto no Brasil, existe atualmente uma

enorme variedade desses fundos de investimento adotando parcial ou totalmente

uma ou mais dessas estratégias.

Uma vez apresentado o mercado de hedge funds, tona-se necessário que

se apresentem os modelos que foram utilizados na classificação dos hedge

funds e posteriormente dos estados brasileiros quanto à utilização dos recursos

de saúde: o DEA e o bootstrap.

2.2 Data Envelopment Analysis (DEA)

2.2.1 Apresentação ao modelo

De acordo com Norman & Stoecker (1991), uma maneira de se pensar

em eficiência em economia é em relação à quantidade de produtos produzidos

dado um certo nível de insumo disponível. Em alguns casos, as variáveis

utilizadas em uma medida de eficiência devem ser determinadas empiricamente

através das variáveis disponíveis. Situações como esta costumam aparecer

principalmente em organizações onde conceitos econômicos como lucratividade

ou retorno/investimento não podem ser aplicados, como é por exemplo o caso

de algumas organizações não-governamentais, ambientais e alguns organismos

públicos.

Charnes, Cooper e Rhodes (1978) desenvolveram o DEA – Data

Envelopment Analysis, que é uma metodologia utilizada na avaliação de

atividades de organizações em diversos segmentos da economia, como

empresas de negócios, agências governamentais, hospitais, universidades, entre

outros, no que diz respeito à eficiência com que essas organizações atuam.

Essas avaliações podem aparecer na prática de diversas maneiras, como

receita/unidade, custo/unidade, retorno/investimento, peças defeituosas/peças

produzidas e outros indicadores que normalmente aparecem sob a forma de uma

razão geral do tipo

Inputs

Outputs

onde Outputs podem ser entendidos como saídas ou produtos e Inputs

como entradas ou insumos.

Esse indicador pode ser pensado como uma medida geral de eficiência

para essas organizações. O DEA procura avaliar uma entidade a ser comparada

com outras em relação a diversos insumos e diversos produtos

simultaneamente. Algumas das medidas como as apresentadas acima são

relação a alguns fatores que, de fato, não contemplam todas os insumos e

produtos que podem ser usadas em um indicador de produtividade. A idéia de

se utilizarem indicadores totais de produtividade (ou seja, indicadores que

contemplam todos os insumos e produtos possíveis) está relacionada ao fato de

que incrementos em uma determinado insumo que afeta, por exemplo, alteração

em um produto não contemplada em um determinado indicador parcial, pode

ser vista por um indicador de produtividade total.

O DEA é uma generalização do trabalho de Farrell (1957) onde a razão

produto/insumo é generalizada para o caso de vários produtos e vários insumos.

Pode ser pensado como um método quantitativo, empírico e não-paramétrico de

medição de eficiência de unidades semelhantes que visa determinar um único

indicador de eficiência para cada unidade avaliada através da determinação de

como se dará a ponderação entre as variáveis de produto e insumo. O DEA

constrói, a partir dos dados de cada uma das variáveis que estão sendo

avaliadas, uma superfície de máximo desempenho, permitindo a identificação

de unidades de referência cujas eficiências passam a ser referencial paras as

outras unidades, ou seja, mede diferenças de desempenho.

Norman & Stoecker (1991) definem uma Decision Making Unit (DMU)

como sendo um agrupamento de empresas, departamentos, divisões ou unidades

administrativas que têm insumos e produtos comuns e que estão sendo

avaliadas pelo desempenho. O fato do DEA estipular via programação

matemática os pesos dos produtos e dos insumos possibilitando que cada DMU

seja avaliada pelo que tem de melhor, juntamente com o fato de não ser

paramétrico (não exigir uma fórmula prévia), de lidar com múltiplos insumos e

produtos simultaneamente e de extrair um único indicador de eficiência.

A definição de DMU (Decision Making Unit) é uma definição bastante

genérica. Em Administração, pode se tratar de Bancos, Lojas de Conveniência,

Fabricantes de Carro, podendo também serem Hospitais, Escolas,

Universidades entre outros. Em Engenharia, podem ser Aviões, Motores,

Processos Produtivos, etc, desde que possam ser comparados relativamente a

outros DMUs que operem nas mesmas condições e que possam ter seu

desempenho medido de alguma forma através de insumos e produtos.

Segundo Golany e Roll (1989), a aplicação do modelo do DEA com a

finalidade de se medir eficiência pressupõe que algumas condições devam ser

satisfeitas, a saber:

• os DMU’s que estiverem sendo comparados devem realizar as mesmas

tarefas e devem ter objetivos semelhantes;

• as unidades devem estar sujeitas às mesmas “condições de mercado”;

• exceto em termos de intensidade e magnitude, os insumos e produtos de

cada unidade devem ser os mesmos.

A figura na página seguinte apresenta um fluxograma esquemático de

aplicação de um modelo DEA adaptado de Golany e Roll (1989).

Figura 2-1: Fluxograma da aplicação de um modelo DEA

2.2.2 Algumas limitações do modelo DEA

Anderson (1997) apresentou algumas limitações na utilização do modelo

DEA que devem ser consideradas na sua utilização, como por exemplo:

• o fato do DEA se tratar de uma técnica que trabalha com pontos

extremos, toda a análise pode ser comprometida por ruídos (como por

exemplo erros de medição e outros possíveis geradores de outliers);

• devido ao fato do modelo não ser paramétrico, a formulação de

hipóteses estatísticas torna-se muito difícil;

• como é necessária a resolução de um problema de otimização linear

para cada unidade avaliada de tamanho proporcional ao número de

produtos e insumos que estão sendo avaliados e também ao número de

unidades avaliadas, problemas com muitas unidades sob análise ou com

muitos fatores (insumos e produtos) sendo considerados podem levar a

um tempo computacional de processamento muito longo;

• o DEA é muito eficiente na estimação do desempenho relativo das

unidades, porém converge muito lentamente quando se trata de um

desempenho absoluto.

A figura seguinte apresenta uma comparação entre o que seria uma

fronteira de desempenho relativo fornecida pelo modelo BCC do DEA (retas

unindo pontos extremos), a análise de regressão linear (linha reta) e uma

hipotética fronteira de eficiência absoluta (linha tracejada);

Figura 2-2: Comparação DEA vs. Regressão

O método do DEA não fornece rankings absolutos, uma vez que o

indicador de eficiência fornecido é relativo e dependente da medida de

eficiência utilizada e dos fatores presentes nessa medida além, é claro, dos

valores dos fatores que estão sendo analisados.

2.2.3 Diferentes modelos DEA

Banker et al. (1984). A diferença básica entre esses dois modelos reside no fato

do modelo CCR considerar retornos de escala constantes e o modelo BCC

retornos de escala variáveis. Os gráficos abaixo ilustram a diferença das

Fronteiras de Produção em ambos os modelos (destacada por uma seta), sendo

que o eixo das ordenadas representa o eixo dos produtos e o eixo das abcissas

representa o eixo dos insumos.

Figura 2-3: Fronteira Eficiente do modelo CCR do DEA

Figura 2-4: Fronteira Eficiente do Modelo BCC do DEA

Dada a finalidade desse trabalho em se elaborar um ranking de hedge

funds sem a princípio se preocupar com a construção de uma fronteira eficiente

de todos os fundos no mercado, o modelo utilizado será o modelo CCR do DEA

apresentado a seguir.

2.2.4 O modelo CCR do DEA

Seja uma combinação de “insumos virtuais” e “produtos virtuais” cada

um com pesos (ainda desconhecidos) v

i

e u

r

Insumos Virtuais = v

1

x

10

+ ... + v

m

x

m0

Produtos Virtuais = u

1

y

10

+ ... + u

s

y

s0

O modelo CCR busca definir através da programação linear os pesos

que maximizam a razão

(Produtos Virtuais) / (Insumos Virtuais)

Os pesos ótimos devem (e geralmente irão) variar de um DMU para

outro. Isso porque com o DEA os pesos são advindos dos próprios dados ao

invés de serem fixos a priori. Para cada DMU é determinada uma combinação

ótima de pesos que depende dos valores dos fatores dos outros DMU’s.

Suponha que existem n DMU’s: DMU

1

, DMU

2

, ..., e DMU

n

. Produtos e

Insumos para cada DMU são escolhidos para cada um dos DMU’s de modo

que:

• Dados numéricos estão disponíveis para cada Insumo e Produto

escolhido, assumindo que todos os dados são positivos para cada um dos

DMU’s;

• Os itens (Produtos, Insumos e a escolha dos DMU’s) devem refletir o

interesse de um analista ou de um gestor nos componentes que irão

compor o indicador de eficiência de cada um dos DMU’s;

• São desejáveis valores menores para os Insumos e maiores valores para

os Produtos, de modo que o indicador de eficiência reflita esse interesse;

• As unidades de medida de cada um dos diferentes Insumos e Produtos

não têm relevância; Podem ser número de pessoas, áreas, dinheiro gasto,

etc.

Supondo que m Insumos e s Produtos são selecionados com as

propriedades citadas acima, sendo os dados de Insumos e Produtos para o

DMU

j

respectivamente (x

ij

, x

2j

, ..., x

mj

) e (y

1j

, y

2j

, ..., y

sj

). A matriz de Insumos X

e a matriz de produtos Y podem ser definidas como se segue:

































=

mn

m

m

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

X

L

M

L

M

M

M

L

M

M

L

L

2

1

2

22

21

1

12

11

e

































=

sn

s

s

n

n

y

y

y

y

y

y

y

y

y

Y

L

M

L

M

M

M

L

M

M

L

L

2

1

2

22

21

1

12

11

A partir desses dados, mede-se a eficiência de cada um dos DMU’s uma

vez e são necessárias n otimizações, uma para cada DMU

j

que será avaliado.

Designando por DMU

o

o DMU

j

que será avaliado, onde o varia de 1 até n.

Devemos resolver o seguinte problema de otimização fracionário a fim de se

obterem os valores para os pesos v

i

(i=1, ..., m) dos Insumos e os pesos u

r

(r=1,..., s) dos Produtos:

max θ =

mo

m

o

o

so

o

o

x

v

x

v

x

v

y

u

y

u

y

u

*

*

*

*

*

*

2

2

1

1

3

2

2

1

1

+

+

+

+

+

+

L

L

sujeito a

1

*

*

*

*

*

*

2

2

1

1

3

2

2

1

1

_≤

+

+

+

+

+

+

mj

m

j

j

sj

j

j

x

v

x

v

x

v

y

u

y

u

y

u

L

L

(j = 1,..., n)

v

1

, v

2

,..., v

m

≥ 0

u

1

, u

2

,..., u

s

≥ 0

As restrições do significam que a razão “Produtos Virtuais” vs.

“Insumos Virtuais” não excedam 1 para cada DMU. O objetivo é que sejam

obtidos os pesos v

i

e u

r

que maximizem o indicador para um determindo

DMUo, ou seja, o DMU que está sendo avaliado. Nota-se, por construção das

restrições que o valor máximo da função objetivo é 1.

Cooper et al. (2000) demonstram que esse problema de otimização

fracionário é equivalente ao seguinte problema de otimização linear:

max θ =

u

₁

*

y

₁

_o

+

u

₂

*

y

₂

_o

+

_L

+

u

₃

*

y

_so

sujeito a

1

*

*

*

₁

₂

₂

1

x

o

+

v

x

o

+

+

v

m

x

mo

=

v

_L

j

mj

m

j

j

sj

j

j

u

y

u

y

v

x

v

x

v

x

y

u

₁

*

₁

+

₂

*

₂

+

_L

+

₃

*

≤

₁

*

₁

+

₂

*

₂

+

_L

+

*

₃

(j = 1,..., n)

v

1

, v

2

,..., v

m

≥ 0

u

1

, u

2

,..., u

s

≥ 0

Cooper et al. (2000) também apresentam o Teorema da Invariância das

Unidades, onde mostra-se que os valores da função objetivo não são

dependentes das unidades em que os produtos e os insumos são medidos, desde

que as unidades sejam as mesmas para todos os DMU’s.

No próximo item é apresentada a metodologia do bootstrap, que também

será utilizado na classificação dos Hedge Funds.

2.3 Reamostragem (Bootstrap)

2.3.1 Métodos Estatísticos Computacionais Intensivos

De acordo com Gunter (1991), o surgimento e a popularização dos

microcomputadores com alta velocidade de processamento na década de 90

causaram uma revolução na aplicação dos métodos estatísticos. Esse

desenvolvimento possibilitou que fossem obtidos modelos mais adequados para

representação dos problemas e dos fenômenos estudados sem que fosse

necessário o uso de tantas hipóteses simplificadoras como as normalmente

feitas para se evitar uma complexidade excessiva que, muitas vezes, inviabiliza

a solução de um problema. De acordo com Alberto Ramos (1999), a grande

consequência dessa “revolução” é que o enfoque na resolução desses problemas

passa de estatístico-intensivo para computacional-intensivo.

Em Engenharia de Produção a utilização da simulação na resolução de

problemas não é recente. Alberto Ramos (1991) acredita que a inovação está na

proposta de sua aplicação rotineira como ferramenta de análise de dados e

tomada de decisão, de onde resulta o nome de métodos estatísticos

computacionais intensivos.

No final da Segunda Guerra Mundial, o método Monte Carlo começou a

ser aplicado em problemas complexos. Como ele se utiliza da geração de

números aleatórios na modelagem do problema, trata-se de um método de

simulação probabilística. O método Monte Carlo tem como grande vantagem a

relativa facilidade com que pode ser utilizado em diferentes situações.

2.3.2 O bootstrap

O bootstrap é um método genérico para estimar variabilidade em

estatística que foi criado por Bradley Efron (1979). Trata-se de um modelo de

reamostragem que utiliza simulação para calcular desvios padrões, intervalos de

confiança e para realização de testes de significância em uma amostra. Efron

em seu artigo de 1979 apresentou o bootstrap como abordagem ao cálculo de

intervalos de confiança de parâmetros, em circunstâncias em que outras técnicas

não são aplicáveis, em particular no caso em que o número de amostras é

reduzido e/ou quando analiticamente a determinação de intervalos de confiança

é muito complexa.

Esta técnica foi extrapolada para a resolução de muitos outros problemas

de difícil resolução através de técnicas de análise estatística tradicionais

(baseadas na hipótese de um elevado número de amostras). A técnica de

bootstrap tenta realizar o que seria desejável realizar na prática, se tal fosse

possível: repetir a experiência. As observações são escolhidas de forma

aleatória e as estimativas recalculadas.

A idéia básica do bootstrap é que, uma vez que não se dispõe de toda a

população de amostras (observações), deve-se fazer o melhor com o que se

dispõe que é o conjunto amostra. A técnica de bootstrap trata a amostra

observada como se esta representasse exatamente toda a população (conjunto de

experiências, realizações, etc.), conforme mostrado no esquema a seguir:

• Seja A = (A

1

,...A

n

) uma amostra contendo n observações;

• Construir B amostras A*(1),...,A*(B) independentes de comprimento N

cada uma;

• Na terminologia de bootstrapping as B amostras independentes

construídas a partir da população finita (A

1

,...A

n

) corresponde a

amostrar com substituição a partir do conjunto A.

Existe uma forte premissa no método de remostragem de que, por trás de

todo procedimento estatístico, existe sempre um processo físico responsável

pela geração dos dados em análise que, portanto, permite que se trabalhe com

esse modelo físico através de simulação ao invés da forma teórica da estatística

clássica.

O bootstrap na realidade substitui a análise matemática pela amostragem

com reposição dos dados amostrais originais. É, portanto, um caso particular de

uma simulação Monte Carlo que utiliza a própria distribuição empírica dos

dados. Na figura seguinte, Alberto Ramos (1991) apresenta quais são as 6

etapas distintas em que se divide o modelo de bootstrap. Em seguida, no

próximo item, será introduzido o modelo de Carteira de Markowitz, que fornece

as bases dos modelos de comparação amplamente utilizados na atualidade na

avaliação de fundos de investimento.

OBTER

AMOSTRA DE n

VALORES

SORTEAR r

VALORES COM

REPOSIÇÃO

CALCULAR

ESTIMATIVA DO

PARÂMETRO

REPETIR O

PROCEDIMENTO

b VEZES

CALCULAR

MÉDIA E

DESVIO-PADRÃO DO

PARÂMETRO

CONSTRUIR

INTERVALOS DE

CONFIANÇA

2.4 Modelo de otimização de carteiras de Markowitz (1959)

A abordagem clássica de média-variância foi inicialmente proposta por

H. Markowitz (1952) e lhe valeu o prêmio Nobel de Economia em 1990.

Markowitz permitiu através de sua abordagem de otimização de carteiras que

investidores pudesses alocar recursos de modo a otimizar a relação

risco-retorno entre diferentes ativos financeiros, com ou sem risco.

Atualmente, a abordagem da média-variância é a mais utilizada na

comparação de alternativas de investimento no mercado de fundos brasileiro.

Deve-se entender quais são as premissas que essa modelagem utiliza e como

que os índices de desempenho gerados que se podem obter a partir desse

modelo lidam com a relação risco-retorno de um investimento.

A teoria de Markowitz pressupõe que todos os investidores avaliam as

possibilidades de investimento financeiro a partir de seu retorno esperado e de

seu risco, mensurado pela variância esperada dessas taxas de retorno para o

determinado espaço de tempo no qual está sendo realizada a análise. Segundo

esse pressuposto onde retorno e variância esperados são os fatores decisivos na

escolha de investimentos financeiros, um investidor certamente escolheria um

investimento de maior retorno esperado quando colocado frente a dois

investimentos de mesma variância esperada e, analogamente, escolheriam um

investimento de menor variância esperada se colocados frente a duas

alternativas de mesmo retorno esperado. A partir disso, Markowitz estabeleceu

o que hoje é conhecido como a “Teoria Moderna de Carteiras” obtendo, além

de outros resultados, o que e conhecido atualmente como a fronteira eficiente

das carteiras de investimentos.

Primeiramente será apresentado o caso em que se tem apenas ativos de

risco na carteira, e será apresentada uma formulação matemática do problema

de média-variância como um problema de otimização quadrática com

restrições. Através do método dos multiplicadores de Lagrange obtém-se uma

solução para esse problema. O próximo caso a ser estudado será o caso em que,

além dos ativos de risco, também se tem um ativo livre de risco (um ativo com

variância esperada igual a 0). Novamente formular-se-á o problema como um

problema de otimização quadrática com restrições e, mais uma vez através do

método dos multiplicadores de Lagrange a solução pode ser obtida. A

caracterização dos modelos é baseada no trabalho de Osvaldo et. al. (2005).

2.4.1 Carteira formada apenas por Ativos de Risco

Inicialmente, considera-se o caso da carteira formada apenas por ativos

de risco. Consideremos uma carteira com retorno P composta por n ativos com

retornos R

1

, ... , R

n

, retorno esperado r

1

,..., r

n

e matriz de covariância

Σ

.

Investe-se uma proporção ω

i

no ativo com retorno R

i

, de modo que

Utilizando-se a seguinte notação vetorial:

Segue que a média e a variância de P, denotados respectivamente por

µ

e

σ

2

, são dadas por:

e

Deseja-se resolver o seguinte problema de otimização:

Assume-se que:

1.

Σ

> 0

2. r não é múltiplo de e (r ≠ ae)

A hipótese 1 apenas garante que todos os ativos são realmente de risco.

A hipótese 2, que necessariamente implica n > 2, garante uma situação

não-degenerada pois, caso contrário, com r = ae, as restrições só seriam consistentes

com

µ

= a.

Para o caso onde não são permitidas posições à descoberto, o problema

tem a seguinte forma:

Ao conjunto de pares ordenados no diagrama risco x retorno, obtidos

através de soluções do problema de otimização de carteiras para diferentes

valores de

µ

e que garantem a menor volatilidade para um dado nível de risco

entre todos portfolios possíveis, dá-se o nome de fronteira eficiente.

A seguir é apresentado um exemplo de fronteira para um caso hipotético

de 2 carteiras de mínima variância a e b, com retornos esperados

µ

a

e

µ

b

e com

desvio padrão

σ

ab

.

Figura 2-6: representação da fronteira eficiente

2.4.2 Carteiras com Ativos de Risco e 1 Ativo sem Risco

O caso em que se tem um ativo sem risco na carteira junto com outros

ativos de risco faz com que o portfolio ótimo possa ser obtido diretamente a

partir de uma única fórmula. Como anteriormente, ω representa o vetor de

pesos dos ativos de risco, com a ressalva de que neste caso o somatório dos seus

elementos não precisa valer 1, pois introduzimos um ativo sem risco, cujo

retorno vale r

f

. Note que da hipótese 2 segue que r é diferente de r

f

. Deseja-se

Pode-se perceber que se r = r

f

, a restrição

Só teria solução para o caso

µ

= r

f

. A solução do problema é

O vetor ω da equação acima apresenta a composição dos ativos de risco,

enquanto que o termo 1 – ω’e representa a proporção a ser investida no ativo

sem risco. Serão determinados a seguir os valores de

µ

,

σ

e ω, denotados por

µ

T

,

σ

T

, e ω

T

respectivamente, os quais correspondem a uma posição 100% em

ativos de risco. Para isso, deve-se ter e’ω

T

= 1, ou seja,

Segue, portanto, que

e

Denotando-se por P

T

o retorno da carteira formada por T, conforme

mostrado a seguir, a carteira com retorno P

T

é eficiente para carteiras com

100% de ativos de risco. Pode-se caracterizar, portanto, a carteira com retorno P

de mínima variância formada por ω como uma carteira das carteiras r

f

e P

T

. Ou

seja, a fronteira eficiente no plano risco-retorno para as carteiras com ativos de

risco e 1 ativo sem risco é obtida.

A carteira com retorno P

T

é eficiente para as carteiras com 100% de

ativos de risco. Além disso, qualquer carteira eficiente com retorno P, formada

com o ativo sem risco e ativos de risco, com retorno esperado

µ

e variância

σ

,

pode ser construída como uma combinação do ativo livre de risco e da carteira

com retorno P

T

. Mais precisamente,

A figura abaixo apresenta a fronteira geral de investimentos obtida com

essa abordagem.

2.5 Introdução aos modelos de equilíbrio e à análise de

desempenho

De acordo com Farrell Jr.(1997), enquanto o Modelo de Markowitz nos

fornece uma maneira ótima de alocar recursos de um investimento em um

determinado grupo de ativos, o CAPM — Capital Asset Pricing Model, que foi

desenvolvido por John Lintner (1965) e Willian Sharpe (1964), se trata de um

modelo de apreçamento de ativos com o pressuposto de um mercado em

equilíbrio e inserido em um contexto de otimização por média-variância.

Através do CAPM, que tem como forte pressuposto que todos os investidores

utilizam a otimização por média-variância na definição de suas carteiras de

investimento, pode-se verificar que o risco (dado pela variância) de um ativo

qualquer pode ser dividido em dois termos: um dos termos relacionados ao

próprio mercado (chamado de risco sistêmico) e um outro que, de alguma

maneira, pode ser totalmente eliminado através da diversificação dos ativos na

carteira (chamado de risco não-sistêmico). A relação entre os retornos desses

ativos e uma carteira de referência (a carteira de mercado) levou aos chamados

modelos por fatores que, diferentemente do CAPM, assumem simplesmente que

os retornos dos ativos são proporcionais a alguns índices de referência e

incertezas inerentes ao próprio ativo em questão. Mais uma vez, dentro de um

contexto de equilíbrio de mercado e assumindo a impossibilidade de operações

de arbitragem, o modelo por fatores leva a uma teoria para o apreçamento de

ativos conhecida como APT — Arbitrage Pricing Theory.

A princípio será apresentada a carteira de mercado e irá se verificar que,

em uma situação de equilíbrio onde todos os investidores adotam uma estratégia

de otimização por média-variância, a carteira de mercado coincidirá com a

carteira tangente ω

T

apresentada na seção anterior. Será também apresentado o

modelo de Sharpe-Lintner e o CAPM, assumindo-se que existe no mercado um

ativo livre de risco, com uma taxa igual, tanto para emprestar como para tomar

dinheiro emprestado. Em seguida será exposto o modelo de análise de

desempenho de investimentos derivado da abordagem de Sharpe-Lintner. A

importância de se entender essa metodologia de análise de investimentos a

partir de referenciais (behchmarks) reside no fato do modelo utilizado neste

trabalho (DEA) criar os referenciais a partir dos próprios dados.