A propriedade de Borsuk-Ulam para funções entre superfícies. Vinicius Casteluber Laass

Vinicius Casteluber Laass

Tese apresentada

ao

Instituto de Matemática e Estatística

da

Universidade de São Paulo

para

obtenção do título

de

Doutor em Ciências

Programa: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Daciberg Lima Gonçalves

Coorientador: Prof. Dr. John Guaschi

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio nanceiro do CNPq, projeto 140836/2012-8, e

do programa de cooperação Capes/COFECUB, projeto 12693/13-8. São Paulo, julho de 2015

para funções entre superfícies

Esta versão da tese contém as correções e alterações sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 21/07/2015. Uma cópia da versão original está disponível no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Daciberg Lima Gonçalves (orientador) - IME-USP • Profa. Dra. Lucília Daruiz Borsari - IME-USP

• Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto - ICMC-USP • Prof. Dr. Daniel Vendrúscolo - UFSCAR • Prof. Dr. Weslem Liberato Silva - UESC

Acho que eu sou um cara privilegiado. Digo isso, porque durante a minha formação acadêmica tive vários professores empolgados e amigos e isso por si só já seria um enorme privilégio. Estes professores sempre me diziam que para fazer um bom doutorado em matemática, muito mais do que capacidade ou instituição, era necessário ter um bom orientador. Bom, gostaria de dizer a esses meus mestres que eles tinham total razão e que sou um cara muito privilegiado, pois não tive um bom orientador, tive três.

À professora Lucília Borsari, minha orientadora acadêmica, gostaria de agradecer toda a aten-ção durante o período de disciplinas e também no decorrer do curso. Muito obrigado por aquele telefonema em que me empolgou e me convenceu a ir fazer o doutorado no IME - USP.

Aos professores Daciberg Gonçalves e John Guaschi, meus orientadores de tese, eu tenho que dizer uma coisa: Não sei quem escolheu o tema (ou se foram os dois), mas eu adorei. Tudo bem que teve meia dúzia de momentos em que eu me desesperei porque não sabia o que fazer com certas equações no grupo de tranças do Toro ou da garrafa de Klein, mas vocês cumpriram com seus papéis de orientadores e no resumo da ópera eu me diverti bastante. Muito obrigado a vocês dois pela paciência e por todos os ensinamentos, inclusive os matemáticos.

No nal do curso me deu uma sensação que passou tudo num piscar de olhos, mas aí eu parei e pensei, caramba, foram quatro anos e meio. E certamente este tempo todo valeu a pena não apenas pelo crescimento acadêmico, mas porque este tempo foi feito de momentos com pessoas mais que especiais.

Logo no começo do curso, a então secretária da Comissão de Pós-Graduação alugou um quarto em sua casa para eu morar. De brinde eu ganhei uma família, com direito a duas cachorras festeiras e duas novas irmãs mais festeiras ainda (a quem dedico este trabalho). Muito obrigado Helena Oliveira, pelo carinho maternal que você teve comigo.

Também tive a oportunidade de estreitar os laços com meu tio Waldemar Kunsch e minha tia Margarida Kunsch, os quais eu gostaria de agradecer por todo o carinho. Vocês são para mim os exemplos de que a dedicação ao trabalho sempre vale a pena.

Se eu tive a oportunidade de chegar até aqui, grande mérito se deve ao meu pai, Sergio, e a minha mãe, Dora, pois os mesmos sempre me deram apoio incondicional. Mesmo morando a mil quilômetros de distância, ou até mesmo separados por um oceano, eu só tenho a agradecer por sempre estarem tão pertos. Ah, e ao meu irmão Diogo, valeu pelas guras. E para que não role ciúme, ao meu irmão Gabriel, valeu pela camaradagem ou qualquer coisa genérica.

Bem, quando a família não estava tão perto, os amigos cumpriram seus papéis. Muito obrigado pelos vários momentos maravilhosos com todos vocês. Me desculpe quem eu não vou citar, mas seria injusto eu não falar explicitamente sobre quatro pessoas.

À minha amiga Travesti, que também é conhecida por Andreza Beezão e não é um travesti, não iii

vou me esquecer dos seus SMS que chegavam às três e meia da madrugada. Muito obrigado por toda atenção na mudança de São Carlos para São Paulo.

Ao meu amigo Falcão, vulgo Rafael Souza, foram muito boas as nossas discussões acaloradas sobre recobrimentos, homologias, sequências espectrais... E muito obrigado por quase sempre elas terminarem com muita risada e com um copo gelado na mão.

À minha amiga Carolina Pereiro, que se chama Carolina mesmo, merci beaucoup por toda a amizade, principalmente no tempo em que fomos vizinhos em Caen. Jamais vou me esquecer das inúmeras quebradas de galho quando você era minha intérprete de francês.

Ao meu amigo Maikel Samuays, carinhosamente Mundissa, eu poderia escrever um livro sobre de como nos ajudamos mutuamente durante quatro anos e sobre todas as nossas aventuras em Sampa, mas resumindo, eu prero simplesmente dizer muito obrigado por existir e por fazer parte da minha vida.

LAASS, V. C. A propriedade de Borsuk-Ulam para funções entre superfícies. 2015. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2015. Sejam M e N superfícies fechadas e τ : M → M uma involução livre de pontos xos. Dizemos que uma classe de homotopia β ∈ [M, N] tem a propriedade de Borsuk-Ulam se para toda função contínua g : M → N que representa β, existe x ∈ M tal que g(τ(x)) = g(x). No caso em que N 6= S2, RP2, mostramos que β não ter a propriedade de Borsuk-Ulam é equivalente a existência de um diagrama algébrico envolvendo π1(M ), π1(Mτ), P2(N ) e B2(N ), sendo Mτ o espaço de órbitas de τ e sendo P2(N )e B2(N ), respectivamente, o grupo de tranças puras e totais de N. Para cada caso listado abaixo, nós classicamos todas as classes de homotopia β ∈ [M, N] que têm a propriedade de Borsuk-Ulam: • M = T2_{, M} τ = T2 e N = T2; • M = T2_{, M} τ = K2 e N = T2; • M = K2 _{e N = K}2_; • M = T2_{, M} τ = T2 e N = K2.

No caso em que N = S2_{, para cada superfície M e involução τ : M → M, nós classicamos os} elementos β ∈ [M; S2_{] que têm a propriedade de Borsuk-Ulam. Para fazer tal classicação, nós} usamos a teoria de funções equivariantes e a teoria de grau de aplicações. Para classes de homo-topia β ∈ [M; RP2_{], classicamos aquelas que se levantam para S}2_{. No nal, nós consideramos a} propriedade de Borsuk-Ulam para ações livres de Zp, com p um inteiro primo positivo. Neste caso, mostramos que se M e N são superfícies fechadas e Zp age livremente em M, com p 6= 2, então sempre existe uma função f : M → N homotópica a uma função constante e cuja restrição a cada órbita da ação é injetora.

Palavras-chave: Teorema de Borsuk-Ulam, superfícies, grupos de tranças.

LAASS, V. C. The Borsuk-Ulam property for functions between surfaces. 2015. Tese (Dou-torado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2015.

Let M and N be compact surfaces without boundary, and let τ : M → M be a xed-point free involution. We say that a homotopy class β ∈ [M, N] has the Borsuk-Ulam property if for every continuous function g : M → N that represents β, there exists x ∈ M such that g(τ(x)) = g(x). In the case where N 6= S2_{, RP}2_{, we show that the fact that β does not have the Borsuk-Ulam property} is equivalent to the existence of an algebraic diagram involving π1(M ), pi1(Mτ), P2(N )and B2(N ), where Mτ is the orbit space of τ and P2(N )and B2(N )are the pure and the full braid groups of the surface N respectively. We then go on to consider the cases of the torus T2 _{and the Klein bottle} K2. Let M and N satisfy one of the following:

• M = T2_{, M} τ = T2 and N = T2; • M = T2_{, M} τ = K2 and N = T2; • M = K2 _{and N = K}2_; • M = T2_{, M} τ = T2 and N = K2.

In these cases we classify the homotopy classes β ∈ [M, N] that possess the Borsuk-Ulam property. If N = S2_{, for every surface M and an involution τ : M → M, we classify the elements β ∈ [M, S}2_] that possess the Borsuk-Ulam property. To obtain this classication, we make use of the theory of equivariant functions and degree theory of maps. For homotopy classes β ∈ [M, RP2_{], we classify} the classes that admit a lifting to S2_{. Finally, we consider the Borsuk-Ulam property for free actions} of Zp, where p is a prime number. If M and N are compact surfaces without boundary such that Zp acts freely on M, with p 6= 2, we show that there is always a function f : M → N homotopic to the constant function whose restriction to every orbit of τ is injective.

Keywords: Borsuk-Ulam Theorem, surfaces, braid groups.

Introdução 1

1 Preliminares e Generalidades 5

1.1 Introdução. . . 5

1.2 Classes de Homotopia . . . 5

1.3 Classicação das involuções . . . 6

1.4 A propriedade de Borsuk-Ulam e os Grupos de Tranças . . . 9

1.5 Algumas notações sobre T2 _{e K}2 _{e seus grupos fundamentais. . . 16}

2 Os casos (T2_{, τ ; T}2_{) 19} 2.1 Introdução. . . 19

2.2 Classicação das classes de homotopia com a propriedade de Borsuk-Ulam com res-peito a τ1 . . . 21

2.3 Classicação das classes de homotopia com a propriedade de Borsuk-Ulam com res-peito a τ2 . . . 23

3 O caso (K2_{, τ ; K}2_{) 31} 3.1 Introdução. . . 31

3.2 Conjugação e potência em Z o Z . . . 32

3.3 O conjunto [K2_{, K}2_{]. . . 33}

3.4 Classicação das classes de homotopia com a propriedade de Borsuk-Ulam . . . 34

4 O caso (T2_{, τ ; K}2_{), com T}2 τ = T2 39 4.1 Introdução. . . 39

4.2 O conjunto [T2_{, K}2_{] . . . 39}

4.3 Algumas propriedades de hσ2_i . . . 41

4.4 Classicação das classes de homotopia com a propriedade de Borsuk-Ulam . . . 53

4.4.1 Prova das Proposições 4.4.3, 4.4.4, 4.4.6, 4.4.7 e 4.4.9 . . . 55

4.4.2 Prova da Proposição 4.4.5 . . . 59

4.4.3 Prova das Proposições 4.4.8 e 4.4.10 . . . 64

5 Os casos (M, τ; S2_{) e (M, τ; RP}2_{) 79} 5.1 Introdução. . . 79 5.2 Os casos (M, τ; S2_{) . . . 81} 5.2.1 Prova do Teorema 5.1.2 . . . 85 5.2.2 Prova do Teorema 5.1.3 . . . 85 ix

5.2.3 Prova do Teorema 5.1.4 . . . 88

5.3 Os casos (M, τ; RP2_{) . . . 88}

5.3.1 Prova do Teorema 5.1.5 . . . 90

5.3.2 Prova do Teorema 5.1.6 . . . 91

6 A propriedade de Borsuk-Ulam para ações de Zp 93 6.1 Introdução. . . 93

6.2 Ações livre de Zp e a propriedade de Borsuk-Ulam . . . 93

A Os grupos de tranças do Toro 99

B Os grupos de tranças da garrafa de Klein 105

C O grupo fundamental dos espaços de conguração A2(S2) e B2(S2) 125

No início do século XX, o matemático polonês Stanislaw Ulam conjecturou que se f : Sn_{→ R}n_é uma aplicação contínua, então existe x ∈ Sn_{tal que f(A(x)) = f(x), sendo A : S}n_{→ S}n_{a aplicação} antipodal. Em 1933, o também matemático polonês Karol Borsuk conrmou este resultado em [5]. Este trabalho é o início da história do que hoje chamamos Teoremas do tipo Borsuk-Ulam. Mais detalhes sobre a história e as generalizações do Teorema de Borsuk-Ulam podem ser encontradas em [23].

Entre as muitas generalizações do problema proposto por Ulam e resolvido por Borsuk, a seguinte generalização é próxima do presente trabalho:

Denição 0.0.1. Sejam M e N espaços topológicos e τ : M → M uma involução livre de pontos xos, isto é, τ2 _{= Id}

M e τ(x) 6= x para todo x ∈ M. Dizemos que a tripla (M, τ; N) tem a propriedade de Borsuk-Ulam se para toda função contínua f : M → N, existe x ∈ M tal que f (τ (x)) = f (x).

Vamos descrever alguns resultados que são próximos e relevantes para este trabalho.

Em 2006, Daciberg Lima Gonçalves classicou todas as triplas (M, τ; R2_{)que têm a propriedade} de Borsuk-Ulam nos casos em que M é uma superfície fechada [15].

Em 2010, Daciberg Lima Gonçalves e John Guaschi classicaram todas as triplas (M, τ; N) que têm a propriedade de Borsuk-Ulam nos casos em que M e N são superfícies fechadas [16].

Observemos que se (M, τ; R2_{)não tem a propriedade de Borsuk-Ulam, por denição, existe uma} aplicação contínua f : M → R2 _{tal que f(τ(x)) 6= f(x) para todo x ∈ M. Como o conjunto das} classes de homotopia de funções de M em R2 _{tem cardinalidade 1, isto é, o conjunto [M, R}2_{] tem} apenas um elemento, vale que se g : M → R2 _{é uma função contínua tal que g(τ(x)) = g(x) para} algum x ∈ M (por exemplo, g é uma função constante), então g é homotópica a f, ou seja, g é homotópica a uma função que não colapsa nenhuma órbita da involução τ.

Agora, se (M, τ; N) não tem a propriedade de Borsuk-Ulam, então existe uma função contínua f : M → N tal que f(τ(x)) 6= f(x) para todo x ∈ M. Mas se g : M → N é tal que g(τ(x)) = g(x) para algum x ∈ M, não sabemos (a priori) se g é homotópica a f ou se g é homotópica a alguma aplicação que não colapse conjuntos da forma {x, τ(x)}, x ∈ M. Ou seja, no caso em que (M, τ; N) não tem a propriedade de Borsuk-Ulam não temos uma boa informação de quais funções que a menos de homotopia não colapsam órbita da involução τ.

A partir destas considerações, temos a formulação de um problema mais renado, que motiva a seguinte denição, a qual pode ser considerada um renamento da Denição0.0.1.

Denição 0.0.2. Sejam τ : M → M uma involução livre de pontos xos e β ∈ [M, N] uma classe de homotopia de funções entre M e N. Dizemos que β tem a propriedade de Borsuk-Ulam (com respeito a τ) se para toda aplicação contínua g : M → N que representa β, existe x ∈ M tal que g(τ (x)) = g(x).

Por negação, segue que se β não tem a propriedade de Borsuk-Ulam, então existe uma função f : M → N que representa β tal que f(τ(x)) 6= f(x) para todo x ∈ M.

Notemos que uma involução livre de pontos xos τ : M → M pode ser identicada como uma ação livre de Z2 em M. Uma outra forma de generalizar o Teorema de Borsuk-Ulam, que é bem

conhecida e tem sido estudada, é substituirmos esta ação de Z2 por uma ação livre do grupo cíclico Zp, onde p é um primo ímpar. O problema que se coloca, e que generaliza a questão clássica, é determinar se existe uma função contínua f : M → N tal que f é injetora quando restrita a cada órbita da ação de Zp.

Neste trabalho de tese, a parte principal consiste em dar uma contribuição ao seguinte problema: para cada terna (M, τ; N), sendo M e N superfícies fechadas e τ : M → M uma involução livre de pontos xos, classicar as classes de homotopia de funções de M e N que têm a propriedade de Borsuk-Ulam. De forma suscinta, neste trabalho classicaremos as classes de homotopia que têm a propriedade de Borsuk-Ulam para as ternas (M, τ; N) listadas abaixo, sendo que Mτ denota o espaço de órbitas:

(1) M = T2, Mτ = T2 e N = T2; (2) M = T2, Mτ = K2 e N = T2; (3) M = K2 e N = K2;

(4) M = T2, Mτ = T2 e N = K2;

(5) M sendo um superfície fechada orientável com Mτ orientável e N = S2; (6) M sendo um superfície fechada orientável com Mτ não orientável e N = S2; (7) M sendo um superfície fechada não orientável e N = S2.

De forma parcial, responderemos o problema de Borsuk-Ulam para as classes de homotopia de funções de M em RP2 _{que se levantam para S}2_{, onde M poderá assumir todas as possibilidades de} superfícies fechadas.

Relativo ao problema onde temos uma ação livre de Zp em M, com p primo e p 6= 2, no nal deste trabalho, mostraremos que se M e N são superfícies fechadas, então sempre existe uma função contínua f : M → N homotópica a uma função constante e cuja restrição a cada órbita da ação é injetora.

Como etapa inicial para obtenção dos resultados acima, se faz necessário para cada dupla de superfícies fechadas M e N entender bem o conjunto das classes de homotopia de funções entre estes espaços. Também se faz necessário entender bem a classicação das involuções livres em M.

Relativo ao estudo das involuções livres em superfícies, os resultados são conhecidos e zemos uma exposição dos mesmos na Seção1.3, a qual é um resumo dos trabalhos [15,16].

Já para se determinar o conjunto [M, N], dependendo dos casos, as técnicas utilizadas são diferentes. Por isso, é conveniente a divisão em duas famílias distintas, que são as seguintes:

(a) N 6= S2, RP2; (b) N = S2 ou N = RP2.

No caso (a), nós xaremos, na Seção 1.2, a notação do fato bem conhecido de que o conjunto das classes de homotopia de funções entre M e N está em bijeção com as classes de conjugação dos homomorsmos de π1(M ) e π1(N ).

Usando este fato, na Seção1.4, nós demonstraremos um critério algébrico para que um elemento β ∈ [M, N ] não tenha a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a uma involução τ : M → M (Lema 1.4.3 e Teorema 1.4.4). Tal critério utiliza os grupos fundamentais de M e do espaço de órbitas Mτ e também os grupos de tranças puras e totais de N, os quais denotamos por P2(N ) e B2(N ), respectivamente.

Este resultado generaliza a conexão iniciada em [16] de duas áreas importantes e ativas na matemática:

Esta ligação de áreas se mostrou bastante frutífera para estudar o problema de Borsuk-Ulam para classes de homotopia.

Lembrando que os grupos de tranças foram introduzidas pelo matemático austríaco Emil Artin em 1925 [2]. Em 1962, os matemáticos americanos Ralph Hartzler Fox e Lee Neuwirth deniram os grupos de tranças de superfícies utilizando o grupo fundamental de um certo espaço construído a partir da superfície, chamado espaço de conguração, e mostrando que os grupos denidos por Artin eram um caso particular no caso em que a superfície considerada era o disco unitário D2 _[14]. A formulação em termos do grupo fundamental é a que é conveniente para o nosso estudo.

Com os resultados teóricos estabelecidos, passamos a trabalhar em casos especícos.

No Capítulo 2, nós classicaremos os elementos do conjunto [T2_{, T}2_{]que têm a propriedade de} Borsuk-Ulam com respeito a uma involução τ1 : T2 → T2, cuja principal característica é que o espaço de órbitas T2

τ1 é homeomorfo a T

2 _{e também classicaremos as classes de homotopia que} têm a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a uma involução τ2 : T2 → T2, cuja principal característica é que o espaço de órbitas T2

τ2 é homeomorfo a K

2_{. No primeiro caso, nós mostraremos} que se β ∈ [T2_{, T}2_{], então β não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ}

1 (Teorema

2.2.3). No segundo caso, a situação é mais complexa e mostraremos quando β tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ2 em termos do homomorsmo induzido em nível de grupo funda-mental por algum representante de β, sendo que a condição sobre o homomorsmo é dada de forma completamente explícita (Teorema 2.3.10).

Para tal estudo, nós utilizaremos uma certa presentação de P2(T2) e como um certo elemento σ ∈ B2(T2) que não está em P2(T2) age por conjugação nesta presentação. Este é o conteúdo do Apêndice A.

No Capítulo 3, nós classicaremos os elementos do conjunto [K2_{, K}2_{] que têm a propriedade} de Borsuk-Ulam com respeito a uma involução τ : K2 _{→ K}2 _{xada. Nós mostraremos que uma} classe de homotopia β ∈ [K2_{, K}2_{]tem a propriedade de Borsuk-Ulam se, e somente se, esta classe} de homotopia se levanta para T2 _{(Teorema 3.4.5).}

Para tal estudo, também foi necessário mostrar uma presentação de P2(K2) e como um certo elemento σ ∈ B2(K2)que não está em P2(K2)age por conjugação nesta presentação. Este é um dos principais objetivos do Apêndice B.

No Capítulo 4, nós classicaremos os elementos do conjunto [T2_{, K}2_{] que têm a propriedade} de Borsuk-Ulam com respeito a mesma involução τ1 : T2 → T2 que está denida no Capítulo 2, mostrando exatamente quando uma classe de homotopia β tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ1 em termos do homomorsmo induzido em nível de grupo fundamental por algum representante de β (Teorema4.4.2). Este caso se mostrou o de maior complexidade para se obter a classicação entre aqueles do caso (a).

Para tal estudo, é necessário obter uma presentação do subgrupo normal gerado pelo elemento σ2 ∈ P_2(K2_{). No Apêndice B, nós mostraremos que tal subgrupo é um grupo livre de posto innito} e explicitaremos uma base, o que é de suma importância para os cálculos.

Sobre o estudo teórico do caso (b), onde N = S2 _{ou N = RP}2_{, na introdução do Capítulo} 5 e mais especialmente no Teorema 5.1.1, nós xaremos a notação do fato bem conhecido que o conjunto M, S2

está em bijeção, através da noção de grau, com Z se M é orientável ou está em bijeção com Z2 se M é não orientável. Mostraremos que uma classe de homotopia β ∈ [M, S2]não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a uma involução τ : M → M se, e somente se, β tem um representante que é (τ, A) equivariante, sendo A : S2 _{→ S}2 _{a involução antipodal (Lema}

5.2.1).

Usando tais fatos teóricos, para todas as possibilidades de M e de uma involução τ : M → M, nós classicaremos as classes de homotopia β ∈ [M, S2_{] que têm a propriedade de Borsuk-Ulam} (Teoremas5.1.2,5.1.3 e5.1.4).

Como consequência dos resultados sobre funções com contra-domínio S2_{, foi possível estudar} uma família de funções com contra-domínio RP2_{. Mais precisamente, para todas as possibilidades} de M e de uma involução τ : M → M, consideramos os elementos β ∈ [M, RP2_{]que se levantam} para S2 _{e nós mostraremos exatamente quais destes elementos têm a propriedade de Borsuk-Ulam}

com respeito a uma involução τ (Teoremas 5.1.5 e5.1.6).

No caso em que M é não orientável, para fazer tal classicação, é necessário obter uma presen-tação do espaço de conguração A2(S2) e de órbitas B2(S2). Tais espaços são uma generalização dos espaços de conguração de S2_{. A denição destes espaços, bem como outras informações e} resultados obtidos sobre os mesmos, estão no Apêndice C.

Por m, no Capítulo 6, nós generalizaremos a Denição 0.0.1 para ações livres de Zp em M, sendo p um número inteiro primo positivo (Denição 6.2.3). Nós mostraremos que se p 6= 2, então para toda ação livre de Zpem M, existe um função f : M → N homotópica a uma função constante tal que f é injetora em cada órbita da ação (Teorema6.2.5).

Preliminares e Generalidades

1.1 Introdução

Os principais objetivos deste capítulo são:

• Fixar os fatos e as notações sobre classes de homotopia de funções que tem como contra-domínio espaços do tipo K(π, 1). Tais resultados serão utilizados em boa parte deste trabalho. • Fazer um resumo dos resultados encontrados nos trabalhos [15,16], os quais serão úteis para

estudar a propriedade de Borsuk-Ulam para classes de homotopia de funções.

• Mostrar o Lema Fundamental1.4.3, assim como o Teorema1.4.4, que são resultados téoricos que nos permitiram estudar a propriedade de Borsuk-Ulam para classes de homotopia de funções entre superfícies através de um diagrama algébrico envolvendo grupos de tranças. Os fatos teóricos que serão descritos neste capítulo, serão usados nos próximos capítulos para estudar funções tendo como domínio o Toro ou a Garrafa de Klein e como contra-domínio também o Toro ou a Garrafa de Klein. Por esse motivo, nós incluímos uma seção xando a notação que utilizaremos sobre tais espaços.

Em todo este trabalho funções e aplicações serão sempre contínuas, sendo omitido este termo.

1.2 Classes de Homotopia

Sejam X e Y espaços topólogicos e f, g : X → Y duas funções. Dizemos que f é homotópica a g, e escrevemos f ' g, se existe H : X × [0, 1] → Y tal que H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X.

O conjunto das classes de equivalência por esta relação, também chamado de conjunto de classes de homotopia livre de funções entre X e Y , é denotado por [X, Y ]. Se f : X → Y é uma função, então o símbolo [f] representa a classe de homotopia de f. Se β = [f] ∈ [X, Y ], dizemos que f é um representante da classe de homotopia β.

Vamos fazer precisamente as denições análogas para funções pontuadas.

Dizemos que f : (X, x1) → (Y, y1) é uma função pontuada, se f : X → Y é uma função e f (x1) = y1.

Dadas f, g : (X, x1) → (Y, y1), dizemos que f é homotópica a g relativamente ao ponto x1, e escrevemos f ' g (rel x1), se existe H : X × [0, 1] → Y tal que H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X e H(x1, t) = y1 para todo t ∈ [0, 1].

O conjunto das classes de equivalência por esta relação, também chamado de conjunto de classes de homotopia pontuada de funções entre X e Y , é denotado por [X, x1; Y, y1]. Se f : (X, x1) → (Y, y1) é uma função pontuada, então o símbolo [f] representa a classe de homo-topia de f. Se α = [f], então dizemos que f é um representante de α.

Sejam f, g : (X, x1) → (Y, y1) duas funções pontuadas e suponhamos que f ' g (rel x1). Lembremos da teoria de homotopia que se f#, g# : π1(X, x1) → π1(Y, y1) são os homomorsmos induzidos nos grupos fundamentais, então f# = g#. Portanto, dada uma classe de homotopia pontuada α ∈ [X, x1; Y, y1], podemos associar um elemento de Hom(π1(X, x1), π1(Y, y1))do seguinte modo: escolhemos um representante f de α e associamos o homomorsmo induzido nos grupos fundamentais. Ou seja, a seguinte função é bem denida:

ΓX,Y : [X, x1; Y, y1] −→ Hom(π1(X, x1), π1(Y, y1)) α = [f ] 7−→ ΓX,Y(α) = f#.

Sejam novamente f, g : (X, x1) → (Y, y1) duas funções pontuadas e suponhamos que f ' g (rel x1). É claro que omitindo os pontos bases, ou mais precisamente, considerando as funções f, g : X → Y , então f ' g, isto é, se f é homotópica a g relativamente ao ponto base x1, então f é homotópica a g. Portanto, dada uma classe de homotopia pontuada α ∈ [X, x1; Y, y1], podemos associar uma classe de homotopia livre β ∈ [X, Y ] do seguinte modo: escolhemos um representante f de α e associamos a classe de homotopia livre β tal que f é um representante. Ou seja, a seguinte função é bem denida:

ΛX,Y : [X, x1; Y, y1] −→ [X, Y ]

α = [f ] 7−→ Λ_X,Y(α) = β = [f ].

Dados dois homomorsmos h1, h2 ∈ Hom(π1(X, x1), π1(Y, y1)), dizemos que h1 é equivalente a h2, e escrevemos h1 ∼ h2, se existe ω ∈ π1(Y, y1) tal que h1(υ) = ωh2(υ)ω−1 para todo υ ∈ π1(X, x1), ou seja, os homomorsmos h1 e h2 são conjugados por um elemento de π1(Y, y1). É fácil ver que ∼ é uma relação de equivalência. Seja

ΥX,Y : Hom(π1(X, x1), π1(Y, y1)) −→

Hom(π1(X, x1), π1(Y, y1)) ∼

a projeção natural de um homomorsmo na sua classe de equivalência (ou classe de conjugação). Em [27, Capítulo V, Teorema 4.3], está enunciado o fato bem conhecido que se X e Y são variedades topológicas conexas, com πi(Y )trivial se i 6= 1, então ΓX,Y é uma bijeção e ΛX,Y é uma sobrejeção. É claro que ΥX,Y é uma sobrejeção. Em [27, Capítulo V, Corolário 4.4], está enunciado o fato que existe uma bijeção

∆X,Y : [X, Y ] −→

Hom(π1(X, x1), π1(Y, y1)) ∼

tal que ∆X,Y ◦ ΛX,Y = ΥX,Y ◦ ΓX,Y.

Nós podemos resumir estes fatos no seguinte resultado, o qual será muito utilizado neste trabalho de tese:

Teorema 1.2.1. Se X e Y são variedades topológicas conexas, com πi(Y, y1) trivial se i 6= 1, então o seguinte diagrama é comutativo, sendo que as echas horizontais são bijeções e as echas verticais são sobrejeções: [X, x1; Y, y1] ΓX,Y _// ΛX,Y  Hom(π1(X, x1), π1(Y, y1)) ΥX,Y 

[X, Y ] ∆X,Y // Hom(π1(X, x1), π1(Y, y1))

∼ .

1.3 Classicação das involuções

Ao estudar a validade de teoremas do tipo Borsuk-Ulam, uma pergunta inicial que se faz é a seguinte: dado um espaço topológico M, quantas involuções existem em M? Mais ainda, se temos

duas involuções τ1, τ2 : M → M e sabemos a resposta para uma tripla (M, τ1; N ), é possível a partir desta informação decidir se (M, τ2; N )tem a propriedade de Borsuk-Ulam ou não? Faremos aqui um resumo das respostas destas questões obtidas nos trabalhos [15,16]. Posteriormente, vamos mostrar como estas informações nos ajudam a estudar o problema de Borsuk-Ulam para classes de homotopia.

Denição 1.3.1. Dizemos que duas involuções livres de pontos xos τ1, τ2 : M → M são equiva-lentes, se existe um homeomorsmo H : M → M tal que H(τ2(x)) = τ1(H(x))para todo x ∈ M. Teorema 1.3.2. Se τ1, τ2 : M → M são equivalentes, então (M, τ1; N ) não tem a propriedade de Borsuk-Ulam se, e somente se, (M, τ2; N )não tem a propriedade de Borsuk-Ulam.

Demonstração. Se (M, τ1; N ) não tem a propriedade de Borsuk-Ulam, por denição, existe f : M → N tal que para todo x ∈ M vale

f (τ1(x)) 6= f (x). Assim, para todo x ∈ M temos que

(f ◦ H)(τ2(x)) = f (H(τ2(x))) = f (τ1(H(x)) 6= f (H(x)) = (f ◦ H)(x).

Segue que (M, τ2; N )não tem a propriedade de Borsuk-Ulam. A outra implicação segue de maneira análoga, pois notemos H ◦ τ2 = τ1◦ H ⇒ H−1◦ τ1= τ2◦ H−1.

Notemos que a Denição 1.3.1 e o Teorema 1.3.2 nos fornecem uma resposta para a segunda questão. Vamos agora descrever um critério para dizer se duas involuções são equivalentes, e deste modo, obter uma resposta para a primeira questão.

Seja τ : M → M uma involução livre de pontos xos. Em M denimos a seguinte relação: x ∼ y ⇔ y ∈ {x, τ (x)}.

Usando o fato que τ2 _{= Id}

M, é fácil mostrar que ∼ é uma relação de equivalência. Denotamos por Mτ o espaço quociente (também chamado espaço de órbitas) e por pτ : M → Mτ a projeção natural. Suponhamos que M seja uma superfície fechada. Neste caso, Mτ também é uma superfície fechada e pτ é um recobrimento duplo. Logo, temos a seguinte sequência exata

1 //π1(M, m1)

(pτ)# _//

π1(Mτ, pτ(m1))

θτ //

Z2 //1 (1.1)

sendo que estamos identicando π1(Mτ, pτ(m1))

(pτ)#(π1(M, m1)) com Z2 e θτ é a projeção natural. A partir de [15, Proposição 2.4], nós podemos enunciar o seguinte resultado:

Proposição 1.3.3. Sejam M uma superfície fechada e τ1, τ2 : M → M involuções livres. Então τ1 é equivalente a τ2 se, e somente se, existe um isomorsmo φ : π1(Mτ1) → π1(Mτ2) tal que é

comutativo o seguinte diagrama (omitimos os pontos bases): π1(Mτ1) φ _// θ_{τ1 $$} π1(Mτ2) θ_τ2 zz Z2.

Observação 1.3.4. Pela Proposição acima e pelo Teorema de classicação de superfícies, segue que se τ1 e τ2 são equivalentes, então Mτ1 e Mτ2 são homeomorfos.

Em [16, Apêndice A], os autores usam o resultado da Proposição 1.3.3 e fornecem um algo-ritmo efetivo para decidir quando duas involuções em uma superfície são equivalentes. A partir de [16, Proposição 30, Proposição 32], nós podemos enunciar o seguinte resultado de classicação:

Teorema 1.3.5. Sejam M uma superfície fechada e χ(M) a característica de Euler de M. 1. Se M é orientável e χ(M )

2 é par, então, a menos de equivalência, existem duas involuções τ1, τ2: M → M. Se Mτ1 é orientável, então Mτ2 é não orientável.

2. Se M é orientável e χ(M )

2 é ímpar, então, a menos de equivalência, só existe uma involução τ : M → M e o espaço de órbitas Mτ é não orientável.

3. Se M = K2_{, a menos de equivalência, só existe uma involução τ : K}2 _{→ K}2 _{e o espaço de} órbitas Mτ é homeomorfo a K2.

4. Se M é não orientável, M 6= K2_{, χ(M) é divisível por 2 e} χ(M )

2 é par, então, a menos de equivalência, existem duas involuções τ1, τ2 : M → M. Temos que

π1(Mτ1) ∼= π1(Mτ2) ∼=u, v, a1, a2, a2n−1, a2n | uvuv −1 [a1, a2] . . . [a2n−1, a2n]  sendo n = −1 2. χ(M )

2 . Mais ainda, após aplicar o algoritmo fornecido em [16, Apêndice A], nós podemos supor, sem perda de generalidade, que os homomorsmos θτ1 e θτ2 são denidos,

respectivamente, por: θτ1 :            u 7→ 0 v 7→ 0 a1 7→ 1 ai 7→ 0, 1 < i ≤ 2n θτ2 :      u 7→ 1 v 7→ 0 ai 7→ 0, 1 ≤ i ≤ 2n.

5. Se M é não orientável, M 6= K2_{, χ(M) é divisível por 2 e} χ(M )

2 é ímpar, então, a menos de equivalência, existem duas involuções τ1, τ2 : M → M. Temos que

π1(Mτ1) ∼= π1(Mτ2) ∼=c, a1, a2, a2n−1, a2n | c 2_[a 1, a2] . . . [a2n−1, a2n]  sendo n = −1 2  χ(M ) 2 − 1 

. Mais ainda, após aplicar o algoritmo fornecido em [16, Apên-dice A], nós podemos supor, sem perda de generalidade, que os homomorsmos θτ1 e θτ2 são

denidos, respectivamente, por:

θτ1 :      c 7→ 0 a1 7→ 1 ai 7→ 0, 1 < i ≤ 2n θτ2 :      c 7→ 1 a1 7→ 1 ai 7→ 0, 1 < i ≤ 2n.

6. Se M é não orientável e χ(M) é ímpar, não é possível denir uma involução em M.

Nos dois seguintes teoremas nós reescrevemos os resultados [15, Teorema 2.5] e [16, Teorema 12]. Tais resultados nos fornecem uma classicação de triplas que têm a propriedade de Borsuk-Ulam, conforme a Denição 0.0.1.

Teorema 1.3.6. Sejam M uma superfície fechada e τ : M → M uma involução livre de pontos xos. A tripla (M, τ; R2_{) tem a propriedade de Borsuk-Ulam se, e somente se, ocorre uma das} seguintes condições:

• M é orientável e χ(M )

2 é ímpar; • M = K2_;

• M é não orientável, M 6= K2_{, χ(M) é par,} χ(M )

2 é par e, sem perda de generalidade, θτ é igual ao homomorsmo θτ2 descrito no item 4 do Teorema 1.3.5;

• M é não orientável, M 6= K2_{, χ(M) é par,} χ(M )

2 é ímpar e, sem perda de generalidade, θτ é igual ao homomorsmo θτ2 descrito no item 5 do Teorema 1.3.5.

Teorema 1.3.7. Sejam M e N superfícies fechadas e τ : M → M uma involução livre de pontos xos. A tripla (M, τ; N) tem a propriedade de Borsuk-Ulam se, e somente se, ocorre uma das seguintes condições:

• M = S2 _{e N 6= S}2_;

• M = K2 _{e N é orientável e diferente de S}2_; • M = K2_#T2_{, θ}

τ é, sem perda de generalidade, igual ao homomorsmo θτ2 descrito no item

5 do Teorema 1.3.5e N é orientável e diferente de S2_.

Voltemos agora ao estudo do problema de Borsuk-Ulam para classes de homotopia.

Se (M, τ1; N ) não tem a propriedade de Borsuk-Ulam, por denição, existe f1 : M → N tal que f(τ1(x)) 6= f (x) para todo x ∈ M. Esta função f1 representa alguma classe de homotopia β1 e novamente, por denição, β1 não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ1. Se τ2 : M → M é uma involução equivalente a τ1, e digamos que H : M → M é um homeomorsmo tal que H ◦ τ2= τ1◦ H, então f2 = f1◦ H : M → N representa um classe de homotopia β2 que não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ2. Não temos nenhuma garantia (a priori) que βi não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τj, i, j = 1, 2 e i 6= j. Entretanto, com base nestas observações, nós podemos enunciar o seguinte resultado, o qual é de simples intuição, cuja demonstração não faremos, pois é, salvo alguns detalhes, igual a prova do Teorema 1.3.2. Proposição 1.3.8. Sejam τ1, τ2 : M → M duas involuções livres de pontos xos e H : M → M um homeomorsmo tal que H ◦ τ2 = τ1◦ H. A seguinte função é uma bijeção:

H : [M, N ] −→ [M, N ] β = [f ] 7−→ [f ◦ H].

Mais ainda, uma classe de homotopia β ∈ [M, N] não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ1 se, e somente se, a classe de homotopia H(β) não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ2.

Observação 1.3.9. Notemos que a Proposição 1.3.8 nos diz que se τ1, τ2 : M → M são duas involuções equivalentes, a quantidade de classes de homotopia que não têm a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ1 é igual a quantidade de classes de homotopia que não têm a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ2. Por este motivo, sempre que formos estudar o problema de Borsuk-Ulam para classes de homotopia, o faremos com base na classicação das involuções equivalentes dadas pelo Teorema 1.3.5.

1.4 A propriedade de Borsuk-Ulam e os Grupos de Tranças

Vamos obter nesta seção uma condição algébrica necessária e suciente para que uma classe de homotopia tenha a propriedade de Borsuk-Ulam. Utilizaremos fortemente o Teorema 1.2.1 e sua notação, assim como a notação da Seção 1.3.

Para tanto, vamos primeiramente mostrar um resultado que nos dá uma completa caracterização algébrica para que uma classe de homotopia pontuada tenha um representante equivariante.

Lema 1.4.1. Fixemos M e N variedades topólogicas conexas com πi(N, n1) trivial se i 6= 1. Sejam τ : M → M e τ1 : N → N involuções livres de pontos xos e α ∈ [M, m1; N, n1] uma classe de homotopia pontuada. As seguintes condições são equivalentes:

1. α tem um representante f : (M, m1) → (N, n1) que é (τ, τ1)-equivariante, isto é, para todo x ∈ M vale a igualdade f(τ(x)) = τ1(f (x));

2. existe um homomorsmo ψ : π1(Mτ, pτ(m1)) → π1(Nτ1, pτ1(n1)) tal que o seguinte diagrama

é comutativo ( ΓM,N está denida na Seção 1.2): π1(M, m1) ΓM,N(α) _// (pτ)#  π1(N, n1) (p_τ1)#  π1(Mτ, pτ(m1)) ψ _// θτ && π1(Nτ1, pτ1(n1)) θ_τ1 xx Z2. (1.2)

Mais ainda, valendo a condição 2 (e portanto a condição 1), então α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ.

Demonstração. (1 ⇒ 2) Suponhamos que a classe de homotopia pontuada α ∈ [M, m1; N, n1]tem um representante f : (M, m1) → (N, n1) que é (τ, τ1)-equivariante. Por este motivo, temos que para cada x ∈ M vale f{x, τ(x)} = {f(x), τ1(f (x))}. Logo, f se passa ao quociente, isto é, existe f : Mτ → Nτ1 tal que o seguinte diagrama é comutativo:

(M, m1) f _// pτ  (N, n1) p_τ1  (Mτ, pτ(m1)) f _// (Nτ1, pτ1(n1)). (1.3) Tomamos ψ = f#. Vamos mostrar que temos o diagrama comutativo (1.2). Primeiramente, temos que

ψ ◦ (pτ)#= f#◦ (pτ)#= (f ◦ pτ)# (1.3)

= (pτ1◦ f )#= (pτ1)#◦ f#= (pτ1)#◦ ΓM,N(α).

Seja agora α0∈ π1(Mτ, pτ(m1))tal que θτ(α0) = 0.

Então existe um elemento fα0 ∈ π1(M, m1)tal que (pτ)#(αf0) = α0.

Assim, temos que (o símbolo ∗ indica que estamos usando o fato que Im(pτ1)#= ker θτ1)

(θτ1 ◦ ψ)(α0) = (θτ1 ◦ f#◦ (pτ)#)(fα0) (1.3)

= (θτ1◦ (pτ1)#◦ f#)(αf0) ∗

= 0 = θτ(α0).

Por m, seja α1∈ π1(Mτ, pτ(m1))tal que θτ(α1) = 1.

Seja γ : ([0, 1], {0, 1}) → (Mτ, pτ(m1))tal que [γ] = α1, sendo [γ] a classe de homotopia do laço γ. Seja ainda ξ : [0, 1] → M um caminho que é um levantamento do laço γ pelo recobrimento pτ tal que ξ(0) = m1 e ξ(1) = τ(m1). Como f é equivariante, então f ◦ ξ : [0, 1] → N é tal que

(f ◦ ξ)(0) = f (m1) = n1 e (f ◦ ξ)(1) = f(τ(m1)) = τ1(f (m1)) = τ1(n1)

e portanto é um caminho que não é um laço. Como f ◦ ξ é um levantamento do laço f ◦ γ pelo recobrimento pτ1, então a classe de homotopia de laço f ◦ γ é um elemento de π1(Nτ1, pτ1(n1))

tal que θτ1f ◦ γ = 1. Assim, temos que

(θτ1◦ ψ)(α1) = (θτ1◦ f#) [γ] = θτ1f ◦ γ = 1 = θτ(α1),

o que completa o diagrama comutativo.

(2 ⇐ 1) Suponhamos que temos o diagrama comutativo (1.2) como no enunciado do Lema. Por hipótese, N é uma variedade topólogica conexa tal que πi(N ) é trivial se i 6= 1. Como pτ1 é uma

aplicação de recobrimento, então Nτ1 também é uma variedade topológica conexa tal que πi(Nτ1) é

trivial se i 6= 1. Pelo Teorema1.2.1, nós temos as bijeções ΓM,N e ΓMτ,N_τ1. Logo, os homomorsmos

ΓM,N(α)e ψ são induzidos por funções contínuas, ou seja, existem (1) g : (M, m1) → (N, n1) tal que ΓM,N(α) = g#;

(2) f : (Mτ, pτ(m1)) → (Nτ1, pτ1(n1))tal que f#= ψ.

Consideremos os seguintes elementos do conjunto [M, m1; Nτ1, pτ1(n1)]:

α1 = [pτ1◦ g] e α2 =f ◦ pτ .

Notemos que temos a seguinte sequência de igualdades: ΓM,N_τ1(α1) = (pτ1◦ g)# = (pτ1)#◦ g# (1) = (pτ1)#◦ ΓM,N(α) (1.2) = ψ ◦ (pτ)# (2) = f_#◦ (pτ)#= (f ◦ pτ)# = ΓM,N_τ1(α2) Novamente pelo Teorema1.2.1, como ΓM,N_τ1 é uma bijeção, então

[pτ1◦ g] = α1 = α2=f ◦ pτ



e portanto, pτ1◦ g ' f ◦ pτ (rel m1). Logo, existe uma homotopia H : M × [0, 1] → Nτ1 tal que para

todo x ∈ M e para todo t ∈ [0, 1] valem: (3) H(x, 0) = (pτ1 ◦ g)(x);

(4) H(x, 1) = (f ◦ pτ)(x); (5) H(m1, t) = pτ1(n1).

Por (3) e (5), segue que é comutativo o seguinte diagrama: M × {0} ∪ {m1} × I g ∪ cte_{n1 //}  _  N p_τ1  M × I H // 33 Nτ1.

Usando [27, Capítulo II, Teorema 1.6 e Capítulo I, Teorema 7.16], podemos garantir que existe um levantamento da homotopia H, ou seja, existeH : M ×I → Ne que completa o diagrama comutativo. Denimos f : M → N por f(x) =H(x, 1). Pela comutatividade do diagrama anterior, temos quee f ' g rel (m1) e portanto f# = g#

(1)

= ΓM,N(α). Pelo Teorema 1.2.1, como ΓM,N é uma bijeção, então f é um representante da classe de homotopia α, isto é, α = [f]. Vamos mostrar que f é (τ, τ1)-equivariante. Para todo x ∈ M temos que:

(pτ1◦ f )(x) = pτ1( eH(x, 1)) = H(x, 1)

(4)

Assim, nós temos os seguintes diagramas comutativos: M f // pτ  N p_τ1  π1(M, m1) f#=ΓM,N(α) _// (pτ)#  π1(N, n1) (p_τ1)#  Mτ f _// Nτ1 π1(Mτ, pτ(m1)) (f )#=ψ _// θτ π1(Nτ1, pτ1(n1)) θ_τ1 ~~ Z2. Do diagrama geométrico temos que para todo x ∈ M vale

pτ1(f (τ (x))) = (pτ1 ◦ f )(τ (x)) = (f ◦ pτ)(τ (x)) = (f ◦ pτ)(x) = (pτ1 ◦ f )(x) = pτ1(f (x)).

Logo, ou f(τ(x)) = f(x) ou f(τ(x)) = τ1(f (x)).

Seja ξ : [0, 1] → M um caminho tal que ξ(0) = m1e ξ(1) = τ(m1). Então o laço γ = pτ◦ ξé tal que a sua classe de homotopia [γ] é mapeada por θτ em 1. Pela comutatividade do diagrama algébrico temos que

θτ1f ◦ γ = θτ1 ◦ f#[γ] = θτ[γ] = 1

e portanto, como f ◦ ξ é um levantamento do laço f ◦ γ pelo recobrimento pτ1, ele é um caminho

que não é um laço. Assim, temos que

f (m1) = (f ◦ ξ)(0) 6= (f ◦ ξ)(1) = f (τ (m1)) e portanto vale

f (τ (m1)) = τ1(f (m1)). (1.4)

Para mostrar que f é equivariante, devemos mostrar que a igualdade acima é válida não somente para o ponto m1, mas para todo os pontos de M. Seja então x ∈ M e como M é conexa, seja ζ : [0, 1] → M um caminho tal que

ζ(0) = m1 e ζ(1) = x.

Sejam δ1, δ2 : [0, 1] → N denidos, respectivamente, por δ1 = τ1◦ f ◦ ζ e δ2= f ◦ τ ◦ ζ. Temos que pτ1 ◦ δ1 = pτ1 ◦ τ1◦ f ◦ ζ = pτ1 ◦ f ◦ ζ = f ◦ pτ◦ ζ = f ◦ pτ◦ τ ◦ ζ = pτ1 ◦ f ◦ τ ◦ ζ = pτ1 ◦ δ2

e

δ1(0) = (τ1◦ f ◦ ζ)(0) = τ1(f (m1)) (1.4)

= f (τ (m1)) = (f ◦ τ ◦ ζ)(0) = δ2(0),

ou seja, δ1 e δ2 são levantamentos pelo recobrimento pτ1 de um mesmo caminho (a saber pτ1 ◦ δ1)

e têm os mesmos pontos iniciais. Portanto, δ1 = δ2. Assim, temos que

τ1(f (x)) = (τ1◦ f ◦ ζ)(1) = δ1(1) = δ2(1) = (f ◦ τ ◦ ζ)(1) = f (τ (x)). Por m, notemos que por f ser equivariante, para todo x ∈ M vale

donde segue que α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ.

Com o Lema 1.4.1, nós vamos usar grupos de tranças para estabelecer uma condição algébrica necessária e suciente para que uma classe de homotopia pontuada tenha a propriedade de Borsuk-Ulam.

Para tanto, vamos xar alguns fatos e notações sobre espaços de conguração e grupos de tranças, os quais podem ser encontrados, por exemplo, em [4,20,24].

Em todo restante desta seção, M e N serão superfícies fechadas com N 6= S2_{, RP}2 _e τ : M → M uma involução livre de pontos xos.

A partir de N, denimos

F2(N ) = {(x, y) ∈ N × N | x 6= y},

que é chamado de 2-espaço de conguração ordenado de N. Em F2(N )denimos a seguinte involução livre de pontos xos:

τ1: F2(N ) −→ F2(N ) (x, y) 7−→ (y, x).

O espaço de órbitas por essa ação é denotado por C2(N ), e é chamado de 2-espaço de congu-ração não ordenado de N. Denotamos por p : F2(N ) → C2(N )a projeção natural.

Seja n = (n1, n2) ∈ F2(N ). O grupo π1(F2(N ), n) é denotado por P2(N, n) e é chamado de grupo de 2-tranças puras de N. O grupo π1(C2(N ), p(n))é denotado por B2(N, p(n))e é chamado de grupo de 2-tranças de N.

Em [13, Corolário 2.2], está demonstrado que F2(N )e C2(N )são variedades topológicas conexas tal que πi(F2(N )) e πi(C2(N ))são triviais se i 6= 1.

Analogamente a Sequência (1.1), Seção 1.3, nós temos a sequência exata

1 //P2(N, n) ι //B2(N, p(n)) π //Z2 //1, (1.5)

sendo ι = p# e π denida de maneira natural.

Com essa notação denida e xada, vamos começar a obter uma condição algébrica equivalente a propriedade de Borsuk-Ulam.

Notemos que na Denição 0.0.2, nós podemos trocar o conjunto [M, N] por [M, m1; N, n1], ou seja, temos a seguinte denição:

Denição 1.4.2. Dizemos que uma classe de homotopia pontuada α ∈ [M, m1; N, n1]tem a pro-priedade de Borsuk-Ulam com respeito a uma involução livre de pontos xos τ : M → M, se para para toda função g : (M, m1) → (N, n1) que representa α, existe x ∈ M tal que g(τ(x)) = g(x).

Suponhamos que α ∈ [M, m1; N, n1]não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ. Por denição, existe f : (M, m1) → (N, n1) tal que α = [f] e f(τ(x)) 6= f(x) para todo x ∈ M. Então, está bem denida a seguinte função:

F : M −→ F₂(N )

x 7−→ (f (x), (f ◦ τ )(x)).

Seja p1 : F2(N ) → N a projeção no primeiro fator, isto é, p1(x, y) = x. Notemos que o seguinte diagrama é comutativo, sendo n = (n1, (f ◦ τ )(n1))

(M, m1) F // f )) (F2(N ), n) p1 _// (N, n1). (1.6)

Notemos também que F é (τ, τ1)-equivariante. De fato, para todo x ∈ M temos

F (τ (x)) = (f (τ (x)), (f ◦ τ )(τ (x))) = ((f ◦ τ )(x), f (x)) = τ1(f (x), (f ◦ τ )(x)) = τ1(F (x)).

Aplicando o Lema 1.4.1 para a classe de homotopia [F ] ∈ [M, m1; F2(N ), n] e o funtor grupo fundamental no diagrama (1.6), nós obtemos o seguinte diagrama comutativo:

π1(M, m1) F# _// (pτ)#  f#=ΓM,N(α) ** P2(N, n) ι  (p1)# _// π1(N, n1) π1(Mτ, pτ(m1)) ψ _// θτ _&& B2(N, p(n)) π yy Z2.

Portanto, nós mostramos que uma condição necessária para que α não tenha a propriedade de Borsuk-Ulam é a existência de um diagrama como acima. Tal condição também é suciente. Mais precisamente, nós temos o seguinte resultado:

Lema 1.4.3 (O Lema Fundamental). Fixemos M uma superfície fechada, τ : M → M uma involu-ção livre de pontos xos e N uma superfície fechada diferente de S2 _{e RP}2_{. Seja α ∈ [M, m}

1; N, n1] uma classe de homotopia pontuada. As seguintes condições são equivalentes:

1. α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ;

2. existem homomorsmos ϕ : π1(M, m1) → P2(N, n) e ψ : π1(Mτ, pτ(m1)) → B2(N, p(n)) que tornam o seguinte diagrama comutativo, sendo ΓM,N(α) como denido na Seção 1.2 e n = (n1, n2) ∈ F2(N )para algum n2 ∈ N: π1(M, m1) ϕ _// (pτ)#  ΓM,N(α) ** P2(N, n) ι  (p1)# _// π1(N, n1) π1(Mτ, pτ(m1)) ψ _// θτ && B2(N, p(n)) π yy Z2. (1.7)

Demonstração. Já mostramos que 1 ⇒ 2. Suponhamos então que seja verdadeira a condição 2 do enunciado do Lema, ou seja, temos o diagrama comutativo (1.7). Pelo Teorema 1.2.1, existe uma classe de homotopia pontuada

δ ∈ [M, m1; F2(N ), n] tal que ΓM,F2(N )(δ) = ϕ.

Pela comutatividade de (1.7), segue pelo Lema1.4.1, que δ tem um representante

F : (M, m1) → (F2(N ), n) tal que F (τ (x)) = τ1(F (x)) para todo x ∈ M. Por denição de ΓM,F2(N ) (Seção 1.2), temos que F#= ΓM,F2(N )(δ) = ϕ.

Seja x ∈ M. Temos que F (x) = (f(x), g(x)), sendo f, g : M → N duas funções tais que f(a) 6= g(a) para todo a ∈ M. Logo

(f (τ (x)), g(τ (x))) = F (τ (x)) = τ1(F (x)) = (g(x), f (x))

e portanto, temos que f(τ(x)) = g(x) 6= f(x).

Usando novamente a comutatividade do diagrama (1.7), temos as seguintes igualdades: ΓM,N(α) = (p1)#◦ ϕ = (p1)#◦ F#= (p1◦ F )#= f#.

Mais uma vez pelo Teorema 1.2.1, temos que f é um representante da classe de homotopia α, e portanto, α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam.

Para nalizar esta seção, o próximo resultado nos mostrará que classicar classes de homotopia pontuada em relação a propriedade de Borsuk-Ulam é, em um certo sentido, o mesmo que classicar classes de homotopia livre em relação a propriedade de Borsuk-Ulam.

Teorema 1.4.4. Nas hipóteses do Lema Fundamental 1.4.3, sejam duas classes de homotopia pontuadas α, α0 _{∈ [M, m}

1; N, n1] e uma classe de homotopia livre β ∈ [M, N]. Valem as seguintes condições:

1. Se os homomorsmos ΓM,N(α), ΓM,N(α0) : π1(M, m1) → π1(N, n1)são conjugados (conforme a denição da Seção1.2), então α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam se, e somente se, α0 não tem a propriedade de Borsuk-Ulam.

2. Se β = ΛM,N(α), então β não tem a propriedade de Borsuk-Ulam se, e somente se, α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam (ΛM,N está denida na Seção 1.2).

Demonstração. 1. Suponhamos que α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam. Então, pelo Lema Fundamental1.4.3, existem homomorsmos

ϕ : π1(M, m1) → P2(N, n) e ψ : π1(Mτ, pτ(m1)) → B2(N, p(n))

que juntamente com o homomorsmo ΓM,N(α) : π1(M, m1) → π1(N, n1), satisfazem o diagrama (1.7).

Como os homomorsmos ΓM,N(α) e ΓM,N(α0) são conjugados, por denição, existe ω ∈ π1(N, n1) tal que ΓM,N(α0)(γ) = ω (ΓM,N(α)(γ)) ω−1 para todo γ ∈ π1(M, m1).

Por [4, Teorema 1.4], o homomorsmo (p1)# : P2(N, n) → π1(N, n1) é sobrejetor. Logo, existe b ∈ P2(N, n)tal que (p1)#(b) = ω. Denimos:

ϕ0: π1(M, m1) −→ P2(N, n) γ 7−→ b (ϕ(γ)) b−1 e

ψ0 : π1(Mτ, pτ(m1)) −→ B2(N, p(n)) κ 7−→ ι(b) (ψ(κ)) ι(b)−1.

Usando que ϕ, ψ e ΓM,N(α) satisfazem o diagrama (1.7) do Lema Fundamental 1.4.3, é fácil ver que os homomorsmos ϕ0_{, ψ}0 _{e Γ}

M,N(α0) também satisfazem o diagrama (1.7) do mesmo Lema e portanto, α0 _{não tem a propriedade de Borsuk-Ulam.}

Pela simetria do resultado, usando os mesmos argumentos, é claro que se α0 _{não tem a propriedade} de Borsuk-Ulam, então o mesmo ocorre com α.

2. Suponhamos que α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam. Logo, existe f : (M, m1) → (N, n1) tal que α = [f] e f(τ(x)) 6= f(x) para todo x ∈ M. Como β = ΛM,N(α), por denição de ΛM,N, temos que f : M → N representa β, e portanto esta classe de homotopia livre não tem a propriedade de Borsuk-Ulam.

Reciprocamente, suponhamos que β não tem a propriedade de Borsuk-Ulam. Então, existe uma função f : M → N tal que

[f ] = β e f(τ(x)) 6= f(x) para todo x ∈ M.

Como N é uma superfície fechada, por [26, Lema 6.4] existe um homeomorsmo H : N → N tal que

H 'IdN e H(f(m1)) = n1.

Por construção, temos que a classe de homotopia pontuada α0 _{= [H ◦ f ] ∈ [M, m}

1; N, n1]não tem a propriedade de Borsuk-Ulam. Usando a comutatividade do diagrama do Teorema 1.2.1, temos que

(ΥM,N ◦ ΓM,N)(α) = (∆M,N ◦ ΛM,N)(α) = ∆M,N(β) = ∆M,N([f ])

= ∆M,N([H ◦ f ]) = (∆M,N ◦ ΛM,N)(α0) = (ΥM,N ◦ ΓM,N)(α0).

Pela denição de ΥM,N (Seção1.2), temos que os homomorsmos ΓM,N(α) e ΓM,N(α0) são conju-gados. Pelo item 1., segue que α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam.

Observação 1.4.5. Notemos que a escolha do ponto n2 ∈ N é irrelevante para decisão de exis-tirem os homomorsmos que completam o diagrama (1.7) do Lema Fundamental 1.4.3, uma vez que F2(N ) e C2(N ) são variedades topológicas conexas. Na literatura em geral, o homomorsmo ι : P2(N ) → B2(N )é considerado como a inclusão e assim também faremos.

1.5 Algumas notações sobre T

_{e K}

_{e seus grupos fundamentais}

Nos próximos capítulos, nós teremos especial interesse em estudar a propriedade de Borsuk-Ulam para classes de homotopia entre funções do Toro no Toro, da garrafa de Klein na garrafa de Klein e do Toro na garrafa de Klein. Por este motivo, nesta seção vamos xar a notação que usaremos sobre estas superfícies e seus grupos fundamentais.

Consideremos a ação ζ1 : (Z ⊕ Z) × R2−→ R2 denida nos geradores por ζ1(1, 0)(x, y) = (x + 1, y)

ζ1(0, 1)(x, y) = (x, y + 1).

O espaço quociente por esta ação é o Toro, o qual denotamos por T2_{. Como R}2 _{é o recobrimento} universal do Toro, segue que, a menos de isomorsmo, podemos identicar π1(T2) com Z ⊕ Z. A Figura 1.1 nos dá uma descrição geométrica de T2 _{como o quadrado [0, 1] × [0, 1] com arestas} identicadas e do isomorsmo entre π1(T2)e Z ⊕ Z.

Um ponto em T2 _{será denotado, fazendo um abuso de notação, simplesmente por um par} orde-nado (x, y). Portanto, a igualdade (x1, y1) = (x2, y2) em T2, signica que existe algum (m, n) ∈ Z ⊕ Z tal que ζ1(m, n)(x1, y1) = (x2, y2).

Lembremos que se G é um grupo e h : Z ⊕ Z → G é uma função, então h é um homomorsmo se, e somente se, [h(1, 0), h(0, 1)] = 1, sendo [a, b] = aba−1_b−1 _{o comutador dos elementos a e b de} G.

Agora consideremos a ação ζ2 : (Z o Z) × R2 −→ R2 denida nos geradores por ζ2(1, 0)(x, y) = (x, y + 1)

O espaço quociente por esta ação é a garrafa de Klein, o qual denotamos por K2_{. Como R}2 _{é o} recobrimento universal da garrafa de Klein, segue que, a menos de isomorsmo, podemos identicar π1(K2)com ZoZ. A Figura1.2nos dá uma descrição geométrica de K2como o quadrado [0, 1]×[0, 1] com arestas identicadas e do isomorsmo entre π1(K2) e Z o Z.

Um ponto em K2 _{será denotado, fazendo um abuso de notação, simplesmente por um par} orde-nado (u, v). Portanto, a igualdade (u1, v1) = (u2, v2) em K2, signica que existe algum (r, s) ∈ Z o Z tal que ζ2(r, s)(u1, v1) = (u2, v2).

Lembremos que se G é um grupo e h : Z o Z → G é uma função, então h é um homomorsmo se, e somente se, [h(1, 0), h(0, 1)]0

= 1, sendo [a, b]0 = abab−1 o anticomutador dos elementos a e b de G.

Os casos (T

2

_{, τ ; T}

2

₎

2.1 Introdução

O objetivo deste capítulo é estudar a propriedade de Borsuk-Ulam para classes de homotopia de funções com domínio e contra-domínio sendo o Toro.

Segundo o Teorema 1.3.5, a menos de equivalência, existem duas involuções livres de pontos xos em T2_{. Consideremos então as seguintes involuções:}

τ1 : T2 −→ T2

(x, y) 7−→ x +1₂, y

τ2 : T2 −→ T2

(x, y) 7−→ 1 − x, −y +1₂
. Temos que o espaço de órbitas T2

τ1 é homeomorfo a T

2 _{e o espaço de órbitas T}2

τ2 é homeomorfo

a K2_{. As guras 2.1 e 2.2 nos mostram como são as aplicações de recobrimento p} τ1 : T

2 _{→ T}2 _e pτ2 : T

2 _{→ K}2_.

Utilizando a notação da Seção1.5, podemos deduzir facilmente que os homomorsmos induzidos pelos recobrimentos pτ1 e pτ2 são denidos dos seguintes modos:

(pτ1)#: π1(T 2_{) = Z ⊕ Z −→ Z ⊕ Z = π} 1(T2) (1, 0) 7−→ (2, 0) (0, 1) 7−→ (0, 1) θτ1 : π1(T 2_{) = Z ⊕ Z −→ Z} 2 (1, 0) 7−→ 1 (0, 1) 7−→ 0 (2.1) (pτ2)#: π1(T 2_{) = Z ⊕ Z −→ Z o Z = π} 1(K2) (1, 0) 7−→ (1, 0) (0, 1) 7−→ (0, 2) θτ2 : π1(K 2_{) = Z o Z −→ Z} 2 (1, 0) 7−→ 0 (0, 1) 7−→ 1. (2.2) Observação 2.1.1. Utilizando as denições e notações estabelecidas na Seção 1.2, como π1(T2) = Z ⊕ Z é um grupo abeliano, pelo Teorema 1.2.1nós temos as seguintes bijeções:

Γ_T2_,T2 : [T2, ∗; T2, ∗] −→ Hom(Z ⊕ Z, Z ⊕ Z) Λ_T2_,T2 : [T2, ∗; T2, ∗] −→ [T2, T2] ∆ T2,T2 : [T 2 , T2] −→ Hom(Z ⊕ Z, Z ⊕ Z), as quais satisfazem Γ_T2_,T2 = ∆

T2,T2◦ ΛT2,T2. Para simplicar a notação, neste capítulo denotaremos Γ_T2_,T2, Λ

T2,T2 e ∆

T2,T2 apenas por Γ, Λ e ∆, respectivamente.

Sobre o grupo P2(T2), nós usaremos nas próximas seções os resultados estabelecidos no Apêndice A, em especial, a ObservaçãoA.0.10a qual transcrevemos aqui.

Figura 2.1: recobrimento pτ1. Figura 2.2: recobrimento pτ2.

Observação 2.1.2 (Presentação de P2(T2)). A menos de isomorsmo, P2(T2) se escreve na forma F (x, y) ⊕ Z⊕Z, sendo F (x, y) o grupo livre gerado pelo conjunto {x, y}. Com respeito a esta escrita, temos que:

• (p1)# : P2(T2) → π1(T2) = Z ⊕ Z é a projeção de F (x, y) ⊕ Z ⊕ Z em Z ⊕ Z, isto é, (p1)#(w, m, n) = (m, n);

• Existe um elemento σ ∈ B2(T2) − P2(T2) tal que σ2 = (B, 0, 0), sendo B = [x, y−1];

• O homomorsmo lσ : P2(T2) → P2(T2), denido por lσ(b) = σbσ−1 para todo b ∈ P2(T2), tem os seguintes valores nos geradores:

lσ(x, 0, 0) = (Bx−1, 1, 0) lσ(y, 0, 0) = (By−1, 0, 1)

lσ(1, 1, 0) = (1, 1, 0) lσ(1, 0, 1) = (1, 0, 1) sendo 1 ∈ F (x, y) o elemento neutro.

Observação 2.1.3. Se t ∈ B2(T2) − P2(T2), ou seja, t é uma trança não pura, então t = aσ, sendo a = tσ−1 ∈ P2(T2). Notemos que tal escrita é única, pois se a1σ = a2σ, então a1= a2.

Na Seção2.2, nós mostraremos que toda classe de homotopia β ∈ [T2_{, T}2_{]não tem a propriedade} de Borsuk-Ulam com relação a involução τ1 (Teorema2.2.3).

Com respeito a involução τ2, nós concluíremos na Seção 2.3que existem elementos do conjunto [T2, T2]que têm a propriedade de Borsuk-Ulam. Mais ainda, nós mostraremos exatamente quais são as classes de homotopia β ∈ [T2_{, T}2_{] que têm tal propriedade em termos do homomorsmo ∆(β)} (Teorema 2.3.10).

2.2 Classicação das classes de homotopia com a propriedade de

Borsuk-Ulam com respeito a τ

Nesta seção, nós vamos classicar os elementos do conjunto [T2_{, T}2_{]em que vale a propriedade} de Borsuk-Ulam com respeito a involução τ1. Para tal objetivo, o roteiro será utilizar o Lema Funda-mental1.4.3para provar um critério algébrico equivalente a uma classe de homotopia pontuada não ter a propriedade de Borsuk-Ulam, aplicar tal critério e depois usar o Teorema1.4.4e a Observação

2.1.1. Em todas as demonstrações usaremos fortemente a Observação 2.1.2.

Proposição 2.2.1. Seja α ∈ [T2_{, ∗; T}2_{, ∗] uma classe de homotopia pontuada e seguindo a notação} da Observação 2.1.1, seja hα = Γ(α) : π1(T2) → π1(T2). Então α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ1 se, e somente se, existem tranças puras a, b ∈ P2(T2) tais que:

(i) alσ(b) = ba; (ii) hα(1, 0) = (p1)#(alσ(a)); (iii) hα(0, 1) = (p1)#(b). Demonstração. Seja α uma classe de homotopia pontuada que não tem a propriedade de Borsuk-Ulam e vamos mostrar que existem tranças a, b ∈ P2(T2)tais que são verdadeiras as condições (i), (ii)e (iii). Pelo Lema Fundamental1.4.3, existe o seguinte diagrama comutativo:

π1(T2) ϕ _// (p_τ1)#  hα (( P2(T _2)  (p1)# _// π1(T2) π1(T2) ψ _// θ_{τ1 ##} B2(T2) π {{ Z2. (2.3)

Por (2.1), como θτ1(1, 0) = 1 e θτ1(0, 1) = 0, então pela comutatividade do diagrama (2.3), ψ(1, 0)

deve ser uma trança não pura e ψ(0, 1) deve ser uma trança pura. Logo, pela Observação 2.1.3, existem tranças puras a, b ∈ P2(T2)tais que:

(1) ψ(1, 0) = aσ; (2) ψ(0, 1) = b.

Como π1(T2) é abeliano, então 1 = [ψ(1, 0), ψ(0, 1)] = [aσ, b] = aσbσ−1a−1b−1 = alσ(b)a−1b−1. Portanto, vale

(i) alσ(b) = ba.

Novamente por (2.1), como (pτ1)#(1, 0) = (2, 0)e (pτ1)#(0, 1) = (0, 1), segue da comutatividade de

(2.3) que valem as seguintes igualdades para o homomorsmo ϕ: (3) ϕ(1, 0) = (ψ ◦ (pτ1)#)(1, 0) = ψ(2, 0) = ψ(1, 0)

2 _{= (aσ)}2 _{= aσaσ}−1_σ2 _{= al}

σ(a)σ2; (4) ϕ(0, 1) = (ψ ◦ (pτ1)#)(0, 1) = ψ(0, 1) = b.

Novamente por (2.3) e pela Observação2.1.2, valem as seguintes igualdades para o homomorsmo hα :

(ii) hα(1, 0) = ((p1)#◦ϕ)(1, 0) = (p1)#(alσ(a)σ2) = (p1)#(alσ(a))+(p1)#(B, 0, 0) = (p1)#(alσ(a)); (iii) hα(0, 1) = ((p1)#◦ ϕ)(b) = (p1)#(b).

Reciprocamente, suponhamos que existam tranças a, b ∈ P2(T2) e valem (i), (ii) e (iii). Utilizando a Observação2.1.3, denimos ϕ : π1(T2) −→ P2(T2) (1, 0) 7−→ al_σ(a)σ2 (0, 1) 7−→ b e ψ : π1(T2) −→ B2(T2) (1, 0) 7−→ aσ (0, 1) 7−→ b.

Mostremos que de fato ϕ e ψ denem homomorsmos. Pela Observação 2.1.2, temos que [ϕ(1, 0), ϕ(0, 1)] =alσ(a)σ2, b = aσaσ−1σ2bσ−2σa−1σ−1a−1b−1

= alσ(alσ(b)a−1)a−1b−1 (i)= alσ(baa−1)a−1b−1 (i)= baa−1b−1= 1

e

[ψ(1, 0), ψ(0, 1)] = [aσ, b] = aσbσ−1a−1b−1 = alσ(b)a−1b−1 (i)= baa−1b−1= 1.

Vamos mostrar que temos um diagrama comutativo como em (2.3), donde seguirá pelo Lema Fun-damental1.4.3 que α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam. Utilizaremos as Observações2.1.2 e

2.1.3e também os valores dos homomorsmos (pτ1)#e θτ1, os quais estão denidos em (2.1). Temos

((p1)#◦ ϕ)(1, 0) = (p1)#(alσ(a)σ2) = (p1)#(alσ(a)) + (p1)#(B, 0, 0) (ii) = hα(1, 0), ((p1)#◦ ϕ)(0, 1) = (p1)#(b) (iii) = hα(0, 1), (ψ ◦ (pτ1)#)(1, 0) = ψ(2, 0) = ψ(1, 0) 2_{= (aσ)}2 _{= aσaσ}−1_σ2 _{= al} σ(a)σ2 = ϕ(1, 0), (ψ ◦ (pτ1)#)(0, 1) = ψ(0, 1) = ϕ(0, 1) e (π ◦ ψ)(1, 0) = π(aσ) = 1 = θτ1(1, 0), (π ◦ ψ)(0, 1) = π(b) = 0 = θτ1(0, 1).

Proposição 2.2.2. Se α ∈ [T2_{, ∗; T}2_{, ∗], então α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com} respeito a involução τ1.

Demonstração. Seja hα = Γ(α) : π1(T2) → π1(T2). Sejam também m1, n1, m2, n2 ∈ Z tais que: hα(1, 0) = (m1, n1) e hα(0, 1) = (m2, n2).

Sejam ainda r, s ∈ Z e i, j ∈ {0, 1} tais que

m1= 2r + i e n1= 2s + j. Em P2(T2) tomamos os elementos

Vamos usar a Observação 2.1.2 para mostrar que a, b e hα satisfazem as condições (i), (ii) e (iii) da Proposição 2.2.1, e portanto, pelo mesmo resultado, seguirá que α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam. Temos que

alσ(b) = (xiyj, r, s)lσ(1, m2, n2) = (xiyj, r, s)(1, m2, n2) = (1, m2, n2)(xiyj, r, s) = ba e portanto, vale (i). Notemos que

alσ(a) = (xiyj, r, s)lσ(xiyj, r, s)

= (xiyj, r, s)lσ(xi, 0, 0)lσ(yj, 0, 0)lσ(1, r, s) = (xiyj, r, s)((Bx−1)i, i, 0)((By−1)j, 0, j)(1, r, s) = (xiyj(Bx−1)i(By−1)j, 2r + i, 2s + j)

= (xiyj(Bx−1)i(By−1)j, m1, n1).

Assim, temos que

(p1)#(alσ(a)) = (p1)#(xiyj(Bx−1)i(By−1)j, m1, n1) = (m1, n1) = hα(1, 0)

e portanto, vale (ii). Por m, temos que

(p1)#(b) = (p1)#(1, m2, n2) = (m2, n2) = hα(0, 1) e logo, vale (iii), o que encerra a demonstração.

Decorre imediatamente do Teorema 1.4.4 item 2., da Observação2.1.1 e da Proposição 2.2.2 o seguinte resultado de classicação:

Teorema 2.2.3. Seja τ1 : T2 → T2 a involução livre de pontos xos denida por τ1(x, y) = x +1₂, y

. Então toda classe de homotopia β ∈ T2_{, T}2

não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ1.

2.3 Classicação das classes de homotopia com a propriedade de

Borsuk-Ulam com respeito a τ

Nesta seção, nós vamos classicar os elementos do conjunto [T2_{, T}2_{]em que vale a propriedade} de Borsuk-Ulam com respeito a involução τ2. Para tal objetivo, o roteiro será o mesmo da Seção

2.2. Em todas as demonstrações usaremos fortemente a Observação 2.1.2.

Proposição 2.3.1. Seja α ∈ [T2_{, ∗; T}2_{, ∗] uma classe de homotopia pontuada e seguindo a notação} da Observação 2.1.1, seja hα = Γ(α) : π1(T2) → π1(T2). Então α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam com respeito a τ2 se, e somente se, existem tranças puras a, b ∈ P2(T2) tais que:

(i) ablσ(a) = b; (ii) hα(1, 0) = (p1)#(a); (iii) hα(0, 1) = (p1)#(blσ(b)). Demonstração. Seja α uma classe de homotopia pontuada que não tem a propriedade de Borsuk-Ulam e vamos mostrar que existem tranças a, b ∈ P2(T2)tais que são verdadeiras as condições (i),

(ii)e (iii). Pelo Lema Fundamental1.4.3, existe o seguinte diagrama comutativo: π1(T2) ϕ _// (p_τ2)#  hα (( P2(T _2)  (p1)# _// π1(T2) π1(K2) ψ _// θ_{τ2 ##} B2(T2) π {{ Z2. (2.4)

Por (2.2), como θτ2(1, 0) = 0 e θτ2(0, 1) = 1, então pela comutatividade do diagrama (2.4), ψ(1, 0)

deve ser uma trança pura e ψ(0, 1) deve ser uma trança não pura. Logo, pela Observação 2.1.3, existem tranças puras a, b ∈ P2(T2)tais que

(1) ψ(1, 0) = a; (2) ψ(0, 1) = bσ.

Como em Z o Z vale a relação [(1, 0), (0, 1)]0

= (0, 0), então

1 = [ψ(1, 0), ψ(0, 1)]0 = [a, bσ]0= abσaσ−1b−1= ablσ(a)b−1.

Portanto, vale (i) ablσ(a) = b.

Novamente por (2.2), como (pτ2)#(1, 0) = (1, 0)e (pτ2)#(0, 1) = (0, 2), segue da comutatividade de

(2.4) que valem as seguintes igualdades para o homomorsmo ϕ: (3) ϕ(1, 0) = (ψ ◦ (pτ2)#)(1, 0) = ψ(1, 0) = a;

(4) ϕ(0, 1) = (ψ ◦ (pτ2)#)(0, 1) = ψ(0, 2) = ψ(0, 1)

2 _{= (bσ)}2_{= bσbσ}−1_σ2 _{= bl} σ(b)σ2.

Novamente por (2.4) e pela Observação2.1.2, valem as seguintes igualdades para o homomorsmo hα :

(ii) hα(1, 0) = ((p1)#◦ ϕ)(1, 0) = (p1)#(a);

(iii) hα(0, 1) = ((p1)#◦ϕ)(1, 0) = (p1)#(blσ(b)σ2) = (p1)#(blσ(b))+(p1)#(B, 0, 0) = (p1)#(blσ(b)). Reciprocamente, suponhamos que existam tranças a, b ∈ P2(T2) e valem (i), (ii) e (iii). Utilizando a Observação2.1.3, denimos ϕ : π1(T2) −→ P2(T2) (1, 0) 7−→ a (0, 1) 7−→ bl_σ(b)σ2 e ψ : π1(K2) −→ B2(T2) (1, 0) 7−→ a (0, 1) 7−→ bσ.

Mostremos que de fato ϕ e ψ denem homomorsmos. Pela Observação 2.1.2, temos que: [ϕ(1, 0), ϕ(0, 1)] =a, blσ(b)σ2 = abσbσ−1σ2a−1σ−2σb−1σ−1b−1

e

[ψ(1, 0), ψ(0, 1)]0= [a, bσ]0= abσaσ−1b−1= ablσ(a)b−1 (i)= bb−1 = 1.

Vamos mostrar que temos um diagrama comutativo como em (2.4), donde seguirá pelo Lema Fun-damental1.4.3 que α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam. Utilizaremos as Observações2.1.2 e

2.1.3e também os valores dos homomorsmos (pτ2)#e θτ2, os quais estão denidos em (2.2). Temos

((p1)#◦ ϕ)(1, 0) = (p1)#(a) (ii) = hα(1, 0), ((p1)#◦ ϕ)(0, 1) = (p1)#(blσ(b)σ2) = (p1)#(blσ(b)) + (p1)#(B, 0, 0) (iii) = hα(0, 1), (ψ ◦ (pτ2)#)(1, 0) = ψ(1, 0) = a = ϕ(1, 0), (ψ ◦ (pτ2)#)(0, 1) = ψ(2, 0) = ψ(1, 0) 2_{= (bσ)}2 _{= bσbσ}−1_σ2 _{= bl} σ(b)σ2 = ϕ(0, 1) e (π ◦ ψ)(1, 0) = π(a) = 0 = θτ1(1, 0), (π ◦ ψ)(0, 1) = π(bσ) = 1 = θτ1(0, 1).

Am de facilitar alguns cálculos, vamos fazer algumas considerações sobre o operador lσ : P2(T2) → P2(T2). Seja w = w(x, y) ∈ F (x, y). Denotemos por |w|x a soma dos expoentes dos geradores x que aparecem na palavra w e por |w|y a soma dos expoentes dos geradores y que aparecem na palavra w. Pela Observação2.1.2, temos que

lσ(x, 0, 0) = (Bx−1, 1, 0) = (xy−1x−1yx−1, 1, 0) = ((xy−1)x−1(yx−1), 1, 0)

e

lσ(y, 0, 0) = (By−1, 0, 1) = (xy−1x−1yy−1, 0, 1) = ((xy−1)y−1(yx−1), 0, 1). e portanto, temos que

lσ(w, 0, 0) = lσ(w(x, y), 0, 0) = (xy−1w(x−1, y−1)yx−1, |w|x, |w|y). (2.5) Para cada classe de homotopia pontuada α ∈ [T2_{, ∗; T}2_{, ∗], consideremos o homomorsmo} hα = Γ(α) : π1(T2) → π1(T2) e sejam m1, n1, m2, n2 ∈ Z tais que

hα(1, 0) = (m1, n1) e hα(0, 1) = (m2, n2).

Nós faremos a classicação das classes de homotopia α que tem (ou não) a propriedade de Borsuk-Ulam separando em casos conforme a paridade de m2 e n2. No caso em que m2 e n2 são ambos pares faremos a análise em duas partes, conforme a nulidade de m1 e n1. As hipóteses das Proposições 2.3.2,2.3.3, 2.3.4, 2.3.5 e 2.3.9 esgotarão todas as possibilidades para os valores m1, n1, m2 e n2.

Proposição 2.3.2. Se m2 e n2 são ímpares, então α não tem a propriedade de Borsuk-Ulam. Demonstração. Por hipótese, existem r, s ∈ Z tais que m2 = 2r + 1e n2= 2s + 1. Consideremos os seguintes elementos de P2(T2):

a = (x−2m1_y−2n1_{, m}