ESTABILIDADE & SINTONIA

ESTABILIDADE & SINTONIA

I CV d T dt t E t E K t MV( ) = _{c ⎢}⎡ ( ) + 1 ∞_∫ ( ') '− _{d ⎥}⎤ + dt T_I d c ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0∫ ) ( ) ( ) ( 0 20 TC v1 0 20 40 60 80 100 120 -40 -20 or No! v2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 or Yes!

Nós afetamos a estabilidade quando implementamos o controle Como

0 20 40 60 80 100 120 -0.2

implementamos o controle. Como garantir a estabilidade do sistema?

ESTABILIDADE & SINTONIA

Primeiro vamos definir estabilidade: Um sistema é estável d d li i d l íd li i d

se toda entrada limitada resulta uma saída limitada

Processo Exemplos Entradas Exemplos Saídas Vapor -0.5 0 0.5 1 -0.5 0 0.5 1 tada tada Feed Vapor product F1 T1 _T2 T3 T5 T4 T6 P1 L1 0 0.5 1 1.5 -1 0.5 0 0.5 1 1.5 -1 limi t limi t Liquid product Process fluid Steam F2 F3 A1 L. Key ada ada ilimit a ilimit a

ESTABILIDADE & SINTONIA

Vamos rever como determinar a

G(s) = Y(s)/X(s)

estabilidade de um modelo

( )

( )

( )

Sejam α₁, α₂ , … raízes do polinômio denominador de G(s)

..)

(

...

)

(

t

=

A

+

A

e

t

+

A

e

t

+

+

B

+

B

t

+

B

t

+

e

pt

+

Y

₍

t

₎

=

A

₀

+

A

₁

e

α1t

+

A

₂

e

α2t

+

_...

+

₍

B

₀

+

B

₁

t

+

B

₂

t

2

+

_..)

e

αpt

+

Y

₍

t

₎

=

A

₀

+

A

₁

e

α1t

+

A

₂

e

α2t

+

_...

+

₍

B

₀

+

B

₁

t

+

B

₂

t

2

+

_..)

e

αpt

+

Y

_{0 1} α1 ₂ α2 _{0 1 2} 2 α

...

)]

sin(

)

cos(

[

...

+

C

₁

ω

t

+

C

₂

ω

t

e

αqt

+

2 1 0 2 1 0

...

)]

sin(

)

cos(

[

...

+

C

₁

ω

t

+

C

₂

ω

t

e

αqt

+

2 1 0 2 1 0

...

)]

sin(

)

cos(

[

...

+

C

₁

ω

t

+

C

₂

ω

t

e

αqt

+

2 1 0 2 1 0

Raízes reais e Raízes reais Raízes reais e

distintas Raízes complexas repetidas

Se todos α_ii estão ???, Y(t) é estável, ( ) Se algum α_i está ???, Y(t) é instável

ESTABILIDADE & SINTONIA

G_d(s) D(s) CV(s) SP(s) E(s) _MV(s) Malha de controle G_P(s) G_v(s) G_C(s) G_S(s) CV_m(s) + + + -S( )

Resposta ao Set point Resposta ao disturbio

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s G s G s G s G s G s G s G s SP s CV S c v p c v p + = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( s G s G s G s G s G s D s CV S c v p d + = 1

O denominador determina a estabilidade do

sistema em malha fechada! Ele é chamado de equação característica.

ESTABILIDADE & SINTONIA

Determinação das Raízes para verificar estabilidade

3 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 039 1 1 0 p v c S C P C G s G s G s G s K K K ( . ) + = + = + = Control. Proporcional Vamos calcular as raízes da equação

(

)

3

(

)

3 3 2 1 1 0 1 1 5 125 75 15 1 0 039 _c 0 τs s s s s . K + + + + + + + + = raízes da equação característica. solvent F_S pure A F_A AC

ESTABILIDADE & SINTONIA

R ã d l i i á i d í d

0.5

Representação das partes real e imaginária das raízes da equação característica 0.2 0.3 0.4 Kc 0 0.1 m aginary Kc 250 0 0 3 -0.2 -0.1 Im

Quando K_C é aumentado, algumas

0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 1 -0.5

-0.4

-0.3 Q C , g

raízes se aproximam e cruzam para a

região instável.

-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 Real

ESTABILIDADE & SINTONIA

Resposta ao setpoint O denominador determina a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s G s G s G s G s G s G s G s SP s CV S c v p c v p + = 1 determina a estabilidade do sistema em malha fechada! fechada! 3 2 Para o misturador: 125s + 75s +15s + +1 0 039. K_c = 0

Método de Estabilidade de Bode

O ál l d í é i l E t t t f d

O cálculo das raízes é simples. Entretanto, o que fazer quando o

sistema tem tempo morto e aparece e -θs _{na equação.}

Portanto precisamos de um outro método. Portanto precisamos de um outro método.

ESTABILIDADE & SINTONIA

Estabilidade de Bode: Para entender vamos imaginar um

experimento (introduzimos apenas 1 onda senoidal)

G_P(s) G_v(s) G_C(s) CV(s) SP(s) E(s) _MV(s) + + G_P(s) G_v(s) G_C(s) G_S(s) CV_m(s) + -Loop open solvent F_S pure A F_A malha AC malha aberta

ESTABILIDADE & SINTONIA

Estabilidade de Bode: Fechamos a malha e retiramos a excitação

G_P(s) G_v(s) G_C(s) CV(s) SP(s) E(s) _MV(s) + + + G_S(s) CV_m(s) + -Malha fechada

Em que condições o sistema será estável (instável)?

Se a onda tiver depois de um ciclo amplitude maior; então ela irá crescer cada vez que ela complete o percurso ao longo da

lh O i t á i tá l malha. O sistema será instável.

ESTABILIDADE & SINTONIA

Estabilidade de Bode: Oscilação permanente sem excitação

G_P(s) G_v(s) G_C(s) CV(s) SP(s) E(s) _MV(s) + + + G_S(s) CV_m(s) + -Loop closed

Agora: em que frequência a onda se reforça?

Quando a onda sofre um atraso de 180° devido à dinâmica dos elementos, o feedback reforçar a oscilação (lembre do sinal-). Essa é a frequência crítica.

ESTABILIDADE & SINTONIA

Estabilidade de Bode: determinação da condição de estabilidade

G_P(s) G_v(s) G_C(s) CV(s) SP(s) E(s) _MV(s) + + + G_S(s) CV_m(s) + -Loop closed

G_OL(s) inclui todos os elementos da malha fechada.

Na frequência crítica: ∠ G_OL(ω j) = -180°

Na frequência crítica: ∠ G_OL(ω_cj) 180

Condição na razão de amplitudes: |G_OL(ω_cj) | < 1 p/ estabilidade

|G (ω j) | > 1 p/ instabilidade

ESTABILIDADE & SINTONIA

Estabilidade de Bode: determinação da condição de estabilidade

(

G j_p( _c)

)

(

G j_c( _c)

)

180

φ ω + φ ω = −

Frequência Crítica

(

G j( )

)

arctg

(

Im( (G j ) / Re( (G j )

)

φ

(

G j( ω_c)

)

= arctg

(

Im( (G jω_c) / Re( (G jω_c)

)

φ ω ω ω

ESTABILIDADE & SINTONIA

Estabilidade de Bode: Seja os 3 tanques de mistura

com um tempo morto de 5 minutos

∠ G_OL(ω_cj) = -180° |G_OL(ω_cj) | < 1 for stability

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

=

=

−

s

T

K

s

e

K

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

I c θ s P s p v c OL

1

1

1

)

3

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

τ

)

_⎝

_⎣

_I

_⎦

_⎠

(

Processo Controlador (PI)

min

open

A/%

%

.

5

039

0

=

=

τ

P

K

i

A

open/%

%

11

30

=

c

T

K

( )

min

min

5

5

=

=

θ

τ

₌

₁₁

_min

I

T

ESTABILIDADE & SINTONIA

Critério de Bode: ∠ G_OL(ω_cj) = -180° |G_OL(ω_cj) | < 1 p/ estabilidade

102 100 101 m plitude Ratio |G_OL(ω_cj) | = 0.75 Conclusão: Estável 10-2 10-1 100 10-1 10 A m Frequency, w (rad/time) -100 -50 g rees) 250 -200 -150 P hase Angle (de g -180° Frequência Critica 10-2 10-1 100 -300 -250 Frequency, w (rad/time) P

ESTABILIDADE & SINTONIA

Margem de ganho e Margem de Fase

Margem de ganho: MG ( ) ( ) p c c c c G jω G jω = AR 1 MG = Margem de fase: MF 1 c MG = _AR

(

G j_p( )

)

(

G j_c( )

)

180 MF φ ω + φ ω = − + ω é tal que ω é tal que ( ) ( ) 1 p c G jω G jω =

ESTABILIDADE & SINTONIA

Exemplo: Margem de ganho = 2

1 ( ) G ( ) G ( ) Kc(2s +1) (1 1)(2 1)(3 1) p G s s s s = + + + ( ) ( ) 2 c c G s s =

Queremos calcular Kc para MG = 2

(

)(

)(

)

2( ) 1 1 180o ( 3.1415 ) c j rd ⎛ ⎞ ⎛ ω + ⎞ φ_{⎜ ⎟}+ φ_{⎜ ⎟} = − −

(

)(

)(

)

180 ( 3.1415 ) 2( j _c) 1( j _c) 1 2( j _c) 1 3( j _c) 1 rd φ_{⎜ ⎟+ φ⎜ ⎟} ω ω + ω + ω + ⎝ ⎠ _{⎝ ⎠} 0.5774 c ω =

(

)(

)(

)

2( ) 1 1 0.5 2( ) 1( ) 1 2( ) 1 3( ) 1 c c c c c c j K j j j j ω + = ω ω + ω + ω + 1.333 c K =

ESTABILIDADE & SINTONIA

ESTABILIDADE & SINTONIA

Exemplo: Margem de fase = 30

1 ( ) G ( ) G ( ) Kc(2s +1) (1 1)(2 1)(3 1) p G s s s s = + + + ( ) ( ) 2 c c G s s = 2( j ) 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ω + ⎞

(

)(

)(

)

2( ) 1 1 150 ( 2.6180 ) 2( ) 1( ) 1 2( ) 1 3( ) 1 o j rd j j j j ⎛ ⎞ ⎛ ω + ⎞ φ_{⎜ ⎟}+ φ_{⎜ ⎟} = − − ω ω + ω + ω + ⎝ ⎠ _{⎝ ⎠} 0.309 ω = 2( ) 1 1 1 j K ω + = 0 8819 K =

(

)(

)(

)

1 2( ) 1( ) 1 2( ) 1 3( ) 1 c K jω jω + jω + jω + 0.8819 c K =

ESTABILIDADE & SINTONIA

ESTABILIDADE & SINTONIA

Sintonia de Ziegler e Nichols

Define se K = 1 onde

ω

está em rd/min

Define-se , , onde está em rd/min.

( ) u p u K G j = ω

ω

u

2

P

π

φ

(

G j( ω )

)

180

Daí eles recomendam a seguinte sintonia:

u

u

P

=

ω

φ

(

G jp( ωu)

)

= −180

g

Controlador K_c T_I (min) T_d (min)

Proporcional K /2

Proporcional K_u/2 -

-Prop. + Integral K_u/2.2 P_u/1.2 -Prop. + Int. + Deriv. K_u/1.7 P_u/2 P_u/8

ESTABILIDADE & SINTONIA

Exemplo: Sintonia de Ziegler & Nichols

Q i i

1 ( )

G ( ) _{Queremos sintonizar o PI e o PID}

(1 1)(2 1)(3 1) p G s s s s = + + + 1 ⎛ ⎞

(

1( j _u) 1 2(

)(

j 1_u) 1 3(

)(

j _u) 1

)

180 ⎛ ⎞ φ_{⎜ ⎟} = − ω + ω + ω + ⎝ ⎠ 1 / min 6.2832 10 u rd Pu Ku ω = = = Controlador PI K_cc =10 / 2.2 4.54= T_II = 5.236 min

ESTABILIDADE & SINTONIA

Comparison of Ziegler-Nichols and Cohen-Coon Equations

for Controller Tuning (1940’s, 50’s)g ( , )

Controller Ziegler-Nichols Cohen-Coon

Proportional _KK

( )

τ _KK

( )

τ ₁ Proportional

( )

θ τ = C KK KK_C =

( )

τ_θ + 1₃ Proportional + Integral

( )

( )

θ τ θ τ 9 . 0 = C KK

( )

( )

[

θ

]

θ τ θ τ 33 . 0 33 . 3 083 . 0 9 . 0 + + = C KK

( )

θ_τ τ τ 33 . 3 = I

[

( )

]

( )

θ_τ τ θ τ τ 2 . 2 0 . 1 33 . 0 33 . 3 + + = I Proportional + KK C = 1.2

( )

τ θ

( )

( )

[

θ

]

τ _0.270 35 . 1 + = C KK Integral + Derivative

( )

( )

θ τ τ θ τ τ θ 5 0 0 . 2 = D I

[

( )

]

( )

( )

θτ θ τ θ θ τ τ 37 0 8 13 6 32 + + = I

( )

θ _τ τD = 0.5

( )

_{( )}

τ θ τ θ τ τ 2 . 0 0 . 1 37 . 0 + = D Chapter 12 23

Malhas em Cascata

Exemplo: Controle da temperatura to tanque manipulando a vazão de óleo de aquecimento

Malhas em Cascata

Exemplo: Controle da temperatura to tanque manipulando o set-point da malha vazão de óleo de aquecimento

Malhas em Cascata

Sem cascata Com cascata

Sintonia das malhas em cascata

- O controlador secundário pode ser proporcional puro.p p p p

- O controlador primário deve ter modo integral para evitar offset na variável controlada

offset na variável controlada

- A sintonia é feita sequencialmente.

O controlador secundário é sintonizado primeiro. O controlador primário fica aberto.

Depois sintonizamos o primário com o secundário p p fechado.

Malhas em Cascata: Outros exemplos

Malhas em Cascata: Outros exemplos

Malhas em Cascata: Outros exemplos

Controle Antecipatório

Controle Antecipatório

Controle Antecipatório: Reator

l it fi

Controle Antecipatório: Forno de

i

t

Controle Antecipatório:

Nível de água em

caldeira

Compensador de Tempo Morto Sem compensador ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) s c d s s c c G s G s e G s CV s SP s D s G s G s e G s G s e −θ −θ −θ = + + + 1+G s G s e_c( ) ( ) −θs = 0

Compensador de Tempo Morto Com compensador 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s c d c e G s G s G s G s G s e CV s SP s D s −θ −θ ⎡ + − ⎤ ⎣ ⎦ = + ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )_c 1 ( ) ( )_c CV s SP s D s G s G s + G s G s + +

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Exemplo: Tambor de flash

- V afeta T P e LV₁ afeta T, P e L - V₂ afeta P e T - V₃ afeta L e P

Algumas características dos sistemas multivariáveis:

A interação entre as variáveis influencia a estabilidade e a performance -A interação entre as variáveis influencia a estabilidade e a performance. -O “pareamento” é uma decisão de projeto.

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Processos industriais tem várias variáveis que precisam ser l d O h i

controladas. O engenheiro tem que

1. Indicar onde sensores são necessários

2. Estudar quais variáveis podem ser manipuladas

3. Decidir como as CVs e MVs serão emparelhadas (interligadas via o projeto de controle)

Felizmente a maioria dos métodos vistos até aqui para Felizmente, a maioria dos métodos vistos até aqui para sistemas SISO se aplicam, mas temos que aprender mais!

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Existem dois enfoques:

V t t

MULTIMALHAS

Vamos nos concentrar por enquanto no

MULTIMALHAS

Multimalhas: Vários PIDs

F

Multimalhas: Vários PIDs

independentes Centralizado L T F T Centralized Controller L T A _L A

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

O que é diferente quando nós temos várias MVs e CVs?

INTERAÇÃO!!

INTERAÇÃO!!

Definição: Um processo multivariável tem interação ç p ç

quando as entradas (manipuladas) afetam várias saídas (controladas).

T A

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Como podemos avaliar quanta interação existe?

U ét d M d l F d t l

Um método: - Modelagem Fundamental

F x F_A, x_A

F_S, x_AS = 0 FM, xAM

Fundamental (nl) Fundamental linearizado

AM M AS S A A M S A x F x F x F F F F = + = + ' ' 2 2 ' ' ' ' ( ) ( ) M A S S A A A AM A S F F F F x F x x F F = + ⎡ ⎤ ⎡ ₋ ⎤ = _{⎢ 2 ⎥} + _{⎢ 2 ⎥} ( ) ( ) AM A S s A _ss s A _ss F F F F ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Como podemos avaliar quanta interação existe?

O t ét d M d l í i ( t d )

Outro método - Modelagem empírica (resposta ao degrau)

Degrau no refluxo com vapor constante

0.986 0.988 0.99 frac) 0 03 0.035 0.04 frac) 0 20 40 60 80 100 120 0.98 0.982 0.984 Time (min) XD ( m o l 0 20 40 60 80 100 120 0.02 0.025 0.03 Time (min) XB ( m o l 1.13 1.135 x 10 4 m ol/min) 1 5614 1.5614 1.5615 1.5615 x 10 4 m ol/min) 0 20 40 60 80 100 120 1.12 1.125 Time (min) R ( m 0 20 40 60 80 100 120 1.5613 1.5613 1.5614 Time (min) V ( m

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Como podemos avaliar quanta interação existe?

O t ét d M d l í i ( t d )

Outro método - Modelagem empírica (resposta ao degrau)

) ( . ) ( . ) ( e e s s _{0 0667} 0747 0 −3 −2 F_R x_D ) ( . ) ( . ) ( ) ( . ) ( . ) ( . s F e s F e s x s F s e s F s e s x s s V R D 1253 0 1173 0 1 15 0667 0 1 12 0747 0 2 3 3 − = + − + = − − F_R F_{V ( )} . ) ( . ) ( F s s s F s s x_{B R V} 1 2 10 1 7 11 + − + = V x_B

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Como determinar quanta interação existe?

U d l l d l d f

Use o modelo; se ele puder ser colocado na forma “diagonal”, então não há interação.

⎡

₁

⎤ ⎡

₁₁

0

0

⎤ ⎡

₁

⎤

0

0

CV

K

MV

CV

K

MV

⎡

⎤ ⎡

⎤ ⎡

⎤

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

2

22

2

33

3

0

0

0

0

CV

K

MV

CV

K

MV

⎢

⎥ ⎢

₌

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

CV

n

⎦ ⎣

0

0

K

33

⎦ ⎣

MV

3

⎦

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦ ⎣

⎦ ⎣

⎦

S i t l t ( 0) f d di l i i l Se existem elementos (≠0) fora da diagonal principal, então existe interação.

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Vemos o diagrama de blocos de um processo típico. Quais são as MVs, CVs, e disturbio, D? FR XD F + + G₁₁(s) XD(s) F_R(s) FD XD F XF q G₂₁(s) G₁₂(s) _Gd2(s) G_d1(s) XF(s) FRB XB FV + + G₂₂(s) _XB(s) F_RB(s) FB B

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Caso do reator não isotérmico. Quais são as MVs, CVs, e disturbios, D? Reator + + G₁₁(s) v1 G₂₁(s) G₁₂(s) _Gd2(s) G_d1(s) T A + + G₂₂(s) v2

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

GRAUS DE LIBERDADE

Para um bom projeto é condição necessária:

Número de válvulas ≥ número de CVs

v3 F2 T4 T5 v8 P1 F5 v1 v2 L1 v7 v5 _v6 F1 T1 T3 T4 F3 T6 F4 L1 T7

Hot Oil Hot Oil

T2 T8

F6 T9

OK, mas isso não garante que podemos controlar as CVs que queremos controlar!

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

CONTROLABILIDADE

Um sistema é controlável se as CVs podem ser mantidas nos seus setpoints, no estado estacionário, apesar dos

disturbios que entram no sistema.q

D

K

MV

K

K

CV

_d

⎥

⎤

⎢

⎡

+

⎥

⎤

⎢

⎡

⎥

⎤

⎢

⎡

=

⎥

⎤

⎢

⎡

=

⎥

⎤

⎢

⎡

₁

0

_{11 12 1 1} Modelo para U i t é t lá l d t i d h d

D

K

MV

K

K

CV

⎥

_⎦

=

_⎣

⎢

_⎦

⎥

=

⎢

_⎣

⎥

_⎦

_⎣

⎢

_⎦

⎥

+

⎢

_⎣

_d

⎥

_⎦

⎢

⎣

2

0

21 22 2 2 p sistema 2x2

Um sistema é controlável quando a matriz de ganhos do

processo pode ser invertida, i.e., quando o determinante de K ≠ 0.

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Para o exemplo da coluna de destilação: x_D ) ( . ) ( . ) (s e F s e F s x _V s R s D 1 15 0667 0 1 12 0747 0 3 2 + − + = − − F_R ) ( . . ) ( . . ) ( . s F s e s F s e s x s s V s R s B 1 2 10 1253 0 1 7 11 1173 0 1 15 1 12 2 3 3 + − + = + + − − F_V Det (K) = 1.54 x 10-3 ≠ 0 P ã l ( h ã x

Pequeno mas não nulo (os ganhos são pequenos)

O sistema é controlável! x_B

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Para o exemplo do CSTR não isotérmico

• As CVs são controláveis independentemente?s CVs s o co o ve s depe de e e e?

• Existe interação?

A

B

A

→ B

-r_A = k₀ e -E/RT _C A A interação é forte T v1 Em geral, a temperatura e a

conversão podem ser influenciadas independentemente. T A C_B p O sistema é controlável. v2

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Para o exemplo do CSTR não isotérmico

• As CVs são controláveis simultâneamente? • Existe interação?

Ambas as válvulas tem o mesmo efeito sobre

A

→ B

-r_A = k₀ e -E/RT _C A

Ambas as válvulas tem o mesmo efeito sobre as duas variáveis; a única diferença é a

magnitude da variação na vazão (μ=constante). v1 v2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 21 21 11 11 0 0 MV MV K K K K T C_B

μ

μ

(μ constante). T A C ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 21

μ

21 2

Det (K) = 0; não controlavel!

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Para o CSTR com duas reações consecutivas

• As CVs são controláveis independentemente?p

• Existe interação?

A

→ B + 2C

A

→ B + 2C

-r_A = k₀ e -E/RT _C A A v1 11 12 1 11 12 2

0

2

2

0

B C

C

K

K

MV

C

K

K

MV

⎡

⎤

⎡ ⎤

⎡

⎤ ⎡

⎤

=

=

⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣ ⎦ ⎣

⎦ ⎣

⎦

⎣

⎦

A A C_B C_C 11 12 2 C

⎣ ⎦ ⎣

⎦ ⎣

⎦

⎣

⎦

Det (K) = 0; não controlavel! v2

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

1. Quantos experimentos são necessários para sintonizar os controladores?

VAMOS OBSERVAR O COMPORTAMENTO DINÂMICO

controladores?

2. Que controlador deve ser implementado primeiro?

+ + G₁₁(s) CV₁(s) MV₁(s) G₂₁(s) G_d1(s) D(s) G₁₂(s) _Gd2(s) + ₊ G₂₂(s) _CV 2(s) MV₂(s)

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Vamos analisar um sistema simples com interação

⎤

⎡

⎥

⎤

⎢

⎡

⎤

⎡

− −

)

s

(

MV

e

.

e

.

)

s

(

CV

s . s .0 1 0 1

₀

₇₅

0

1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

+

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

− −

_MV

₍

_s

₎

)

s

(

MV

e

.

e

.

s

s

)

s

(

CV

)

s

(

CV

s . s . 2 1 0 1 0 1 2 1

2

1

0

1

2

1

75

0

2

1

2

1

⎥⎦

⎢⎣

1

+

2

s

1

+

2

s

Vamos usar o emparelhamento com os maiores ganhos: Vamos usar o emparelhamento com os maiores ganhos:

Resultados com apenas um controlador (K_C = 2.0, T_I = 3) O sistema é estável mas bastante agressivo.

1.5 IAE = 2.5003 ISE = 1.5448 1 IAE = 66.45 ISE = 49.8627 1 CV 1 _0.4 0.6 0.8 CV 2

Feedback Why did

0 20 40 60 80 100 0 0.5 0 20 40 60 80 100 0 0.2 control for SP change y this change? 2 2.5 3 SAM = 7.1543 SSM = 87.4545 0.5 1 SAM = 0 SSM = 0 0 5 1 1.5 2 MV 1 -0.5 0 MV 2 0 20 40 60 80 100 120 0 0.5 Time 0 20 40 60 80 100 120 -1 Time

Resultados com dois controladors (ambos c/ Kc = 2.0, TI = 3)

O sistema é instável!! As malhas individuais são estáveis

15 IAE = 251.0259 ISE = 1426.773 15 IAE = 250.3684 ISE = 1425.127 0 5 10 CV 1 0 5 10 CV 2 0 20 40 60 80 100 -15 -10 -5 0 20 40 60 80 100 -15 -10 -5 10 20 SAM = 854.3713 SSM = 16670.7031 10 20 SAM = 852.3648 SSM = 16618.2934 -10 0 MV 1 -10 0 MV 2 0 20 40 60 80 100 120 -20 Time 0 20 40 60 80 100 120 -20 Time

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Em geral, o comportamento de uma malha depende da interação e sintonia da(s) outra(s) malha(s).

+ -+ Gc1(s) G11(s) + CV₁(s) SP₁(s) Lembre que o denominador define G₂₁(s) G_d1(s) D(s) MV₁(s) denominador define a estabilidade. + + + _G c2(s) G₁₂(s) G₂₂(s) G_d2(s) MV₂(s) ) s ( numerator ) s ( CV₁ + - c2 ( ) ₂₂( ) CV₂(s) SP₂(s) )] s ( G ) s ( G ) s ( G ) s ( G )[ s ( G ) s ( G ) s ( G ) s ( G ) s ( G ) s ( G ) s ( numerator ) s ( SP ) s ( CV c c c c1 11 2 22 1 2 11 22 12 21 1 1 1+ + + − =

CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

Em geral, o comportamento de uma malha depende da interação e sintonia da(s) outra(s) malha(s).

4 Obs:

1 TI = 3 para os dois

Single-loop inside the dashed lines would be stable.

3 O LLER GAIN Unstable for 2x2 1. TI = 3 para os dois controladores 2. KC < 3.75 estavel para as malhas 2 O P 2 CONTR O for 2x2 individualmente 3. KC = 2.0 estavel para uma malha só 0 1 Kc2, LO O Stable for 2x2 4. KC = 2.0 instável para as duas malhas juntas!!

5 Esses resultados são

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Kc1, LOOP 1 CONTROLLER GAIN

5. Esses resultados são para o exemplo

mostrado mas os conceitos são gerais

Se as duas CVs tem a mesma importância, “afrouxamos” os d i t l d i l t

dois controladores igualmente. (Kc1 = Kc2 = 0.95; TI1 = TI2 = 3.0)

1 IAE = 7.2124 ISE = 2.8115 0.5 IAE = 5.4079 ISE = 1.1407 0.4 0.6 0.8 CV 1 _0.2 0.3 0.4 CV 2 Um pouco lento para chegar no SP1 Efeito da interação em CV2 0 20 40 60 80 100 0 0.2 0 20 40 60 80 100 0 0.1 chegar no SP1 1 5 2 2.5 SAM = 2.8521 SSM = 18.89 -0.5 0 SAM = 1.734 SSM = 0.27062 0.5 1 1.5 MV 1 -1.5 -1 MV 2 0 20 40 60 80 100 120 0 Time 0 20 40 60 80 100 120 -2 Time

Se CV1 é mais importante, tornamos Gc1 mais agressive e G 2 i f

Gc2 mais frouxo. (Kc1 = 1.40 and Kc2 = 0.50; TI1 = TI2 = 3.0)

1 IAE = 4.8803 ISE = 1.8496 0.8 IAE = 10.2283 ISE = 3.1023 0.4 0.6 0.8 CV1 0.4 0.6 CV2 Resposta mais rápida em direção ao SP1 Aumenta o efeito da interação 0 20 40 60 80 100 0 0.2 0 20 40 60 80 100 0 0.2 direção ao SP1 2 2.5 SAM = 4.3516 SSM = 41.4664 -0.5 0 SAM = 1.7163 SSM = 0.1792 0.5 1 1.5 MV 1 -1.5 -1 MV 2 0 20 40 60 80 100 120 0 Time 0 20 40 60 80 100 120 -2 Time

Se CV2 é mais importante, tornamos Gc2 mais agressivo e G 1 i f

Gc1 mais frouxo. (Kc1 = 0.50 and Kc2 = 1.40; TI1 = TI2 = 3.0)

1 IAE = 13.6475 ISE = 5.9352 0.4 IAE = 3.653 ISE = 0.3957 0 4 0.6 0.8 C V 1 0.2 0.3 C V 2 Menor disturbio devido à 0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 C 0 20 40 60 80 100 0 0.1 C Muito lento p/ chegar a SP1 interação 2 2.5 SAM = 2.2765 SSM = 5.2708 -0.5 0 SAM = 1.7163 SSM = 0.1792 0 5 1 1.5 MV 1 -1.5 -1 0.5 MV 2 0 20 40 60 80 100 120 0 0.5 Time 0 20 40 60 80 100 120 -2 Time