Cap 04

(1)

44

1

1 Inequações e

Inequações e

Programação Linear

Uma ﬁrma com freqüência precisa de diversos componentes para a fabricação dos Uma ﬁrma com freqüência precisa de diversos componentes para a fabricação dos artigos que ela produz

artigos que ela produz e geralmente existem diversos estágios para a montageme geralmente existem diversos estágios para a montagem de cada ar

de cada artigo e expedição ﬁnal. Os custos e lucros da empresa dependem da dis-tigo e expedição ﬁnal. Os custos e lucros da empresa dependem da dis-ponibilidade destes componentes (como

ponibilidade destes componentes (como por exemplo, trabpor exemplo, trabalho e alho e matéria-prima),matéria-prima), dos custos destes componentes, do lucro unitário para cada produto e de

dos custos destes componentes, do lucro unitário para cada produto e de quantosquantos produtos são necessários. Se as relações entre os vár

produtos são necessários. Se as relações entre os vários recursos, as necessidadesios recursos, as necessidades de produção, os custos e os lucros forem todas lineares, então estas atividades de produção, os custos e os lucros forem todas lineares, então estas atividades po-deriam ser planejadas (ou programadas) da melhor maneira possível (ótima) por deriam ser planejadas (ou programadas) da melhor maneira possível (ótima) por meio de

meio deprogramação linearprogramação linear..

Como a programação linear é útil n

Como a programação linear é útil na solução de problemas envolvendo a distri-a solução de problemas envolvendo a distri-buição de recursos limitados entre diversas atividades da melhor maneira buição de recursos limitados entre diversas atividades da melhor maneira possí-vel, seu impacto foi enorme. Embora seja um avanço relativamente recente, ela é vel, seu impacto foi enorme. Embora seja um avanço relativamente recente, ela é uma ferramenta-padrão para empresas de diversos por

uma ferramenta-padrão para empresas de diversos por tes e sua aplicação tem ge-tes e sua aplicação tem ge-rado a economia de muitos milhares de

rado a economia de muitos milhares de dólares. dólares. Já foram escritos inúmeros livrosJá foram escritos inúmeros livros didáticos sobre o assunto; nossa intenção aqui é apenas fornecer uma introdução didáticos sobre o assunto; nossa intenção aqui é apenas fornecer uma introdução ao método.

ao método.

Pelo fato de as restrições na maioria das atividades comerciais normalmente Pelo fato de as restrições na maioria das atividades comerciais normalmente poderem ser expressas como inequações lineares, começamos este capítulo poderem ser expressas como inequações lineares, começamos este capítulo in-troduzindo métodos de resolução e de representação gráfica para inequações troduzindo métodos de resolução e de representação gráfica para inequações lineares. Mostraremos como os gráficos representando restrições dadas por lineares. Mostraremos como os gráficos representando restrições dadas por ine-quações poderão ser usados para resolver problemas de programação linear. O quações poderão ser usados para resolver problemas de programação linear. O método simplex fornece uma técnica para conversão de um sistema de método simplex fornece uma técnica para conversão de um sistema de inequa-ções em um sistema de equainequa-ções que pode ser

ções em um sistema de equações que pode ser usado para resolver problemas deusado para resolver problemas de programação linear.

(2)

(3)

2

2 Aquecimento para o C

Aquecimento para o C

apítulo

T

Tiippo o dde e PPrroobblleemma a PPrréé--rreeqquuiissiittoo Paarra P a a a SSeeççããoo RReessppoossttaa SSeeççãão o ppaarra a RReevviissããoo Resolva: Resolva: (a) 3 (a) 3 x x– 2 = 7– 2 = 7 (b) 2( (b) 2( x x– 4) =– 4) = x x

−−

33 3 3 .. 4.1 4.1 (a) (a) x x= 3= 3 (b) (b) x x== 2121 5 5 1.1 Equações 1.1 Equações lineares lineares T

Trace o gráﬁco race o gráﬁco da equaçãoda equação

y y== 33 2 2 x x– 2– 2 4.1 4.1 1.3 Traçando o1.3 Traçando o gráﬁco de gráﬁco de equações equações lineares lineares Resolva os sistemas: Resolva os sistemas: (a) (a) x x yy x x yy

+

==

+

+ ==

⎧⎧

⎨⎨

⎩⎩

2 2 1010 2 2 1414 (b) (b) x x yy x x yy

+

==

+

==

⎧⎧

⎨⎨

⎩⎩

0 0 55 1166 24 24 ,, 4.2 4.2 4.3 4.3 (a)

(a) x x= 6,= 6, y y= 2= 2

(b) (b) x x= 8,= 8, y y= 16= 16 1.5 Sistemas de 1.5 Sistemas de equações equações lineares lineares

Escreva o sistema a seguir na Escreva o sistema a seguir na for-ma de ufor-ma for-matriz aumentada: ma de uma matriz aumentada:

x x yy ss x x yy ss x x yy f f

+

==

+

==

−

− −

− + =

+ =

⎧⎧

⎨⎨

⎪⎪

⎩⎩⎪⎪

2 2 1010 2 2 1414 2 2 33 00 1 1 2 2 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 1 1 22 11 00 00 2 2 11 00 11 00 2 2 33 00 00 11 10 10 14 14 0 0

−

−−

⎡⎡

⎣⎣

⎢⎢

⎤⎤

⎦⎦

⎥⎥

3.3 Eliminação 3.3 Eliminação de Gauss-Jordan de Gauss-Jordan

Escreva uma matriz equivalente à Escreva uma matriz equivalente à matriz

matriz A Acom o elemento na linhacom o elemento na linha

1, coluna 2 igual a 1 e todos os 1, coluna 2 igual a 1 e todos os de-mais elementos na coluna 2 iguais mais elementos na coluna 2 iguais a 0. Primeiramente multiplique a a 0. Primeiramente multiplique a linha 1 por linha 1 por 11 2 2.. A A

==

−

−−

⎡⎡

⎣⎣

⎢⎢

⎤⎤

⎦⎦

⎥⎥

1 1 22 11 00 00 2 2 11 00 11 00 2 2 33 00 00 11 10 10 14 14 0 0 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 00 00 0 0 11 00 0 0 00 11 5 5 9 9 15 15

−−

⎡⎡

⎣⎣

⎢⎢

⎤⎤

⎦⎦

⎥⎥

3.3 Eliminação 3.3 Eliminação de Gauss-Jordan de Gauss-Jordan

(4)

4.1

4.1 Inequações Lineares

Inequações Lineares

em Uma Variável

OBJETIVO

Resolver e representar Resolver e representar graﬁca-mente inequações lineares em mente inequações lineares em uma variável uma variável   Resolvendo e Representando Resolvendo e Representando Graﬁcamente Inequações

Graficamente Inequações UmaUma_{nor do que) uma outra quantid}_{nor do que) uma outra quantidade.}inequaçãoinequaçãoé uma afirmação de que uma quantidade é maior do que (ou me-é uma afirmação de que uma quantidade é maior do que (ou me-_{ade. Já tivemos a oportunidade de nos}_{Já tivemos a oportunidade de nos deparar com}_{deparar com} algumas inequações bem simples. Por exemplo, o número de artigos que uma algumas inequações bem simples. Por exemplo, o número de artigos que uma em-presa produz e vende,

presa produz e vende, x x, tem de ser uma quantidade não-negativa. Portanto,, tem de ser uma quantidade não-negativa. Portanto, x xé maioré maior

do que ou igual a zero, que é escrito na forma

do que ou igual a zero, que é escrito na forma x x≥≥0. 0. A inequação A inequação 33 x x– 2 > 2– 2 > 2 x x+ 1 é uma+ 1 é uma

inequação de primeiro grau (linear) que aﬁrma que o membro esquerdo da inequação de primeiro grau (linear) que aﬁrma que o membro esquerdo da ine-quação é maior do que o direito. Certos valores da variável vão satisfazer a quação é maior do que o direito. Certos valores da variável vão satisfazer a inequa-ção.

ção. Esses valores Esses valores formam o conjuntformam o conjunto solução da o solução da inequação. Pinequação. Por exemplo, 4 está noor exemplo, 4 está no conjunto solução de 3

conjunto solução de 3 x x– 2 > 2– 2 > 2 x x+ 1, pois 3+ 1, pois 3⋅⋅4 – 2 > 24 – 2 > 2 ⋅⋅4 + 1. Por outro lado, 2 não4 + 1. Por outro lado, 2 não

está no conjunto so

está no conjunto solução, lução, pois 3pois 3⋅⋅2 – 22 – 2>>22⋅⋅2 + 1.2 + 1.Resolver Resolver uma inequação signiﬁcauma inequação signiﬁca

encontrar seu conjunto solução, e duas inequações são

encontrar seu conjunto solução, e duas inequações sãoequivalentesequivalentesse elas tiveremse elas tiverem

o mesmo conjunto solução. Assim como acontece com as equações, achamos as o mesmo conjunto solução. Assim como acontece com as equações, achamos as soluções para inequações encontrando inequações equivalentes a partir das quais soluções para inequações encontrando inequações equivalentes a partir das quais as soluções possam ser facilmente

as soluções possam ser facilmente identiﬁcadas. identiﬁcadas. Usamos as seguintes propriedadUsamos as seguintes propriedadeses para reduzir uma inequação a uma inequação simples equivalente.

para reduzir uma inequação a uma inequação simples equivalente.

I N E Q U A Ç Õ E S I N E Q U A Ç Õ E S

P

Prroopprriieeddaaddeess EExxeemmppllooss

Propriedade da Substituição Propriedade da Substituição

A inequação formada pela substituição de uma expressão A inequação formada pela substituição de uma expressão por uma outra igual é equivalente à inequação original. por uma outra igual é equivalente à inequação original.

Propriedade da Adição Propriedade da Adição

A inequação formada pela adição do mesmo valor em A inequação formada pela adição do mesmo valor em am-bos os lados de uma inequação é equivalente à inequação bos os lados de uma inequação é equivalente à inequação original. original. 55 x x– 4– 4 x x< 6< 6 x x< 6< 6 O conjunto solução é { O conjunto solução é { x x:: x x< 6}.< 6}. 22 x x– 4 >– 4 > x x+ 6+ 6 22 x x– 4 + 4 >– 4 + 4 > x x+ 6 + 4+ 6 + 4 22 x x>> x x+ 10+ 10 22 x x+ (–+ (– x x) >) > x x+ 10 + (–+ 10 + (– x x)) x x> 10> 10 A altura

A alturaH H em polegadas e a idadeem polegadas e a idade A Aem anos para meninos entre 4 e em anos para meninos entre 4 e 16 anos estão relacio-16 anos estão relacio-nadas de acordo com a seguinte equação

nadas de acordo com a seguinte equação

H

H = 2,31= 2,31 A A+ 31,26+ 31,26

Para levar em conta a variação normal entre os meninos, a altura normal para uma dada Para levar em conta a variação normal entre os meninos, a altura normal para uma dada idade se encontra em um intervalo de

idade se encontra em um intervalo de±±5% da altura obtida pela equação.5% da altura obtida pela equação.11_{Podemos ex-}_Podemos

ex-pressar o intervalo de altura normal de um menino de uma

pressar o intervalo de altura normal de um menino de uma determinada idade na forma dedeterminada idade na forma de uma

umainequaçãoinequação. Nesta seção resolveremos inequações envolvendo uma variável elevada à. Nesta seção resolveremos inequações envolvendo uma variável elevada à primeira potência (

primeira potência (inequações linearesinequações lineares).). PRÉ-APLICAÇÃO

PRÉ-APLICAÇÃO

1.

(5)

I N E Q U A Ç Õ E S

Propriedades Exemplos

Propriedade I da Multiplicação

A inequação formada pela multiplicação de ambos os lados de uma inequação pelo mesmo valor positivoé

equivalente à inequação original.

1 2 8 1 2 2 8 2 16 x x x > > > ( ) ( ) 3 6 3 1 3 6 1 3 2 x x x < ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟ < ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟ < Propriedade II da Multiplicação

A inequação formada pela multiplicação de ambos os lados de uma inequação pelo mesmo valor negativoe

pela inversão da direção do símbolo de desigualdade é equivalente à inequação original.

− < − − > − > − x x x 6 1 6 1 6 ( ) ( ) − > − − ⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟ < − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟ < 3 27 3 1 3 27 1 3 9 x x x

Podemos representar graﬁcamente a solução de inequações em uma incógnita na reta real. Por exemplo, o gráﬁco de x< 2 consiste de todos os pontos à esquerda

de 2 na reta real. O círculo vazado no gráﬁco da Figura 4.1 indica que todos os pontos até 2, mas semincluir 2, pertencem ao conjunto solução.

7 5 6 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 FIGURA 4.1 E X E MP L O 1 Inequações Resolva a inequação s −₂ < −4

e represente graﬁcamente o conjunto solução.

SOLUÇÃO

s

−2 < −4

Multiplique ambos os lados por –2 e inverta a desigualdade.

s s − − > − − > 2 2 4 2 8 ( ) ( )

O conjunto solução é { s: s > 8}. O gráﬁco do conjunto solução é mostrado na

Figura 4.2. 10 11 8 9 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 FIGURA 4.2

(6)

Para algumas inequações, são necessárias várias operações para se encontrar seus conjuntos soluções. Neste caso, a ordem na qual as operações são realizadas é a mesma daquela usada para resolver equações lineares.

EXEMP LO 2 Solução de Inequações

Resolva a inequação 2 4 3 3 ( x − ) < x − . SOLUÇÃO 2 4 3 3 6 4 3 6 24 3 ( ) ( ) x x x x x x

− <

−

− < −

−

< −

Elimine as frações Elimine os parênteses Faça as adições e subtrações Multipli 5 21 21 5 x x

<

qque por 1₅

Agora, se quisermos conﬁrmar que esta solução é razoável, podemos substituirx

pelos valores inteiros mais próximos de 21/5 na equação original. Observe quex= 4

satisfaz a inequação, pois

2 4 4 4 3

3

[( )− ]< ( )−

mas que x= 5 não satisfaz, pois

2 5 4 5 3

3

[( )

−

]  ( )

−

Portanto, x< 21/5 é uma solução razoável.

Também podemos resolver inequações do tipo a ≤ b. Isto signiﬁca que “a

é menor do que b ou a é igual a b”. A solução de 2 x ≤ 4 é x ≤ 2, pois x < 2 é a

solução de 2 x< 4 e x= 2 é a solução de 2 x= 4.

EXEMP LO 3 Solução de Inequações

Resolva a inequação 3 x– 2≤7.

SOLUÇÃO

Essa inequação aﬁrma que 3 x – 2 = 7 ou que 3 x – 2 < 7. Resolvendo da maneira

usual, obtemos 3 x≤9, ou seja, x≤3. Então, x= 3 é a solução de 3 x– 2 = 7 e x< 3 é

a solução de 3 x– 2 < 7 e, portanto, o conjunto solução de 3 x– 2≤7 é { x: x≤3}.

O gráﬁco do conjunto solução inclui o ponto x = 3 e todos os pontos x < 3 (ver

Figura 4.3). 7 5 6 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 FIGURA 4.3

(7)

PONTOS DE CONTROLE Resolva as seguintes inequações em y.

1. 3 y– 7≤5 – y 2. 2 y+ 6>4 y+ 5 3. 4 – 3 y≥4 y+ 5

Intervalos Lembre-se da Seção 0.2, “Números Reais”, que ainequação composta–2 < x< 4 é

chamada deintervalo abertopois não inclui nenhuma das extremidades. O

interva-lo (representado graﬁcamente na Figura 4.4) é denotado por (–2, 4).

6 4 5 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4

Na Seção 0.2 também tratamos dos intervalos fechados (ambas as extremidades

incluídas) e de intervalos semi-abertos(uma extremidade incluída). A Figura 4.5

mostra o intervalo fechado –1 ≤x≤3, indicado por [–1, 3]. A Figura 4.6 mostra o

intervalo semi-aberto –2 < x≤4, indicado por (–2, 4].

4 5 3 2 1 0 –1 –2 –3 6 4 5 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4

Em geral, denotamos o intervalo fechadoa≤ x≤bpor [a,b], o intervalo

aber-toa< x<bpor (a,b) e o intervalo semi-abertoa≤ x<bpor [a,b).

PONTO DE CONTROLE Expresse cada uma das seguintes inequações em notação de intervalos e diga o tipo de intervalo.

4. 3≤ x≤6 5. –6≤ x< 4

EXE MPLO 4 Altura Normal para uma Dada Idade

A Pré-Aplicação no início desta seção descreveu como a altura e a idade são li-nearmente relacionadas para meninos entre 4 e 16 anos. Esta relação pode ser expressa por

H = 2,31 A+ 31,26

ondeH é a altura em polegadas e Aé a idade em anos. Para levar em conta a

varia-ção normal entre os indivíduos, a altura é considerada normal para uma dada idade se estiver a menos de±5% da altura obtida pela equação. Expresse na forma de

uma inequação o intervalo de altura normal de um menino com 9 anos.

SOLUÇÃO

A altura do menino a partir da fórmula éH = 2,31(9) + 31,26 = 52,05 pol (1,32 m).

Para a altura de um menino de 9 anos ser considerada normal, H deveria estar a

menos de±5% de 52,05 pol. Isto é, a alturaH do menino será considerada normal

seH ≥ 52.05 – (0,05)(52,05) eH ≤52,05 + (0,05)(52,05). Podemos expressar este

intervalo de altura normal por meio da inequação

52.05 – (0,05)(52,05) ≤H ≤52,05 + (0,05)(52,05), ou seja, 49,45≤H ≤54,65. FIGURA 4.4 FIGURA 4.5 FIGURA 4.6

(8)

SOLUÇÕES DOS

PONTO DE CONTROLE 1. 3 y– 7

≤5 – y 2. 2 y+ 6>4 y+ 5 3. 4 – 3 y≥4 y+ 5

4 y– 7≤5 6>2 y+ 5 4≥7 y+ 5

4 y≤12 1>2y –1≥7 y

y≤3 y< 1

2 y≤

−

1 7

4. [3, 6]; intervalo fechado 5. [–6, 4); intervalo semi-aberto

4.1 Exercícios

Nos Problemas 1 a 10, resolva cada inequação.

1. 2 x+ 1 < x– 3 2. 3 x– 1≥2 x+ 2 3. 3( x– 1) < 2 x– 1 4. 2( x+ 1) > x– 1 5. 1 – 2 x> 9 6. 17 – x< –4 7. 3 1 2 2 ( x ) x − ≤ − 8. x −1+ > + x 2 1 1 9. 2 9 2 4 3 6 8 5 5 , ( x − ) ≥ , x − , 10. 2 2 3 1 5 3 4 6 6 1 8 , ( , x − ) ≤ ( , − , x)

Nos Problemas 11 a 22, resolva cada inequação e repre-sente graﬁcamente a solução.

11. 3( x– 1) < 2 x 12. 3( x+ 2)≥4 x+ 1 12. 2( x– 1) – 3 > 4 x+ 1 14. 7 x+ 4≤2( x– 1) 15. x x 3 > −1 16. x x − ≥ 3 4 2 17. −3 > 2 9 x _18. −2 _{≤ −} 5 10 x 19. 3 4 1 6 2 1 3 x x x − < − ( − ) 20. 4 3 3 1 2 5 12 x _{− > +} x 21. 3 4 1 3 1 2 3 1 2 x x − < − ⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟ 22. x x x 2 4 5 3 1 10 2 − > ( − )−

Nos Problemas 23 a 30, escreva uma inequação que des-creva cada intervalo ou gráﬁco.

23. (–1 2, 3] 24. [–3, 5) 25. (1, 4) 26. [3, 7] 27. ₀ ₂ ₄ ₆ ₈ 28. 0 2 4 6 8 29. 10 30 50 0 –50 –30 –10 –22 30. 6 4 2 0 –2 –4 –1,2

Nos Problemas 31 a 40, expresse cada inequação ou gráﬁco usando a notação de intervalo e diga o tipo de intervalo. 31. 1 < x≤3 32. –4≤ x≤3 33. ₀ ₂ ₄ ₆ ₈ ₁₀ 34. _–2 ₀ ₂ ₄ ₆ 35. _–4 _–2 ₀ ₂ ₄ 36. _–6 _–4 _–2 ₀ ₂ 37. –4 < x< 3 38. –6≤ x≤–4 39. 4 ≤ x≤6 40. –2≤ x≤–1 APLICAÇÕES

41. Lucro Para um determinado produto, a função de receita éR( x) = 40 xe a função de custo éC ( x) = 20 x

+ 1.600. Para obter-se lucro, a receita deve ser maior do que o custo. Para quais valores de x teremos

lu-cro? Represente graﬁcamente a solução.

42. Aluguel de carro A Thrift yaluga um modelo

com-pacto por $ 33 a diária enquanto a Buget aluga um carro similar por $ 20 a diária mais uma taxa inicial de $ 78. Por quantos dias seria mais barato alugar da Budget? Represente graﬁcamente a solução.

43. Compras Sean pode gastar no máximo $ 900 por uma câmera de vídeo e algumas fitas. Ele pretende comprar a câmera por $ 695 e as fitas por $ 5,75 cada uma. Construa uma inequação que poderia ser usada para encontrar o número de fitas ( x) que ele poderia

comprar. Quantas ﬁtas ele poderia comprar?

44. Impostos Em Sweetwater, Arizona, as contas de água são tributadas em termos do valor da conta mensal de modo a estimular a economia do consumo

(9)

de água. Se a conta for maior do que $ 0 mas menor do que $ 60, o imposto será de 2% do valor da conta; se a conta for de $ 60 ou mais, mas menos do que $ 80, o imposto será 4% do valor da conta; e se a conta for de $ 80 ou mais, o imposto será de 6% do valor da conta. Construa inequações que representem o valor de imposto devido em cada um dos três casos.

45. Imposto de renda As faixas de tributação para uma pessoa solteira reivindicando isenção pessoal são as seguintes:

Renda Tributável I ($) Imposto T

0–27.050 15%I

27.051–65.550 27,5% (I – 27.050) + 4.057,50 65.551–136.750 30,5% (I – 65.550) + 14.645,00 136.751–297.350 35,5% (I – 136.750) + 36.361,00 Acima de 297.350 39,1% (I – 297.350) + 93.374,00

Fonte:1040 Forms and Instructions, IRS, 2001

(a) Escreva as faixas de renda da tabela na forma de inequações.

(b) Para cada faixa de renda, escreva a inequação que representa o valor de imposto devido. 46. Estatísticas na Saúde A partir dos dados

adapta-dos do National Center for Health Statistics, a altura

H em polegadas e a idade Aem anos para meninos

entre 4 e 16 anos de idade estão relacionadas de acordo com a seguinte equação

H = 2,31 A+ 31,26

Para levar em conta a variação normal entre os me-ninos, a altura normal para uma dada idade está a menos de±5% da altura obtida pela equação.

(a) Encontre o intervalo de altura normal para um menino com 10,5 anos e expresse-o na forma de uma inequação.

(b) Encontre o intervalo de altura normal para um menino com 5,75 anos e expresse-o na forma de uma inequação.

47. Índice de Sensação de Calor Durante o verão de 1998, a cidade de Dallas, no Texas, enfrentou 29 dias consecutivos em que a temperatura era de pelo me-nos 110º F. Em muitos destes dias, a combinação de calor e umidade dava uma sensação de calor ainda maior do que realmente estava. Quando a tempe-ratura for de 110º F, a tempetempe-ratura aparente A (ou

índice de sensação de calor) dependerá da umidade

h(expressa na forma decimal) de acordo com a

fór-mula abaixo

A= 90,2 + 41,3h*

(a) Para quais níveis de umidade a temperatura apa-rente é de pelo menos 110º F? (Observe que esta resposta será um intervalo fechado. Por quê?) (b) Para quais níveis de umidade a temperatura

apa-rente é de pelo menos 100º F? (Note que esta resposta será um intervalo fechado. Por quê?) 48. Friagem do vento A combinação de temperaturas

frias e da velocidade de vento determinam o que é chamado friagem do vento. A friagem do vento é uma temperatura que é a equivalente no ar estacionário da combinação de frio e vento. Quando a velocidade do vento for de 25 mph, a friagem do ventoFV

de-penderá da temperaturat (em graus Fahrenheit) de

acordo com a equação

FV = 1,479t – 43,821

Para quais temperaturas se tem uma sensação de pelo menos 30º F a menos do que a temperatura do ar? Isto é, encontret tal queFV ≤t – 30.

49. Estatísticas de Saúde A temperatura normal do corpo é de 98,6º F. Qual temperatura C em ºC

cor-responde aF ≥98,6º se_F = 9_C+ 5 32?

50. Vendas Um vendedor tem um ganho mensal I

dado pela fórmula I = 1.000 + 0,062 S, onde S é o

volume mensal de vendas. Quanto ele deve vender para ganhar pelo menos $ 3.500 em um mês?

51. Fluxo de tráfego O problema de ﬂuxo de tráfego ilustrado na Figura 4.7 apareceu como Problema 64 da Seção 3.3, “Eliminação de Gauss-Jordan: Resolvendo Sistemas de Equações”, onde x₁, x₂, x₃e x₄

represen-tam o número de veículos nas ruas indicadas.

Saída 200 Entrada 200 Entrada 200 Saída 800 Saída 100 Entrada 300 Entrada 500 Saída 100 A x₁ D x₃ B C x₄ x₂

*Bosch, W. e C. G. Cobb, Temperature-Humidity Indices, UMAP

(10)

FIGURA 4.7

A solução para este problema é descrita como segue:

x₁= x₄+ 100 x₂= x₄+ 200 x₃= x₄+ 300

Como o número total de carros no sistema é 1.200 e cada variável tem que ser não-negativa, podemos deduzir as seguintes inequações:

x₄+ 100≤1200 (1)

x₄+ 200≤1200 (2)

x₄+ 300≤1200 (3)

x₄≥0 (4)

(a) Resolva cada inequação em x₄.

(b) Determine um intervalo para x₄ que satisfaça

todas estas inequações. (Sugestão: Encontre a

interseção dos gráﬁcos das soluções.)

(c) Use o intervalo de (b) para determinar um inter-valo para cada uma das demais variáveis.

52. Nutrição O Problema 63 da Seção 3.3, “Eliminação de Gauss-Jordan: Resolvendo Sistemas de Equações”, descrevia como um botânico poderia comprar quatro tipos diferentes de fertilizantes com diversos valores

nutricionais. Se x₁ representa o número de sacos do

fertilizante I que foram adquiridos, x₂ representa o

número de sacos do fertilizante II e assim por diante, então o número de sacos de cada fertilizante que o botânico pode adquirir e, ao mesmo tempo, atender às exigências dadas no Problema 63 daquela seção pode ser descrito por:

x₁= 160 – x₄ x₂= 2 x₄– 220

x₃= x₄+ 70

Como cada variável deve ser não-negativa, podemos deduzir as seguintes inequações:

160 – x₄≥0

2 x₄– 220 ≥0

x₄+ 70≥0

x₄≥0

(a) Resolva cada inequação em x₄.

(b) Determine um intervalo para x₄que resolva

to-das estas inequações.

(c) Determine um intervalo para cada uma das de-mais variáveis.

4.2 _{Inequações Lineares em Duas Variáveis}

OBJETIVOS

Representar graﬁcamente inequa-ções em duas variáveis

Resolver sistemas de inequações lineares em duas variáveis



Uma agência de aluguel de carros tem no máximo $ 240.000 para investir na compra de, no máximo, 13 carros de dois tipos diferentes, compacto e grande. O custo por carro com-pacto é de $ 15.000 ao passo que o custo por carro grande é de $ 24.000. O número de carros de cada tipo é limitado (restrito) pelo orçamento disponível e pelo número de car-ros necessários. Estasrestriçõespodem ser expressas por umsistema de inequaçõesem duas variáveis. Resolver o sistema de inequações é encontrar os valores que satisfazem todas estas restrições ao mesmo tempo.

PRÉ-APLICAÇÃO

Inequação Linear em Duas

Variáveis Antes de estudarmos sistemas de inequações, discutiremos soluções de uma ine-_{quação em duas variáveis tal como}_y_<_x_{. As soluções para esta inequação são os}

pares ordenados ( x, y) que satisfazem a inequação. Portanto, (1, 0), (3, 2), (0, –1) e

(–2, –5) são soluções de y< x, porém (3, 7), (–4, –3) e (2, 2) não são.

O gráﬁco de y< xé formado por todos os pontos cuja coordenadayseja menor

do que a coordenada x. O gráﬁco da região y< xpode ser encontrado traçando a

(11)

separa o plano xy em dois semiplanos, y < x e y > x. Podemos determinar qual

semiplano é a região de soluções selecionando como ponto de teste qualquer

ponto que não se encontre sobre a reta; escolhamos (2, 0). Como as

coordena-das deste ponto de teste satisfazem a inequação y < x, o semiplano contendo

este ponto é a região de soluções para y< x (ver Figura 4.8). Se as coordenadas

do ponto de teste não satisﬁzerem a inequação, então o outro semiplano será a região de soluções. Digamos, por exemplo, que tivéssemos escolhido (0, 4) para ponto de teste. Suas coordenadas não satisfazem y < xe, portanto, o semiplano

que não contém (0, 4) é a região de soluções. (Observe que obtemos a mesma

região.) –8 –6 –4 2 4 6 8 10 (2, 0) (0, 4) –8 –6 –4 2 4 6 8 10 y Semiplano y < x Semiplano y > x

EX EM PLO 1 Representando Inequações Graﬁcamente

Represente graﬁcamente a inequação 4 x– 2 y≤6.

SOLUÇÃO

Primeiro, traçamos a reta 4 x – 2 y = 6 ou, de

forma equivalente, y = 2 x– 3, como uma linha

cheia pois os pontos que estão na reta satisfa-zem a inequação dada. Em seguida, escolhemos um ponto de teste que não se encontre sobre a reta. Se usarmos (0, 0), veremos que suas coor-denadas satisfazem 4 x– 2 y≤6 ⎯ isto é, y≥2 x

– 3. Portanto, a região de soluções é a reta y= 2 x

– 3 e o semiplano que contém o ponto de teste (0, 0). Ver Figura 4.9 ao lado.

As calculadoras com recursos gráﬁcos também podem ser usadas para som-brear a região de soluções de uma inequação. A Figura 4.10 na página seguinte mostra uma janela de uma calculadora gráﬁca para a solução de 4 x– 2 y ≤6 ou

y≥ 2 x– 3. FIGURA 4.8 –5 –4 –3 –2 –1 2 3 4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x y y 2 x 3 FIGURA 4.9 A 1 2 3 B C Observação Tecnológica ³   - 

(12)

–10 10

Sistema de Inequações Lineares

Se tivermos duas inequações em duas variáveis, poderemos encontrar as solu-ções que satisfazem ambas as inequasolu-ções. Chamamos as inequasolu-ções de umsistema de inequações e a solução para o sistema pode ser encontrada determinando-se a

interseção dos conjuntos soluções das duas inequações.

O conjunto solução do sistema de inequações pode ser encontrado represen-tando-se graﬁcamente as inequações no mesmo conjunto de eixos e observando-se seus pontos de interseção.

EX EM PLO 2 Solução Gráﬁca de um Sistema de Inequações

Represente graﬁcamente a solução do sistema

3 2 4 3 0 x y x y − ≥ + − > ⎧ ⎨ ⎩ SOLUÇÃO

As inequações podem ser escritas na forma

y x y x ≤ − > − + 3 2 2 3 Traçamos y = 3

2 x – 2 como uma reta cheia e y = – x+ 3 como uma reta tracejada

(ver Figura 4.11(a)). Usamos qualquer ponto que não se encontre sobre nenhuma das retas como ponto de teste; escolhamos, por exemplo, (0, 0). Observe que as coordenadas (0, 0) não satisfazem y > – x + 3 nem y ≤ 3₂ x – 2. Portanto, a região

de soluções para cada uma das inequações é o semiplano que não contém o ponto (0, 0). A Figura 4.11(b) indica o semiplano solução para cada inequação com setas apontando da reta para o semiplano desejado (longe do ponto de teste). Os pon-tos que satisfazem ambas as inequações estão na interseção das duas regiões de soluções, como indicado na Figura 4.11(c). Estaregião de soluções é o gráﬁco da

solução para este sistema de inequações.

–5 –4 –3 –2 –1 2 3 4 5 –5 –4 –2 –1 1 2 3 4 5 x y y 3 y 2 (a) –5 –4 –3 –2 –1 2 3 4 5 –5 –4 –2 –1 1 2 3 4 5 x y y= − x+3 y= 3 x−2 2 (b) FIGURA 4.10  = - x  +  =   x 3 2 - 

(13)

–5 –4 –3 –2 –1 2 3 4 5 –5 –4 –2 –1 1 2 3 4 5 x y y 3 y 2 (2, 1) (c)

O ponto (2, 1) na Figura 4.11(c), onde as duas regiões formam um “canto” (vértice), é encontrado resolvendo-se simultaneamente asequações y= 3

2 x– 2 e y= – x+ 3.

EX EM PLO 3 Solução Gráﬁca de um Sistema de Inequações

Represente graﬁcamente a solução do sistema

x y x y x y

+

≤

+ ≤

≥

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪

2 10 2 14 0 0 SOLUÇÃO

As duas inequações x ≥0 e y≥ 0 restringem a solução ao primeiro quadrante (e

aos eixos que limitam o primeiro quadrante).

Procuramos pontos no primeiro quadrante (sobre ou acima de y = 0 e sobre

ou à direita de x= 0) que satisfaçam x + 2 y≤10e 2 x+ y≤14. Podemos escrever

estas inequações em suas formas equivalentes y≤5 – 1

2 xe y≤14 – 2 x. Os pontos

que satisfazem estas inequações (no primeiro quadrante) são mostrados pela área sombreada da Figura 4.12. Podemos observar a partir do gráﬁco que os pontos (0, 0), (7, 0) e (0, 5) são vértices da região de soluções. O vértice (6, 2) é encontrado resol-vendo-se, simultaneamente, asequações y= 5 – 1

2 xe y= 14 – 2 x: 5 1 2 14 2 3 2 9 6 2 − = − = = = x x x x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 x y (6, 2) (7, 0) (0, 0) (0, 5) 2 x + y = 14 x + 2 y = 10 FIGURA 4.12

Veremos que os vértices da região de soluções são importantes na resolução de problemas de programação linear.

FIGURA 4.11

 = - x  + 

=   x

3 2 - 

(14)

Muitas aplicações restringem as variáveis a serem não-negativas (como x≥0

e y≥0 no Exemplo 3). Conforme observado, o efeito desta restrição é o de limitar

a solução ao primeiro quadrante e aos eixos que o limitam. Retornemos agora à Pré-Aplicação.

EXEMP LO 4 Restrições Comerciais

Uma agência de aluguel de carros tem no máximo $ 240.000 para investir na com-pra de, no máximo, 13 carros de dois tipos diferentes, compacto e grande. O custo por carro compacto é de $ 15.000 ao passo que o custo por carro grande é de $ 24.000. Escreva o sistema de inequações que descreve as restrições e represente graﬁcamente a região de soluções do sistema.

SOLUÇÃO

Sexrepresentar o número de carros compactos eyrepresentar o número de carros

grandes, então o número de carros será limitado por x+ y≤13. A limitação de

fun-dos disponíveis é dada por 15.000 x+ 24.000 y≤240.000. Como o número de carros

tem que ser não-negativo, o sistema de inequações é

x+ y≤13

15.000 x+ 24.000 y≤ 240.000

x≥0

y≥0

A região de soluções é mostrada na Figura 4.13. A região de soluções possui vérti-ces em (0, 0), (13, 0), (8, 5) e (0, 10). O vértice em (8, 5) é encontrado resolvendo-se, simultaneamente, x+ y= 13 e 15.000 x+ 24.000 y= 240.000.

2 4 6 8 10 12 14 16 2 4 6 8 10 12 14 x y (0, 10) (0, 0) (13, 0) (8, 5) 15.000 x + 24.000 y = 240.000 x + y = 13

PONTO DE CONTROLE 1. Represente graﬁcamente a região determinada pelas inequações 2 x+ 3 y≤12

4 x+ 2 y≤ 16

x≥0

y≥0

2. Determine os vértices da região.

(15)

EXEMPLO 5 Região de Soluções

Represente graﬁcamente a região determinada pelas seguintes inequações: 3 x+ y≥6

x+ 2 y≥7

x+ 4 y≥11

x≥0, y≥0

SOLUÇÃO

As duas inequaçõesx≥0 ey≥0 restringem a solução ao primeiro quadrante e aos

eixos que o limitam. Aequação3 x+ y= 6 pode ser traçada pelas interseções com

os eixosxe y; a região que satisfaz a inequação 3 x+y≥6 não incluix= 0,y= 0, de

modo que a região se encontra “para fora” da reta, conforme ilustrado na Figura 4.14(a). Aequação x+ 2 y = 7 pode ser traçada pelas interseções com os eixos xe

y; a região que satisfaz a inequação x+ 2 y ≥7 não inclui x= 0, y= 0 e, portanto, a

região se encontra “para fora” da reta. Resolvendo o sistema

3 6 2 7 x y x y + = + = ⎧ ⎨ ⎩

obtemos x = 1, y = 3 de modo que a região que satisfaz estas duas inequações é

aquela indicada na Figura 4.14(b). A equação x + 4 y = 11 pode ser traçada pelas

interseções com os eixosxe y; a região que satisfaz a inequação x+ 4 y≥11 não

in-cluix= 0,y= 0, de modo que a região se encontra “para fora” da reta. Resolvendo

o sistema x y x y + = + = ⎧ ⎨ ⎩ 2 7 4 11

obtemos x = 3, y = 2 de modo que a região que satisfaz estas três inequações é

aquela indicada na Figura 4.14(c). Os pontos (0, 6), (1, 3), (3, 2) e (11, 0) são os vértices da região que satisfaz todas as inequações.

2 4 6 8 10 2 4 6 8 x y 3 x + y = 6 (a) 2 4 6 8 10 2 4 6 8 x y 3 x + y = 6 x + 2 y = 7 (1, 3) (b) FIGURA 4.14 (continuação)

(16)

2 4 6 8 10 2 4 6 8 x y (c) 3 x + y = 6 x+ 4 y = 11 x+ 2 y = 7 (1, 3) (3, 2)

Diversos programas de computador poupam tempo e energia consider áveis na de-terminação de regiões que satisfaçam um sistema de inequações. As calculadoras com recursos gráﬁcos também podem ser usadas na solução gráﬁca de um sistema de inequações.

EX EM PLO 6 Região de Soluções via tecnologia

Use uma ferramenta gráﬁca para encontrar o seguinte:

(a) Encontre a região determinada pelas inequações a seguir. 5 x+ 2 y≤54

2 x+ 4 y≤60

x≥0

y≥0

(b) Encontre os vértices da região.

SOLUÇÃO

(a) Escrevemos as inequações acima na forma de inequações com y isolado no lado esquerdo.

Representando graﬁcamente estas inequações com uma calculadora gráﬁca, usando sombrea-dos, obtemos a região que satisfaz as inequações (ver Figura 4.15 ao lado).

(b) Algumas ferramentas são capazes de determinar os pontos de interseção de duas equações com o comando INTERSECT. Este comando pode ser usado para encontrar a interseção do par de equações de (a). Com outras ferramen-tas gráﬁcas, usando o comando SOLVER ou INTERSECT em pares de referramen-tas que formam as fronteiras desta região, obtemos os pontos onde as fronteiras se interceptam. Estes pontos, (0, 0), (0, 15), (6, 12) e (10,8, 0), também podem ser encontrados algebricamente. Eles são os vértices da região de soluções. Estes vértices serão importantes para a solução gráﬁca de problemas de programa-ção linear, na próxima seprograma-ção.

FIGURA 4.14 FIGURA 4.15 0 30 0 30 A 1 2 3 B C A 1 2 3 B C

(17)

SOLUÇÕES DO PONTO DE CONTROLE 1. 2 4 6 2 6 4 8 x y 4 x + 2 y = 16 2 x + 3 y = 12

2. Os vértices ocorrem em (0, 0) e ondex= 0 ouy

= 0; x= 0 fornecey= 4 e y= 8 e, portanto, (0,

4) é um vértice; y= 0 fornece x= 6 e x= 4 e,

então, (4, 0) é um vértice. Um vértice também ocorre onde 2 x+ 3 y= 12 e 4 x+ 2 y= 16 se

in-terceptam. O ponto de interseção éx= 3,y= 2

e, portanto, (3, 2) é um vértice.

4.2 Exercícios

Nos Problemas 1 a 8, represente graﬁcamente cada ine-quação. 1. y≤2 x– 1 2. y≥4 x– 5 3. x y 2+ <4 1 4. x y − < − 3 2 3 5. 2( x– y) <y+ 3 6. 2( x– y)≥x+ 4 7. 0,4 x≥0,8 8.

− >

y 8 1 4

Nos Problemas 9 a 14, são mostrados, juntamente com o sistema, os gráﬁcos das equações das fronteiras de cada sistema de inequações. Localize a região de soluções e encontre os vértices. 9. x y x y x y + ≤ + ≤ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 4 60 4 2 100 0 0 x y 4 x 2 y = 100 x 4 y = 60 10. 4 3 240 5 110 0 0 x y x y x y + ≤ − ≤ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ x y 5 x y 110 4 x 3 y 240 11. − + ≤ + ≤ + ≤ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ x y x y x y x y 4 3 20 5 2 35 0 0 y x 5 x 2 y 35 x 3 y 20 x y 4 12. x y x y x y x y + ≤ + ≤ + ≤ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 2 20 3 4 48 3 2 42 0 0 y x x 2 y 20 3 x x +    +    -   =   +   =  +   =  +   =  - +   =  +   =  +  4 y 48 3 x 2 y 42 13. x y x y x y x y + ≥ + ≥ + ≥ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 3 6 2 4 10 3 5 0 0 y 3 x y 5 2 x 4 y 10 x 3 y 6  =  +   =  +   =  +   =  +   = 

(18)

14. x y x y x y x y + ≥ + ≥ + ≥ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ 4 10 4 2 10 4 0 0 x y x 4 y 10 x y 4 4 x 2 y 10

Nos Problemas 15 a 30, represente graﬁcamente a solu-ção de cada sistema de inequações.

15. y x y x < > − ⎧ ⎨ ⎩ 2 1 16. y x y x > − < + ⎧ ⎨ ⎩ 3 4 2 3 17. 2 3 2 1 x y x y + < − ≥ − ⎧ ⎨ ⎩ 18. 3 4 2 1 x y x y + > − < − ⎧ ⎨ ⎩ 19. y x y x y ≥ − ≥ + ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 3 2 3 1 2 1 2 20. y x y x x y ≤ + ≥ − ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 1 2 1 0, 0 21. x y x y x y + ≤ + ≤ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 5 200 2 3 134 0, 0 22. − + ≤ + ≤ + ≤ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ x y x y x y x y 2 2 10 3 15 0, 0 23. x y x y x y x y + ≤ + ≤ + ≤ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 2 48 30 2 50 0, 0 24. 3 9 3 2 12 2 8 0 0 x y x y x y x y

+

≤

+

≤

+

≤

≥

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪

, 25. x y x y x y + ≥ + ≥ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 19 3 2 29 0, 0 26. 4 12 9 3 15 0 0 x y x y x y x y + ≥ + ≥ + ≥ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ _, 27. x y x y x y x y + ≥ + ≥ + ≥ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 3 3 2 3 5 2 3 0, 0 28. x y x y x y x y + ≥ + ≥ + ≥ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 2 10 2 11 9 0, 0 29. x y x y x x y + ≥ − + ≤ ≥ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 2 20 3 2 4 12 0, 0 30. 3 2 75 3 5 30 40 0 0 x y x y y x y + ≥ − + ≥ ≤ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ _, APLICAÇÕES

31. Administração A Wellbuilt Company produz dois modelos de plainas para madeira, Econômico e Luxo. O modelo Luxo requer 3 horas para a monta-gem e 1/2 hora para a pintura ao passo que o modelo Econômico precisa de 2 horas para a montagem e de

1 hora para a pintura. O número máximo de horas de montagem disponíveis por dia é de 24 ao passo que o número máximo de horas de pintura é de 8 por dia.

(a) Escreva o sistema de inequações que descreve as restrições na fabricação destes modelos.

(b) Represente graﬁcamente a solução para o siste-ma de inequações e encontre os vértices da re-gião de soluções.

32. Ambientes de aprendizagem Uma experiência que envolve aprendizagem por parte dos animais exige a colocação de ratos brancos e coelhos em ambien-tes distintos e controlados, chamados de Ambiente I e Ambiente II. O tempo máximo disponível no Ambiente I é de 500 minutos ao passo que no Ambiente II é de 600 minutos. Os ratos brancos têm que passar 10 minutos no Ambiente I e 25 minutos no Ambiente II ao passo que os coelhos devem per-manecer 15 minutos no Ambiente I e 15 minutos no Ambiente II.

(a) Escreva um sistema de inequações que descreva as restrições na experiência.

(b) Represente graﬁcamente a solução para o siste-ma de inequações e encontre os vértices da re-gião de soluções.

33. Produção Uma empresa fabrica dois tipos de apa-radores de sebe elétricos, um dos quais é sem fio. O modelo com fio precisa de 2 horas para ser fabricado e o sem fio, de 4 horas. A empresa tem apenas 800 ho-ras de trabalho disponíveis para serem usadas na fa-bricação a cada dia e o departamento de embalagem é capaz de embalar apenas 300 aparadores por dia. (a) Escreva as inequações que descrevem estas

res-trições sobre a produção.

(b) Represente graﬁcamente a região determinada pelas inequações de restrições.

34. Manufatura Uma empresa fabrica parafusos de ﬁxação para pára-choques e para pára-lamas de au-tomóveis. Uma máquina é capaz de produzir 130 pa-rafusos para pára-lamas por hora ao passo que uma outra produz 120 parafusos para pára-choques por hora. O número combinado de parafusos de ﬁxação para pára-lamas e pára-choques que o departamen-to de embalagem é capaz de manipular é de 230 por hora.

(a) Escreva as inequações que descrevem estas res-trições sobre a produção.

(b) Represente graﬁcamente a região determinada por estas inequações de restrições.

35. Propaganda A Apex Motors fabrica carros de luxo e utilitários esportivos. A clientela mais provável são homens e mulheres com altos salários. Os gerentes

+   =  +   = 

(19)

da empresa querem iniciar uma campanha publicitá-ria visando estes grupos de clientes. Eles pretendem colocar anúncios breves de 1 minuto em programas de negócios/investimentos, que podem atingir 7 mi-lhões de mulheres e 4 mimi-lhões de homens de seus grupos-alvo. Os gerentes também planejam lançar anúncios de 1 minuto durante eventos esportivos, quando podem atingir 2 milhões de mulheres e 12 milhões de homens de seus grupos-alvo. A Apex acredita que os anúncios precisam atingir pelo me-nos 30 milhões de mulheres e pelo meme-nos 28 milhões de homens que são clientes em potencial.

(a) Escreva as inequações que descrevem as restrições que inﬂuenciam no alcance destes grupos-alvo. (b) Represente graﬁcamente a região determinada

por estas inequações de restrições.

36. Manufatura A Video Star Company fabrica dois modelos diferentes deDVD players, que são

monta-dos em duas linhas de montagem. A Linha 1 é capaz de montar 30 unidades do modelo Star e 40 unidades do modelo Prostar por hora e a Linha 2 pode montar 150 unidades do modelo Star e 40 unidades do mo-delo Prostar por hora. A empresa precisa produzir pelo menos 270 unidades do modelo Star e 200 uni-dades do modelo Prostar para atender a um pedido de compra.

(a) Escreva as inequações que descrevem estas res-trições de produção.

37. Política Um candidato pretende usar uma combi-nação de anúncios de rádio e televisão em sua cam-panha. Pesquisas demonstraram que cada anúncio de 1 minuto na TV atinge 0,09 milhão de pessoas e que cada anúncio de 1 minuto no rádio atinge 0,006 milhão. O candidato acredita que ele precise atingir pelo menos 2,16 milhões de pessoas e que ele deve adquirir pelo menos 80 minutos de propaganda. (a) Escreva as inequações que descrevem suas

ne-cessidades.

38. Nutrição Em uma ala de um hospital, os pacientes podem ser agrupados em duas categorias gerais

de-pendendo de suas condições e da quantidade de ali-mentos sólidos que eles precisam na sua dieta. Uma combinação de duas dietas é usada para alimentos sólidos, pois elas fornecem os nutrientes essenciais para recuperação. A tabela a seguir sintetiza os gru-pos de pacientes e suas necessidades mínimas diárias.

Dieta A Dieta B

Necessidades Diárias Grupo 1 4 onças por porção 1 onça por porção 26 onças Grupo 2 2 onças por porção 1 onças por porção 18 onças

(a) Escreva as inequações que descrevem estas ne-cessidades.

39. Manufatura Uma empresa de salsichas fabrica dois tipos de salsichas para cachorro-quente, nor-mal e especial. Cada libra de salsicha especial re-quer 0,75 lb de carne bovina e 0,2 lb de temperos e cada libra de salsicha normal precisa de 0,18 lb de carne suína, 0,3 lb de carne suína e 0,2 lb de tem-peros. Os fornecedores podem entregar no máximo 1.020 lb de carne bovina, no máximo 6.00 lb de car-ne suína e pelo menos 500 lb de temperos.

(a) Escreva as inequações que descrevem estas ne-cessidades.

40. Manufatura Um fabricante produz dois tipos de cereais matinais, Senior Citizen’s Feast e Kids Co. Cada libra de Senior Citizen’s Feast utiliza 0,6 lb de trigo e 0,2 lb de xarope enriquecido com vitaminas e cada libra de Kids Co. utiliza 0,4 lb de trigo, 0,2 lb de açúcar e libra de xarope enriquecido com vitaminas. Os fornecedores são capazes de entregar no máximo 2.800 lb de trigo, no máximo 800 lb de açúcar e pelo menos 1.000 lb de xarope enriquecido com vitaminas. (a) Escreva as inequações que descrevem estas

ne-cessidades.

(20)

Regiões e Soluções Viáveis Os problemas de programação linear geralmente envolvem muitas variáveis, po-rém, nesta seção nos restringiremos a problemas envolvendo duas variáveis. Com duas variáveis podemos usar métodos gráﬁcos para ajudar a resolver o problema. As restrições formam um sistema de inequações lineares em duas variáveis que podemos resolver graﬁcamente. A solução do sistema de inequações de restrições determina uma região, qualquer um de seus pontos pode fornecer o valor ótimo

(máximo ou mínimo) da função objetivo. A região determinada pelas restrições devem ser convexa para que os métodos da programação linear sejam válidos. Uma região é convexa se para quaisquer dos pontos da região da reta ligando estes pontos ﬁca inteiramente dentro da região. Restringimos nossas discussões à região convexa. Portanto, qualquer ponto da região determinada pelas restrições é cha-mado de umasolução viávele a região é chamada deregião viável.

Em um problema de programação linear procuramos a solução viável que ma-ximize (ou minimize) a função objetivo. Suponhamos, por exemplo, que queiramos maximizar a função C = 2 x + ysujeita às restrições x≥0, y≥0, x + 3 y≤ 6 e x+ y ≤4. O conjunto solução (região viável) para o sistema de restrições é mostrado

na Figura 4.16(a). Qualquer ponto no interior da região sombreada ou em sua

fronteira é uma solução viável para o problema. Para determinar qual ponto irá maximizar a função objetivo, traçamosC = 2 x+ y, para diferentes valores deC , no

mesmo gráﬁco que contém a região viável. Os diferentes valores de C mudam a

posição da reta,mas o coeﬁciente angular da retanão muda. FazendoC = 0, 2, 3, 7

e 8, obtemos os gráﬁcos indicados na Figura 4.16(b). Se qualquer parte da reta cair dentro da região viável, teremos soluções viáveis.

Como estamos à procura dos valores dexeyque irão maximizar 2 x+ y, sujeito

às restrições, continuamos a tentar valores maiores para C enquanto algum trecho da reta interceptar a região viável. Observando a Figura 4.16(b), ﬁca claro que qualquer valor deC maior do que 8 fará que a retaC = 2 x+y“caia fora” da região

e, portanto, o valor máximo de 2 x+ y, sujeito às restrições, é 8. O ponto onde a reta

8 = 2 x+yintercepta a região viável é (4, 0) e, portanto, a função 2 x+ yé

maximi-zada quandox= 4,y= 0.

4.3 _{Programação Linear: Métodos Gráﬁcos}

OBJETIVO

Usar métodos gráﬁcos para encontrar o valor ótimo de uma função linear sujeita a restrições



Muitos problemas práticos em negócios e economia envolvem relações complexas entre capital, matéria-prima, trabalho e assim por diante. Consideremos o exemplo a seguir.

Suponha que duas fábricas químicas produzam três tipos de fertilizante: fertilizantes com baixo teor de fósforo (BTF), com médio teor de fósforo (MTF) e com alto teor de fósforo (ATF). O fertilizante é produzido em um único lote de modo que os três tipos de produtos são fabricados em proporções ﬁxas. A fábrica localizada em M acon produz 1 t de BTF, 2 t de MTF e 3 t de ATF em uma única operação e e la cobra $ 600 por tudo aquilo que é produzido em uma operação, ao passo que uma operação da fábrica localizada em Jonesboro produz 1 t de BTF, 5 t de MTF e 1 t de ATF e cobra $ 1.000 por tudo aquilo que é produzido em uma operação. Caso um cliente precise de uma quantidade especíﬁca de cada tipo de fer-tilizante, o custo mínimo pode ser encontrado usando uma técnica matemática chamada

programação linear. A programação linear pode ser usada para resolver problemas como este no em que caso as limitações nas variáveis (chamados de restrições)puderem ser expressas como inequações lineares e a função a ser maximizada ou minimizada (denomi-nadafunção objetivo) for uma função linear.

(21)

Observe que a função objetivo foi maximizada em um dos vértices da região viável. Suponha que queiramos maximizarP = x+ 2 yna região de restrições

mostra-da na Figura 4.16(a). Novamente, poderíamos escolher diversos valores para P e

traçar as retas correspondentes (ver Figura 4.16(c)). A ﬁgura mostra que o valor máximo éP = 5 e que ele ocorre no vértice (3, 1). Observe que, em ambos os

exem-plos, a função objetivo foi maximizada em um dos vértices da região viável.

1 2 3 4 1 2 3 x y (0, 2) (3, 1) (4, 0) (0, 0) x + 3 y = 6 x + y = 4 (a) 1 2 3 4 1 2 3 x y C 8 C 7 C 3 C 2 C 0 (b) C = 2 x + y 1 2 3 4 1 2 3 x y P 2 P 5 P 6 (c) (4, 0) (0, 0) (3, 1) (0, 2) P 0 P + 2 y FIGURA 4.16

Resolução gráﬁca A região viável da Figura 4.16 é um exemplo deregião fechada e limitada, pois ela

é inteiramente englobada pelas retas (além de incluí-las) associadas às restrições.

Soluções para Problemas de Programação Linear

1. Quando a região viável para um problema de programação linear for fechada e limitada, a função objetivo possuirá um valor máximo e um valor mínimo. 2. Quando a região viável não for fechada e limitada, a função objetivo poderá

ter apenas máximo, apenas mínimo ou então nem máximo nem mínimo. 3. Se um problema de programação linear tiver uma solução, então o valor

óti-mo (máxióti-mo ou mínióti-mo) de uma função objetivo ocorrerá em um vértice da região viável determinada pelas restrições.

4. Se a função objetivo assumir seu valor ótimo em dois vértices, então ela tam-bém assumirá este valor ótimo em qualquer ponto sobre a reta (fronteira) conectando estes dois vértices.

Portanto, para uma região fechada e limitada, podemos encontrar o valor má-ximo ou mínimo da função objetivo, calculando a função em cada um dos vértices da região viável formada pela solução das inequações de restrições. Se a região viável não for fechada e limitada, teremos de fazer uma veriﬁcação para termos certeza de que a função objetivo possui um valor ótimo.

Os passos envolvidos na resolução de um problema de programação linear são os seguintes.

(22)

P R O G R A M A Ç Ã O L I N E A R ( M É T O D O G R Á F I C O )

Procedimento Exemplo

Para encontrar o valor ótimo de uma função sujeita a restrições:

MaximizeC = 2 x+ 3 ysujeita às restrições

x y x y x y

+

≤

+

≤

≥

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪

2 10 2 14 0 0

1. Escreva a função objetivo e as inequações de restrições a partir do problema.

1. Função objetivo:C = 2 x+ 3y

Restrições:x+ 2 y≤10

2 x+y≤14

x≥0

y≥0

2. Represente graﬁcamente a solução do sistema de restrições.

(a) Se a região viável for fechada e limitada, vá

para o passo 3.

(b) Se a região viável não for fechada e limitada,

veriﬁque se existe um valor ótimo. Se não existir, dê esta resposta. Se existir, vá para o passo 3.

2. Ver Figura 4.17 abaixo.

2 4 6 8 10 2 4 6 x y C 8 C 5 C 4 C Figura 4.17

3. Encontre os vértices da região viável resultante. Isso pode exigir a solução simultânea de duas equações de fronteira.

3. Os vértices são (0, 0), (0, 5), (6, 2), (7, 0).

4. Calcule a função objetivo em cada um dos vértices da região viável determinada pelas restrições.

4. Em (0, 0),C = 2 x+ 3 y= 0

Em (0, 5),C = 2 x+ 3 y= 15

Em (6, 2),C = 2 x+ 3 y= 18

Em (7, 0),C = 2 x+ 3 y= 14

5. Se dois vértices fornecerem o valor ótimo para a função objetivo, então todos os pontos sobre a reta de fronteira conectando estes dois vértices também otimizarão a função.

5. A função é maximizada emx= 6,y= 2. O valor

má-ximo éC = 18.

EXEMP LO 1 Maximizando Receitas

A Chairco fabrica dois tipos de cadeiras, padrão e de luxo. Para as cadeiras padrão são necessárias 2 horas para montagem e acabamento, ao passo que para as cadei-ras de luxo são necessárias 3 hocadei-ras. Para as operações de tapeçaria são necessárias 1 hora para cadeiras padrão e 3 horas para as cadeiras de luxo. Há uma disponi-bilidade de 240 horas por dia para montagem e acabamento e 150 horas para as operações de tapeçaria. Se a receita proveniente de cadeiras padrão for de $ 89 por unidade e de cadeiras de luxo for de $ 133,50, quantas unidades de cada tipo deverão ser produzidas por dia para maximizar a receita?

(23)

SOLUÇÃO

Sejam xo número de cadeiras padrão produzidas por dia e yo número de

cadei-ras de luxo. Assim, a função para a receita diária será dada por R= 89 x + 133,5 y.

Existem restrições para a montagem e acabamento (não mais do que 240 horas/ dia) e para as operações de tapeçaria (não mais do que 150 horas/dia). Portanto, temos o seguinte:

Restrição de montagem/acabamento: 2 x+ 3 y≤240

Restrição para as operações de tapeçaria: x+ 3 y≤150

Como todas as quantidades devem ser não-negativas, também temos as restrições

x≥0 ey≥0.

Portanto, procuraremos resolver o seguinte problema: MaximizarR= 89 x+ 133,5 ysujeita a

2 3 240 3 150 0 0 x y x y x y + ≤ + ≤ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ _,

O conjunto viável é a região sombreada, fechada e limitada, indicada na Figura 4.18. Os vértices da região viável são (0, 0), (120, 0), (0, 50) e (90, 20). Todos estes são ób-vios, exceto (90, 20), que pode ser encontrado resolvendo simultaneamente 2 x+ 3 y=

240 ex+ 3 y= 150. Testando a função objetivo nos vértices, obtemos o seguinte:

Em (0, 0), R= 89 x+ 133,5 y= 0 Em (120, 0),R= 89 x+ 133,5 y= 10.680 Em (0, 50), R= 89 x+ 133,5 y= 6675 Em (90, 20),R= 89 x+ 133,5 y= 10.680 40 80 120 40 80 120 160 x y 2 x + 3 y = 240 x + 3 y = 150 (90, 20) 50

Portanto, a receita máxima de $ 10.680 ocorre tanto no ponto (120, 0) quanto no ponto (90, 20). Isto signiﬁca que a receita será maximizada não somente nestes dois pontos como também em qualquer ponto sobre o segmento que os une. Por exemplo, o ponto (105, 10) se encontra sobre este segmento e a receita neste ponto também é de $ 10.680:

89 x+ 133,5 y= 89(105) + 133,5(10) = 10.680

PONTO DE CONTROLE 1. A região sombreada na ﬁgura é determinada pelas seguintes restrições:

2 3 12 4 2 8 0 0 x y x y x y + ≤ − ≤ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ FIGURA 4.18

(24)

Encontre o valor máximo da função objetivof = 4 x+ 3 yna região. 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 x y (3, 2)

Embora os exemplos até aqui tenham procurado maximizar uma função obje-tivo, os mesmos procedimentos se aplicam quando se busca um mínimo.

EXEMPLO 2 Minimização

Minimize C =x+ ysujeita às restrições

3 2 12 3 11 0 0 x y x y x y + ≥ + ≥ ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ _, SOLUÇÃO

O gráﬁco do sistema de restrições é indicado na Figura 4.19. Observe que embora a região viável não seja fechada e limita, a função objetivo tem efetivamente um mí-nimo (mas não um máximo). Assim, os vértices ainda são a chave para a solução.

2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 x y 3 x 2 y 12 x 3 y 11 (2, 3) (11, 0) (0, 6) C 3 C 5

Os vértices (0, 6) e (11, 0) podem ser identiﬁcados a partir do gráﬁco. O terceiro vértice, (2, 3), pode ser encontrado resolvendo simultaneamente as equações das duas retas 3 x+ 2 y= 12 e x+ 3 y= 11 como segue: 3 2 12 3 9 33 7 21 3 2 x y x y y y x + = − − = − − = − = = FIGURA 4.19 +   =  +   = 

(25)

Examinando o valor deC em cada vértice, temos

Em (0, 6), C =x+ y= 6

Em (11, 0),C =x+ y= 11

Em (2, 3), C =x+ y= 5

Portanto,C é minimizado em (2, 3) com o valor mínimo deC = 5. Observe que para

qualquer valor menor deC , o gráﬁco deC =x+y“ﬁca fora” da região viável.

PONTO DE CONTROLE 2. Minimize a função objetivo g = 3 x+ 4 ysujeita às seguintes restrições:

x+ 2 y≥12, x≥0

3 x+ 4 y≥30, y≥2

EXEMPLO 3 Minimizando Custos de Produção

Retornemos ao exemplo da Pré-Aplicação, das duas indústrias químicas que pro-duzem três tipos de fertilizantes: com baixo teor de fósforo (BTF), com médio teor de fósforo (MTF) e com alto teor de fósforo (ATF). Lembre-se que o fertilizante é produzido em um único lote, de modo que os três tipos de produtos são fabricados em proporções ﬁxas. A fábrica localizada em Macon produz 1 t de BTF, 2 t de MTF e 3 t de ATF em uma única operação e ela cobra $ 600 por aquilo que é produzido em uma operação, ao passo que uma operação da fábrica localizada em Jonesboro produz 1 t de BTF, 5 t de MTF e 1 t de ATF e cobra $ 1.000 por aquilo que é pro-duzido em uma operação. Se um cliente precisar de 100 t de BTF, 260 t de MTF e 180 t de ATF, quantos lotes de produção devem ser encomendados de cada fábrica para minimizar os custos?

SOLUÇÃO

Sexrepresentar o número de operações encomendadas da fábrica em Macon e y

o número de operações encomendadas da fábrica em Jonesboro, então procurare-mos minimizar o custo

C = 600 x+ 1000y

A tabela a seguir resume os recursos de produção e as necessidades do cliente.

Fábrica de Macon Fábrica de Jonesboro Necessidades UnidadesdeBTF 1 1 100 UnidadesdeMTF 2 5 260 UnidadesdeATF 3 1 180

Usando o número de operações solicitadas e o fato de as necessidades deverem ser atendidas ou ultrapassadas, podemos formular as seguintes restrições:

x y x y x y x y + ≥ + ≥ + ≥ ≥ ≥ 100 2 5 260 3 180 0, 0

(26)

Representar graﬁcamente este sistema fornece o conjunto soluções viáveis indicado na Figura 4.20. Novamente, a função objetivo tem um mínimo muito embora o conjunto de soluções viáveis não seja fechado e limitado. Os vértices são (0, 180), (40, 60), (80, 20) e (130, 0), onde (40, 60) é obtido resolvend o simulta-neamentex+y= 100 e 3 x+y= 180 e onde (80, 20) é obtido resolvendo

simultane-amentex+y= 100 e 2 x+ 5 y= 260. 20 60 100 140 180 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 x y (130, 0) 2 x 5 y 260 3 x y 180 (80, 20) (40, 60) x y (0, 180)

Calculando C = 600 x+ 1.000 yem cada vértice, obtemos

Em (0, 180), C = 180.000

Em (40, 60), C = 84.000

Em (80, 20), C = 68.000

Em (130, 0), C = 78.000

Portanto, para minimizar custos, o cliente deveria fazer pedidos de 80 lotes de produção da fábrica em Macon e 20 lotes da fábrica em Jonesboro.

EXE MPLO 4 Maximização Sujeita a Restrições

Use uma ferramenta gráﬁca para encontrar a região viável e o valor máximo de

f = 5 x+ 11 y sujeita às restrições

5 x+ 2 y≤54

2 x+ 4 y≤60

x≥0,y≥0

SOLUÇÃO

Escrevemos as inequações correspondentes às inequações acima, isolando y. Traçar

estas inequações usando uma calculadora gráﬁca, usando sombreamento, mostra a região fechada e limitada que satisfaz as inequações (ver Figura 4.21). Usando o comando INTERSECT nos pares de retas que formam as fronteiras desta região, vemos que as fronteiras se interceptam nos pontos (0, 0), (0, 15), (6, 12) e (10,8, 0). Estes pontos também podem ser encontrados algebricamente. Testando a função objetivo em cada um destes vértices, obtemos os seguintes valores de f:

FIGURA 4.20 A 1 2 3 B C +   =  +   =  +   =  10 0

(27)

0 30 0 30 Em (0, 0), f = 0 Em (0, 15), f = 165 Em (6, 12), f = 162 Em (10,8, 0), f = 54

O valor máximo é f = 165 em x= 0, y= 15

SOLUÇÕES DOS PONTOS DE CONTROLE

1. Os valores def nos vértices são encontrados como segue:

Em (0, 0), f = 0

Em (2, 0), f = 8

Em (3, 2), f = 12 + 6 = 18

Em (0, 4), f = 12

O valor máximo de f é 18 em x= 3, y=2.

2. O gráﬁco da região viável é indicado na Figura 4.22. Os valores de gnos

vérti-ces são encontrados como segue:

2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 x y (0, 7,5) (6, 3) (8, 2) y x y x y Em (0, 7,5), g= 30 Em (6, 3), g= 18 + 12 = 30 Em (8, 2), g= 24 + 8 = 32

O valor mínimo de gé 30 em (0, 7,5), bem como em (6, 3). Portanto, qualquer ponto

na borda que une os pontos (0, 7,5) e (6, 3) fornecerá o valor mínimo de 30. Por exemplo, (2, 6) se encontra sobre esta borda e fornece o valor 6 + 24 = 30.

4.3 Exercícios

FIGURA 4.21

FIGURA 4.22

1. Os vértices de uma região viável em um problema de programação linear são (0, 0), (0, 8), (12, 0) e (6, 5). Qual(is) vértice(s) fornece(m) o valor máximo para a função objetivo f = 6 x+ 3 y?

2. Os vértices de uma região viável em um problema de programação linear são (0, 2), (3, 4), (5, 3) e (7, 0). Qual(is) vértice(s) fornece(m) o valor máximo para a função objetivo f = 6 x+ 2 y?

 = 2 3  +  4 =  3 0

(28)

Nos Problemas 3 a 8, use a região viável determinada pelas inequações de restrições para encontrar o máximo e mínimo da função objetivo dada (se eles existirem).

3. C = 2 x+ 3 y 1 3 5 7 1 3 5 7 x y 4. f = 6 x+ 4 y 1 3 5 7 1 3 5 7 x y 5. C = 5 x+ 2 y 2 6 10 14 1 3 5 x y 6. C = 4 x+ 7 y 1 3 5 7 9 1 3 5 x y (3, 1) (4, 5) (8, 6) (0, 3) (0, 0) ( 4 , 4 ) ( 6 , 2 ) ( 7 ,0 ) (0, 0) ( 4 , 4 ) ( 0,  5 ) ( 6 , 2 ) ( 7 ,0 ) (6 , 4 ) (1 2 ,4 ) ( 6, 1 ) ( 2 , 2 ) (1, 3) 7. f = 3 x+ 4 y x y x 5 y 100 8 x 5 y 170 2 x y 40 8. f = 4 x+ 5 y 1 3 5 7 9 1 3 5 7 x y

Em cada um dos Problemas 9 a 12, é mostrado o gráﬁ-co da região viável. Engráﬁ-contre os vértices de cada região viável e maximize ou minimize a função, conforme soli-citado. 9. Maximize f = 3 x+ 2 y x y x 5 y 100 8 x 10. Maximize f = 5 x+ 8 y x y x 2 y 80 x y 50 4 x y 140 +   =  +   =  +   =  (0, 6) ( 2 , 2 ) ( 4 , 1 ) ( 8 ,0 ) +   =  +  5 y 170 2 x y 40  =  +   =  +   =  +   =  +   = 

(29)

11. Minimize g= 3 x+ 2 y x y 4 x 10 y 280 x y 40 3 x y 60 12. Minimize g= x+ 3 y x y x 2 y 50 x y 35 3 x y 45

Nos Problemas 13 a 20, encontre o valor máximo ou mí-nimo da função objetivo no problema de programação linear. Observe que as regiões viáveis para estes proble-mas são as regiões de soluções esboçadas nos Probleproble-mas 21 a 28 do conjunto anterior de exercícios.

13. Maximize f = 4 x+ 9 ysujeita a

x+ 5 y≤200

2 x+ 3 y≤134

x≥0, y ≥0

14. Maximize f = 2 x+ ysujeita a

– x+ y≤2

x+ 2 y≤10

3 x+ y≤15

x≥0, y ≥0

x+ 2 y ≤48

x+ y ≤30

2 x+ y ≤50

x≥0, y≥0

3 x+ y ≤ 9

3 x+ 2 y ≤12

x+ 2 y ≤0

x≥0,y≥0

17. Minimize g= 9 x+ 10 ysujeita a

x+ 2 y≥19

3 x+ 2 y ≥29

x≥0,y≥0

4 x+ y≥12

x+ y≥ 9

x+ 3 y≥15

x≥0,y≥ 0

x+ 3 y≥3

2 x+ 3 y≥5

2 x+ y≥3

x≥0,y≥0

x+ 2 y≥ 2

2 x+ y≥11

x+ y≥9

x≥0,y≥0

Nos Problemas 21 a 36, resolva os seguintes problemas de programação linear:

21. Maximizef = x+ 3 ysujeita a

x+ 2 y≤4

2 x+ y≤4

x≥0, y≥0

22. Maximizef = 3 x+ 2 ysujeita a

2 x+ y≤ 8

2 x+ 3 y≤12

x≥0,y≥ 0

x+ y≤ 6 2 x+ y≤10 y ≤ 4 x≥0,y≥ 0 +   =  +   =  +   =  +   =  +   =  +   = 

(30)

24. Maximizef =x+ 3 ysujeita a

x+ 4 y≤12

y≤2

x+ y≤9

x≥0,y≥0

x+ y≤7

2 x+ y≤12

x+ 3 y≤15

x≥0,y≥0

x+ 2 y≤20

x+ y≤12

4 x+ y≤36

x≥0, y≥ 0

5 x+ 2 y≥16

3 x+ 7 y≥27

x≥0, y≥ 0

8 x+ 5 y≥100 12 x+ 25 y≥360 x≥0, y≥ 0 29. Minimize g= 3 x+ysujeita a 4 x+ 3 y≥11 3 x+ 2 y≥12 x≥0, y≥ 0

30. Minimize g = 50 x+ 70 ysujeita a

11 x+ 15 y≥225

x+ 3 y≥ 27

x≥0,y≥0

31. Minimizef =x+ 4 ysujeita a

y≤30 3 x+ 2 y≥75 –3 x+ 5 y≥30 x≥0,y≥ 0 32. Minimize f = 2 x+ysujeita a x≤12 x+ 2 y≥20 –3 x– 2 y≤4 x≥0,y≥0

33. Maximizef =x+ 2 ysujeita a

x+ y≥4

2 x+ y≤8

y≤4

2 x+ 4 y≥8

3 x+ y≤7

y≤4

x+ y≥100

– x+ y≤ 20

–2 x+ 3 y≥ 30

x≥0, y≥ 0

4 x– 5 y≥50

– x+ 2 y≥4

x+ y≤80

x≥0,y≥0

APLICAÇÕES

37. Manufatura A Wellbuilt Compan y produz dois

modelos de plainas para madeira, Econômico e Luxo. O modelo Luxo precisa 3 horas para a monta-gem e 1

2 hora para a pintura, ao passo que o modelo

Econômico precisa de 2 horas para a montagem e 1 hora para a pintura. O número máximo de horas dis-poníveis por dia para a montagem é de 24, ao passo que o número máximo de horas para pintura é de 8 por dia. Se o lucro no modelo Luxo for de $ 15 por unidade e o lucro no modelo Econômico for de $ 12 por unidade, quantas unidades de cada modelo irão maximizar o lucro? (Ver Problema 31 do conjunto de exercícios anterior.)

38. Ambientes de aprendizagem Uma experiência que envolve aprendizagem por parte dos animais exige a colocação de ratos brancos e coelhos em ambien-tes distintos e controlados, chamados de Ambiente I e Ambiente II. O tempo máximo disponível no