FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM

1- Definição

Denomina-se função do 1º grau (ou afim) a toda função do tipo f(x) = ax+b com a * e b . Exemplos a) f(x) = 2x – 6 (a = 2 e b = -6) b) y = -x + 4 (a = -1 e b = 4) c) f(x) = 5x – 2 (a = 5 e b = -2) d) 2 1 5 2   x y (a = 2/5 e b = -1/2) Notas:

1ª) Domínio da função afim é o conjunto dos reais. 2ª) Conjunto imagem é o conjunto dos reais. 3ª) O gráfico é uma reta.

4ª) O gráfico intercepta o eixo das abscissas em (x, 0) e o eixo das ordenadas em (0, y).

5ª) Quando b = 0, a função do 1º grau é denominada particularmente de função linear [f(x) = ax] cujo gráfico passa pela origem dos eixos cartesiano.

Exemplos:

a) f(x) = 3x (a = 3 e b = 0) b) y = -5x (a = -5 e b = 0) c) f(x) = 2x/3 (a = 2/3 e b = 0)

2- GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM OU DO 1º GRAU

3- CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM

Como o gráfico da função afim é uma reta, precisamos de apenas dois pontos distintos para construir a mesma, pois, ao estudarmos geometria, verificamos que, dois pontos distintos determinam uma única reta, logo, atribuímos dois valores arbitrários para a variável independente x, em seguida, obtemos os valores da variável dependente y. Observe o exemplo abaixo:

1- Construir o gráfico da função f(x) = 3x – 1.

x y (x, y) 0 -1 (0, -1) 1 2 (1, 2) f(0) = 3.0 – 1 = -1 f(1) = 3.1 – 1 = 2 EXERCÍCIO

01- Em cada função abaixo, determine: a) O domínio.

b) O conjunto imagem. c) O gráfico.

d) Os pontos em que o gráfico intercepta os eixos dos x e dos y.

a) f(x) = 2x – 4 b) y = -x + 3 c) f(x) = x d) y = -2x Solução: a) f(x) = 2x - 4 y f(x) = 3x-1 2 0 1 x -1

a.1) D =  a.2) Im =  a.3) x y (x, y) 0 -4 (0, -4) 1 -2 (1, -2) f(x) = 2x – 4

f(0) = 2.0 – 4 = 0 – 4 = - 4 (valor numérico da função) f(1) = 2.1 – 4 = 2 – 4 = -2 a.4)                    ) 4 , 0 ( 4 4 0 . 2 ) 0 ( 0 ) 0 , 2 ( ) ( 2 0 4 2 0 2 1 p f x p função da rais x x y b) y = -x + 3 b.1) D =  b2) Im =  y p1 2 0 1 x -2  -4 p2

b.3) x y (x, y) 0 3 (0, 3) 1 2 (1, 2) f(x) = -x + 3 f(0) = 0 + 3 = 0 + 3 = 3 f(1) = -1 + 3 = 2 b.4)                   ) 3 , 0 ( 3 3 0 ) 0 ( 0 ) 0 , 3 ( ) ( 3 0 3 0 2 1 p f x p função da raiz x x y c) f(x) = x (função identidade) c.1) D =  c2) Im =  c.3) x y (x, y) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1) f(x) = x f(0) = 0 y 3 p1 2 _P 2 0 1 3 x

f(1) = 1

3.4) P(0, 0) (origem dos eixos)

d) f(x) = -2x d.1) D =  d.2) Im =  d.3) x y (x, y) 0 0 (0, 0) 1 -2 (1, -2) f(x) = -2x f(0) = -2.0 = 0 f(1) = -2.1 = -2

d.4) P(0, 0) (origem dos eixos)

y 1  0  1 x y p  0 1 x -2 

Observações:

1ª) Na reta f(x) = ax + b, o valor do coeficiente da variável independente x, no caso a, é denominado Coeficiente Angular, sendo determinado pela tangente do ângulo que a reta forma com o eixo positivo dos x (a = tg ) no sentido

anti-horário. Este coeficiente representa uma variação na variável dependente y (y)

ocasionado por uma modificação ocorrida na variável independente x (x). O valor

de b é denominado Coeficiente Linear, que equivale à distância da origem ao ponto onde o gráfico intercepta o eixo-y.

2ª) Em relação à reta f(x) = 2x – 4 temos a = 2 e b = -4.

* Como a = tg , temos: tg  = 2  = arctg 2  63º

3ª) Em relação à reta f(x) = -x + 3 temos a = -1 e b = 3.

* Como a = tg , temos: tg  = -1  = arctg (-1)  135º

4ª) A função f(x) = 2x – 4 apresenta o coeficiente angular positivo (a = 2), logo, é uma função crescente [x2 > x1  f(x2) > f(x1) ou x2 < x1  f(x2) < f(x1)]. Já, a função f(x) = -x + 3, apresenta o coeficiente angular negativo (a = -1), logo, é uma função decrescente [x2 > x1  f(x2) < f(x1) ou x2 < x1  f(x2) > f(x1)]. y  2 0 1 _x -2  -4  y 3 2  0 1 x

3- ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

Já vimos que estudar o sinal de uma função significa encontrar os valores de x que a torna positiva, negativa ou nula. Então, vamos resolver o seguinte problema:

- Estude o sinal de cada função abaixo: a) f(x) = 2x – 4 b) f(x) = -x + 3

Solução: a) f(x) = 2x – 4

1- Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo. Neste caso, a é positivo (a = 2).

2- Calcula-se a raiz da função. f(x) = 2x - 4

Em outras palavras, dizemos que, se x assumir qualquer valor maior que dois, a função f(x) será sempre positiva; se assumir qualquer valor menor que dois, a função será sempre negativa e, se assumir o valor 2, a função será nula.

b) f(x) = -x + 3

Mesmo procedimento do anterior. 1) a < 0

4- INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

4.1- Definição

É toda sentença matemática aberta do tipo ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b  0

e ax + b  0 com a e b  e a  0. Exemplos: a) 2x – 6 > 0 b) -4x + 2 < 0 c) 4x  0 d) 5 – x  0 e) (4x + 4).(-2x + 4)  0 f) 0 8 4 12 3           x x 4.2- Resolução

Já resolvemos algumas inequações do 1º grau quando do estudo do domínio de uma função, então, encontremos o conjunto solução das inequações acima.

a) 2x – 6 > 0

2x > 6  x > 3

S = {x  / x > 3} ou ]3, +)

Outra maneira de resolver 2x – 6 > 0

- Transforma-se numa função do 1º grau e, em seguida, estuda-se o sinal da mesma.

f(x) = 2x - 6

- Determina-se o sinal de a.

3

a = 2  a > 0 - Calcula-se a raiz: 2x – 6 = 0  x = 3

- Esquematiza-se o resultado:

Observa-se que a função apresenta resultado positivo (f(x) > 0), quando x

assumir qualquer valor maior ou igual a 3. Então, o conjunto solução é S = {x 

/ x > 3} ou ]3, +).

b) -4x + 2 < 0

Sendo a negativo (-4), deve-se multiplicar toda a inequação por -1, conseqüentemente, troca-se todos os sinais, inclusive da inequação.

-4x + 2 < 0 x (-1) 4x – 2 > 0 4x > 2 x > 2/4 x > 1/2 S = {x / x > 1/2} ou ]1/2, +) c) 4x  0 x  0/4 x  0 S = {x / x  0} ou (-, 0] c/a (-) 3 m/a (+) x O 1/2 0 x

d) 5 – x  0 -x -5 x (-1) X  5 S = {x / x  5} ou (-, 5] e) (4x + 4).(-2x + 4)  0 (Inequação produto)

- Separa-se em duas funções, em seguida estuda-se o sinal de cada uma.

f(x) = 4x + 4 g(x) = -2x + 4 1) a = 4  a > 0 1) a = -2  a < 0 2) 4x + 4 = 0 2) -2x + 4 = 0 x = -1 x = 2 c/a -1 m/a x 3) f(x) - ---+++++++++++++++++++++++ + 2 g(x) - +++++++++++++++++++ +--- + f.g) - --- +++++++++++ --- + -1 2

- Como os valores da inequação deverão ser positivos ou nulos ( 0), temos:

- 0 x 

- 5 x 

V = {x  / -1  x  2} ou [-1, 2] f) 0 8 4 12 3           x x (Inequação quociente)

- Utiliza-se o mesmo processo da inequação produto, isto é, separa-se em duas funções, em seguida estuda-se o sinal de cada uma.

f(x) = 3x + 12 g(x) = -4x + 8

1) a = 3  a > 0 1) a = -4  a < 0 2) 3x + 12 = 0 2) -4x + 8  0

x = -4 x = 2

* Sendo 2 raiz do denominador devemos excluí-la da resposta (x  2).

3) -4 f(x) - ++++++ --- + 2 g(x) - --- -- +++++++++++++ + f/g) ----++++++++++ --- + -4 2

- Como os valores da inequação deverão ser negativos ou nulos ( 0), temos:

ESTUDO DA RETA

Introdução

Observamos no estudo sobre função do 1º grau que, através de dois pontos distintos, construímos o gráfico da mesma, no caso, uma reta. Agora, utilizando esses pontos, vamos encontrar a equação que representa essa reta. Contudo, antes de determinarmos a equação da reta, vamos verificar como se calcula a distância entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e, em seguida, o ponto médio de um segmento.

Observe o gráfico abaixo:

            y em iação y y y x em iação x x x var var 1 2 1 2

Nele, surge um triângulo retângulo P1ÂP2. Logo, utilizando o Teorema de Pitágoras (o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos), encontramos a fórmula que possibilita o cálculo do valor da distância(d) entre os pontos P1 e P2:      2 2 2 x y d d  y2  x2  d  y₂  y₁2  x₂  x₁2 y y2 P2 d y = y2 - y 1 y1 P1 A x = x2- x1 0 x1 x2 x

Exemplos:

01- Encontrar a distância entre os seguintes pontos:

a) (2, 4) e B(0, 6) b) C(-3, 5) e D(2, -1) c) E(6, 43) e F(-2, 3) Solução: a)         2 2 8 ) 2 ( 2 2 0 4 6 6 0 4 2 ) 6 , 0 ( ) 4 , 2 ( 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1                        AB AB AB AB d d d x x y y d y e x y e x B e A b)         61 25 36 ) 3 2 ( ) 6 ( ) 3 ( 2 5 1 1 2 5 3 ) 1 , 2 ( ) 5 , 3 ( 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1                                CD CD CD CD d d d x x y y d y e x y e x D e C

c)       91 64 27 ) 8 ( ) 3 3 ( 6 2 ) 3 4 3 ( 3 2 3 4 6 ) 3 , 2 ( ) 3 4 , 6 ( 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1                             EF EF EF EF d d d x x y y d y e x y e x F e E 02- Dados os pontos P(2, 3), Q(1, 4) e S(0, 2): a) Verifique se dPQ + dQS > dPS + dQS.

b) Traçar as retas que passam pelos pontos P e Q, pelos pontos P e S, no mesmo plano cadtesiano. Solução: a)    2 1 2 2 1 2 y x x y d     432  1 22  2  PQ d 2 32 022  5  PS d 2 42  0 12  5  QS d dPQ + dQS = 2  5 dPS + dQS = 5  5  2 5

b) 4 Q PS 3 P 2 S PQ 0 1 2 x

02- Um indivíduo programou uma viagem de férias com a família saindo da cidade A para a cidade C com parada obrigatória na cidade B. Verificou no mapa a localização de cada cidade (figura abaixo). Sabendo que com o tanque de combustível de seu carro cheio (70 litros) consegue rodar em torno de 80 km. Pergunta-se: o indivíduo pode fazer a viagem sem abastecer na cidade B?

y (km) 50 40 C(70,40) 30 20 B(30,20) 10 x (km) A (0, 0) 10 20 30 40 50 60 70 Solução:

2.1) Cálculo da distância do ponto A até o B.

        km d d d x x y y d y e x y e x B e A CD CD CD CD 36 13 10 1300 900 400 ) 30 ( ) 20 ( 0 30 0 20 20 30 0 0 ) 20 , 30 ( ) 0 , 0 ( 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1                         

2.2) Cálculo da distância do ponto B até o C.

        km d d d x x y y d y e x y e x B e B CD CD CD CD 45 5 20 000 . 2 1600 400 ) 40 ( ) 20 ( 30 70 20 40 40 70 20 30 ) 40 , 70 ( ) 20 , 30 ( 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1                         

2.3) Somando as distâncias, temos, aproximadamente, 81 km.

2.4) Pelo resultado total (81 km), verifica-se que o indivíduo tem que abastecer na cidade B.

03- Suponha que na figura acima, AB e BC representam cabos elétricos instalados do ponto A ao ponto C passando por B. Se o preço cobrado por metro linear de A até B for de R$ 4,50 e de B até C de R$ 6,40.

b) Se a dívida for paga à vista, há um desconto de 15%. Então, qual será o custo total da instalação se a dívida for quitada antes do inicio da obra?

c) Segundo o contrato, se acontecer atraso no pagamento será cobrado uma multa de 12,5% em cima do total. Então, caso aconteça o atraso, qual será o valor da dívida?

Solução: a)

a.1) Como a distância de A até B é, aproximadamente, 36 km, temos: 36 km = 36.000 metros x 4,50 = 162.000,00

a.2) A distância de B até C é, aproximadamente, 45 km, temos: 45 km = 45.000 metros x 6.40 = 288.000,00

a.3) O custo total (Ct) será, Ct = CAB + CBC = 450.000,00

b) 450.000 x 0,15 = 67.500,00 (desconto).

450.000,00 – 67.500,00 = 382.500,00 (custo total após o desconto)

c) 450.000 x 0,125 = 56.250,00 (multa)

450.000,00 + 56.250,00 = 506.250,00 (custo total com atraso)

Solução:

Para encontrar o perímetro de uma figura, devemos somar os valores de seus lados, logo, nesse caso, vamos encontrar a soma das medidas dos lados do triângulo que aparece na figura. Para isso, necessitamos calcular as distâncias entre os vértices do triângulo dAB, dBC e dCA.

Sendo A(2, 3), B(6, 4) e C(4, 5) os vértices, temos:

Após o aprendizado do cálculo da distância entre dois pontos, vamos verificar, através do gráfico abaixo, como se determina o ponto médio de um segmento.

Pelo teorema de Tales, temos:

2 1 2 1 2 1 2 1 MP M P y y y y e MP M P x x x x m m m m       , como 2 1 MP M P = 1, temos:                            2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 y y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x x m m m m m m m m m m             km d km d km d x x y y d BC AC AB 5 1 4 ) 4 5 ( ) 6 4 ( 2 2 8 4 4 3 5 2 4 17 16 1 2 6 3 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2                          

Logo, o ponto médio é         2 , 2 1 2 1 2 x y y x M .

* Nota-se que os valores da abscissa e da ordenada do ponto médio do segmento AB, são calculados pela média aritmética das abscissas e das ordenadas desses pontos.

Exemplos:

01- Encontre o ponto médio do segmento A(6, 5) e B(-4, 3), representando-o graficamente. Solução: ) 4 , 1 ( 4 2 5 3 2 1 2 6 4 2 3 5 , 4 , 6 1 2 1 2 2 1 2 1 M y y y x x x y e y x x m m                       

02- Calcule os valores de p e q, sendo M(3, -2) o ponto médio do segmento A(p, 4) e B(-6, q).

: , 2 3 , 2 4 2 2 6 2 4 , 6 , 1 2 1 2 2 1 2 1 temos y e x Como q y y y p x x x q y e y x p x m m m m                                         8 2 2 4 12 3 2 6 q q p p EQUAÇÕES DE RETA

A partir desse momento, vamos utilizar alguns processos para encontrar a equação de uma reta.

Primeiramente, partimos para as definições de Inclinação e Declividade (Coeficiente Angular) de uma reta não paralela aos eixos x e y. Observe o gráfico

abaixo.

Denominamos Inclinação de uma reta ao ângulo () formado pela intersecção

dela, com o eixo-x, no sentido anti-horário.

Chama-se Declividade ou Coeficiente Angular (a) o valor da tangente desse

declividade será positiva, entretanto, se estiver no 2º quadrante (90o    180o), será negativa.

Observe no gráfico o surgimento de um triângulo retângulo ACB. Em geometria, ao estudarmos as razões trigonométricas, constatamos que a tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo, logo, o Coeficiente Angular é dado pela fórmula:

1 2 1 2 x x y y AC BC Tg a       Exemplos:

01- Uma determinada reta forma um ângulo de 60º com o eixo-x, no sentido anti-horário. Determine:

a) O valor da inclinação.

b) O valor do coeficiente angular.

Solução:

a) A inclinação é o ângulo que a reta forma com o eixo-x, ou seja, 60º.

b) O coeficiente angular é a tangente da inclinação, nesse caso, a = tg 60º = 3 .

Solução:

Como a inclinação é 145º, a declividade da reta r é a = tg 145º = -tg 45º  a = - 1.

03- Determine o coeficiente angular e a inclinação de cada reta determinada pelos pontos abaixo: a) A(2, 6) e B(-2, 4) b) C(-1, 4) e D(-3, 8) Solução: a) A(2, 6) e B(-2, 4)





                                        ) ( º 6 , 26 2 1 2 1 ) ( 2 1 4 2 2 2 6 4 4 6 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 inclinação arctg tg inversa rica trigonomét função arctga tg a e declividad ou angular e coeficient x x y y a y e y x e x      b) C(-1, 4) e D(-3, 8)                                           ) ( º 104 º 76 4 4 ) ( 4 1 4 ) 2 ( 3 4 8 8 4 3 2 1 2 1 2 2 1 2 1 inclinação arctg tg inversa rica trigonomét função arctga tg a e declividad x x y y a y e y x e x     

A partir desse momento, vamos encontrar as equações de reta.

Equação da reta que passa por um ponto e tem a, como declividade (coeficiente angular).

Imagine uma reta r, pertencente a um sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais, que passa por um ponto A(x1, y1) e apresenta o coeficiente angular

tg = a, conforme o gráfico abaixo.

Ao estudarmos Geometria, verificamos que uma reta é determinada por dois pontos, portanto, utilizemos um ponto B, diferente de A, pertencente à reta, para encontrarmos a equação da mesma. Pela relação trigonométrica no triangulo retângulo, temos: ) ( ) ( ) .( : ), ( , 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 x x a y y y y x x a x x x x y y a temos angular e coeficient a tg como x x y y Tg x y Tg                    

A equação acima representa a equação da reta que passa por um ponto A(x1, y1)

Exemplo:

- Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(2,4) e apresenta coeficiente angular igual a 3.

Solução:

Utilizando a fórmula y – y1 = a.(x - x1), temos: y – 4 = 3.(x - 2)

y = 3x – 6 + 4

y = 3x – 2 (1)

Igualando a zero a equação acima, temos: y = 3x – 2

-3x + y + 2 = 0 ou 3x - y - 2 = 0 (2)

A equação (1) é denominada equação reduzida da reta (y = Ax + B) e a (2), equação geral da reta (Ax + By + C = 0).

Equação da reta que passa por dois pontos

Observe o gráfico abaixo.

Para encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), devemos calcular, inicialmente, o valor do coeficiente angular através da fórmula

1 2 1 2 x x y y a  

 , em seguida, substituir na fórmula y  y₁  a.(x  x₁)ou aplicar a

fórmula ( ₁) 1 2 1 2 1 x x x x y y y y _           .

Exemplo:

1- Determinar a equação da reta representada pelo gráfico.

Observe que a reta passa pelos pontos A(1, 4) e B(3, 6), logo:

) ( 0 3 ) ( 3 4 ) 1 .( 1 ) 1 .( 2 2 4 ) 1 .( 1 3 4 6 4 ) ( ₁ 1 2 1 2 1 geral equação y x ou reduzida equação x y x y x y x y x x x x y y y y                                 

Equação segmentária de uma reta

Agora que verificamos como se determina a equação da reta nas formas reduzida e geral, vamos verificar os procedimentos para determinar a equação da reta na forma segmentária.

Seja r, uma reta não paralela aos eixos x e y e que passa pelos pontos A(m, 0) e

B (0, n), onde m ≠ 0 e n ≠ 0. Vamos determinar a equação geral da mesma

utilizando a fórmula y - y1 = a.(x – x1). - Calculando o coeficiente angular.

m n m n x x y y a         0 0 1 2 1 2

- Encontrando a equação geral da reta.

) ( 0 ) .( ) .( 0 ₁ reta da geral equação mn my nx nm nx my m x m n y x x a y            

- A partir da equação geral encontrada, vamos determinar equação segmentária da mesma. )) ( 1 ) ( 0 reta da a segmentári equação n y m x mn mn nx my mn my nx         Exemplo:

Encontre a equação segmentária da reta r: -3x + y + 2 = 0.

Inicialmente, devemos determinar a intersecção da mesma com os eixos x e y, como segue:

1) Quando a reta intercepta o eixo-y, o valor da abscissa vale zero (x = 0), logo:

x = 0  -3.0 + y + 2 = 0  y = -2  (0, -2) ponto em que a reta intercepta o eixo-y.

2) Quando a reta intercepta o eixo-x, o valor da ordenada vale zero (y = 0), logo:

y = 0  -3x + 0 + 2 = 0  x = 2/3  (2/3, 0) ponto em que a reta intercepta o

eixo-x. A equação segmentária é 1. 2 3 2 1       x y n y m x

Observe que n é a ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo-y e m, é a abscissa do ponto onde a reta intercepta o eixo-x. Graficamente temos:

Equações paramétricas de uma reta

Quando encontramos uma equação da reta na forma de sistema                   0 0 ou c a com d ct y b at x

, denominamos de equações paramétricas de uma reta. Exemplo 1- Verificar se o sistema        1 2 2 3 t y t x representa a reta r: 2x – 3y - 7 = 0. Isolando t na equação y = 2t – 1.

2 1 1 2 1 2         t t y t y y

Substituindo o valor de t na equação x = 3t + 2.

0 7 3 2 4 3 3 2 2 2 3 3 2 2 1 . 3 2 3                     y x y x y x y x t x

Como, o sistema representa a reta r, damos o nome, ao mesmo, de equações paramétricas da reta.

02- Dê a equação da reta que passa pelo ponto A(-1, 4) e forma com o eixo-x, no sentido anti-horário, um ângulo de 30º.

Solução:

Utilizando a fórmula y  y₁  a(x  x₁), temos:

) ( 0 ) 12 3 ( 3 3 12 3 . 3 3 ) ( 4 3 3 3 3 ) 1 .( 3 3 4 )) 1 ( º.( 30 4 geral forma y x x y ou reduzida forma x y x y x tg y                  

5 3 Solução: 0 5 2 5 2 2 5 ) 0 ( 0 2 5 1 5 ) ( ) ( 1 5 2 0 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1                                             y x ou x y x y x y x x x x y y y y x x a y y y e y x e x

04- Os pontos A(-2, 3) e B(0, 5) pertencem a reta r. Encontre sua inclinação.

Solução: angular e coeficient x x y y a y e y x e x 1 2 2 ) 2 ( 0 3 5 5 3 0 2 1 2 1 2 2 1 2 1                   

Agora, se uma reta estiver paralela a um dos eixos cartesianos, como ficará sua equação?

Para responder esse questionamento, vamos verificar os dois casos:

1º- Quando a reta r estiver paralela ao eixo-x (ou perpendicular ao eixo-y):

nesse caso, o coeficiente angular é bem definido e seu valor é igual a 0 (tg 0 = 0).

Logo, podemos aplicar a equaçãoy  y₁  a(x x₁).

2º- Quando a reta r estiver paralela ao eixo-y (ou perpendicular ao eixo-x):

nesse caso, o coeficiente angular não está definido (tg 90º). Logo, não podemos

aplicar a equação y y₁  a(x x₁). Porém, uma reta vertical ao eixo-x,

caracteriza-se por aprecaracteriza-sentar em todos os caracteriza-seus pontos a mesma abscissa, logo, sua equação é dada por x = x1.

Respostas: a) y = 3 b) y = -1 c) x = 2 d) x = -1

Notas:

1ª) para verificar se um ponto pertence a uma reta, devemos substituir suas coordenadas na equação e constatar se a igualdade prevalece.

Exemplo:

1- Verifique se os pontos A(2, -4) e B(-3, 5), pertencem à reta x – 2y + 13= 0.

Solução:

Substituindo A(2, -4) na equação x – 2y + 13= 0, temos: 2 – 2(-4) + 13 = 0

2+8 + 13 = 0 23 = 0 (F)

Observe que a proposição é falsa, logo, A(2, -4) não pertence à reta.

Substituindo B(-3, 5) na equação x – 2y + 13= 0, temos: -3 – 2.5 + 13 = 0

-3 - 10 + 13 = 0 -13 + 13 = 0 0 = 0 (V)

Nesse caso, a proposição é verdadeira, logo, B(-3, 5) pertence à reta.

2ª) Para encontrar o ponto de intersecção entre duas retas, devemos resolver o sistema formado pelas equações das mesmas.

Exemplo:

Solução: Resolvendo o sistema. 2 0 14 7 0 2 12 6 0 2 ) 6 3 ( 2 : , 1 2 ) 2 ( 6 3 ) 1 ( 0 2 2                       x x x x x x temos em do Substituin x y y x

Substituindo x = 2 em (1) ou em (2), encontramos y = 0, logo, (2, 0) é o ponto onde as retas se interceptam. Graficamente, temos:

EXERCÍCIOS

01- Em relação aos pares de pontos abaixo, determine: 1.1) A distância entre eles;

1.2) A equação da reta que passa pelos mesmos; 1.3) Represente graficamente os itens a e b.

a) P(2, 3) e Q(1, 4) b) P(-1, 5) e Q(3, -2) c) P(-2, 0) e Q(-4, -5) d) P(2/3, -1) e Q(3/2, 0)

02- Dados os pontos A(4, 2) e B(1, 5):

a) Calcule a distância entre os pontos A e B. b) Trace a reta que passa por A e B.

c) Encontre o coeficiente angular.

d) Determine a equação da reta que passa por A e B.

02- Um fabricante obteve os seguintes dados relacionando o custo C (em unidade de milhar) ao número de unidades produzidas Q de certo bem.

Q 0 10 20 30 40 50

C 2 2,5 3,0 3,8 4,0 4,5

a) Represente graficamente o Custo (C) em função da quantidade produzida (Q).

b) Trace a reta que passa pelos pontos (0; 2) e (50; 4,5).

c) Determine a equação da reta quer passa pelos pontos do item b.

d) Considerando esta equação como uma aproximação da relação entre custo total e o nível de produção, estime o custo de se produzirem 45 unidades do bem em questão.

03- Dados os pontos P(2, 3), Q(1, 4) e S(0, 2): a) Verifique se dPQ + dPS > dQS .

b) Trace as retas PQ e PS.

c) Encontre o coeficiente angular de cada reta.

MODELO MATEMÁTICO

Agora, vamos verificar através de exemplos, a maneira de encontrar um modelo matemático.

01- Constituir a equação y = Ax + B de uma reta que aproxima o seguinte conjunto de pontos P={(1,3), (2, 4), (4, 8), (5, 15)}.

Solução

A equação da reta que aproxima um conjunto de pontos através do critério dos mínimos quadrados é: y = Ax + B Onde,                 x A y B e x n x y x n xy A 2 2 ) (

xy = soma dos produtos xy

n = número de pontos observados

x2 = soma dos quadrados dos valores de x

) (médias aritmética s n y y e n x x 







Para facilitar os cálculos construímos uma tabela.

x y x.y x2

x y Logo x B x x x A 8 , 2 9 , 0 , 9 , 0 3 8 , 2 5 , 7 8 , 2 10 28 3 4 46 5 , 7 3 4 118 2            

* y = -09 + 2,8x ou y = 2,8x – 0,9 representa o modelo procurado.

02- Uma pesquisa sobre a oferta de mercado de certo produto M, levou à seguinte escala de oferta:

Escala de Oferta de Mercado do Produto M P = Preço (R$/unidade) S = Quantidade Ofertada (em unidades/mês) 30 35 42 48 80 22 28 34 42 75

Identificar o modelo linear que melhor se ajusta à escala de oferta do produto M. Represente graficamente no plano cartesiano.

04- Um fabricante obteve os seguintes dados relacionando o custo C (em unidade de milhar) ao número de unidades produzidas Q de certo bem.

Q 0 10 20 30 40 50

C 2 2,5 3,0 3,8 4,0 4,5

a) Represente graficamente o Custo (C) em função da quantidade produzida (Q).

b) Trace a reta que passa pelos pontos (0; 2) e (50; 4,5).

c) Determine a equação da reta quer passa pelos pontos do item b.

2 4 5 4 8 15 8 32 75 4 16 25 12 30 118 46

d) Considerando esta equação como uma aproximação da relação entre custo total e o nível de produção, estime o custo de se produzirem 45 unidades do bem em questão.