Universidade Estadual de Campinas Departamento de Matemática. Teorema de Jacobson. Adriana Wagner(RA: ) Gustavo Terra Bastos(RA: )

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Universidade Estadual de Campinas Departamento de Matem´atica

Teorema de Jacobson

Adriana Wagner(RA: 144768) Gustavo Terra Bastos(RA: 143800)

Campinas - SP 2013

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Resumo

Nesta monografia apresentamos a demonstra¸c˜ao do Teorema de Jacobson por meio de cinco lemas e do Teorema de Wedderburn.

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1 Introdu¸

c˜

ao

Temos que é um exerc´ıcio simples mostar que para todo anel R tal que a2 _{= a, ∀a ∈ R} que R é um anel comutativo, basta desenvolvermos (a+b)2 _{e observar que cada elemento} a ∈ R, temos que a = −a. De uma maneira análoga, mas não tão simples, dado um anel R tal que a3 _{= a, ∀a ∈ R, tamb´}_{em obtemos que R ´}_{e um anel comutativo. Assim} poderiamos nos perguntar se em geral isso é v´_{alido, ou seja, se existir n ∈ N tal que} an= a, ∀a ∈ R, então R é um anel comutativo?

Veremos com o Teorema de Jacobson que isso é ainda mais geral, ou seja, mostraremos que se R é um anel em que para todo elemento r existe um número inteiro n(r) > 1, dependendo de r tal que rn(r)= r, então R é um anel comutativo.

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2 Preliminares

Para introduzirmos os lemas, o Teorema de Wedderburn e finalmente o Teorema de Ja-cobson, necessitaremos dos seguintes fatos, que não apresentaremos suas demonstra¸cões para não fugir do nosso propósito:

Teorema 2.1 Um anel de divis˜ao finito R de caracter´ıstica prima p, tem pn elementos, onde n ´e a dimens˜_{ao de R sobre o corpo Z}p e todos os elementos de R satisfazem xp

n

= x.

Teorema 2.2 Um corpo finito cont´em no m´aximo um subcorpo de q elementos, desde que tq_{− t tem no m´}_{aximo q ra´ızes nesse corpo.}

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3 Teorema de Wedderburn

Nessa se¸cão apresentaremos um lema e o Teorema de Wedderburn que serão necessários para a demonstra¸cão do Teorema de Jacbson.

Lema 3.1 Se R é um anel não comutativo de caracter´ıstica p contém um corpo finito F , e se x ∈ F mas não no centro de R, então existe um elemento não-zero x ∈ R tal que wx = x0w, para algum x0 ∈ F , com x 6= x.

Demonstra¸c˜ao: Defina Lx− Rx = δ : r → xr − rx, onde denotamos Lx = xr, ∀r ∈ R e Rx = rx, ∀r ∈ R. Por hip´otese, δ 6≡ 0 e LxRx = RxLx.

Consideremos Lx o ideal `a esquerda gerado por x ∈ F e Rx o ideal gerado `a direita. Como x ∈ U (R) ⇒ Rx= Lx = R ⇒ LxRx = RR = RxLx). Logo δp = (Lx− Rx)p = |{z} car(R)=p Lxp− Rxp = Lxp− R_xp, (1)

onde Lxp = R = Lxp (An´alogo para R_xp). Logo

δpm = (Lx− Rx)p

m

= Lp_xm− Rp_xm = Lxpm − R_xpm = L_x− R_x = δ, (2)

onde pm_{= ]F . Portanto, δ ∈ F .}

Verificamos que, dado z ∈ F , temos que Lz comuta com Lx e também comuta com Rx, de acordo com o fato que sendo Lx o ideal à esquerda gerado por x ∈ F e Rx o ideal gerado à direita. Como x ∈ U (R) ⇒ Rx = Lx = R ⇒ LxRx = RR = RxLx). Da teoria de corpos finitos, sabemos que dado F [x] 3 f (x) = xpm − x, tem-se f (x) = Y

z∈F (x − z). Em particular, 0 = δpm − δ = Y Lz∈F (δ − Lz). (3)

Como δ 6= 0, existe um menor ´ındice k em (3) tal que δ(δ − Lz1)...(δ − Lzk) 6= 0 e

δ(δ − Lz1)...(δ − Lzk)(δ − Lzk+1) = 0.

Assim, existe r ∈ R tal que w = r.δ(δ − Lz1)...(δ − Lzk) 6= 0,

mas w. δ − Lzk+1 = 0 ⇒ w(xr − rx − zr) = 0, para todo r ∈ R e para algum z ∈ F tal

que z1 ≤ z ≤ zk. Logo, xr − rx − zr = 0 e para r = w, temos wx − xw = zr ⇒ wx = (x − z)

| {z } ∈F

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Teorema 3.1 (Wedderburn) Todo anel de divis˜ao finito ´e um corpo.

Demonstra¸cão: Suponha que existam anéis de divisões não comutativos finitos e seja R um desses com o menor número de elementos. Então R tem caracter´ıstica prima p e todo subanel próprio de R é um anel de divisão menor que R e assim comutativo ( pois caso contrário, o subanel próprio seria R). Nos referimos a esses subanéis como subcor-pos. Um desses subcorpos será o conjunto E = {c|c ∈ R, cr = rc ∀inR}, chamado o centro de R. Vamos mostrar que: (1) Todo subcorpo de R é auto-conjugado de R; (2) Todo comutador r−1s−1rs está em E; (3) R é realmente comutativo. Assim

(1) Consideremos F um subcorpo maximal de R, como E e F geram um subanel co-mutativo de R contendo F , mas como F é maximal temos que E e F geram apenas F , assim F contém E. Como E não é maximal, pois todo extensão E[r] é comutativa, assim E F. Considere x ∈ F − E, então pelo Lema 1, existe w ∈ R∗ com wx = x0w, x0 ∈ F , x 6= x0. Sendo R anel de divisão, podemos multiplicar wx = x0w por w−1 a direita, assim

(wx)w−1 = (x0w)w−1 wxw−1 = x0(ww−1)

wxw−1 = x0 Logo wxw−1 = x0 ∈ F , w 6∈ F . Como wxw−1 _{= x}0

temos que x = w−1x0w, ou seja, x ∈ w−1F w ∩ F.

Se o corpo w−1F w contivesse um elemento não pertencente a F , esses dois corpos ger-ariam R: mas então x comuta com ambos desses corpos, assim x ∈ E, o que contrário o fato de que x ∈ F − E. Portanto, w−1F w = F , para um elemento w 6∈ F . Assim o normalizador NR(F ) = {r|r ∈ R, rF = F r} é um subanel de R contendo F , assim NR(F ) = R, pois F é maximal. Se K é qualquer subcorpo de R, ele encontra-se em um subcorpo maximal F , e assim ∀r ∈ R∗ temos que r−1Kr ⊆ r−1F r = F. Assim K e r−1Kr são subcorpos de F com o mesmo número de elementos, assim K = r−1Kr. Portanto todo subcorpo de R é auto-conjugado de R.

(2) Suponha que r−1s−1rs 6= 1, ent˜ao

r(r−1s−1rs) 6= r1 (rr−1)s−1rs 6= r s−1rs 6= r s(s−1rs) 6= sr (ss−1)rs 6= sr rs 6= sr

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Assim os corpos E[r] e E[s] juntos geram R, pela minimalidade de R. Mas E[r] ∩ E[s] = E, assim qualquer elemento comum comuta com todos os elementos de R. Como (r−1s−1r)s ∈ E[s] e r−1(s−1rs) ∈ E[r] temos que r−1s−1rs ∈ E. Portanto todo co-mutador r−1s−1rs est´a em E, o centro de R.

(3) Como R é não comutativo, existem x and y com xy 6= yx, assim xy = cyx (∗). Também de (2) temos que x(x + y) = c0(x + y)x, c ∈ E (∗∗).

Subtraindo (∗) de (∗∗) obtemos

xx + xy − xy = c0xx + c0yx − cyx xx = c0xx + (c0 − c)y

xx − c0x = (c0− c)y (1 − c0)x = (c0 − c)y

que implica que x e y comutam a menos que os elementos centrais 1 − c0 e c0 − c são ambos zero. Como xy 6= yx, temos que 1 − c0 = 0 e c0 − c = 0 e assim 1 = c0 = c. Mas de (∗) ter´ıamos que xy = yx, o que é uma contradi¸cão. Assim R é comutativo.

Portanto, todo anel de divis˜ao finito ´e um corpo.

4 Resultados essencias para a prova do Teorema de

Jacobson

Nessa se¸cão apresentaremos mais quatros lemas que utilizaremos na demonstra¸cão do Teorema de Jacobson. Entenderemos por ”condi¸cão de Jacobson”em um anel R, se R satisfizer as condi¸cões assumida no Teorema de Jacobson. Para mostrar que R é comutativo, provaremos que todo subanel hx, yi, onde hx, yi denota o subanel gerado por x e y , consiste de somas finitas geradas por x e y.

Lema 4.1 Um anel R finitamente gerado com condi¸c˜ao de Jacobson tem caracter´ıstica livre de quadrados p1...ps, para algum pi e algum s, e ´e a soma direta de subaneis Ri de caracter´ıstica pi.

Demonstra¸c˜ao: Se rn= r e sm = m, ent˜ao para k = (m − 1)(n − 1) + 1, temos rk= r e sk_{= s. De fato, vejamos que r}k _{= r (s}k _{= s ´}_{e an´}_alogo):

rrr...rrrr...r | {z } (m−1)(n−1)+1 termos = rrr...rrrr...rrn | {z } (m−2)(n−1)+1 termos = rrr... rnrn...rn | {z } k−1termos | {z } (m−k)(n−1)+1 termos = ... = rn...rn | {z } n termos = r...r |{z} n termos = r.

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Assim, para um n´umero finito de elementos x de R , podemos associar um k = n(x). Para r ∈ R e qualquer inteiro k > 1, existe n > 1 tal que rn = r e kr = (kr)n = kn_rn _{= k}n_{r ⇒ (k}n_{− k) r}

| {z } (1)

= kn_rn_{− kr = 0. Assim, se R = hx}

1, ..., xmi,por (1), existem inteiros ki > 1 tal que kixi = 0, para todo 1 ≤ i ≤ m.. Sabemos que os inteiros comutam com os elementos de R, o que nos leva a concluir (k1, .., km) R = {0}. Assim, conclu´ımos que a caracter´ıstica de R ´e k = k1...km =

s Y i=1

pji

i . Para r ∈ R, existe n > 1, tal que p1...psr = (p1...psr)n= (p1...psr)1+N (n−1) = (p1...ps)1+N (n−1).r1+N (n−1) = 0, (4) onde N esgota todos os ji, 1 ≤ i ≤ s. Agora, os inteiros Pi = p1_p...p_i s s˜ao relativamente primos entre si, ou seja, existem inteiros uitais que u1P1+...+usPs = 1 ⇒ r1+...+rs= r, onde ri = ruiPi, para todo 1 ≤ i ≤ s e r ∈ R. Logo

R = R1+ ... + Rs, (5)

onde Ri = PiR ´e um subanel de R de caracter´ıstica pi. Dados ri e rj em Ri e Rj, respectivamente, com i 6= j, temos

rirj = (Piri0) Pjrj0 = PiPjri0r 0 j = 0, de acordo com (4). Logo

s X i=1 ri ⇒ ri2 = − s X k=1 i6=k rirk = 0 ⇒ r2i = 0. (6) Portanto, ri = r n(ri) i = ri2.r n(ri)−2

i = 0, e assim conclu´ımos que R = R1⊕ ... ⊕ Rs, ou seja a soma dos Ri ´e uma soma direta.

Lema 4.2 Seja R um anel com condi¸c˜ao de Jacobson x ∈ R e xn _{= x. Ent˜}_{ao a} identi-dade r = xn−1r + (r − xn−1) expressa R como uma soma de an´eis ortogonais

R = Ix+ Ax

onde Ix = xn−1R e Ax = {r − xn−1r|r ∈ R}, tamb´em Ix cont´em x e tem elemento identidade xn−1_{, enquanto xA}

x = Axx = {0}. A soma Ix+ Ax ´e direta.

Demonstra¸c˜ao: Como xn= x, multiplicando ambos os lados por x−1temos que xx−1 = xn_x−1_{, ou ainda e = x}n−1_{. Assim e}2 _{= (x}n−1₎2 _{= x}2n−2 _{= (x}n₎2_x−2_{= x}2_x−2 _{= e, ou seja,} e2 _{= e. Vamos mostrar que e comuta com todos os elementos de R. De fato, temos que}

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= erere − erer − erere − erer = 0

Logo ere − er = 0, pela condi¸cão de Jacobson. De maneira análoga, (ere − er)2 _{= 0 e} assim ere − er = 0. Então

er = ere = re ou seja, e comuta com todos os elementos de R.

Agora mostremos que Ix e Ax são subanéis de R. Temos que Ix e Ax são fechados para a adi¸cão e multiplica¸cão de R, pois se a, b ∈ Ix e c, d ∈ Ax, logo a = er1, b = er2, c = r3− er3 e d = r4− er4 e assim

a + b = er1+ er2 = e(r1+ r2) ∈ Ix

ab = (er1)(er2) = e(r1e)r2 = e(er1)r2 = (ee)(r1r2) = e(r1r2) ∈ Ix c + d = (r3− er3) + (r4 − er4) = (r3+ r4) − e(r3+ r4) ∈ Ax

cd = (r3−er3)(r4−er4) = r3r4−r3er4−er3r4+eer3r4 = r3r4−er3r4−er3r4+er3r3 = r3r4−er3r4 ∈ Ax Temos tamb´em que Ix e Ax s˜ao ortogonais, pois dados a = er1 ∈ Ix e c = r2− er2 temos

que

ac = er1(r2− er2) = er1r2− er1er2 = er1r2− eer1r2 = er1r2− er1r2 = 0 ca = (r2− er2)er1 = r2er1− er2er1 = er2r1− eer2r1 = er2r1− er2r1 = 0

Agora como x = xn = xn−1x = ex, obtemos que x ∈ Ix. Assim e(er) = (ee)r = er, logo e = 1 ∈ Ix. Tamb´em temos que xAx = Axx = {0}, pois como x ∈ Ix obtemos que x(r − xn−1_{r) = xr − xx}n−1_{r = xr − xx}n−1_{r = xr − x}n_{r = xr − xr = 0. Analogamente} (r − xn−1r)x = 0.Notemos tamb´em que para x 6= 0 temos que Ix 6= {0}, enquanto que Ax{0} se xn−1 = 1R.

Finalmente, para todo r ∈ R temos que r = xn−1_{r +(r −x}n−1_{) ∈ I}

x+Ax. E se x ∈ Ix∩Ax temos que x = xn−1r = xn−2xr = 0. Assim R = Ix⊕ Ax, onde ⊕ denota a soma direta.

Lema 4.3 Um anel R, R 6= {0}, que satisfaz a condi¸cão de Jacobson r = rn(r) e é finitamente gerado, é uma soma direta de corpos finitos.

Demonstra¸c˜ao: Pela comutatividade e pela ” Condi¸c˜ao de Jacobson”

xn(xi)

i = xi para cada gerador de R, temos que R possui um número finito de elementos. Pelo Lema 4.1, temos que R possui caracter´ıstica finita, é finito e pode ser escrito como soma direta finita de anéis (Ri) comutativos de caracter´ıstica prima (pi). Para provarmos o resultado, basta mostrarmos que cada um dos Ri pode ser escrito como uma soma direta de corpos finitos. Consideremos R um desses anéis com caracter´ıstica p e vamos utilizar

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indu¸cão na cardinalidade de R, que é maior ou igual a p. Se ]R = p, então o anel R = {0, 1r, ..., (p − 1)r} é um anel de divisão pois se 0 = kr.k0r = kk0r2 ⇒ p|kk0 _⇒ p|k ou p|k0, ou r2 _{= 0, contradizendo a ”hip´}_{otese de Jacobson”. Assim, dados dois} elementos não nulos em R temos kr.k0r = kk0r2 _{= kr e o resultado segue. Portanto} R = Fq. Se ]R > p,de acordo com o Lema 3, consideremos R = Ix + Ax, para cada x ∈ R∗. A hipótese de indu¸cão aplicada a Ix e Ax nos garante que cada um desses subanéis pode ser escrito como soma direta de corpos finitos, a menos que um deles seja {0}; neste caso, como Ix 6= {0} ⇒ Ax = {0} ⇒ R = Ix, onde xn−1 = 1R, para todo x ∈ R∗. Assim, todos os elementos não nulos são invert´ıveis, o que nos leva a concluir que R é um corpo finito. Isto completa a indu¸cão.

Lema 4.4 Se R ´e um anel finito em que cada elemento r existe correspondˆencia um inteiro n(r) > 1 com r = rn(r)_{, ent˜}_{ao R ´}_{e comutativo.}

Demonstra¸cão: Primeiramente, pelo Lema4.1 2, podemos considerar apenas o caso de que R tem caracter´ıstica prima p. Assim usando indu¸cão sobre ](R), como no Lema 4.3, se ](R) = p obtemos que R = GF [p], ou seja, R é comutativo, obtendo sucesso na indu¸cão a menos que Ax = {0}. Agora se R é um anel de divisão finito, pelo Teorema de Wedderburn, R é um corpo, e assim comutativo. Portanto em ambos os casos obtemos que R é comutativo.

5 Teorema de Jacobson

Ap´os os resultados apresentados estamos prontos para provar o Teorema de Jacobson.

Teorema 5.1 (Jacobson) Seja R uma anel em que para todo elemento r existe um inteiro n(r) > 1, dependendo de r, tal que r = rn(r), ent˜ao R ´e comutativo.

Demonstra¸c˜ao: Para mostrar que xy = yx, ∀x, y ∈ R, precisamos apenas provar o Teorema de Jacobson para hx, yi, assim do Lema 4.1, R ser´a uma soma direta de subaneis de caracter´ısticas primas. Como esses elementos a elementos. Desde que esses comutam elemento a elemento, basta mostrar cada comutatividade, para que possamos assumir car(R) = p.

Vamos supor que xy 6= yx e chegaremos a uma contradi¸cão. Considere o anel hxi, temos que este satisfaz as condi¸cões do Lema 4, logo é soma direta de corpos finitos, esses corpos não podem todos comutar elemento a elemento com y, ou isso seria x. Então, sem perda de generalidade, podemos supor que x pertence a um subcorpo finito de R,

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digamos x ∈ F = Zp[x]. Agora vamos aplicar o Lema 4.2 para hx, yi: todos os elementos de Ax comutam com x, assim nem todos os elementos de Ix podem comutar com x. Indo do anel Ix para o anel R que cont´em o corpo F ,estamos no caso em que xn−1 = 1R. Como F = Zp[x] temos que 1R ∈ F , que resulta 1R = 1F e todo elemento de F∗ ´e invers´ıvel em R.

Pelo Lema 3.1, existe um elemento w ∈ R∗ com wx = x0w, com x 6= x0, x0 ∈ F. Assim para p(x) ∈ Zp[x], temos que wP (x) = P (x

0

)w, e em geral wi_{P (x) = Q(x)w}i _para p(x), q(x) ∈ Zp[x]. Assim, obtemos que hx, yi = Zp[x, w] que é o conjunto de todas as somas finitas de elementos da forma xj_wi_{, com 0 ≤ j < n(x) e 0 ≤ i < n(w). Logo, do} Lema 4.4, hx, yi é finito e assim comutativo. Ou seja, wx = xw = x0w, que resulta que xw − x0w = 0, ou ainda, (x − x0)w = 0. Como x 6= x0, x − x0 ∈ F , pois x, x0 ∈ F e todo elemento não nulo de F é invers´ıvel em R, obtemos que da equa¸cão (x − x0)w = 0 que w = 0. O que é uma contradi¸cão, pois do Lema 3.1 temos que w 6= 0. E a contradi¸cão está em supor que xy 6= yx. Portanto R nas condi¸cões do Teorema de Jacobson é comutativo.

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Referˆ

encias

[1] K. Rogers: An Elementary Proof of a Theorem of Jacobson

[2] I.N. Hernstein: Topics in Algebra, 2 ed- University of Chicago- Editora John Wiley e Sons.