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Lista 52 Semelhança de triângulos e Trigonometria no triângulo retângulo

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Lista 52

Semelhança de triângulos e

Trigonometria no triângulo

retângulo

Teorema de Tales

Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 79 – 81.

O teorema de Tales está relacionado à ideia de retas paralelas interceptando uma ou mais retas transversais, como representado na figura.

Observações!

• Feixe de retas paralelas: três ou mais retas distintas de um mesmo plano, paralelas entre si.

• Reta transversal: reta que intersecta todas as retas de um feixe de paralelas. Essas retas, que são paralelas, formam um “feixe de paralelas”. Vamos considerar duas propriedades importantes relacionadas ao feixe de paralelas e às retas transversais.

Primeira propriedade

Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra

transversal.

Essa propriedade pode ser observada na figura a seguir, considerando que as retas paralelas estão igualmente espaçadas.

De acordo com essa propriedade, se o feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre a transversal r, também determinará segmentos congruentes na transversal r’.

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Assim, se:

AB = BC (ou AB º BC: AB é congruente a BC) então,

A’B’ = B’C’ (ou A’B’ º B’C’: A'B' é congruente a B'C').

Uma maneira de provas esse resultado é traçar duas retas paralelas à reta r, uma passando pelo ponto A’ e a outra passando pelo ponto B’; como na figura a seguir.

Ao traçar essas paralelas à reta r, são determinados dois paralelogramos: • No paralelogramo AA’PB: AB = A’P

• No paralelogramo BB’QC: BC = B’Q

Como sabemos que AB = BC, então A’P = B’Q.

• Nos triângulos A’PB’ e B’QC’, os ângulos A’ e B’ são congruentes. • Nesses mesmos triângulos, os ângulos P e Q são congruentes.

• Utilizando o caso de congruência ângulo-lado-ângulo, temos que os dois triângulos são congruentes.

Portanto, A’B’ = B’C’. Veja um exemplo: Exemplo 01:

A primeira propriedade possibilita a determinação, de forma direta, da medida de x, como na figura a seguir, considerando que as retas em vermelho são transversais ao feixe de retas paralelas.

De acordo com essa propriedade, temos que x = 3,8 cm.

Segunda propriedade

Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos de medidas proporcionais.

A demonstração do teorema de Tales considera a primeira propriedade. Assim, vamos supor que, na figura a seguir, AB e BC sejam comensuráveis, isto é, que haja uma unidade padrão u de medida desses segmentos. Vamos supor que há um segmento de comprimento u que “cabe” m vezes em AB e n vezes em BC.

Observações!

• Dois segmentos são comensuráveis quando o

quociente de suas medidas é um número racional. • É possível demonstrar a validade do teorema de Tales,

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Assim, temos: AB BC= m . u n . u = m n

De acordo com a figura, podemos conduzir um feixe de retas paralelas igualmente espaçadas.

Assim, o segmento AB” ficará dividido em m segmentos de comprimento v e o segmento B’C ficará dividido em n segmentos de comprimento v. Assim, temos:

A'B' B'C'= m .v n . v = m n

Comparando os resultados obtidos, concluímos que: AB

BC= A'B' B'C' .

Observe um exemplo. Exemplo 02:

Determine o valor de x na figura abaixo, sendo a, b e c retas paralelas.

De acordo com o teorema de Tales, temos que:

AB BC= A'B' B'C' ® 2x - 3 x + 2= 5 6

Em uma proporção, sabemos que o produto dos termos extremos é igual ao produto dos termos meios, isto é:

6(2x – 3) = 5(x + 2) 12x – 18 = 5x + 10 7x = 28 x = 4 Observações!

• É imediato, conforme o teorema de Tales e as propriedades de proporção, que os segmentos correspondentes nas transversais formem a proporção:

a a' = b b' = c c'

• Essa mesma proporção se mantém quando acrescentamos um segmento correspondente à soma das medidas dos segmentos:

Semelhança de triângulos

Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 84 – 86.

A semelhança de triângulos pode ser observada por meio do teorema de Tales. Considere três retas paralelas interceptando duas retas transversais, conforme figura abaixo. a a' = b b' = c c' = a + b + c a' + b' + c'

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Sabemos que as retas paralelas determinam, nas duas transversais, segmentos cujas medidas são proporcionais. Se prolongarmos as duas retas transversais, como na figura a seguir, elas se interceptam formando triângulos.

Dois triângulos são semelhantes se seus ângulos correspondentes forem congruentes e os lados correspondentes tiverem medidas proporcionais.

Observações!

• Ângulos congruentes são ângulos de mesma medida.

• Lados homólogos em triângulos semelhantes são os lados correspondentes, isto é, os lados opostos aos ângulos de mesma medida.

Por meio de duas propriedades fundamentais, sobre semelhança de triângulos, podemos verificar e caracterizar a semelhança de dois triângulos de maneira mais simples.

Primeira propriedade

Se dois triângulos têm dois pares de ângulos respectivamente congruentes, então os triângulos são semelhantes.

Para justificar essa propriedade, admitamos que os triângulos ABC e PQR

tenham dois ângulos congruentes: A≡ P e B ≡ Q.

• Inicialmente como sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º, temos que o terceiro ângulo do triângulo ABC tem a mesma medida do terceiro ângulo do triângulo PQR. Assim, podemos

concluir que C≡ R.

Utilizando símbolos para indicar que os dois triângulos representados ao lado são semelhantes, temos: DABC ~ DPQR Û #B$ ≡ Q$A$ ≡ P$ C$ ≡ R$ e AB PQ= AC PR = BC QR

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• Vamos sobrepor o triângulo PQR ao triângulo ABC fazendo coincidir os vértices A e P e depois fazendo coincidir o vértice B com o vértice Q, como representado nas figuras I e II a seguir.

• Utilizando o teorema de Tales na Figura I, já que BC e QR são paralelos, temos: AB

PQ= AC PR .

• Utilizando o teorema de Tales na figura II, já que AC e PR são paralelos, temos: AB

PQ= BC QR .

De acordo com esses dois resultados, concluímos que AB

PQ= BC QR =

AC

PR, isto é, os

lados dos triângulos têm medidas proporcionais.

Segunda propriedade

Toda paralela a um lado de um triângulo, que intercepta os outros dois lados em pontos distintos, determina um novo triângulo semelhante ao primeiro.

Observações!

• Dois triângulos que possuem ângulos correspondentes congruentes são semelhantes.

• Se os lados correspondentes (lados opostos a ângulos de mesma medida) de dois triângulos tiverem medidas proporcionais, então os triângulos são semelhantes.

Veja alguns exemplos. Exemplo 03:

Na figura a seguir, o segmento RS é paralelo ao segmento BC. Dessa maneira, os triângulos ABC e ARS são semelhantes. Determine o valor de x.

Na figura ao lado, o segmento PQ é paralelo ao lado BC do triângulo. Dessa forma, temos nos triângulos ABC e APQ:

A$ ≡ A$ (mesmo ângulo).

B$ ≡ P$ (ângulos correspondentes). C$ ≡ Q$ (ângulos correspondentes).

Assim, os triângulos ABC e APQ são semelhantes: DABC ~ DAPQ.

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Como os triângulos são semelhantes, os lados correspondentes são de medidas proporcionais: AB AR= AC AS 2x – 2 + 20 2x - 2 = 2x + 6 + 30 2x + 6 (2x + 6)(2x + 18) = (2x – 2)(2x + 36) 4x2 + 36 x + 12 x + 108 = 4x2 + 72x – 4x – 72 48x + 108 = 68 x – 72 ® 20 x = 180 ® x = 9 cm Podemos também resolver utilizando o teorema de Tales:

2x – 2 20 = 2x + 6 30 30(2x – 2) = 20(2x + 6) ® 60x – 60 = 40x + 120 ® 20 x = 180 ® x = 9 cm Exemplo 04:

De acordo com as medidas indicadas na figura abaixo, determine o valor da medida desconhecida representada pela letra x.

Como cada um dos triângulos ADE e BCE tem um ângulo reto e o ângulo E congruente (ângulos opostos pelo vértice), o terceiro ângulo tem a mesma medida. Dessa forma, podemos concluir que esses triângulos são semelhantes. Assim, temos:

6 12=

8

x ® 6x = 12 . 8 ® x = 16 cm

o triângulo retângulo

Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 91 e 92.

Você já observou um esquadro?

A forma do esquadro lembra a de um triângulo. Observando melhor, o triângulo do esquadro tem um ângulo reto. Esse tipo de triângulo é classificado como triângulo

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Os dois lados que formam o ângulo reto num triângulo retângulo são chamados de catetos, ao passo que o lado oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa.

Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º, temos, além do ângulo reto, dois ângulos cuja soma das medidas é 90º. Esses dois ângulos são ditos complementares.

O teorema de Pitágoras

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Págs. 135 e 136.

Considerando como unidade de medida a área de um quadradinho da figura abaixo.

Nota-se que a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos quadrados menores, ou seja:

25 = 9 + 16 Como 25 = 9 + 16, temos 52 = 32 + 42.

Repare que 5, 3 e 4 são as medidas dos lados dos quadrados da figura e, consequentemente, as medidas dos respectivos lados do triângulo retângulo.

A relação existente entre os quadrados das medidas dos lados desse triângulo retângulo é conhecida como teorema de Pitágoras.

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Veja alguns exemplos de aplicações do teorema de Pitágoras. Exemplo 05:

Precisamos calcular a medida x do comprimento de uma escada que está apoiada em uma parede, conforme a figura abaixo.

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Para isso, vamos aplicar o teorema de Pitágoras: x2 = (4,8)2 + (3,6)2 x2 = 23,04 + 12,96

x2 = 36 x = ± 36

x = ± 6

Como x é a medida do comprimento da escada, deve ser um número positivo. Portanto, o comprimento da escada é 6 m.

Exemplo 06:

Obtenha a medida da diagonal de um quadrado considerando que a medida de seu lado é igual a x.

Como a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, basta aplicar o teorema de Pitágoras. d2 = x2 + x2 d2 = 2x2 d = 2x2 d = x 2 Exemplo 07:

Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 6 cm, como representado abaixo.

Como a altura divide o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos temos: 62 = h2 + 32 36 = h2 + 9 h2 = 36 – 9 ® h2 = 27 h = 27 ® h = 9 . 3 ® h = 32 . 3 h = 3 3 cm Exemplo 08:

Os três quadrados da figura a seguir foram construídos tendo como medidas dos lados as medidas da hipotenusa e dos catetos do triângulo retângulo. Determine a área A do quadrado menor.

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Pelo teorema de Pitágoras, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Assim, temos:

36 + A = 25 36 – 25 = A ® A = 11 cm2

Exemplo 09:

Um cabo foi esticado entre os topos de duas construções, como mostrado na figura. Observando a distância das bases dessas construções, determine a medida do cabo representado pelo segmento AB.

De acordo com a figura, considerando que as construções formam 90º com o solo, temos o triângulo retângulo destacado em verde.

Aplicando o teorema de Pitágoras:

(AB)2 = (25 – 15)2 + 402 (AB)2 = 100 + 1 600

(AB)2 = 1 700

AB = 100 . 17 ® AB = 10 17 m

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Texto retirado de IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática – Volume único. 5ª edição. São Paulo: Atual editora, 2011. Págs. 185 – 190.

Seno de um ângulo agudo

Num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é dado pelo quociente (razão) entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.

sen x = cateto oposto a x hipotenusa No caso, temos: sen B = b a e sen C = c a

Veja alguns exemplos. Exemplo 10:

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Para determinar o seno de cada ângulo agudo, fazemos: sen B = cateto oposto a B

hipotenusa = b

a = 8 cm

17 cm @ 0,470

sen C = cateto oposto a C hipotenusa = c a = 15 cm 17 cm @ 0,882 Exemplo 11:

Vamos calcular o seno de cada ângulo do triângulo DEF de catetos 6 cm e 8 cm. Antes precisamos determinar a medida da hipotenusa d:

d = e2+ f2 = 62+ 82 d = 10 cm Agora temos: sen E = e d = 6 10 = 3 5 sen F = f d = 8 10 = 4 5

Observe a seguir o triângulo D’E’F’, com hipotenusa medindo 5 cm e catetos com medidas 3 cm e 4 cm. DDEF ~ DD’E’F’ sen E = 3 cm 5 cm = 3 5 sen F = 4 cm 5 cm = 4 5

Como os triângulos são semelhantes, há congruência entre ângulos que se correspondem: E º E' e F º F'

O fato de sen E = sen E' e sen F = sen F' sugere invariância do seno de qualquer ângulo: independente do “tamanho” de cada triângulo, o ângulo E (que mede aproximadamente 37º) possui o seno valendo 0,6 e o ângulo F (que mede aproximadamente 53º) possui o seno valendo 0,8.

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Justifica-se, assim, a existência de uma tabela contendo o valor do seno de cada ângulo agudo (tomadas quantidades inteiras de graus).

Veja uma parte da tabela:

Ângulo Seno 1º 0,01745 2º 0,03490 3º 0,05234 ... ... 36º 0,58779 37º 0,60182 38º 0,61566 ... ... 52º 0,78801 53º 0,79864 ... ... 88º 0,99939 89º 0,99985

É importante notar que, conforme aumenta a medida do ângulo, cresce também – de modo não linear – o valor do seno do ângulo agudo.

Essa tabela apresenta caráter biunívoco: a cada ângulo agudo corresponde um único valor do seno e, reciprocamente, a cada valor de seno associa-se um único ângulo agudo.

COsseno de um ângulo agudo

Num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é dado pela razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.

cos x = cateto adjacente a x hipotenusa No caso, temos: cos B = c a e cos C = b a Veja um exemplo. Exemplo 12:

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Temos:

cos D = cateto adjcente a D

hipotenusa = 2 6

7

cos E = cateto adjcente a E

hipotenusa = 5 7

O cosseno de um determinado ângulo agudo também não depende do particular triângulo retângulo tomado para calculá-lo.

Assim, é possível incluir os valores dos cossenos dos ângulos na tabela citada anteriormente, a qual também mostra caráter biunívoco entre a medida de cada ângulo agudo e o valor do respectivo cosseno. Porém, diferentemente do seno, o cosseno de um ângulo agudo decresce à proporção que aumenta a medida do ângulo.

Veja outro exemplo abaixo. Exemplo 13:

Para calcular os cossenos dos ângulos do triângulo GHI, fazemos:

cos I = 6 3 5 = 2 5 = 2 5 5 cos G = 3 3 5 = 1 5 = 5 5

Se, por outro lado, calcularmos os senos dos ângulos agudos dos triângulos GHI, obteremos: sen I = 3 3 5 = 5 5 sen G = 6 3 5 = 2 5 5

Observemos que sen I = cos G e sem G = cos I.

Lembrando que os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares, surge uma propriedade importante envolvendo senos e cossenos:

sen x = cos (90º - x)

ou

cos x = sen (90º - x)

Relação fundamental I

Seja o triângulo ABC a seguir.

Sabemos, pelo teorema de Pitágoras, que b2 + c2 = a2.

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b2 + c2 a2 = a2 a2 ® b2 a2 + c2 a2 = 1 ® b a 2 + c a 2 = 1 ® sen2 B + cos2 B = 1

De modo geral, podemos escrever, para um ângulo x qualquer:

sen2 x + cos2 x = 1

que é chamada relação fundamental I. Observe alguns exemplos. Exemplo 14:

Tomemos, para exemplificar, um ângulo de 32º e, mediante o uso da tabela, comprovemos a relação fundamental I. Temos: sen 32º = 0,52992 ® sen2 32º = 0,28081 cos 32º = 0,84805 ® cos2 32º = 0,71918 sen2 32º + cos2 32º = 0,28081 + 0,71918 = 0,9999 @ 1 Exemplo 15:

A relação fundamental I permite que, dada uma das duas razões de um ângulo agudo, determinemos o valor da outra razão trigonométrica do mesmo ângulo.

Dado, por exemplo, cos x = 0,17365, é possível determinar, sem o uso da tabela, o valor de sem x com 0º < x £ 90º. Basta fazer:

sen2 x + 0,173652 = 1 ® sen2 x = 1 – 0,03015 = 0,96985 ® sen x = + 0,96985 = 0,984809

tangente de um ângulo agudo

Num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é dada pela razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente a ele.

tg x = cateto oposto a x cateto adjacente a x No caso, temos: tg B = b c e tg C = c b Veja um exemplo. Exemplo 16:

Não é necessário que conheçamos a hipotenusa para achar tg B e tg C. Veja:

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tg B = 9 5 e tg C = 5 9

Podemos notar que as tangentes dos ângulos agudos são inversas uma da outra.

Lembrando que os ângulos B e C são complementares, podemos escrever, generalizando: tg x . tg (90º - x) = 1 ou tg (90º - x) = 1 tg x

Relação fundamental II

Observe o triângulo ABC abaixo. Podemos escrever tg B = b

c.

Dividindo simultaneamente o numerador e o denominador da fração por a (medida da hipotenusa do triângulo), obtemos:

tg B =

b a c a

, ou seja, tg B = sen B cos B De modo geral, escrevemos:

tg x = sen x

cos x, para todo ângulo agudo x.

É a chamada relação fundamental II. Observe o exemplo abaixo. Exemplo 17:

Vamos à tabela completa.

Seja x = 29º. Temos sem 29º = 0,48481 e cos 29º = 0,87462. Dividindo 0,48481 por 0,87462, obtemos:

0,48481 : 0,87462 = 0,5543 = tg 29º

Ângulos notáveis

Faremos agora algumas considerações importantes com relação aos ângulos de 30º, 45º e 60º, chamados ângulos notáveis.

• Há triângulos retângulos que apresentam um ângulo agudo de 30º (consequentemente, o outro ângulo agudo mede 60º). Procuraremos calcular os valores das razões trigonométricas de 30º e 60º. Para tanto,

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construiremos um triângulo equilátero ABC de lado ℓ, traçando sua altura AH, de medida h.

Temos:

BH = CH = ℓ

2

BÂH = CÂH = 30º

Pelo teorema de Pitágoras, aplicado no DAHC, obtemos: h2 = ℓ 2 -

2 2

® h = ℓ 3

2

Podemos, assim, determinar as razões procuradas: o sen 30º = ℓ 2 ℓ ® sen 30º = cos 60º = 1 2 o cos 30º = h ® cos 30º = ℓ 3 2 ℓ ® cos 30º = sen 60º = 3 2 o tg 60º = hℓ 2 = ℓ 3 2 ℓ 2 ® tg 60º = 3 o tg 30º = tg 60º1 = 1 3 . 3 3 ® tg 30º = 3 3 Observações!

• Uma consequência importante: “Se um triângulo retângulo possui um ângulo de 30º, a hipotenusa mede o dobro do cateto oposto a esse ângulo.”

• Há triângulos retângulos que apresentam os dois ângulos medindo, cada um, 45º. Vejamos o triângulo retângulo isósceles ABC, de catetos iguais a ℓ e hipotenusa a. Calcularemos os valores das razões trigonométricas de 45º.

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Pelo teorema de Pitágoras, obtemos:

a2 = ℓ 2 + ℓ 2 = 2ℓ 2 ® a = ℓ 2

Assim, sen 45º = ℓ &ℓ = 1

2 = 2

2 ® sen 45º = cos 45º =

2 2.

Temos também tg 45º = sen 45º

cos 45º ® tg 45º = 1.

Resumindo, temos a seguinte tabela:

30º 45º 60º sen 1 2 2 2 3 2 cos 3 2 2 2 1 2 tg 3 3 1 3

#DICADAVIVI

• Para aprender como gravar esta tabela assista o vídeo

https://www.youtube.com/watch?v=2FiCKoPBfZQ!

Exercícios

1. Considerando as medidas indicadas na figura a seguir, determine o valor de x.

2. Na figura a seguir, temos: AB = 12 cm, AC = 13 cm e BC = 15 cm. Além disso, o

segmento DE = 5 cm é paralelo ao segmento BC. Determine:

a. A medida de AD; b. A medida de AE.

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3. Em cada caso temos DABC ~ DA’B’C’. Determine as medidas x e y.

a.

b.

c.

d.

4. Na figura BC // DE // FG.

Sabendo que AD = DF = 2 DB, determine CE, AE e CG.

5. Determine a razão entre os perímetros dos triângulos (do menor para o maior) da

figura abaixo, sabendo que r // s.

6. Calcule o valor de x aplicando o teorema de Pitágoras:

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c. d.

7. Aplicando o teorema de Pitágoras, determine as medidas de x e y indicadas.

a. b. c.

8. As diagonais de um losango medem 12 cm e 16 cm. a. Determine a medida do lado desse losango; b. Calcule a área desse losango.

9. A diagonal de um quadrado mede 10 2 cm. Qual é a medida do lado desse

quadrado?

10. O perímetro de um retângulo é 68 cm. Um dos lados desse retângulo mede 10

cm. Calcule a medida da diagonal do retângulo.

11. O lado de um triângulo equilátero tem a mesma medida que a diagonal de um

quadrado com 25 cm de lado. Calcule a medida da altura desse triângulo.

12. Na figura abaixo, cada circunferência, tem 1,5 cm de raio. Determine a área do

triângulo ABC.

13. Uma escada de 2,5 m de comprimento estava apoiada em um muro, do qual o pé

da escada distava 70 cm. O pé afastou-se 80 cm de onde se encontrava. Quantos centímetros a parte superior da escada se deslocou para baixo?

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14. Os catetos de um triângulo retângulo medem 5 cm e 12 cm. Calcule o valor do

seno de cada ângulo agudo desse triângulo.

15. Determine o seno do ângulo agudo assinalado em cada caso. a.

b.

c.

d.

16. Os catetos de um triângulo medem 7 cm e 24 cm. Determine o valor do cosseno

de cada ângulo agudo desse triângulo.

17. Em cada caso são apresentadas medidas dos lados de um triângulo retângulo

nos quais a representa a hipotenusa e b e c, os catetos. Determine o cosseno de cada um dos ângulos agudos, B e C, opostos, respectivamente, a b e a c.

a. b = 3 cm e c = 4 cm b. a = 12 cm e b = 7 cm c. a = 25 m e b = 7 m d. a = 61 m e c = 60 m

18. Seja o ângulo a tal que cos a = 3

7. Determine sen a.

19. Se b é ângulo agudo tal que sen b = 37, quanto vale cos b?

20. Num triângulo retângulo, os catetos medem 6 cm e 5 cm. Determine o valor da

tangente de cada ângulo agudo desse triângulo.

21. Se x é agudo e sen x = 13, quanto vale cos x? E tg x?

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a. b. c. d.

23. (ENEM 2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um

terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quatro de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a:

(Considere 3

3 = 0,58)

A 50% B 43% C 37% D 33% E 19%

24. (ENEM 2009) Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano

cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.

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Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por: A r 1 – sen d r B r 1 - cos d r C r 1 - tg d r D rsen r d E rcos r d

25. (ENEM 2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a

Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.

Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? A 1,8 km

B 1,9 km

C 3,1 km D 3,7 km

E 5,5 km

26. (ENEM PPL 2010) Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de

ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura.

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Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26 m2, considerando p @ 3,14, a altura h será igual a :

A 3 m B 4 m

C 5 m D 9 m

E 16 m

27. (ENEM 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante

utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2a. A figura ilustra essa situação:

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo a = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será:

A 1 000 m B 1 000 3 m C 2 000 3 3 m D 2 000 m E 2 000 3 m

28. (ENEM 2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra

a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15º com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

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Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.

Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço: A Menor que 100 m2 B Entre 100 m2 e 300 m2 C Entre 300 m2 e 500 m2 D Entre 500 m2 e 700 m2 E Maior que 700 m2

29. (ENEM 2014) Diariamente uma residência consome 20 160 Wh. Essa residência

possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm x 8 cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome.

Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo? A Retirar 16 células

B Retirar 40 células C Acrescentar 5 células

D Acrescer 20 células

E Acrescentar 40 células

30. (ENEM PPL 2014) Um artista deseja pintar em um quadro uma figura na forma

de triângulo equilátero ABC de lado 1 metro. Com o objetivo de dar um efeito diferente em sua obra, o artista traça segmentos que unem os pontos médios D,

E e F dos lados BC, AC e AB, respectivamente, colorindo um dos quatro triângulos

(24)

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Qual é a medida da área pintada, em metros quadrados, do triângulo DEF?

A 1 16 B 3 16 C 1 8 D 3 8 E 3 4 31. (ENEM PPL 2014) Um construtor pretende murar um terreno e, para isso, precisa

calcular o seu perímetro. O terreno está representado no plano cartesiano, conforme a figura, no qual foi usada a escala 1 : 500. Use 2,8 como aproximação para 8.

De acordo com essas informações, o perímetro do terreno, em metros, é:

A 110 B 120 C 124 D 130 E 144

32. (ENEM 3ª aplicação 2016) Um casal e seus dois filhos saíram, com um corretor

de imóveis, com a intenção de comprar um lote onde futuramente construiriam sua residência. No projeto da casa, que esta família tem em mente, irão necessitar de

uma área de pelo menos 400 m2. Após algumas avaliações, ficaram de decidir

entre os lotes 1 e 2 da figura, em forma de paralelogramos, cujos preços são R$ 100 000,00 e R$ 150 000,00, respectivamente.

Use 3

2, 1

16 e 1,7 como aproximações, respectivamente, para sen(60º), cos(60º) e 3.

(25)

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Pai: Devemos comprar o Lote 1, pois como uma de suas diagonais é maior do que

as diagonais do Lote 2, o Lote 1 também terá maior área;

Mãe: Se desconsiderarmos os preços, poderemos comprar qualquer lote para

executar nosso projeto, pois tendo ambos o mesmo perímetro, terão também a mesma área.

Filho 1: Devemos comprar o Lote 2, pois é o único que tem área suficiente para a

execução do projeto;

Filho 2: Devemos comprar o Lote 1, pois como os dois lotes possuem lados de

mesma medida, terão também a mesma área, porém o Lote 1 é mais barato;

Corretor: Vocês devem comprar o Lote 2, pois é o que tem menor custo por metro

quadrado.

A pessoa que argumentou corretamente para a compra do terreno foi o(a): A Pai

B Mãe

C Filho 1 D Filho 2

(26)

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Lista 52

Gabarito

Exercícios

1. x = 16 cm 2. a. AD = 4 cm b. AE = 13 3 cm 3. a. x = 90º e y = 8 b. x = 8 e y = 14 c. x = a e y = 83 d. x = 24 5 e y = 25 4 4. CE = 3 cm, AE = 6 cm, CG = 9 cm 5. 2 3 6. a. x = 9 b. x = 5 2 c. x = 11 d. x = 3 7. a. x = 15 e y – 20 b. x = 6 c. x = 3 3 8.

a. O lado desse losango mede 10 cm. b. Esse losango tem 96 cm2.

9. O lado desse quadrado mede 10 cm. 10. A diagonal desse retângulo mede 26 cm. 11. A altura desse triângulo mede 25 6

2 cm. 12. O triângulo ABC tem 2,25 3 cm2.

13. A parte superior da escada se deslocou 40 cm para baixo. 14. Os senos dos ângulos desse triângulo medem 5

13 e 12 13. 15. a. 2 7 b. 5 41 41 c. 7 25 d. 7 74 74

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16. Os cossenos dos ângulos desse triângulo medem 7 25 e 24 25. 17. a. cos B = 4 5 e cos C = 3 5 b. cos B = 95 12 e cos C = 7 12 c. cos B = 24 25 e cos C = 7 25 d. cos B = 60 61 e cos C = 11 61 18. sen a = 2 10 7 19. cos b = 32

20. As tangentes dos ângulos desse triângulo medem 6 5 e 5 6. 21. cos x = 2 23 e tg x = 42 22. a. x = 15 4 b. x = 10 c. x = 11 2 d. x = 5 23. E 24. B 25. C 26. B 27. B 28. E 29. A 30. B 31. C 32. C

(28)

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Lista 52

Bibliografia

• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015.

• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto.

Matemática – Volume único. 5ª edição. São Paulo: Atual editora, 2011.

• BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. • BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 9º ano. 1ª edição. São

Paulo: Scipione, 2015.

Referências

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