Análise Matemática II

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Curso: Ano lectivo de 2005/2006

Eng. Informática e de Sistemas: 1º Ano / 2º Semestre

Sumário: aulas_{TP1, TP2, TP4,TPm}_20.Fev.06 + aula_TP3_24.Fev.06

» Plataforma de e-learning, lvm (laboratório virtual de matemática), de

apoio e complemento às aulas presenciais: http://lvm.isec.pt/moodle - Processo de registo na plataforma e inscrição na disciplina de Análise Matemática II

» DERIVE

- Software de cálculo simbólico com potencialidades numéricas e de representação 2D e 3D.

- Iniciação e operações elementares - Exercícios sobre trigonometria

- Esboçar a região sob o gráfico do cosseno e sobre o gráfico do seno, isto é: R={(x,y): sin(x)<=y<=cos(x)}

- Limites, Derivadas e Integrais

- Implementação de uma função para calcular a área de um triângulo. AreaTriangulo(b,h)=(bh)/2

- Documentos sobre a 1aulaDerive no lvm

ISECoimbra 24 de Fevereiro de 2006

Arménio António da Silva Correia :: e-mail: armenioc@mail.isec.pt ISEC_Dep de Física e Matemática :: www2.isec.pt/~armenioc

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Eng. Informática e de Sistemas: 1º Ano / 2º Semestre Sumário: aulas_{TP2, TP1}_7.Mar.06

» Funções reais de várias variáveis

Algoritmo de Esboço Tridimensional de uma função z=f(x,y) - 1ºPasso: Domínio

- 2ºPasso: Curvas de nível

- 3ºPasso: Intersecções com planos coordenados - 4ºPasso: Montagem 3D dos resultados anteriores

Modelo em arame (wireframe) -» revestimento -» Superfície » Exemplos de aplicação

a) Estudo pormenorizado da função

f(x,y)=Sqrt(x^2+y^2) » Superfície Cónica

Erro cometido e M.Frequente -» z=Sqrt(y^2)=y -» Correcto: z=|y|

b) g(x,y)=f(x,y) se 1<=x^2+y^2<=9

Superfície Cónica limitada z:[1, 3]

c) h(x,y)=IF(x^2+y^2<1, 0, IF(1<=x^2+y^2<=9, f(x,y))

Superfície Cónica limitada z:[1, 3]

com uma base circular de raio 1 centrada na origem plano xoy (z=0)

e) Resolução, passo a passo, do 1º exercício da frequência (existente na sebenta):

http://www2.isec.pt/~armenioc/Testes/testes0203/

MatApl_MEC_ELCTMEC_0203/2f_1ch_MatAplicada0203_AB_Mec_EMec.pdf

"Chapa 3D" composta por uma parte em forma circular e outra parabólica - Determinação de domínios e sua representação geométrica

- Funções definidas por ramos - Domínios de restrição

» Definição/Implementação em Derive das funções estudadas: - f(x,y):=Ln(4-y)

- g(x,y):=IF(0<=y<=-x^2+4, e^(f(x,y)), IF(x^2+y^2<=4 e y<0, 4))

» Definição e representação do 1ºsólido (cilindro parabólico) e determinação do seu volume -» Sólido recto

S={(x,y,z): 0<=x<=-y^2+4, 0<=z<=4} -» V(S)=A(B)*h = 4/3(2*4)*4

» Construção/representação da superfície associada ao primeiro ramo da função z=g(x,y) à custa do corte do sólido S pelo plano inclinado z=4-y plano inclinado com forma parabólica.

» DERIVE - Simulação computacional dos assuntos tratados

ISECoimbra 10 de Março de 2006

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» Funções reais de várias variáveis

» Limites: lim(f(x,y),[x,y],[x0,y0])

- Definição de limite e sua interpretação geométrica - Conceito de ponto de acumulação

exemplo: mostrar e provar que para: f(x,y)=-3x lim(f(x,y),[x,y],[0,0])=0

- Limites Iterados

Se Lim2(f(x,y),[x,y],[x0,y0])!=Lim2(f(x,y),[y,x],[y0,x0]) Então lim(f(x,y),(x,y),(x0,y0)) não existe

- Limites Direccionais

Se Lim(f(x,y),[x,y],[x0,y0], (x,y)@A)!=Lim(f(x,y),[x,y],[x0,y0], (x,y)@B) A e B são conjuntos que definem diferentes trajectórias

(rectilíneas, curvas_parábolas, ...) de [x,y]->[x0,y0] Então lim(f(x,y),[x,y],[x0,y0]) não existe

» Exercícios da sebenta

Nota: os limites iterados e direccionais apenas respondem sobre a não

existência de limite. A prova da existência de limite pela definição não será exigida, mas a simulação em gráfico é essencial, pois permite fazer uma avaliação do comportamento da função numa vizinhança de (x0,y0)

» Continuidade

- Teste/algoritmo de continuidade de f(x,y) em (x0,y0)

1. f(x0,y0) « existência, i.e, a função tem que estar definida em (x0,y0) 2. lim(f(x,y),[x,y],[x0,y0]) « existe limite de f em (x0,y0)

3. lim(f(x,y),[x,y],[x0,y0])=f(x0,y0) « o limite é igual ao valor da função - Interpretação geométrica e propriedades

» Exemplos/exercícios de aplicação

a) f(x,y)=4-x^2-y^2 « Superfície parabólica

b) g(x,y)=f(x,y) se x^2+y^2<=4 « Superfície parabólica limitada z:[0, 4] c) h(x,y)=-2 se 4<x^2+y^2<=9 « chapa/coroa circular em z=-2

d) j(x,y)=IF(x^2+y^2<=4, f(x,y), IF(4<x^2+y^2<=9, -2))

Determinação de limites e estudo da continuidade das funções anteriores. Visualização e prova da não existência de limite em qualquer ponto do "cordão

de soldadura" D3={(x,y): x^2+y^2=1} » J é contínua em todos os pontos do

seu domínio excepto nos pontos pertencentes ao cordão de soldadura » houve uma quebra do cordão » origem a um "buraco" 3D.

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» Derivadas parciais de ordem n

- Definições e propriedades

- Árvore binária das derivadas de z=f(x,y) Derivadas parciais de ordem n existem 2^n

- Teorema de Schwarz ... igualdade das derivadas mistas ... DIF(DIF(z,x),y)=DIF(DIF(z,y),x)

- Equação de Laplace DIF(z,x,2)+DIF(z,y,2)=0 (Equação Diferencial às Derivadas Parciais) - função harmónica satisfaz a equação de Laplace

harmonica?(u):=IF(DIF(u,x,2)+DIF(u,y,2)=0, "f é harmónica", "f não é harmónica")

Exemplos de aplicação

a) Determinar as 4 derivadas parciais de 2ªordem da função f(x,y)=x

ln(1+y^2). Aplicação do teorema de Schwarz, sobre as derivadas mistas Dif(Dif(f(x,y),x),y)=Dif(Dif(f(x,y),y),x)

b) Mostrar que f(x,y)= e^x cos(y)+e^y sin(x) é harmónica.

» Acréscimos e Diferenciais (retrospectiva para y=f(x)) - Definições, propriedades, interpretação geométrica e física. dy=f '(x)dx

- Exemplos de aplicação (conforme documento existente no LVM) » Acréscimos e Diferenciais em IR^3

- Definições, propriedades, interpretação geométrica e física z=f(x,y) -» dz = DIF(z,x)dx + DIF(z,y)dy

- Diagrama/algoritmo de aplicação - Exemplos de aplicação:

Valor aproximado da variação da Potência de um circuito eléctrico P=E^2/R

» Conceito de função diferenciável

que admite derivadas parciais contínuas na vizinhança de um ponto ... » DERIVE - Simulação computacional dos assuntos tratados

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Sumário: aulas_{TP2, TP1}_28.Mar.06

» Função Composta

- Definição e interpretação

» Derivada da função composta / Regra da Cadeia - Dependência de variáveis em linha e em árvore - Exemplos de aplicação genéricos e aplicações práticas

» Extremos de funções de várias variáveis - Extremos Simples e Condicionados

- Objecto de um possível trabalho para a cadeira

» Resolução integral de um exercício de exame sobre as últimas matérias leccionadas: Derivada direccional, Acréscimos e diferenciais, derivadas parciais de ordem n e derivada da função composta.

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Eng. Informática e de Sistemas: 1º Ano / 2º Semestre Sumário: aulas_{TP2, TP1}_04.Abril.06 + aulaSuplementar_05.Abril.06

CAPÍTULO 2: INTEGRAIS MÚLTIPLOS

INTEGRAL DUPLO

» Inversão da ordem de integração

INT(INT(f(x,y),y,y1,y2),x,x1,x2)=INT(INT(f(x,y),x,x3,x4),y,y3,y4)

Estabelecer regularidade do domínio de integração segundo um dos eixos ... ... no 1ºintegral os limites de integração deverão ser constantes

Exemplos:

a) Dado integral INT(INT(x+y))dydx definido sobre o D={(x,y): 0<=x<=2, 0<=y<=x}, inverter a ordem de integração INT(INT(x+y))dxdy e determinar o seu valor.

b) Dado integral duplo I=INT(INT(4,y,x^2,4-x^2),x,0,Sqrt(2)) - Representar graficamente o domínio de integração

- Determinar, sem calcular, o valor do integral e interpretar o resultado obtido - Inverter a ordem de integração

» Sistema de coordenadas em 3D: - Cartesianas [x,y,z]

- Cilíndricas [rho,theta,z]

T={x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), z=z} - Esféricas [R,theta,phi]

T={x=Rsin(phi)cos(theta), y=Rsin(phi)sin(theta), z=Rcos(phi)}

» Dedução das fórmulas/transformações associadas aos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas e respectivos jacobianos:

J=rho e J=-R^2sin(phi).

» Domínio das variáveis associadas às transformações e seus algoritmos. - Coordenadas Cilíndricas: rho>=0, 0<=theta<2pi, z » IR

- Coordenadas Esféricas: R>=0, 0<=theta<2pi, 0<=phi<pi

» Exemplo de aplicação das coordenadas cilíndricas no processo de soldadura robotizada e, das coordenadas esféricas aos movimentos de uma máquina de filmar.

» Exemplos de algumas equações de superfícies: - coordenadas cilíndricas:

S.cilíndrica: x^2+y^2=r^2 -» rho=r S.cónica: z=Sqrt(x^2+y^2) -» z=rho - coordenadas esféricas:

S.esfera: x^2+y^2+z^2=r^2 -» R=r S.cónica: z=Sqrt(x^2+y^2) -» phi=pi/4 » Exemplos de Sólidos

- coordenadas cilíndricas:

cilindro: {(x,y,z): x^2+y^2<=r^2, 0<=z<=h}

-» {(rho,teta,z): 0<=rho<=r, 0<=theta<=2pi, 0<=z<=h} cone: {(x,y,z): x^2+y^2<=1^2, Sqrt(x^2+y^2)<=z<=1} -» {(rho,teta,z): 0<=rho<=1, 0<=theta<=2pi, rho<=z<=1} - coordenadas esféricas:

esfera: x^2+y^2+z^2<=r^2

-» {(R,teta,phi): 0<=R<=r, 0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi} calote esférica: {(x,y,z): 0<=z<=Sqrt(r^2-x^2-y^2)}

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-» {(R,teta,phi): 0<=R<=r, 0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi/2} INTEGRAL TRIPLO

- Definição e propriedades.

» Estudo de algumas aplicações do integral triplo:

- Volumes de sólidos -» V(S)=INT(INT(INT(1,z,z0,z1),y,y0,y1),x,x0,x1) - Centro de massa de um sólido.

Exemplos de Aplicação:

a) Determinar o volume de um cilindro de raio r e altura h:

V=INT(INT(INT(1*|rho|,z,0,h),theta,0,2pi),rho,0,r)= pi*r^2*h b) Mostrar que o volume de uma esfera de raio r é igual a 4/3*pi*r^3

V=INT(INT(INT(1*|-R^2sin(phi)|,phi,0,pi),theta,0,2pi),R,0,r)= 4/3*pi*r^3 c) Outros ...

» Teste/Simulação computacional dos assuntos ministrados, com destaque principal para os três sistemas de coordenadas em 3D, conforme documentos existentes no LVM

NOTA: na aula suplementar do dia 5 de Abril, alguns dos assuntos referidos anteriormente foram trabalhados, assim como, parte da resolução do teste A do dia 13/11/04 que se encontra disponível na plataforma de e-learning LVM.

Dedução da fórmula de translação de eixos, isto é, sistemas de coordenadas globais e locais em 2D e 3D: T{X=x-x0, Y=y-y0, Z=z-z0

Equações de superfícies não centradas na origem, por exemplo:

z-z0=k(x-x0)^2+(y-y0)^2) representa uma superfície parabólica com vértice no ponto (x0,y0,z0).

ISECoimbra 6 de Abril de 2006

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Eng. Informática e de Sistemas: 1º Ano / 2º Semestre Sumário: aulas_{TP2, TP1}_18.Abril.06

aula TP com componente LABORATORIAL

Resolução analítica dos exercícios 3 e 5 da ficha sobre sólidos, existente na secção sobre Integrais Múltiplos:

http://lvm.isec.pt/moodle/mod/resource/view.php?id=123

» Esfera de raio r=Sqrt(34) seccionada por cilindro de raio r=3 S={(R,theta,phi):0<=theta<=2pi, atan(3/5)<=phi<=pi-atan(3/5), 3/sin(phi)<=R<=Sqrt(34)}

» Sólido limitado superiormente por superfície esférica de raio r=Sqrt(32) e inferiormente pela superfície cónica z=Sqrt(x^2+y^2)

S={(R,theta,phi): 0<=R<=Sqrt(32), 0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi/4

» Paraboloide seccionado por cilindro

S={(x,y,z): 1<=x^2+y^2<=4 , 0<=z<=4-x^2-y^2}

S={(r,theta,z): 1<=r<=3, 0<=theta<=2pi, 0<=z<=4-r^2}

» Simulação computacional dos exercicios apresentados, com destaque principal para os três sistemas de coordenadas em 3D, conforme documentos existentes no LVM

NOTA: na aula suplementar do dia 5 de Abril, foram resolvidos alguns dos exercicios do teste A do dia 13/11/04, que se encontra disponível e totalmente resolvido na secção sobre avaliação na plataforma LVM de e-learning

http://lvm.isec.pt/moodle/file.php/4/Documentos/testes/TesteA1_131104_AM2_INF.pdf

ISECoimbra 18 de Abril de 2006

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Sumário: aulas_{TP2, TP1, TP3, TPm}_02.Maio.06

Aula Laboratorial

» Formação inicial e fundamental em MatLab - Site oficial: http://www.mathworks.com/

- Ambiente de trabalho

- Comandos principais (!explorer, demo, help, lookfor, helpwin, dir, cd, whos, pwd, clc, clear, format ...

- Manipulação de matrizes e vectores - O operador :

- Script » M_Files » nomeficheiro.m

- Implementação de funções simples (conforme documentos no LVM) function [out1,out2,...] = NomeFuncao(in1,in2, ...)

» Exemplo: implementação do método da Bissecção (1ª versão) para obtenção de soluções aproximadas de f(x)=0 function c = Bisseccao_v1(f,a,b,k_max) % metodo da bissecçao k = 1; while(1), c = (a+b)/2; if(feval(f,a)*feval(f,c) > 0) a = c; else b = c; end

if(feval(f,c) == 0 | k==k_max) break; end

k = k + 1; end

» Definição de uma função para testar Bissecção_v1 function y=f2(x)

% funçao de teste MBissecçao y=x*log(x)-1;

» na linha de comandos do Matlab digitar: c = Bisseccao_v1('f2',1,2,2) output: c = 1.7500

ISECoimbra 04 de Maio de 2006

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Sumário: aulas_{TP2, TP1}_16.Maio.06

Capítulo 4 - Interpolação polinomial

» Motivações e generalidades sobre interpolação polinomial. » Definição/caracterização de um polinómio:

grau e coeficientes dos monómios -» Soma de monómios ...

» Definição de polinómios interpolador -» Pn(xi)=f(xi) i=0,1,2,...,n -» assume os mesmos valores da função nos n+1 pontos de interpolação.

» Casos particulares de interpolação: linear, quadrática e cúbica.

» Interpoladora de Newton das diferenças divididas - Polinómio interpolador e tabela de diferenças divididas. - Estimativa para o erro.

- Interpolação Inversa.

Exemplos/exercícios de aplicação: determinação da equação de uma recta = Interpolação linear; equação de uma parábola = interpolação quadrática; outros sobre a forma de tabela. Resolução de exercícios de exame sobre o assunto em estudo: http://lvm.isec.pt/~armenioc/Testes/testes0405/AM2_D_INF_0405/ ExameEpNormal_TesteB_AMatII_d_0405_INF.pdf http://lvm.isec.pt/~armenioc/Testes/testes0304/AM2_INF_0304/ Exame_2Chamada_AMatII_0304_INF.pdf ISECoimbra 16 de Maio de 2006

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Sumário: aulas_{TP2, TP1, TP3, TPm, TP4}_22.Maio.06

» Implementação, em Matlab, da Regra dos Trapézios e de Simpson » Exercícios de aplicação, simulação e teste das funções implementadas

» Interpoladora de Newton das diferenças divididas. Análise de um algoritmo da tabela de diferenças divididas sob a forma de uma matriz triangular superior.

Notas:

a) As funções implementadas estão disponíveis na pasta aulas :: Matlab de AM2 na plataforma de e-learning »

http://lvm.isec.pt/moodle/mod/resource/view.php?id=126

b) Existem actividades sobre os métodos numéricos disponíveis na secção Matlab :: Aulas laboratoriais.

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Sumário: aulas_{TP2, TP1, TP3, TPm, TP4}_30.Maio.06

Capítulo 6 - Equações Diferenciais Ordinárias Problema de Valor Inicial (PVI)

» Métodos Numéricos para a resolução de PVI » Método de Euler e Runge-Kutta

- Algoritmos

- Implementação do método de Euler em Matlab

- Exercícios de Aplicação: http://lvm.isec.pt/moodle/mod/resource/view.php?id=178 » Simulação computacional de um PVI

- Comparação dos resultados obtidos pelos métodos de Euler, RK2 e RK4 com a solução exacta » resultados em forma de tabela e respectivos gráficos.

Na secção Matlab e na pasta aulas :: Matlab está disponível a pasta sobre a implementação do método de Euler e outras funções que não foram

desenvolvidas na aula laboratorial:

http://lvm.isec.pt/moodle/mod/resource/view.php?id=172&subdir=/PVI_Metodo_Euler A função principal é m_numericos_PVI que devolve uma

tabela de resultados completa com comparação das aproximações obtidas em função do erro cometido. Representação gráfica dos resultados.

Para executar na linha de comandos do Matlab: 1ºPasso » TabelaResultados=m_numericos_PVI('f_exemplo',1,2,10,2) 2ºPasso » h=AbreExcel 3ºPasso » Matriz2Excel(h,TabelaResultados) » MathType

processador de texto científico » acoplado a ferramentas do Office »

Demonstração e teste das suas potencialidades » elaboração de relatórios que necessitem de texto/fórmulas matemáticas

http://www.dessci.com/en/products/mathtype/

Exemplo: http://lvm.isec.pt/moodle/mod/resource/view.php?id=179

Notas:

a) Existem actividades sobre os métodos numéricos disponíveis na secção Matlab :: Aulas laboratoriais.

b) A última actividade será implementar o Métodos de Runge-Kutta (RK2 e RK4) com base nos ficheiros existentes na pasta:

http://lvm.isec.pt/moodle/mod/resource/view.php?id=172&subdir=/PVI_Metodo_Euler