Pilares
Pilares
Notas de Aulas
Notas de Aulas
C
C
a
a
p
p
í
í
t
t
u
u
l
l
o
o
Curso:
Curso: Engenha
Engenharia
ria Civil
Civil
Disciplina:
Disciplina: Estruturas
Estruturas em
em Concreto
Concreto II
II
1.º
1.º Semestre de
Semestre de 200
20088
P P r r o o f f . . R R o o m m e e l l D D i i a a s s V V a a n n d d e e r r l l e e i iBibliografia:
Bibliografia:
ALVA, G. M. S.; EL DEBS, A. L. H. C.; GIONGO, J.
ALVA, G. M. S.; EL DEBS, A. L. H. C.; GIONGO, J. S. Concreto armado:
S. Concreto armado:
projeto de pilares segundo
projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003. Notas d
a NBR 6118:2003. Notas de aula –
e aula – USP –
USP –
EESC –
EESC – SET. Fe
SET. Fevereir
vereiro de 2008
o de 2008
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS: NBR 6118:2003.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS: NBR 6118:2003.
Projeto de estruturas de concreto
Projeto de estruturas de concreto
. Rio de Janeiro, ABNT, 2003.
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CARVALHO, R.C.; FIGUEIREDO FILHO, J.R. Pilares de concreto
CARVALHO, R.C.; FIGUEIREDO FILHO, J.R. Pilares de concreto
armado. p.9-25. Notas de
armado. p.9-25. Notas de aula –
aula – Universidade Federal de Sã
Universidade Federal de São Carlos,
o Carlos,
2002.
2002.
FUSCO, P. B.
FUSCO, P. B.
Estruturas de concreto: solicitações normais
Estruturas de concreto: solicitações normais
.. Editora
Editora
Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1981.
Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1981.
FUSCO, P. B.
FUSCO, P. B.
Introdução ao projeto estrutural
Introdução ao projeto estrutural
.. McGraw
McGraw-Hill
-Hill do Brasil
do Brasil. São
. São
Paulo, 1976.
Paulo, 1976.
MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A.G.; CABRÉ, F.M.
MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A.G.; CABRÉ, F.M.
Hormi
Hormigón
gón armado
armado
..
Editorial Gustavo Gili. 9a ed. Barcelona, Espana, 1978.
Editorial Gustavo Gili. 9a ed. Barcelona, Espana, 1978.
PINHEIRO, L.M.
PINHEIRO, L.M.
Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios.
Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios.
capítulo 16: Pilares.
capítulo 16: Pilares.
Notas de aula –
Notas de aula – EESC
EESC-USP, 200
-USP, 2007.
7.
PINHEIRO, L.M.; BARALDI; L.T.; POREM, M.E.
PINHEIRO, L.M.; BARALDI; L.T.; POREM, M.E.
Concreto armado
Concreto armado
::
Ábacos para flexão oblíqua. São Carlos, EESC-USP, 1994.
Ábacos para flexão oblíqua. São Carlos, EESC-USP, 1994.
VENTURINI, W.S.
VENTURINI, W.S.
Dimensionamento de peças retangulares de concreto
Dimensionamento de peças retangulares de concreto
armad
3.1
3.11.1
1.1-- Pil
Pilar In
ar Inter
terno –
no – P5
P5
3.11
3.11.2-
.2- Pila
Pilar d
r de Ex
e Extremi
tremidade
dade –– P4
P4
3.1
3.11.3
1.3-- Pil
Pilar d
ar de Ca
e Canto
nto –– P1
P1
P P r r o o f f . . R R o o m m e e l l D D i i a a s s V V a a n n d d e e r r l l e e i i
3.
3.11
11-- Ex
Exem
empl
plos
os
Projeta
Projetar o
r o s pi
s pi lares:
lares:
P5
P5 -- pilar inte
pilar interno;
rno;
P4
P4 -- pilar de
pilar de
extremidade;
extremidade;
P1
Para a determin
Para a determinação dos efeitos d
ação dos efeitos de 2ª
e 2ª ordem, emprega-se
ordem, emprega-se::
Para o pilar P5: método do pilar padrão com curvatura aproximada;
Para o pilar P5: método do pilar padrão com curvatura aproximada;
Para o pilar P4: método do pilar padrão com curvatura aproximada;
Para o pilar P4: método do pilar padrão com curvatura aproximada;
Para o pilar P1: método do pilar padrão com rigidez aproximada.
Para o pilar P1: método do pilar padrão com rigidez aproximada.
P P r r o o f f . . R R o o m m e e l l D D i i a a s s V V a a n n d d e e r r l l e e i i
3.
3.11
11.1
.1-- Pi
Pila
lar
r In
Inte
tern
rno
o –
– P5
P5
Da
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i
3.11.1- Pilar Interno – P5
Dados iniciais:
N
k
= 2.720kN
N
d
= 1,4 x 2.720 = 3.808kN
M
k
= 0kN e M
d
= 0kN
1- Características Geométricas
Comprimentos equivalentes:
⎩
⎨
⎧ +
≤
l
h
l
l
e
0
Na direção x:
cm
l
cm
l
cm
h
l
l
cm
l
cm
h
l
cm
l
ex
x
x
ex
x
x
x
x
533
560
533
560
533
35
498
498
62
560
0
0
0
cm
l
cm
l
cm
h
l
l
cm
l
cm
h
l
ey
y
y
y
ey
y
y
y
560
560
568
560
568
60
508
0
0
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
Na direção y:
3
,
32
60
12
560
12
y
y
ey
y
i
l
λ
Índices d
8
,
52
ey
h
l
e Esbeltez:
Na direção x:
35
12
533
12
x
ex
x
ex
x
h
l
i
l
λ
Como os momentos nas seções de extremidades (topo e
Base) e na intermediária são nulos, as excentricidades
iniciais também são nulas.
Excentricidade Inicial
d
topo
topo
i
N
M
e
,
=
d
base
base
i
N
M
e
,
=
d
meio
meio
i
N
M
e
,
=
0
808
.
3
0
,topo
i
e
0
808
.
3
0
,base
i
e
0
808
.
3
0
,meio
i
e
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
Sendo:
2- Excentricidades:
Excentricidades acidentais:
rad
l
rad
l
ey
ex
00423
,
0
60
,
5
100
1
100
1
00433
,
0
33
,
5
100
1
100
1
1y
1x
θ
θ
2
2
1
ay
1
ax
ey
y
ex
x
l
e
l
e
θ
θ
rad
00333
,
0
300
1
min
,
1
1
θ
θ
(OK)
00423
,
0
(OK)
00433
,
0
min
,
1
1y
min
,
1
1x
θ
θ
θ
θ
rad
rad
Logo:
Onde:
cm
l
e
cm
l
e
ey
y
ex
x
18
,
1
2
560
00423
,
0
2
15
,
1
2
533
00433
,
0
2
1
ay
1
ax
θ
θ
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
y
min
,
1
x
min
,
1
0,03h
0,015
)
(
0,03h
0,015
)
(
y
x
e
e
(
)
,
min
min
,
1
d
N
d
0
,
015
0
,
03
h
N
d
e
i
M
=
⋅
+
=
⋅
Logo:
Excentricidades acidentais:
Excentricidades mínimas:
cm
e
cm
e
y
x
30
,
3
60
,
0
03
,
0
015
,
0
0,03h
0,015
)
(
55
,
2
35
,
0
03
,
0
015
,
0
0,03h
0,015
)
(
y
min
,
1
x
min
,
1
cm
e
cm
e
y
x
30
,
3
55
,
2
1
1
cm
e
cm
e
e
cm
e
cm
e
e
y
topo
iy
y
x
topo
ix
x
30
,
3
)
(
0
55
,
2
)
(
0
min
,
1
,
1
min
,
1
,
1
=
<
=
=
=
<
=
=
cm
e
cm
e
e
e
cm
e
cm
e
e
e
y
meio
iy
y
x
meio
ix
x
30
,
3
)
(
18
,
1
18
,
1
0
55
,
2
)
(
15
,
1
15
,
1
0
min
,
1
ay
,
1
min
,
1
ax
,
1
=
<
=
+
=
+
=
=
<
=
+
=
+
=
Seção int ermediária:
Seções de extremidades (topo e base)
cm
e
cm
e
y
x
30
,
3
55
,
2
1
1
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
90
35
e
5
,
12
25
1
b
1
1
≤
≤
⋅
+
=
λ
α
α
λ
b
h
e
cm
h
e
h
e
x
x
i
x
b
x
x
i
x
onde
:
0
35
5
,
12
25
,
,
,
,
1
=
=
⋅
+
=
α
λ
35
90
35
que
sendo
25
0
,
1
35
0
5
,
12
25
5
,
12
25
1
,
,
,
1
=
≤
≤
=
⋅
+
=
⋅
+
=
x
b
x
x
i
x
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção x:
Necessidade de excentric idade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
cm
h
e
h
e
y
y
i
y
b
y
y
i
y
onde
:
0
60
5
,
12
25
,
,
,
,
1
=
=
⋅
+
=
α
λ
35
90
35
que
sendo
25
0
,
1
60
0
5
,
12
25
5
,
12
25
,
1
1
,
,
,
1
=
≤
≤
=
⋅
+
=
⋅
+
=
y
y
b
y
y
i
y
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção y:
Esbeltez Limite:
como M
A,d
= 0 < M
1d,mín
α
b
,
y
=
1
,
0
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i
3.11.1- Pilar Interno – P5
35
8
,
52
>
1
,
=
=
x
x
λ
λ
Pilar medianamente esbelto, é
necessário c onsiderar o efeito d e
2ª ordem na direção x.
Necessidade de excentric idade de 2ª ordem:
35
3
,
32
<
1
,
=
=
y
y
λ
λ
Pilar curto, não é necessário
considerar o efeito de 2ª ordem
na direção y.
cm
l
cm
kN
e
N
M
M
x
e
x
mín
d
mín
d
A
d
b
533
.
4
,
710
.
9
55
,
2
808
.
3
)
(
0
0
,
1
,
,
1
,
1
,
1
=
=
×
=
⋅
=
≥
=
=
α
A
d
x
e
d
A
d
b
tot
d
M
r
l
N
M
M
1
,
2
,
,
1
,
1
10
⋅
≥
⋅
+
⋅
=
α
Onde:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Direção x:
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
85
,
0
4
,
1
0
,
3
)
60
35
(
808
.
3
=
⋅
⋅
=
⋅
=
cd
c
sd
f
A
N
ν
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada:
(
)
h
h
r
x
005
,
0
5
,
0
005
,
0
1
≤
+
=
ν
(
)
5
5
10
3
,
14
35
005
,
0
10
58
,
10
5
,
0
85
,
0
35
005
,
0
1
−
−
⋅
=
<
⋅
=
+
=
r
(OK)
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Direção x:
cm
kN
M
cm
kN
M
tot
d
tot
d
⋅
=
⋅
>
⋅
⋅
⋅
+
⋅
=
−
4
,
134
.
21
4
,
710
.
9
10
58
,
10
10
533
808
.
3
4
,
710
.
9
0
,
1
,
5
2
,
A
d
x
e
d
A
d
b
tot
d
M
r
l
N
M
M
1
,
2
,
,
1
,
1
10
⋅
≥
⋅
+
⋅
=
α
cm
N
M
e
d
tot
d
x
tot
5
,
55
808
.
3
4
,
134
.
21
,
,
=
=
=
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
cm
N
M
e
cm
kN
M
kN
N
d
tot
d
x
tot
d
d
55
,
5
808
.
3
4
,
134
.
21
4
,
134
.
21
808
.
3
,
,
a) Situação mais desfavorável:
Direção x: Seção Intermediária
Direção y: Seção Intermediária ou de Extremidades.
cm
e
e
kN
N
y
y
d
30
,
3
808
.
3
1
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras
b) Equações adimensionais:
Direção x:
13
,
0
35
55
,
5
85
,
0
85
,
0
4
,
1
0
,
3
60
35
808
.
3
x
dx
d
μ
ν
=
x
d
cd
c
d
h
e
ν
f
A
N
b) Equações adimensionais:
Direção y:
05
,
0
60
30
,
3
85
,
0
85
,
0
4
,
1
0
,
3
60
35
808
.
3
y
y
d
dy
c
d
d
h
e
ν
A
N
μ
ν
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção x:
Escolha do Ábaco:
- Flexão composta normal;
- Armadura distribuída paralela ao eixo y;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-2 [Venturini, 1987]
- Taxa de armadura:
= 0,36
13
,
0
85
,
0
10
,
0
11
,
0
35
0
,
4
dx
d
x
x
h
d
μ
ν
cd
f
= 0,36
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
Área das barras:
Escolha das barras:
- 12
A
s,efe
= 37,68cm
2
;
- 6 barras de cada lado, distribu ída paralela ao eixo y;
2
26
,
37
15
,
1
50
4
,
1
0
,
3
)
60
35
(
36
,
0
cm
f
f
A
A
yd
cd
c
s
20
-ω
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção y:
Escolha do Ábaco:
- Flexão composta normal;
- Armadura distribuída conforme adotado na direção x;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-17 [d’/h=0,05] e A-18
[d’/h=0,10]
- Taxa de armadura:
= 0,13
05
,
0
85
,
0
07
,
0
60
0
,
4
dy
d
y
y
h
d
μ
ν
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção y:
Como
ω
x
= 0,36 >
ω
y
= 0,13:
- O arranjo para a direção “x” (
12
situações de cálculo da armadura;
Armadura Longitudinal
a) Diâmetro das barras
(OK)
75
,
43
8
350
20
10
8
10
mm
mm
mm
b
mm
φ
l
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
%
4
,
0
%
63
,
0
85
,
0
15
,
1
50
4
,
1
0
,
3
15
,
0
%
4
,
0
15
,
0
15
,
0
,
mín
c
mín
s
mín
A
A
ρ
ρ
35
,
37
c
s
A
A
ρ
5- Detalha
Armadura Long
b) Ta
udinal
%
0
,
4
2
%
0
,
8
máx
ρ
yd
cd
cd
cd
yd
c
d
f
f
f
f
f
A
N
ν
%
79
,
1
01794
,
0
60
68
mento
itudinal
mm
a
mm
cm
d
mm
mm
a
agre
máx
l
23
23
28
,
2
9
,
1
2
,
1
2
,
1
20
20
.
,
Armadura Longitudinal
c) Número mínimo de barras:
Uma barra em cada canto ou vértice do po lígono
d) Espaçamentos p ara armadura long itudi nal
cm
a
cm
cm
b
a
máx
máx
40
40
70
35
2
2
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
mm
mm
mm
t
l
t
5
5
4
20
4
5
φ
5- Detalhamento
Armadur a Transv
a) Diâmetro
b) Espaçamentos para armadura transversal
cm
s
cm
cm
s
t
l
t
20
24
2,0
12
12
35cm
seção
da
dimensão
menor
20
φ
Adotar 5 c/20
φ
φ
φ
ersal
cm
t
20
0
,
5
10
,
0
20 φ
Armadur a Transversal
c) Proteção contr a flambagem localizada das armaduras
Verific ação do espaçamentos da armadura longitu dinal
(OK)
40
4
,
8
3
,
2
4
,
8
1
6
0
,
2
6
5
,
0
2
5
,
2
2
60
1
2
2
cm
a
cm
a
cm
a
cm
a
n
n
c
h
a
máx
mín
l
t
nom
=
<
=
<
=
=
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
φ
φ
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
gt
nom
nom
t
c
b
c
l
l
2
2
Onde:
gt
= comprimento d o gancho para estribo, podendo ser
• semicirculares ou em ângulo de 45
o
(interno), com ponta reta de
comprimento igual a 5
φ, porém não inferior a 5cm;
• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a
10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser
utilizado para barras e fios lisos).
5- Detalhamento
Armadur a Transversal
Como (a+ ) =10,4cm
20 = 10cm, é necessário
apenas nas duas barras
centrais (estribos suplementares)
d) Comprimento dos estribos
h
2
2
2
l
(
)
(
)
(
)
(
)
cm
l
l
c
b
c
h
l
t
gt
nom
nom
t
180
0
,
5
2
5
,
2
2
35
2
5
,
2
2
60
2
2
2
2
2
2
=
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
=
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
=
e) Comprimento do s estribos supl ementares
Armadur a Transversal
d) Comprimento dos estribos
(
)
(
)
cm
l
l
c
b
l
s
gt
nom
s
40
0
,
5
2
5
,
2
2
35
2
2
=
⋅
+
⋅
−
=
⋅
+
⋅
−
=
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
)
180
(
20
/
5
29
29
1
20
560
1
c
s
h
l
N
t
viga
o
φ
=
+
=
+
+
=
e) Número de estr ibos suplementares
5- Detalhamento
Armadur a Transversal
f) Número de estrib os
40
20
/
5
29
2
φ
c
180
Armadur a Transversal
f) Desenho da seção
transversal
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
l
l
l
l
A
A
l
l
b
b
nec
b
b
ef
s
calc
s
b
nec
b
0
,
1
0
,
1
,
,
,
1
,
α
l
l
l
l
b
oc
nec
b
oc
6
,
min
,
,
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
mm
l
mm
l
b
b
100
10
3
,
0
100
10
3
,
0
min
,
φ
φ
mm
200
15
0
φ
Comprimento das esperas
bd
yd
b
f
f
l
=
⋅
4
φ
3 2 3 23375
,
0
21
,
0
0
,
1
0
,
1
25
,
2
3
2
1
ck
bd
c
ck
bd
ctd
bd
f
f
f
f
f
f
γ
η
η
η
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
⎩
⎨
⎧
≥
=
mm
l
l
oc
b
200
15φ
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
3
2
3
2
35
,
1
3375
,
0
4
ck
yd
ck
yd
b
f
f
f
f
l
φ
φ
cm
cm
l
f
f
l
b
ck
yd
b
70
71
,
66
30
35
,
1
15
,
1
500
0
,
2
35
,
1
3 2 3 2φ
Comprimento das esperas
Logo:
⎩
⎨
⎧
=
×
=
≥
=
=
mm
cm
cm
l
l
oc
b
200
30
0
,
2
15
15
70
φ
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.1- Pilar Interno – P5
cm
l
l
h
l
l
viga
oc
630
70
560
)
(
0
=
+
=
+
+
=
5- Detalhamento
Desenho d o Pilar P5:
6
3
0
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Dados iniciais:
4 6 0 P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Dados iniciais:
N
k
= 1.670kN
N
d
= 1,4 x 1.670 = 2.338kN
Na direção x:
⎩
⎨
⎧ +
≤
l
h
l
l
e
0
cm
l
cm
l
cm
h
l
l
cm
l
cm
h
l
cm
l
ex
x
x
ex
x
x
x
x
423
460
423
460
423
25
398
398
62
460
0
0
0
Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar
a) Característic as Geométricas
Na direção y:
cm
l
cm
l
cm
h
l
l
cm
l
cm
h
l
cm
l
ey
y
y
y
ey
y
y
y
y
460
460
478
460
478
70
408
408
52
460
0
0
0
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Vão efetivo da Viga V2:
cm
l
a
a
l
l
viga
viga
o
viga
ef
570
2
35
2
25
600
,
0
2
1
,
,
A medida a
1
relativa ao pilar P4:
cm
a
cm
h
a
cm
h
a
V
P
x
5
,
12
6
,
18
62
3
,
0
3
,
0
5
,
12
2
25
2
1
2
,
2
1
4
,
1
A medida a
2
relativa ao pilar P5:
cm
a
cm
h
a
cm
h
a
V
P
x
5
,
17
6
,
18
62
3
,
0
3
,
0
5
,
17
2
35
2
2
2
,
2
2
5
,
2
cm
l
a
a
l
l
viga
viga
o
viga
ef
600
5
,
17
5
,
12
570
,
0
2
1
,
,
=
+
+
=
+
+
=
Vão efetivo da viga V2:
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:
3
3
sup
sup
1
.
293
423
2
1
12
25
70
3
2
1
3
cm
l
I
r
pilar
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
Rigidez no tramo do pilar:
r
inf
= r
sup
= 1293cm
3
Rigidez da viga:
3
3
648
.
2
600
12
62
20
4
4
cm
l
I
r
viga
viga
viga
=
⋅
⋅
=
⋅
=
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:
cm
kN
kNm
l
q
g
M
eng
=
+
⋅
viga
=
⋅
=
57
=
5
.
700
⋅
12
0
,
6
19
12
)
(
2
2
Momento de engastamento perfeito na viga:
Momento fletor no tramo do pilar:
cm
kN
r
r
r
r
M
M
viga
eng
⎟
=
⋅
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⋅
=
1
.
408
293
.
1
293
.
1
648
.
2
293
.
1
700
.
5
inf
sup
sup
sup
Como não há mudança de seção transversal entre os pavimentos tem-se:
M
inf
= M
sup
= 1.408kN.cm
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Na direção y:
8
,
22
70
12
460
12
=
⋅
=
⋅
=
=
y
ey
y
ey
y
h
l
i
l
λ
Índices d e Esbeltez:
Na direção x:
6
,
58
25
12
423
12
=
⋅
=
⋅
=
=
x
ex
x
ex
x
h
l
i
l
λ
Excentricidade Inicial
Na direção x:
cm
N
M
e
e
d
A
d
base
ix
topo
ix
0
,
84
338
.
2
408
.
1
4
,
1
,
,
,
=
⋅
=
=
=
cm
e
cm
cm
e
e
e
e
e
meio
ix
meio
ix
ix
ix
ix
meio
ix
34
,
0
34
,
0
84
,
0
4
,
0
17
,
0
)
84
,
0
(
4
,
0
84
,
0
6
,
0
4
,
0
4
,
0
6
,
0
,
,
max
,
min
,
max
,
,
=
=
⋅
≥
=
−
⋅
+
⋅
=
⋅
≥
⋅
+
⋅
=
Na direção y:
cm
N
M
e
e
e
d
A
dy
meio
iy
base
iy
topo
iy
0
,
0
338
.
2
0
,
0
,
,
,
,
=
=
=
=
=
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Sendo:
2- Excentricidades:
Excentricidades acidentais:
rad
l
rad
l
ey
ex
00466
,
0
60
,
4
100
1
100
1
00486
,
0
23
,
4
100
1
100
1
1y
1x
=
=
=
=
=
=
θ
θ
2
2
1
ay
1
ax
ey
y
ex
x
l
e
l
e
θ
θ
rad
00333
,
0
300
1
min
,
1
1
θ
θ
(OK)
00466
,
0
(OK)
00486
,
0
min
,
1
1y
min
,
1
1x
θ
θ
θ
θ
>
=
>
=
rad
rad
Logo:
Onde:
cm
l
e
cm
l
e
ey
y
ex
x
07
,
1
2
460
00466
,
0
2
03
,
1
2
423
00486
,
0
2
1
ay
1
ax
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
θ
θ
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
y
min
,
1
x
min
,
1
0,03h
0,015
)
(
0,03h
0,015
)
(
y
x
e
e
(
)
,
min
min
,
1
d
N
d
0
,
015
0
,
03
h
N
d
e
i
M
=
⋅
+
=
⋅
Logo:
Excentricidades acidentais:
Excentricidades mínimas:
cm
e
cm
e
y
x
60
,
3
70
,
0
03
,
0
015
,
0
0,03h
0,015
)
(
25
,
2
25
,
0
03
,
0
015
,
0
0,03h
0,015
)
(
y
min
,
1
x
min
,
1
=
⋅
+
=
+
=
=
⋅
+
=
+
=
kNcm
e
N
M
kNcm
e
N
M
y
i
d
dy
x
i
d
dx
8
,
416
.
8
60
,
3
338
.
2
)
(
5
,
260
.
5
25
,
2
338
.
2
)
(
min
,
min
,
1
min
,
min
,
1
=
×
=
⋅
=
=
×
=
⋅
=
Momentos mínimos:
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cm
e
cm
e
y
x
60
,
3
25
,
2
1
1
=
=
cm
e
cm
e
e
cm
e
cm
e
e
y
topo
iy
y
x
topo
ix
x
60
,
3
)
(
0
25
,
2
)
(
84
,
0
min
,
1
,
1
min
,
1
,
1
=
<
=
=
=
<
=
=
cm
e
cm
e
e
e
cm
e
cm
e
e
e
y
meio
iy
y
x
meio
ix
x
60
,
3
)
(
07
,
1
07
,
1
0
25
,
2
)
(
37
,
1
03
,
1
34
,
0
min
,
1
ay
,
1
min
,
1
ax
,
1
=
<
=
+
=
+
=
=
<
=
+
=
+
=
Seção int ermediária:
Excentrici dades de 1ª ordem totais:
Seções de extremidades (topo e base)
cm
e
cm
e
y
x
60
,
3
25
,
2
1
1
=
=
90
35
e
5
,
12
25
1
b
1
α
λ
b
i
h
e
cm
h
e
h
e
x
x
i
x
b
x
x
i
x
onde
:
0
,
84
25
5
,
12
25
,
,
,
,
1
=
=
⋅
+
=
α
λ
35
90
35
que
sendo
4
,
25
0
,
1
25
84
,
0
5
,
12
25
5
,
12
25
,
1
1
,
,
,
1
=
≤
≤
=
⋅
+
=
⋅
+
=
x
x
b
x
x
i
x
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção x:
Esbeltez Limite:
como M
A,d
= 1.971,2kNcm < M
1dx,mín
= 5.260,5kNcm
α
b
,
x
=
1
,
0
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cm
h
e
h
e
y
y
i
y
b
y
y
i
y
onde
:
0
70
5
,
12
25
,
,
,
,
1
=
=
⋅
+
=
α
λ
35
90
35
que
sendo
25
0
,
1
70
0
5
,
12
25
5
,
12
25
,
1
1
,
,
,
1
=
≤
≤
=
⋅
+
=
⋅
+
=
y
y
b
y
y
i
y
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção y:
Necessidade de excentric idade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como M
A,d
= 0 < M
1d,mín
α
b
,
y
=
1
,
0
λ
α
35
6
,
58
>
1
,
=
=
x
x
λ
λ
Pilar medianamente esbelto, é
necessário c onsiderar o efeito d e
2ª ordem na direção x.
35
8
,
22
<
1
,
=
=
y
y
λ
λ
Pilar curto, não é necessário
considerar o efeito de 2ª ordem
na direção y.
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cm
l
cm
kN
e
N
M
cm
kN
M
x
e
x
mín
d
mín
d
A
d
b
423
.
5
,
260
.
5
25
,
2
338
.
2
)
(
2
,
971
.
1
0
,
1
,
,
1
,
1
,
1
=
=
×
=
⋅
=
≥
⋅
=
=
α
A
d
x
e
d
A
d
b
tot
d
M
r
l
N
M
M
1
,
2
,
,
1
,
1
10
⋅
≥
⋅
+
⋅
=
α
Onde:
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
62
,
0
4
,
1
0
,
3
)
70
25
(
338
.
2
=
⋅
⋅
=
⋅
=
cd
c
sd
f
A
N
ν
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada:
(
)
h
h
r
x
005
,
0
5
,
0
005
,
0
1
≤
+
=
ν
(
)
4
4
10
0
,
2
25
005
,
0
10
79
,
1
5
,
0
62
,
0
25
005
,
0
1
=
⋅
−
<
=
⋅
−
+
=
r
(OK)
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Direção x:
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cm
kN
M
cm
kN
M
tot
d
tot
d
⋅
=
⋅
>
⋅
⋅
⋅
+
⋅
=
−
7
,
748
.
12
5
,
260
.
5
10
79
,
1
10
423
338
.
2
5
,
260
.
5
0
,
1
,
4
2
,
A
d
x
e
d
A
d
b
tot
d
M
r
l
N
M
M
1
,
2
,
,
1
,
1
10
⋅
≥
⋅
+
⋅
=
α
cm
N
M
e
d
tot
d
x
tot
5
,
45
338
.
2
7
,
748
.
12
,
,
=
=
=
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cm
N
M
e
cm
kN
M
kN
N
d
tot
d
x
tot
d
d
45
,
5
338
.
2
7
,
748
.
12
7
,
748
.
12
338
.
2
,
,
=
=
=
⋅
=
=
4- Dimensionamento das armaduras
a) Situação mais desfavorável:
Direção x: Seção Intermediária – Flexão normal composta
Direção y: Seção Extremidade – Flexão oblíqua
cm
e
e
cm
e
e
kN
N
topo
ix
x
d
60
,
3
84
,
0
338
.
2
,
=
=
=
=
=
b) Equações adimensionais:
Direção x:
14
,
0
25
45
,
5
62
,
0
62
,
0
4
,
1
0
,
3
70
25
338
.
2
=
×
=
⋅
=
=
×
×
=
⋅
=
x
x
d
dx
cd
c
d
d
h
e
ν
f
A
N
μ
ν
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras
b) Equações adimensionais:
Direção y:
03
,
0
032
,
0
70
60
,
3
62
,
0
02
,
0
021
,
0
25
84
,
0
62
,
0
62
,
0
4
,
1
0
,
3
70
25
338
.
2
y
y
d
dy
x
x
d
dx
c
d
d
h
e
ν
h
e
ν
A
N
μ
μ
ν
cd
f
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção x:
Escolha do Ábaco:
- Flexão composta normal;
- Armadura distribuída paralela ao eixo y;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-3 [Venturini, 1987]
- Taxa de armadura:
= 0,25
14
,
0
62
,
0
15
,
0
16
,
0
25
0
,
4
=
=
≅
=
=
′
dx
d
x
x
h
d
μ
ν
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Ábaco A-3 [Venturini, 1987]
Escolha das barras:
- 12
A
s,efe
= 24,12cm
2
;
- 6 barras de cada lado, distribu ída paralela ao eixo y;
2
52
,
21
15
,
1
50
4
,
1
0
,
3
)
70
25
(
25
,
0
cm
f
f
A
A
yd
cd
c
s
=
×
×
×
=
⋅
⋅
=
ω
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção y:
03
,
0
032
,
0
70
60
,
3
62
,
0
02
,
0
021
,
0
25
84
,
0
62
,
0
62
,
0
15
,
0
16
,
0
25
0
,
4
05
,
0
06
,
0
70
0
,
4
y
d
dy
x
x
d
dx
d
x
x
y
y
h
e
h
e
h
d
h
d
ν
μ
ν
μ
ν
16
-c) Taxa mecânica de armadura:
Escolha do Ábaco:
- Flexão oblíqua;
- Armadura distribuída conforme adotado na direção x;
- Como não há arranjo para 12
φ, escolhe-se os ábaco A-16
[20φ] e A-17 [8φ] de Pinheiro (1994)
- Taxa de armadura:
= 0,0
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Ábaco A-16 [Pi nheiro, 1994]
c) Taxa mecânica de armadura:
Como
ω
x
= 0,25 >
ω
y
= 0,0:
- O arranjo para a direção “x” (
12
situações de cálculo da armadura;
P r o f . R o m e l D i a s V a n d e r l e i