Comparação do Comportamento de Elementos Finitos de Equilíbrio para Lajes de Kirchhoff e para Lajes de Reissner-Mindlin

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Comparação do Comportamento de Elementos Finitos de

Equilíbrio para Lajes de Kirchhoff e para Lajes de

Reissner-Mindlin

António Pedro Cartaxo Urmal

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientadores: Professor Doutor Orlando José Barreiros D' Almeida Pereira

Professor Doutor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida

Júri

Presidente: Professor Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Orientador: Professor Doutor Orlando José Barreiros D' Almeida Pereira

Vogal: Professor Doutor Manuel da Cunha Ritto Corrêa

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iii

RESUMO

Nesta dissertação, aplicam-se modelos de elementos finitos para a análise de lajes de Reissner-Mindlin e lajes de Kirchhoff em regime elástico linear. É aplicada a formulação híbrida de equilíbrio, ou de tensão, a partir da qual é possível obter soluções equilibradas, sendo feita a distinção com a formulação clássica do método dos elementos finitos. Apresentam-se as condições para cada teoria e a definição da formulação em causa.

Foram utilizados programas computacionais já desenvolvidos, que permitiram a avaliação e comparação dos modelos testados, tendo sido posteriormente documentados os resultados obtidos.

Os problemas contidos na dissertação têm como objetivo explorar a interação de diferentes geometrias de laje, condições de fronteira e espessura. Avaliam-se de seguida efeitos como a energia de deformação, convergência da solução com base no refinamento utilizado na laje e efeito de bordo.

É realizado ainda um estudo comparativo dos campos de esforços e deformadas para as diferentes teorias.

PALAVRAS CHAVE

Formulação híbrida de equilíbrio Lajes de Reissner-Mindlin Lajes de Kirchhoff

Efeito de Bordo Energia de deformação Elasticidade linear

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v

ABSTRACT

In this dissertation, finite element hybrid equilibrium formulations, which provide equilibrated solutions, are used for the analysis of linear elastic Reissner-Mindlin and Kirchhoff slabs. The conditions for each theory and formulation are presented as well as the distinction between the classical formulation of the finite element method and its hybrid equilibrium counterpart.

Computer programs that had been previously developed, which allowed for the evaluation and comparison of the tested models, were used, and the results obtained are documented.

The test problems studied in this dissertation aim to explore the interaction of different slab geometries, boundary conditions and thicknesses. Effects such as the strain energy of the solutions, their convergence based on the refinement used and the “boundary layer” effect are evaluated.

A comparative study of the bending and shear stress fields and deformed slab configurations corresponding to the different theories is also presented.

KEYWORDS

Hybrid equilibrium formulation Reissner-Mindlin slabs Kirchhoff slabs Boundary layer effect Strain Energy Linear elasticity

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AGRADECIMENTOS

Dedico esta dissertação ao meu falecido avô, Américo Valério Cartaxo a quem devo parte do que sou e de quem me irei tornar.

“Obrigado avô por tudo o que me deste, nunca me irei esquecer de ti.”

Agradeço à minha família e amigos por todo o apoio e paciência, em especial há minha mãe, sem ela não teria sido capaz, e ela sabe disso melhor que ninguém.

Agradeço ao Prof. Moitinho por tudo o que me ensinou e apoio durante a elaboração da minha dissertação.

Gostaria de agradecer ao Prof. Orlando Pereira por me ter aceite para elaborar esta dissertação. Quero deixar ainda uma palavra aos meus colegas de gabinete na qual elaborei a dissertação, Prof. Mário Arruda e o recentemente formado Doutor João Firmo, obrigado pela força depositada em mim, ao meu amigo Diogo Carlos e restante malta de Armação de Perâ pelos momentos de diversão que me deram todos os anos, aos meus “amigos do café” que muito aturaram o meu ego, nem sempre fácil de lidar e finalmente aos meus amigos de curso pela interajuda ao longo deste curso.

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INDÍCE

Conteúdo

RESUMO ...III PALAVRAS CHAVE ...III ABSTRACT ... V KEYWORDS ... V AGRADECIMENTOS ... VII INDÍCE ... IX LISTA DE FIGURAS ... XIII LISTA DE GRÁFICOS ... XVII LISTA DE TABELAS ... XIX NOTAÇÃO ... XXIII CAPÍTULO 1. ...1 INTRODUÇÃO ...1 1.1 ENQUADRAMENTO ... 1 1.2 OBJETIVO ... 2 1.3 ORGANIZAÇÃO ... 2 CAPÍTULO 2. ...3 TEORIAS DE LAJES ...3

2.1 TEORIA DE LAJES DE REISSNER-MINDLIN OU TEORIA DE LAJES ESPESSAS ... 3

2.1.1 Introdução ... 3

2.1.2 Condições de Compatibilidade ... 4

2.1.3 Condições de equilíbrio ... 5

2.1.4 Relações Constitutivas ... 6

2.1.5 Condições de Fronteira ... 6

2.2 TEORIA DE LAJES DE KIRCHHOFF OU TEORIA DE LAJES FINAS ... 8

2.2.1 Introdução ... 8 2.2.2 Condições de Compatibilidade ... 9 2.2.3 Condições de equilíbrio ... 9 2.2.4 Relações Constitutivas ... 10 2.2.5 Condições de Fronteira ... 10 CAPÍTULO 3. ... 13

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x

3.1 INTRODUÇÃO ... 13

3.2 FORMULAÇÃO CLÁSSICA DE ELEMENTOS FINITOS PARA LAJES DE REISSNER-MINDLIN. ... 14

3.2.1 Aproximação dos Deslocamentos ... 14

3.2.2 Sistema Geral de Equações ... 15

3.2.3 Travamento por Corte ... 17

3.2.4 Efeito de Bordo ... 18

3.3 FORMULAÇÃO CLÁSSICA DE ELEMENTOS FINITOS PARA LAJES DE KIRCHHOFF ... 18

3.3.1 Aproximação do Deslocamento ... 18

3.3.2 Matrizes e Vetores elementares ... 20

CAPÍTULO 4. ... 21

FORMULAÇÃO HÍBRIDA DE EQUILÍBRIO ... 21

4.1 FORMULAÇÃO HÍBRIDA DE TENSÕES PARA LAJES DE REISSNER-MINDLIN ... 21

4.1.1 Aproximação das Variáveis ... 21

4.1.2 Formulação de Elementos Finitos ... 23

4.1.3 Escolha do grau de aproximação dos deslocamentos ... 24

4.2 FORMULAÇÃO HÍBRIDA DE TENSÕES PARA LAJES DE KIRCHHOFF ... 25

4.2.1 Aproximação dos deslocamentos de fronteira ... 25

4.2.2 Equilíbrio nos lados e nos vértices ... 26

4.2.3 Compatibilidade ... 28 CAPÍTULO 5. ... 29 REFINAMENTO ... 29 5.1 INTRODUÇÃO ... 29 5.2 TÉCNICAS DE REFINAMENTO... 30 5.2.1 Refinamento p ... 30 5.2.2 Refinamento h ... 30 CAPÍTULO 6. ... 33 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ... 33

6.1 PRINCÍPIO DO MÍNIMO DA ENERGIA POTENCIAL COMPLEMENTAR... 33

6.2 EXTRAPOLAÇÃO DE RICHARDSON ... 34

CAPÍTULO 7. ... 35

ANÁLISE DOS PROBLEMAS DE ESTUDO ... 35

7.1 INTRODUÇÃO ... 35

7.2 PROBLEMA Nº1 ... 36

7.2.1 Energia de Deformação ... 38

7.2.2 Convergência da Solução com a Evolução do Refinamento ... 40

7.2.3 Energia de Deformação por Corte – Teoria das Lajes de Reissner-Mindlin ... 43

7.2.4 Energia de Deformação por Flexão – Comparação entre Teorias ... 49

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xi

7.2.6 Campos de Esforços e de Densidade de Energia de Deformação ... 51

7.3.1 Convergência da Solução com a Evolução do Refinamento h ... 55

7.3.2 Deformadas ... 58

7.3.3 Campos de Esforços e de Densidade deEnergia de Deformação ... 59

7.4.1 Comparação de Pilar “Preenchido” e Pilar “Vazio” ... 68

7.4.2 Convergência da Solução com a Evolução do Refinamento ... 72

7.4.3 Campo de Esforços e de Densidade de Energia de Deformação ... 74

7.4.4 Evolução da Energia de Deformação por Corte (%) com a Espessura ... 81

7.4.5 Deformadas ... 83

CAPÍTULO 8. ... 85

CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS ... 85

8.1 CONCLUSÕES ... 85

8.2 TRABALHOS FUTUROS ... 86

BIBLIOGRAFIA... 87

ANEXO A. UTILIZAÇÃO DOS PROGRAMAS ... 89

ANEXO B. TABELAS PARA O 1º PROBLEMA ... 91

ANEXO C. TABELAS PARA O 2º PROBLEMA ... 111

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LISTA DE FIGURAS

FIGURA 2.1:ILUSTRAÇÃO DAS HIPÓTESES;TEORIA DE REISSNER-MINDLIN ... 4

FIGURA 2.2-DEFINIÇÃO DAS ROTAÇÕES; TEORIA DE KIRCHHOFF ... 8

FIGURA 3.1–ELEMENTO T21 ... 19

FIGURA 4.1-FORÇAS EQUIVALENTES ... 27

FIGURA 5.1-REFINAMENTO H DE UM DOMÍNIO COM FRONTEIRAS CURVAS. ... 31

FIGURA 5.2-EXEMPLO DE UMA MÁ SOLUÇÃO,PROBLEMA 2,MALHA 1, GRAU DAS FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO 2,32 ELEMENTOS –TEORIA DE LAJES REISSNER-MINDLIN ... 32

FIGURA 7.1-PROBLEMA Nº1 ... 36

FIGURA 7.2-MALHAS 1,2 E 3 DO PROBLEMA Nº1 ... 37

FIGURA 7.3-MALHA 4 PROBLEMA Nº1 ... 38

FIGURA 7.4-DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO DEVIDO AO CORTE NORMALIZADA,ESPESSURA 0.5,MALHA 4, GRAU 6 ... 46

FIGURA 7.8-DEFORMADA MALHA 1ESPESSURA 0.01-GRAU 2 ... 50

FIGURA 7.9-DEFORMADA MALHA 4ESPESSURA 0.01-GRAU 6 ... 50

FIGURA 7.10-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA PARA TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.1, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ... 51

FIGURA 7.11-DIFERENÇA DOS CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA ENTRE A TEORIA DE REISSNER-MINDLIN E A TEORIA DE KIRCHHOFF. PARA A ESPESSURA DE 0.5,MALHA 4 COM FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO DE GRAU 6 ... 52

FIGURA 7.12-DIFERENÇA DOS CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA ENTRE A TEORIA DE REISSNER-MINDLIN E A TEORIA DE KIRCHHOFF PARA A ESPESSURA 0.01,MALHA 4 COM FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO DE GRAU 6 ... 53

FIGURA 7.14-MALHAS 1 E 2 DO PROBLEMA 2 ... 54

FIGURA 7.15–MALHAS 3,4 E 5 DO PROBLEMA 2 ... 55

FIGURA 7.16-DEFORMADA MALHA 1,ESPESSURA 0.01 ... 58

(14)

xiv

FIGURA 7.18-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA PARA TEORIA DE

REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.1, MALHA 5. ... 59

FIGURA 7.19-DIFERENÇA DOS CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA ENTRE A TEORIA DE REISSNER-MINDLIN E A TEORIA DE KIRCHHOFF. PARA A ESPESSURA 0.01,MALHA 5 ... 60

FIGURA 7.20-DIFERENÇA DOS CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA ENTRE A TEORIA DE REISSNER-MINDLIN E A TEORIA DE KIRCHHOFF. PARA A ESPESSURA 0.5MALHA 5... 61

FIGURA 7.22–1º GRUPO DE MALHAS;MODELADO COM PILAR "PREENCHIDO" E "VAZIO " ... 65

FIGURA 7.23–2º GRUPO DE MALHAS;MODELADO COM APOIO PONTUAL ... 66

FIGURA 7.24-3º GRUPO DE MALHAS;MODELO "PILAR PREENCHIDO" ... 67

FIGURA 7.25-3º GRUPO DE MALHAS;MODELO "PILAR PREENCHIDO"; AMPLIAÇÃO DA ZONA DE APOIO ... 68

FIGURA 7.26-DIFERENÇA DO MODELO DE PILAR "PREENCHIDO" E PILAR "VAZIO” ESP=0.5-REISSNER-MINDLIN ... 69

FIGURA 7.27-DIFERENÇA DO MODELO DE PILAR "PREENCHIDO" E PILAR "VAZIO” ESP=0.01-REISSNER-MINDLIN ... 70

FIGURA 7.28-DIFERENÇA DO MODELO DE PILAR "PREENCHIDO" E PILAR "VAZIO”–KIRCHHOFF... 71

FIGURA 7.29-CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA PARA O GRUPO Nº1 DE MALHAS,MODELO "PILAR PREENCHIDO", ESPESSURA 0.1, TEORIA DE REISSNER-MINDLIN. ... 74

FIGURA 7.30-CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA PARA O GRUPO Nº2 DE MALHAS, MALHA 4,MODELO APOIO PONTUAL, TEORIA DE KIRCHHOFF. ... 75

FIGURA 7.31-DIFERENÇA DO MODELO DE CARGA PONTUAL E MODELO DE PILAR “PREENCHIDO”-KIRCHHOFF ... 76

FIGURA 7.32-DIFERENÇA DO MODELO DE CARGA PONTUAL, TEORIA DE LAJES DE KIRCHHOFF, COM MODELO DE PILAR “PREENCHIDO”, TEORIA DE LAJES DE REISSNER-MINDLIN – ESPESSURA 0.5... 77

FIGURA 7.33-DIFERENÇA DO MODELO DE CARGA PONTUAL, TEORIA DE LAJES DE KIRCHHOFF, COM MODELO DE PILAR “PREENCHIDO”, TEORIA DE LAJES DE REISSNER-MINDLIN – ESPESSURA 0.01... 78

FIGURA 7.34-DIFERENÇA ENTRE O MODELO COM PILAR "PREENCHIDO" NA TEORIA DE LAJE REISSNER-MINDLIN COM O MODELO COM PILAR "PREENCHIDO" NA TEORIA DE LAJE KIRCHHOFF –ESPESSURA 0.5 ... 79

FIGURA 7.35-DIFERENÇA ENTRE O MODELO COM PILAR "PREENCHIDO" NA TEORIA DE LAJE REISSNER-MINDLIN COM O MODELO COM PILAR "PREENCHIDO" NA TEORIA DE LAJE KIRCHHOFF –ESPESSURA 0.01 ... 80

FIGURA 7.36-DIFERENÇA DE CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADAENTRE A ESPESSURA 0.1 E 0.05–REISSNER-MINDLIN ... 82

FIGURA 7.37-DEFORMADA MALHA 1–MODELO PILAR “PREENCHIDO” ... 83

FIGURA 7.38-DEFORMADA DA MALHA 4MODELO PILAR “PREENCHIDO” ... 83

FIGURA 7.39-DEFORMADA MALHA 1-MODELO PONTUAL... 84

FIGURA 7.40-DEFORMADA MALHA 4-MODELO PONTUAL... 84

FIGURA B1-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 1 PARA TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.1, MALHA 1 E 2º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ... 101

FIGURA B2-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 1 PARA TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.5, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ... 102

(15)

xv

FIGURA B3-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 1 PARA TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.01, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ... 103 FIGURA B4-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 1 PARA

TEORIA DE KIRCHHOFF, MALHA 1 E 2º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ... 104 FIGURA B5-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 1 PARA

TEORIA DE KIRCHHOFF, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ... 105 FIGURA B6-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 1 PARA

TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.1, APOIO HARD, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ... 107 FIGURA B7-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 1 PARA

TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.5, APOIO HARD, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ... 108 FIGURA B8-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DA DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 1 PARA

TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.01, APOIO HARD, MALHA 4 E 6º GRAU DE FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO. ... 109

FIGURA C1-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 2 PARA TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.1, MALHA 1, FUNÇÕES DE APROXIMAÇÃO DE GRAU 2. ... 115 FIGURA C2-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 2 PARA

TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.5, MALHA 4. ... 116 FIGURA C3-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 2 PARA

TEORIA DE REISSNER-MINDLIN, ESPESSURA 0.01, MALHA 4. ... 117 FIGURA C4-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 2 PARA

TEORIA DE KIRCHHOFF, MALHA 1. ... 118 FIGURA C5-CAMPOS DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 2 PARA

TEORIA DE KIRCHHOFF, MALHA 4. ... 119

FIGURA D1-CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 3 PARA O 1ºGRUPO DE MALHAS,MALHA 1,MODELO PILAR “PREENCHIDO", ESPESSURA 0.5, TEORIA DE REISSNER-MINDLIN. .... 122 FIGURA D2-CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 3 PARA O

1ºGRUPO DE MALHAS,MALHA 1,MODELO PILAR “PREENCHIDO", ESPESSURA 0.01, TEORIA DE REISSNER-MINDLIN. .. 123 FIGURA D3-CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 3 PARA O 1ºGRUPO DE MALHAS,MALHA 1,MODELO PILAR “PREENCHIDO", TEORIA DE KIRCHHOFF ... 124 FIGURA D4-CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 3 PARA O

1ºGRUPO DE MALHAS,MALHA 1,MODELO PILAR “VAZIO", ESPESSURA 0.5, TEORIA DE REISSNER-MINDLIN. ... 126 FIGURA D5-CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 3 PARA O 1ºGRUPO DE MALHAS,MALHA 1,MODELO PILAR “VAZIO", ESPESSURA 0.01, TEORIA DE REISSNER-MINDLIN. ... 127 FIGURA D6-CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 3 PARA O 1ºGRUPO DE MALHAS,MALHA 1,MODELO PILAR “VAZIO", TEORIA DE KIRCHHOFF ... 128 FIGURA D7-CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 3 PARA O GRUPO Nº2 DE MALHAS, MALHA 1,MODELO APOIO PONTUAL, TEORIA DE KIRCHHOFF. ... 131

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xvi

FIGURA D8-CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 3 PARA O 3ºGRUPO DE MALHAS,MALHA 4,MODELO "PILAR PREENCHIDO", ESPESSURA 0.1, TEORIA DE REISSNER-MINDLIN. ... 134 FIGURA D9-CAMPO DE ESFORÇOS E CAMPO DE DENSIDADE DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA,PROBLEMA 3 PARA O GRUPO Nº3 DE MALHAS,MODELO "PILAR PREENCHIDO",KIRCHHOFF, MALHA MAIS REFINADA. ... 137

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LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 7.1–ENERGIA DEFORMAÇÃO NORMALIZADA, ESPESSURA=0.01 ... 39

GRÁFICO 7.2-ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO PARA A ESPESSURA=0.01-REISSNER-MINDLIN ... 40

GRÁFICO 7.6-ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO PARA A ESPESSURA=0.5–REISSNER-MINDLIN ... 42

GRÁFICO 7.7-ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO -KIRCHHOFF... 42

GRÁFICO 7.8-ENERGIA DE CORTE POR NÚMERO DE GRAUS DE LIBERDADE DE DESLOCAMENTO ... 44

GRÁFICO 7.9-PERCENTAGEM DE ENERGIA DE CORTE POR NÚMERO DE GRAUS DE LIBERDADE DE DESLOCAMENTO... 45

GRÁFICO 7.10-RELAÇÃO UFLEXÃO RM/UFLEXÃO KT EM FUNÇÃO DA ESPESSURA DA LAJE ... 49

GRÁFICO 7.11-ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO -KIRCHHOFF ... 56

GRÁFICO 7.12-ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO -REISSNER-MINDLIN ... 57

GRÁFICO 7.13-ENERGIA DE DEFORMAÇÃO POR CORTE (%) ... 62

GRÁFICO 7.14-ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO -MODELO DE "PILAR PREENCHIDO" E MODELO DE APOIO PONTUAL –KIRCHHOFF ... 72

GRÁFICO 7.15-ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO MODELO DE “PILAR PREENCHIDO”-REISSNER-MINDLIN ... 73

(18)

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xix

LISTA DE TABELAS

TABELA 2.1-CONDIÇÕES DE FRONTEIRA PARA LAJES DE REISSNER-MINDLIN ... 7

TABELA 2.2-CONDIÇÕES DE FRONTEIRA PARA AS LAJES DE KIRCHHOFF ... 11

TABELA 7.1-DECLIVES FINAIS DO ERRO RELATIVO DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ... 43

TABELA 7.2-DECLIVE FINAL -KIRCHHOFF ... 56

TABELA 7.3-DECLIVES FINAIS -REISSNER-MINDLIN ... 57

TABELA 7.4–DECLIVES FINAIS -MODELO DE "PILAR PREENCHIDO" E MODELO DE APOIO PONTUAL -KIRCHHOFF ... 72

TABELA 7.5-DECLIVES FINAIS MODELO DE "PILAR PREENCHIDO"-REISSNER-MINDLIN ... 73

TABELA B1-ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA -SOLUÇÃO DE REFERÊNCIA ... 91

TABELA B2–DADOS PARA O PROBLEMA 1, P=2,MALHA 1–REISSNER-MINDLIN ... 91

TABELA B3–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 1, P=2,MALHA 1–REISSNER-MINDLIN ... 91

TABELA B10–DADOS PARA O PROBLEMA 1, P=4,,MALHA 1–REISSNER-MINDLIN ... 93

TABELA B26–DADOS PARA O PROBLEMA 1, P=2,MALHA 1–KIRCHHOFF ... 96

(20)

xx

TABELA B29–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 1, P=2,MALHA 2–KIRCHHOFF ... 97

TABELA B50–DADOS PARA O PROBLEMA 1, P=6,MALHA 4,APOIO HARD –REISSNER-MINDLIN ... 106

TABELA B51–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 1, P=6,MALHA 4,APOIO HARD –REISSNER-MINDLIN ... 106

TABELA C1-ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA -SOLUÇÃO DE "REFERÊNCIA" ... 111

TABELA C2–DADOS PARA O PROBLEMA 2,MALHA 1–REISSNER-MINDLIN ... 111

TABELA C3–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 2,MALHA 1–REISSNER-MINDLIN ... 111

TABELA C12–DADOS PARA O PROBLEMA 2,MALHA 1–KIRCHHOFF ... 113

(21)

xxi

TABELA C15–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 2,MALHA 2–KIRCHHOFF ... 113

TABELA D1-ENERGIA DE DEFORMAÇÃO NORMALIZADA -SOLUÇÃO DE REFERÊNCIA ... 121

TABELA D2–DADOS PARA O PROBLEMA 3,1ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 1,MODELO PILAR “PREENCHIDO”–REISSNER -MINDLIN ... 121

TABELA D3–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3,1ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 1,MODELO PILAR “PREENCHIDO”– REISSNER-MINDLIN ... 121

TABELA D4–DADOS PARA O PROBLEMA 3,1ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 1,MODELO PILAR “PREENCHIDO”–KIRCHOFF 121 TABELA D5–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3,1ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 1,MODELO PILAR “PREENCHIDO”– KIRCHHOFF ... 121

TABELA D6–DADOS PARA O PROBLEMA 3,1ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 1,MODELO PILAR “VAZIO”–REISSNER-MINDLIN ... 125

TABELA D7–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3,1ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 1,MODELO PILAR “VAZIO”–REISSNER -MINDLIN ... 125

TABELA D8–DADOS PARA O PROBLEMA 3,1ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 1,MODELO PILAR “VAZIO”–KIRCHHOFF ... 125

TABELA D9–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3,1ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 1,MODELO PILAR “VAZIO”–KIRCHHOFF 125 TABELA D10–DADOS PARA O PROBLEMA 3,2ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 1,MODELO PONTUAL –KIRCHHOFF ... 129

TABELA D11–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3,2ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 1,MODELO PONTUAL –KIRCHHOFF ... 129

TABELA D12–DADOS PARA O PROBLEMA 3,2ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 2,MODELO PONTUAL –KIRCHHOFF ... 129

TABELA D19–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3,3ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 1,MODELO PILAR “PREENCHIDO”– REISSNER-MINDLIN ... 132

(22)

xxii

TABELA D21–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3,3ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 2,MODELO PILAR “PREENCHIDO”– REISSNER-MINDLIN ... 132 TABELA D22–DADOS PARA O PROBLEMA 3,3ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 3,MODELO PILAR “PREENCHIDO”–REISSNER

-MINDLIN ... 133 TABELA D23–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3,3ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 3,MODELO PILAR “PREENCHIDO”–

REISSNER-MINDLIN ... 133 TABELA D24–DADOS PARA O PROBLEMA 3,3ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 4,MODELO PILAR “PREENCHIDO”–REISSNER

-MINDLIN ... 133 TABELA D25–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3,3ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 4,MODELO PILAR “PREENCHIDO”–

REISSNER-MINDLIN ... 133 TABELA D26–DADOS PARA O PROBLEMA 3,3ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 1,MODELO PILAR “PREENCHIDO”–KIRCHHOFF

... 135 TABELA D27–RESULTADOS PARA O PROBLEMA 3,3ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 1,MODELO PILAR “PREENCHIDO”–

KIRCHHOFF ... 135 TABELA D28–DADOS PARA O PROBLEMA 3,3ºGRUPO DE MALHAS -MALHA 2,MODELO PILAR “PREENCHIDO”–KIRCHHOFF

(23)

xxiii

NOTAÇÃO

( )_{– Forças generalizadas no domínio do elemento (e)} – Operador que transforma momentos em esforços efetivos

– Operador que transforma momentos em esforços efetivos no lado – Operador que transforma momentos em esforços efetivos no vértice ( )_{– Matriz elementar das curvaturas associadas às funções de aproximação}

( )_{– Matriz elementar das deformações por corte associadas às funções de aproximação} - Operador diferencial de compatibilidade

( )_{– Deslocamentos nodais no elemento (e)} ∗_{- Operador diferencial de equilíbrio}

– Grau das cargas aplicadas

– Grau de aproximação dos momentos

( ),( ) – Matriz de equilíbrio associada ao lado j e ao elemento i - Matriz de equilíbrio no ponto do lado do elemento (e) – Matriz de equilíbrio no vértice do elemento (e) – Matriz de rigidez da laje, para a flexão

– Matriz de rigidez da laje, para o corte E – Módulo de Young

– Matriz de flexibilidade

( )_{– Vetor de forças nodais equivalentes elementar}

( )Ω_{- Vetor de forças nodais equivalentes elementar no domínio} ( ) _{- Vetor de forças nodais equivalentes elementar na fronteira}

– Força de Canto – Força de canto discreta

F – Matriz de Flexibilidade da malha ou do elemento i ℎ - Espessura da laje

– Matriz Jacobiana de transformação de coordenadas – Matriz de rigidez

(24)

xxiv ( )_{– Matriz de rigidez de flexão do elemento (e)} ( )_{– Matriz de rigidez de um elemento de laje}

( )_{– Matriz de rigidez de corte do elemento (e)} – Momentos da solução particular no elemento (e)

– Momento fletor na fronteira – Momento torsor na fronteira ! – Momento segundo x na fronteira " – Momento segundo y na fronteira !! – Momento fletor em x

!" – Momento torsor "" – Momento fletor em y # - Momento fletor aplicado $ – Momento fletor discreto

! – Momento em x distribuído por unidade de superfície " – Momento em y distribuído por unidade de superfície

!" – Momento torsor da solução particular

% - Número de parâmetros de deslocamento num elemento %! – Componente na direção x do versor da normal exterior %" – Componente na direção y do versor da normal exterior & – Operador dos versores normais exteriores à fronteira &( ),( ) – Matriz de rotação para o lado j e elemento i N - número de graus de liberdade

'̅ ou ) - Carga efetiva aplicada no domínio

p – grau de funções de aproximação de momentos polinomiais *!(+) – Primitiva de 2ª ordem na variável x

*"(+) – Primitiva de 2ª ordem na variável y ) – Vetor de forças de massa

) – Carga transversal distribuída que atua segundo a direção perpendicular ao plano médio da laje , – Vetor de reações correspondentes aos graus de liberdade

(25)

xxv , – Esforço transverso efetivo na fronteira

,̂ – Esforço efetivo discreto ,̅ - Carga efetiva normal num lado

.̂( ) ou .̂ – Vetor dos parâmetros de esforços num elemento

/ ou /( ) – Matriz de funções de aproximação de esforços para um elemento 0 , 0̅ ou 0 – Tensão imposta na fronteira estática

0̅( ) – Vetor da tensão aplicada no lado j

0̅1( ) – Vetor da tensão aplicada generalizada no lado j

0̂,( ),( ) – Vetor da tensão generalizada aplicada no lado j devido a 2 ,( ) 0̂ – Tensões discretas da solução particular

0̂ – Tensões discretas para o ponto do lado na solução particular 0̂ – Tensões discretas para o vértice na solução particular 3 – Deslocamentos generalizados na fronteira

34 - Deslocamentos discretos na fronteira

3,( ) – Vetor dos deslocamentos no lado j do elemento 3 – Esforço transverso na fronteira

3 – Deslocamento de um ponto de um lado 3 – Deslocamento de um vértice

3! – Componente na direção x do esforço transverso 3" - Componente na direção y do esforço transverso

3̅( ) – Vetor dos deslocamentos impostos no lado j do elemento 34( ) – Vetor dos parâmetros de deslocamento no lado j do elemento 3 5 – Parâmetro do deslocamento transversal

3 6 – Parâmetro da rotação normal

3̅( ),( ) – Vetor dos deslocamentos generalizados impostos no lado j do elemento i 7 ou 7( ) – Matriz de aproximação dos deslocamentos na fronteira

V – Volume da laje

7 5 – Funções de aproximação do deslocamento transversal 7 6 – Funções de aproximação da rotação normal

(26)

xxvi 8( )_{– Vetor de deslocamentos no elemento (e)} 8 – Vetor deslocamentos na fronteira

9 - Energia de Deformação

9: – Energia Complementar de Deformação ; – Deslocamento transverso

;$( )_{– Deslocamentos transversos nodais no elemento (e)} ; – Deslocamento transversal de um ponto de um lado ; - Deslocamento transversal de um vértice

<: – Trabalho realizado pelos deslocamentos impostos =( )_{– Vetor de distorções elementar}

=> – Componente i da distorção ? – Fronteira estática

?@ – Fronteira cinemática

A – Matriz do operador diferencial associado à parcela de flexão A – Matriz do operador diferencial associado à parcela de corte B – Vetor das deformações generalizadas

B6 – Deformação térmica

C – Rotação normal na fronteira C! – Rotação em torno de x C" - Rotação em torno de y

C!( ) – Rotações nodais em torno de x no elemento (e) C"( ) – Rotações nodais em torno de y no elemento (e) C – Rotação normal

D – Coeficiente de Poisson

E: - Energia potencial complementar

2 – Vetor das tensões generalizadas ou esforços

2,( ) – Campo de esforços equilibrados no elemento finito i 2,( ) – Vetor de tensões da solução particular

(27)

xxvii G - Curvaturas

G( )_{– Vetor de curvaturas elementar}

H( )_{– Matriz de funções de aproximação no elemento (e)} Ω - Plano médio da laje

(28)

(29)

1

CAPÍTULO 1.

INTRODUÇÃO

1.1 E

NQUADRAMENTO

As lajes são estruturas laminares, isto porque uma das dimensões é bastante inferior às restantes, que se podem definir como peças laminares planas sujeitas a diferentes tipos de carregamentos transversais ao próprio plano, distinguindo-se desta forma das placas que são igualmente estruturas laminares planas, mas que estão sujeitas a carregamentos no seu plano médio, [1].

Exemplos práticos deste tipo de estrutura serão os pavimentos de edifícios sujeitos às ações do peso próprio, restantes cargas permanentes e sobrecargas que atuam verticalmente sobre o plano da estrutura ou ainda uma primeira análise para barreiras acústicas, etc.

Surge desta forma a necessidade de, face ao carregamento aplicado a uma determinada laje, com uma determinada geometria e condições de apoio, descobrir os esforços/tensões e deslocamentos causados por este. Existem duas teorias para descrever estes efeitos, são elas a teoria das Lajes Finas ou teoria das Lajes de Kirchhoff e a teoria das Lajes Espessas ou teoria das Lajes de Reissner-Mindlin.

A sua validade depende da espessura que a laje apresentar e, apesar da teoria das lajes finas ser uma simplificação da teoria das lajes espessas, ela permite obter bons resultados para determinados valores de espessura, sendo a sua principal vantagem, dado o facto de ser uma simplificação, poder-se reduzir os tempos de análise necessários para a obtenção de resultados credíveis para um dado problema.

Na presente dissertação, utiliza-se a formulação híbrida de tensão, ou equilíbrio, em detrimento da formulação clássica do método dos elementos finitos, explorando as vantagens que esta apresenta sobre a outra.

(30)

2

1.2 O

BJETIVO

Os objetivos desta dissertação passam pelo estudo da evolução da influência da deformação por corte, quantificando a sua energia e efeito que possa causar no comportamento da laje e quantificar a qualidade das soluções através de estudos de convergência.

Tem como objetivo secundário a realização de um estudo comparativo do comportamento dos modelos através de alguns exemplos, que tem como fim caracterizar os valores da espessura em que a teoria das lajes finas ou a teoria das lajes espessas melhor se adapta à modelação desses problemas.

Não sendo um dos principais objetivos, interessa também verificar de que forma as diferentes condições de apoio se relacionam com os pontos anteriores, ou seja, análise de efeitos que surjam devido à imposição numérica das teorias, por exemplo, efeito de bordo para espessuras finas para a teoria de Reissner-Mindlin.

Pretende-se ainda avaliar a formulação híbrida de equilíbrio, em vez da formulação clássica do método dos elementos finitos, que é a mais utilizada.

Pretende-se também que esta dissertação possa a vir a ser uma ferramenta que auxilie futuros trabalhos dentro do mesmo tema, com a contribuição explicativa e ilustrativa, não só de conceitos teóricos, mas também da sua aplicação prática através de exemplos.

1.3 O

RGANIZAÇÃO

No capítulo 2, caraterizam-se as teorias de lajes de Reissner-Mindlin e de Kirchhoff, apresentando as variáveis envolvidas e as relações entre elas.

No capítulo 3, descreve-se a aplicação às lajes da formulação clássica do método dos elementos finitos. Caracterizam-se, ainda, alguns aspetos acessórios às formulações propriamente ditas, tal como a geometria dos elementos, a escolha das funções de aproximação e as propriedades das soluções.

No capítulo 4, efetuou-se igualmente a descrição para a formulação híbrida de equilíbrio. No capítulo 5, documentam-se os vários tipos de refinamento.

O capítulo 6 constitui uma pequena apresentação sobre a energia de deformação e extrapolação de Richardson.

O capítulo 7 corresponde à apresentação de resultados de soluções dos problemas propostos na dissertação, para as diferentes teorias de lajes, espessuras e, em determinados problemas, diferentes condições cinemáticas; avaliação da convergência energética, pela extrapolação de Richardson, quantificação da deformação por corte e evolução dos campos de esforços e campo de energia.

No capítulo 8, realizam-se alguns comentários finais e são sugeridos alguns desenvolvimentos futuros deste trabalho.

(31)

3

CAPÍTULO 2.

TEORIAS DE LAJES

2.1 T

EORIA DE

L

AJES DE

R

EISSNER

-M

INDLIN OU

T

EORIA DE

L

AJES

E

SPESSAS

2.1.1 Introdução

Se uma das dimensões de um corpo tridimensional for muito menor do que as outras duas, o corpo aproxima-se de uma peça laminar. Deste modo, define-se uma superfície média, à qual se reduzem os campos a determinar. Uma laje pode ser considerada como uma peça laminar plana submetida a ações não contidas no seu plano médio. O seu comportamento é afetado em grande parte pela sua espessura [2].

A teoria de Reissner-Mindlin recorre à Teoria da Elasticidade, assumindo hipóteses simplificativas semelhantes às admitidas para outros tipos de elementos estruturais, com o objetivo de determinar a distribuição dos deslocamentos, deformações e tensões no domínio de um corpo, Ω, quando conhecidas as forças de massa, as tensões aplicadas na fronteira estática, ?, e os deslocamentos impostos na sua fronteira cinemática, ?@ [2] [3].

As hipóteses simplificativas adotadas são: • Linearidade física;

• Linearidade geométrica;

• Homogeneidade e Isotropia do material estrutural.

A hipótese da linearidade física assume para um dado material um comportamento elástico linear, que permite simplificar as relações constitutivas, permitindo o estabelecimento de uma relação linear entre tensões e deformações.

A linearidade geométrica pressupõe a hipótese dos pequenos deslocamentos e das pequenas deformações, que irá permitir que as condições de equilíbrio possam ser obtidas com base na configuração indeformada da estrutura e que as equações de compatibilidade sejam lineares. O domínio de uma laje pode ser descrito na forma

V = {(L, M, N) ∈ PQ_{∶ N ∈ S−}ℎ 2 ,

ℎ

2 V , (L, M) ∈ Ω ⊂ P+}

(2.1)

onde _{Ω e ℎ denotam o plano médio e a espessura da laje, respetivamente [1], num referencial} cartesiano (O,x,y,z), para que o plano médio da laje coincida com o plano _LM.

Na teoria de Reissner-Mindlin, admite-se que as fibras rectas inicialmente perpendiculares ao plano médio da laje permanecem rectas após a deformação do elemento estrutural e são inextensíveis [3].

(32)

4

Considera-se o efeito da deformabilidade por esforço transverso, pelo que fibras inicialmente perpendiculares ao plano médio da laje não continuam obrigatoriamente a ser ortogonais àquele mesmo plano, pelo que os campos de rotação têm de ser tratados como deslocamentos independentes [2] [3].

Estas hipóteses encontram-se ilustradas na Figura 2.1.

2.1.2 Condições de Compatibilidade

Comecemos por considerar o vetor dos deslocamentos generalizados dos pontos do domínio Ω,

8 = YC;! C"

Z (2.2)

em que ; = ;(L, M) é o campo de deslocamentos transversais ao plano médio da laje e C!(L, M) e C"(L, M) são os campos de rotações,das fibras inicialmente perpendiculares ao plano médio da laje. As distorções, ₌_>, definem-se pelo dobro da componente do tensor das deformações a que correspondem, ₌_>_{= 2B}_>, pelo que

=>= C [ ;_{\ ,} (2.3)

com _{\ = L, M.}

Figura 2.1: Ilustração das Hipóteses; Teoria de Reissner-Mindlin

(33)

5

O estado de deformação é caracterizado pelo vetor das deformações generalizadas, B, dado por:

B = ] ^ ^ ^ _G!!_G_"" 2G!" =!> ="> ` a a a b (2.4)

em que G são as curvaturas,

G =1_{2 d} C_{e [} C_{\ f,} (2.5)

com \ = L, M e e = L, M .

A condição de compatibilidade entre deformações e deslocamentos é dada por:

B = 8, (2.6)

em que é o operador diferencial de compatibilidade,

= ] ^ ^ ^ ^ ^ ^ _0 h!h 0 0 0 _h"h 0 _h"h _h!h h h! 1 0 h h" 0 1 ` a a a a a a b . (2.7)

2.1.3 Condições de equilíbrio

O equilíbrio no domínio é dado pela condição:

∗_{2 [ ) = 0} (2.8)

em que ∗ é o operador diferencial de equilíbrio dado por:

∗₌ ] ^ ^ ^ ^ ^ _ 0 0 0 _L _M L 0 M −1 0 0 _M L 0 −1`a a a a a b . (2.9)

e ) é o vetor das forças que podem atuar no domínio duma laje,

) = Y )! "

(34)

6

em que ) = )(L, M) é a carga transversal distribuída no domínio, != !(L, M) e " = "(L, M) são os momentos distribuídos no domínio, Ω, e _{2 é o vetor das tensões generalizadas:}

2 = ] ^ ^ ^ _ _""!! !" 3! 3" `a a a b . (2.11)

2.1.4 Relações Constitutivas

A relação constitutiva é uma lei material que permite relacionar tensões e deformações. Quando apresentada em termos de flexibilidade, tem a forma:

B = 2 [ B6. (2.12)

Na expressão anteriormente apresentada, representa a matriz de flexibilidade e B6 refere-se a um estado de deformação térmico, que não tem consequências no estado de tensão, _{2. Na matriz de} flexibilidade f considera-se um fator de redução da resistência ao corte de 5/6, definindo-a desta forma como =_klj+ ] ^ ^ ^ ^ ^ _ ljm −_lnm 0 0 0 −_lnm _ljm 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +(jon) lm 0 0 0 (jon) p 0 0 0 (jon) p ` a a a a a b . (2.13)

O parâmetro E corresponde ao módulo de Young e D corresponde ao coeficiente de Poisson, os quais permitem considerar o comportamento elástico linear do material.

De forma inversa, se se pretender obter as tensões a partir das deformações, a partir da equação anteriormente apresentada, pode obter-se [2]:

2 = (B − B6). (2.14)

2.1.5 Condições de Fronteira

Na fronteira cinemática, _?_{@, impõem-se os deslocamentos,}

8 = 8 . (2.15)

Na fronteira estática, ?, impõem-se os esforços,

(35)

7

em que & é constituída pelas componentes do versor normal exterior à fronteira ?, designadas por %! e %", sendo dada por [2]:

& = q0 0 0 %! %" %! 0 %" 0 0 0 %" %! 0 0r, (2.17) e 0 = Y 3! " Z. (2.18)

Estão resumidas na Tabela 2.1 estas condições para o caso de bordos encastrados, simplesmente apoiados e livres [3], utilizando o referencial _{(%, 0) que será descrito em 2.2.5.}

Tabela 2.1 - Condições de Fronteira para lajes de Reissner-Mindlin

Bordo Encastrado Bordo Simplesmente Apoiado Bordo Livre ; = ;# C = C̅ C = C̅ ; = ;# = # C = C̅ 3 = 3̅ = # = # ; = ;# = # = #

Quando se têm bordos simplesmente apoiados, há duas formas alternativas para definir as condições de fronteira. A primeira alternativa é o bordo simplesmente apoiado hard, que passa pela imposição do valor dos deslocamentos transversais, ;, e das rotações tangenciais, C. É também especificado o valor do momento fletor, . A segunda alternativa é o bordo simplesmente apoiado soft, em que apenas se especifica o valor do campo de deslocamentos transversais, permitindo-se que as rotações C possam tomar valores não-nulos. As duas restantes condições de fronteira no mesmo bordo envolvem a especificação do valor dos momentos fletor e torsor.

Das duas formas alternativas existentes para tratar os bordos simplesmente apoiados, a que mais se utiliza é a primeira, uma vez que se encontra mais próximo da perceção física do comportamento de lajes finas. A segunda alternativa é utilizada sempre que se torna complicado impor a condição C = C̅, o que acontece por exemplo quando se estudam lajes circulares simplesmente apoiadas. É ainda utilizada quando se pretende tornar o modelo numérico mais flexível. De facto, como se impõem apenas os valores dos deslocamentos transversais há uma quantidade menor de deslocamentos especificados, o que torna menos rígido o modelo adotado, conduzindo à obtenção de valores ligeiramente maiores para os diferentes campos de deslocamentos [3].

(36)

8

2.2 T

EORIA DE

L

AJES DE

K

IRCHHOFF OU

T

EORIA DE

L

AJES

F

INAS

2.2.1 Introdução

Também na Teoria de Kirchhoff se recorre às hipóteses da Teoria de Reissner-Mindlin.

Contudo, admite-se agora que as fibras rectas inicialmente perpendiculares ao plano médio da laje, não só permanecem rectas após a deformação como ficam perpendiculares à deformada do plano médio [1]. Na Figura 2.2, representa-se a definição das rotações na Teoria de Kirchhoff.

Esta hipótese, que a diferencia da teoria de Reissner-Mindlin, resulta do efeito da deformabilidade por corte que pode ser desprezada, _=!>_{= 0, =}_"> _{= 0, para as lajes finas.}

Ao assumir a hipótese anteriormente referida para a teoria de Kirchhoff, obtém-se:

C!(L, M) = − ;(L, M)_L (2.19)

C"(L, M) = − ;(L, M)_M (2.20)

que nos permite concluir que o campo de rotações, C"(L, M) e C!(L, M) está dependente do campo de deslocamentos transversais_{;(L, M).}

(37)

9

2.2.2 Condições de Compatibilidade

Reformulando a condição de compatibilidade, a partir da equação (2.6), para as lajes de Kirchhoff, obtém-se que o estado de deformação, _{B, só contém as curvaturas, devido a ser desprezado o efeito} da deformabilidade de corte: B = Y G!! G"" 2G!"Z . (2.21)

O campo de deslocamentos,_{8, só estará dependente do deslocamento transversal:}

8 = s;(L, M)t . (2.22)

E o operador diferencial de compatibilidade tomará a forma:

= ] ^ ^ ^ ^ ^ _ − + L+ − + M+ −2 _{L M`}+ aa a a a b . (2.23)

2.2.3 Condições de equilíbrio

Para se caracterizarem os esforços existentes no elemento de laje pela teoria de Kirchhoff são necessários dois momentos fletores, _{!!(L, M) e} _{""(L, M), e um momento torsor,} _{!"(L, M):}

2 = Y !!"" !"

Z . (2.24)

A partir destes, os campos de esforços transversos podem ser obtidos através das equações: 3!(L, M) = !!(L, M)_L [ !"(L, M)_M , (2.25)

3"(L, M) = !"(L, M)_L [ ""(L, M)_M . (2.26) Na equação de equilíbrio (2.8), as forças de massa são:

) = u) (L, M)v = S) [ #!_{L [} #_{M V,}" (2.27) onde )(L, M) denota a carga distribuída que atua segundo a direção perpendicular ao plano médio da laje e ) a carga efectiva.

(38)

10 O operador diferencial de equilíbrio é dado por:

∗w ₌ ] ^ ^ ^ ^ ^ _ + L+ + M+ 2 _{L M`}+ aa a a a b . (2.28)

2.2.4 Relações Constitutivas

Neste caso, as relações constitutivas são escritas pela equação (2.14), mas utilizando a sub-matriz da matriz de flexibilidade, f, expressa na equação (2.13), que permite relacionar curvaturas com momentos, visto que as deformações por corte são nulas:

=_xℎ12_QY−D 11 −D 00

0 0 2(D [ 1)Z . (2.29)

2.2.5 Condições de Fronteira

Ao contrário das lajes de Reissner-Mindlin, nas quais se definem três condições de fronteira para os bordos da laje, para as lajes de Kirchhoff só é possível impor duas condições em cada bordo. Para o caso de bordos com orientação genérica, é considerado um referencial (%, 0), em que 0 tem a orientação do bordo e % é ortogonal a 0, definindo desta forma a normal do bordo. A conversão das coordenadas pode ser caracterizada pelas componentes da normal, _%! e _%", que se encontram na Figura 2.3.

(39)

11

Na Tabela 2.2, encontram-se sumarizadas as condições de fronteira para os diferentes três tipos de bordo [3].

Bordo Encastrado Bordo Simplesmente Apoiado Bordo Livre ; = ;# C = C̅ ; = ;# = # , = ,̅ = #

Na Figura 2.4, estão indicados os deslocamentos e rotações num bordo com orientação genérica.

Figura 2.4 - Deslocamentos e rotações num bordo com orientação genérica

Figura 2.5 - Esforços no bordo genérico

Os momentos e presentes na Figura 2.5 e esforço transverso efetivo são obtidos, aplicando as regras de transformação tensorial, da seguinte forma:

(40)

12 Momentos [4]:

= !%!+[ "%+"[ 2 !"%!%"; (2.30) = z "− !{%!%"[ !"z%!+− %"+{; (2.31)

Esforço transverso efetivo [4]:

, =|}~ |! z%L[ %L%M2{[ |}~ |"z−%L2%M{[ |}• |! z−%L%M2{[ |}• |" z%M[ %L2%M{[ |}~• |! z%M− %L2%M[ %M3{[ |}~• |" •%L− %L%M2[ %L3‚. (2.32)

Surge também uma força de canto igual à soma dos momentos torsores calculados nos extremos dos dois bordos que para ele convergem.

O equilíbrio nos cantos é garantido se a força de canto igualar a força aplicada, isto é, se a soma dos momentos torsores calculados nos extremos dos dois bordos que convergem nesse vértice igualar a carga pontual aplicada no vértice, .

Esta condição pode ser escrita na forma:

(41)

13

CAPÍTULO 3.

FORMULAÇÃO CLÁSSICA DO MÉTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS

3.1 I

NTRODUÇÃO

No presente capítulo, começar-se-á por fazer uma abordagem ao Método dos Elementos Finitos (MEF).

Devido à infinidade de geometrias, condições de fronteira e diferentes carregamentos que podem existir numa laje, surge a necessidade de obter um método que permita obter os campos de deslocamentos, de deformações e de tensões, mesmo não sendo estes determináveis de forma exata, mas que facilmente possa ser adaptável à maioria das situações correntes.

Casos em que existam lajes com geometrias retangulares, trapezoidais ou curvilíneas, conciliado com diferentes condições de fronteira ao longo dos bordos, com a possibilidade de apoios pontuais ou até mesmo com aberturas no seu domínio, tornam-se uma tarefa difícil de executar sem o auxílio de um método apropriado.

Um dos métodos que permite obter, com relativa facilidade, aproximações dos campos de deslocamentos, de deformações ou de tensões, é o Método dos Elementos Finitos, que por sinal é o mais utilizado.

O MEF é, em geral, aplicado seguindo uma metodologia que engloba alguns passos fundamentais [5]. Começa-se por subdividir o domínio em análise num número finito de subdomínios, os elementos finitos; de seguida definem-se as funções de aproximação do campo de deslocamentos generalizados de cada elemento. Para garantir que a aproximação é cinematicamente admissível no sentido forte, as deformações generalizadas são determinadas impondo a condição de compatibilidade no domínio. Da mesma forma, a aproximação do campo de tensões é determinada impondo localmente, ou de maneira forte, a relação de elasticidade sobre a aproximação do campo de deformações generalizadas. A aplicação da ponderação das condições de equilíbrio, no domínio e na fronteira do elemento, permite determinar as forças nodais equivalentes generalizadas. Depois de formulado o elemento e estabelecida a equação resolvente do elemento, é feita a assemblagem do sistema de equações elementares e impõem-se as condições de fronteiras cinemáticas, de maneira a satisfazer localmente as condições de fronteira cinemáticas do modelo e, ainda, as condições de continuidade entre elementos.

(42)

14

Finalmente, resolvido o sistema geral de equações, determinados os deslocamentos nodais generalizados em cada elemento através da relação de incidências, são calculados os deslocamentos, as deformações e as tensões generalizadas em cada elemento recorrendo às aproximações do campo de deslocamentos e às condições de compatibilidade e elasticidade impostas localmente.

3.2 F

ORMULAÇÃO

C

LÁSSICA DE

E

LEMENTOS

F

INITOS PARA

L

AJES DE

R

EISSNER

-M

INDLIN

3.2.1 Aproximação dos Deslocamentos

O campo de deslocamentos é aproximado em cada elemento genérico, (e), usando funções contínuas, que podem ser descritas na forma matricial através de:

8( )_{= H}( ) ( )_, (3.1)

onde _H( )_{é a matriz que armazena as funções de aproximação elementares e} ( )_{são os respetivos} deslocamentos nodais elementares generalizados definidos por:

H( )_{= Y}H5( )₀ _H₆0_~( ) 0₀ 0 0 H6•( ) Z , ( )_{= „} ;$( ) C!( ) C"( ) …. (3.2)

Na formulação dos elementos finitos deste tipo de lajes, o campo de deslocamentos apenas tem de ser contínuo no domínio, não sendo necessário garantir a continuidade das suas derivadas, como acontece nas lajes de Kirchhoff [5].

A aproximação de cada componente de _{8, quer para os elementos triangulares quer para os} quadrilaterais, baseia-se em combinações lineares de funções polinomiais, definidas de modo a terem valor unitário num nó e nulo nos restantes, para assegurar que os coeficientes da aproximação, ( )_{, representam o valor da função nos nós do elemento.}

Como descrito em [5], as funções de aproximação são, em geral, definidas em função de um sistema de coordenadas locais, ξ.

A condição de continuidade dos deslocamentos no domínio é implicitamente assegurada pelas funções de aproximação, uma vez que estas são contínuas no domínio de cada elemento. Na fronteira entre estes, a continuidade _{† fica automaticamente assegurada quando os nós de} elementos adjacentes coincidem.

(43)

15

Essas funções de aproximação, ou de interpolação, são também usadas para mapear o elemento em qualquer zona da malha de elementos finitos: daí a designação alternativa de função de forma. É possível usar diferentes expressões para as funções de aproximação do campo de deslocamentos generalizado e de mapeamento do elemento-mestre, sendo o elemento definido como isoparamétrico quando se usam as mesmas funções para os dois fins, sendo implicitamente garantida a continuidade dos deslocamentos entre elementos com os mesmos nós nos lados que partilham.

3.2.2 Sistema Geral de Equações

Na presente secção optou-se por separar as parcelas de flexão e de corte de forma a, posteriormente, facilitar a compreensão do fenómeno do travamento por corte. Assim, tem-se

B = ‡G_{=ˆ ,} _{2 = ‡3ˆ, = S}₀ 0V, (3.3) onde =_{12(1 − D}xℎQ ₊_{) „} 1 D 0 D 1 0 0 0 (1 − D)₂ … , = 6 5 ‹ℎ ‡1 00 1ˆ. (3.4)

Tendo em conta as aproximações do campo de deslocamentos, em cada elemento genérico, dada pela equação (3.1), as equações de compatibilidade permitem relacionar o vetor de curvaturas elementar, G( )_{, e o vector de distorções elementar,}₌( )_{, com os deslocamentos nodais elementares,} através de:

G( )₌ ( ) ( )_, ₌( )₌ ( ) ( )_, (3.5)

onde as matriz ( ) e ( ) são dadas por:

( )_{= A H}( )_, ( )_{= A H}( )_, (3.6)

sendo _{A e A as matrizes dos operadores diferenciais associados às parcelas de flexão e corte,} respetivamente, definidas por:

A = Y0 Aj0 0 A+0

0 A+ AjZ , A = SA

j 1 0

A+ 0 1V .

(3.7)

Definindo as grandezas ( )e ( ) como sendo, respetivamente, a matriz de rigidez de flexão elementar e a matriz de rigidez de corte elementar, dadas por:

( )_{= Œ} ( )w Ω(•)

( ) ( ) _Ω( )_, ( )_{= Œ} ( )w Ω(•)

(44)

16 obtém-se a matriz de um elemento de laje:

( )₌ ( )_[ ( )_. (3.9) Definindo as grandezas ( )Ω_{= Œ H}( )w ( ) Ω(•) Ω ( )_, ( ) _{= Œ H}( )w_{0̅ ?}( )_, (•) (3.10)

obtém-se o vetor de forças nodais equivalentes elementar:

( )₌ ( )Ω_[ ( ) _. (3.11)

Em geral [5], nos elementos quadrilaterais, os integrais de domínio são calculados numericamente, aplicando-se a regra da quadratura de Gauss-Legendre em cada direção.

Considere-se um elemento no qual | |, o determinante da matriz Jacobiana de transformação de coordenadas_{(•), que estabelece a relação entre elementos de área no elemento mapeado e no} elemento-mestre, é constante.

Designe-se por integração completa a regra que conduziria à avaliação exata dos integrais presentes na definição de ( ) recorrendo ao menor número de pontos de integração possível. Então, chama-se (i) integração seletiva quando a avaliação da parcela ( ) é efetuada através da redução de um ponto de integração em cada direção em relação à regra de integração completa e (ii) integração reduzida quando ambas as parcelas da rigidez, ( ) e ( ), são reduzidas de um ponto em cada direção [5].

Depois de formulado o elemento, é efetuada a assemblagem do sistema de equações, ou seja, os termos do vetor e da matriz elementar são adicionados às componentes apropriadas do vetor e da matriz global.

Após a assemblagem de todas as matrizes elementares, [6], obtém-se o sistema global

= . (3.12)

Este sistema de equações define as condições de equilíbrio das forças nodais equivalentes. Estas condições são impostas no domínio, na fronteira estática e nas fronteiras entre elementos.

As condições de fronteira cinemática são impostas em seguida. Para tal, cada grau de liberdade é classificado como livre (free) ou restringido (restrained)

S •

• ••V ‘ •’ = ‘ •’ [ “0,”,

(3.13)

(45)

17 Sendo os deslocamentos _• conhecidos a priori:

= − • •. (3.14)

Os graus de liberdade livres,_{, são obtidos pela resolução do sistema de equações.}

3.2.3 Travamento por Corte

Com a teoria de Reissner-Mindlin pretende-se analisar o comportamento de lajes cuja deformabilidade devido ao esforço transverso possa ser significativa, ou seja, não desprezável; este efeito é visível nas lajes espessas.

Considera-se que este tipo de laje se caracteriza por uma relação de 0.1 ≤l_–≤ 0.2, [7]. Contudo, as soluções obtidas na teoria de Reissner-Mindlin devem recuperar os resultados fornecidos pela teoria de Kirchhoff à medida que a relação l

– diminui.

Nesta situação, nem todos os elementos convencionais, cuja a formulação se baseia apenas na aproximação do campo de deslocamentos generalizado, fornecem bons resultados, quando se recorre à integração completa, devido ao fenómeno de travamento por corte [8], retenção ao corte ou shear-locking.

Este fenómeno corresponde a uma sobrestimação da rigidez de corte do modelo dos elementos finitos relativamente à laje real, que por sua vez pode destruir por completo a solução, [3].

Como a rigidez de flexão é proporcional a _ℎQ_{e a rigidez de corte é proporcional a}_{ℎ, quando a} relação h/L diminui, os termos da matriz de rigidez de flexão tornam-se muito pequenos face à matriz de rigidez de corte. Como resultado dos erros numéricos, os deslocamentos do modelo de elementos finitos vão depender principalmente da deformabilidade por corte, ao contrário do que acontece na realidade, em que os deslocamentos de uma laje fina dependem principalmente da deformabilidade por flexão e onde a distorção tende para zero [9].

Quando a integração da matriz de rigidez é efetuada numericamente, através da regra de Gauss-Legendre, a sobrestimação da rigidez existente na utilização de elementos convencionais pode ser evitada reduzindo o número de pontos de integração utilizados. Contudo, a integração reduzida, além de poder tornar a malha menos rígida do que a laje real, pode tornar a matriz de rigidez global mal condicionada, causando o aparecimento de deslocamentos espúrios, ou mesmo singular. Para evitar o mau condicionamento da matriz de rigidez global e minimizar o número de modos espúrios, a integração deve ser seletiva, subintegrando apenas a parcela de corte, que é a principal responsável pelo fenómeno do travamento por corte, e integrando exatamente a parcela de flexão [5].

(46)

18

3.2.4 Efeito de Bordo

O efeito de bordo resulta da imposição de condições de fronteira estáticas, que provoca um gradiente acentuado dos esforços transversos e do momento torsor, na transição do domínio para os bordos com apoios soft ou livres.

O efeito destas camadas limites faz-se notar com maior intensidade para lajes mais finas e à medida que a relação espessura/tamanho dos elementos gerados no refinamento h diminui, levando a que a convergência seja mais demorada.

Sendo este efeito de bordo um fenómeno fortemente ligado à satisfação local de condições de equilíbrio, as formulações convencionais de elementos finitos têm dificuldade em obter boas soluções, a não ser que se utilizem malhas extremamente refinadas [11].

3.3 F

ORMULAÇÃO CLÁSSICA DE ELEMENTOS FINITOS PARA

L

AJES DE

K

IRCHHOFF

3.3.1 Aproximação do Deslocamento

No caso da formulação clássica de elementos finitos para lajes de Kirchhoff, a aproximação para um elemento genérico, (e), pode também ser descrita na forma matricial

8( )_{= H}( ) ( )_, (3.15)

onde _H( )_{é uma matriz que armazena as funções de aproximação elementares e} ( )_{são os} respetivos deslocamentos nodais elementares.

A equação de compatibilidade (2.6), permite relacionar o vetor de curvaturas elementar, G( )_{, com} os deslocamentos nodais elementares e é dada por:

G( )₌ ( ) ( ) (3.16)

onde a matriz elementar ( )_{condensa a informação relativa às derivadas das funções de} aproximação e é dada através de

( )_{= AH}( )_. (3.17)

A utilização de funções polinomiais simples e a utilização dos deslocamentos nodais como incógnitas do problema, típica dos elementos finitos clássicos, conduz, regra geral, à obtenção de elementos em que pelo menos uma das condições de compatibilidade é violada, designados elementos não-conformes, como o elemento ACM exemplificado em [3].

Torna-se bastante complexa e trabalhosa a obtenção de elementos que permitam verificar por completo as equações de compatibilidade. Aos elementos em que todas as condições de compatibilidade são verificadas, é habitual chamar-se elementos conformes.

(47)

19

Como exemplo, considerem-se os elementos finitos triangulares compatíveis com vinte e um graus de liberdade estudados em [10]. Em cada um desses elementos finitos triangulares, os três nós dos vértices apresentam seis graus de liberdade e os nós a meio de cada uma das três arestas apresentam, cada um, um grau de liberdade, tal como se observa na Figura 3.1.

Para gerar soluções compatíveis, é necessário satisfazer as condições de compatibilidade no domínio e na fronteira cinemática, para o que será necessário gerar uma aproximação da classe †j_. A aproximação do deslocamento transversal num elemento é gerada por um único polinómio. Como todas as suas derivadas são contínuas, a aproximação é de classe _†—_.

Para satisfazer as condições de compatibilidade na fronteira cinemática, há que impor mais condições do que quando apenas existem graus de liberdade associados ao deslocamento transversal e às rotações.

Considerando as condições de fronteira cinemática homogéneas, num bordo simplesmente apoiado ter-se-á _{; = 0, (−;,}_{) = 0 e (−;,}_{) = 0. Num bordo com encastramento deslizante deverá} impor-se _{(−;, ) = 0 e (−;,} _{) = 0 enquanto que num bordo encastrado ter-se-á ; = 0,} (−;, ) = 0, (−;, ) = 0 (−;, ) = 0 e (−;, ) = 0. Em suma, as condições de fronteiras cinemáticas a impor nestes três tipos de apoio apresentam-se esquematizadas na Figura 3.2.