Escola Secundária com 3º Ciclo D. Dinis Curso Profissional
de
Técnico de Apoio à Gestão Desportiva Tarefa 6
1. Numa escola, em 2004, um grupo de alunos sensibilizados para os problemas ambientais
aproveitou o Dia Mundial do Ambiente, 5 de junho, e constituiu o Clube do Ambiente. O número de elementos do clube foi variando e ajusta-se ao seguinte modelo matemático:
( )
3 2N t = −t +5t +22t+16;
t – número de anos decorridos após a fundação do clube; N(t) é o número de elementos do clube.
Estude o modelo matemático apresentado, recorrendo à representação gráfica, e responda:
1.1. Quantos elementos fundaram o Clube?
1.2. Em que ano foi extinto o clube, por falta de elementos participantes? 1.3. Em que ano o clube teve mais participantes?
2. Observe a figura. Nela encontra-se representada parte do
mapa de uma região ao qual se aplicou um referencial. A escala é 1:1 000 000.
O leito do rio, na região considerada, ajusta-se ao gráfico da função definida por: f x
( )
= −0,2x3 +0, 4x2 +1,6x+4 e a ligar as localidades A e B existe uma estrada rectilínea ao longo da qual foram construídas duas pontes que permitem a travessia do rio.2.1. Mostre que a representação da estrada que liga as duas localidades A e B é definida por:
5
y x 10 0 x 6.
3
= − + ∧ ≤ ≤
2.2. Determine, em km, a distância entre as duas pontes.
2.3. No local do rio mais afastado do mar existe uma praia fluvial. A quantos quilómetros do
3. Numa propriedade agrícola, uma “lagoa”
destina-se a armazenar água para a rega. A capacidade média da “lagoa” é de 2000m3. A variação, em relação à capacidade média, ao longo dos primeiros doze dias do mês de fevereiro, é dada em centenas de metros cúbicos, pelo seguinte modelo matemático:
( )
3 2 t V t 2t 10t 12, 1 t 12. 9 = − + − ≤ ≤V(t) – em centenas de metros cúbicos; t – em dias.
3.1. Mostre que V 9
( )
= −3 e V 12( )
=12. Interprete estes valores, no contexto do problema.3.2. Determine a quantidade de água armazenada na “lagoa” no dia 5 de fevereiro.
3.3. Determine o número de zeros da função V, no intervalo de tempo a que se refere o
modelo. Indique o significado dos zeros no contexto do problema.
3.4. Durante os dez primeiros dias de fevereiro, qual a quantidade máxima de água que a
“lagoa” armazenou?
3.5. No dia 13 de fevereiro foi detetado um erro no aparelho que registava as variações da
reserva de água em relação aos 2000 m3 (valor médio). Desde o início de fevereiro todas as variações dadas pelo aparelho eram inferiores em 150 m3 ao valor real. Faça a correção no modelo que foi apresentado.
Escola Secundária com 3º Ciclo D. Dinis Curso Profissional
de
Técnico de Apoio à Gestão Desportiva Tarefa 6
1. Numa escola, em 2004, um grupo de alunos sensibilizados para os problemas ambientais
aproveitou o Dia Mundial do Ambiente, 5 de junho, e constituiu o Clube do Ambiente. O número de elementos do clube foi variando e ajusta-se ao seguinte modelo matemático:
( )
3 2N t = −t +5t +22t+16;
t – número de anos decorridos após a fundação do clube; N(t) é o número de elementos do clube.
Estude o modelo matemático apresentado, recorrendo à representação gráfica, e responda:
1.1. N(0) dá-nos o número de elementos que fundaram o Clube:
Podíamos resolver analiticamente fazendo
( )
3 2N 0 = −0 +5 0× +22 0 16× + =16
Concluindo que foram 16 os alunos que fundaram o Clube do Ambiente
1.2. Para sabermos em que ano foi extinto o clube, por falta de elementos
participantes vamos resolver a equação N t
( )
=0 e só o podemos fazer utilizando a calculadora pelo que devemos calcular o primeiro zero positivo da função.Assim concluímos que o Clube foi extinto 8 anos depois ou seja em 2012.
1.3. Para sabermos em que ano o clube teve mais participantes vamos
calcular o maximizante da função no intervalo [0,8].
Concluímos que o clube teve mais participantes no ano 2009. Ou seja 5 anos depois.
2. Observe a figura. Nela encontra-se representada parte do mapa
de uma região ao qual se aplicou um referencial. A escala é 1:1 000 000.
O leito do rio, na região considerada, ajusta-se ao gráfico da função definida por: f x
( )
0,2x3 0, 4x2 1,6x 4localidades A e B existe uma estrada rectilínea ao longo da qual foram construídas duas pontes que permitem a travessia do rio.
2.1. Mostremos que a representação da estrada que liga as duas localidades A e B é definida
por: y 5x 10 0 x 6. 3
= − + ∧ ≤ ≤
Trata-se de um troço de uma reta que passa nos pontos A(0,10) e B(6,0) pelo que o declive é m 0 10 5
6 0 3
−
= = −
− e tem ordenada na origem 10. A equação da reta é 5
y x 10
3
= − + e porque só queremos o troço entre A e B podemos acrescentar 0≤y≤10 ou 0≤x≤6.
Assim podemos concluir que a representação da estrada entre os pontos A e B é 5
y x 10 0 x 6.
3
= − + ∧ ≤ ≤
2.2. Determine, em km, a distância entre as duas pontes.
Calculámos a distância entre os dois pontos de interseção da estrada com o leito do rio, na figura, tendo em conta que a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados das medidas dos catetos, mas a escala faz corresponder a cada cm da figura 10 km na realidade assim o comprimento da estrada entre as duas pontes é aproximadamente 46,5 km.
2.3. No local do rio mais afastado do mar existe uma praia fluvial. Para
sabermos a quantos quilómetros do mar se situa a referida praia teremos de calcular o máximo da função que representa o leito do rio. Assim, e pensando novamente na escala do mapa, o mar fica a 73,8 km do mar.
3. Numa propriedade agrícola, uma “lagoa”
destina-se a armazenar água para a rega. A capacidade média da “lagoa” é de 2000 m3. A variação, em relação à capacidade média, ao longo dos primeiros doze dias do mês de fevereiro, é dada em centenas de metros cúbicos, pelo seguinte modelo matemático:
( )
3 2 t V t 2t 10t 12, 1 t 12. 9 = − + − ≤ ≤V(t) – em centenas de metros cúbicos; t – em dias.
3.1. Mostremos que V 9
( )
= −3 e V 12( )
=12 e interpretemos estes valores, no contexto do problema.( )
3 2 9 V 9 2 9 10 9 12 81 162 90 12 81 12 90 3 9 = − × + × − = − + − = − − + = −No dia 9 de fevereiro a quantidade de água na “lagoa” era 1700 m3
( )
3 2 12 V 12 2 12 10 12 12 192 288 120 12 312 300 12 9 = − × + × − = − + − = − =No dia 12 de fevereiro a quantidade de água na “lagoa” era 3200m3.
3.2. Determine a quantidade de água armazenada na “lagoa” no dia 5 de fevereiro.
( )
3 2 5 125 17 V 5 2 5 10 5 12 50 50 12 9 9 9 = − × + × − = − + − =A quantidade de água armazenada na “lagoa” no dia 5 de fevereiro era 17
2000 100 2188,(8) 9
+ × = , aproximadamente 2189 m3
3.3. Determinemos o número de zeros da função V, no intervalo de tempo a
que se refere o modelo e indiquemos o significado dos zeros no contexto do problema.
A função tem neste intervalo 3 zeros o que significa ter havido 3 momentos em que a quantidade de água armazenada na “lagoa” era 2000m3.
3.4. Durante os dez primeiros dias de fevereiro, a quantidade máxima de
água que a “lagoa” armazenou foi de 2000 327 2327m3
+ =
3.5. No dia 13 de fevereiro foi detetado um erro no aparelho que registava as variações da
reserva de água em relação aos 2000 m3 (valor médio). Desde o início de fevereiro todas as variações dadas pelo aparelho eram inferiores em 150 m3 ao valor real. Façamos a correção no modelo que foi apresentado: