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Escola Secundária com 3º Ciclo D. Dinis Curso Profissional de Técnico de Apoio à Gestão Desportiva. Tarefa 6

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Academic year: 2021

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Escola Secundária com 3º Ciclo D. Dinis Curso Profissional

de

Técnico de Apoio à Gestão Desportiva Tarefa 6

1. Numa escola, em 2004, um grupo de alunos sensibilizados para os problemas ambientais

aproveitou o Dia Mundial do Ambiente, 5 de junho, e constituiu o Clube do Ambiente. O número de elementos do clube foi variando e ajusta-se ao seguinte modelo matemático:

( )

3 2

N t = −t +5t +22t+16;

t – número de anos decorridos após a fundação do clube; N(t) é o número de elementos do clube.

Estude o modelo matemático apresentado, recorrendo à representação gráfica, e responda:

1.1. Quantos elementos fundaram o Clube?

1.2. Em que ano foi extinto o clube, por falta de elementos participantes? 1.3. Em que ano o clube teve mais participantes?

2. Observe a figura. Nela encontra-se representada parte do

mapa de uma região ao qual se aplicou um referencial. A escala é 1:1 000 000.

O leito do rio, na região considerada, ajusta-se ao gráfico da função definida por: f x

( )

= −0,2x3 +0, 4x2 +1,6x+4 e a ligar as localidades A e B existe uma estrada rectilínea ao longo da qual foram construídas duas pontes que permitem a travessia do rio.

2.1. Mostre que a representação da estrada que liga as duas localidades A e B é definida por:

5

y x 10 0 x 6.

3

= − + ∧ ≤ ≤

2.2. Determine, em km, a distância entre as duas pontes.

2.3. No local do rio mais afastado do mar existe uma praia fluvial. A quantos quilómetros do

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3. Numa propriedade agrícola, uma “lagoa”

destina-se a armazenar água para a rega. A capacidade média da “lagoa” é de 2000m3. A variação, em relação à capacidade média, ao longo dos primeiros doze dias do mês de fevereiro, é dada em centenas de metros cúbicos, pelo seguinte modelo matemático:

( )

3 2 t V t 2t 10t 12, 1 t 12. 9 = − + − ≤ ≤

V(t) – em centenas de metros cúbicos; t – em dias.

3.1. Mostre que V 9

( )

= −3 e V 12

( )

=12. Interprete estes valores, no contexto do problema.

3.2. Determine a quantidade de água armazenada na “lagoa” no dia 5 de fevereiro.

3.3. Determine o número de zeros da função V, no intervalo de tempo a que se refere o

modelo. Indique o significado dos zeros no contexto do problema.

3.4. Durante os dez primeiros dias de fevereiro, qual a quantidade máxima de água que a

“lagoa” armazenou?

3.5. No dia 13 de fevereiro foi detetado um erro no aparelho que registava as variações da

reserva de água em relação aos 2000 m3 (valor médio). Desde o início de fevereiro todas as variações dadas pelo aparelho eram inferiores em 150 m3 ao valor real. Faça a correção no modelo que foi apresentado.

(3)

Escola Secundária com 3º Ciclo D. Dinis Curso Profissional

de

Técnico de Apoio à Gestão Desportiva Tarefa 6

1. Numa escola, em 2004, um grupo de alunos sensibilizados para os problemas ambientais

aproveitou o Dia Mundial do Ambiente, 5 de junho, e constituiu o Clube do Ambiente. O número de elementos do clube foi variando e ajusta-se ao seguinte modelo matemático:

( )

3 2

N t = −t +5t +22t+16;

t – número de anos decorridos após a fundação do clube; N(t) é o número de elementos do clube.

Estude o modelo matemático apresentado, recorrendo à representação gráfica, e responda:

1.1. N(0) dá-nos o número de elementos que fundaram o Clube:

Podíamos resolver analiticamente fazendo

( )

3 2

N 0 = −0 +5 0× +22 0 16× + =16

Concluindo que foram 16 os alunos que fundaram o Clube do Ambiente

1.2. Para sabermos em que ano foi extinto o clube, por falta de elementos

participantes vamos resolver a equação N t

( )

=0 e só o podemos fazer utilizando a calculadora pelo que devemos calcular o primeiro zero positivo da função.

Assim concluímos que o Clube foi extinto 8 anos depois ou seja em 2012.

1.3. Para sabermos em que ano o clube teve mais participantes vamos

calcular o maximizante da função no intervalo [0,8].

Concluímos que o clube teve mais participantes no ano 2009. Ou seja 5 anos depois.

2. Observe a figura. Nela encontra-se representada parte do mapa

de uma região ao qual se aplicou um referencial. A escala é 1:1 000 000.

O leito do rio, na região considerada, ajusta-se ao gráfico da função definida por: f x

( )

0,2x3 0, 4x2 1,6x 4

(4)

localidades A e B existe uma estrada rectilínea ao longo da qual foram construídas duas pontes que permitem a travessia do rio.

2.1. Mostremos que a representação da estrada que liga as duas localidades A e B é definida

por: y 5x 10 0 x 6. 3

= − + ∧ ≤ ≤

Trata-se de um troço de uma reta que passa nos pontos A(0,10) e B(6,0) pelo que o declive é m 0 10 5

6 0 3

= = −

− e tem ordenada na origem 10. A equação da reta é 5

y x 10

3

= − + e porque só queremos o troço entre A e B podemos acrescentar 0≤y≤10 ou 0≤x≤6.

Assim podemos concluir que a representação da estrada entre os pontos A e B é 5

y x 10 0 x 6.

3

= − + ∧ ≤ ≤

2.2. Determine, em km, a distância entre as duas pontes.

Calculámos a distância entre os dois pontos de interseção da estrada com o leito do rio, na figura, tendo em conta que a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados das medidas dos catetos, mas a escala faz corresponder a cada cm da figura 10 km na realidade assim o comprimento da estrada entre as duas pontes é aproximadamente 46,5 km.

2.3. No local do rio mais afastado do mar existe uma praia fluvial. Para

sabermos a quantos quilómetros do mar se situa a referida praia teremos de calcular o máximo da função que representa o leito do rio. Assim, e pensando novamente na escala do mapa, o mar fica a 73,8 km do mar.

3. Numa propriedade agrícola, uma “lagoa”

destina-se a armazenar água para a rega. A capacidade média da “lagoa” é de 2000 m3. A variação, em relação à capacidade média, ao longo dos primeiros doze dias do mês de fevereiro, é dada em centenas de metros cúbicos, pelo seguinte modelo matemático:

(5)

( )

3 2 t V t 2t 10t 12, 1 t 12. 9 = − + − ≤ ≤

V(t) – em centenas de metros cúbicos; t – em dias.

3.1. Mostremos que V 9

( )

= −3 e V 12

( )

=12 e interpretemos estes valores, no contexto do problema.

( )

3 2 9 V 9 2 9 10 9 12 81 162 90 12 81 12 90 3 9 = − × + × − = − + − = − − + = −

No dia 9 de fevereiro a quantidade de água na “lagoa” era 1700 m3

( )

3 2 12 V 12 2 12 10 12 12 192 288 120 12 312 300 12 9 = − × + × − = − + − = − =

No dia 12 de fevereiro a quantidade de água na “lagoa” era 3200m3.

3.2. Determine a quantidade de água armazenada na “lagoa” no dia 5 de fevereiro.

( )

3 2 5 125 17 V 5 2 5 10 5 12 50 50 12 9 9 9 = − × + × − = − + − =

A quantidade de água armazenada na “lagoa” no dia 5 de fevereiro era 17

2000 100 2188,(8) 9

+ × = , aproximadamente 2189 m3

3.3. Determinemos o número de zeros da função V, no intervalo de tempo a

que se refere o modelo e indiquemos o significado dos zeros no contexto do problema.

A função tem neste intervalo 3 zeros o que significa ter havido 3 momentos em que a quantidade de água armazenada na “lagoa” era 2000m3.

3.4. Durante os dez primeiros dias de fevereiro, a quantidade máxima de

água que a “lagoa” armazenou foi de 2000 327 2327m3

+ =

3.5. No dia 13 de fevereiro foi detetado um erro no aparelho que registava as variações da

reserva de água em relação aos 2000 m3 (valor médio). Desde o início de fevereiro todas as variações dadas pelo aparelho eram inferiores em 150 m3 ao valor real. Façamos a correção no modelo que foi apresentado:

( )

( )

3 3 2 2 2 2 t t V t 2t 10t 12 1,5 1 t 12 V t 2t 10t 10,5 1 t 12. 9 9 = − + − + ∧ ≤ ≤ ⇔ = − + − ∧ ≤ ≤

Referências

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