Livro Eletrônico Aula 00 Matemática p/ EFOMM (Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante) Com videoaulas - Pós-Edital

Aula 00

Matemática p/ EFOMM (Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante) Com videoaulas - Pós-Edital

AULA 00 (demonstrativa)

SUMÁRIO PÁGINA

1. Apresentação 01

2. Edital e cronograma do curso 05

3. Resolução de questões 08

4. Questões apresentadas na aula 27

5. Gabarito 33

APRESENTAÇÃO

Seja bem-vindo a este curso pós-edital de MATEMÁTICA desenvolvido para auxiliar na sua preparação para o próximo concurso da

Vamos seguir à risca o conteúdo exigido no Edital publicado em maio de

2018. Neste material você terá:

- curso completo em vídeo, formado por cerca de 15 horas de

gravações onde explico todos os tópicos exigidos no edital e resolvo alguns exercícios para você começar a se familiarizar com os temas;

- curso escrito completo (em PDF), formado por 21 aulas onde

também explico todo o conteúdo teórico do edital, além de apresentar cerca de 600 questões resolvidas e comentadas sobre todos os assuntos trabalhados, podendo ser da EFOMM, EsPCEx, ESA, EEAR, EPCAr, ENEM, Colégio Naval e até de vestibulares;

- fórum de dúvidas, onde você pode entrar em contato direto conosco.

Vale dizer que este curso é concebido para ser o seu único

material de estudos, isto é, você não precisará adquirir livros ou outros

materiais para tratar da minha disciplina. A ideia é que você consiga

economizar bastante tempo, pois abordaremos todos os tópicos

exigidos nos editais da EFOMM e nada além disso, e você poderá estudar conforme a sua disponibilidade de tempo, em qualquer ambiente onde você tenha acesso a um computador, tablet ou celular, e evitará a

perda de tempo gerada pelo trânsito das grandes cidades. Isso é

importante para todos os candidatos, mas é especialmente relevante

para aqueles que trabalham e estudam.

Já faz tempo que você não estuda Matemática do ensino médio? Não tem problema, este curso também te atende perfeitamente. Isto porque você estará adquirindo um material bastante completo, onde você poderá trabalhar cada assunto em vídeos e também em aulas escritas, e resolver uma grande quantidade de exercícios, sempre podendo consultar as minhas resoluções e tirar dúvidas através do fórum. Assim, é plenamente possível que, mesmo tendo dificuldade em Matemática e

estando há algum tempo sem estudar esses temas, você consiga um ótimo desempenho na prova da EFOMM. Obviamente, se você se encontra nesta situação, será preciso investir um tempo maior e dedicar-se bastante ao conteúdo do nosso curso.

O fato de o curso ser formado por vídeos e PDFs tem mais uma vantagem: isto permite que você vá alternando entre essas duas

formas de estudo, tornando um pouco mais agradável essa dura jornada de preparação. Quando você estiver cansado de ler, mas ainda

quiser continuar estudando, é simples: assista algumas aulas em vídeo! Ou resolva uma bateria de questões!

Caso você não me conheça, eu sou Engenheiro Aeronáutico formado pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Sou professor há quase 10 anos, tendo lecionado tanto para cursos pré-vestibulares como para concursos públicos que exigem Matemática. Como engenheiro, trabalhei por 5 anos no mercado da aviação, quando então decidi migrar para o serviço público, sendo atualmente Auditor-Fiscal da Receita Federal. Aqui no Estratégia eu já tive o privilégio de ministrar mais de 400 cursos online de Matemática e outros assuntos correlatos, o que me permitiu ganhar bastante familiaridade com este tipo de ensino, que no meu ponto de vista possui muitas vantagens em relação ao estudo em um cursinho presencial tradicional. Também contaremos com a colaboração do professor Hugo Lima neste curso. Veja a apresentação dele abaixo:

Olá! Meu nome é Hugo Lima e sou Engenheiro Mecânico-Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por 5 anos e meio na Força Aérea Brasileira, como oficial engenheiro, sendo que, no período final, também tive que conciliar o trabalho com o estudo para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para o cargo de Auditor-Fiscal em 2012.

Sempre solicitamos que nossos alunos avaliem os nossos cursos. Procuro sempre acompanhar as críticas, para estar sempre aperfeiçoando os materiais. Felizmente venho conseguindo obter índices de aprovação

bastante elevados – acima de 95%, muitas vezes chegando a 100%. Farei o que for possível para que você também aprove o nosso trabalho!

Quer tirar alguma dúvida antes de adquirir o curso? Deixo abaixo meus contatos:

CRONOGRAMA DO CURSO

Veja abaixo os tópicos de matemática cobrados no edital:

3.0 - MATEMÁTICA I - CONJUNTO a) Relação de pertinência. b) Conjuntos universo, unitário e vazio. c) Subconjunto. d) Operações com conjuntos. e) Número de elementos nas operações. f) Conjuntos numéricos. g) Operações com conjuntos numéricos. II - RELAÇÕES a) Produto cartesiano. b) Número de elementos. d) Relação binária e representação gráfica. e) Domínio e imagem. III - FUNÇÕES a) Conceito. b) Diagramas. c) Domínio, contradomínio e imagem de uma função. d) Gráfico. e) Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. f) Funções compostas e inversas. g) Funções do 1º e 2º graus. h)Função modular, exponencial e logarítmica. 29 IV - PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS a) Classificação. b) Termo geral. c) Interpolação. d) Propriedades. e) Soma dos termos. f) Problemas envolvendo progressões aritmética e geométrica. V - TRIGONOMETRIA a) Arcos e ângulos. b) Relações métricas no triângulo retângulo. c) Funções trigonométricas. d) Gráficos. e) Relações entre funções trigonométricas. f) Redução ao 1º quadrante. g) Transformações trigonométricas. h) Equações trigonométricas. i) Inequações trigonométricas. j) Resolução de triângulos quaisquer. VI - MATRIZES a) Operações com matrizes. b) Equação matricial. c) Matriz transposta. d) Matriz inversa. e) Sistema de equações lineares. f) Emprego do método Gauss-Jordan na solução dos sistemas. g) Matriz de Vadermonde. VII - DETERMINANTES a) Menor complementar. b) Cofator. c) Teorema de La Place. d) Regra de Cramer. VIII - CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA a) Vetores no R2 e R3. b) Adição vetorial, multiplicação por escalar, produto escalar e produto vetorial c) Distância entre dois pontos. d) Ponto médio de um segmento de reta. e) Condição para o alinhamento de três pontos. f) Coeficiente angular da reta. g) Equação da reta. h) Equações paramétricas da reta. i) Posições relativas de duas retas no plano. j) Ângulo formado por duas retas. k) Distância de um ponto a uma reta. l) Área de um triângulo. m) Circunferência: equação geral, posição de um ponto e uma reta em relação a uma circunferência. n) Posições relativas de duas circunferências. IX - GEOMETRIA ESPACIAL a) Áreas e volumes de um prisma. b) Áreas e volumes de uma pirâmide. 30 c) Tronco de pirâmide regular. d) Áreas e volumes de um cilindro. e) Áreas e volumes de um cone. f) Áreas da superfície esférica. g) Volume da esfera. h) Inscrição e circunscrição de sólidos: relações entre elementos. Cálculo de áreas e volumes. X - NÚMERO COMPLEXO a) Operações na forma algébrica. b) Oposto e conjugado de um número complexo. c) Potências de i. d) Forma trigonométrica: módulo e argumento. e) Operações na forma trigonométrica. f) Potenciação na forma trigonométrica. g) Potenciação na forma trigonométrica (Fórmula de Moivre) XI - POLINÔMIO

G O T D A R Teorema das divisões sucessivas. e) Dispositivo de Briot-Ruffini. XII - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS a) Grau. b) Teorema fundamental. c) Raízes nulas. d) Multiplicidade de uma raiz. e) Teoremas das raízes conjugadas. f) Relações de Girard. g) Raízes racionais. XIII- LIMITE a) Limite de uma função. b) Operações com limites finitos e infinitos. c) Limites fundamentais. d) Número irracional. XIV- DERIVADAS a) Aplicação de derivadas. b) Regras de derivação. c) Regra de L´Hospital. d) Máximos e Mínimos. e) Esboço de gráfico de funções com assíntotas. XV - INTEGRAIS a) Integrais imediatas. XVI - ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE a) Permutações simples, circulares e de elementos nem todos distintos. b) Combinações simples e completas. c) Binômio de Newton. d) Probabilidade.

Nosso curso será dividido em 21 aulas escritas, além desta aula demonstrativa, acompanhadas pelos vídeos sobre os mesmos assuntos. Segue abaixo a relação de aulas e as datas limite de publicação.

AULA CONTEÚDO DATA

Aula 0 _{Demonstrativa 15/05}

Aula 1 _{Conjuntos Numéricos 19/05}

Aula 2 _{Divisibilidade e Fatoração 23/05}

Aula 3 _{Proporcionalidade 27/05}

Aula 4 _{Resolução de equações 31/05}

Aula 5 _{Funções: Linear, Afim e Quadrática 04/06}

Aula 6 _{Polinômios 08/06}

Aula 7 Funções: Modular, Exponencial e

Logarítmica 12/06

Aula 9 _{Sequências Numéricas e Progressões 20/06}

Aula 10 _{Geometria Plana 24/06}

Aula 11 _{Geometria plana (continuação) 28/06}

Aula 12 _{Geometria Espacial 02/07}

Aula 13 _{Trigonometria 06/07}

Aula 14 _{Geometria Analítica 10/07}

Aula 15 _{Análise Combinatória 14/07}

Aula 16 _{Probabilidade 18/07}

Aula 17 _{Teoria dos Conjuntos 22/07}

Aula 18 _{Matrizes 26/07}

Aula 19 _{Números complexos 30/07}

Aula 20 _{Limite, Derivada e Integral 02/08}

Aula 21 _{Resumo 03/08}

RESOLUÇÃO DE QUESTÕES

Nesta aula demonstrativa vamos resolver juntos algumas questões das provas anteriores. O objetivo é que você tenha uma ideia do estilo de cobrança da EFOMM. É natural que você sinta alguma dificuldade em

resolver as questões neste momento, afinal ainda não passamos

pelos tópicos teóricos correspondentes. Ao longo das aulas voltaremos a essas questões nos momentos oportunos, isto é, após estudar a respectiva teoria. Aproveite esta aula para avaliar o nível de cobrança esperado para a sua prova e, claro, a minha forma de lecionar. Vamos começar?

1. EFOMM – 2016) Quantos anagramas é possível formar com a palavra

CARAVELAS, não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas? a) 24 b) 120 c) 480 d) 1920 e) 3840 RESOLUÇÃO:

ANAGRAMA nos remete automaticamente para permutação. Isso porque nesse caso a ordem interfere.

Temos 9 letras disponíveis, entre consoantes e vogais. Para não haver duas consoantes consecutivas, é necessário haver uma vogal entre

cada duas consoantes. A única forma de fazer isso, com 5 consoantes (C) e 4 vogais (V) é com a seguinte distribuição:

C-V-C-V-C-V-C-V-C

Veja que dessa forma já satisfazemos também a condição de não ter duas vogais consecutivas.

Assim, temos 5 vogais diferentes e 5 possíveis posições que elas podem ocupar. Logo, temos 5 opções de consoantes para a primeira posição C, 4 opções para a segunda, e assim por diante, de forma que temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de distribuir as 5 consoantes nas 5 posições C.

Para as vogais temos a mesma coisa, com a diferença que temos repetição de 4 letras A. Assim, temos uma permutação de 4 vogais, com repetição de 3:

No total, temos 120 x 4 = 480 anagramas que seguem as condições do enunciado.

RESPOSTA: C

2. EFOMM – 2016) Seja g(x) = 4 − cos x e f'(x) = 4x − e2x_.

Sabendo-se que f(0) = g(0), determine f(x). a) f(x) = 3 − 2x b) f(x) = 2x2 _{- 1/2 e}2x _{+ 7/2} c) f(x) = e-2x _{- 6x - 2/3} d) f(x) = e2x _{- x}2 _{+ 2} e) f(x) = e2x _{+ senx - 3} RESOLUÇÃO:

Vamos obter a função f(x):

4!

4 3!

(4;3)

4

3!

3!

PR

=

=



=

2 2 2 2

( )

`( )

( )

(4

)

( )

4

1

( )

2

2

x x x

f x

f x dx

f x

x e

dx

f x

xdx

e dx

f x

x

e

c

=

=

−

=

−

=

−

+









O enunciado disse que g(0) = f(0). Temos: 2 2(0)

4(0)

1

1

(0)

2

2

2

f

=

−

e

= −

(0)

4 cos(0)

4 1 3

g

= −

= − =

1

7

3

2

2

c

= + =

Portanto, temos que:

2

1

2

7

( )

2

2

2

x

f x

=

x

−

e

+

RESPOSTA: B

3. EFOMM – 2016) Na Escola de Marinha Mercante, há alunos de ambos

os sexos (130 mulheres e 370 homens), divididos entre os Cursos Básico, de Máquinas e de Náutica. Sabe-se que do total de 130 alunos do Curso de Máquinas, 20 são mulheres. O Curso de Náutica tem 270 alunos no total e o Curso Básico tem o mesmo número de homens e mulheres. Quantas mulheres há no Curso de Náutica?

a) 50 b) 55 c) 60 d) 65 e) 70 RESOLUÇÃO:

Sabe-se que do total de 130 alunos do Curso de Máquinas, 20 são mulheres. Portanto, 110 são homens.

Seja MN o número de mulheres no curso de Náutica. Como este

curso tem 270 alunos no total, o número de homens no mesmo é de 270 – MN.

O Curso Básico tem o mesmo número de homens e mulheres, que vamos chamar de X.

Portanto, na Escola inteira, o número de mulheres e de homens é dado respectivamente por:

130 = 20 + MN + X

370 = 110 + 270 – MN + X

Reescrevendo as igualdades acima, temos: MN + X = 110

-MN + X = -10

O que nos leva a X = 50 e MN = 60.

RESPOSTA: C

4. EFOMM – 2016) Um cubo de lado 2a possui uma esfera circunscrita

nele. Qual é a probabilidade de, ao ser sorteado um ponto interno da esfera, esse ponto ser interno ao cubo?

a) /6 b) 2√3/3 c) √3/6 d) 2 /6√3 e) 1/2 RESOLUÇÃO:

Temos uma esfera circunscrevendo um cubo. O volume do cubo é (2a)3 _{= 8a}3_.

A diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera. Logo, o diâmetro é de 2a√3. Assim, o volume da esfera cujo raio é a√3 é dado por:

( )

(

)

3 3 3 3

4

4

3

3

3

4

3 3

3

4

3

V

r

a

V

a

V

a









=

=

=

=

Portanto, a probabilidade de, ao ser sorteado um ponto interno da esfera, esse ponto ser interno ao cubo é de:

3 3

8

4

3

2

3

2 3

3

a

probabilidade

a

probabilidade

probabilidade







=

=

=

RESPOSTA: B

5. EFOMM – 2016) Sobre a função

f x

( )

1

₂

x

x

+

=

_{, analise as afirmativas:} I - f(x) é contínua em todo x R II - lim ( ) lim ( ) x→− f x =x→+ f x III - 0

lim ( )

x→

f x

= +

Então, pode-se dizer que

a) todas as afirmativas são verdadeiras. b) todas as afirmativas são falsas.

c) somente as afirmativas I e II são verdadeiras. d) somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

RESOLUÇÃO:

I - f(x) é contínua em todo x R → FALSO. Veja que x não pode ser zero, visto que isso levaria a uma divisão por zero. Portanto, f(x) não está definida para x = 0 e, portanto, não teria como ser contínua nesse ponto.

II -

lim

( )

lim

( )

x→−

f x

=

x→+

f x

→ VERDADEIRO. Quando x tende a menos infinito, ou mais infinito, o denominador x2 _{tende a infinito mais}

rapidamente que o numerador! Logo, a fração como um todo tende a zero. Matematicamente, temos:

2 2

2

1

1

1

lim

( )

lim

lim

1

1

lim

( )

lim

lim

0

x x x x x x

x

f x

x

x

x

f x

x

x

→− →− →− →− →− →−

+









=

_

_

=

_

+

_













 

=

_

_

+

_{ }

=





 

Para lim ( ) x→+ f x a solução é análoga. III - 0 lim ( )

x→ f x = +→ VERDADEIRO. Quando x tende a zero, o denominador

da fração diminui muito, fazendo com que o resultado da fração em si se eleve muito. Matematicamente, temos:

2 2

0 0 0

2

0 0 0

1

1

1

lim ( )

lim

lim

1

1

lim ( )

lim

lim

x x x x x x

x

f x

x

x

x

f x

x

x

→ → → → → →

+









=

_

_

=

_

+

_













 

=

_

_

+

_{ }

= +





 

RESPOSTA: E

6. EspCEx – 2014) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça

ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês (600 – x) unidades, em que 0 ≤ x ≤ 600. Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo.

[B] 250 [C] 350 [D] 450 [E] 550

RESOLUÇÃO:

O valor V(x) resultante da venda de (600 – x) poltronas ao preço de x reais é igual a V(x) = x(600 – x) = 600x – x2_.

O custo C(x) de (600 – x) poltronas é dado por C(x) = (600 – x).300 = 180.000 – 300x

O lucro L(x) é dado pela diferença entre o valor resultante da venda e o custo. Logo:

L(x) = V(x) – C(x)

L(x) = 600x – x2 – 180.000 + 300x

L(x) = – x2 + 900x – 180.000

Veja que temos uma parábola cuja concavidade é voltada para baixo. Logo, ela possui um ponto de máximo, dado por:

− − = = = − 900 450 2 2( 1) vértice b x a

O número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo é de 450 poltronas.

Resposta: D

7. EspCEx – 2014) Assinale a alternativa que representa o conjunto de

todos os números reais para os quais está definida a função

( )

₃² 6 5 ² 4 x x f x x − + = − a) R-{-2,2} b) (- ,-2)  (5,+ ) c) (- ,-2)  (-2,1] [5,+ )

d) (- ,1)  (5,+ ) e) (- ,-2]  (2,+ ) RESOLUÇÃO:

( )

₃² 6 5 ² 4 x x f x x − + = −

As funções que estão dentro das raízes não devem ter valor inferior a zero. Já o denominador deve ser diferente de zero. Vamos aplicar as duas condições.

Primeiramente, vamos encontrar os valores de x que fazem a função de segundo grau ser igual à zero:

2 2 0 = ² 6 5 4 ( 6) 4(1)(5) 36 20 16 x x b ac − +  = −  = − −  = −  = 1 2 2 ( 6) 16 6 4 2 2 6 4 5 2 6 4 1 2 b x a x x x −   = − −   = = + = = − = =

Veja que essa função de segundo grau tem concavidade voltada para cima. Devemos ter apenas valores positivos para a função. Logo, os valores de x menores que 1 e maiores que 5 são os que nos interessam. O gráfico abaixo ajuda a visualizar a situação:

Para o denominador, que é uma função de primeiro grau dentro de uma raiz cúbica, temos:

2 2 4 0 4 x x −   2 x ou x − 2

Repare que o numerador traz uma raiz cúbica. Raiz cúbica de número negativo existe e está definida nos reais. Por exemplo:

3

3 − =₈ 3_{( 2)}− = −_{2. Raiz cúbica de número positivo também existe e está}

definida nos reais. Se no denominador tivéssemos uma raiz quadrada, aí sim teríamos que fazer 2

4 0

x −  .

Em vermelho marcamos os valores que x pode assumir, levando em consideração o numerador. X pode ser qualquer valor menor ou igual a 1 ou qualquer valor maior ou igual a 5. Em azul marcamos os dois valores que o x não pode assumir, levando em consideração o denominador, que são -2 e 2.

Assim, x pode ser qualquer número menor que -2, mais qualquer número acima de -2 e menor ou igual a um, mais qualquer número maior ou igual a 5, cuja representação matemática é (- ,-2)  (-2,1] [5,+ ) .

Resposta: C

8. EspCEx – 2014) Sabendo que “c” e “d” são números reais, o maior

valor de “d” tal que a função f : R → R definida por

2 , 4 3, ( ) x c para x d x x p x d f x ara − +  − +   =   seja injetora é [A] 0. [B] 1. [C] 2. [D] 3. [E] 4. RESOLUÇÃO:

Se cada elemento do conjunto Imagem estiver ligado a um único elemento do Domínio, a função é chamada injetora.

Veja que uma das partes da função f(x) é uma função de segundo grau. Essa parábola tem concavidade voltada para cima. Logo, ela tem um ponto de mínimo.

Vamos calcular o valor de mínimo da parábola:

− − − = = ( 4) =2 2 2(1) vértice b x a

Veja agora um esboço do gráfico dessa parábola:

A partir do momento em que a parábola atinge o mínimo, ela começa a associar novos elementos de domínio aos mesmos elementos da imagem que já tinham elementos de domínio associados anteriormente. A partir de x>2, cada elemento da imagem passa a estar associado a dois elementos do domínio. Veja por exemplo que para y = 6 (imagem) temos dois valores de x (domínio). Portanto, x não pode ser maior que 2 para que a função seja injetora. Logo, x < 2, o que nos leva a d = 2.

Resposta: C

9. EspCEx – 2015) Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = √x

+ 4 e f(g(x))=x2 _{- 5, onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a}

alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que satisfazem os dados do enunciado.

[A] − −



3, 3



[B] − −_ 5, 5_ [C] _− 5, 5_ [D]



−3, 3



[E] − −



, 3



RESOLUÇÃO:

Conhecemos a função f(x). Logo, f(g(x)) é: f(g(x)) = √g(x) + 4 No entanto, f(g(x)) = x2 _{- 5. Logo:}

√g(x) + 4 = x2 _{- 5}

√g(x) = x2 _{- 9}

g(x) é não negativa para todo x real, logo: √g(x) = x2 - 9 ≥ 0

x ≥ 3 e x ≤-3

Voltando a f(x), temos que f(x) = √x + 4. Para que f(x) seja uma função real, devemos ter x ≥ 0. Portanto, x pode ser qualquer valor maior ou igual a 3. Outra forma seria dizer que x pode ser qualquer real exceto aqueles números menores que 3. Foi o que a letra E fez.



, 3



− −

Resposta: E

10. EspCEx – 2011 - adaptada) Determine o valor numérico da expressão sec1320º 23 2.cos ( 2220º )² 2 3 tg    − _{ }+   [A] -1 [B] 0 [C] 1 2 [D] 1 [E] 3 2 − RESOLUÇÃO:

Veja que 1320º equivale a 3 x 360º + 240º. Já 23 /3 equivale a 18 /3 + 5 /3 = 6 + 5 /3.

2220º pode ser reescrito como 6 x 360º + 60º. Assim, temos:

sec

sec

11. EspCEx – 2011) A função real f(x) está representada no gráfico

abaixo.

RESOLUÇÃO:

Para valores positivos de x, temos que em x = 0, y = 1. Portanto, estamos diante de uma função cosseno, visto que o cosseno de zero é 1. No entanto, temos o módulo da função cosx, visto que y não assume valores negativos.

Para valores negativos de x, temos que em x = 0, y = 0. Portanto, estamos diante de uma função seno, visto que o seno de zero é zero. No entanto, temos o módulo da função senx sendo multiplicado por -1, visto que y não assume valores positivos.

Assim, a função representada é:

Resposta: A

12. EspCEx – 2014) A população de peixes em uma lagoa varia

conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela expressão ( ) 10³ cos 2 5 6 t P t = _  −__ __+ _    

  em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar que:

[A] o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. [B] a população atinge seu máximo em t=6.

[C] o período de seca corresponde a 4 meses do ano. [D] população média anual é de 6.000 animais.

[E] a população atinge seu mínimo em t=4 com 6.000 animais.

RESOLUÇÃO:

O tempo é medido em meses. Precisamos determinar em quais meses do ano a função P(t) é crescente, quando teremos o período chuvoso, e em quais ela é decrescente, quando teremos o período de seca. A função cosx é crescente quando x vai de a 2 .

Quando x = na função, temos:

2 6 2 1 6 6 2 8 t t t   −  _{ =}     − = = + = Quando x = 2 na função, temos:

2 2 6 2 2 6 12 2 14 t t t   −  _{ =}     − ₌ = + =

Portanto, num intervalo de seis meses, de agosto (t = 8) a fevereiro (t = 14) a função P(t) é crescente. Assim, o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano.

Resposta: A 13. EspCEx – 2014) Seja 10 10 10 log 3 1 . 2 log 3 log 7  = − . O conjunto solução da desigualdade cos( ) 3 3 7 x      _{ } no intervalo [0, 2 ), é igual a [A]



0, 3     [B] ,5 3 3         [C] , 2



3     [D] , 2

)

3     [E] 3 , 2

)

2    RESOLUÇÃO:

Usando a propriedade log

b a

a

=

b

, temos:

Logo, temos:

Ou seja, x deve estar no intervalo ,5

3 3         Resposta: B

14. EspCEx – 2011) Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4%

dos homens e 10% das mulheres são diabéticos. Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região. Tomando-se ao acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabética é [A] 4% [B] 5% [C] 5,4% [D] 7,2% [E] 8,2% RESOLUÇÃO:

Pelas porcentagens, temos, entre os homens, 300 x 4% = 12 diabéticos e, entre as mulheres, 700 x 10% = 70 diabéticas. Ao todo são 82 diabéticos num grupo de 1000 pessoas. Logo, tomando-se ao acaso

uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabética é de 82/1000 = 8,2/100 = 8,2%.

Resposta: E

15. EspCEx – 2012) A probabilidade de se obter um número divisível

por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é [A] 1 5 [B] 2 5 [C] 3 4 [D] 1 4 [E] 1 2 RESOLUÇÃO:

O total de permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 totalizam 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 números diferentes. Para ser divisível por 2, basta que o número termine em 2 ou 4. Temos 5 terminações possíveis (1, 2, 3, 4 ou 5). Teremos 120 / 5 = 24 números com cada terminação. Logo, terminando em 2 ou 4 teremos 48 números. A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações é de 48/120 = 2/5.

Fim de aula!!! Nos vemos na Aula 01. Abraço,

Prof. Arthur Lima Prof. Hugo Lima

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1. EFOMM – 2016) Quantos anagramas é possível formar com a palavra

CARAVELAS, não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas? a) 24 b) 120 c) 480 d) 1920 e) 3840

2. EFOMM – 2016) Seja g(x) = 4 − cos x e f'(x) = 4x − e2x_.

Sabendo-se que f(0) = g(0), determine f(x). a) f(x) = 3 − 2x b) f(x) = 2x2 _{- 1/2 e}2x _{+ 7/2} c) f(x) = e-2x _{- 6x - 2/3} d) f(x) = e2x _{- x}2 _{+ 2} e) f(x) = e2x _{+ senx - 3}

3. EFOMM – 2016) Na Escola de Marinha Mercante, há alunos de ambos

os sexos (130 mulheres e 370 homens), divididos entre os Cursos Básico, de Máquinas e de Náutica. Sabe-se que do total de 130 alunos do Curso de Máquinas, 20 são mulheres. O Curso de Náutica tem 270 alunos no total e o Curso Básico tem o mesmo número de homens e mulheres. Quantas mulheres há no Curso de Náutica?

a) 50 b) 55 c) 60

d) 65 e) 70

4. EFOMM – 2016) Um cubo de lado 2a possui uma esfera circunscrita

nele. Qual é a probabilidade de, ao ser sorteado um ponto interno da esfera, esse ponto ser interno ao cubo?

a) /6 b) 2√3/3 c) √3/6 d) 2 /6√3 e) 1/2

5. EFOMM – 2016) Sobre a função

f x

( )

1

₂

x

x

+

=

, analise as afirmativas: I - f(x) é contínua em todo x R II - lim ( ) lim ( ) x→− f x =x→+ f x III - 0

lim ( )

x→

f x

= +

Então, pode-se dizer que

a) todas as afirmativas são verdadeiras. b) todas as afirmativas são falsas.

c) somente as afirmativas I e II são verdadeiras. d) somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

6. EspCEx – 2014) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça

ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês (600 – x) unidades, em que 0 ≤ x ≤ 600. Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo.

[A] 150 [B] 250

[C] 350 [D] 450 [E] 550

7. EspCEx – 2014) Assinale a alternativa que representa o conjunto de

todos os números reais para os quais está definida a função

( )

₃² 6 5 ² 4 x x f x x − + = − a) R-{-2,2} b) (- ,-2)  (5,+ ) c) (- ,-2)  (-2,1] [5,+ ) d) (- ,1)  (5,+ ) e) (- ,-2]  (2,+ )

8. EspCEx – 2014) Sabendo que “c” e “d” são números reais, o maior

valor de “d” tal que a função f : R → R definida por

2 , 4 3, ( ) x c para x d x x p x d f x ara − +  − +   =   seja injetora é [A] 0. [B] 1. [C] 2. [D] 3. [E] 4.

9. EspCEx – 2015) Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = √x

+ 4 e f(g(x))=x2 _{- 5, onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a}

alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que satisfazem os dados do enunciado.

[A] − −



3, 3



[C] _− 5, 5_ [D]



−3, 3



[E] − −



, 3



10. EspCEx – 2011 - adaptada) Determine o valor numérico da

expressão sec1320º 23 2.cos ( 2220º )² 2 3 tg    − _{ }+   [A] -1 [B] 0 [C] 1 2 [D] 1 [E] 3 2 −

11. EspCEx – 2011) A função real f(x) está representada no gráfico

12. EspCEx – 2014) A população de peixes em uma lagoa varia

conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela expressão ( ) 10³ cos 2 5 6 t P t = _  −__ __+ _    

  em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar que:

[A] o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. [B] a população atinge seu máximo em t=6.

[C] o período de seca corresponde a 4 meses do ano. [D] população média anual é de 6.000 animais.

[E] a população atinge seu mínimo em t=4 com 6.000 animais.

13. EspCEx – 2014) Seja 10 10 10 log 3 1 . 2 log 3 log 7  = − . O conjunto solução da desigualdade cos( ) 3 3 7 x      _{ } no intervalo [0, 2 ), é igual a [A]



0, 3    

[B] ,5 3 3         [C] , 2



3     [D] , 2

)

3     [E] 3 , 2

)

2   

14. EspCEx – 2011) Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4%

dos homens e 10% das mulheres são diabéticos. Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região. Tomando-se ao acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabética é [A] 4% [B] 5% [C] 5,4% [D] 7,2% [E] 8,2%

15. EspCEx – 2012) A probabilidade de se obter um número divisível

por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é [A] 1 5 [B] 2 5 [C] 3 4 [D] 1 4 [E] 1 2

01 C 02 B 03 C 04 B 05 E 06 D 07 C

08 C 09 E 10 D 11 A 12 A 13 B 14 E