Dos Produtos Notáveis ao Cálculo de Volumes

(1)

Dos Produtos Not´

aveis ao C´

alculo de Volumes

Ronaldo B. Assun¸c˜ao

Paulo C. Carri˜ao

Departamento de Matem´atica, Universidade Federal de Minas Gerais CEP 30123-970 — Belo Horizonte (MG), Brasil

ronaldo@mat.ufmg.br carrion@mat.ufmg.br III Bienal da SBM — Goiˆania, 6 a 10 de novembro de 2006

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Somas de potˆencias inteiras dos n´umeros naturais 3

1.1 Soma dos n´umeros naturais . . . 3

1.2 Soma dos quadrados dos n´umeros naturais . . . 3

1.3 Soma dos cubos dos n´umeros naturais . . . 4

1.4 Nota¸c˜ao de somat´orio . . . 4

2 Cálculo de áreas pelo método de exaustão 5 2.1 Descri¸cão do método de exaustão . . . 5

2.2 Cálculo da área sob o gráfico da reta . . . 5

2.3 Cálculo da área sob o gráfico da parábola . . . 7

2.4 Cálculo da área sob o gráfico da parábola cúbica . . . 8

2.5 Propriedades gerais . . . 9

3 Cálculo de volumes pelo método de exaustão 9 3.1 Cálculo do volume do cone . . . 9

3.2 C´alculo do volume do tronco de cone . . . 10

3.3 A f´ormula dos trˆes n´ıveis . . . 11

4 Aplica¸c˜oes 12 4.1 Esfera . . . 12

4.2 “Telhado” . . . 13

4.3 “Ponta de chave de fenda” . . . 13

4.4 Parabol´oide . . . 13

4.5 Exerc´ıcios . . . 13

Introdu¸c˜

ao

O cálculo de volumes é um dos assuntos estudados na matemática desde a antiguidade até os dias atuais. Diversas fórmulas foram descobertas ao longo dos anos para calcular volumes de diferentes sólidos. O objetivo deste trabalho é apresentar uma fórmula para

(2)

o cálculo do volume de todos os sólidos estudados no ensino médio e outros mais. É a chamada fórmula dos três n´ıveis, dada por

p x V = (b − a) 6 h S(a) + 4Sa + b 2 + S(b)i q y

em que S(x) representa a área da se¸cão transversal do sólido na posi¸cão x (veja Teorema 1). ´

E importante ressaltar que S(x) deve ser um poliômio de grau no máximo 3 na variável x. Uma versão dessa fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide já era conhecida no Egito antigo, conforme atesta o Papiro de Moscou, datado de cerca de 1900 A. C.

x

x = a x = (a + b)/2

x = b

Para ilustrar a aplica¸cão dessa fórmula, apresentamos a cunha cil´ındrica. Este sólido é obtido pela interse¸cão de um cilindro circular reto com dois planos (um deles horizontal e o outro formando um ângulo α com o primeiro). Como é simples observar, as se¸cões transversais verticais da cunha cilindrica são triângulos (aqui estamos supondo que os planos verticais interceptam ortogonalmente os dois planos que delimitam a cunha). A área do triângulo obtido por um plano vertical na posi¸cão x é dada por S(x) = tan α

2 (r

2

− x2

), que é um polinômio de grau 2 na variável x. Aplicando a fórmula dos três n´ıveis para x = ±r e x = 0 encontramos S(±r) = 0 e S(0) = r2

tan α/2. Portanto, o volume da cunha cil´ındrica vale V = 2r/6[0 + 4(r2

tan α/2) + 0] = 2r3 tan α/3. x y z S(x) = tan α 2 (r 2 − x2) V = 2 tan α 3 r 3 x y z xα r −r _{y =}√_r2 − x2 z = tan α√r2 − x2

Na se¸cão 1 apresentamos algumas fórmulas para o cálculo de somas de potências dos números naturais. Essas fórmulas, baseadas nos produtos notáveis, serão úteis para o cálculo da área sob o gráfico de retas, de parábolas e de parábolas cúbicas que são

(3)

descritas na se¸cão 2. Na se¸cão 3 apresentamos o cálculo do volume do tronco de cone utilizando os produtos notáveis e enunciamos a fórmula dos três n´ıveis. Para demonstrá-la, usaremos o Princ´ıpio de Cavalieri e as idéias desenvolvidas nas se¸cões anteriores. Na se¸cão 4 apresentamos algumas aplica¸cões da fórmula dos três n´ıveis para o cálculo de volumes da esfera, do “telhado” e da calota esférica e da “ponta de chave de fenda” e também propomos alguns exerc´ıcios para o leitor.

1 Somas de potˆ

encias inteiras dos n´

umeros naturais

1.1 Soma dos n´

umeros naturais

A partir da conhecida f´ormula (a + b)2

= a2

+ 2ab + b2

podemos determinar o valor de S1 ≡ 1 + 2 + 3 + · · · + n

da seguinte maneira. Escrevendo (k + 1)2

− k2

= 2k + 1 e usando propriedades aritméticas simples, podemos somar os lados esquerdos de todas as igualdades abaixo e igualar à soma dos lados direitos correspondentes. Observamos agora que do lado esquerdo todos as parcelas se cancelam, exceto a primeira parcela da primeira linha e da última parcela da ´

ultima linha; tamb´em notamos que do lado direito obtemos 2S1+n pois temos exatamente

n linhas. Assim, 22 − 12 = 2 · 1 + 1 32 − 22 = 2 · 2 + 1 ... ... ... ... ... ... ... (n)2 − (n − 1)2 = 2 · (n − 1) + 1 (n + 1)2 − n2 = 2 · n + 1 (n + 1)2 − 12 = 2 · S1 + n.

Agora temos rela¸c˜ao (n + 1)2

− 1 = 2S1+ n, e portanto, p x S1 = n(n + 1) 2 . q y (1)

1.2 Soma dos quadrados dos n´

umeros naturais

Este mesmo tipo de racioc´ınio pode ser empregado para o c´alculo de S2 ≡ 1 2 + 22 + 32 + · · · + n2 .

De fato, a partir do produto not´avel (a + b)3

= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 temos a rela¸c˜ao (k + 1)3 − k3 = 3k2 + 3k + 1. Assim 23 − 13 = 3 · 12 + 3 · 1 + 1 33 − 23 = 3 · 22 + 3 · 2 + 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... (n)3 − (n − 1)3 = 3 · (n − 1)2 + 3 · (n − 1) + 1 (n + 1)3 − n3 = 3 · n2 + 3 · n + 1 (n + 1)3 − 13 = 3 · S2 + 3 · S1 + n.

(4)

Usando a f´ormula (1), obtemos facilmente a f´ormula p x S2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 . q y (2)

1.3 Soma dos cubos dos n´

umeros naturais

Mais uma vez vamos usar as id´eias anteriores para calcular o valor de S3 ≡ 1 3 + 23 + 33 + · · · + n3 . A partir do produto not´avel (a + b)4

= a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 temos a rela¸c˜ao (k + 1)4 − k4 = 4k3 + 6k2 + 4k + 1. Assim 24 − 14 = 4 · 13 + _{6 · 1} _{+ 4 · 1} + 1 34 − 24 = 4 · 23 + _{6 · 2} _{+ 4 · 2} + 1 ... ... _{... ... ···} · · · ... ... ... ... ... (n)4 − (n − 1)4 = 4 · (n − 1)3 + _{6 · (n − 1)}2 + 4 · (n − 1) + 1 (n + 1)4 − n4 = 4 · n3 + _{6 · n}2 + 4 · n + 1 (n + 1)4 − 14 = 4 · S3 + 6 · S2 + 4 · S1 + n.

Usando as f´ormulas (1) e (2), obtemos facilmente a f´ormula

p x S3 = hn(n + 1) 2 i2 . q y (3) O leitor atento ter´a observado que S3 = S12, ou seja,

13 + 23 + 33 + · · · + n3 = (1 + 2 + 3 + · · · + n)2 .

1.4 Nota¸c˜

ao de somat´

orio

Usando a nota¸cão de somatório, temos as seguintes fórmulas. S1 = n X i=1 i = n(n + 1) 2 , S2 = n X i=1 i2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 , S3 = n X i=1 i3 =hn(n + 1) 2 i2 ou S3 = n X i=1 i3 =h n X i=1 ii 2 . A fórmula geral é a seguinte:

Sm = n X i=1 im = 1 m + 1 h (n + 1)m+1− 1 − n X i=1 (i + 1)m+1− im+1− (m + 1)imi, ou ent˜ao Sm = n−1 X i=1 im = 1 m + 1 m X k=0 m + 1 k Bknm+1−k,

em que Bk são os chamados números de Bernoulli, dados por Bk = 0 se k é um número

´ımpar diferente de 1, B0 = 1, B1 = −1/2, B2 = 1/6, B4 = −1/30, B6 = 1/42, B8 =

−1/30, B10 = 5/66, etc. Convidamos o leitor a visitar a seguinte p´agina da Internet e

(5)

2 C´

alculo de ´

areas pelo m´

etodo de exaust˜

ao

2.1 Descri¸c˜

ao do m´

etodo de exaust˜

ao

Seja f : [a, b] → R uma fun¸cão não negativa definida no intervalo fechado a 6 x 6 b. A área A da região sombreada na figura pode ser avaliada da seguinte forma.

y = f (x)

x y

a _b

Seja n ∈ N um número natural qualquer; dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais a ∆x = (b−a)/n. O valor ∆x será a base de dois tipos de retângulos: os do primeiro tipo, representados de cinza claro, estarão totalmente abaixo do gráfico de y = f (x); os do segundo tipo, representado de cinza escuro na figura (e parcialmente encobertos pelos retângulos claros), conterão totalmente o gráfico de y = f (x). Em outros termos, constru´ımos duas classes de retângulos tais que os da primeira classe ficam inteiramente cobertos pelo gráfico da fun¸cão y = f (x) e os da segunda classe cobrem inteiramente o gráfico da fun¸cão. Denotando por bi a área de um retângulo genérico da primeira classe e

por ci a área de um retângulo genérico da segunda classe, temos as seguintes desigualdades:

n X i=1 bi 6A 6 n X i=1 ci. (4) y = f (x) x y a _b y = f (x) x y a _b

Quando o número n de partes em que se divide o intervalo fechado a 6 x 6 b aumenta, a soma das áreas dos retângulos claros aumenta, como se pode visualizar na figura; além disso, a soma das áreas dos retângulos escuros diminui. Entretanto, nesse processo a área A sob o gráfico da fun¸cão permanece verificando as desigualdades (4). Podemos então aproximar o valor exato da área A fazendo um número cada vez maior de retângulos (claros, por falta; escuros, por excesso). Assim, se os valores

Bn = n X i=1 bi e Cn = n X i=1 ci

tornarem-se arbitrariamente próximos um do outro quando o número n cresce, então esse valor comum deverá ser igual à área A.

2.2 C´

alculo da ´

area sob o gr´

afico da reta

Consideremos nessa subse¸cão o gráfico da fun¸cão f : [0, b] → R definida por y = f(x) = x. A área A requerida é a de um triângulo retângulo isósceles de catetos iguais a b e vale A = b2

(6)

n ∈ N um número natural qualquer; dividimos o intervalo fechado [0, b] em n subintervalos iguais a ∆x = b/n que formarão as bases dos retângulos. É fácil verificar que os n + 1 pontos usados para determinar os subintervalos devem ter coordenadas iguais a

x0 = 0 x1 = b/n x2 = 2b/n x3 = 3b/n · · · x_n−1 = (n−1)b/n x_n= nb/n = b. (5)

O retângulo genérico cinza claro (totalmente contido na região sob o gráfico da fun¸cão f (x) = x) tem altura igual ao valor de f (xi−1) = xi−1pois a fun¸cão é crescente e o menor

valor que atinge no subintervalo [xi−1, xi] ocorre na extremidade esquerda do subintervalo.

Assim,

bi = (∆x) · f(xi−1) = (∆x) · xi−1 = (b/n) · xi−1= (b/n) · (i − 1)b/n.

f (x) = x

x y

A soma das ´areas dos retˆangulos claros vale Bn = n X i=1 bi = n X i=1 b n (i − 1)b n = b n 2 n X i=1 (i − 1) =b 2 2 n(n − 1) n2 = b 2 2 1 − 1_n = b 2 2 − b2 2n

O retângulo genérico cinza escuro (que contém totalmente a região sob o gráfico da fun¸cão f (x) = x) tem altura igual ao valor de f (xi) = xi pois a fun¸cão é crescente e o maior

valor que atinge no subintervalo [xi−1, xi] ocorre na extremidade direita do subintervalo.

Assim,

ci = (∆x) · f(xi) = (∆x) · xi = (b/n) · xi = (b/n) · (ib)/n.

A soma das ´areas dos retˆangulos escuros vale Cn= n X i=1 ci = n X i=1 b n ib n = b n 2 n X i=1 i = b n 2n(n + 1) 2 = b2 2 n(n + 1) n2 = b 2 2 1 + 1 n = b2 2 + b2 2n

Claramente, temos as seguintes desigualdades: −b 2 2n 6A − b2 2 6 b2 2n.

(7)

Como o valor de b é arbitrário (porém fixo) e já que o denominador da fra¸cão b2

/2n torna-se arbitrariamente grande quando aumentamos o valor de n, resulta que b2

/2n fica menor do que qualquer valor previamente fixado (bastando para isso escolher um valor suficientemente grande para n). Ent˜ao a diferen¸ca entre o valor da ´area A e b2

/2 fica menor do que qualquer quantidade previamente fixada, por menor que seja. Isto s´o ´e verdade se os valores de A e b2

/2 forem iguais. Conclu´ımos ent˜ao que A = b2

/2.

2.3 C´

alculo da ´

area sob o gr´

afico da par´

abola

Consideremos agora a fun¸c˜ao f : [0, b] → R definida por y = f(x) = x2

. Vamos calcular a área A usando novamente o processo descrito anteriormente. Para isso, seja n ∈ N um número natural qualquer; dividimos o intervalo fechado [0, b] em n subintervalos iguais a ∆x = b/n que formarão as bases dos retângulos. É fácil verificar que os n + 1 pontos usados para determinar os subintervalos são os mesmos dados por (5).

O retângulo genérico cinza claro (totalmente contido na região sob o gráfico da fun¸cão f (x) = x2

) tem altura igual ao valor de f (xi−1) = x2i−1 pois a fun¸c˜ao ´e crescente e,

por-tanto, o menor valor que atinge no subintervalo [xi−1, xi] ocorre na extremidade esquerda

do subintervalo. Assim,

bi = (∆x) · f(xi−1) = (∆x) · x2i−1 = (b/n) · xi−1= (b/n) · (i − 1)b/n

2 A soma das ´areas dos retˆangulos claros vale

Bn = n X i=1 bi = n X i=1 b n (i − 1)b n 2 = b n 3 n X i=1 (i − 1)2 = b 3 6 (n − 1)n(2n − 1) n3 = b3 6 1 −_n1 2 − _n1 = b 3 3 1 −_2n3 + 1 2n2 .

O retângulo genérico cinza escuro (que contém totalmente a região sob o gráfico da fun¸cão f (x) = x2

) tem altura igual ao valor de f (xi) pois a fun¸c˜ao ´e crescente e, portanto, o menor

valor que atinge no subintervalo [xi−1, xi] ocorre na extremidade direita do subintervalo.

Assim,

ci = (∆x) · f(xi) = (∆x) · xi = (b/n)xi = (b/n)(ib)/n

A soma das ´areas dos retˆangulos escuros vale Cn= n X i=1 ci = n X i=1 b n ib n 2 = b n 3 n X i=1 i2 = b 3 6 (n + 1)(2n + 1) n2 = b3 6 1 + 1 n 2 + 1 n = b 3 3 1 + 3 2n + 1 2n2 . Claramente, temos as seguintes desigualdades:

b3 3 − 3 2n + 1 2n2 6_{A −} b 3 3 6 b3 3 3 2n + 1 2n2 .

Como anteriormente, conclu´ımos que o valor exato da ´area ´e A = b3

(8)

f (x) = x2

x y

2.4 C´

alculo da ´

area sob o gr´

afico da par´

abola c´

ubica

Consideremos agora a fun¸c˜ao f : [0, b] → R definida por y = f(x) = x3

. Mais uma vez, vamos calcular a área A usando o processo de passagem ao limite, conhecido como método da exaustão. Para isso, seja n ∈ N um número natural qualquer; dividimos o intervalo fechado [0, b] em n subintervalos iguais a ∆x = b/n que formarão as bases dos retângulos. Novamente os n + 1 pontos usados para determinar os n subintervalos devem ter coordenadas dadas por (5). O retângulo genérico cinza claro (totalmente contido na região sob o gráfico da fun¸cão f (x) = x3

) tem altura igual ao valor de f (xi−1) = x3i−1pois

a fun¸c˜ao ´e crescente e, portanto, o menor valor que atinge no subintervalo [xi−1, xi] ocorre

na extremidade esquerda do subintervalo. Assim,

bi = (∆x) · f(xi−1) = (∆x) · x3i−1 = (b/n) · xi−1= (b/n) · ((i − 1)b/n)3

A soma das ´areas dos retˆangulos claros vale Bn = n X i=1 bi = n X i=1 b n (i − 1)b n 3 =b 4 4 (n − 1)2n2 n4 = b 4 4 1 − 1_n 1 −_n1= b 4 4 1 − 2_n + 1 n2 .

O retângulo genérico cinza escuro (que contém totalmente a região sob o gráfico da fun¸cão f (x) = x3

) tem altura igual ao valor de f (xi) = x3i pois a fun¸c˜ao ´e crescente e, portanto,

o menor valor que atinge no subintervalo [xi−1, xi] ocorre na extremidade direita do

su-bintervalo. Assim,

ci = (∆x) · f(xi) = (∆x) · xi = (b/n) · xi = (b/n) · ((ib)/n)3

A soma das ´areas dos retˆangulos escuros vale Cn= n X i=1 ci = n X i=1 b n ib n 3 =b 4 4 n2(n + 1)2 n4 = b 4 4 1 + 1 n 1 + 1 n = b4 4 1 + 2 n + 1 n2 . Claramente, temos as seguintes desigualdades:

b4 4 − 2 n + 1 n2 6_{A −} b 4 4 6 b4 4 2 n + 1 n2 .

(9)

Como anteriormente, conclu´ımos que o valor exato da ´area ´e A = b4 /4. f (x) = x3 x y

2.5 Propriedades gerais

Nesta subse¸c˜ao introduzimos a nota¸c˜ao Ib

a f (x) para representar a ´area sob o gr´afico

da fun¸cão f : [a, b] → R definida no intervalo fechado [a, b]. Com base nos cálculos apresentados nas subse¸cões anteriores, temos as seguintes propriedades.

1. Ib a(1) = b − a. 2. Ib a(x) = b2 2 − a2 2 . 3. Ib a(x 2 ) = b 3 3 − a3 3 . 4. Ib a(x 3 ) = b 4 4 − a4 4 . 5. Ib a c · f(x) = c · Iab f (x). 6. Ib a f (x) + g(x) = Iab f (x) + Iab g(x). 7. Ib a(c0+ c1x + c2x2+ c3x3) = c0(b − a) + c1 2(b 2 − a2) + c2 3(b 3 − a3) + c3 4(b 4 − a4).

3 C´

alculo de volumes pelo m´

etodo de exaust˜

ao

3.1 C´

alculo do volume do cone

Seja f : [a, b] → R uma fun¸cão definida no intervalo fechado [a, b]. Se girarmos a região determinada sob o gráfico da fun¸cão em torno do eixo Ox, obtemos um sólido denominado sólido de revolu¸cão. Usando a simetria dos sólidos de revolu¸cão em rela¸cão ao eixo de rota¸cão, podemos utilizar as técnicas desenvolvidas na se¸cão anterior para calcular seu volume.

x

f (x) = rx/h

Consideremos inicialmente o caso em que f : [a, h] → R é definida porf(x) = rx/h, em que r e h são números reais fixos (mas arbitrários), representando o raio da base do

(10)

cone e sua altura, respectivamente. Dividindo o intervalo [0, h] em n subintervalos iguais a ∆x = h/n e tra¸cando planos perpendiculares ao eixo Ox pelos pontos das subdivisões, dados por x0 = 0, x1 = h n, x2 = 2h n , x3 = 3h n , · · · xn−1= (n − 1)h n , xn= nh n = h, obtemos n troncos de cone. Cada um deles pode ser aproximado (por falta e por excesso) por cilindros cujas espessuras valem ∆x e cujos raios variam conforme o gráfico de f (x). Mais precisamente, aplicando a defini¸cão de f (x) para x = xi = ih/n, obtemos o volume

dos cilindros por excesso (e deixamos o caso por falta para o leitor). Assim, ci = π × (raio) 2 × altura = πf(xi) 2 ∆x = πr 2 h n3 i 2 . A soma dos volumes de todos os cilindros da parti¸c˜ao vale

Cn= n X i=1 ci = n X i=0 πr 2 h n3 i 2 = πr 2 h n3 n X i=1 i2 = πr2 hn(n + 1)(2n + 1) 6n3 = πr 2 h 3 1 + 3 2n + 1 2n2 .

Conforme já salientamos, este valor não é exatamente igual ao volume do cone; entretanto, fazendo o número n de subintervalos tender a infinito, obtemos aproxima¸cões cada vez melhores (sempre por excesso, nesse caso).

Analogamente, fazendo as aproxima¸c˜oes por falta, podemos determinar o valor Bn = πr2 h 3 1 −_2n3 + 1 2n2 .

Conforme fizemos anteriormente, temos as desigualdades πr2 h 3 − 3 2n + 1 2n2 6_{V −} πr 2 h 3 6 πr2 h 3 3 2n + 1 2n2 .

Disso resulta que o volume do cone de altura h e raio da base r vale V = πr

2

h 3 .

3.2 C´

alculo do volume do tronco de cone

O volume do tronco de cone obtido pela rota¸cão do gráfico da fun¸cão f : [a, b] → R definida no intervalo fechado [a, b] por y = f (x) = x em torno do eixo Ox (em que 0 < a < b) pode ser calculado com o aux´ılio do volume do cone determinado anteriormente. Assim

Vtronco = πb 2 · b 3 − π a2 · a 3 = π 3 b 3 − a3). Usando o produto not´avel b3

− a3 = (b − a)(a2

+ ab + b2

), podemos reescrever o volume do tronco de cone como

Vtronco = π(b − a)₃ (a2 + ab + b2 ) = π(b − a) 6 (2a 2 + 2ab + 2b2 ) = π(b − a) 6 (a 2 + a2 + 2ab + b2 + b2 ) = π(b − a) 6 h a2 + 4a 2 + 2ab + b2 4 + b2i = π(b − a) 6 h a2 + 4a + b 2 2 + b2i

(11)

Observamos agora que o fator que multiplica o número 4 na última igualdade é exatamente a área do c´ırculo a meia altura no tronco de cone. Lembramos também que nesse caso as áreas são polinômios de grau 2 da variável x, isto é, S(x) = πx2

representa a área da se¸cão do tronco de cone obtida pela interse¸cão de um plano perpendicular ao eixo Ox passando pelo ponto de abscissa x. Assim, podemos escrever

Vtronco = b − a₆ S(a) + 4S a + b

2 + S(b).

Um racioc´ınio análogo permite calcular o volume de pirâmides, dado por V = Ah 3 , em que A é a área da base da pirâmide e h sua altura, além de tronco de pirâmides (que deixamos como exerc´ıcio).

3.3 A f´

ormula dos trˆ

es n´ıveis

Nesta subse¸cão apresentamos o resultado principal deste texto. É a fórmula dos três n´ıveis, que permite calcular o volume de certos tipos de sólidos, entre os quais aqueles que são estudados no ensino médio. Para enunciar o teorema, necessitamos de algumas defini¸cões e nota¸cões. Seja K um sólido no espa¸co tridimensional. Denotamos por S(a) a área da se¸cão transversal obtida interceptando o sólido K por um plano perpendicular ao eixo x (plano esse que intercepta o próprio eixo x na posi¸cão x = a). A fórmula dos três n´ıveis permite calcular o volume do sólido K usando as áreas de três se¸cões adequadamente escolhidas.

Teorema 1 (Fórmula dos três n´ıveis) Seja K um sólido no espa¸co tridimensional. Se a áreaS(x) de qualquer se¸cão transversal do sólido é um polinômio de grau no máximo 3, então o volume do sólido K entre os planos nas posi¸cões x = a e x = b é dado pela fórmula p x VK = (b − a) 6 h S(a) + 4Sa + b 2 + S(b)i. q y (6)

Para demonstrar o Teorema 1 usamos o Princ´ıpio de Cavalieri. Este princ´ıpio permite que o cálculo do volume do sólido K seja feito através do cálculo das áreas já estudadas. A propriedade 7 da se¸cão 2.5 permite que tratemos separadamente os casos em que S(x) é um polinômio de grau zero, de grau 1, de grau 2 e finalmente de grau 3. Alguns desses casos são bem simples e deixados a cargo do leitor (confira o caso do volume do tronco de cone). Faremos a demonstra¸cão apenas do caso em que S(x) = x3

. Antes, porém, é instrutivo enunciar o princ´ıpio no qual a demonstra¸cão se baseia.

(12)

Princ´ıpio de Cavalieri Se dois sólidos estão inclu´ıdos entre um par de planos paralelos e se são iguais as áreas das se¸cões transversais cortadas por planos paralelos ao par de planos que delimitam os sólidos, então os volumes dos dois sólidos também são iguais.

x _y

z

x _y

z

Demonstração da fórmula dos três n´ıveis. Usando os produtos notáveis b4

−a4 = (b − a)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) e (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 , temos I_ab(x3 ) = b 4 4 − a4 4 = b − a 4 (a 3 + a2 b + ab2 + b3 ) = b − a 3 · 4 (3a 3 + 3a2 b + 3ab2 + 3b3 ) = b − a 6 · 1 2(2a 3 + a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 + 2b3 ) = b − a 6 a3 +(a + b) 3 2 + b 3 = b − a 6 S(a) + 4S a + b 2 + S(b)

4 Aplica¸c˜

oes

Nesta se¸cão final apresentamos algumas aplica¸cões da fórmula dos três n´ıveis para o cálculo de volumes de alguns sólidos.

4.1 Esfera

x y z x y z S(x) = π(r2 − x2 ) V = 4π 3 r 3 x y z x y z x r √ r2 − x2

(13)

4.2 “Telhado”

x y z S(w) = bw h2 a1h + w(a − a1) V = bh 6 (2a + a1) x y z w h a a1 b

4.3 “Ponta de chave de fenda”

x _y z S(x) = πabx/h V = πabh/2 x _y z a −a b h

4.4 Parabol´

oide

x y z S(z) = πz V = πh 2 2 z √ z x y z

4.5 Exerc´ıcios

1. Calcule o volume da calota esférica de altura h (para uma esfera de raio r). 2. Calcule o volume do tronco de pirâmide de altura h e áreas das bases B1 e B2.

3. Calcule o volume do sólido de revolu¸cão obtido pela rota¸cão da parábola semi-cúbica y = f (x) = x3/2 _{(para 0 6 x 6 b) em torno do eixo x.}

Referˆ

encias

[1] M. Berger, Geometry II, Springer-Verlag, Universitext, Berlin 1987.

[2] H. Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders College Publishing 1983.

[3] E. L. Lima, Medida e Forma em Geometria, Cole¸c˜ao Professor de Matem´atica, SBM 1993.

[4] H. O. Midonick, The Treasury of Mathematics, Philosophical Library, New York 1965.