Física 1 Mecânica. Instituto de Física - UFRJ

(1)

Física 1

Mecânica

Sandra Amato

Instituto de Física - UFRJ

Rolamento

31/10/2014

(2)

2/ 40

Outline

(3)

Rolamento

Vamos estudar agora um movimento chamado de Rolamento

sem deslizamento, ou Rolamento Puro:

Um corpo rígido realiza uma rotação em torno de um eixo, e esse eixo translada, mantendo fixa sua direção.

Fres _MA

(4)

4/ 40

Rolamento

Rolamento sem deslizamento: O ponto da borda não desliza ao entrar em contato com a superfície.

Condição de Rolamento sem deslizamento

(5)

Rolamento

Podemos tratar o movimento como a composição

translação do CM Rotação em torno do CM

a velocidade de um ponto qualquer do objeto será

(6)

6/ 40

Rolamento

Esse movimento também pode ser visto como uma rotação em torno de um eixo Instantâneo

(7)

Energia Cinética no Rolamento

Se interpretarmos o movimento como translação do CM

Rotação em torno do CM:

K 1

2ICM 2

1

2MVCM2

Se interpretarmos como rotação em torno do eixo instantâneo

K 1

2IP 2

Vemos que elas são equivalentes, usando o teorema dos eixos paralelos: K 1 2 Icm MR2 2 1 2Icm 2 1 2MR2 V2 CM R2

(8)

8/ 40

Esfera Rolando em Plano Inclinado

Uma esfera de raio R e massa M é solta do repouso sobre um plano inclinado, e ela rola sem deslizar. Determine a aceleração do seu centro de massa.

(9)

Esfera Rolando em Plano Inclinado

Neste exemplo precisamos ter atrito, pois é a única força que causa Torque.

Como o ponto de contato não desliza, sua velociade instantânea é

zero, o atrito é estático

N M g cos 0

Fres _MA

CM M g sen Fa M ACM

res _I

CM FaR ICM

da condição de rolamento sem deslizamento:

VCM R ACM R usando Iesfera 2₅MR2 FaR 2₅MR2 ACM_R Fa 2₅MACM M g sen 2 5MACM M ACM ACM 57g sen Fa 2₇M g sen

(10)

10/ 40

Esfera Rolando em Plano Inclinado

Se ela desce de uma altura h, qual a velocidade do CM ao chegar na base do plano?

V2 _V2

0 2Ax x h sen V2 2 5₇ g h

A energia mecânica se conserva? No alto: M g h Embaixo: K 1 2ICM 2 12MVCM2 K 1 2 2 5MR2 V2 CM R2 1 2MVCM2 K 1 2MVCM2 2₅ 1 1₂ 7₅M10₇ g h M g h

A energia mecânica se conserva no rolamento sem deslizamento!!

(11)

Rolamento de Diferentes Objetos

Soltamos os seguintes objetos em um plano inclinado e eles rolam sem deslizar. Todos tem a mesma massa e o mesmo raio. Qual a ordem de chegada?

(12)

12/ 40

Rolamento de Diferentes Objetos

Iesfera 2₅MR2 Ianel MR2 Iesferaoca 2₃MR2

Icilindro 1₂MR2 Icilindrooco MR2 I cMR2 Mgh 1 2ICM 2 1 2MV2 Mgh 1 2cMR2 V2 R2 1 2MV2 Mgh 1 2MV2 1 c V2 2gh 1 c V2 esfera 5₇2gh Vcilindro2 2₃2gh V2 anel 1₂2gh

(13)

Exercício

Um cilindro de raio R e massa M é puxado pelo centro por uma força F e rola sem deslizar. Determine a aceleração do CM e a força de atrito.

Repita para o caso em que a força seja aplicada na extremidade. Repita os dois para um tambor (casca cilídrica).

(14)

14/ 40

Casca cilíndrica I = MR

2 F * -6 > E _Fa F- Fa = MA f - Fa = M A ER = Ix = mrin _FR ₊_Far = I 2 =

MRZAE

= M A R F - M a = MA f t Fa = M A A = Fa Fa =D ! Fa = MA = F-2

(15)

Cilindro sólido I = MR/2

2 F

teenaged

E Fa F - Fa = M A @ F - Fa = Ma f-+ For) _R = Ix =

MzI±

Far =

M¥

f- r @ F + Fa =

MAFA

= MI 2 2 10 + & : 2 F = 3= M A F _=zm A 2 A = § E a = ÷÷ m Fa = F-Fa = My ÷F . F = ÷ F

-Fyfe

3 a forms _de atih aponte p / a dimiha !

(16)

16/ 40

Carretel

Ao carretel (I MR2 _{2) é aplicada a força F . Discutir os}

(17)

@ F + Fa = M A Fr - Fa R = M=R? ÷ : R = _@ FI - Fa

MAR

= 2 → @+@ : F ( it ,÷ ) = I MA > Fa a = ÷r÷( it ⇒ Fa = ÷ F ( rtf ) - F Fa _:(- st +

}⇒F

r =0 => Fa = -} F ( pl Kai ) Fa = 0 => - 1 +21 = 0 → r = RR 2 se r ( 1 Fa < 0 2 se r > 2 Fa > 0 2

(18)

18/ 40

Ao carretel (I MR2 _{2) é aplicada a força F}

2. Para que valores

de c• o carretel rola para a direita ou para a esquerda?

•T*

Brazos

*&m

'

(19)

⇒ A

Fz

cow - Fa = M a +^

|

Fa R - F, n = I af × ^

-9$

_t.ru - Far = man

Ntfs

+|

- F , n + Far = tan " tags Fz ( Redo tr ) = a( MR + In) ← A = Fz(Rwrot= MR + In A > 0 ( → ) who ) ~/R A <o ( ← ) cow ( YR

(20)

20/ 40

Exercício

O disco (I MR2 _{2) é solto do repouso. Mostre que a tensão na}

corda é Mg 3, que a aceleração do CM é 2g 3 e que a velocidade do CM é 4gh 3

(21)

Mg - T = M A T R = I X = M÷y÷ T = May

|

M _g - Mrt = MA 2 A= } g t.mg

|

vs = 2 ah = § gh on Mgh = { m vs + { I us Mg h = { m v ' + } M¥ I R 2 gh = ( }

the

gh = 3- ✓ 4

(22)

22/ 40

IoIô

Um ioiô de momento de inércia I , raio interno r, raio externo R e massa M , desce sobre o fio, rolando sem deslizar. Determine a tensão no fio, a aceleração do seu CM, e sua velocidade após descer uma distância X partindo do repouso.

R r X

M g

(23)

R r X M g

g-F:

Irena

T = I A a M g - II = MA r2 Mg = a ( m + It

)

A =

MM

+ ÷ 2 cons . energie i M _g x = } mv 2 + at I Ws Mgm = at r '

(

m + ÷,

)

v -= 2 Mgm . M + I R 2

(24)

24/ 40

Exercício

Um objeto de raio R e massa M rola horizontalmente sem deslizar com velocidade v. Ao encontrar uma elevação, ele sobre

rolando até uma alturma máxima h. Se h 3v2 _{4g qual deve}

ser a forma desse objeto?

.

(25)

21 m vs + I I w2 = Mg L ÷ m vs + E

II.

= mg

3÷

2 I = 2 R m ttz + ÷ ) -- zmri (

¥3

) = MI z

(26)

26/ 40

Exercício

Uma pequena esfera de raio r e massa m, rola sem deslizar no interior de um hemisfério de raio R. A esfera inicia seu

movimento do alto do hemisfério partindo do repouso. a) Qual é a sua energia cinética no fundo do hemisfério? b) Qual é a força normal exercida pela esfera pequena sobre o

(27)

. 0 . . . - - - i U =

mg

(R - _r ) = K ~ (a)

;€€=

;

K = }mv2+÷£° " n °

mg

( R - ) =

±m✓'+÷

K

÷nr2y÷

gR=÷r4i+⇒=÷i

v2=¥

rg N -mg = MI R N = Mg + " 1¥ g = ⇒ mg

(28)

28/ 40

Exercício

Uma bolinha de gude sólida de massa m e raio r sobre o trilho da figura, tendo partido do repouso.

a) Qual a altura mínima h, para que ela não perca contato com o

trilho na parte mais alta da curva?(Considere r R)

b) Se a bolinha for solta de uma altura 6R, qual será a

componente da força horizontal que atua sobre ela no ponto P ?

Jhelum

R : h = 2,7 R

N =

(29)

(30)

(31)

Exercício

O sistema da figura abaixo representa dois cilindros que se movem mediante a ação de uma força F . Cada cilindro possui

massa M e raio R (ICM MR2 2). A força F está aplicada a

uma distância r R 2 do centro. Entre o chão e os cilindros

existe atrito, de maneira que os cilindros rolam sem deslizar. Em termos dos dados do problema, calcule:

(a) a aceleração do sistema;

(32)

33/ 40 F T T >

=

ta _, ta _z T- fa , = M A @ @ + @ + @ + 4

{

far = MZI At => for

,=Mat 2 F + _r÷ = ma ( i + _÷ + ' + 's) F - T - faz = M A 3 z F = 3 m a ⇒ a = Fzmg

{

F_Rz + ta , R = MY ÷ ⇒ E + _fa . = m÷ @ em @ for, = ng En = Fg in

he

-E + I I =

÷

aponta pltte

(33)

Exercício

Um caminhão, cuja carroceria tem massa M , possui tração nas rodas traseiras. Ele possui aceleração de módulo a para a frente, em uma rodovia retilínea. Cada uma de suas quatro rodas possui

massa m, raio R e momento de inércia I mR2 _{2.(a) qual a}

força de atrito nas rodas dianteiras? (b) qual a força de atrito nas rodas traseiras?

>

(34)

35/ 40 Or

2fa

, - 2

for

= ( M+4m)A no da fente i ta R =

mr÷

At

⇒fain÷

> < no da trois i - -tai for 6 - fa , R =

M¥

÷

@ subset . em @ 2 fa , - m a = +µ4 in) A for, = ( 4 + 5 in ) Ak subs . en 2 Z - (M + 5 in ) A R = MRI T 2 6 = -MRaa_ +

3=m

R A = tha ( 3 m - m)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)